У цій статті зібрана і структурована інформація, необхідна для вирішення практично будь-якого прикладу по темі числові ряди, від знаходження суми ряду до дослідження його на збіжність.

Огляд статті.

Почнемо з визначень знакоположітельного, знакозмінного ряду і поняття збіжності. Далі розглянемо стандартні ряди, такі як гармонійний ряд, узагальнено гармонійний ряд, згадаємо формулу для знаходження суми нескінченно спадної геометричної прогресії. Після цього перейдемо до властивостей збіжних рядів, зупинимося на необхідну умову збіжності ряду і озвучимо достатні ознаки збіжності ряду. Теорію будемо розбавляти рішенням характерних прикладів з докладними поясненнями.

Навігація по сторінці.

Основні визначення і поняття.

Нехай ми маємо числову послідовність, де .

Наведемо приклад числової послідовності: .

числовий ряд - це сума членів числової послідовності виду .

Як приклад числового ряду можна привести суму нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником q \u003d -0.5: .

називають загальним членом числового ряду або k-им членом ряду.

Для попереднього прикладу загальний член числового ряду має вигляд.

Часткова сума числового ряду - це сума виду, де n - деяке натуральне число. називають також n-ой часткової сумою числового ряду.

Наприклад, четверта часткова сума ряду є .

часткові суми утворюють нескінченну послідовність часткових сум числового ряду.

Для нашого ряду n -а часткова сума знаходиться за формулою суми перших n членів геометричної прогресії , Тобто, будемо мати наступну послідовність часткових сум: .

Числовий ряд називається сходящимся, Якщо існує кінцева межа послідовності часткових сум. Якщо межа послідовності часткових сум числового ряду не існує або нескінченний, то ряд називається розходяться.

Сумою сходиться числового ряду називається межа послідовності його часткових сум, тобто, .

У нашому прикладі, отже, ряд сходиться, причому його сума дорівнює шістнадцяти третім: .

Як приклад розходиться ряду можна привести суму геометричній прогресії зі знаменником більшому, ніж одиниця: . n-ая часткова сума визначається виразом , А межа часткових сум нескінченний: .

Ще одним прикладом розходиться числового ряду є сума виду . В цьому випадку n-ая часткова сума може бути обчислена як. Межа часткових сум нескінченний .

сума виду називається гармонійним числовим рядом.

сума виду , Де s - деяке дійсне число, називається узагальнено гармонійним числовим рядом.

Наведених визначень досить для обгрунтування наступних дуже часто використовуваних тверджень, рекомендуємо їх запам'ятати.

Гармонійний ряд Є розбіжними.

Доведемо расходимость гармонійного ряду.

Припустимо, що ряд сходиться. Тоді існує кінцевий межа його часткових сум. В цьому випадку можна записати і, що приводить нас до рівності .

З іншого боку,


Не викликає сумніви наступні нерівності. Таким чином, . Отримане нерівність вказує нам на те, що рівність не може бути досягнуто, що суперечить нашим припущенням про збіжність гармонійного ряду.

Висновок: гармонійний ряд розходиться.

СУМА геометричній прогресії ВИДУ зі знаменником q є збіжним числовим рядом, ЯКЩО, і розходяться ПОРУЧ ПРИ.

Доведемо це.

Ми знаємо, що сума перших n членів геометричної прогресії знаходиться за формулою .

при справедливо


що вказує на збіжність числового ряду.

При q \u003d 1 маємо числовий ряд . Його часткові суми знаходяться як, а межа часткових сум нескінченний , Що вказує на розбіжність ряду в цьому випадку.

Якщо q \u003d -1, то числовий ряд набуде вигляду . Часткові суми приймають значення для непарних n, і для парних n. З цього можна зробити висновок, що межа часткових сум не існує і ряд розходиться.

при справедливо


що вказує на розбіжність числового ряду.

Узагальнений гармонійний ряд СХОДИТЬСЯ ПРИ s\u003e 1 І РОЗХОДИТЬСЯ ПРИ.

Доведення.

Для s \u003d 1 отримаємо гармонійний ряд, а перед цим ми встановили його розбіжність.

при s справедливо нерівність для всіх натуральних k. В силу гармонійний ряд можна стверджувати, що послідовність його часткових сум необмежена (так як не існує кінцевого межі). Тоді послідовність часткових сум числового ряду тим більше необмежена (кожен член цього ряду більше відповідного члена гармонійного ряду), отже, узагальнено гармонійний ряд розходиться при s.

Залишилося довести збіжність ряду при s\u003e 1.

Запишемо різницю:



Очевидно, що, тоді


Розпишемо одержане нерівність для n \u003d 2, 4, 8, 16, ...



