Чотирьохкутники види та властивості. Який чотирикутник називається прямокутником

Це стаття про геометричну фігуру. Інші значення слова див. на сторінці Квадрат (значення). Квадрат Квадрат правильний чотирикутник. Властивості Квадрат може бути визначений як прямокутник, у якого дві суміжні сторони дорівнюють ромбу, у… … Вікіпедія

Правильний семукутник Правильний багатокутник - це опуклий багатокутник, у якого всі сторони і кути рівні. Визначення правильного багатокутника може залежати від … Вікіпедія

Правильний семикутник це правильний багатокутник із сімома сторонами. Зміст … Вікіпедія

Правильний сімнадцятикутник геометрична фігура, що належить до групи правильних багатокутників. Він має сімнадцять сторін і сімнадцять кутів, всі його кути та сторони рівні між собою, всі вершини лежать на одному колі. Зміст 1… … Вікіпедія

65537 кутник чи коло? Правильний 65537 кутник (шістдесятип'ятитисячп'ятисоттридцятисекутник) геометрична фігура з групи правильних багатокутників, що складається з 65537 … Вікіпедія

257 кутник чи коло? Правильний 257 косинець правильний багатокутник з 257 сторонами. Зміст … Вікіпедія

правильний- I пра/вільний ая, е; льон, льону, льону. див. тж. правильність 1) а) відповідний встановленим правилам, що не відступає від існуючих правил, норм, порядку. Поя вимова, написання. Пий фізичний розвиток дитини. Пий розподіл… … Словник багатьох виразів

I. ПРАВИЛЬНИЙ, а; льон, льону, льону. 1. Відповідний встановленим правилам, який не відступає від існуючих правил, норм, порядку. Поя вимова, написання. Пий фізичний розвиток дитини. Пий розподіл енергоресурсів. Він людина… … Енциклопедичний словник

Тема уроку

• Визначення чотирикутника.

Цілі уроку

• Освітні – повторення, узагальнення та перевірка знань на тему: “Чотирьохкутника”; вироблення основних навичок.
• Розвиваючі – розвинути увагу учнів, усидливість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.
• Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

• Формувати навички у побудові чотирикутника за допомогою масштабної лінійки та креслярського трикутника.
• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку

1. Історична довідка. Неевклідова геометрія.
2. Чотирьохкутник.
3. Види чотирикутників.

Неєвклідова геометрія

Неевклідова геометрія, геометрія, подібна до геометрії Евклідав тому, що в ній визначено рух фігур, але відрізняється від евклідової геометрії тим, що один із п'яти її постулатів (другий чи п'ятий) замінено його запереченням. Заперечення одного з евклідових постулатів (1825) стало значною подією в історії думки, бо послужило першим кроком на шляху до теорії відносності.

Другий постулат Евкліда стверджує, що будь-який відрізок прямий можна необмежено продовжити. Евклид, очевидно, вважав, що це постулат містить у собі твердження, що пряма має нескінченну довжину. Проте в «еліптичній» геометрії будь-яка пряма кінцева і, подібно до кола, замкнута.

П'ятий постулат стверджує, що якщо пряма перетинає дві дані прямі так, що два внутрішні кути по один бік від неї в сумі менше двох прямих кутів, то ці дві прямі, якщо продовжити їх необмежено, перетнуться з того боку, де сума цих кутів менша за суму двох прямих. Але в «гіперболічній» геометрії може існувати пряма CB (див. рис.), перпендикулярна до точки С до заданої прямої r і перетинає іншу пряму s під гострим кутом у точці B, але, проте нескінченні прямі r і s ніколи не перетнуться .

З цих переглянутих постулатів випливало, що сума кутів трикутника, що дорівнює 180 в евклідової геометрії, більше 180 в еліптичної геометрії і менше 180 в гіперболічній геометрії.

Чотирьохкутник

1 . Сума діагоналей опуклого чотирикутника більша за суму його двох протилежних сторін.

2 . Якщо відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін чотирикутника

а) рівні, то діагоналі чотирикутника перпендикулярні;

б) перпендикулярні, то діагоналі чотирикутника рівні.

3 . Бісектриси кутів при боці трапеції перетинаються на її середній лінії.

