Які числа раціональні а які ірраціональні приклади. числа

раціональне число - число, що представляється звичайної дробом m / n, де чисельник m - ціле число, а знаменник n - натуральне число. Будь-яке раціональне число можна подати у вигляді періодичної нескінченного десяткового дробу. Безліч раціональних чисел позначається Q.

Якщо дійсне число не є раціональним, то воно ірраціональне число. Десяткові дроби, що виражають ірраціональні числа нескінченні і не періодичні. Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I.

Дійсне число називається алгебраїчним, Якщо воно є коренем деякого многочлена (ненульовий ступеня) з раціональними коефіцієнтами. Будь-яке неалгебраїчні число називається трансцендентним.

Деякі властивості:

Безліч раціональних чисел розташовується на числової осі всюди щільно: між будь-якими двома різними раціональними числами розташоване хоча б одне раціональне число (а значить, і безліч раціональних чисел). Проте, виявляється, що безліч раціональних чисел Q і безліч натуральних чисел N еквівалентні, тобто між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність (всі елементи безлічі раціональних чисел можна перенумерувати).

Безліч Q раціональних чисел є замкнутим щодо додавання, віднімання, множення і ділення, тобто сума, різниця, добуток і частку двох раціональних чисел також є раціональними числами.

Всі раціональні числа є алгебраїчними (зворотне твердження - невірне).

Кожне речовий трансцендентне число є ірраціональним.

Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним.

Безліч ірраціональних чисел усюди щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами є ірраціональне число (а значить, і безліч ірраціональних чисел).

Безліч ірраціональних чисел незліченну.

При вирішенні завдань буває зручно разом з ірраціональним числом a + b√ c (де a, b - раціональні числа, з - ціле, що не є квадратом натурального числа) розглянути «поєднане» з ним число a - b√ c: його сума і твір з вихідним - раціональні числа. Так що a + b√ c і a - b√ c є корінням квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.

Завдання з рішеннями

1. Доведіть, що

а) число √ 7;

б) число lg 80;

в) число √ 2 + 3 √ 3;

є ірраціональним.

а) Припустимо, що число √ 7 раціональне. Тоді, існують такі взаємно прості p і q, що √ 7 \u003d p / q, звідки отримуємо p 2 \u003d 7q 2. Так як p і q взаємно прості, то p 2, а значить і p ділиться на 7. Тоді р \u003d 7k, де k - деяке натуральне число. Звідси q 2 \u003d 7k 2 \u003d pk, що суперечить тому, що p і q взаємно прості.

Отже, припущення помилково, значить, число √ 7 ірраціональне.

б) Припустимо, що число lg 80 раціональне. Тоді існують такі натуральні p і q, що lg 80 \u003d p / q, або 10 p \u003d 80 q, звідки отримуємо 2 p-4q \u003d 5 q-p. З огляду на, що числа 2 і 5 взаємно прості, отримуємо, що остання рівність можливо тільки при p-4q \u003d 0 і q-p \u003d 0. Звідки p \u003d q \u003d 0, що неможливо, так як p і q обрані натуральними.

Отже, припущення помилково, значить, число lg 80 ірраціональне.

в) Позначимо дане число через х.

Тоді (х - √ 2) 3 \u003d 3, або х 3 + 6х - 3 \u003d √ 2 · (3х 2 + 2). Після зведення цього рівняння в квадрат отримуємо, що х повинен задовольняти рівняння

х 6 - 6х 4 - 6х 3 + 12х 2 - 36х + 1 \u003d 0.

Його раціональними коренями можуть бути тільки числа 1 і -1. Перевірка ж показує, що 1 і -1 не є корінням.

Отже, дане число √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bє ірраціональним.

2. Відомо, що числа a, b, √ a -√ b, - раціональні. Доведіть, що √ a і √ b- теж раціональні числа.

Розглянемо твір

(√ a - √ b) · (√ a + √ b) \u003d a - b.

число √ a + √ b, що дорівнює відношенню чисел a - b і √ a -√ b, є раціональним, так як частка від ділення двох раціональних чисел - число раціональне. Сума двох раціональних чисел

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- число раціональне, їх різниця,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

теж раціональне число, що й треба було довести.