Використовуючи ці результати, з вихідним числовим рядом можна провести наступні дії:



вираз являє собою суму геометричній прогресії, знаменник якої дорівнює. Так як ми розглядаємо випадок при s\u003e 1, то. Тому
. Таким чином, послідовність часткових сум узагальнено гармонійного ряду при s\u003e 1 є зростаючою і в той же час обмеженою зверху значенням, отже, вона має межу, що вказує на збіжність ряду. Доказ завершено.

Числовий ряд називається знакоположітельним, Якщо всі його члени позитивні, тобто, .

Числовий ряд називається знакозмінні, Якщо знаки його сусідніх членів різні. Знакозмінні числовий ряд можна записати у вигляді або , де .

Числовий ряд називається знакозмінних, Якщо він містить безліч як позитивних, так і негативних членів.

Знакозмінні числовий ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.

ряди

є знакоположітельним, Знакозмінні і знакозмінних відповідно.

Для знакозмінного ряду існує поняття абсолютної і умовної збіжності.

абсолютно збіжним, Якщо сходиться ряд з абсолютних величин його членів, тобто, сходиться знакоположітельний числовий ряд.

Наприклад, числові ряди і абсолютно сходяться, так як сходиться ряд , Який є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії.

Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, Якщо ряд розходиться, а ряд сходиться.

Як приклад умовно сходиться числового ряду можна привести ряд . числовий ряд , Складений з абсолютних величин членів вихідного ряду, що йде врозріз, так як є гармонійним. У той же час, вихідний ряд є збіжним, що легко встановлюється за допомогою. Таким чином, числовий Знакозмінні ряд умовно сходиться.

Властивості збіжних числових рядів.

Приклад.

Доведіть збіжність числового ряду.

Рішення.

Запишемо ряд в іншому вигляді . Числовий ряд сходиться, так як узагальнено гармонійний ряд є збіжним при s\u003e 1, а в силу другого властивості сходяться числових рядів буде сходиться і ряд з числовим коефіцієнтом.

Приклад.

Сходиться числовий ряд.

Рішення.

Перетворимо вихідний ряд: . Таким чином, ми отримали суму двох числових рядів і, причому кожен з них сходиться (дивіться попередній приклад). Отже, в силу третього властивості сходяться числових рядів, сходиться і вихідний ряд.

Приклад.

Доведіть збіжність числового ряду і обчисліть його суму.

Рішення.

Даний числовий ряд можна представити у вигляді різниці двох рядів:

Кожен з цих рядів є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, отже, є збіжним. Третя властивість рядів, що сходяться дозволяє стверджувати, що вихідний числовий ряд сходиться. Обчислимо його суму.

Перший член ряду є одиниця, а знаменник відповідної геометричної прогресії дорівнює 0.5, отже, .

Першим членом ряду є 3, а знаменник відповідної нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 1/3, тому .

Скористаємося отриманими результатами для знаходження суми початкового числового ряду:

Необхідна умова збіжності ряду.

Якщо числовий ряд сходиться, то межа його k-ого члена дорівнює нулю:.

При дослідженні будь-якого числового ряду на збіжність в першу чергу слід перевіряти виконання необхідної умови збіжності. Невиконання цієї умови вказує на розбіжність числового ряду, тобто, якщо, то ряд розходиться.

З іншого боку потрібно розуміти, що ця умова не є достатнім. Тобто, виконання рівності не говорить про збіжність числового ряду. Наприклад, для гармонійного ряду необхідна умова збіжності виконується, а ряд розходиться.

Приклад.

Дослідити числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Перевіримо необхідна умова збіжності числового ряду:

межа n-ого члена числового ряду не дорівнює нулю, отже, ряд розходиться.

Достатні ознаки збіжності знакоположітельного ряду.

При використанні достатніх ознак для дослідження числових рядів на збіжність постійно доводиться стикатися з, так що рекомендуємо звертатися до цього розділу при ускладненнях.

Необхідна і достатня умова збіжності знакоположітельного числового ряду.

Для збіжності знакоположітельного числового ряду необхідно і достатньо, щоб послідовність його часткових сум була обмежена.

Почнемо з ознак порівняння рядів. Їх суть полягає в порівнянні досліджуваного числового ряду з рядом, збіжність чи розбіжність якого відома.

Перший, другий і третій ознаки порівняння.

Перша ознака порівняння рядів.

Нехай і - два знакоположітельних числових ряду і виконується нерівність для всіх k \u003d 1, 2, 3, ... Тоді з збіжність ряду слід збіжність, а з розбіжність ряду слід расходимость.

