Диференціювання показової та логарифмічної функції. Первісна показникова функція в завданнях ЕНТ

Готові роботи

ДИПЛОМНІ РОБОТИ

Багато чого вже позаду і тепер ти – випускник, якщо, звісно, ​​вчасно напишеш дипломну роботу. Але життя – така штука, що тільки зараз тобі стає зрозуміло, що, переставши бути студентом, ти втратиш усі студентські радощі, багато з яких, ти так і не спробував, все відкладаючи та відкладаючи на потім. І тепер, замість того, щоб надолужувати втрачене, ти керуєш над дипломною роботою? Є чудовий вихід: завантажити потрібну тобі дипломну роботу з нашого сайту - і в тебе миттю з'явиться багато вільного часу!
Дипломні роботи успішно захищені у провідних Університетах РК.
Вартість роботи від 20 000 тенге

КУРСОВІ РОБОТИ

Курсовий проект – це перша серйозна практична робота. Саме з написання курсової розпочинається підготовка до розробки дипломних проектів. Якщо студент навчитися правильно викладати зміст теми в курсовому проекті та грамотно його оформляти, то в подальшому у нього не виникне проблем ні з написанням звітів, ні зі складанням дипломних робіт, ні з виконанням інших практичних завдань. Щоб надати допомогу студентам у написанні цього типу студентської роботи і роз'яснити питання, що виникають по ходу її складання, власне кажучи, і був створений даний інформаційний розділ.
Вартість роботи від 2500 тенге

МАГІСТЕРСЬКІ ДИСЕРТАЦІЇ

Нині у вищих навчальних закладах Казахстану та країн СНД дуже поширений ступінь вищої професійної освіти, який слідує після бакалаврату - магістратура. У магістратурі навчаються з отримання диплома магістра, визнаного у більшості країн світу більше, ніж диплом бакалавра, і навіть визнається зарубіжними роботодавцями. Підсумком навчання у магістратурі є захист магістерської дисертації.
Ми надамо Вам актуальний аналітичний та текстовий матеріал, у вартість включено 2 наукові статті та автореферат.
Вартість роботи від 35 000 тенге

ЗВІТИ З ПРАКТИКИ

Після проходження будь-якого типу студентської практики (навчальної, виробничої, переддипломної) потрібно скласти звіт. Цей документ буде підтвердженням практичної роботи студента та основою формування оцінки за практику. Зазвичай, щоб скласти звіт на практиці, потрібно зібрати та проаналізувати інформацію про підприємство, розглянути структуру та розпорядок роботи організації, в якій проходить практика, скласти календарний план та описати свою практичну діяльність.
Ми допоможемо написати звіт про проходження практики з урахуванням специфіки діяльності конкретного підприємства.

Диференціювання показової та логарифмічної функцій

1. Число е. Функція у = е х, її властивості, графік, диференціювання

Розглянемо показову функціюу = а х, де а > 1. Для різних підстав а отримуємо різні графіки (рис. 232-234), але можна помітити, що всі вони проходять через точку (0; 1), всі вони мають горизонтальну асимптоту у = 0 при , всі вони звернені опуклістю вниз і, нарешті, всі вони мають дотичні у всіх своїх точках. Проведемо для прикладу дотику до графікуфункції у = 2x у точці х = 0 (рис. 232). Якщо зробити точні побудови та вимірювання, то можна переконатися в тому, що ця дотична утворює з віссю х кут 35 ° (приблизно).

Тепер проведемо дотичну графіку функції у=3 x теж у точці х = 0 (рис. 233). Тут кут між дотичною та віссю х буде більшим – 48°. А для показової функції у = 10 x в аналогічній
ситуації отримуємо кут 66,5 ° (рис. 234).

Отже, якщо підстава показової функції у=ах поступово збільшується від 2 до 10, то кут між дотичною до графіку функції в точці х=0 і віссю абсцис поступово збільшується від 35° до 66,5°. Логічно вважати, що існує підстава, для якого відповідний кут дорівнює 45°. Ця основа повинна бути укладена між числами 2 і 3, оскільки для функції у- 2х цікавий нас кут дорівнює 35 °, що менше, ніж 45 °, а для функції у = 3 x він дорівнює 48 °, що вже трохи більше, ніж 45 °. Підстава, що цікавить нас, прийнято позначати буквою е. Встановлено, що число е - ірраціональне, тобто. являє собою нескінченну десяткову неперіодичну дріб:

e = 2,7182818284590...;

практично зазвичай вважають, що e=2,7.

