Знайдіть математичне сподівання випадкової величини заданої. Формула математичного очікування

Характеристики ДСВ і їх властивості. Математичне сподівання, дисперсія, СКО

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак, коли неможливо знайти закон розподілу, або цього не потрібно, можна обмежитися перебуванням значень, званих числовими характеристиками випадкової величини. Ці величини визначають деякий середнє значення, навколо якого групуються значення випадкової величини, і ступінь їх розкиданості навколо цього середнього значення.

математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума добутків всіх можливих значень випадкової величини на їх ймовірності.

Математичне сподівання існує, якщо ряд, що стоїть в правій частині рівності, сходиться абсолютно.

З точки зору ймовірності можна сказати, що математичне очікування приблизно дорівнює середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.

Приклад. Відомий закон розподілу дискретної випадкової величини. Знайти математичне сподівання.

Рішення:

9.2 Властивості математичного очікування

1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійною.

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування.

3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.

Це властивість справедливо для довільного числа випадкових величин.

4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків.

Це властивість також справедливо для довільного числа випадкових величин.

Нехай проводиться n незалежних випробувань, ймовірність появи події А в яких дорівнює р.

Теорема. Математичне сподівання М (Х) числа появи події А в n незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в кожному випробуванні.

Приклад. Знайти математичне сподівання випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X і Y: M (Х) \u003d 3, M (Y) \u003d 2, Z \u003d 2X + 3Y.

Рішення:

9.3 Дисперсія дискретної випадкової величини

Однак, математичне очікування не може повністю характеризувати випадковий процес. Крім математичного очікування треба ввести величину, яка характеризує відхилення значень випадкової величини від математичного очікування.

Це відхилення дорівнює різниці між випадковою величиною і її математичним очікуванням. При цьому математичне сподівання відхилення дорівнює нулю. Це пояснюється тим, що одні можливі відхилення позитивні, інші негативні, і в результаті їх взаємного погашення виходить нуль.

Дисперсією (розсіюванням) дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

На практиці подібний спосіб обчислення дисперсії незручний, тому що призводить при великій кількості значень випадкової величини до громіздким обчисленням.

Тому застосовується інший спосіб.

Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х і квадратом її математичного очікування.

Доведення. З урахуванням того, що математичне сподівання М (Х) і квадрат математичного очікування М 2 (Х) - величини постійні, можна записати:

Приклад. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини заданої законом розподілу.

Рішення: .

9.4 Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю. .

2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат. .

3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .

4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .

Теорема. Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність р появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і непоявленія події в кожному випробуванні.

9.5 Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається квадратний корінь з дисперсії.

Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин.

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватися меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно, такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини. До числа важливих числових характеристик відноситься математичне очікування.

Математичне сподівання, як буде показано далі, приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини. Для вирішення багатьох завдань досить знати математичне очікування. Наприклад, якщо відомо, що математичне очікування числа вибиваються очок у першого стрільця більше, ніж у другого, то перший стрілок в середньому вибиває більше очок, ніж другий, і, отже, стріляє краще другого.

Определеніе4.1: математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності.

Нехай випадкова величина X може приймати тільки значення x 1, x 2, ... x n, Ймовірності яких відповідно рівні p 1, p 2, ... p n.Тоді математичне очікування M (X) Випадкової величини X визначається рівністю

M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n.

Eсли дискретна випадкова величина X приймає рахункове безліч можливих значень, то

,

причому математичне сподівання існує, якщо ряд у правій частині рівності сходиться абсолютно.

Приклад.Знайти математичне сподівання числа появ події Aв одному випробуванні, якщо ймовірність події A дорівнює p.

Рішення: Випадкова величина X - число появ події A має розподіл Бернуллі, тому

Таким чином, математичне очікування числа появ події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.

Імовірнісний сенс математичного очікування

нехай вироблено n випробувань, в яких випадкова величина X прийняла m 1 раз значення x 1, m 2 раз значення x 2 ,…, m k раз значення x k, причому m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n. Тоді сума всіх значень, прийнятих X, дорівнює x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k .

Середнє арифметичне всіх значень, прийнятих випадковою величиною, буде

ставлення m i / n- відносна частота W i значення x iприблизно дорівнює ймовірності появи події p i, де , тому

Імовірнісний сенс отриманого результату такий: математичне очікування приблизно дорівнює (Тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.

Властивості математичного очікування

Свойство1:Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної

властивість2:Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування

Определеніе4.2: Дві випадкові величини називаються незалежними, Якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша величина. В іншому випадку випадкові величини залежні.

Определеніе4.3: Кілька випадкових величин називають взаємно незалежними, Якщо закони розподілу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі значення прийняли інші величини.

Свойство3:Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.

слідство: Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.