3. Доведіть, що існують позитивні ірраціональні числа a і b, для яких число a b є натуральним.

4. Чи існують раціональні числа a, b, c, d, що задовольняють рівності

(A + b √ 2) 2n + (c + d√ 2) 2n \u003d 5 + 4√ 2,

де n - натуральне число?

Якщо виконано рівність, дане в умові, а числа a, b, c, d - раціональні, то виконано і рівність:

(A - b √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n \u003d 5 - 4√ 2.

Але 5 - 4√ 2 (a - b√ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n\u003e 0. Отримане протиріччя доводить те, що вихідне рівність неможливо.

Відповідь: не існує.

5. Якщо відрізки з довжинами a, b, c утворюють трикутник, то для всіх n \u003d 2, 3, 4,. . . відрізки з довжинами n √ a, n √ b, n √ c так само утворюють трикутник. Доведіть це.

Якщо відрізки з довжинами a, b, c утворюють трикутник, то нерівність трикутника дає

Тому ми маємо

(N √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Решта випадків перевірки нерівності трикутника розглядаються аналогічно, звідки і треба зробити висновок.

6. Доведіть, що нескінченна десяткова дріб +0,1234567891011121314 ... (після коми поспіль виписані всі натуральні числа по порядку) являє собою ірраціональне число.

Як відомо, раціональні числа виражаються десятковими дробами, які мають період починаючи з деякого знака. Тому досить довести, що дана дріб не є періодичною ні з якого знака. Припустимо, що це не так, і деяка послідовність T, що складається з n цифр, є періодом дробу, починаючи з m-го знака після коми. Ясно, що серед цифр після m-го знака зустрічаються ненульові, тому в послідовності цифр T є ненульова цифра. Це означає, що починаючи з m-ой цифри після коми, серед будь-яких n цифр поспіль є ненульова цифра. Однак в десяткового запису даної дробу має бути присутня десяткова запис числа 100 ... 0 \u003d 10 k, де k\u003e m і k\u003e n. Зрозуміло, що цей запис зустрінеться правіше m-ой цифри і містить більш n нулів підряд. Тим самим, отримуємо протиріччя, яким завершує доказ.

7. Дана нескінченна десяткова дріб 0, a 1 a 2 .... Доведіть, що цифри в її десяткового запису можна переставити так, щоб отримана дріб висловлювала раціональне число.

Нагадаємо, що дріб висловлює раціональне число в тому і тільки тому випадку, коли вона періодична, починаючи з деякого знака. Цифри від 0 до 9 розділимо на два класи: до першого класу включимо ті цифри, які зустрічаються у вихідній дробу кінцеве число раз, до другого класу - ті, які зустрічаються у вихідній дробу нескінченну кількість разів. Почнемо виписувати періодичну дріб, яка може бути отримана з вихідної перестановкою цифр. Спочатку після нуля і коми напишемо в довільному порядку всі цифри з першого класу - кожну стільки раз, скільки вона зустрічається в запису вихідної дробу. Записані цифри першого класу будуть передувати періоду в дробової частини десяткового дробу. Далі, запишемо в деякому порядку по одному разу цифри з другого класу. Цю комбінацію оголосимо періодом і будемо повторювати її нескінченне число разів. Таким чином, ми виписали шукану періодичну дріб, яка має деяке раціональне число.

8. Довести, що в кожної нескінченного десяткового дробу існує послідовність десяткових знаків довільної довжини, яка в розкладанні дробу зустрічається нескінченно багато разів.

Нехай m - довільно задане натуральне число. Розіб'ємо цю нескінченну десяткову дріб на відрізки, по m чисел в кожному. Таких відрізків буде нескінченно багато. З іншого боку, різних систем, що складаються з m чисел, існує тільки 10 m, т. Е. Кінцеве число. Отже, хоча б одна з цих систем повинна повторюватися тут нескінченно багато разів.

Зауваження. Для ірраціональних чисел √ 2, π або е ми навіть не знаємо, яка цифра повторюється нескінченно багато разів в відповідних їм нескінченних десяткових дробах, хоча кожне з цих чисел, як легко можна довести, містить принаймні дві різні такі цифри.

9. Доведіть елементарним шляхом, що позитивний корінь рівняння

є ірраціональним.

