Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади, з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, такі два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і помучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні буде здаватися дитячої жартом.

приклад 2

Знайти похідну функції

Як вже зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, перш за все, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідна значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшне вираз».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, значить, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести в куб:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, сама зовнішня функція - це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції застосуються в зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до самої внутрішньої. вирішуємо:

Начебто без помилок:

1) Беремо похідну від квадратного кореня.

2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

4) Беремо похідну від косинуса.

6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися занадто важко, але це ще не самий звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірник Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідною. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, розуміє студент, як знаходити похідну складеної функції, або не розуміє.

Наступний приклад для самостійного рішення.

приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності і правило диференціювання твори

Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Настав час перейти до чого-небудь більш компактному і симпатичному.
Чи не рідкісна ситуація, коли в прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?

приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на витвір двох функцій? Наприклад, якби у нас в творі було два многочлена, то можна було б розкрити дужки. Але в розглянутому прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твори два рази

Фокус полягає в тому, що за «у» ми позначимо твір двох функцій:, а за «ве» - логарифм:. Чому так можна зробити? А хіба - це не твір двох множників і правило не працює ?! Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще поізвращаться і винести що-небудь за дужки, але в даному випадку відповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше буде перевіряти.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення, в зразку воно вирішено першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади з дробом.

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна піти декількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться більш компактно, якщо в першу чергу керуватися правилом диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

В принципі, приклад вирішене, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але при наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна відповідь спростити?

Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника і позбудемося триповерховий дроби:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання і просять «довести до розуму» похідну.

Більш простий приклад для самостійного рішення:

приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропонований «страшний» логарифм

Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показовою функції

Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На даному уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо більш складні похідні, а також познайомимося з новими прийомами і хитрощами знаходження похідної, зокрема, з логарифмічною похідною.

Тим читачам, у кого низький рівень підготовки, слід звернутися до статті Як знайти похідну? приклади рішень, Яка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, Зрозуміти і прорешать усе наведені мною приклади. Даний урок логічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви будете впевнено диференціювати досить складні функції. Небажано дотримуватися позиції «Куди ще? Та й так вистачить! », Оскільки всі приклади і прийоми рішення взяті з реальних контрольних робіт і часто зустрічаються на практиці.

Почнемо з повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули ряд прикладів з докладними коментарями. В ході вивчення диференціального обчислення і інших розділів математичного аналізу - диференціювати доведеться дуже часто, і не завжди буває зручно (та й не завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємося в усному знаходженні похідних. Самим придатними «кандидатами» для цього є похідні найпростіших зі складних функцій, наприклад:

За правилом диференціювання складної функції :

При вивченні інших тем мату в майбутньому така докладна запис найчастіше не потрібно, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Уявімо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голос запитав: «Чому дорівнює похідна тангенса двох ікс?». На це повинен послідувати майже миттєвий і ввічливий відповідь: .

Перший приклад буде одразу призначений для самостійного рішення.

приклад 1

Знайти такі похідні усно, в одну дію, наприклад:. Для виконання завдання потрібно використовувати тільки таблицю похідних елементарних функцій (Якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Відповіді в кінці уроку

складні похідні

Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади, з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, такі два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і помучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні буде здаватися дитячої жартом.

приклад 2

Знайти похідну функції

Як вже зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, перш за все, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідна значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшне вираз».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, значить, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести в куб:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, сама зовнішня функція - це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції застосуються в зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до самої внутрішньої. вирішуємо:

Начебто без помилок ....

(1) Беремо похідну від квадратного кореня.

(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

(4) Беремо похідну від косинуса.

(5) Беремо похідну від логарифма.

(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися занадто важко, але це ще не самий звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірник Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідною. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, розуміє студент, як знаходити похідну складеної функції, або не розуміє.

Наступний приклад для самостійного рішення.

приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності і правило диференціювання твори

Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Настав час перейти до чого-небудь більш компактному і симпатичному.
Чи не рідкісна ситуація, коли в прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?

приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на витвір двох функцій? Наприклад, якби у нас в творі було два многочлена, то можна було б розкрити дужки. Але в розглянутому прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твори два рази

Фокус полягає в тому, що за «у» ми позначимо твір двох функцій:, а за «ве» - логарифм:. Чому так можна зробити? А хіба - це не твір двох множників і правило не працює ?! Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще поізвращаться і винести що-небудь за дужки, але в даному випадку відповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше буде перевіряти.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення, в зразку воно вирішено першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади з дробом.

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна піти декількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться більш компактно, якщо в першу чергу керуватися правилом диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

В принципі, приклад вирішене, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але при наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна відповідь спростити? Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника і позбудемося триповерховий дроби:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання і просять «довести до розуму» похідну.

Більш простий приклад для самостійного рішення:

приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропонований «страшний» логарифм

приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:

Але перший же крок відразу засмучує - належить узяти неприємну похідну від дробу ступеня, а потім ще й від дробу.

Тому перед тим як брати похідну від «крутого» логарифма, його попередньо спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:

! Якщо під рукою є зошит з практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошити немає, перемалюють їх на листочок, оскільки залишилися приклади уроку буду обертатися навколо цих формул.

Саме рішення можна оформити приблизно так:

Перетворимо функцію:

Знаходимо похідну:

Попереднє перетворення самої функції значно спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропонований подібний логарифм, то його завжди доцільно «розвалити».

А зараз пара нескладних прикладів для самостійного рішення:

приклад 9

Знайти похідну функції

приклад 10

Знайти похідну функції

Всі перетворення і відповіді в кінці уроку.

логарифмічна похідна

Якщо похідна від логарифмів - це така солодка музика, то виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть потрібно.

приклад 11

Знайти похідну функції

Схожі приклади ми недавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, а потім правило диференціювання твори. Недолік методу полягає в тому, що вийде величезна триповерхова дріб, з якої зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії і практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Примітка : Тому що функція може приймати негативні значення, то, взагалі кажучи, потрібно використовувати модулі: , Які зникнуть в результаті диференціювання. Однак припустимо і поточне оформлення, де за замовчуванням беруться до уваги комплексні значення. Але якщо з усією строгістю, то і в тому і в іншому випадку слід зробити застереження, що.

Тепер потрібно максимально «розвалити» логарифм правій частині (формули перед очима?). Я розпишу цей процес дуже докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Похідна правій частині досить проста, її я коментувати не буду, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено впоратися з цим завданням.

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю запитання: «Чому, там же одна буква« ігрек »під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна буква ігрек» - САМА ПО СОБІ Є ФУНКЦІЄЮ (Якщо не дуже зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм - це зовнішня функція, а «ігрек» - внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції :

У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрек» з знаменника лівій частині наверх правій частині:

А тепер згадуємо, про який такий «ігрек» -функції ми міркували при диференціюванні? Дивимося на умова:

Остаточна відповідь:

приклад 12

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу даного типу в кінці уроку.

За допомогою логарифмічною похідною можна було вирішити будь-яке із прикладів № 4-7, інша справа, що там функції простіше, і, може бути, використання логарифмічною похідною не дуже-то і виправдано.

Похідна статечно-показовою функції

Дану функцію ми ще не розглядали. Статечно-показова функція - це функція, у якій і ступінь і підстава залежать від «ікс». Класичний приклад, який вам приведуть в будь-якому підручнику або на будь-який лекції:

Як знайти похідну від статечно-показовою функції?

Необхідно використовувати тільки що розглянутий прийом - логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:

Як правило, в правій частині з-під логарифма виноситься ступінь:

В результаті в правій частині у нас вийшло твір двох функцій, яке буде диференціюватися за стандартною формулою .

Знаходимо похідну, для цього робимо висновок обидві частини під штрихи:

Подальші дії нескладні:

остаточно:

Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміло, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прімера № 11.

У практичних завданнях статечно-показова функція завжди буде складніше, ніж розглянутий лекційний приклад.

приклад 13

Знайти похідну функції

Використовуємо логарифмічну похідну.

У правій частині у нас константа і твір двох множників - «ікси» і «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладений ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще відразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило :

На даному уроці ми навчимося знаходити похідну складної функції. Урок є логічним продовженням заняття Як знайти похідну?, На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомилися з правилами диференціювання і деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти даної статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищевказаним уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад - матеріал не з простих, але я все-таки спробую викласти його просто і доступно.