4 . Сторони паралелограма рівні та . Тоді чотирикутник, утворений перетинами бісектрис кутів паралелограма є прямокутником, діагоналі якого рівні .

5 . Якщо сума кутів при одній із основ трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що з'єднує середини основ трапеції, дорівнює їх напіврізності.

6 . На сторонах АВі ADпаралелограма ABCDвзяті крапки Мі Nтак, що прямі МСі NCділять паралелограм на три рівновеликі частини. Знайдіть MN,якщо BD = d.

7 . Відрізок прямої, паралельної до основ трапеції, укладений усередині трапеції, розбивається її діагоналями на три частини. Тоді відрізки, що прилягають до боків, рівні між собою.

8 . Через точку перетину діагоналей трапеції з основами та проведена пряма, паралельна основам. Відрізок цієї прямої, укладений між бічними сторонами трапеції, дорівнює .

9 . Трапеція розділена прямою, паралельною її основам, рівним і , на дві рівновеликі трапеції. Тоді відрізок цієї прямої, укладений між бічними сторонами, дорівнює .

10 . Якщо виконується одна з наступних умов, то чотири точки А, В, Сі Dлежать на одному колі.

а) CAD = CBD = 90 °.

б) точки Аі Влежать по один бік від прямої CDта кут CADдорівнює куту CBD.

в) прямі АСі BDперетинаються у точці Проі ПРО А ОС=ОВ OD.

11 . Пряма, що з'єднує точку Рперетину діагоналей чотирикутника ABCD зточкою Qперетину прямих АВі CD,ділить бік ADнавпіл. Тоді вона ділить навпіл і бік НД.

12 . Кожна сторона опуклого чотирикутника поділена на три рівні частини. Відповідні точки поділу на протилежних сторонах з'єднані відрізками. Тоді ці відрізки поділяють один одного на три рівні частини.

13 . Дві прямі ділять кожну із двох протилежних сторін опуклого чотирикутника на три рівні частини. Тоді між цими прямими укладено третину площі чотирикутника.

14 . Якщо чотирикутник можна вписати коло, то відрізок, що з'єднує точки, в яких вписане коло стосується протилежних сторін чотирикутника, проходить через точку перетину діагоналей.

15 . Якщо суми протилежних сторін чотирикутника рівні, то такий чотирикутник можна вписати окружність.

16. Властивості вписаного чотирикутника із взаємно перпендикулярними діагоналями.Чотирьохкутник ABCDвписаний в коло радіусу R.Його діагоналі АСі BDвзаємно перпендикулярні і перетинаються у точці Р.Тоді

а) медіана трикутника АРВперпендикулярна стороні CD;

б) ламана АОСділить чотирикутник ABCDна дві рівновеликі постаті;

в) АВ 2 +CD 2=4R 2 ;

г) АР 2 +ВР 2 +СР 2 +DP 2 = 4R 2 та АВ 2 + ВС 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;

д) відстань від центру кола до сторони чотирикутника вдвічі менша за протилежну сторону.

е) якщо перпендикуляри, опущені на бік ADз вершин Ві З,перетинають діагоналі АСі BDу точках Еі F,то BCFE- ромб;

ж) чотирикутник, вершини якого – проекції точки Рна сторони чотирикутника ABCD,- І вписаний, і описаний;

з) чотирикутник, утворений дотичними до описаного кола чотирикутника ABCD,проведеними у його вершинах, можна вписати в коло.

17 . Якщо a, b, c, d- Послідовні сторони чотирикутника, S- його площа, то , причому рівність має місце лише для вписаного чотирикутника, діагоналі якого взаємно перпендикулярні.

18 . Формула Брахмагупт.Якщо сторони вписаного чотирикутника рівні a, b, сі d,то його площа Sможе бути обчислена за формулою ,

де - Півпериметр чотирикутника.

19 . Якщо чотирикутник зі сторонами а, b, с, dможна вписати і біля нього можна описати коло, його площа дорівнює .

20 . Крапка Р розташована всередині квадрата ABCD,причому кут PABдорівнює куту РВАі дорівнює 15 °. Тоді трикутник DPC- рівнобічний.