Перша ознака порівняння використовується дуже часто і є дуже потужний інструмент дослідження числових рядів на збіжність. Основну проблему представляє підбір відповідного ряду для порівняння. Ряд для порівняння зазвичай (але не завжди) вибирається так, що показник ступеня його k-ого члена дорівнює різниці показників ступеня чисельника і знаменника k-ого члена досліджуваного числового ряду. Наприклад, нехай, різниця показників ступеня чисельника і знаменника дорівнює 2 - 3 \u003d -1, тому, для порівняння вибираємо ряд з k-им членом, тобто, гармонійний ряд. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад.

Встановити збіжність або розбіжність ряду.

Рішення.

Так як межа загального члена ряду дорівнює нулю, то необхідна умова збіжності ряду виконано.

Нескладно помітити, що справедливо нерівність для всіх натуральних k. Ми знаємо, що гармонійний ряд розходиться, отже, за першою ознакою порівняння вихідний ряд також є розбіжним.

Приклад.

Досліджуйте числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності числового ряду виконується, так як . Очевидно виконання нерівності для будь-якого натурального значення k. Ряд сходиться, так як узагальнено гармонійний ряд є збіжним для s\u003e 1. Таким чином, перша ознака порівняння рядів дозволяє констатувати збіжність вихідного числового ряду.

Приклад.

Визначте збіжність або розбіжність числового ряду.

Рішення.

, Отже, необхідна умова збіжності числового ряду виконано. Який ряд вибрати для порівняння? Напрошується числовий ряд, а щоб визначитися з s, уважно досліджуємо числову послідовність. Члени числової послідовності зростають до нескінченності. Таким чином, починаючи з деякого номера N (а саме, з N \u003d 1619), члени цієї послідовності будуть більше 2. Починаючи з цього номера N, справедливо нерівність. Числовий ряд сходиться в силу першого властивості збіжних рядів, так як виходить з сходиться ряду відкиданням перших N - 1 члена. Таким чином, за першою ознакою порівняння сходящимся є ряд, а в силу першого властивості сходяться числових рядів сходиться буде і ряд.

Друга ознака порівняння.

Нехай і - знакоположітельние числові ряди. Якщо, то з збіжність ряду слід збіжність. Якщо, то з розбіжність числового ряду слід расходимость.

Слідство.

Якщо і, то з збіжності одного ряду слід збіжність іншого, а з розбіжність слід расходимость.

Досліджуємо ряд на збіжність за допомогою другої ознаки порівняння. Як ряду візьмемо сходиться ряд. Знайдемо межа відносини k-их членів числових рядів:

Таким чином, за другою ознакою порівняння з збіжності числового ряду слід збіжність вихідного ряду.

Приклад.

Дослідити на збіжність числовий ряд.

Рішення.

Перевіримо необхідна умова збіжності ряду . Умова виконано. Для застосування другої ознаки порівняння візьмемо гармонійний ряд. Знайдемо межа відносини k-их членів:

Отже, з гармонійний ряд слід расходимость вихідного ряду по другій ознаці порівняння.

Для інформації наведемо третя ознака порівняння рядів.

Третя ознака порівняння.

Нехай і - знакоположітельние числові ряди. Якщо з деякого номера N виконується умова, то з збіжність ряду слід збіжність, а з розбіжність ряду слід расходимость.

Ознака Даламбера.

Зауваження.

Ознака Даламбера справедливий, якщо межа нескінченний, тобто, якщо , То ряд сходиться, якщо , То ряд розходиться.

Якщо, то ознака Даламбера не дає інформацію про збіжність або розбіжність ряду і потрібне додаткове дослідження.

Приклад.

Досліджуйте числовий ряд на збіжність за ознакою Даламбера.

Рішення.

Перевіримо виконання необхідної умови збіжності числового ряду, межа обчислимо по:

Умова виконано.

Скористаємося ознакою Даламбера:

Таким чином, ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші.

Нехай - знакоположітельний числовий ряд. Якщо, то числовий ряд сходиться, якщо, то ряд розходиться.

Зауваження.

Радикальна ознака Коші справедливий, якщо межа нескінченний, тобто, якщо , То ряд сходиться, якщо , То ряд розходиться.

Якщо, то радикальний ознака Коші не дає інформацію про збіжність або розбіжність ряду і потрібне додаткове дослідження.

Зазвичай достатньо легко розгледіти випадки, коли найкраще використовувати радикальний ознака Коші. Характерним є випадок, коли загальний член числового ряду являє собою показово статечне вираз. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад.

Дослідити знакоположітельний числовий ряд на збіжність за допомогою радикального ознаки Коші.

Рішення.

. За радикальному ознакою Коші отримуємо .

Отже, ряд сходиться.

Приклад.

Сходиться числовий ряд .

Рішення.

Скористаємося радикальним ознакою Коші , Отже, числовий ряд сходиться.

Інтегральний ознака Коші.

