Момент сили коротко. статика

У фізиці розгляд завдань з обертовими тілами або системами, які знаходяться в рівновазі, здійснюється з використанням концепції "момент сили". У цій статті буде розглянута формула моменту сили, а також її використання для вирішення зазначеного типу завдань.

у фізиці

Як було відзначено у вступі, в даній статті піде мова про системи, які можуть обертатися або навколо осі, або навколо точки. Розглянемо приклад такої моделі, зображеної на малюнку нижче.

Ми бачимо, що важіль сірого кольору закріплений на осі обертання. На кінці важеля є чорний кубик деякої маси, на який діє сила (червона стрілка). Інтуїтивно зрозуміло, що результатом впливу цієї сили буде обертання важеля навколо осі проти годинникової стрілки.

Моментом сили називається величина у фізиці, яка дорівнює векторному добутку радіуса, що з'єднує вісь обертання і точку прикладання сили (зелений вектор на малюнку), і самої зовнішньої силі. Тобто сили щодо осі записується в такий спосіб:

Результатом цього твору буде вектор M¯. Напрямок його визначають, виходячи з знання векторів-множників, тобто r¯ і F¯. Згідно з визначенням векторного твори, M¯ повинен бути перпендикулярний площині, утвореної векторами r¯ і F¯, і спрямований відповідно до правила правої руки (якщо чотири пальці правої руки розташувати вздовж першого множити вектора в напрямку до кінця другого, то відставлений вгору великий палець вкаже, куди спрямований шуканий вектор). На малюнку можна бачити, куди спрямований вектор M¯ (синя стрілка).

Скалярная форма запису M¯

На малюнку в попередньому пункті сила (червона стрілка) діє на важіль під кутом 90 o. У загальному ж випадку вона може бути додана під абсолютно будь-яким кутом. Розглянемо зображення нижче.

Тут ми бачимо, що на важіль L сила F вже діє під деяким кутом Φ. Для цієї системи формула моменту сили відносно точки (показана стрілкою) в скалярному вигляді прийме форму:

M \u003d L * F * sin (Φ)

З виразу випливає, що момент сили M буде тим більше, чим ближче напрямок дії сили F до кута 90 o по відношенню до L. Навпаки, якщо F діє уздовж L, то sin (0) \u003d 0, і сила не створює ніякого моменту ( M \u003d 0).

При розгляді моменту сили в скалярною формі часто користуються поняттям "важеля сили". Ця величина являє собою відстань між віссю (точкою обертання) і вектором F. Застосовуючи це визначення до малюнка вище, можна сказати, що d \u003d L * sin (Φ) - це важіль сили (рівність випливає з визначення тригонометричної функції "синус"). Через важіль сили формулу для моменту M можна переписати так:

Фізичний сенс величини M

Вже згадана фізична величина визначає здатність зовнішньої сили F надавати обертальний вплив на систему. Щоб привести тіло в обертальний рух, йому необхідно повідомити деякий момент M.

Яскравим прикладом цього процесу є відкривання або закривання дверей в кімнату. Взявшись за ручку, людина прикладає зусилля і повертає двері на петлях. Кожен зможе це зробити. Якщо ж спробувати відкрити двері, впливаючи на неї поблизу петель, то буде потрібно докласти великих зусиль, щоб зрушити її з місця.

Іншим прикладом є відкручування гайки ключем. Чим коротше буде цей ключ, тим важче виконати поставлене завдання.

Зазначені особливості демонструє сили через плече, яка була приведена в попередньому пункті. Якщо M вважати постійною величиною, то чим менше d, тим більшу F слід докласти для створення заданого моменту сили.