Для х\u003e 0 ліва частина рівняння збільшується зі зростанням х, і легко помітити, що при х \u003d 1,5 вона менше 10, а при х \u003d 1,6 - більше 10. Тому єдиний позитивний корінь рівняння лежить всередині інтервалу (1,5 ; 1,6).

Запишемо корінь як нескоротний дріб p / q, де p і q - деякі взаємно прості натуральні числа. Тоді при х \u003d p / q рівняння прийме наступний вигляд:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

звідки випливає, що р - дільник 10, отже, р дорівнює одному з чисел 1, 2, 5, 10. Однак виписуючи дроби з числителями 1, 2, 5, 10, відразу ж помічаємо, що жодна з них не потрапляє всередину інтервалу (1,5; 1,6).

Отже, позитивний корінь вихідного рівняння не може бути представлений у вигляді звичайного дробу, а значить є ірраціональним числом.

10. а) Чи існують на площині три такі точки A, B і C, що для будь-якої точки X довжина хоча б одного з відрізків XA, XB і XC ірраціональна?

б) Координати вершин трикутника раціональні. Доведіть, що координати центру його описаного кола також раціональні.

в) Чи існує така сфера, на якій є рівно одна раціональна точка? (Раціональна точка - точка, у якій всі три декартові координати - раціональні числа.)

а) Так, існують. Нехай C - середина відрізка AB. Тоді XC 2 \u003d (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. Якщо число AB 2 ірраціонально, то числа XA, XB і XC не можуть одночасно бути раціональними.

б) Нехай (a 1; b 1), (a 2; b 2) і (a 3; b 3) - координати вершин трикутника. Координати центру його описаного кола задаються системою рівнянь:

(X - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(X - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Легко перевірити, що ці рівняння лінійні, а значить, рішення даної системи рівнянь раціонально.

в) Така сфера існує. Наприклад, сфера з рівнянням

(X - √ 2) 2 + y 2 + z 2 \u003d 2.

Точка O з координатами (0; 0; 0) - раціональна точка, що лежить на цій сфері. Решта точки сфери ірраціональні. Доведемо це.

Припустимо гидке: нехай (x; y; z) - раціональна точка сфери, відмінна від точки O. Зрозуміло, що х відмінний від 0, так як при x \u003d 0 є єдине рішення (0; 0; 0), яке нас зараз не цікавить. Розкриємо дужки і висловимо √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

чого не може бути при раціональних x, y, z і ірраціональному √ 2. Отже, О (0; 0; 0) - єдина раціональна точка на даній сфері.

Завдання без рішень

1. Доведіть, що число

\\ [\\ Sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

є ірраціональним.

2. За яких цілих m і n виконується рівність (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n?

3. Чи існує таке число а, щоб числа а - √ 3 і 1 / а + √ 3 були цілими?

4. Чи можуть числа 1, √ 2, 4 бути членами (не обов'язково сусідніми) арифметичної прогресії?

5. Доведіть, що при будь-якому натуральному n рівняння (х + у√ 3) 2n \u003d 1 + √ 3 не має рішень в раціональних числах (х; у).

Що таке ірраціональні числа? Чому вони так називаються? Де вони використовуються і що собою являють? Мало хто може без роздумів відповісти на ці питання. Але насправді відповіді на них досить прості, хоч потрібні не всім і в дуже рідкісних ситуаціях

Сутність і позначення

Ірраціональні числа представляють собою нескінченні неперіодичні Необхідність введення цієї концепції обумовлена \u200b\u200bтим, що для вирішення нових задач, що виникають уже було недостатньо раніше наявних понять дійсних або речових, цілих, натуральних і раціональних чисел. Наприклад, для того, щоб обчислити, квадратом якої величини є 2, необхідно використовувати неперіодичні нескінченні десяткові дроби. Крім того, багато найпростіші рівняння також не мають рішення без запровадження концепції ірраціонального числа.