Нехай - знакоположітельний числовий ряд. Складемо функцію безперервного аргументу y \u003d f (x), аналогічну функції. Нехай функція y \u003d f (x) позитивна, безперервна і спадна на інтервалі, де). Тоді в разі збіжності невласного інтеграла сходиться досліджуваний числовий ряд. Якщо ж невласний інтеграл розходиться, то вихідний ряд теж розходиться.

При перевірці спадання функції y \u003d f (x) на інтервалі Вам може знадобиться теорія з розділу.

Приклад.

Досліджуйте числовий ряд з додатними членами на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності ряду виконано, так як . Розглянемо функцію. Вона позитивна, безперервна і спадна на інтервалі. Безперервність і позитивність цієї функції не викликає сумніву, а на убуванні зупинимося трохи докладніше. Знайдемо похідну:
. Вона негативна на проміжку, отже, функція спадає на цьому інтервалі.

Ознака збіжності Даламбера Радикальний ознака збіжності Коші Інтегральний ознака збіжності Коші

Одним з поширених ознак порівняння, який зустрічається в практичних прикладах, є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але теж вельми популярні. Як завжди, спробую викласти матеріал просто, доступно і зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання до певної міри трафаретні.

Жан Лерон Даламбер - це знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі, Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався балістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно і про числові ряди не забув, не дарма потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.

Перед тим як сформулювати сам ознака, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознака збіжності Даламбера?

Спочатку почнемо з повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найбільш ходовий граничний ознака порівняння. Граничний ознака порівняння застосовується тоді, коли в загальному члені ряду:
1) В знаменнику знаходиться многочлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику і в знаменнику.
3) Один або обидва многочлена можуть бути під коренем.

Основні ж передумови для застосування ознаки Даламбера наступні:

1) До загального член ряду ( «начинку» ряду) входить яке-небудь число в ступені, наприклад,, і так далі. Причому, абсолютно не важливо, де ця штуковина розташовується, в чисельнику або в знаменнику - важливо, що вона там присутня.

2) До загального член ряду входить факторіал. З факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці Числова послідовність і її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:





…


…

! При використанні ознаки Даламбера нам якраз доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті, факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад,. Цей випадок зустрічається рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки - див. Приклад 6.

Разом зі ступенями або (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються многочлени, це не міняє справи - потрібно використовувати ознака Даламбера.

Крім того, в загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь і факторіал; може зустрітися два факторіала, два ступені, важливо щоб там перебувало хоч що-тоіз розглянутих пунктів - і це як раз передумова для використання ознаки Даламбера.

ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа відносини наступного члена до попереднього:, то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться при.
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться при.
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака. Найчастіше одиниця виходить в тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничний ознака порівняння.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. приклади рішень. Без розуміння межі і вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

А зараз довгоочікувані приклади.

приклад 1

Ми бачимо, що в загальному члені ряду у нас є, а це вірна передумова того, що потрібно використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення і зразок оформлення, коментарі нижче.

Використовуємо ознака Даламбера:

сходиться.

(1) Складаємо відношення наступного члена ряду до попереднього:. З умови ми бачимо, що загальний член ряду. Для того, щоб отримати наступний член ряду необхідно замість підставити: .
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу. При певному досвіді вирішення цей крок можна пропускати.
(3) В чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку з ступеня.
(4) Скорочуємо на. Константу виносимо за знак межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.
(6) Почленно ділимо числители на знаменники, і вказуємо складові, які прагнуть до нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що, за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі в загальному члені ряду у нас зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там многочлен 3-ої, 4-ої або більш високого ступеня? Справа в тому, що якщо даний многочлен більш високого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати «турбо» -метод рішення.

приклад 2

Візьмемо схожий ряд і досліджуємо його на збіжність

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу.
(3) Розглянемо вираз в чисельнику і вираз в знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четверту ступінь:, чого робити зовсім не хочеться. Крім того, для тих, хто не знайомий з біном Ньютона, дана задача взагалі може виявитися нездійсненним. Проаналізуємо старші ступеня: якщо ми вгорі розкриємо дужки, то отримаємо старшу ступінь. Внизу у нас така ж старша ступінь:. За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що при почленного розподілі чисельника і знаменника на у нас в межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, многочлени і - одного порядку зростання. Таким чином, цілком можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне до одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою многочленів: і, вони теж одного порядку зростання, І їхнє ставлення прагне до одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері №1, але для многочлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки якось несолідно. Особисто я роблю так: якщо є многочлен (або многочлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб вирішення Прімера 1. Якщо попадається многочлен 3-ої і більш високих ступенів, я використовую «турбо» -метод за зразком Прімера 2.

приклад 3

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення в кінці урокао числових послідовностях.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.