Кілька діючих сил в системі

Вище були розглянуті випадки, коли на систему, здатну до обертання, діє всього одна сила F, але як бути, коли таких сил кілька? Дійсно, ця ситуація є більш частою, оскільки на систему можуть діяти сили різної природи (гравітаційна, електрична, тертя, механічні й інші). У всіх цих випадках результуючий момент сили M¯ може бути отриманий за допомогою векторної суми всіх моментів M i ¯, тобто:

M¯ \u003d Σ i (M i ¯), де i - номер сили F i

З властивості адитивності моментів слід важливий висновок, який отримав назву теореми Варіньона, названої так на прізвище математика кінця XVII - початку XVIII століття - француза П'єра Варіньона. У ньому записано: "Сума моментів всіх сил, що впливають на розглянуту систему, може бути представлена \u200b\u200bу вигляді моменту однієї сили, яка дорівнює сумі всіх інших і прикладена до деякої точці". Математично теорему можна записати так:

Σ i (M i ¯) \u003d M¯ \u003d d * Σ i (F i ¯)

Ця важлива теорема часто використовується на практиці для вирішення завдань на обертання і рівновагу тел.

Чи здійснює роботу момент сили?

Аналізуючи наведені формули в скалярному або векторному вигляді, можна прийти до висновку, що величина M - це деяка робота. Дійсно, її розмірність дорівнює Н * м, що в СІ відповідає джоулю (Дж). Насправді момент сили - це не робота, а лише величина, яка здатна її здійснити. Щоб це сталося, необхідно наявність кругового руху в системі і тривалого у часі дії M. Тому формула роботи моменту сили записується в наступному вигляді:

У цьому виразі θ - це кут, на який було вироблено обертання моментом сили M. В результаті одиницю роботи можна записати як Н * м * радий або ж Дж * радий. Наприклад, значення 60 Дж * радий говорить про те, що при повороті на 1 радіан (приблизно 1/3 кола) створює момент M сила F зробила роботу в 60 джоулів. Цю формулу часто використовують при вирішенні завдань в системах, де діють сили тертя, що буде показано нижче.

Момент сили і момент імпульсу

Як було показано, вплив на систему моменту M призводить до появи в ній обертального руху. Останнє характеризується величиною, яка отримала назву "момент імпульсу". Його можна обчислити, застосовуючи формулу:

Тут I - це момент інерції (величина, яка відіграє таку ж роль при обертанні, що і маса при лінійному русі тіла), ω - кутова швидкість, вона пов'язана з лінійною швидкістю формулою ω \u003d v / r.

Обидва моменту (імпульсу і сили) пов'язані один з одним таким виразом:

M \u003d I * α, де α \u003d dω / dt - кутове прискорення.

Наведемо ще одну формулу, яка важлива для вирішення завдань на роботу моментів сил. За допомогою цієї формули можна обчислити кінетичну енергію тіла, що обертається. Вона виглядає так:

Рівновага декількох тел

Перше завдання пов'язана з рівновагою системи, в якій діють кілька сил. На малюнку нижче наведена система, на яку діють три сили. Необхідно розрахувати, який маси предмет необхідно підвісити до цього важеля і в якій точці це слід зробити, щоб дана система перебувала в рівновазі.

З умови задачі можна зрозуміти, що для її вирішення слід скористатися теоремою Варіньона. На першу частину завдання можна відповісти відразу, оскільки вага предмета, які слід підвісити до важеля, буде дорівнює:

P \u003d F 1 - F 2 + F 3 \u003d 20 - 10 + 25 \u003d 35 Н

Знаки тут обрані з урахуванням того, що сила, що обертає важіль проти годинникової стрілки, створює негативний момент.

Положення точки d, куди слід підвісити цю вагу, обчислюється за формулою:

M 1 - M 2 + M 3 \u003d d * P \u003d 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 \u003d d * 35 \u003d\u003e d \u003d 165/35 \u003d 4,714 м

Відзначимо, що за допомогою формули моменту сили тяжіння ми вирахували еквівалентну величину M тієї, яку створюють три сили. Щоб система перебувала в рівновазі, необхідно підвісити тіло вагою 35 Н в точці 4,714 м від осі з іншого боку важеля.

