завдання. Кількість попадань пар значень випадкових величин X і Y в відповідні інтервали приведені в таблиці. За цими даними знайти вибірковий коефіцієнт кореляції і вибіркові рівняння прямих ліній регресії Y на X і X на Y.
Рішення

приклад. Розподіл ймовірностей двовимірної випадкової величини (X, Y) задано таблицею. Знайти закони розподілу складових величин X, Y і коефіцієнт кореляції p (X, Y).
завантажити рішення

завдання. Двовимірна дискретна величина (X, Y) задана законом розподілу. Знайти закони розподілу складових X і Y, ковариацию і коефіцієнт кореляції.

Двовимірної називають випадкову величину ( X, Y), Можливі значення якої є пари чисел ( x, у). складові X і Y, Що розглядаються одночасно, утворюють систему двох випадкових величин.

Двовимірну величину геометрично можна витлумачити як випадкову точку M(Х; Y) на площині xOy або як випадковий вектор OM.

дискретної називають двовимірну величину, складові якої дискретно.

безперервної називають двовимірну величину, складові якої безперервні.

законом розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх можливостями.

Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини може бути заданий: а) у вигляді таблиці з подвійним входом, що містить можливі значення і їх ймовірності; б) аналітично, наприклад у вигляді функції розподілу.

функцією розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини називають функцію F (x, у), Визначальну для кожної пари чисел (X, у) ймовірність того, що X прийме значення, менше x, і при цьому Y прийме значення, менше y:

F (x, у) \u003d Р (Х< x, Y < y).

Геометрично це рівність можна витлумачити так: F (х, у) є ймовірність того, що випадкова точка ( X, Y) Потрапить в нескінченний квадрант з вершиною ( x, y), Розташований лівіше і нижче цієї вершини.

Іноді замість терміна «функція розподілу» використовують термін «інтегральна функція».

Функція розподілу має такі властивості:

властивість 1. Значення функції розподілу задовольняють подвійному нерівності

0 ≤ F (x, у) ≤ 1.

властивість 2. Функція розподілу є неубутна функція по кожному аргументу:

F (x 2, y) ≥ F (x 1, y), якщо x 2\u003e x 1,

F (x, y 2) ≥ F (x, y 1), якщо y 2\u003e y 1.

властивість 3. Мають місце граничні співвідношення:

1) F (-∞, y) \u003d 0,

3) F (-∞, -∞) \u003d 0,

2) F (x, -∞) \u003d 0,

4) F (∞, ∞) \u003d 1.

властивість 4. а) при у=∞ функція розподілу системи стає функцією розподілу складової X:

F (x, ∞) \u003d F 1 (x).

б) при x = ∞ функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Y:

F (∞, y) \u003d F 2 (y).

Використовуючи функцію розподілу, можна знайти ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P (x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Щільністю спільного розподілу ймовірностей (двовимірної щільністю ймовірності) безперервної двовимірної випадкової величини називають другу змішану похідну від функції розподілу:

Іноді замість терміна «двовимірна щільність ймовірності» використовують термін «диференціальна функція системи».

Щільність спільного розподілу можна розглядати як межа відносини ймовірності попадання випадкової точки в прямокутник зі сторонами D x і D y до площі цього прямокутника, коли обидві його сторони прагнуть до нуля; геометрично її можна витлумачити як поверхня, яку називають поверхнею розподілу.

Знаючи щільність розподілу, можна знайти функцію розподілу за формулою

Ймовірність влучення випадкової точки (X, Y) в область D визначається рівністю

Двовимірна щільність імовірності має такі властивості:

властивість 1. Двовимірна щільність імовірності неотрицательна:

f (x, y) ≥ 0.

властивість 2. Подвійний невласний інтеграл з нескінченними межами від двовимірної щільності ймовірності дорівнює одиниці:

Зокрема, якщо всі можливі значення (X, Y) належать кінцевої області D, то

226. Визнач розподіл ймовірностей дискретної двовимірної випадкової величини:

Знайти закони розподілу складових.

228. Задана функція розподілу двовимірної випадкової величини

Знайти ймовірність попадання випадкової точки ( X, Y x = 0, x \u003d P / 4, y \u003d P / 6, y \u003d P / 3.