21 . Якщо для вписаного чотирикутника ABCDвиконано рівність CD=AD+ВС,то бісектриси його кутів Аі Вперетинаються на стороні CD.

22 . Продовження протилежних сторін АВі CDвписаного чотирикутника ABCDперетинаються у точці М,а сторін ADі НД- у точці N.Тоді

а) бісектриси кутів AMDі DNCвзаємно перпендикулярні;

б) прямі МQі NQперетинають сторони чотирикутника у вершинах ромба;

в) точка перетину Qцих бісектрис лежить на відрізку, що з'єднує середини діагоналей чотирикутника ABCD.

23 . Теорема Птолемея.Сума творів двох пар протилежних сторін вписаного чотирикутника дорівнює добутку його діагоналей.

24 . Теорема Ньютона.У кожному описаному чотирикутнику середини діагоналей і центр вписаного кола розташовані на одній прямій.

25 . Теорема монжу.Прямі, проведені через середини сторін вписаного чотирикутника перпендикулярно до протилежних сторін, перетинаються в одній точці.

27 . Чотири кола, побудованих на сторонах опуклого чотирикутника, як на діаметрах, покривають весь чотирикутник.

29 . Два протилежні кути опуклого чотирикутника - тупі. Тоді діагональ, що з'єднує вершини цих кутів, менша від іншої діагоналі.

30. Центри квадратів, побудованих на сторонах паралелограма поза ним, самі утворюють квадрат.

У цій статті ми розглянемо всі основні властивості та ознаки чотирикутників.

Для початку я розташую всі види чотирикутників у вигляді такої зведеної схеми:

Схема чудова тим, що чотирикутники, що стоять у кожному рядку, володіють ВСІМИ ВЛАСТИВОСТЯМИ ЧОТИРИКУТНИКІВ, РОЗМІЩЕНИХ НАД НИМИ. Тому запам'ятовувати треба зовсім небагато.

Трапеція- це чотирикутник, дві сторони якого паралельні, а дві інші не паралельні. Паралельні сторони називаються основами трапеції, а не паралельні - бічними сторонами.

1 . У трапеції сума кутів, що належать до бічної сторонидорівнює 180 °: А + В = 180 °, C + D = 180 °

2 . Бісектриса будь-якого кута трапеціївідсікає на її підставі відрізок, рівний бічній стороні:

3. Бісектриси суміжних кутів трапеції перетинаються під прямим кутом.

4 .Трапеція називається рівнобедреноїякщо її бічні сторони рівні:

У рівнобедреній трапеції

5. Площа трапеціїдорівнює добутку напівсуми підстав на висоту:

Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні: У паралелограмі:

• протилежні сторони та протилежні кути рівні
• діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл:

Відповідно, якщо чотирикутник має ці властивості, то він є паралелограмом.

Площа паралелограмадорівнює добутку підстави на висоту:

або твору сторін на синус кута між ними:

:

Ромб- це паралелограм, у якого всі сторони рівні:

• протилежні кути рівні
• діагоналі точкою перетину діляться навпіл
  
• діагоналі взаємно перпендикулярні
  
• діагоналі ромба є бісектрисами кутів

Площа ромбудорівнює половині твору діагоналей:

або добутку квадрата сторони на синус кута між сторонами:

|
у опуклому чотирикутник, чотирикутник
рівнобедрена трапеція
рівнобока

Це геометрична фігура (багатокутник), що складається з чотирьох точок (вершин), ніякі три з яких не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків (сторон), що попарно з'єднують ці точки. Розрізняють опуклі та неопуклі чотирикутники, неопуклий чотирикутник може бути самопересічним (див. рис.).

• 1 Види чотирикутників
• 2 Чотирьохсторонник
• 3 Властивості
• 4 Площа
  • 4.1 Особливі випадки
  • 4.2 Історія
• 5 Див. також
• 6 Примітки
• 7 Література

Види чотирикутників

1. Паралелограм - чотирикутник, у якого всі протилежні сторони попарно рівні та паралельні;
   • Прямокутник – чотирикутник, у якого всі кути прямі;
   • Ромб – чотирикутник, у якого всі сторони рівні;
   • Квадрат - чотирикутник, у якого всі кути прямі та всі сторони рівні;
2. Трапеція – чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні;
3. Дельтоїд – чотирикутник, у якого дві пари суміжних сторін рівні.