Завдання з рухомим диском

Рішення наступного завдання засноване на використанні формули моменту сили тертя і кінетичної енергії тіла обертання. Завдання: дан диск радіуса r \u003d 0,3 метра, який обертається зі швидкістю ω \u003d 1 рад / с. Необхідно розрахувати, яку відстань здатний він пройти по поверхні, якщо коефіцієнт тертя кочення дорівнює μ \u003d 0,001.

Це завдання найлегше вирішити, якщо скористатися законом збереження енергії. Ми маємо в своєму розпорядженні початкової кінетичної енергією диска. Коли він почне котитися, то вся ця енергія витрачається на нагрівання поверхні за рахунок дії сили тертя. Прирівнюючи обидві величини, отримаємо вираз:

I * ω 2/2 \u003d μ * N / r * r * θ

Перша частина формули - це кінетична енергія диска. Друга частина - це робота моменту сили тертя F \u003d μ * N / r, яка додається до краю диска (M \u003d F * r).

З огляду на, що N \u003d m * g і I \u003d 1 / 2m * r 2, обчислюємо θ:

θ \u003d m * r 2 * ω 2 / (4 * μ * m * g) \u003d r 2 * ω 2 / (4 * μ * g) \u003d 0,3 2 * 1 2 / (4 * 0,001 * 9,81 ) \u003d 2,29358 радий

Оскільки 2pi радіан відповідають довжині 2pi * r, тоді отримуємо, що шукане відстань, яке пройде диск, так само:

s \u003d θ * r \u003d 2,29358 * 0,3 \u003d 0,688 м або близько 69 см

Відзначимо, що на даний результат маса диска ніяк не впливає.

Майже дві тисячі років проіснувало правило важеля, відкрите Архімедом ще в третьому столітті до нашої ери, поки в сімнадцятому столітті з легкої руки французького вченого Варіньона не отримало більш загальну форму.

Правило моменту сил

Було введено поняття моменту сил. Момент сили - це фізична величина, що дорівнює добутку сили на її плече:

де M - момент сили,
F - сила,
l - плече сили.

З правила рівноваги важеля безпосередньо випливає правило моментів сил:

F1 / F2 \u003d l2 / l1 або, по властивості пропорції F1 * l1 \u003d F2 * l2, тобто M1 \u003d M2

У словесному вираженні правило моментів сил звучить наступним чином: важіль знаходиться в рівновазі під дією двох сил, якщо момент сили, яка обертає його за годинниковою стрілкою, дорівнює моменту сили, яка обертає його проти годинникової стрілки. Правило моментів сил справедливо для будь-якого тіла, закріпленого навколо нерухомої осі. На практиці момент сили знаходять наступним чином: у напрямку дії сили проводять лінію дії сили. Потім з точки, в якій знаходиться вісь обертання, проводять перпендикуляр до лінії дії сили. Довжина цього перпендикуляра буде дорівнювати плечу сили. Помноживши значення модуля сили на її плече, отримуємо значення моменту сили відносно осі обертання. Тобто, ми бачимо, що момент сили характеризує вращающее дію сили. Дія сили залежить і від самої сили і від її плеча.

Застосування правила моментів сил в різних ситуаціях

Звідси випливає застосування правила моментів сил в різних ситуаціях. Наприклад, якщо ми відкриваємо двері, то штовхати її ми будемо в районі ручки, тобто, подалі від петель. Можна виконати елементарний досвід і переконатися, що штовхати двері тим легше, чим далі ми докладаємо силу від осі обертання. Практичний досвід в даному випадку прямо підтверджується формулою. Так як, щоб моменти сил при різних плечах були рівні, треба, щоб більшого плечу відповідала менша сила і навпаки, меншому плечу відповідала велика. Чим ближче до осі обертання ми докладаємо силу, тим вона повинна бути більше. Чим далі від осі ми впливаємо важелем, обертаючи тіло, тим меншу силу нам необхідно буде докласти. Числові значення легко знаходяться з формули для правила моментів.