приклад 5

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення в кінці уроку

приклад 6

Дослідити ряд на збіжність

Іноді зустрічаються ряди, які в своїй начинці містять «ланцюг» множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як досліджувати ряд з «ланцюжком» множників? Використовувати ознака Даламбера. Але спочатку для розуміння того, що відбувається розпишемо ряд докладно:

З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник в знаменнику, тому, якщо загальний член ряду, то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматом припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що

Зразок рішення може виглядати так:

Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Перед початком роботи з цією темою раджу подивитися розділ з термінологією для числових рядів. Особливо варто звернути увагу на поняття загального члена ряду. Якщо у вас є сумніви в правильності вибору ознаки збіжності, раджу глянути тему "Вибір ознаки збіжності числових рядів".

Ознака Д "Аламбера (або ознака Даламбера) використовується для дослідження збіжності рядів, загальний член яких суворо більше нуля, тобто $ u_n\u003e 0 $. Такі ряди називають строго позитивними. У стандартних прикладах ознака Д "Аламбера використовують в граничній формі.

Ознака Д "Аламбера (в граничній формі)

Якщо ряд $ \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) u_n $ строго позитивний і $$ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (u_ (n + 1)) (u_n) \u003d L, $ $ то при $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (і при $ L \u003d \\ infty $) ряд розходиться.

Формулювання досить проста, але залишається відкритим наступне питання: що буде, якщо $ L \u003d 1 $? Відповіді на це питання ознака Д "Аламбера дати не в змозі. Якщо $ L \u003d 1 $, то ряд може як сходитися, так і розходитися.

Найчастіше в стандартних прикладах ознака Д "Аламбера застосовується, якщо в вираженні загального члена ряду присутні многочлен від $ n $ (многочлен може бути і під коренем) і ступінь виду $ a ^ n $ або $ n! $. Наприклад, $ u_n \u003d \\ frac (5 ^ n \\ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ (див. приклад №1) або $ u_n \u003d \\ frac (\\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Що означає вираз "n!"? показати \\ приховати

Запис "n!" (Читається "ен факторіал") позначає твір всіх натуральних чисел від 1 до n, тобто

$$ n! \u003d 1 \\ cdot2 \\ cdot 3 \\ cdot \\ ldots \\ cdot n $$

За визначенням годиться, що $ 0! \u003d 1! \u003d 1 $. Для прикладу знайдемо 5 !:

$$ 5! \u003d 1 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 4 \\ cdot 5 \u003d 120. $$

Крім того, нерідко ознака Д "Аламбера використовують для з'ясування збіжності ряду, загальний член якого містить твір такої структури: $ u_n \u003d \\ frac (3 \\ cdot 5 \\ cdot 7 \\ cdot \\ ldots \\ cdot (2n + 1)) (2 \\ приклад №1

Дослідити ряд $ \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (5 ^ n \\ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ на збіжність.

Так як нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $ u_n \u003d \\ frac (5 ^ n \\ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $. Так як при $ n≥ 1 $ маємо $ 3n + 7\u003e 0 $, $ 5 ^ n\u003e 0 $ і $ 2n ^ 3-1\u003e 0 $, то $ u_n\u003e 0 $. Отже, наш ряд є строго позитивним.

$$ 5 \\ cdot \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac ((3n + 10) \\ left (2n ^ 3-1 \\ right)) (\\ left (2 (n + 1) ^ 3-1 \\ right ) (3n + 7)) \u003d \\ left | \\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ right | \u003d 5 \\ cdot \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ frac ((3n + 10) \\ left (2n ^ 3-1 \\ right)) (n ^ 4)) (\\ frac (\\ left (2 (n + 1) ^ 3-1 \\ right) (3n + 7)) (n ^ 4)) \u003d 5 \\ cdot \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ frac (3n + 10) (n) \\ cdot \\ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3)) (\\ frac (\\ left (2 ( n + 1) ^ 3-1 \\ right)) (n ^ 3) \\ cdot \\ frac (3n + 7) (n)) \u003d \\\\ \u003d 5 \\ cdot \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ \\ right)) (\\ left (2 \\ left (\\ frac (n) (n) + \\ frac (1) (n) \\ right) ^ 3 \\ frac (1) (n ^ 3) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ frac (3n) (n) + \\ frac (7) (n) \\ right)) \u003d 5 \\ cdot \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ left (3+ \\ frac (10) (n) \\ right) \\ cdot \\ left (2 \\ frac (1) (n ^ 3) \\ right)) (\\ left (2 \\ left (1 + \\ frac (1) (n) \\ right) ^ 3 - \\ frac (1) (n ^ 3) \\ right) \\ cdot \\ left (3+ \\ frac (7) (n) \\ right)) \u003d 5 \\ cdot \\ frac (3 \\ cdot 2) (2 \\ cdot 3 ) \u003d 5. $$

Так як $ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (u_ (n + 1)) (u_n) \u003d 5\u003e 1 $, то згідно заданий ряд розходиться.

