Калькулятор усіченого конуса зі зміщеними підставами. Як зробити розгортку - викрійку для конуса або усіченого конуса заданих розмірів

Іноді виникає завдання - виготовити захисний зонт для витяжної або пічної труби, витяжною дефлектор для вентиляції і т.п. Але перш ніж приступити до виготовлення, треба зробити викрійку (або розгорнення) для матеріалу. В інтернеті є всякі програми для розрахунку таких розгорток. Однак завдання настільки просто вирішується, що ви швидше розрахуєте її за допомогою калькулятора (в комп'ютері), ніж будете шукати, завантажувати і розбиратися з цими програмами.

Почнемо з простого варіанту - розгортка простого конуса. Найпростіше пояснити принцип розрахунку викрійки на прикладі.

Припустимо, нам треба виготовити конус діаметром D см і заввишки H сантиметрів. Цілком зрозуміло, що в якості заготовки буде виступати коло з вирізаним сегментом. Відомі два параметра - діаметр і висота. По теоремі Піфагора розрахуємо діаметр кола заготовки (не плутайте з радіусом готового конуса). Половина діаметру (радіус) і висота утворюють прямокутний трикутник. Тому:

Отже, тепер ми знаємо радіус заготовки і можемо вирізати коло.

Обчислимо кут сектора, який треба вирізати з кола. Міркуємо таким чином: Діаметр заготовки дорівнює 2R, значить, довжина кола дорівнює Пі * 2 * R - тобто 6.28 * R. Позначимо її L. Окружність повна, тобто 360 градусів. А довжина кола готового конуса дорівнює Пі * D. Позначимо її Lm. Вона, природно, менше ніж довжина кола заготовки. Нам потрібно вирізати сегмент з довжиною дуги дорівнює різниці цих довжин. Застосуємо правило співвідношення. Якщо 360 градусів дають нам повне коло заготовки, то шуканий кут повинен дати довжину окружності готового конуса.

З формули співвідношення отримуємо розмір кута X. А вирізали сектор знаходимо шляхом віднімання 360 - Х.

З круглої заготовки з радіусом R треба вирізати сектор з кутом (360-Х). Не забудьте залишити невелику смужку матеріалу для нахлеста (якщо кріплення конуса буде внахлест). Після з'єднання сторін вирізаного сектора отримаємо конус заданого розміру.

Наприклад: Нам потрібен конус для парасольки витяжної труби висотою (Н) 100 мм і діаметром (D) 250 мм. За формулою Піфагора отримуємо радіус заготовки - 160 мм. А довжина кола заготовки відповідно 160 x 6,28 \u003d 1005 мм. У той же час довжина кола потрібного нам конуса - 250 x 3,14 \u003d 785 мм.

Тоді отримуємо, що співвідношення кутів буде таке: 785/1005 x 360 \u003d 281 градус. Відповідно вирізати треба сектор 360 - 281 \u003d 79 градусів.

Розрахунок заготовки викрійки для усіченого конуса.

Така деталь буває потрібна при виготовленні перехідників з одного діаметра на інший або для дефлекторів Вольперт-Григоровича або Ханженкова. Їх застосовують для поліпшення тяги в комині або трубі вентиляції.

Завдання трохи ускладнюється тим, що нам невідома висота всього конуса, а тільки його усіченої частини. Взагалі ж вихідних цифр тут три: висота усіченого конуса Н, діаметр нижнього отвору (підстави) D, і діаметр верхнього отвори Dm (в місці перетину повного конуса). Але ми вдамося до тих же простим математичним побудов на основі теореми Піфагора і подоби.

Справді, очевидно, що величина (D-Dm) / 2 (половина різниці діаметрів) буде ставитися з висотою усіченого конуса Н так само, як і радіус підстави до висоти всього конуса, як якщо б він не був усічений. Знаходимо повну висоту (P) з цього співвідношення.

(D - Dm) / 2H \u003d D / 2P

Звідси Р \u003d D x H / (D-Dm).

Тепер знаючи загальну висоту конуса, ми можемо звести рішення задачі до попередньої. Розрахувати розгортку заготовки як би для повного конуса, а потім «відняти» з неї розгортку його верхньої, непотрібної нам частини. А можемо розрахувати безпосередньо радіуси заготовки.

Отримаємо по теоремі Піфагора більший радіус заготовки - Rz. Це квадратний корінь з суми квадратів висоти P і D / 2.

Менший радіус Rm - це квадратний корінь з суми квадратів (P-H) і Dm / 2.