Саме виходячи з правила моментів сил ми беремо лом або довгу палицю, якщо нам треба підняти щось важке, і, підсунувши під вантаж один кінець, тягнемо лом біля іншого кінця. З цієї ж причини шурупи ми вкручувати викруткою з довгою ручкою, а гайки закручуємо довгим гайковим ключем.

Момент сили відносно осі або просто момент сили називається проекція сили на пряму, яка перпендикулярна радіусу і проведена в точці прикладання сили помножена на відстань від цієї точки до осі. Або твір сили на плече її застосування. Плече в даному випадку це відстань від осі до точки прикладання сили. Момент сили характеризує обертальний дію сили на тіло. Ось в даному випадку це місце кріплення тіла, щодо якого воно може здійснювати обертання. Якщо тіло не закріплено, то віссю обертання можна вважати центр мас.

Формула 1 - Момент сили.

F - Сила діюча на тіло.

r - Плече сили.

Малюнок 1 - Момент сили.

Як видно з малюнка, плече сили це відстань від осі до точки прикладання сили. Але це в разі якщо кут між ними дорівнює 90 градусів. Якщо це не так, то необхідно уздовж дії сили провести лінію і з осі опустити на неї перпендикуляр. Довжина цього перпендикуляра і буде дорівнює плечу сили. А переміщення точки прикладання сили вздовж напрямку сили не змінює її моменту.

Прийнято вважати позитивним такий момент сили, який викликає поворот тіла по годинникової стрілки щодо точки спостереження. А негативним відповідно викликає обертання проти неї. Вимірюється момент сили в Ньютона на метр. Один ньютонометров це сила в 1 Ньютон діюча на плече в 1 метр.

Якщо сила, що діє на тіло, проходить уздовж лінії йде через вісь обертання тіла, або центр мас, якщо тіло не має осі обертання. Те момент сили в цьому випадку буде дорівнює нулю. Так як ця сила не буде викликати обертання тіла, а просто буде переміщати його поступально уздовж лінії додатки.

Малюнок 2 - Момент сили дорівнює нулю.

У разі якщо на тіло діє кілька сил, то момент сили визначатиме їх рівнодіюча. Наприклад, на тіло можуть діяти дві сили рівні за модулем і спрямовані протилежно. При цьому сумарний момент сили буде дорівнює нулю. Так як ці сили будуть компенсувати один одного. Якщо по простому, то уявіть собі дитячу карусель. Якщо один хлопчик її штовхає за годинниковою стрілкою, а інший з тією ж силою проти, то карусель залишиться нерухомою.

моментом сили щодо довільного центру в площині дії сили, називається твір модуля сили на плече.

плече - найкоротша відстань від центру Про до лінії дії сили, але не до точки прикладання сили, тому що сила-ковзний вектор.

Знак моменти:

За годинниковою-мінус, проти годинникової-плюс;

Момент сили можна виразити як вектор. Це перпендикуляр до площини за правилом свердлика.

Якщо в площині розташовані кілька сил або система сил, то алгебраїчна сума їх моментів дасть нам головний момент системи сил.

Розглянемо момент сили відносно осі, обчислимо момент сили відносно осі Z;

Спроектуємо F на XY;

F xy \u003d F cosα= ab

m 0 (F xy) \u003d m z (F), тобто m z \u003d F xy * h\u003d F cosα* h

Момент сили відносно осі дорівнює моменту її проекції на площину перпендикулярну осі, взятому на перетині осей і площини

Якщо сила паралельна осі або перетинає її, то m z (F) \u003d 0

Вираз моменту сили у вигляді векторного виразу

Проведемо r а в точку A. Розглянемо OA x F.

Це третій вектор m o, перпендикулярний площині. Модуль векторного добутку можна обчислити за допомогою подвоєною площі заштрихованого трикутника.

Аналітичний вираз сили щодо координатних осей.