Зауваження(Не дуже серйозне). Зрозуміло, що Л.М. Толстой ніякого відношення до e не має, проте в записі числа е, зверніть увагу, двічі поспіль повторюється число 1828 - рік народження Л.М. Толстого.

Графік функції у=е х зображено на рис. 235. Це - експонента, що відрізняється від інших експонентів (графіків показових функцій з іншими підставами) тим, що кут між дотичною до графіка в точці х = 0 і віссю абсцис дорівнює 45 °.

Властивості функції у = е х:

1)
2) не є ні парною, ні непарною;
3) зростає;
4) не обмежена зверху, обмежена знизу;
5) не має ні найбільшого, ні найменшого значень;
6) безперервна;
7)
8) випукла вниз;
9) диференційована.

Поверніться до § 45, погляньте на наявний там перелік властивостей показової функції у = а х при а > 1. Ви виявите ті ж властивості 1-8 (що цілком природно), а дев'ята властивість, пов'язана з
диференційованістю функції, ми тоді не згадали. Обговоримо його тепер.

Виведемо формулу для відшукання похідної у-ех. При цьому ми не користуватимемося звичайним алгоритмом, який виробили в § 32 і який не раз успішно застосовували. У цьому алгоритмі на заключному етапі треба обчислити межу, а знання з теорії меж у нас з вами поки що дуже обмежені. Тому спиратимемося на геометричні передумови, вважаючи, зокрема, сам факт існування дотичної до графіка показової функції не підлягає сумніву (тому ми так впевнено записали в наведеному вище переліку властивостей дев'яте властивість - диференційність функції у = е х).

1. Зазначимо, що для функції y = f(х), де f(х) =ех, значення похідної в точці х =0 нам відомо: f / = tg45°=1.

2. Введемо на розгляд функцію у=g(x), де g(х) -f(х-а), тобто. g(х)-ех" а. На рис. 236 зображено графік функції у = g(х): він отриманий з графіка функції у - fх) зсувом по осі х на | а | одиниць масштабу. Стосовна графіку функції у = g (х) у точці х-а паралельна дотичній до графіка функції у = f(х) у точці х -0 (див. рис. 236), значить, вона утворює з віссю х кут 45 °. Використовуючи геометричний сенс похідної, можемо записати що g(а) =tg45°;=1.

3. Повернемося до функції у = f (x). Маємо:

4. Ми встановили, що з будь-якого значення а справедливо співвідношення . Замість літери а можна, звичайно, використовувати і літеру х; тоді отримаємо

З цієї формули виходить відповідна формула інтегрування:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки

Алгебра та початку математичного аналізу

Диференціювання показової та логарифмічної функції

Упорядник:

вчитель математики МОУ ЗОШ №203 ХЕЦ

м. Новосибірськ

Відітова Т. В.

Число тобто.Функція y = e x, її властивості, графік, диференціювання

1. Побудуємо для різних підстав а графіки: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2 варіант) (1 варіант) " width = "640"

Розглянемо показову функцію y = а x, де 1.

Побудуємо для різних підстав а графіки:

1. y = 2 x

3. y = 10 x

2. y = 3 x

(2 варіант)

(1 варіант)

1) Всі графіки проходять через точку (0; 1);

2) Усі графіки мають горизонтальну асимптоту у = 0

при х  ∞;

3) Усі вони звернені опуклістю вниз;

4) Усі вони мають дотичні у всіх своїх точках.

Проведемо дотичну до графіку функції y = 2 x у точці х= 0 та виміряємо кут, який утворює дотична з віссю х

За допомогою точних побудов щодо графіків можна помітити, що якщо підстава апоказової функції y = а xпоступово збільшується основа від 2 до 10, то кут між дотичною до графіку функції у точці х= 0 і віссю абсцис поступово збільшується від 35' до 66,5'.

Отже існує підстава а, Для якого відповідний кут дорівнює 45 '. І це значення аукладено між 2 та 3, т.к. при а= 2 кут дорівнює 35', при а= 3 він дорівнює 48 '.