Свойство4:Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.

слідство: Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.

Приклад.Обчислимо математичне сподівання біноміальної випадкової величини X -числа настання події A в n дослідах.

Рішення: Загальне число X появ події A в цих випробуваннях складається з чисел появ події в окремих випробуваннях. Введемо випадкові величини X i - число появ події в i-ом випробуванні, які є бернуллиевского випадковими величинами з математичним очікуванням, де . По властивості математичного сподівання маємо

Таким чином, математичне очікування біноміального розподілу з параметрами n і p дорівнює добутку np.

Приклад.Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з гармати p \u003d 0,6.Знайти математичне сподівання загального числа влучень, якщо буде вироблено 10 пострілів.

Рішення: Попадання при кожному пострілі не залежить від результатів інших пострілів, тому що розглядаються події незалежні і, отже, шукане математичне очікування

Математичне сподівання - це, визначення

Мат очікування - це одне з найважливіших понять в математичній статистиці та теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень або ймовірностей випадкової величини. Зазвичай виражається як середньозважений показник за всіма можливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується при проведенні технічного аналізу, дослідженні числових рядів, вивченні безперервних і тривалих процесів. Має важливе значення при оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується при розробці стратегій та методів ігрової тактики в теорії азартних ігор.

мат очікування - цесереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностей випадкової величини розглядається в теорії ймовірностей.

Мат очікування - цеміра середнього значення випадкової величини в теорії ймовірності. Мат сподівання випадкової величини x позначається M (x).

Математичне сподівання (Population mean) - це

Мат очікування - це

Мат очікування - це в теорії ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може приймати ця випадкова величина.

Мат очікування - цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Математичне сподівання (Population mean) - це

Мат очікування - це середня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуто в рамках теорії великих чисел і тривалій дистанції.

Мат очікування - цев теорії азартних ігор сума виграшу, яку може заробити або програти спекулянт, в середньому, за кожною ставкою. Мовою азартних спекулянтів це іноді називається «перевагою спекулянта»(Якщо воно позитивно для спекулянта) або« перевагою казино »(якщо воно негативно для спекулянта).

Математичне сподівання (Population mean) - це

Кожна, окремо взята величина повністю визначається своєю функцією розподілу. Також, для вирішення практичних завдань вистачає знати кілька числових характеристик, завдяки яким з'являється можливість представити основні особливості випадкової величини в короткій формі.

До таких величинам відносять в першу чергу математичне очікування і дисперсія .

Математичне очікування - середнє значення випадкової величини в теорії ймовірностей. Позначається як.

Найпростішим способом математичне сподівання випадкової величини Х (w), Знаходять як інтегралЛебега по відношенню до ймовірнісної мірою Р вихідному імовірнісний просторі

Ще знайти математичне очікування величини можна як інтеграл Лебега від х за розподілом ймовірностей Р Х величини X:

де - безліч всіх можливих значень X.

Математичне сподівання функцій від випадкової величини X знаходиться через розподіл Р Х. наприклад, якщо X - випадкова величина зі значеннями в і f (x) - однозначна борелевскаяфункція Х , То:

якщо F (x) - функція розподілу X, То математичне сподівання представимо інтеграломЛебега - Стілтьєса (або Рімана - Стілтьєса):

при цьому інтегрованість X в сенсі ( * ) Відповідає кінцівки інтеграла

У конкретних випадках, якщо X має дискретний розподіл з ймовірними значеннями х k, k \u003d 1, 2,. , І можливостями, то

якщо X має абсолютно неперервний розподіл з щільністю ймовірності р (х), то

при цьому існування математичного очікування рівносильно абсолютної збіжності відповідного ряду або інтеграла.

Властивості математичного сподівання випадкової величини.

• Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій величині:

C- постійна;

• M \u003d C.M [X]

• Математичне сподівання суми випадково взятих величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:

• Математичне сподівання добутку незалежних випадково взятих величин \u003d добутку їх математичних сподівань:

M \u003d M [X] + M [Y]

якщо X і Y незалежні.

якщо сходиться ряд:

Алгоритм обчислення математичного очікування.

Властивості дискретних випадкових величин: всі їхні значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значенню прирівняти відмінну від нуля ймовірність.

1. По черзі перемножуємо пари: x i на p i.

2. Складаємо твір кожної пари x i p i.

напрмер, для n = 4 :

Функція розподілу дискретної випадкової величини ступінчаста, вона зростає стрибком в тих точках, ймовірності яких мають позитивний знак.

приклад:Знайти математичне сподівання за формулою.

випадковою величиною називають змінну величину, яка в результаті кожного випробування приймає одне заздалегідь невідоме значення, залежне від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $ X, \\ Y, \\ Z, \\ \\ dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретними і безперервними.