Чесно кажучи, ознака Д "Аламбера - не єдиний варіант в даній ситуації. Можна використовувати, наприклад, радикальний ознака Коші. Однак застосування радикального ознаки Коші потребують знання (або докази) додаткових формул. Тому використання ознаки Д" Аламбера в даній ситуації більш зручно.

відповідь: Ряд розходиться.

приклад №2

Дослідити ряд $ \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (\\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ на сходимость.!}

Так як нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $ u_n \u003d \\ frac (\\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Загальний член ряду містить многочлен під коренем, тобто $ \\ Sqrt (4n + 5) $, і факторіал $ (3n-2)! $. Наявність факторіала в стандартному прикладі - майже стовідсоткова гарантія застосування ознаки Д "Аламбера.

Щоб застосувати цей показник, нам доведеться знайти межу відносини $ \\ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $. Щоб записати $ u_ (n + 1) $, потрібно в формулу $ u_n \u003d \\ frac (\\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_ (n + 1) \u003d \\ frac (\\ sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Так як $ (3n + 1)! \u003d (3n-2)! \\ Cdot (3n-1) \\ cdot 3n \\ cdot (3n + 1) $, то формулу для $ u_ (n + 1) $ можна записати по- іншому:

$$ u_ (n + 1) \u003d \\ frac (\\ sqrt (4n + 9)) ((3n + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Ця запис зручна для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею. Якщо рівність з факторіалами вимагає пояснень, то прошу розкрити примітку нижче.

Як ми отримали рівність $ (3n + 1)! \u003d (3n-2)! \\ Cdot (3n-1) \\ cdot 3n \\ cdot (3n + 1) $? показати \\ приховати

Запис $ (3n + 1)! $ Означає твір всіх натуральних чисел від 1 до $ 3n + 1 $. Тобто цей вислів можна записати так:

$$ (3n + 1)! \u003d 1 \\ cdot 2 \\ cdot \\ ldots \\ cdot (3n + 1). $$

Безпосередньо перед числом $ 3n + 1 $ варто число, на одиницю менше, тобто число $ 3n + 1-1 \u003d 3n $. А безпосередньо перед числом $ 3n $ варто число $ 3n-1 $. Ну, а безпосередньо перед числом $ 3n-1 $ маємо число $ 3n-1-1 \u003d 3n-2 $. Перепишемо формулу для $ (3n + 1)! $:

$$ (3n + 1)! \u003d 1 \\ cdot2 \\ cdot \\ ldots \\ cdot (3n-2) \\ cdot (3n-1) \\ cdot 3n \\ cdot (3n + 1) $$

Що являє собою твір $ 1 \\ cdot2 \\ cdot \\ ldots \\ cdot (3n-2) $? Цей твір дорівнює $ (3n-2)! $. Отже, вираз для $ (3n + 1)! $ Можна переписати в такій формі:

$$ (3n + 1)! \u003d (3n-2)! \\ Cdot (3n-1) \\ cdot 3n \\ cdot (3n + 1) $$

Ця запис зручна для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею.

Обчислимо значення $ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $:

$$ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (u_ (n + 1)) (u_n) \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (\\ frac (\\ sqrt (4n + 9)) (( 3n-2)! \\ cdot (3n-1) \\ cdot 3n \\ cdot (3n + 1))) (\\ frac (\\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Так як $ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (u_ (n + 1)) (u_n) \u003d 0<1$, то согласно

Ознаки збіжності рядів.
Ознака Даламбера. ознаки Коші

Працюйте, працюйте - а розуміння прийде потім
Ж.Л. Даламбер

Всіх вітаю з початком навчального року! Сьогодні 1 вересня, і я вирішив на честь свята познайомити читачів з тим, що ви давно з нетерпінням чекали і жадали дізнатися - ознаками збіжності числових позитивних рядів. Свято Первое сентября и мои поздравления завжди актуальні, нічого страшного, якщо насправді за вікном літо, ви ж зараз втретє перездати іспит вчіться, якщо зайшли на цю сторінку!

Для тих, хто тільки починає вивчати ряди, рекомендую для початку ознайомитися зі статтею Числові ряди для чайників. Власне, дана віз є продовженням банкету. Отже, сьогодні на уроці ми розглянемо приклади і рішення по темам:

Одним з поширених ознак порівняння, який зустрічається в практичних прикладах, є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але теж вельми популярні. Як завжди, спробую викласти матеріал просто, доступно і зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання до певної міри трафаретні.

Ознака збіжності Даламбера

Жан Лерон Даламбер - це знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі, Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався балістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно і про числові ряди не забув, не дарма потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.