229. Знайти ймовірність попадання випадкової точки ( X, Y) В прямокутник, обмежений прямими x = 1, x = 2, y = 3, y \u003d 5, якщо відома функція розподілу

230. Задана функція розподілу двовимірної випадкової величини

Знайти двовимірну щільність ймовірності системи.

231. В колі x 2 + y 2 ≤ R 2 двовимірна щільність імовірності; поза колом f (x, y) \u003d0. Знайти: а) постійну C; б) ймовірність попадання випадкової точки ( X, Y) В коло радіуса r \u003d 1 з центром на початку координат, якщо R = 2.

232. В першому квадранті задана функція розподілу системи двох випадкових величин F (x, y) \u003d 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x- y. Знайти: а) двовимірну щільність ймовірності системи; б) ймовірність попадання випадкової точки ( X, Y) В трикутник з вершинами A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).

8.2. Умовні закони розподілу ймовірностей складових
дискретної двовимірної випадкової величини

нехай складові X і Y дискретні і мають відповідно такі можливі значення: x 1, x 2, ..., x n; y 1, y 2, ..., y m.

Умовним розподілом складової X при Y \u003d y j (J зберігає одне і те ж значення при всіх можливих значеннях X) називають сукупність умовних ймовірностей

p (x 1 | y j), p (x 2 | y j), ..., p (x n | y j).

Аналогічно визначається умовний розподіл Y.

Умовні ймовірності складових X і Y обчислюють відповідно за формулами

Для контролю обчислень доцільно переконатися, що сума ймовірностей умовного розподілу дорівнює одиниці.

233. Задана дискретна двовимірна випадкова величина ( X, Y):

Знайти: а) умовний закон розподілу X за умови, що Y\u003d 10; б) умовний закон розподілу Y за умови, що X=6.

8.3. Відшукання щільності і умовних законів розподілу
складових безперервної двовимірної випадкової величини

Щільність розподілу однієї зі складових дорівнює Невласні інтеграли з нескінченними межами від щільності спільного розподілу системи, причому змінна інтегрування відповідає інший складової:

Тут передбачається, що можливі значення кожної зі складових належать всій числовій осі; якщо ж можливі значення належать кінцевому інтервалу, то в якості меж інтегрування приймають відповідні кінцеві числа.

Умовної щільністю розподілу складової X при заданому значенні Y \u003d y називають відношення щільності спільного розподілу системи до щільності розподілу складової Y:

Аналогічно визначається умовна щільність розподілу складової Y:

Якщо умовні щільності розподілу випадкових величин X і Y рівні їх безумовним плотностям, то такі величини незалежні.

рівномірним називають розподіл двовимірної неперервної випадкової величини ( X, Y), Якщо в області, якій належать всі можливі значення ( x, у), Щільність спільного розподілу ймовірностей зберігає постійне значення.

235. Задана щільність спільного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини (X, Y)

Знайти: а) щільності розподілу складових; б) умовні щільності розподілу, що становлять.

236. Щільність спільного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини ( X, Y)

Знайти: а) постійний множник C; б) щільності розподілу складових; в) умовні щільності розподілу складових.

237. Безперервна двовимірна випадкова величина ( X, У) Розподілена рівномірно всередині прямокутника з центром симетрії на початку координат і сторонами 2а і 2b, паралельними координатним осях. Знайти: а) двовимірну щільність ймовірності системи; б) щільності розподілу складових.

238. Безперервна двовимірна випадкова величина ( X, У) Рівномірно розподілена всередині прямокутного трикутника з вершинами O(0; 0), А(0; 8), В(8; 0). Знайти: а) двовимірну щільність ймовірності системи; б) щільності і умовні щільності розподілу складових.

8.4. Числові характеристики безперервної системи
двох випадкових величин

Знаючи щільності розподілу складових X і Y безперервної двовимірної випадкової величини (X, Y), можна знайти їх математичні очікування і дисперсії:

Іноді зручніше використовувати формули, що містять двовимірну щільність ймовірності (подвійні інтеграли беруться по області можливих значень системи):

Початковим, моментом n k, s порядку k + s системи ( X, Y) Називають математичне сподівання добутку X k Y s:

n k, s \u003d M.

Зокрема,

n 1,0 \u003d M (X), n 0,1 \u003d M (Y).