Це безліч позначається як I. І, як вже ясно, ці значення не можуть бути представлені у вигляді простого дробу, в чисельнику якого буде ціле, а в знаменнику -

Вперше так чи інакше з цим явищем зіткнулися індійські математики в VII столітті коли було виявлено, що квадратні корені з деяких величин не можуть бути позначені явно. А перший доказ існування подібних чисел приписують піфагорійцям Гіппаса, який зробив це в процесі вивчення рівнобедреного прямокутного трикутника. Серйозний внесок у вивчення цієї множини привнесли ще деякі вчені, які жили до нашої ери. Введення концепції ірраціональних чисел спричинило за собою перегляд існуючої математичної системи, ось чому вони так важливі.

походження назви

Якщо ratio в перекладі з латині - це "дріб", "відношення", то приставка "ір"
надає цьому слову протилежного значення. Таким чином, назва безлічі цих чисел говорить про те, що вони не можуть бути співвіднесені з цілим або дробовим, мають окреме місце. Це і випливає з їх суті.

Місце в загальній класифікації

Ірраціональні числа поряд з раціональними відноситься до групи речових або дійсних, які в свою чергу відносяться до комплексних. Підмножин немає, проте розрізняють алгебраїчну і трансцендентну різновид, про які йтиметься нижче.

властивості

Оскільки ірраціональні числа - це частина безлічі дійсних, то до них застосовні всі їх властивості, які вивчаються в арифметиці (їх також називають основними алгебраїчними законами).

a + b \u003d b + a (комутативність);

(A + b) + c \u003d a + (b + c) (асоціативність);

a + (-a) \u003d 0 (існування протилежної числа);

ab \u003d ba (переместітельний закон);

(Ab) c \u003d a (bc) (дистрибутивность);

a (b + c) \u003d ab + ac (розподільний закон);

a x 1 / a \u003d 1 (існування зворотного числа);

Порівняння також проводиться відповідно до загальними закономірностями і принципами:

Якщо a\u003e b і b\u003e c, то a\u003e c (транзитивність співвідношення) і. т. д.

Зрозуміло, все ірраціональні числа можуть бути перетворені за допомогою основних арифметичних дій. Ніяких особливих правил при цьому немає.

Крім того, на ірраціональні числа поширюється дія аксіоми Архімеда. У ньому записано, що для будь-яких двох величин a і b справедливим є твердження, що, взявши a як доданка достатню кількість разів, можна перевершити b.

Використання

Незважаючи на те що в звичайному житті не так вже й часто доводиться стикатися з ними, ірраціональні числа не піддаються рахунку. Їх сила-силенна, але вони практично непомітні. Нас всюди оточують ірраціональні числа. Приклади, знайомі всім, - це число пі, рівне 3,1415926 ..., або e, по суті є підставою натурального логарифма, 2,718281828 ... В алгебрі, тригонометрії і геометрії використовувати їх доводиться постійно. До речі, знамените значення "золотого перетину", тобто ставлення як здебільшого до меншої, так і навпаки, також

ставиться до цього безлічі. Менш відоме "срібне" - теж.

На числовій прямій вони розташовані дуже щільно, так що між будь-якими двома величинами, віднесеними до безлічі раціональних, обов'язково зустрічається ірраціональна.

До сих пір існує маса невирішених проблем, пов'язаних з цим безліччю. Існують такі критерії, як міра ірраціональності і нормальність числа. Математики продовжують досліджувати найбільш значні приклади на предмет належності їх до тієї чи іншої групи. Наприклад, вважається, що ті - нормальне число, т. Е. Ймовірність появи в його записи різних цифр однакова. Що ж стосується пі, то щодо його поки ведуться дослідження. Мірою ірраціональності ж називають величину, яка показує, наскільки добре те або інше число може бути наближене раціональними числами.

Алгебраїчні і трансцендентні

Як уже було згадано, ірраціональні числа умовно поділяються на алгебраїчні і трансцендентні. Умовно, оскільки, строго кажучи, ця класифікація використовується для розподілу безлічі C.

Під цим позначенням ховаються комплексні числа, які включають в себе справжні чи речові.

Отже, алгебраїчним називають таке значення, яке є коренем многочлена, що не рівного тотожне нулю. Наприклад, квадратний корінь з 2 буде ставитися до цієї категорії, оскільки він є рішенням рівняння x 2 - 2 \u003d 0.

Всі ж інші речові числа, що не відповідають цій умові, називаються трансцендентними. До цього різновиду відносяться і найбільш відомі і вже згадані приклади - число пі і підстава натурального логарифма e.