Дискретна випадкова величина - це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більше ніж рахунковими, тобто або кінцевими, або рахунковими. Під счетності мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число влучень в мішень при $ n $ пострілах, тут можливі значення $ 0, \\ 1, \\ \\ dots, \\ n $.

б) число випали гербів при підкиданні монети, тут можливі значення $ 0, \\ 1, \\ \\ dots, \\ n $.

в) число прибулих кораблів на борт (рахункове безліч значень).

г) число викликів, що надходять на АТС (рахункове безліч значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $ X $ може приймати значення $ x_1, \\ dots, \\ x_n $ з вірогідністю $ p \\ left (x_1 \\ right), \\ \\ dots, \\ p \\ left (x_n \\ right) $. Відповідність між цими значеннями і їх можливостями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, це відповідність задається за допомогою таблиці, в першому рядку якої вказують значення $ x_1, \\ dots, \\ x_n $, а у другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \\ dots, \\ p_n $.

$ \\ Begin (array) (| c | c |)
\\ hline
X_i & x_1 & x_2 & \\ dots & x_n \\\\
\\ hline
p_i & p_1 & p_2 & \\ dots & p_n \\\\
\\ hline
\\ End (array) $

приклад 2 . Нехай випадкова величина $ X $ - число очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $ X $ може набувати таких значень $ 1, \\ 2, \\ 3, \\ 4, \\ 5, \\ 6 $. Ймовірності всіх цих значень рівні $ 1/6 $. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $ X $:

$ \\ Begin (array) (| c | c |)
\\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hline

\\ hline
\\ End (array) $

зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $ X $ події $ 1, \\ 2, \\ \\ dots, \\ 6 $ утворюють повну групу подій, то в сумі ймовірності повинні бути рівні одиниці, тобто $ \\ sum (p_i) \u003d 1 $.

2. Математичне сподівання дискретної випадкової величини.

Математичне сподівання випадкової величини задає її «центральне» значення. Для дискретної випадкової величини математичне сподівання обчислюється як сума добутків значень $ x_1, \\ dots, \\ x_n $ на відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \\ dots, \\ p_n $, тобто: $ M \\ left (X \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) $. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \\ left (X \\ right) $.

Властивості математичного очікування $ M \\ left (X \\ right) $:

1. $ M \\ left (X \\ right) $ укладено між найменшим і найбільшим значеннями випадкової величини $ X $.
2. Математичне сподівання від константи дорівнює самій константі, тобто $ M \\ left (C \\ right) \u003d C $.
3. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \\ left (CX \\ right) \u003d CM \\ left (X \\ right) $.
4. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \\ left (X + Y \\ right) \u003d M \\ left (X \\ right) + M \\ left (Y \\ right) $.
5. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: $ M \\ left (XY \\ right) \u003d M \\ left (X \\ right) M \\ left (Y \\ right) $.

приклад 3 . Знайдемо математичне сподівання випадкової величини $ X $ з прикладу $ 2 $.

$$ M \\ left (X \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) \u003d 1 \\ cdot ((1) \\ over (6)) + 2 \\ cdot ((1) \\ over (6) ) +3 \\ cdot ((1) \\ over (6)) + 4 \\ cdot ((1) \\ over (6)) + 5 \\ cdot ((1) \\ over (6)) + 6 \\ cdot ((1 ) \\ over (6)) \u003d 3,5. $$

Чи можемо помітити, що $ M \\ left (X \\ right) $ укладено між найменшим ($ 1 $) і максимальним ($ 6 $) значеннями випадкової величини $ X $.

приклад 4 . Відомо, що математичне сподівання випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \\ left (X \\ right) \u003d 2 $. Знайти математичне сподівання випадкової величини $ 3X + 5 $.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $ M \\ left (3X + 5 \\ right) \u003d M \\ left (3X \\ right) + M \\ left (5 \\ right) \u003d 3M \\ left (X \\ right) + 5 \u003d 3 \\ cdot 2 + 5 \u003d 11 $.

приклад 5 . Відомо, що математичне сподівання випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \\ left (X \\ right) \u003d 4 $. Знайти математичне сподівання випадкової величини $ 2X-9 $.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $ M \\ left (2X-9 \\ right) \u003d M \\ left (2X \\ right) -M \\ left (9 \\ right) \u003d 2M \\ left (X \\ right) -9 \u003d 2 \\ cdot 4 -9 \u003d -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин з рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватися навколо своїх середніх значень. Наприклад, в двох студентських групах середній бал за іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі все виявилися хорошистами, а в іншій групі - тільки трієчники і відмінники. Тому виникає необхідність в такій числовий характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такий характеристикою є дисперсія.

Дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює:

$$ D \\ left (X \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (\\ left (x_i-M \\ left (X \\ right) \\ right)) ^ 2). \\ $$

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \\ left (X \\ right), \\ Var \\ left (X \\ right) $. Дуже часто дисперсію $ D \\ left (X \\ right) $ обчислюють за формулою $ D \\ left (X \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix ^ 2_i) - (\\ left (M \\ left (X \\ right) \\ right)) ^ 2 $.

властивості дисперсії $ D \\ left (X \\ right) $:

1. Дисперсія завжди більше або дорівнює нулю, тобто $ D \\ left (X \\ right) \\ ge 0 $.
2. Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто $ D \\ left (C \\ right) \u003d 0 $.
3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення його в квадрат, тобто $ D \\ left (CX \\ right) \u003d C ^ 2D \\ left (X \\ right) $.
4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій, тобто $ D \\ left (X + Y \\ right) \u003d D \\ left (X \\ right) + D \\ left (Y \\ right) $.
5. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій, тобто $ D \\ left (X-Y \\ right) \u003d D \\ left (X \\ right) + D \\ left (Y \\ right) $.

приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $ X $ з прикладу $ 2 $.

$$ D \\ left (X \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (\\ left (x_i-M \\ left (X \\ right) \\ right)) ^ 2) \u003d ((1) \\ over (6)) \\ cdot (\\ left (1-3,5 \\ right)) ^ 2 + ((1) \\ over (6)) \\ cdot (\\ left (2-3,5 \\ right)) ^ 2 + \\ dots + ((1) \\ over (6)) \\ cdot (\\ left (6-3,5 \\ right)) ^ 2 \u003d ((35) \\ over (12)) \\ approx 2,92. $$

приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \\ left (X \\ right) \u003d 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $ 4X + 1 $.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $ D \\ left (4X + 1 \\ right) \u003d D \\ left (4X \\ right) + D \\ left (1 \\ right) \u003d 4 ^ 2D \\ left (X \\ right) + 0 \u003d 16D \\ приклад 8

. Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \\ left (X \\ right) \u003d 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $ 3-2X $. Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $ D \\ left (3-2X \\ right) \u003d D \\ left (3 \\ right) + D \\ left (2X \\ right) \u003d 0 + 2 ^ 2D \\ left (X \\ right) \u003d 4D \\ 4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не є єдиним, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб представлення випадкової величини - функція розподілу.

функцією розподілу випадкової величини $ X $ називається функція $ F \\ left (x \\ right) $, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $ X $ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $ x $, тобто $ F \\ left (x \\ right ) \u003d P \\ left (X< x\right)$

Властивості функції розподілу:

1. $ 0 \\ le F \\ left (x \\ right) \\ le 1 $.
2. Імовірність того, що випадкова величина $ X $ прийме значення з інтервалу $ \\ left (\\ alpha; \\ \\ beta \\ right) $, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $ P \\ left (\\ alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \\ left (x \\ right) $ - неубутна.
4. $ (\\ Mathop (lim) _ (x \\ to - \\ infty) F \\ left (x \\ right) \u003d 0 \\), \\ (\\ mathop (lim) _ (x \\ to + \\ infty) F \\ left (x \\ right) \u003d 1 \\) $.

приклад 9 . Знайдемо функцію розподілу $ F \\ left (x \\ right) $ для закону розподілу дискретної випадкової величини $ X $ з прикладу $ 2 $.

$ \\ Begin (array) (| c | c |)
\\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\\ hline
\\ End (array) $

Якщо $ x \\ le 1 $, то, очевидно, $ F \\ left (x \\ right) \u003d 0 $ (в тому числі і при $ x \u003d 1 $ $ F \\ left (1 \\ right) \u003d P \\ left (X< 1\right)=0$).

Якщо $ 1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Якщо $ 2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Якщо $ 3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Якщо $ 4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Якщо $ 5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Якщо $ x\u003e 6 $, то $ F \\ left (x \\ right) \u003d P \\ left (X \u003d 1 \\ right) + P \\ left (X \u003d 2 \\ right) + P \\ left (X \u003d 3 \\ right) + P \\ left (X \u003d 4 \\ right) + P \\ left (X \u003d 5 \\ right) + P \\ left (X \u003d 6 \\ right) \u003d 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 \u003d 1 $.

Отже, $ F (x) \u003d \\ left \\ (\\ begin (matrix)
0, \\ при \\ x \\ le 1, \\\\
1/6, при \\ 1< x\le 2,\\
1/3, \\ при \\ 2< x\le 3,\\
1/2, при \\ 3< x\le 4,\\
2/3, \\ при \\ 4< x\le 5,\\
5/6, \\ при \\ 4< x\le 5,\\
1, \\ при \\ x\u003e 6.
\\ End (matrix) \\ right. $