Центральним моментом m k, s порядку k + s системи ( X, Y) Називають математичне сподівання добутку відхилень відповідно k-й і s-й ступенів:

m k, s \u003d M (k ∙ s).

Зокрема,

m 1,0 \u003d M \u003d 0, m 0,1 \u003d M \u003d 0;

m 2,0 \u003d M 2 \u003d D (X), m 0,2 \u003d M 2 \u003d D (Y);

Кореляційним моментом m xу системи ( X, Y) Називають центральний момент m 1,1 близько 1 + 1:

m xу \u003d M (∙).

коефіцієнтом кореляції величин X і Y називають відношення кореляційного моменту до твору середніх квадратичних відхилень цих величин:

r xy \u003d m xy / (s x s y).

Коефіцієнт кореляції - безрозмірна величина, причому | r xy| ≤ 1. Коефіцієнт кореляції служить для оцінки тісноти лінійного зв'язку між X і Y: Чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до одиниці, тим зв'язок сильніше; чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до нуля, тим зв'язок слабкіше.

корельованими називають дві випадкові величини, якщо їх кореляційний момент відмінний від нуля.

некоррелірованнимі називають дві випадкові величини, якщо їх кореляційний момент дорівнює нулю.

Дві корельовані величини також і залежні; якщо дві величини залежні, то вони можуть бути як корельованими, так і некорельованими. З незалежності двох величин слід їх некоррелірованні, але з некоррелированности ще не можна зробити висновок про незалежність цих величин (для нормально розподілених величин з некоррелированности цих величин випливає їх незалежність).

Для безперервних величин X і Y кореляційний момент може бути знайдений за формулами:

239. Задана щільність спільного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини (X, Y):

Знайти: а) математичні очікування; б) дисперсії складових X і Y.

240. Задана щільність спільного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини (X, Y):

Знайти математичні очікування і дисперсії складових.

241. Задана щільність спільного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини ( X, Y): f (x, y) \u003d 2 cosx cosy в квадраті 0 ≤ x ≤p / 4, 0 ≤ y ≤p / 4; поза квадрата f (x, y) \u003d 0. Знайти математичні очікування складових.

242. Довести, що якщо двовимірну щільність ймовірності системи випадкових величин ( X, Y) Можна представити у вигляді добутку двох функцій, одна з яких залежить тільки від x, А інша - тільки від y, То величини X і Y незалежні.

243. Довести, що якщо X і Y зв'язані лінійною залежністю Y = aX + b, То абсолютна величина коефіцієнта кореляції дорівнює одиниці.

Рішення. За визначенням коефіцієнта кореляції,

r xy \u003d m xy / (s x s y).

m xу \u003d M (∙). (*)

Знайдемо математичне сподівання Y:

M (Y) \u003d M \u003d aM (X) + b. (**)

Підставивши (**) в (*), після елементарних перетворень отримаємо

m xу \u003d aM 2 \u003d aD (X) \u003d as 2 x.

Враховуючи що

Y - M (Y) \u003d (aX + b) - (aM (X) + b) \u003d a,

знайдемо дисперсію Y:

D (Y) \u003d M 2 \u003d a 2 M 2 \u003d a 2 s 2 x.

Звідси s y \u003d | a | s x. Отже, коефіцієнт кореляції

якщо a \u003e 0, то r xy \u003d 1; якщо a < 0, то r xy = –1.

Отже, | r xy| \u003d 1, що й треба було довести.

Визначення.Якщо на одному і тому ж просторі елементарних подій задані дві випадкові величини Х і Y,то кажуть, що задана двовимірна випадкова величина (Х, Y) .

Приклад. Верстат штампує сталеві плитки. контролюються довжина Х і ширина Y. - двовимірна СВ.

СВ Х і Y мають свої функції розподілу та інші характеристики.

Визначення. Функцією розподілу двовимірної випадкової величини (Х, Y) називається функція.

Визначення. Законом розподілу дискретної двовимірної випадкової величини (Х, Y) називається таблиця

Для двовимірної дискретної СВ.

властивості:

2) якщо, то ; якщо то ;

4) - функція розподілу Х;

- функція розподілу Y.

Ймовірність влучення значень двовимірної СВ в прямокутник:

Визначення. Двовимірна випадкова величина (Х, Y) називається безперервної , Якщо її функція розподілу неперервна на і має всюди (за винятком, можливо, кінцевого числа кривих) безперервну змішану приватну похідну 2-го порядку .