У курсі математичного аналізу доведено, що ця основа існує, її прийнято позначати буквою тобто.

Встановлено, що е – ірраціональне число, тобто є нескінченним неперіодичним десятковим дробом:

е = 2, 7182818284590 ... ;

Насправді зазвичай вважають, що е ≈ 2,7.

Графік та властивості функції y = е x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) зростає;

4) не обмежена зверху, обмежена знизу

5) не має ні найбільшого, ні найменшого

значення;

6) безперервна;

7) E (f) = (0; + ∞);

8) випукла вниз;

9) диференційована.

Функцію y = е x називають експонентою .

У курсі математичного аналізу доведено, що функція y = е x має похідну в будь-якій точці х :

(e x ) = e x

(е 5х )" = 5е 5х

(е х-3 )" = е х-3

(е -4х+1 )" = -4е -4х-1

Приклад 1 . Провести дотичну до графіка функції у точці x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Відповідь:

Приклад 2 .

x = 3.

Приклад 3 .

Дослідити на екстремум функцію

х=0 та х=-2

х= -2 – точка максимуму

х= 0 – точка мінімуму

Якщо основою логарифму служить число е, то кажуть, що задано натуральний логарифм . Для натуральних логарифмів введено спеціальне позначення ln (l – логарифм, n – натуральний).

Графік та властивості функції y = ln x

Властивості функції y = ln x:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) не є ні парною, ні непарною;

3) зростає на (0; + ∞);

4) не обмежена;

5) не має ні найбільшого, ні найменшого значень;

6) безперервна;

7) Е(f) = (- ∞; + ∞);

8) опукла верх;

9) диференційована.

0 справедлива формула диференціювання " width="640"

У курсі математичного аналізу доведено, що для будь-якого значення х0справедлива формула диференціювання

Приклад 4:

Обчислити значення похідної функції у точці x = -1.

Наприклад:

Інтернет ресурси:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ua.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

План-конспект уроку

Предмет: Алгебра

Дата: 2.04.13.

Клас: 11 клас

Вчитель: Тишибаєва Н.Ш.

Тема: Диференціювання логарифмічної та показової функції. Первинна показова функція.

Ціль:

1) сформулювати формули похідних логарифмічної та показової функцій; навчити знаходити первинну показову функцію

2) розвивати пам'ять, спостережливість, логічне мислення, математичну мову учнів, уміння аналізувати та порівнювати, розвивати пізнавальний інтерес до предмета;

3) виховувати комунікативну культуру учнів, навички колективної діяльності, співпраці, взаємодопомоги.

Тип уроку: пояснення нового матеріалу та закріплення отриманих знань, умінь та навичок.

Обладнання : картки, інтерактивна дошка.

Технологія: диференційований підхід

Хід уроку :

1.Орг. момент.(2хв).

2. Розгадування кросворду (8хв)

1.Французький математик XVII століття П'єр Ферма визначив цю лінію так «Пряма, що найбільш тісно прилягає до кривої в малій околиці точки».

Стосовна

2.Функція, яка задається формулою у =а х.

Показова

3.Функція, яка задається формулою у = log a x.

Логарифмічна

4.Похідна від переміщення

Швидкість

5.Як називається функція F(x) для функції f(x), якщо виконується умова F"(x) = f(x) для будь-якої точки з інтервалу I.

Первісна

6.Як називається залежність між X і У, при якій кожному елементу Х ставиться у відповідність єдиний елемент У.

Функція

7. .Якщо функцію f(x) можна як f(x)=g(t(x)), то цю функцію називають…

Складна

Слово по вертикалі прізвище французького математика та механіка

Лагранж

3.Пояснення нового матеріалу: (10 хв)

Показова функція в будь-якій точці області визначення має похідну і ця похідна знаходиться за формулою:

(.ln a у формулі замінимо числоа на е, отримаємо

(e х )" = e х_ формула похідної експоненти
Логарифмічна функція в будь-якій точці області визначення має похідну, і ця похідна знаходиться за формулою:

(log a x)" = у формулі замінимо числоа на е, отримаємо

Показова функція у =(а у будь-якій точці області визначення має первинну і ця первинна знаходиться за формулою F(х) =+ З

4. Закріплення нового матеріалу (20хв)

Математичний диктант.