На практиці з похідною складної функції доводиться стикатися дуже часто, я б навіть сказав, майже завжди, коли Вам дано завдання на знаходження похідних.

Дивимося в таблицю на правило (№5) диференціювання складної функції:

Розбираємося. Перш за все, звернемо увагу на запис. Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена в функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.

Функцію я буду називати зовнішньої функцією, А функцію - внутрішньої (або вкладеної) функцією.

! Дані визначення не є теоретичними і не повинні фігурувати в чистовому оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази «зовнішня функція», «внутрішня» функція тільки для того, щоб Вам легше було зрозуміти матеріал.

Для того, щоб прояснити ситуацію, розглянемо:

приклад 1

Знайти похідну функції

Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираз, тому знайти похідну відразу по таблиці не вийде. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але справа в тому, що «розривати на частини» синус не можна:

В даному прикладі вже з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція - це складна функція, причому многочлен є внутрішньою функцією (вкладенням), а - зовнішньої функцією.

Перший крок, Який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка - зовнішньої.

У разі простих прикладів начебто зрозуміло, що під синус вкладений многочлен. А як же бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньої? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити в думках або на чернетці.

Уявімо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу при (замість одиниці може бути будь-яке число).

Що ми обчислимо в першу чергу? В першу чергу потрібно буде виконати наступну дію:, тому многочлен і буде внутрішньою функцією:

У другу чергу потрібно буде знайти, тому синус - буде зовнішньої функцією:

Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯ з внутрішньої і зовнішньої функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції.

Починаємо вирішувати. З уроку Як знайти похідну? ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - робимо висновок вираз в дужки і ставимо справа вгорі штрих:

спочатку знаходимо похідну зовнішньої функції (синуса), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що. Всі табличні формули застосовні і в тому, випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:

Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.

Ну і зовсім очевидно, що

Результат застосування формули в чистовому оформленні виглядає так:

Постійний множник зазвичай виносять в початок вирази:

Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір і ще раз прочитайте пояснення.

приклад 2

Знайти похідну функції

приклад 3

Знайти похідну функції

Як завжди записуємо:

Розбираємося, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при. Що потрібно виконати в першу чергу? В першу чергу потрібно порахувати чому дорівнює підставу:, значить, многочлен - і є внутрішня функція:

І, тільки потім виконується зведення в ступінь, отже, статечна функція - це зовнішня функція:

Відповідно до формули, спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, в даному випадку, від ступеня. Розшукуємо в таблиці потрібну формулу:. Повторюємо ще раз: будь-яка табличная формула справедлива не тільки для «ікс», а й для складного виразу. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється:

Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи «причесати» результат:

приклад 4

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

Для закріплення розуміння похідною складної функції приведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і де внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?

приклад 5

а) Знайти похідну функції

б) Знайти похідну функції

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут у нас корінь, а для того, щоб продифференцировать корінь, його потрібно представити у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію в належний для диференціювання вид:

Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків - це внутрішня функція, а спорудження до рівня - зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції:

Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:

Готово. Можна ще в дужках привести вираз до спільного знаменника і записати все однієї дробом. Красиво, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні - краще цього не робити (легко заплутатися, допустити непотрібну помилку, та й викладачеві буде незручно перевіряти).

приклад 7

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило диференціювання приватного , Але таке рішення буде виглядати як перекручення забавно. Ось характерний приклад:

приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна використовувати правило диференціювання приватного , Але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:

Готуємо функцію для диференціювання - виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо в чисельник:

Косинус - внутрішня функція, зведення в ступінь - зовнішня функція.
Використовуємо наше правило:

Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад вниз:

Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися в знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила , Відповіді повинні співпасти.

приклад 9

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

До сих пір ми розглядали випадки, коли у нас в складній функції було тільки одне вкладення. У практичних же завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.

приклад 10

Знайти похідну функції

Розбираємося у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми вважали на калькуляторі?