Довжина кола нашої заготовки дорівнює 2 х Пі х Rz, або 6,28 х Rz. А довжина кола основи конуса - Пі х D, або 3,14 х D. Співвідношення їх довжин і дадуть співвідношення кутів секторів, якщо прийняти, що повний кут в заготівлі - 360 градусів.

Тобто Х / 360 \u003d 3,14 x D / 6.28 x Rz

Звідси Х \u003d 180 x D / Rz (Це кут, який треба залишити, що б отримати довжину кола основи). А вирізати треба відповідно 360 - Х.

Наприклад: Нам треба виготовити усічений конус висотою 250 мм, діаметр підставу 300 мм, діаметр верхнього отвори 200 мм.

Знаходимо висоту повного конуса Р: 300 х 250 / (300 - 200) \u003d 600 мм

За т. Піфагора знаходимо зовнішній радіус заготовки Rz: Корінь квадратний з (300/2) ^ 2 + 6002 \u003d 618,5 мм

З тієї ж теоремі знаходимо менший радіус Rm: Корінь квадратний з (600 - 250) ^ 2 + (200/2) ^ 2 \u003d 364 мм.

Визначаємо кут сектора нашої заготовки: 180 х 300 / 618,5 \u003d 87.3 градуса.

На матеріалі креслимо дугу з радіусом 618,5 мм, потім з того ж центру - дугу радіусом 364 мм. Кут дуги може має приблизно 90-100 градусів розкриття. Проводимо радіуси з кутом розкриття 87.3 градуса. Наша заготовка готова. Не забудьте дати припуск на стиковку країв, якщо вони з'єднуються внахлест.

Розгортка поверхні конуса - це плоска фігура, отримана шляхом поєднання бічній поверхні і підстави конуса з деякою площиною.

Варіанти побудови розгортки:

Розгортка прямого кругового конуса

Розгортка бічної поверхні прямого кругового конуса являє собою круговий сектор, радіус якого дорівнює довжині утворює конічної поверхні l, а центральний кут φ визначається за формулою φ \u003d 360 * R / l, де R - радіус кола підстави конуса.

У ряді завдань нарисної геометрії кращим рішенням є апроксимація (заміна) конуса вписаною в нього пірамідою і побудова наближеної розгортки, на яку зручно наносити лінії, що лежать на конічної поверхні.

алгоритм побудови

Вписуємо в конічну поверхню многокутну піраміду. Чим більше бічних граней у вписаною піраміди, тим точніше відповідність між дійсною і наближеною розгорткою.
Будуємо розгортку бічної поверхні піраміди способом трикутників. Точки, що належать основи конуса, з'єднуємо плавною кривою.

приклад

На малюнку нижче в прямий круговий конус вписано правильна шестикутна піраміда SABCDEF, і наближена розгортка його бічній поверхні складається з шести рівнобедрених трикутників - граней піраміди.

Розглянемо трикутник S 0 A 0 B 0. Довжини його сторін S 0 A 0 і S 0 B 0 рівні утворює l конічної поверхні. Величина A 0 B 0 відповідає довжині A'B '. Для побудови трикутника S 0 A 0 B 0 в довільному місці креслення відкладаємо відрізок S 0 A 0 \u003d l, після чого з точок S 0 і A 0 проводимо окружності радіусом S 0 B 0 \u003d l і A 0 B 0 \u003d A'B ' відповідно. З'єднуємо точку перетину кіл B 0 з точками A 0 і S 0.

Грані S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 піраміди SABCDEF будуємо аналогічно трикутнику S 0 A 0 B 0.

Точки A, B, C, D, E і F, що лежать в основі конуса, з'єднуємо плавною кривою - дугою кола, радіус якої дорівнює l.

Розгортка похилого конуса

Розглянемо порядок побудови розгортки бічної поверхні похилої конуса методом апроксимації (наближення).

алгоритм

Вписуємо в окружність підстави конуса шестикутник 123456. З'єднуємо точки 1, 2, 3, 4, 5 і 6 з вершиною S. Піраміда S123456, побудована таким чином, з деякою мірою наближення є заміною конічної поверхні і використовується в цій якості в подальших побудовах.
Визначаємо натуральні величини ребер піраміди, використовуючи спосіб обертання навколо проецирующей прямий: у прикладі використовується вісь i, перпендикулярна горизонтальної площини проекцій і проходить через вершину S.
Так, в результаті обертання ребра S5 його нова горизонтальна проекція S'5 '1 займає положення, при якому вона паралельна фронтальній площині π 2. Відповідно, S''5 '' 1 - натуральна величина S5.
Будуємо розгортку бічної поверхні піраміди S123456, що складається з шести трикутників: S 0 1 0 6 0, S 0 6 0 5 0, S 0 5 0 4 0, S 0 4 0 3 0, S 0 3 0 2 0, S 0 2 0 1 0. Побудова кожного трикутника виконується за трьома сторонами. Наприклад, у △ S 0 1 0 6 0 довжина S 0 1 0 \u003d S''1 '' 0, S 0 6 0 \u003d S''6 '' 1, 1 0 6 0 \u003d 1'6 '.