Визначення. Щільністю спільного розподілу ймовірностей двовимірної безперервної СВ називається функція.

Тоді, очевидно, .

Приклад 1. Двовимірна безперервна СВ задана функцією розподілу

Тоді щільність розподілу має вигляд

Приклад 2. Двовимірна безперервна СВ задана щільністю розподілу

Знайдемо її функцію розподілу:

властивості:

3) для будь-якої області.

Нехай відома щільність спільного розподілу. Тоді щільність розподілу кожної зі складових двовимірної СВ знаходиться наступним чином:

Приклад 2 (продовження).

Щільності розподілу становить двовимірної СВ деякі автори називають маргінальнимиплотностями розподілу ймовірностей .

Умовні закони розподілу складових системи дискретних ВВ.

Умовна ймовірність, де.

Умовний закон розподілу складової Х при:

Аналогічно для, де.

Складемо умовний закон розподілу Х при Y \u003d2.

Тоді умовний закон розподілу

Визначення. Умовної щільністю розподілу складової Х при заданому значенні Y \u003d y називається.

Аналогічно:.

Визначення. умовним математичним очікуванням дискретної СВ Y при називається, де - див. вище.

Отже,.

для безперервноїСВ Y .

Очевидно, що є функцією аргументу х. Ця функція називається функцією регресії Y на Х .

аналогічно визначається функція регресії Х на Y : .

Теорема 5. (Про функції розподілу незалежних СВ)

СВ Хі Y

Слідство. безперервні СВ Хі Y є незалежними тоді і тільки тоді, коли.

У прикладі 1 при. Отже, СВ Хі Yнезалежні.

Числові характеристики складових двовимірної випадкової величини

Для дискретної СВ:

Для безперервної СВ:.

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення для всіх СВ визначаються по одним і тим же відомим нам формулами:

Визначення.точка називається центром розсіювання двовимірної СВ.

Визначення. Коваріація (кореляційним моментом) СВ називається

Для дискретної СВ:.

Для безперервної СВ:.

Формула для обчислення:.

Для незалежних СВ.

Незручністю характеристики є її розмірність (квадрат одиниці виміру складових). Від цього недоліку вільна наступна величина.

Визначення. коефіцієнтом кореляції СВ Х і Y називається

Для незалежних СВ.

Для будь-якої пари СВ . Відомо що тоді і тільки тоді, коли, де.

Визначення. СВ Х і Y називаються некоррелірованнимі , якщо .

Зв'язок між коррелированность і залежністю СВ:

- якщо СВ Х і Y корельовані, тобто , то вони залежні; зворотне не вірно;

- якщо СВ Х і Y незалежні, то ; зворотне не вірно.

Зауваження 1. якщо СВ Х і Y розподілені по нормальному закону і , То вони незалежні.

Зауваження 2. практичне значення в якості запобіжного залежності виправдано лише тоді, коли спільний розподіл пари нормально або приблизно нормально. Для довільних СВ Х і Y можна прийти до помилкового висновку, тобто може бути навіть тоді, коли Х і Y пов'язані суворої функціональної залежністю.

Замечаніе3. У математичній статистиці кореляцією називають вірогідну (статистичну) залежність між величинами, що не має, взагалі кажучи, строго функціонального характеру. Кореляційна залежність виникає тоді, коли одна з величин залежить не тільки від даної другий, але і від ряду випадкових факторів, або коли серед умов, від яких залежить одна або інша величина, є загальні для них обох умови.

Приклад 4.для СВ Х і Y з прикладу 3 знайти .

Рішення.

Приклад 5.Дана щільність спільного розподілу двовимірної СВ.

Визначення 2.7. це пара випадкових чисел (X, Y), або точка на координатній площині (рис. 2.11).

Мал. 2.11.

Двовимірна випадкова величина - це окремий випадок багатовимірної випадкової величини, або випадкового вектора.

Визначення 2.8. Випадковий вектор - це випадкова функція?, (/) з кінцевим безліччю можливих значень аргументу t, значення якої при будь-якому значенні t є випадковою величиною.

Двовимірна випадкова величина називається неперервною, якщо її координати безперервні, і дискретної, якщо її координати дискретні.