Перед тим як сформулювати сам ознака, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознака збіжності Даламбера?

Спочатку почнемо з повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найбільш ходовий граничний ознака порівняння. Граничний ознака порівняння застосовується тоді, коли в загальному члені ряду:

1) В знаменнику знаходиться многочлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику і в знаменнику.
3) Один або обидва многочлена можуть бути під коренем.
4) многочленів і коренів, зрозуміло, може бути і більше.

Основні ж передумови для застосування ознаки Даламбера наступні:

1) До загального член ряду ( «начинку» ряду) входить яке-небудь число в ступені, наприклад,,, і так далі. Причому, абсолютно не важливо, де ця штуковина розташовується, в чисельнику або в знаменнику - важливо, що вона там присутня.

2) До загального член ряду входить факторіал. З факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці Числова послідовність і її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:





…


…

! При використанні ознаки Даламбера нам якраз доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті, факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок зустрічається рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки - див. Приклад 6.

Разом зі ступенями або (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються многочлени, це не міняє справи - потрібно використовувати ознака Даламбера.

Крім того, в загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь і факторіал; може зустрітися два факторіала, два ступені, важливо щоб там перебувало хоч щось з розглянутих пунктів - і це як раз передумова для використання ознаки Даламбера.

ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа відносини наступного члена до попереднього:, то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака. Найчастіше одиниця виходить в тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничний ознака порівняння.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. приклади рішень. Без розуміння межі і вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

А зараз довгоочікувані приклади.

приклад 1

Ми бачимо, що в загальному члені ряду у нас є, а це вірна передумова того, що потрібно використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення і зразок оформлення, коментарі нижче.

Використовуємо ознака Даламбера:


сходиться.
(1) Складаємо відношення наступного члена ряду до попереднього:. З умови ми бачимо, що загальний член ряду. Для того, щоб отримати наступний член ряду потрібно ЗАМІСТЬ підставити: .
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу. При певному досвіді вирішення цей крок можна пропускати.
(3) В чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку з ступеня.
(4) Скорочуємо на. Константу виносимо за знак межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.
(6) Почленно ділимо числители на знаменники, і вказуємо складові, які прагнуть до нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що, за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі в загальному члені ряду у нас зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там многочлен 3-й, 4-й або більш високого ступеня? Справа в тому, що якщо даний многочлен більш високого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати «турбо» -метод рішення.

приклад 2

Візьмемо схожий ряд і досліджуємо його на збіжність

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознака Даламбера:


Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.

(3) Розглянемо вираз в чисельнику і вираз в знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четверту ступінь:, чого робити зовсім не хочеться. А для тих, хто не знайомий з біном Ньютона, ця задача виявиться ще складніше. Проаналізуємо старші ступеня: якщо ми вгорі розкриємо дужки , То отримаємо старшу ступінь. Внизу у нас така ж старша ступінь:. За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що при почленного розподілі чисельника і знаменника на у нас в межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, многочлени і - одного порядку зростання. Таким чином, цілком можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне до одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою многочленів: і, вони теж одного порядку зростання, І їхнє ставлення прагне до одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері № 1, але для многочлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки якось несолідно. Особисто я роблю так: якщо є многочлен (або многочлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб вирішення Прімера 1. Якщо попадається многочлен 3-й і більш високих ступенів, я використовую «турбо» -метод за зразком Прімера 2.

приклад 3

Дослідити ряд на збіжність

Розглянемо типові приклади з факторіалами:

приклад 4

Дослідити ряд на збіжність

До загального член ряду входить і ступінь, і факторіал. Ясно, як день, що тут треба використовувати ознака Даламбера. Вирішуємо.

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
(1) Складаємо відношення. Повторюємо ще раз. За умовою загальний член ряду: . Для того щоб отримати наступний член ряду, замість потрібно підставити, таким чином: .
(2) Позбавляємося від чотириповерховий дробу.
(3) Відщипуємо сімку від ступеня. Факторіали розписуємо докладно. Як це зробити - див. Початок уроку або статтю про числових послідовностях.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом - діленням чисельника і знаменника на «ен» в старшій ступеня.

приклад 5

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення в кінці уроку

приклад 6

Дослідити ряд на збіжність

Іноді зустрічаються ряди, які в своїй начинці містять «ланцюг» множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як досліджувати ряд з «ланцюжком» множників? Використовувати ознака Даламбера. Але спочатку для розуміння того, що відбувається розпишемо ряд докладно:

З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник в знаменнику, тому, якщо загальний член ряду , То наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматом припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що

Зразок рішення може виглядати так:

Використовуємо ознака Даламбера:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші

Огюстен Луї Коші - ще більш знаменитий французький математик. Біографію Коші вам може розповісти будь-який студент технічної спеціальності. У наймальовничіших фарбах. Не випадково це прізвище викарбувано на першому поверсі Ейфелевої вежі.