Ступінь відповідності наближеною розгортки дійсної залежить від кількості граней вписаною піраміди. Число граней вибирають, виходячи зі зручності читання креслення, вимог до його точності, наявності характерних точок і ліній, які потрібно перенести на розгортку.

Перенесення лінії з поверхні конуса на розгортку

Лінія n, що лежить на поверхні конуса, утворена в результаті його перетину з деякою площиною (малюнок нижче). Розглянемо алгоритм побудови лінії n на розгортці.

алгоритм

Знаходимо проекції точок A, B і C, в яких лінія n перетинає ребра вписаної в конус піраміди S123456.
Визначаємо натуральну величину відрізків SA, SB, SC способом обертання навколо проецирующей прямий. У розглянутому прикладі SA \u003d S''A '', SB \u003d S''B '' 1, SC \u003d S''C '' 1.
Знаходимо положення точок A 0, B 0, C 0 на відповідних їм ребрах піраміди, відкладаючи на розгортці відрізки S 0 A 0 \u003d S''A '', S 0 B 0 \u003d S''B '' 1, S 0 C 0 \u003d S''C '' 1.
З'єднуємо точки A 0, B 0, C 0 плавною лінією.

Розгортка усіченого конуса

Описуваний нижче спосіб побудови розгортки прямого кругового усіченого конуса заснований на принципі подоби.

Геометрія як наука сформувалася в Стародавньому Єгипті і досягла високого рівня розвитку. Відомий філософ Платон заснував Академію, де пильна увага приділялася систематизації наявних знань. Конус як одна з геометричних фігур вперше згадується у відомому трактаті Евкліда "Начала". Евклід був знайомий з працями Платона. Зараз мало хто знає, що слово "конус" в перекладі з грецької мови означає "соснова шишка". Грецький математик Евклід, що жив в Олександрії, по праву вважається основоположником геометричній алгебри. Стародавні греки не тільки стали наступниками знань єгиптян, але і значно розширили теорію.

Історія визначення конуса

Геометрія як наука з'явилася з практичних вимог будівництва і спостережень за природою. Поступово досвідчені знання узагальнювались, а властивості одних тел доводили через інші. Стародавні греки ввели поняття аксіом і доказів. Аксіомою називається твердження, отримане практичним шляхом і не потребує доказів.

У своїй книзі Евклід привів визначення конуса як фігури, яка виходить обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Також йому належить основна теорема, яка визначає обсяг конуса. А довів цю теорему давньогрецький математик Евдокс Кнідський.

Інший математик стародавньої Греції, Аполлоній Пергський, який був учнем Евкліда, розвинув і виклав теорію конічних поверхонь в своїх книгах. Йому належить визначення конічної поверхні і січною до неї. Школярі наших днів вивчають Евклидову геометрію, що зберегла основні теореми і визначення з давніх часів.

Основні визначення

Прямий круговий конус утворений обертанням прямокутного трикутника навколо одного катета. Як видно, поняття конуса не змінилося з часів Евкліда.

Гіпотенуза AS прямокутного трикутника AOS при обертанні навколо катета OS утворює бічну поверхню конуса, тому називається утворює. Катет OS трикутника перетворюється одночасно в висоту конуса і його вісь. Точка S стає вершиною конуса. Катет AO, описавши коло (підстава), перетворився в радіус конуса.

Якщо зверху провести площину через вершину і вісь конуса, то можна побачити, що отримане осьовий переріз являє собою трикутник, в якому вісь є висотою трикутника.

де C - довжина кола основи, l - довжина твірної конуса, R - радіус підстави.

Формула розрахунку обсягу конуса

Для розрахунку обсягу конуса використовується наступна формула:

де S є площею підстави конуса. Так як підстава - коло, його площа розраховується так:

Звідси випливає:

де V - об'єм конуса;

n - число, що дорівнює 3,14;

R - радіус підстави, відповідний відрізку AO на малюнку 1;

H - висота, рівна відрізку OS.