Що цікаво, ні одне, ні друге не були спочатку виведені математиками в цій якості, їх ірраціональність і трансцендентність були доведені через багато років після їх відкриття. Для пі доказ було наведено в 1882 році і спрощено в 1894, що поклало край суперечкам про проблему квадратури кола, які тривали протягом 2,5 тисячі років. Воно досі до кінця не вивчено, так що сучасним математикам є над чим працювати. До речі, перше достатньо точне обчислення цього значення провів Архімед. До нього всі розрахунки були занадто приблизними.

Для е (числа Ейлера або Непера), доказ його трансцендентності було знайдено в 1873 році. Воно використовується в рішенні логарифмічних рівнянь.

Серед інших прикладів - значення синуса, косинуса і тангенса для будь-яких алгебраїчних ненульових значень.

Безліч всіх натуральних чисел позначають буквою N. Натуральні числа, це числа які ми використовуємо для рахунку предметів: 1,2,3,4, ... В деяких джерелах, до натуральних числах відносять також число 0.

Безліч всіх цілих чисел позначається буквою Z. Цілі числа це все натуральні числа, нуль і негативні числа:

1,-2,-3, -4, …

Тепер приєднаємо до безлічі всіх цілих чисел безліч всіх звичайних дробів: 2/3, 18/17, -4/5 і та далі. Тоді ми отримаємо безліч всіх раціональних чисел.

Безліч раціональних чисел

Безліч всіх раціональних чисел позначається буквою Q. безліч всіх раціональних чисел (Q) - це безліч, що складається з чисел виду m / n, -m / n і числа 0. Як n, m може виступати будь-яке натуральне число. Слід зазначити, що всі раціональні числа, можна представити у вигляді кінцевої або нескінченної переодичними десяткового дробу. Вірно і зворотне, що будь-яку кінцеву або нескінченну періодичну десяткову дріб можна записати у вигляді раціонального числа.

А як же бути наприклад з числом 2.0100100010 ...? Воно є нескінченно НЕПЕРЕОДІЧСЕКОЙ десятковим дробом. І воно не відноситься до раціональних числах.

У шкільному курсі алгебри вивчаються тільки речові (або дійсні) числа. Безліч всіх дійсних чисел позначається буквою R. Безліч R складається з усіх раціональних і всіх ірраціональних чисел.

Поняття ірраціональних чисел

Ірраціональні числа - це все нескінченні десяткові неперіодичні дроби. Ірраціональні числа не мають спеціального позначення.

Наприклад, всі числа отримані витягом квадратного кореня з натуральних чисел, які не є квадратами натуральних чисел - будуть ірраціональними. (√2, √3, √5, √6, і т.д.).

Але не варто думати, що ірраціональні числа виходять тільки витяганням квадратних коренів. Наприклад, число «пі» теж є ірраціональним, а воно отримано діленням. І як ви не намагайтеся, ви не зможете отримати його, витягуючи квадратний корінь з будь-якого натурального числа.

ірраціональне число - це дійсне число, Яке не є раціональним, тобто не може бути представлено у вигляді дробу, де - цілі числа,. Ірраціональне число може бути представлено у вигляді нескінченної неперіодичної десяткового дробу.

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою в напівжирному зображенні без заливки. Таким чином:, тобто безліч ірраціональних чисел є різницю множин речових і раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, непорівнянних із відрізком одиничної довжини, знали вже стародавні математики: їм була відома, наприклад, несумісність діагоналі і сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа.

властивості

• Будь-яке дійсне число може бути записано у вигляді нескінченного десяткового дробу, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються непериодическими нескінченними десятковими дробами.
• Ірраціональні числа визначають дедекіндових перетину в безлічі раціональних чисел, у яких в нижньому класі немає найбільшого, а в верхньому немає найменшого числа.
• Кожне речовий трансцендентне число є ірраціональним.
• Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним.
• Безліч ірраціональних чисел усюди щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами є ірраціональне число.
• Порядок на безлічі ірраціональних чисел ізоморфний порядку на безлічі речових трансцендентних чисел.
• Безліч ірраціональних чисел незліченну, є безліччю другої категорії.