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось схожий на тільки що розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує межа:, то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться при.
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться при.
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати інший ознака. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність ряду, то ознака Даламбера теж не дасть відповіді. Але якщо ознака Даламбера не дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто, ознака Коші є в цьому сенсі більш сильною ознакою.

Коли потрібно використовувати радикальний ознака Коші? Радикальна ознака Коші зазвичай використовує в тих випадках, коли корінь «добре» вилучають із загального члена ряду. Як правило, цей перець знаходиться в ступені, яка залежить від . Є ще екзотичні випадки, але ними голову забивати не будемо.

приклад 7

Дослідити ряд на збіжність

Ми бачимо, що дріб повністю знаходиться під ступенем, що залежить від «ен», а значить, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

(1) Оформляем загальний член ряду під корінь.

(2) Переписуємо те ж саме, тільки вже без кореня, використовуючи властивість ступенів.
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник, вказуючи, що
(4) В результаті у нас вийшла невизначеність. Тут можна було піти довгим шляхом: звести в куб, звести в куб, потім розділити чисельник і знаменник на «ен» в кубі. Але в даному випадку є більш ефективне рішення: цей прийом можна використовувати прямо під ступенем-константою. Для усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на (старшу ступінь многочленів).

(5) Виконуємо почленное розподіл, і вказуємо складові, які прагнуть до нуля.
(6) Доводимо відповідь до розуму, помічаємо, що і робимо висновок про те, що ряд розходиться.

А ось більш простий приклад для самостійного рішення:

приклад 8

Дослідити ряд на збіжність

І ще пара типових прикладів.

Повне рішення та зразок оформлення в кінці уроку

приклад 9

Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Розміщуємо загальний член ряду під корінь.

(2) Переписуємо те ж саме, але вже без кореня, при цьому розкриваємо дужки, використовуючи формулу скороченого множення: .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник і вказуємо, що.
(4) Отримано невизначеність виду, і тут теж можна виконувати поділ прямо під ступенем. Але з однією умовою: коефіцієнти при старших ступенях многочленів повинні бути різними. У нас вони різні (5 і 6), і тому можна (і потрібно) розділити обидва поверху на. Якщо ж ці коефіцієнти однакові, Наприклад (1 і 1):, то такий фокус не проходить і потрібно використовувати другий чудовий межа. Якщо пам'ятаєте, ці тонкощі розглядалися в останньому параграфі статті Методи вирішення меж.

(5) Власне виконуємо почленное розподіл і вказуємо, які складові у нас прагнуть до нуля.
(6) Невизначеність усунена, у нас залишився найпростіший межа:. Чому в нескінченно великий ступеня прагне до нуля? Тому що основа ступеня задовольняє нерівності. Якщо у кого є сумніви в справедливості межі , То я не полінуюся, візьму в руки калькулятор:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
… і т.д. до нескінченності - тобто, в межі:

прямо таки нескінченно спадна геометрична прогресія на пальцях \u003d)
! Ніколи не використовуйте цей прийом як доказ! Бо якщо щось очевидно, то це ще не означає, що це правильно.

(7) Вказуємо, що і робимо висновок про те, що ряд сходиться.

приклад 10

Дослідити ряд на збіжність

Це приклад для самостійного рішення.

Іноді для вирішення пропонується провокаційний приклад, наприклад:. Тут в показнику ступеня немає «ен», Тільки константа. Тут потрібно звести в квадрат чисельник і знаменник (вийдуть многочлени), а далі дотримуватися алгоритму зі статті Ряди для чайників. У подібному прикладі спрацювати повинен або необхідний ознака збіжності ряду або граничний ознака порівняння.

Інтегральний ознака Коші

Або просто інтегральний ознака. Розчарую тих, хто погано засвоїв матеріал першого курсу. Для того щоб застосовувати інтегральний ознака Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтеграла першого роду.

У підручниках з математичного аналізу інтегральний ознака Коші дан математично строго, але занадто вже поморочитися, тому я сформулюю ознака не дуже строго, але зрозуміло:

Розглянемо позитивний числовий ряд . Якщо існує невласний інтеграл, то ряд сходиться або розходиться разом з цим інтегралом.

І відразу приклади для пояснення:

приклад 11

Дослідити ряд на збіжність

Майже класика. Натуральний логарифм і якась бяка.

Основною передумовою використання інтегрального ознаки Коші є той факт, що в загальному члені ряду містяться множники, схожі на деяку функцію і її похідну. з теми