Усічений конус, обсяг

Є прямий круговий конус. Якщо площиною, перпендикулярної висоті, відсікти верхню частину, то вийде усічений конус. Два його заснування мають форму кола з радіусами R 1 і R 2.

Якщо прямий конус утворюється обертанням прямокутного трикутника, то усічений конус - обертанням прямокутної трапеції навколо прямої боку.

Обсяг усіченого конуса розраховується за такою формулою:

V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Конус і його перетин площиною

Перу давньогрецького математика Аполлонія Пергського належить теоретична праця «Конічні перетини». Завдяки його роботам в геометрії з'явилися визначення кривих: параболи, еліпса, гіперболи. Розглянемо, до чого тут конус.

Візьмемо прямий круговий конус. Якщо площина перетинає його перпендикулярно осі, то в розрізі утворюється коло. Коли січна перетинає конус під кутом до осі, то в розрізі виходить еліпс.

Січна площина, перпендикулярна основи і паралельна осі конуса, утворює на поверхні гіперболу. Площина, що розрізає конус під кутом до основи і паралельна дотичній до конусу, створює на поверхні криву, яку назвали параболою.

Рішення задачі

Навіть просте завдання про те, як виготовити відро певного обсягу, вимагає знань. Наприклад, необхідно розрахувати розміри відра, щоб воно мало обсяг 10 літрів.

V \u003d 10 л \u003d 10 дм 3;

Розгортка конуса має вигляд, схематично наведений на малюнку 3.

L - утворює конуса.

Щоб дізнатися площа поверхні відра, яка обчислюється за такою формулою:

S \u003d n * (R 1 + R 2) * L,

необхідно обчислити утворить. Її знаходимо з величини обсягу V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Звідси H \u003d 3V / n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2).

Усічений конус утворюється обертанням прямокутної трапеції, в якій бічна сторона є твірною конуса.

L 2 \u003d (R 2 R 1) 2 + H 2.

Тепер у нас є всі дані, щоб побудувати креслення відра.

Чому пожежні відра мають форму конуса?

Хто замислювався, чому пожежні відра мають, здавалося б, дивну конічну форму? А це не просто так. Виявляється, конічне відро при гасінні пожежі має багато переваг перед звичайним, які мають форму усіченого конуса.

По-перше, як виявляється, пожежне відро швидше наповнюється водою і при перенесенні вона не розхлюпується. Конус, обсяг якого більше звичайного відра, за один раз дозволяє перенести більше води.

По-друге, воду з нього можна виплеснути на більшу відстань, ніж зі звичайного відра.

По-третє, якщо конічне відро зірветься з рук і впаде у вогонь, то вся вода виливається на вогнище спалаху.

Всі перераховані фактори дозволяють заощадити час - головний фактор при гасінні пожежі.

Практичне застосування

У школярів часто виникає питання про те, навіщо вчити, як розраховувати обсяг різних геометричних тіл, в тому числі конуса.

А інженери-конструктори постійно стикаються з необхідністю розрахувати обсяг конічних частин деталей механізмів. Це наконечники свердел, частини токарних і фрезерних верстатів. Форма конуса дозволять свердла легко входити в матеріал, не вимагаючи первісної намітки спеціальним інструментом.

Обсяг конуса має купа піску або землі, висипається на землю. При необхідності, якщо провести нескладні вимірювання, можна розрахувати її обсяг. У деяких викличе утруднення питання про те, як дізнатися радіус і висоту купи піску. Озброївшись рулеткою, вимірюємо окружність горбка C. За формулою R \u003d C / 2n дізнаємося радіус. Перекинувши мотузку (рулетку) через вершину, знаходимо довжину твірної. А обчислити висоту по теоремі Піфагора і обсяг не складе труднощів. Звичайно, такий розрахунок приблизний, але дозволяє визначити, чи не обдурили вас, привізши тонну піску замість куба.

Деякі будівлі мають форму усіченого конуса. Наприклад, Останкінська телевежа наближається до форми конуса. Її можна представити що складається з двох конусів, поставлених один на одного. Купола старовинних замків і соборів є конус, обсяг якого древні зодчі розраховували з дивовижною точністю.

Якщо уважно придивитися до оточуючих предметів, то багато хто з них є конусами:

воронки-лійки для наливання рідин;
рупор-гучномовець;
паркувальні конуси;
абажур для торшера;
звична новорічна ялинка;
духові музичні інструменти.

Як видно з наведених прикладів, вміння розрахувати обсяг конуса, площа його поверхні необхідно в професійній та повсякденному житті. Сподіваємося, що стаття прийде вам на допомогу.