1. Записати формулу похідної показової функції (ах)"

(а х)" = а х · ln a

2. Записати формулу похідної експоненти. (eх)"

(e х)" = e х

3. Записати формулу похідної натурального логарифму

4. Записати формулу похідної логарифмічної функції (log a x)"=?

(log a x)" =

5. Записати загальний вигляд первісних для функції f(x) = ах.

F(х) = + З

6. Записати загальний вигляд первісних для функції:, x ≠0. F(x)=ln|x|+С

Робота біля дошки

№255,№256,№258,№259(2,4)

6.Д/з №257, №261 (2хв)

7. Підсумок уроку: (3хв)

- Якою формулою задається логарифмічна функція?

Якою формулою задається показова функція?

За якою формулою є похідна логарифмічна функція?

За якою формулою є похідна показової функції

Тема уроку: «Диференціювання показової та логарифмічної функції. Первинна показова функція» в завданнях ЕНТ

Ціль : розвивати в учнів навички застосування теоретичних знань на тему «Диференціювання показової та логарифмічної функції. Первинна показова функція» для вирішення задач ЕНТ.

Завдання

Освітні: систематизувати теоретичні знання учнів, закріпити навички вирішення завдань на цю тему.

Розвиваючі:розвивати пам'ять, спостережливість, логічне мислення, математичне мовлення учнів, уваги, навичок самооцінки та самоконтролю.

Виховні:сприяти:

формуванню в учнів відповідального ставлення до вчення;

розвитку сталого інтересу до математики;

створення позитивної внутрішньої мотивації до вивчення математики.

Методи навчання: словесний, наочний, практичний.

Форми роботи:індивідуальна, фронтальна, у парах.

Хід уроку

Епіграф: «Розум полягає не тільки у знанні, а й у вмінні застосовувати знання на практиці» Арістотель (слайд 2)

I. Організаційний момент.

ІІ. Розгадування кросворду. (слайд 3-21)

Французький математик XVII століття П'єр Ферма визначив цю лінію так «Пряма, що найбільш тісно прилягає до кривої в малій околиці точки».

Стосовна

Функція, що задається формулою у = log a x.

Логарифмічна

Функція, що задається формулою у = ах.

Показова

У математиці це поняття використовується при знаходженні швидкості руху матеріальної точки та кутового коефіцієнта щодо графіка функції в заданій точці.

Похідна

Як називається функція F(x) для функції f(x), якщо виконується умова F"(x) = f(x) для будь-якої точки інтервалу I.

Первісна

Як називається залежність між X і У, при якій кожному елементу Х ставиться у відповідність єдиний елемент У.

Похідна від переміщення

Швидкість

Функція, що визначається формулою у = е x .

Експонента

Якщо функцію f(x) можна як f(x)=g(t(x)), то цю функцію називають…

ІІІ. Математичний диктант. (Слайд 22)

1. Записати формулу похідної показової функції. ( ах)" = ах · ln a

2. Записати формулу похідної експоненти. (e х)" = e х

3. Записати формулу похідної натурального логарифму. (ln x)"=

4. Записати формулу похідної логарифмічної функції. (log a x)"=

5. Записати загальний вигляд первісних для функції f(x) = ах. F(x)=

6. Записати загальний вигляд первинних для функції f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Перевірити роботу (відповіді на слайді 23).

IV. Розв'язання задач ЕНТ (тренажер)

А) №1,2,3,6,10,36 на дошці та у зошиті (слайд 24)

Б) Робота у парах №19,28 (тренажер) (слайд 25-26)

V. 1. Знайти помилки: (слайд 27)

1) f(x) = 5 e - 3х, f "(x) = - 3 e - 3х

2) f (x) = 17 2х, f "(x) = 17 2х ln17

3) f(x) = log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x) = ln (9 - 4х), f "(x) =
.

VI. Презентація учнів.

Епіграф: «Знання – така дорогоцінна річ, що його не соромно видобувати з будь-якого джерела» Фома Аквінський (слайд 28)

VII. Будинок.завдання №19,20 стор.116

VIII. Тест (резервне завдання) (слайд 29-32)

IX. Підсумок уроку.

«Якщо ви хочете брати участь у великому житті, то наповнюйте свою голову математикою, поки є можливість. Вона надасть вам потім величезну допомогу у всьому вашому житті» М. Калінін (слайд 33)