Спочатку потрібно знайти, значить, арксинус - найглибше вкладення:

Потім цей арксинус одиниці слід звести в квадрат:

І, нарешті, сімку зводимо в ступінь:

Тобто, в даному прикладі у нас три різні функції і два вкладення, при цьому, самої внутрішньою функцією є арксинус, а самої зовнішньої функцією - показова функція.

починаємо вирішувати

Згідно з правилом спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних і знаходимо похідну показовою функції: Єдина відмінність - замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули. Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Під штрихом у нас знову складна функція! Але вона вже простіше. Легко переконатися, що внутрішня функція - арксинус, зовнішня функція - ступінь. Згідно з правилом диференціювання складної функції спочатку потрібно взяти похідну від ступеня.

якщо g(x) і f(u) - диференційовані функції своїх аргументів відповідно в точках x і u= g(x), то складна функція також диференційована в точці xі знаходиться за формулою

Типова помилка при вирішенні задач на похідні - несвідоме перенесення правил диференціювання простих функцій на складні функції. Будемо вчитися уникати цієї помилки.

Приклад 2.Знайти похідну функції

Неправильне рішення: обчислювати натуральний логарифм кожного доданка в дужках і шукати суму похідних:

Правильне рішення: знову визначаємо, де "яблуко", а де "фарш". Тут натуральний логарифм від виразу в дужках - це "яблуко", тобто функція по проміжному аргументу u, А вираз в дужках - "фарш", тобто проміжний аргумент u по незалежній змінній x.

Тоді (застосовуючи формулу 14 з таблиці похідних)

У багатьох реальних задачах вираз з логарифмом буває трохи складніше, тому і є урок

Приклад 3.Знайти похідну функції

Неправильне рішення:

Правильне рішення. В черговий раз визначаємо, де "яблуко", а де "фарш". Тут косинус від виразу в дужках (формула 7 в таблиці похідних) - це "яблуко", воно готується в режимі 1, що впливає тільки на нього, а вираз в дужках (похідна ступеня - номер 3 в таблиці похідних) - це "фарш", він готується при режимі 2, що впливає тільки на нього. І як завжди з'єднуємо дві похідні знаком твори. результат:

Похідна складної логарифмічною функції - часте завдання на контрольних роботах, тому настійно рекомендуємо відвідати урок "Похідна логарифмічної функції".

Перші приклади були на складні функції, в яких проміжний аргумент по незалежній змінній був простий функцією. Але в практичних завданнях нерідко потрібно знайти похідну складної функції, де проміжний аргумент або сам є складною функцією або містить таку функцію. Що робити в таких випадках? Знаходити похідні таких функцій за таблицями і правилам диференціювання. Коли знайдена похідна проміжного аргументу, вона просто підставляється в потрібне місце формули. Нижче - два приклади, як це робиться.

Крім того, корисно знати наступне. Якщо складна функція може бути представлена \u200b\u200bу вигляді ланцюжка з трьох функцій

то її похідну слід шукати як твір похідних кожної з цих функцій:

Для вирішення багатьох ваших домашніх завдань може знадобитися відкрити в нових вікнах посібники Дії зі ступенями і корінням і Дії з дробами .

Приклад 4.Знайти похідну функції

Застосовуємо правило диференціювання складної функції, не забуваючи, що в отриманому творі похідних проміжний аргумент по незалежній змінній x не змінюється:

Готуємо другий співмножник твори і застосовуємо правило диференціювання суми:

Другий доданок - корінь, тому

Таким чином отримали, що проміжний аргумент, який є сумою, в якості одного з доданків містить складну функцію: піднесення до степеня - складна функція, а то, що зводиться до степеня - проміжний аргумент по незалежній змінній x.

Тому знову застосуємо правило диференціювання складної функції:

Ступінь першого співмножники перетворимо в корінь, а диференціюючи другий співмножник, не забуваємо, що похідна константи дорівнює нулю:

Тепер можемо знайти похідну проміжного аргументу, потрібного для обчислення необхідної в умові завдання похідною складної функції y:

Приклад 5.Знайти похідну функції

Спочатку скористаємося правилом диференціювання суми:

Отримали суму похідних двох складних функцій. Знаходимо першу з них:

Тут зведення синуса в ступінь - складна функція, а сам синус - проміжний аргумент по незалежній змінній x. Тому скористаємося правилом диференціювання складної функції, попутно виносячи множник за дужки :

Тепер знаходимо другий доданок з утворюють похідну функції y:

Тут зведення косинуса в ступінь - складна функція f, А сам косинус - проміжний аргумент по незалежній змінній x. Знову скористаємося правилом диференціювання складної функції:

Результат - необхідна похідна:

Таблиця похідних деяких складних функцій

Для складних функцій на підставі правила диференціювання складної функції формула похідною простий функції приймає інший вигляд.