приклади

Ірраціональними є:

Приклади докази ірраціональності

Корінь з 2

Припустимо гидке: раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу, де - ціле число, а - натуральне число. Зведено передбачуване рівність в квадрат:

Звідси випливає, що парне, значить, парне і. Нехай, де ціле. тоді

Отже, парно, значить, парне і. Ми отримали, що і парні, що суперечить нескоротного дробу. Значить, вихідне припущення було невірним, і - ірраціональне число.

Двійковий логарифм числа 3

Припустимо гидке: раціональний, тобто представляється у вигляді дробу, де і - цілі числа. Оскільки, і можуть бути обрані позитивними. тоді

Але парно, а непарній. Отримуємо протиріччя.

e

Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. До н.е.. - бл. 690 р. До н.е..) З'ясував, що квадратний корінь деяких натуральних чисел, таких як 2 і 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппаса з Метапонта (бл. 500 рр. До н. Е.), Піфагорійці, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число раз входить в будь-який відрізок. Однак Гиппас обгрунтував, що не існує єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до протиріччя. Він показав, що якщо гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить ціле число одиничних відрізків, то це число повинне бути одночасно і парних, і непарних. Доказ виглядало наступним чином:

• Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражено як a:b, де a і b обрані найменшими з можливих.
• По теоремі Піфагора: a² \u003d 2 b².
• Так як a² парне, a має бути парним (так як квадрат непарного числа був би непарних).
• оскільки a:b нескоротних, b має бути непарною.
• Так як a парне, позначимо a = 2y.
• тоді a² \u003d 4 y² \u003d 2 b².
• b² \u003d 2 y², отже b² парне, тоді і b парне.
• Однак було доведено, що b непарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це відношення несумірних величин алогос (Невимовним), проте згідно з легендами не віддати Гіппаса належної поваги. Існує легенда, що Гиппас зробив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елементи всесвіту, який заперечує доктрину, що все суті у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел і їх відносин». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорейської математикою серйозну проблему, зруйнувавши яке лежало в основі всієї теорії припущення, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

Які числа є ірраціональними? ірраціональне число - це не раціональне дійсне число, тобто воно не може бути представлено як дріб (як відношення двох цілих чисел), де m - ціле число, n- натуральне число . ірраціональне число можна уявити як нескінченну неперіодичних десяткову дріб.

ірраціональне число не може мати точного значення. Тільки в форматі 3,333333 .... наприклад, Квадратний корінь з двох - є числом ірраціональним.

Яке число ірраціональне? ірраціональним числом (На відміну від раціональних) називається нескінченна десяткова неперіодичних дріб.

Безліч ірраціональних чисел часто позначають заголовної латинською літерою в напівжирному зображенні без заливки. Т.о .:

Тобто безліч ірраціональних чисел це різниця множин речових і раціональних чисел.

Властивості ірраціональних чисел.

• Сума 2-х невід'ємних ірраціональних чисел може бути раціональним числом.
• Ірраціональні числа визначають дедекіндових перетину в безлічі раціональних чисел, в нижньому класі у яких немає найбільшого числа, а в верхньому немає меншого.
• Будь-яке дійсне трансцендентне число - це ірраціональне число.
• Все ірраціональні числа є або алгебраїчними, або трансцендентними.
• Безліч ірраціональних чисел всюди щільно на числовій прямій: між кожною парою чисел є ірраціональне число.
• Порядок на безлічі ірраціональних чисел ізоморфний порядку на безлічі речових трансцендентних чисел.
• Безліч ірраціональних чисел нескінченно, є безліччю 2-ї категорії.
• Результатом кожної арифметичної операції з раціональними числами (крім, ділення на 0) є раціональні числа. Результатом арифметичних операцій над ірраціональними числами може стати як раціональне, так і ірраціональне число.
• Сума раціонального і ірраціонального чисел завжди буде ірраціональним числом.
• Сума ірраціональних чисел може бути раціональним числом. наприклад, нехай x ірраціональне, тоді y \u003d x * (- 1) теж ірраціональне; x + y \u003d 0, а число 0 раціональне (якщо, наприклад, скласти корінь будь-якого ступеня з 7 і мінус корінь такої ж міри з семи, то отримаємо раціональне число 0).

Ірраціональні числа, приклади.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