Припустимо, що з точкою О пов'язані осі Y і Z, X з одиничними векторами i, j, k З огляду на, що:

r x \u003d X * Fx; r y \u003d Y * F y; r z \u003d Z * F y отримаємо: m o (F) \u003d x \u003d

Розкриємо визначник і отримаємо:

m x \u003d YF z - ZF y

m y \u003d ZF x - XF z

m z \u003d XF y - YF x

Ці формули дають можливість обчислити проекцію вектор-моменту на осі, а потім і сам вектор-момент.

Теорема Варіньона про момент рівнодіючої

Якщо система сил має рівнодіюча, то її момент відносно будь-якого центру дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх сил щодо цієї точки

Якщо прикласти Q \u003d -R, то система (Q, F 1 ... F n) буде дорівнює врівноважуватися.

Сума моментів щодо будь-якого центру буде дорівнює нулю.

Аналітична умова рівноваги плоскої системи сил

Це плоска система сил, лінії дії яких розташовані в одній площині

Мета розрахунку завдань даного типу - визначення реакцій зовнішніх зв'язків. Для цього використовуються основні рівняння в плоскій системі сил.

Можуть використовуватися 2 або 3 рівняння моментів.

приклад

Складемо рівняння суми всіх сил на вісь X і Y:

Сума моментів всіх сил щодо точки А:

паралельні сили

Рівняння щодо точки А:

Рівняння відносно точки В:

Сума проекцій сил на вісь У.

Яка дорівнює добутку сили на її плече.

Момент сили обчислюють за допомогою формули:

де F- сила, l - плече сили.

плече сили - це найкоротша відстань від лінії дії сили до осі обертання тіла. На малюнку нижче зображено тверде тіло, яке може обертатися навколо осі. Вісь обертання цього тіла є перпендикулярної до площини малюнка і проходить через точку, яка позначена як буква О. пле-чом сили F t тут виявляється відстань l, Від осі обертання до лінії дії сили. Визначають його таким чином. Першим кроком проводять лінію дії сили, далі з т. О, через яку проходить вісь обертання тіла, опускають на лінію дії сили перпендикуляр. Довжина цього перпендикуляра виявляється плечем даної сили.

Момент сили характеризує вращающее дію сили. Ця дія залежить як від сили, так і від плеча. Чим більше плече, тим меншу силу необхідно прикласти, щоб отримати бажаний результат, тобто один і той же момент сили (див. Рис. Вище). Саме тому відкрити двері, штовхаючи її біля петель, набагато складніше, ніж беручись за ручку, а гайку відвернути набагато легше довгим, ніж коротким гайковим ключем.

За одиницю моменту сили в СІ приймається момент сили в 1 Н, плече якої дорівнює 1м - ньютон-метр (Н · м).

Правило моментів.

Тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі, знаходиться в рівновазі, якщо момент сили М 1 обертає його за годинниковою стрілкою, дорівнює моменту сили М 2 , Яка обертає його проти годинникової стрілки:

Правило моментів є наслідком однієї з теорем механіки, яка була сформульована французьким вченим П. Варіньона в 1687 р

Пара сил.

Якщо на тіло діють 2 рівні і протилежно спрямовані сили, які не лежать на одній прямій, то таке тіло не знаходиться в рівновазі, так як результуючий момент цих сил щодо будь-якої вісі на дорівнює нулю, так як обидві сили мають моменти, спрямовані в одну сторону . Дві такі сили, одночасно діють на тіло, називають парою сил. Якщо тіло закріплено на осі, то під дією пари сил воно буде обертатися. Якщо пара сил прикладена «вільному тілу, то воно буде обертатися навколо осі. що проходить через центр ваги тіла, малюнку б.

Момент пари сил однаковий щодо будь-якої осі, перпендикулярної до площини пари. сумарний момент М пари завжди дорівнює добутку однієї з сил F на відстань l між силами, яке називається пліч-о-пари, Незалежно від того, на які відрізки l, І розділяє положення осі плече пари:

Момент декількох сил, рівнодіюча яких дорівнює нулю, буде однаковим відноси-кові всіх осей, паралельних один одному, тому дія всіх цих сил на тіло можна заме нитка дією однієї пари сил з тим же моментом.