1. Похідна складної статечної функції, де u x
2. Похідна кореня від виразу
3. Похідна показовою функції
4. Окремий випадок показовою функції
5. Похідна логарифмічної функції з довільним позитивним підставою а
6. Похідна складної логарифмічною функції, де u - диференційована функція аргументу x
7. Похідна синуса
8. Похідна косинуса
9. Похідна тангенса
10. Похідна котангенс
11. Похідна арксинуса
12. Похідна арккосинуса
13. Похідна арктангенса
14. Похідна арккотангенса

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті рішення задач про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій по визначенню похідною як межі відношення приросту до приросту аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних потрудилися Ісаак Ньютон (1643-1727) і Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згаданий вище границя відношення приросту функції до приросту аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних і правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, Треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функції і визначити, якими діями (Твір, сума, приватне) пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо в таблиці похідних, а формули похідних твори, суми і приватного - в правилах диференціювання. Таблиця похідних і правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

Приклад 1. Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, т. Е.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікси" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косинусу. Підставляємо ці значення в суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

Приклад 2. Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюючи як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки виникають питання, звідки що береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних і найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо прямо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є в вираженні функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, так як потрібно дуже часто
2. Похідна незалежної змінної. Найчастіше "ікси". Завжди дорівнює одиниці. Це теж важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. В ступінь при вирішенні задач потрібно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної в ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенс
10. Похідна арксинуса
11. Похідна арккосинуса
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифма
15. Похідна логарифмічної функції
16. Похідна експоненти
17. Похідна показовою функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми або різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вираження, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1. якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в тій же точці мають похідні і функції

причому

тобто похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві диференціюються відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, Тобто

Правило 2.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в той же точці дифференцируемого і їх твір

причому

тобто похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший.

Слідство 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Слідство 2. Похідна твори кількох диференціюються дорівнює сумі творів похідною кожного із співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці і , то в цій точці дифференцируемого і їхня приватнаu / v, причому

тобто похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної добутку і частки в реальних задачах завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - в статті"Похідна добутку і частки функцій".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто, число) як доданок в сумі і як постійний множник! У разі доданка її похідна дорівнює нулю, а в разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру рішення вже декількох одно- двоскладові прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.

А якщо при диференціюванні твори або приватного у вас з'явилося доданок u"v , в якому u - число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа буде дорівнює нулю і, отже, все доданок дорівнюватиме нулю (такий випадок розібраний в прикладі 10).

Інша часта помилка - механічне рішення похідною складної функції як похідною простої функції. Тому похідною складної функції присвячена окрема стаття. Але спочатку будемо вчитися знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити в нових вікнах посібники Дії зі ступенями і корінням і Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями і корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , То йдіть на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням".

Якщо ж перед Вами завдання на зразок , То Вам на заняття "Похідні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

Приклад 3. Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: все вираз являє твір, а його співмножники - суми, в другій з яких одна з складових містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твори: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється в одиницю, а мінус 5 - в нуль. У другому вираженні "ікс" помножений на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікси". Отримуємо наступні значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні в суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

А перевірити рішення задачі на похідну можна на.

Приклад 4. Знайти похідну функції

Рішення. Від нас вимагається знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання приватного: похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. отримуємо:

Похідну сомножителей в чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником в чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте рішення таких задач, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів і ступенів, як, наприклад, , То ласкаво просимо на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синусів, косинусів, тангенсів і інших тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , То Вам на урок "Похідні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5. Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь з незалежною змінною, з похідною якого ми ознайомилися в таблиці похідних. За правилом диференціювання твори і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Перевірити рішення задачі на похідну можна на калькуляторі похідних онлайн .

Приклад 6. Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь з незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися від дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на.