Задати закон розподілу двовимірних випадкових величин - це значить встановити відповідність між її можливими значеннями і ймовірністю цих значень. За способами завдання випадкові величини діляться на безперервні і дискретні, хоча є загальні способи завдання закону розподілу будь-СВ.

Дискретна двовимірна випадкова величина

Дискретна двовимірна випадкова величина задається за допомогою таблиці розподілів (табл. 2.1).

Таблиця 2.1

Таблиця розподілу (спільний розподіл) СВ ( X, У)

Елементи таблиці визначаються формулою

Властивості елементів таблиці розподілу:

Розподіл по кожній координаті називається одновимірнимабо маргінальним:

р 1> \u003d Р (Х \u003d .р,) - маргінальне розподіл СВ X;

р ^ 2) = P (Y \u003d у,) - маргінальне розподіл СВ У.

Зв'язок спільного розподілу СВ X і У, заданого безліччю ймовірностей [Р ()), i = 1,..., n, j = 1,..., т (Таблицею розподілу), і маргінального розподілу.

Аналогічно для СВ У р- 2) \u003d X р, г

Завдання 2.14. дано:

Безперервна двовимірна випадкова величина

/ (Х, y) dxdy - елемент ймовірності для двовимірної випадкової величини (X, Y) - ймовірність попадання випадкової величини (X, Y) в прямокутник зі сторонами cbc, dy при dx, dy -* 0:

f (x, у) - щільність розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y). Завданням / (х, у) ми даємо повну інформацію про розподіл двовимірної випадкової величини.

Маргінальні розподілу задаються наступним чином: по X - щільністю розподілу СВ X /, (х); по Y - щільністю розподілу СВ У f\u003e (y).

Завдання закону розподілу двовимірної випадкової величини функцією розподілу

Універсальним способом завдання закону розподілу для дискретної або безперервної двовимірної випадкової величини є функція розподілу F (x, у).

Визначення 2.9. Функція розподілу F (x, у) - ймовірність спільного появи подій (Ху), тобто F (x 0, y n) \u003d \u003d Р (Х у), кинутої на координатну площину, потрапити в нескінченний квадрант з вершиною в точці М (х 0, у і) (В заштрихованную на рис. 2.12 область).

Мал. 2.12. Ілюстрація функції розподілу F ( х, у)

властивості функції F (x, у)

• 1) 0 1;
• 2) F (-oo, -оо) \u003d F (x, -оо) \u003d F (-oo, у) \u003d 0; F (оо, оо) \u003d 1;
• 3) F (x, у) - неубутна по кожному аргументу;
• 4) F (x, у) - неперервна зліва і знизу;
• 5) узгодженість розподілів:

F (x, X: F (x, оо) \u003d F, (x); F (y, оо) - маргінальне розподіл по Y F (оо, у) \u003d F 2 (y).зв'язок / (Х, у) з F (x, у):

Зв'язок спільної щільності з маргінальною. дана f (x, у). Отримаємо маргінальні щільності розподілу f (x), f 2 (y) ".

Випадок незалежних координат двовимірної випадкової величини

Визначення 2.10. СВ Xі Yнезавісіми (Нз), якщо незалежні будь-які події, пов'язані з кожною з цих СВ. З визначення нз СВ слід:

• 1 ) Pij \u003d p X) pf
• 2 ) F (x, y) \u003d F l (x) F 2 (y).

Виявляється, що для незалежних СВ X і Y виконано і

3 ) F (x, y) \u003d J (x) f, (y).

Доведемо, що для незалежних СВ X і Y 2) 3). Доведення, а) Нехай виконано 2), тобто

в той же час F (x, y) \u003d f J f (u, v) dudv, звідки і слід 3);

б) нехай тепер виконано 3), тоді

тобто вірно 2).

Розглянемо завдання.

Завдання 2.15. Розподіл задано наступною таблицею:

Будуємо маргінальні розподілу:

отримуємо Р (Х \u003d 3, У = 4) = 0,17 * Р (Х \u003d 3) Р (У \u003d 4) \u003d 0,1485 \u003d\u003e \u003d\u003e СВ X і Узавісіми.