Чотирьохприхильник

Хоча така назва може бути еквівалентна чотирикутнику, в неї часто вкладають додатковий зміст. Четвірка прямих, жодні дві з яких не паралельні і ніякі три не проходять через одну точку, називається четирьохприбічником. Така конфігурація зустрічається в деяких твердженнях евклідової геометрії (наприклад, теорема Менелая, пряма Гауса, пряма Обера, теорема Мікеля та ін), в яких часто всі прямі взаємозамінні.

Властивості

• Сума кутів чотирикутника дорівнює 2 π = 360°.
• Біля чотирикутника можна описати коло тоді і лише тоді, коли сума протилежних кутів дорівнює 180°

(). також теорема Птолемея.

• Опуклий чотирикутник є описаним біля кола тоді і лише тоді, коли суми довжин протилежних сторін дорівнюють ()
• Формула Ейлера: квадрат квадрат відстані між серединами діагоналей дорівнює сумі квадратів сторін чотирикутника мінус сума квадратів його діагоналей.
• Середні лінії чотирикутника та відрізок, що з'єднує середини його діагоналей, перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл.
• Чотири відрізки, кожен з яких з'єднує вершину чотирикутника з центроїдом трикутника, утвореного трьома вершинами, перетинаються в центроїді чотирикутника і діляться їм щодо 3:1, рахуючи від вершин.
• Дві протилежні сторони чотирикутника перпендикулярні тоді й лише тоді, коли сума квадратів двох інших протилежних сторін дорівнює сумі квадратів діагоналей.
• Діагоналі чотирикутника перпендикулярні і тоді, коли суми квадратів протилежних сторін рівні.
• Середні лінії чотирикутника дорівнюють тоді і лише тоді, коли дорівнюють суми квадратів його протилежних сторін.
• також властивості центроїду чотирикутника.
• Шість відстаней між чотирма довільними точками площини, взятими попарно, пов'язані співвідношенням:

Це співвідношення можна у вигляді визначника:

Площа

Площа довільного чотирикутника з діагоналями, що не самоперетинається, і кутом між ними (або їх продовженнями), дорівнює:

Площа довільного опуклого чотирикутника дорівнює:

• , де - довжини діагоналей, a, b, c, d - довжини сторін.
• : де p - напівпериметр, а є напівсума протилежних кутів чотирикутника (Яку саме пару протилежних кутів взяти ролі не грає, оскільки якщо півсума однієї пари протилежних кутів дорівнює, то напівсума двох інших кутів буде й). З цієї формули для вписаних 4-кутників випливає формула Брахмагупт.

Особливі випадки

Якщо 4-кутник і вписаний, і описаний, то.Якщо він описаний, то площа дорівнює половині його периметра, помноженої на радіус вписаного кола

Історія

У давнину єгиптяни та деякі інші народи використовували для визначення площі чотирикутника невірнуформулу - добуток напівсум його протилежних сторін a, b, c, d:

Для прямокутних чотирикутників ця формула дає завищене значення площі. Можна припустити, що вона використовувалася лише визначення площі майже прямокутних ділянок землі. При неточному вимірі сторін прямокутника ця формула дозволяє підвищити точність результату з допомогою усереднення вихідних вимірів.

Див. також

• Теорема косінусів для чотирикутника
• Пряма Обера
• Співвідношення Бретшнайдера

Примітки

1. Понарін, с. 74
2. Г. Г. Цейтен Історія математики в давнину та в середні віки, ГТТІ, М-Л, 1932.

Література

• Болтянський Ст, Чотирьохкутники. Квант, №9,1974.
• Понарін Я. П. Елементарна геометрія. 2 тт. - М: МЦНМО, 2004. - С. 74. - ISBN 5-94057-170-0.

у опуклому чотирикутник, як знайти площу чотирикутника, площа чотирикутника, площа чотирикутника формула, чотирикутник, чотирикутники

Чотирьохкутник Інформацію Про