Функція розподілу:

Завдання 2.16. Розподіл задано наступною таблицею:

отримуємо P tl \u003d 0,2 0,3 \u003d 0,06; Р 12 \u003d 0,2? 0,7 \u003d 0,14; P 2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; Р 22 - 0,8 0,7 \u003d 0,56 \u003d\u003e СВ X і Y нз.

Завдання 2.17. Дана / (х, у) \u003d 1 / я ехр | -0,5 (д "+ 2ху + 5г / 2)]. знайти А (х) і / Ау) -

Рішення

(Долічіть самостійно).

Нехай дана двовимірна випадкова величина $ (X, Y) $.

визначення 1

Законом розподілу двовимірної випадкової величини $ (X, Y) $ - називається безліч можливих пар чисел $ (x_i, \\ y_j) $ (де $ x_i \\ epsilon X, \\ y_j \\ epsilon Y $) і їх ймовірностей $ p_ (ij) $ .

Найчастіше закон розподілу двовимірної випадкової величини записується у вигляді таблиці (Таблиця 1).

Малюнок 1. Закон розподілу двовимірної випадкової величини.

Згадаймо тепер теорему про складання ймовірностей незалежних подій.

теорема 1

Імовірність суми кінцевого числа незалежних подій $ (\\ A) _1 $, $ (\\ A) _2 $, ..., $ \\ (\\ A) _n $ обчислюється за формулою:

Користуючись цією формулою можна отримати закони розподілу для кожної компоненти двовимірної випадкової величини, тобто:

Звідси буде випливати, що сума всіх ймовірностей двовимірної системи має наступний вигляд:

Розглянемо докладно (поетапно) завдання, пов'язану з поняттям закону розподілу двовимірної випадкової величини.

приклад 1

Закон розподілу двовимірної випадкової величини задано наступною таблицею:

Малюнок 2.

Знайти закони розподілу випадкових величин $ X, \\ Y $, $ X + Y $ і перевірити в кожному випадку виконання рівності повної суми ймовірностей одиниці.

1. Знайдемо спочатку розподіл випадкової величини $ X $. Випадкова величина $ X $ може приймати значення $ x_1 \u003d 2, $ $ x_2 \u003d 3 $, $ x_3 \u003d 5 $. Для знаходження розподілу будемо користуватися теоремою 1.

Знайдемо спочатку суму ймовірностей $ x_1 $ наступним чином:

Малюнок 3.

Аналогічно знайдемо $ P \\ left (x_2 \\ right) $ і $ P \\ left (x_3 \\ right) $:

\ \

Малюнок 4.

1. Знайдемо тепер розподіл випадкової величини $ Y $. Випадкова величина $ Y $ може приймати значення $ x_1 \u003d 1, $ $ x_2 \u003d 3 $, $ x_3 \u003d 4 $. Для знаходження розподілу будемо користуватися теоремою 1.

Знайдемо спочатку суму ймовірностей $ y_1 $ наступним чином:

Малюнок 5.

Аналогічно знайдемо $ P \\ left (y_2 \\ right) $ і $ P \\ left (y_3 \\ right) $:

\ \

Значить, закон розподілу величини $ X $ має наступний вигляд:

Малюнок 6.

Перевіримо виконання рівності повної суми ймовірностей:

1. Залишилося знайти закон розподілу випадкової величини $ X + Y $.

Позначимо її для зручності через $ Z $: $ Z \u003d X + Y $.

Спочатку знайдемо, які значення може приймати дана величина. Для цього будемо попарно складати значення величин $ X $ і $ Y $. Отримаємо наступні значення: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Тепер, відкидаючи збіглися величини, отримаємо, що випадкова величина $ X + Y $ може приймати значення $ z_1 \u003d 3, \\ z_2 \u003d 4 , \\ z_3 \u003d 5, \\ z_4 \u003d 6, \\ z_5 \u003d 7, \\ z_6 \u003d 8, \\ z_7 \u003d 9. \\ $

Знайдемо для початку $ P (z_1) $. Так як значення $ z_1 $ одинично, то воно знаходиться в такий спосіб:

Малюнок 7.

Аналогічно знаходяться се ймовірності, крім $ P (z_4) $:

Знайдемо тепер $ P (z_4) $ наступним чином:

Малюнок 8.

Значить, закон розподілу величини $ Z $ має наступний вигляд:

Малюнок 9.

Перевіримо виконання рівності повної суми ймовірностей: