Інтегрування по частинах дробу. Інтегрування дробово-раціональної функції

Як я вже зазначав, в інтегральному численні немає зручної формули для інтегрування дробу. І тому спостерігається сумна тенденція: чим «наворочені» дріб, тим важче знайти від неї інтеграл. У зв'язку з цим доводиться вдаватися до різних хитрощів, про які я зараз і розповім. Підготовлені читачі можуть відразу скористатися змістом:

• Метод підбиття під знак диференціала для найпростіших дробів

Метод штучного перетворення чисельника

приклад 1

До речі, розглянутий інтеграл можна вирішити і методом заміни змінної, позначаючи, але запис рішення вийде значно довше.

приклад 2

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Це приклад для самостійного рішення. Слід зауважити, що тут метод заміни змінної вже не пройде.

Увага, важливо! Приклади №№1,2 є типовими і зустрічаються часто. В тому числі, подібні інтеграли нерідко виникають в ході вирішення інших інтегралів, зокрема, при інтегруванні ірраціональних функцій (коренів).

Розглянутий прийом працює і в разі, якщо старша ступінь чисельника, більше старшого ступеня знаменника.

приклад 3

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Починаємо підбирати чисельник.

Алгоритм підбору чисельника приблизно такий:

1) В чисельнику мені потрібно організувати, але там. Що робити? Роблю висновок в дужки і множу на:.

2) Тепер пробую розкрити ці дужки, що вийде? . Хмм ... вже краще, але ніякої двійки при спочатку в чисельнику немає. Що робити? Потрібно помножити на:

3) Знову розкриваю дужки:. А ось і перший успіх! Потрібний вийшов! Але проблема в тому, що з'явилося зайве доданок. Що робити? Щоб вираз не змінилося, я зобов'язаний додати до своєї конструкції це ж:
. Жити стало легше. А чи не можна ще раз в чисельнику організувати?

4) Можна. пробуємо: . Розкриваємо дужки другого доданка:
. Вибачте, але у мене взагалі-то було на попередньому кроці, а не. Що робити? Потрібно помножити другий доданок на:

5) Знову для перевірки розкриваю дужки в другому доданку:
. Ось тепер нормально: отримано з остаточної конструкції пункту 3! Але знову є маленьке «але», з'явилося зайве доданок, значить, я зобов'язаний додати до свого висловом:

Якщо все виконано правильно, то при розкритті всіх дужок у нас повинен вийти вихідний чисельник підінтегральної функції. перевіряємо:
Гуд.

Таким чином:

Готово. В останньому доданку я застосував метод підведення функції під диференціал.

Якщо знайти похідну від відповіді і привести вираз до спільного знаменника, то у нас вийде в точності вихідна подинтегральная функція. Розглянутий метод розкладання в суму - є не що інше, як зворотна дія до приведення вислови до спільного знаменника.

Алгоритм підбору чисельника в подібних прикладах краще виконувати на чернетці. При деяких навичках буде виходити і подумки. Пригадую рекордний випадок, коли я виконував підбір для 11-го ступеня, і розкладання чисельника зайняло майже два рядки Вёрда.

приклад 4

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Це приклад для самостійного рішення.

Метод підбиття під знак диференціала для найпростіших дробів

Переходимо до розгляду наступного типу дробів.
,,, (Коефіцієнти і не дорівнюють нулю).

Насправді пара випадків з арксинуса і арктангенсом вже прослизала на уроці Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі. Вирішуються такі приклади способом підведення функції під знак диференціала і подальшим інтегруванням за допомогою таблиці. Ось ще типові приклади з довгим і високим логарифмом:

приклад 5

приклад 6

Тут доцільно взяти в руки таблицю інтегралів і простежити, за якими формулами і як здійснюється перетворення. Зверніть увагу, як і навіщо виділяються квадрати в даних прикладах. Зокрема, в прикладі 6 спочатку необхідно представити знаменник у вигляді , Потім підвести під знак диференціала. А зробити це все потрібно для того, щоб скористатися стандартною табличній формулою .

Так що дивитися, спробуйте самостійно вирішити приклади №№7,8, тим більше, вони досить короткі:

приклад 7

приклад 8

Знайти невизначений інтеграл:

Якщо Вам вдасться виконати ще й перевірку даних прикладів, то великий респект - Ваші навички диференціювання на висоті.

Метод виділення повного квадрата

Інтеграли виду, (Коефіцієнти і не дорівнюють нулю) вирішуються шляхом виділення повного квадрата, Який вже фігурував на уроці Геометричні перетворення графіків.

Насправді такі інтеграли зводяться до одного з чотирьох табличних інтегралів, які ми тільки що розглянули. А досягається це за допомогою знайомих формул скороченого множення:

Формули застосовуються саме в такому напрямку, тобто, ідея методу полягає в тому, щоб в знаменнику штучно організувати вираження або, а потім перетворити їх відповідно в кого.

приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

Це найпростіший приклад, в якому при слагаемом - одиничний коефіцієнт (А не якесь там число або мінус).

Дивимося на знаменник, тут вся справа явно зведеться до випадку. Починаємо перетворення знаменника:

Очевидно, що потрібно додавати 4. І, щоб вираз не змінилося - цю ж четвірку і віднімати:

Тепер можна застосувати формулу:

Після того, як перетворення закінчено ЗАВЖДИ бажано виконати зворотний хід:, все нормально, помилок немає.

Чистове оформлення даного прикладу має виглядати приблизно так:

Готово. Підбиттям «халявної» складної функції під знак диференціала:, в принципі, можна було знехтувати

приклад 10

Знайти невизначений інтеграл:

Це приклад для самостійного рішення, відповідь в кінці уроку

приклад 11

Знайти невизначений інтеграл:

Що робити, коли перед знаходиться мінус? В цьому випадку, потрібно винести мінус за дужки і розташувати складові в потрібному нам порядку:. константу ( «Двійку» в даному випадку) не чіпаємо!

Тепер в дужках додаємо одиничку. Аналізуючи вираз, приходимо до висновку, що і за дужкою потрібно одиничку - додати:

Тут вийшла формула, застосовуємо:

ЗАВЖДИ виконуємо на чернетці перевірку:
, Що і було потрібно перевірити.

Чистове оформлення прикладу виглядає приблизно так:

ускладнюємо завдання

приклад 12

Знайти невизначений інтеграл:

Тут при слагаемом вже не поодинокий коефіцієнт, а «п'ятірка».

(1) Якщо при знаходиться константа, то її відразу виносимо за дужки.

(2) І взагалі цю константу завжди краще винести за межі інтеграла, щоб вона не заважала під ногами.

(3) Очевидно, що все зведеться до формули. Треба розібратися в слагаемом, а саме, отримати «двійку»

(4) Ага,. Значить, до вираження додаємо, і цю ж дріб віднімаємо.

(5) Тепер виділяємо повний квадрат. У загальному випадку також треба обчислити, але тут у нас вимальовується формула довгого логарифма , І дія виконувати не має сенсу, чому - стане ясно трохи нижче.

(6) Власне, можна застосувати формулу , Тільки замість «ікс» у нас, що не скасовує справедливість табличного інтеграла. Строго кажучи, пропущений один крок - перед інтеграцією функцію слід підвести під знак диференціала: , Але, як я вже неодноразово зазначав, цим часто нехтують.

(7) У відповіді під коренем бажано розкрити всі дужки назад:

Складно? Це ще не найскладніше в інтегральному численні. Хоча, що розглядаються приклади не стільки складні, скільки вимагають хорошої техніки обчислень.

приклад 13

Знайти невизначений інтеграл:

Це приклад для самостійного рішення. Відповідь в кінці уроку.

Існують інтеграли з корінням в знаменнику, які за допомогою заміни зводяться до інтегралів розглянутого типу, про них можна прочитати в статті складні інтеграли, Але вона розрахована на досить підготовлених студентів.

Підведення чисельника під знак диференціала

Це заключна частина уроку, проте, інтеграли такого типу зустрічаються досить часто! Якщо накопичилася втома, може, воно, краще завтра почитати? ;)

Інтеграли, які ми будемо розглядати, схожі на інтеграли попереднього параграфа, вони мають вигляд: або (Коефіцієнти, і не дорівнюють нулю).

Тобто, в чисельнику у нас з'явилася лінійна функція. Як вирішувати такі інтеграли?

Завдання знаходження невизначеного інтеграла дрібно раціональної функції зводиться до інтегрування найпростіших дробів. Тому рекомендуємо для початку ознайомитися з розділом теорії розкладання на прості дроби.

Приклад.

Знайти невизначений інтеграл.

Рішення.

Так як ступінь чисельника підінтегральної функції дорівнює ступеня знаменника, то для початку виділяємо цілу частину, проводячи розподіл стовпчиком багаточлена на багаточлен:

Тому, .

Розкладання отриманої правильної раціональної дробу на найпростіші дроби має вигляд . отже,

Отриманий інтеграл являє собою інтеграл найпростішої дробу третього типу. Забігаючи трохи наперед, відзначимо, що взяти його можна методом підведення під знак диференціала.

Так як , то . Тому

отже,

Тепер перейдемо до опису методів інтегрування найпростіших дробів кожного з чотирьох типів.

Інтегрування найпростіших дробів першого типу

Для вирішення цього завдання ідеально підходить метод безпосереднього інтегрування:

Приклад.

Знайти безліч первісних функції

Рішення.

Знайдемо невизначений інтеграл, використовуючи властивості первісної, таблицю первісних і правило інтегрування.

На початок сторінки

Інтегрування найпростіших дробів другого типу

Для вирішення цього завдання також підходить метод безпосереднього інтегрування:

Приклад.

Рішення.

На початок сторінки

Інтегрування найпростіших дробів третього типу

Для початку представляємо невизначений інтеграл у вигляді суми:

Перший інтеграл беремо методом підведення під знак диференціала:

Тому,

У отриманого інтеграла перетворимо знаменник:

отже,

Формула інтегрування найпростіших дробів третього типу набуває вигляду:

Приклад.

Знайдіть невизначений інтеграл .

Рішення.

Використовуємо отриману формулу:

Якби у нас не було цієї формули, то як би ми поступили:

На початок сторінки

Інтегрування найпростіших дробів четвертого типу

Перший крок - підводимо під знак диференціала:

Другий крок - знаходження інтеграла вигляду . Інтеграли подібного виду перебувають з використанням рекурентних формул. (Дивіться розділ інтегрування з використанням рекурентних формул). Для нашого випадку підходить наступна рекуррентная формула:

Приклад.

Знайдіть невизначений інтеграл

Рішення.

Для даного виду підінтегральної функції використовуємо метод підстановки. Введемо нову змінну (дивіться розділ інтегрування ірраціональних функцій):

Після підстановки маємо:

Прийшли до знаходження інтеграла дробу четвертого типу. У нашому випадку маємо коефіцієнти М \u003d 0, р \u003d 0, q \u003d 1, N \u003d 1 і n \u003d 3. Застосовуємо рекуррентную формулу:

Після зворотного заміни отримуємо результат:

Інтегрування тригонометричних функцій

1.Інтеграли виду обчислюються перетворенням добутку тригонометричних функцій у суму за формулами: Наприклад, 2.Інтеграли виду , де m або n- непарне позитивне число, обчислюються підведенням під знак диференціала. наприклад, 3.Інтеграли виду , де m і n-четние позитивні числа, обчислюються за допомогою формул зниження ступеня: Наприклад, 4.Інтеграли де обчислюються заміною змінної: або Наприклад, 5.Інтеграли виду зводяться до інтегралів від раціональних дробів за допомогою універсальної тригонометричної підстановки тоді (тому що \u003d [Після поділу чисельника і знаменника на] \u003d; наприклад, Слід зауважити, що використання універсальної підстановки нерідко призводить до громіздким викладкам.

§5. Інтегрування найпростіших иррациональностей

Розглянемо методи інтегрування найпростіших видів иррациональностей. 1. Функції такого виду інтегруються так само, як найпростіші раціональні дроби 3-го типу: в знаменнику з квадратного тричлена виділяється повний квадрат і вводиться нова змінна. Приклад. 2. (під знаком інтеграла-раціональна функція аргументів). Інтеграли такого виду обчислюються за допомогою заміни. Зокрема, в інтеграли виду позначають. Якщо підінтегральна функція містить коріння різних ступенів: , То позначають, де n- найменше спільне кратне чисел m, k. Приклад 1. Приклад 2. -неправильно раціональний дріб, виділимо цілу частину: – – – 3.Інтеграли виду обчислюються за допомогою тригонометричних підстановок:

44

45 Певний інтеграл

Визначений інтеграл - адитивний монотонний нормований функціонал, визначений на множині пар, перша компонента яких є інтегрована функція іліфункціонал, а друга - область в безлічі завдання цієї функції (функціоналу).

визначення

Нехай визначена на. Розіб'ємо на частини з кількома довільними точками. Тоді кажуть, що вироблено розбиття відрізка Далі виберемо довільну точку , ,

Певним інтегралом від функції на відрізку називається межа інтегральних сум при прагненні рангу розбиття до нуля, якщо він існує незалежно від розбиття і вибору точок, то є

Якщо існує вказану межу, то функція називається інтегрованою на за Ріманом.

позначення

· - нижня межа.

· - верхня межа.

· - підінтегральна функція.

· - довжина часткового відрізка.

· - інтегральна сума від функції на відповідній розбиття.

· - максимальна довжина част.отрезка.

властивості

Якщо функція інтегровна за Ріманом на, то вона обмежена на ньому.

геометричний сенс

Певний інтеграл як площа фігури

Певний інтеграл чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої віссю абсцис, прямими і та графіком функції.

Теорема Ньютона - Лейбніца

[Ред]

(Перенаправлено з «Формула Ньютона-Лейбніца»)

Формула Ньютона - Лейбніца або основна теорема аналізу дає співвідношення між двома операціями: взяттям певного інтеграла і обчисленням первісної.

Доведення

Нехай на відрізку задана інтегрована функція. Почнемо з того, що відзначимо, що

тобто не має ніякого значення, яка буква (або) стоїть під знаком в певному інтегралі по відрізку.

Задамо довільне значення і визначимо нову функцію . Вона визначена для всіх значень, тому що ми знаємо, що якщо існує інтеграл від на, то існує також інтеграл від на, де. Нагадаємо, що ми вважаємо за визначенням

(1)

Зауважимо, що

Покажемо, що неперервна на відрізку. Справді, нехай; тоді

і якщо, то

Таким чином, неперервна на незалежно від того, має чи не має розриви; важливо, що інтегрована на.

На малюнку зображений графік. Площа змінної фігури дорівнює. Її приріст дорівнює площі фігури , Яка в силу обмеженості, очевидно, прагне до нуля при незалежно від того, чи буде точкою безперервності або розриву, наприклад точкою.

Нехай тепер функція не тільки інтегрована на, але неперервна в точці. Доведемо, що тоді має в цій точці похідну, рівну

(2)

Справді, для зазначеної точки

(1) , (3)

Ми поклали, а так як постійна щодо, TO . Далі, в силу безперервності в точці для всякого можна вказати таке, що для.

що доводить, що ліва частина цієї нерівності є про (1) при.

Перехід до межі в (3) при показує існування похідною від в точці і справедливість рівності (2). При мова тут йде відповідно про правої і лівої похідної.

Якщо функція неперервна на, то на підставі доведеного вище відповідна їй функція

(4)

має похідну, рівну. Отже, функція є первісна для на.

Цей висновок іноді називається теоремою про інтеграл із змінною верхньою межею або теоремою Барроу.

Ми довели, що довільна безперервна на відрізку функція має на цьому відрізку первісну, певну рівністю (4). Цим доведено існування первісної для будь-якої неперервної на відрізку функції.

Нехай тепер є довільна первісна функції на. Ми знаємо, що, де - деяка постійна. Вважаючи в цій рівності і враховуючи, що, отримаємо.

Таким чином, . але

невласний інтеграл

[Ред]

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Визначений інтеграл називається невласних, Якщо виконується, принаймні, одна з таких умов:

· Межа a або b (або обидва межі) є нескінченними;

· Функція f (x) має одну або кілька точок розриву всередині відрізка.

[Ред] Невласні інтеграли I роду

. тоді:

1. Якщо і інтеграл називається . В цьому випадку називається збіжним.

, Або просто розходяться.

Нехай визначена і неперервна на множині від і . тоді:

1. Якщо , То використовується позначення і інтеграл називається невласних інтегралом Рімана першого роду. В цьому випадку називається збіжним.

2. Якщо не існує кінцевого (Або), то інтеграл називається розбіжним до , Або просто розходяться.

Якщо функція визначена і неперервна на всій числовій прямій, то може існувати невласний інтеграл даної функції з двома нескінченними межами інтегрування, який визначається формулою:

, Де с - довільне число.

[Ред] Геометричний сенс невласного інтеграла I роду

Невласний інтеграл виражає площу нескінченно довгою криволінійної трапеції.

[Ред] приклади

[Ред] Невласні інтеграли II роду

Нехай визначена на, терпить нескінченний розрив в точці x \u003d a і . тоді:

1. Якщо , То використовується позначення і інтеграл називається

називається розбіжним до , Або просто розходяться.

Нехай визначена на, терпить нескінченний розрив при x \u003d b і . тоді:

1. Якщо , То використовується позначення і інтеграл називається невласних інтегралом Рімана другого роду. У цьому випадку інтеграл називається збіжним.

2. Якщо або, то позначення зберігається, а називається розбіжним до , Або просто розходяться.

Якщо функція терпить розрив у внутрішній точці відрізка, то невласний інтеграл другого роду визначається формулою:

[Ред] Геометричний сенс невласних інтегралів II роду

Невласний інтеграл виражає площу нескінченно високою криволінійної трапеції

[Ред] приклад

[Ред] Окремий випадок

Нехай функція визначена на всій числовій осі і має розрив в точках.

Тоді можна знайти невласний інтеграл

[Ред] Критерій Коші

1. Нехай визначена на безлічі від і .

тоді сходиться

2. Нехай визначена на і .

тоді сходиться

[Ред] Абсолютна збіжність

інтеграл називається абсолютно збіжним, якщо сходиться.
Якщо інтеграл сходиться абсолютно, то він сходиться.

[Ред] Умовна збіжність

інтеграл називається умовно збіжним, Якщо сходиться, а розходиться.

48 12. Невласні інтеграли.

При розгляді певних інтегралів ми припускали, що область інтегрування обмежена (більш конкретно, є відрізком [ a ,b ]); для існування певного інтеграла необхідна обмеженість підінтегральної функції на [ a ,b ]. Будемо називати певні інтеграли, для яких виконуються обидва ці умови (обмеженість і області інтегрування, і підінтегральної функції) власними; інтеграли, для яких порушуються ці вимоги (тобто необмежена або підінтегральна функція, або область інтегрування, або і те, і інше разом) невласними. У цьому розділі ми вивчимо невласні інтеграли.

• 12.1. Невласні інтеграли по необмеженому проміжку (невласні інтеграли першого роду).
• 12.1.1. Визначення невласного інтеграла по нескінченному проміжку. Приклади.
• 12.1.2. Формула Ньютона-Лейбніца для невласного інтеграла.
• 12.1.3. Ознаки порівняння для невід'ємних функцій.
• 12.1.3.1. Ознака порівняння.
• 12.1.3.2. Ознака порівняння в граничній формі.
• 12.1.4. Абсолютна збіжність невласних інтегралів по нескінченному проміжку.
• 12.1.5. Ознаки збіжності Абеля і Діріхле.
• 12.2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).
• 12.2.1. Визначення невласного інтеграла від необмеженої функції.
• 12.2.1.1. Особливість на лівому кінці проміжку інтегрування.
• 12.2.1.2. Застосування формули Ньютона-Лейбніца.
• 12.2.1.3. Особливість на правому кінці проміжку інтегрування.
• 12.2.1.4. Особливість у внутрішній точці проміжку інтегрування.
• 12.2.1.5. Кілька особливостей на проміжку інтегрування.
• 12.2.2. Ознаки порівняння для невід'ємних функцій.
• 12.2.2.1. Ознака порівняння.
• 12.2.2.2. Ознака порівняння в граничній формі.
• 12.2.3. Абсолютна і умовна збіжність невласних інтегралів від розривних функцій.
• 12.2.4. Ознаки збіжності Абеля і Діріхле.

12.1. Невласні інтеграли по необмеженому проміжку

(Невласні інтеграли першого роду).

12.1.1. Визначення невласного інтеграла по нескінченному проміжку. нехай функція f (x ) Визначена на піввісь і інтегрована з будь-якого відрізку [ від, маючи на увазі в кожному з цих випадків існування і кінцівку відповідних меж. Тепер рішення прикладів виглядають більш просто: .

12.1.3. Ознаки порівняння для невід'ємних функцій. У цьому розділі ми будемо припускати, що все підінтегральної функції невід'ємні на всій області визначення. До сих пір ми визначали збіжність інтеграла, обчислюючи його: якщо існує кінцева межа первообразной при відповідному прагненні (або), то інтеграл сходиться, в іншому випадку - розходиться. При вирішенні практичних завдань, однак, важливо в першу чергу встановити сам факт збіжності, і тільки потім обчислювати інтеграл (до того ж первісна часто вже не виражається через елементарні функції). Сформулюємо і доведемо ряд теорем, які дозволяють встановлювати збіжність і розбіжність невласних інтегралів від невід'ємних функцій, які не обчислюючи їх.
12.1.3.1. ознака порівняння. нехай функції f (x ) і g (x ) интегр

Матеріал, викладений в цій темі, спирається на відомості, представлені в темі "Раціональні дроби. Розкладання раціональних дробів на елементарні (прості) дроби". Дуже раджу хоча б побіжно переглянути цю тему перед тим, як переходити до читання даного матеріалу. Крім того, нам буде потрібна таблиця невизначених інтегралів.

Нагадаю пару термінів. Про їх йшлося у відповідній темі, тому тут обмежуся коротким формулюванням.

Відношення двох многочленів $ \\ frac (P_n (x)) (Q_m (x)) $ називається раціональною функцією або раціональної дробом. Раціональний дріб називається правильної, Якщо $ n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильної.

Елементарними (найпростішими) раціональними дробами називають раціональні дроби чотирьох типів:

1. $ \\ Frac (A) (x-a) $;
2. $ \\ Frac (A) ((x-a) ^ n) $ ($ n \u003d 2,3,4, \\ ldots $);
3. $ \\ Frac (Mx + N) (x ^ 2 + px + q) $ ($ p ^ 2-4q< 0$);
4. $ \\ Frac (Mx + N) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) $ ($ p ^ 2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати \\ приховати

Навіщо потрібно умова $ p ^ 2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Наприклад, для вираження $ x ^ 2 + 5x + 10 $ отримаємо: $ p ^ 2-4q \u003d 5 ^ 2-4 \\ cdot 10 \u003d -15 $. Так як $ p ^ 2-4q \u003d -15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

До речі сказати, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $ x ^ 2 $ дорівнював 1. Наприклад, для $ 5x ^ 2 + 7x-3 \u003d 0 $ отримаємо: $ D \u003d 7 ^ 2-4 \\ cdot 5 \\ cdot (-3) \u003d 109 $. Так як $ D\u003e 0 $, то вираз $ 5x ^ 2 + 7x-3 $ розкладені на множники.

Приклади раціональних дробів (правильних і неправильних), а також приклади розкладання раціонального дробу на елементарні можна знайти. Тут нас будуть цікавити лише питання їх інтегрування. Почнемо з інтегрування елементарних дробів. Отже, кожен з чотирьох типів зазначених вище елементарних дробів нескладно проинтегрировать, використовуючи формули, зазначені нижче. Нагадаю, що при інтегруванні дробів типу (2) і (4) передбачається $ n \u003d 2,3,4, \\ ldots $. Формули (3) і (4) вимагають виконання умови $ p ^ 2-4q< 0$.

\\ Begin (equation) \\ int \\ frac (A) (xa) dx \u003d A \\ cdot \\ ln | xa | + C \\ end (equation) \\ begin (equation) \\ int \\ frac (A) ((xa) ^ n ) dx \u003d - \\ frac (A) ((n-1) (xa) ^ (n-1)) + C \\ end (equation) \\ begin (equation) \\ int \\ frac (Mx + N) (x ^ 2 + px + q) dx \u003d \\ frac (M) (2) \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + px + q) + \\ frac (2N-Mp) (\\ sqrt (4q-p ^ 2)) \\ arctg \\ Для $ \\ int \\ frac (Mx + N) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) dx $ робиться заміна $ t \u003d x + \\ frac (p) (2) $, після отриманий ІНТЕРАН розбивається на два. Перший буде обчислюватися за допомогою внесення під знак диференціала, а другий матиме вигляд $ I_n \u003d \\ int \\ frac (dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) $. Цей інтеграл береться за допомогою рекурентного співвідношення

\\ Begin (equation) I_ (n + 1) \u003d \\ frac (1) (2na ^ 2) \\ frac (t) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) + \\ frac (2n-1) (2na ^ 2) I_n, \\; n \\ in N \\ end (equation)

Обчислення такого інтеграла розібрано в прикладі №7 (див. Третю частину).

Схема обчислення інтегралів від раціональних функцій (раціональних дробів):

Якщо підінтегральна дріб є елементарною, то застосувати формули (1) - (4).

1. Якщо підінтегральна дріб не є елементарною, то уявити її у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати, використовуючи формули (1) - (4).
2. Зазначений вище алгоритм інтегрування раціональних дробів має незаперечне достоїнство - він універсальний. Тобто користуючись цим алгоритмом можна проінтегрувати

будь-яку раціональну дріб. Саме тому майже всі заміни змінних в невизначеному інтегралі (підстановки Ейлера, Чебишева, універсальна тригонометрическая підстановка) робляться з таким розрахунком, щоб після неї заміни отримати під Інтералье раціональну дріб. А до неї вже застосувати алгоритм. Безпосереднє застосування цього алгоритму розберемо на прикладах, попередньо зробивши невелику примітка. $$ \\ int \\ frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 \\ ln | x + 9 | + C. $$

В принципі, цей інтеграл нескладно отримати без механічного застосування формули. Якщо винести константу $ 7 $ за знак інтеграла і врахувати, що $ dx \u003d d (x + 9) $, то отримаємо:

$$ \\ int \\ frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 \\ cdot \\ int \\ frac (dx) (x + 9) \u003d 7 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x + 9)) (x + 9 ) \u003d | u \u003d x + 9 | \u003d 7 \\ cdot \\ int \\ frac (du) (u) \u003d 7 \\ ln | u | + C \u003d 7 \\ ln | x + 9 | + C. $$

Для детальної інформації рекомедую подивитися тему. Там детально пояснюється, як вирішуються подібні інтеграли. До речі, формула доводиться тими ж перетвореннями, що були застосовані в цьому пункті при вирішенні "вручну".

2) Знову є два шляхи: застосувати готову формулу або обійтися без неї. Якщо застосовувати формулу, то слід врахувати, що коефіцієнт перед $ x $ (число 4) доведеться прибрати. Для цього ону четвірку просто винесемо за дужки:

$$ \\ int \\ frac (11dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d \\ int \\ frac (11dx) (\\ left (4 \\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) \\ right) ^ 8) \u003d \\ int \\ frac (11dx) (4 ^ 8 \\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ 8) \u003d \\ int \\ frac (\\ frac (11) (4 ^ 8) dx) (\\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ 8). $$

Тепер настала черга і для застосування формули:

$$ \\ int \\ frac (\\ frac (11) (4 ^ 8) dx) (\\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ 8) \u003d - \\ frac (\\ frac (11) (4 ^ 8)) ((8-1) \\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ (8-1)) + C \u003d - \\ frac (\\ frac (11) (4 ^ 8)) (7 \\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ 7) + C \u003d - \\ frac (11) (7 \\ cdot 4 ^ 8 \\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right ) ^ 7) + C. $$

Можна обійтися і без застосування формули. І навіть без винесення константи $ 4 $ за дужки. Якщо врахувати, що $ dx \u003d \\ frac (1) (4) d (4x + 19) $, то отримаємо:

$$ \\ int \\ frac (11dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d 11 \\ int \\ frac (dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d \\ frac (11) (4) \\ int \\ frac ( d (4x + 19)) ((4x + 19) ^ 8) \u003d | u \u003d 4x + 19 | \u003d \\\\ \u003d \\ frac (11) (4) \\ int \\ frac (du) (u ^ 8) \u003d \\ \\\\ \u003d \\ frac (11) (4) \\ cdot \\ frac (u ^ (- 7)) (- 7) + C \u003d - \\ frac (11) (28) \\ cdot \\ frac (1) (u ^ 7 ) + C \u003d - \\ frac (11) (28 (4x + 19) ^ 7) + C. $$

Докладні пояснення по знаходженню подібних інтегралів дані в темі "Інтегрування підстановкою (внесення під знак диференціала)".

3) Нам потрібно проінтегрувати дріб $ \\ frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) $. Ця дріб має структуру $ \\ frac (Mx + N) (x ^ 2 + px + q) $, де $ M \u003d 4 $, $ N \u003d 7 $, $ p \u003d 10 $, $ q \u003d 34 $. Однак щоб переконатися, що це дійсно елементарна дріб третього типу, потрібно перевірити виконання умови $ p ^ 2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \\ int \\ frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d \\ frac (4) (2) \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) + \\ frac (2 \\ cdot 7-4 \\ cdot 10) (\\ sqrt (4 \\ cdot 34-10 ^ 2)) \\ arctg \\ frac (2x + 10) (\\ sqrt (4 \\ cdot 34-10 ^ 2)) + C \u003d \\\\ \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) + \\ frac (-26) (\\ sqrt (36)) \\ arctg \\ frac (2x + 10) (\\ sqrt (36)) + C \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) + \\ frac (-26) (6) \\ arctg \\ frac (2x + 10) (6) + C \u003d \\\\ \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x +34) - \\ frac (13) (3) \\ arctg \\ frac (x + 5) (3) + C. $$

Вирішимо це ж приклад, але без використання готової формули. Спробуємо виділити в чисельнику похідну знаменника. Що це означає? Ми знаємо, що $ (x ^ 2 + 10x + 34) "\u003d 2x + 10 $. Саме вираз $ 2x + 10 $ нам і належить виокремити в чисельнику. Поки що чисельник містить лише $ 4x + 7 $, але це ненадовго. застосуємо до чисельника таке перетворення:

$$ 4x + 7 \u003d 2 \\ cdot 2x + 7 \u003d 2 \\ cdot (2x + 10-10) + 7 \u003d 2 \\ cdot (2x + 10) -2 \\ cdot 10 + 7 \u003d 2 \\ cdot (2x + 10) -13. $$

Тепер в чисельнику з'явилося необхідне вираження $ 2x + 10 $. І наш інтеграл можна переписати в такому вигляді:

$$ \\ int \\ frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10) -13) (x ^ 2 + 10x + 34) dx. $$

Розіб'ємо подинтегральную дріб на дві. Ну і, відповідно, сам інтеграл теж "роздвоївся":

$$ \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10) -13) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d \\ int \\ left (\\ frac (2 \\ cdot (2x + 10)) (x ^ 2 + 10x + 34) - \\ frac (13) (x ^ 2 + 10x + 34) \\ right) \\; dx \u003d \\\\ \u003d \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10)) (x ^ 2 + 10x + 34) dx- \\ int \\ frac (13dx) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ frac ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ int \\ frac (dx) (x ^ 2 + 10x + 34). $$

Поговоримо спершу про перший інтеграл, тобто про $ \\ int \\ frac ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) $. Так як $ d (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d (x ^ 2 + 10x + 34) "dx \u003d (2x + 10) dx $, то в чисельнику підінтегральної дробу розташований диференціал знаменника. Коротше кажучи, замість виразу $ ( 2x + 10) dx $ запишемо $ d (x ^ 2 + 10x + 34) $.

Тепер скажемо пару слів і про другий інтеграл. Виділимо в знаменнику повний квадрат: $ x ^ 2 + 10x + 34 \u003d (x + 5) ^ 2 + 9 $. Крім того, врахуємо $ dx \u003d d (x + 5) $. Тепер отриману нами раніше суму інтегралів можна переписати в дещо іншому вигляді:

$$ 2 \\ cdot \\ int \\ frac ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ int \\ frac (dx) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x + 5)) ((x + 5) ^ 2 + 9). $$

Якщо в першому інтегралі зробити заміну $ u \u003d x ^ 2 + 10x + 34 $, то він набуде вигляду $ \\ int \\ frac (du) (u) $ і візьметься простим застосуванням другий формули з. Що ж стосується другого інтеграла, то для нього можна здійснити заміна $ u \u003d x + 5 $, після якої він набуде вигляду $ \\ int \\ frac (du) (u ^ 2 + 9) $. Це чистісінької води одинадцята формула з таблиці невизначених інтегралів. Отже, повертаючись до суми інтегралів, матимемо:

$$ 2 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x + 5)) ((x + 5) ^ 2 + 9) \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) - \\ frac (13) (3) \\ arctg \\ frac (x + 5) (3) + C. $$

Ми отримали ту саму відповідь, що і при застосуванні формули, що, власне кажучи, не дивно. Взагалі, формула доводиться тими ж методами, які ми застосовували для знаходження даного інтеграла. Вважаю, що в уважного читача тут може виникнути одне питання, тому сформулюю його:

питання №1

Якщо до інтеграла $ \\ int \\ frac (d (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) $ застосовувати другу формулу з таблиці невизначених інтегралів, то ми отримаємо наступне:

$$ \\ int \\ frac (d (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d | u \u003d x ^ 2 + 10x + 34 | \u003d \\ int \\ frac (du) (u) \u003d \\ ln | u | + C \u003d \\ ln | x ^ 2 + 10x + 34 | + C. $$

Чому ж в рішенні був відсутній модуль?

Відповідь на питання №1

Питання зовсім закономірний. Модуль був відсутній лише тому, що вираз $ x ^ 2 + 10x + 34 $ при будь-якому $ x \\ in R $ більше нуля. Це абсолютно нескладно показати декількома шляхами. Наприклад, так як $ x ^ 2 + 10x + 34 \u003d (x + 5) ^ 2 + 9 $ і $ (x + 5) ^ 2 ≥ 0 $, то $ (x + 5) ^ 2 + 9\u003e 0 $ . Можна розсудити і по-іншому, не привертаючи виділення повного квадрата. Так як $ 10 ^ 2-4 \\ cdot 34 \u003d -16< 0$, то $x^2+10x+34 > 0 $ при будь-якому $ x \\ in R $ (якщо ця логічний ланцюжок викликає здивування, раджу подивитися графічний метод розв'язання квадратних нерівностей). У будь-якому випадку, так як $ x ^ 2 + 10x + 34\u003e 0 $, то $ | x ^ 2 + 10x + 34 | \u003d x ^ 2 + 10x + 34 $, тобто замість модуля можна використовувати звичайні дужки.

Всі пункти прикладу №1 вирішені, залишилося лише записати відповідь.

відповідь:

1. $ \\ Int \\ frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 \\ ln | x + 9 | + C $;
2. $ \\ Int \\ frac (11dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d - \\ frac (11) (28 (4x + 19) ^ 7) + C $;
3. $ \\ Int \\ frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) - \\ frac (13) (3) \\ arctg \\ frac (x +5) (3) + C $.

приклад №2

Знайти інтеграл $ \\ int \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) dx $.

На перший погляд подинтегральая дріб $ \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) $ дуже схожа на елементарну дріб третього типу, тобто на $ \\ frac (Mx + N) (x ^ 2 + px + q) $. Здається, що едінcтвенное відмінність - це коефіцієнт $ 3 $ перед $ x ^ 2 $, але ж коефіцієнт і прибрати недовго (за дужки винести). Однак ця подібність здається. Для дробу $ \\ frac (Mx + N) (x ^ 2 + px + q) $ обов'язковим є умова $ p ^ 2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

У нас коефіцієнт перед $ x ^ 2 $ не дорівнює одиниці, тому перевірити умова $ p ^ 2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D > 0 $, тому вираз $ 3x ^ 2-5x-2 $ можна розкласти на множники. А це означає, що дріб $ \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) $ не є елементаной дробом третього типу, і застосовувати до інтеграла $ \\ int \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2 5x-2) dx $ формулу не можна.

Ну що ж, якщо задана раціональний дріб не є елементарною, то її потрібно представити у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати. Коротше кажучи, слід скористатися. Як розкласти раціональну дріб на елементарні докладно написано. Почнемо з того, що розкладемо на множники знаменник:

$$ 3x ^ 2-5x-2 \u003d 0; \\\\ \\ begin (aligned) & D \u003d (- 5) ^ 2-4 \\ cdot 3 \\ cdot (-2) \u003d 49; \\\\ & x_1 \u003d \\ frac ( - (- 5) - \\ sqrt (49)) (2 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (5-7) (6) \u003d \\ frac (-2) (6) \u003d - \\ frac (1) (3); \\\\ & x_2 \u003d \\ frac (- (- 5) + \\ sqrt (49)) (2 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (5 + 7) (6) \u003d \\ frac (12) (6) \u003d 2. \\ 3 \\ cdot \\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2). $$

Подинтеральную дріб представимо в такому вигляді:

$$ \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) \u003d \\ frac (7x + 12) (3 \\ cdot \\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2) ) \u003d \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)). $$

Тепер розкладемо дріб $ \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)) $ на елементарні:

$$ \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)) \u003d \\ frac (A) (x + \\ frac ( 1) (3)) + \\ frac (B) (x-2) \u003d \\ frac (A (x-2) + B \\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right)) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)); \\\\ \\ frac (7) (3) x + 4 \u003d A (x-2) + B \\ left (x + \\ frac (1) ( 3) \\ right). $$

Щоб знайти коефіцієнти $ A $ і $ B $ є два стандартних шляху: метод невизначених коефіцієнтів і метод підстановки приватних значень. Застосуємо метод підстановки приватних значень, підставляючи $ x \u003d 2 $, а потім $ x \u003d - \\ frac (1) (3) $:

$$ \\ frac (7) (3) x + 4 \u003d A (x-2) + B \\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right). \\\\ x \u003d 2; \\; \\ Frac (7) (3) \\ cdot 2 + 4 \u003d A (2-2) + B \\ left (2+ \\ frac (1) (3) \\ right); \\; \\ Frac (26) (3) \u003d \\ frac (7) (3) B; \\; B \u003d \\ frac (26) (7). \\\\ x \u003d - \\ frac (1) (3); \\; \\ Frac (7) (3) \\ cdot \\ left (- \\ frac (1) (3) \\ right) + 4 \u003d A \\ left (- \\ frac (1) (3) -2 \\ right) + B \\ left (- \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (3) \\ right); \\; \\ Frac (29) (9) \u003d - \\ frac (7) (3) A; \\; A \u003d - \\ frac (29 \\ cdot 3) (9 \\ cdot 7) \u003d - \\ frac (29) (21). \\\\ $$

Так як коефіцієнти знайдені, залишилося лише записати готове розкладання:

$$ \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)) \u003d \\ frac (- \\ frac (29) ( 21)) (x + \\ frac (1) (3)) + \\ frac (\\ frac (26) (7)) (x-2). $$

В принципі, можна такий запис залишити, але мені до душі більш акуратний варіант:

$$ \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)) \u003d - \\ frac (29) (21) \\ $$

Повертаючись до вихідного інтеграла, підставимо в нього отримане розкладання. Потім розіб'ємо інтеграл на два, і до кожного застосуємо формулу. Константи я вважаю за краще відразу виносити за знак інтеграла:

$$ \\ int \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) dx \u003d \\ int \\ left (- \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ frac (1) (x + \\ frac (1) (3)) + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ frac (1) (x-2) \\ right) dx \u003d \\\\ \u003d \\ int \\ left (- \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ int \\ frac (dx) (x + \\ frac (1) (3)) + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ int \\ frac (dx) (x-2 ) dx \u003d \\\\ \u003d - \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ ln \\ left | x + \\ frac (1) (3) \\ right | + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ ln | x- 2 | + C. $$

відповідь: $ \\ Int \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) dx \u003d - \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ ln \\ left | x + \\ frac (1) (3) \\ right | + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ ln | x-2 | + C $.

приклад №3

Знайти інтеграл $ \\ int \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) dx $.

Нам потрібно проінтегрувати дріб $ \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) $. У чисельнику розташований многочлен другого ступеня, а в знаменнику - многочлен третього ступеня. Так як ступінь многочлена в чисельнику менше ступеня многочлена в знаменнику, тобто $ 2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) \u003d - \\ frac (3) (x-1) + \\ frac (5) (x +4) - \\ frac (1) (x-9). $$

Нам залишиться тільки розбити заданий інтеграл на три, і до кожного застосувати формулу. Константи я вважаю за краще відразу виносити за знак інтеграла:

$$ \\ int \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) dx \u003d \\ int \\ left (- \\ frac (3) (x-1) + \\ frac (5) (x + 4) - \\ frac (1) (x-9) \\ right) dx \u003d \\\\ \u003d - 3 \\ cdot \\ int \\ frac (dx) (x-1) + 5 \\ cdot \\ int \\ frac (dx) (x + 4) - \\ int \\ frac (dx) (x-9) \u003d - 3 \\ ln | x-1 | +5 \\ ln | x + 4 | - \\ ln | x- 9 | + C. $$

відповідь: $ \\ Int \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) dx \u003d -3 \\ ln | x-1 | +5 \\ ln | x + 4 | - \\ ln | x-9 | + C $.

Продовження розбору прикладів цієї теми розташоване у другій частині.

Розглянуто приклади інтегрування раціональних функцій (дробів) з докладними рішеннями.

зміст

Див. також: Коріння квадратного рівняння

Тут ми наводимо докладні рішення трьох прикладів інтегрування наступних раціональних дробів:
, , .

приклад 1

Обчислити інтеграл:
.

Тут під знаком інтеграла стоїть раціональна функція, оскільки підінтегральний вираз є дробом з многочленів. Ступінь многочлена знаменника ( 3 ) Менше ступеня многочлена чисельника ( 4 ). Тому, спочатку необхідно виділити цілу частину дробу.

1. Виділимо цілу частину дробу. ділимо x 4 на x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Звідси
.

2. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити кубічне рівняння:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Підставами x \u003d 1 :
.

1 . Ділимо на x - 1 :

Звідси
.
Вирішуємо квадратне рівняння.
.
Коріння рівняння:,.
тоді
.

3. Розкладемо дріб на найпростіші.

.

Отже, ми знайшли:
.
Інтегруємо.

приклад 2

Обчислити інтеграл:
.

Тут в чисельнику дробу - многочлен нульової ступеня ( 1 \u003d x 0). У знаменнику - многочлен третього ступеня. оскільки 0 < 3 , То дріб правильна. Розкладемо її на найпростіші дроби.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б один цілий корінь. Тоді він є дільником числа 3 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним з чисел:
1, 3, -1, -3 .
Підставами x \u003d 1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x \u003d 1 . ділимо x 3 + 2 x - 3 на x - 1 :

Отже,
.

Вирішуємо квадратне рівняння:
x 2 + x + 3 \u003d 0.
Знаходимо дискримінант: D \u003d 1 2 - 4 · 3 \u003d -11. оскільки D< 0 , То рівняння не має дійсних коренів. Таким чином, ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2.
.
(X - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Підставами x \u003d 1 . Тоді x - 1 = 0 ,
.

підставами в (2.1) x \u003d 0 :
1 \u003d 3 A - C;
.

прирівняємо в (2.1) коефіцієнти при x 2 :
;
0 \u003d A + B;
.

.

3. Інтегруємо.
(2.2) .
Для обчислення другого інтеграла, виділимо в чисельнику похідну знаменника і наведемо знаменник до суми квадратів.

;
;
.

обчислюємо I 2 .


.
Оскільки рівняння x 2 + x + 3 \u003d 0 не має дійсних коренів, то x 2 + x + 3\u003e 0. Тому знак модуля можна опустити.

поставляємо в (2.2) :
.

приклад 3

Обчислити інтеграл:
.

Тут під знаком інтеграла стоїть дріб з многочленів. Тому підінтегральний вираз є раціональною функцією. Ступінь многочлена в чисельнику дорівнює 3 . Ступінь многочлена знаменника дробу дорівнює 4 . оскільки 3 < 4 , То дріб правильна. Тому її можна розкладати на найпростіші дроби. Але для цього потрібно розкласти знаменник на множники.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння четвертого ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б один цілий корінь. Тоді він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним з чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставами x \u003d -1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x \u003d -1 . Ділимо на x - (-1) \u003d x + 1:


Отже,
.

Тепер потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Якщо припустити, що це рівняння має цілий корінь, то він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним з чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставами x \u003d -1 :
.

Отже, ми знайшли ще один корінь x \u003d -1 . Можна було б, як і в попередньому випадку, розділити многочлен на, але ми згрупуємо члени:
.

Оскільки рівняння x 2 + 2 = 0 не має дійсних коренів, то ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2. Розкладемо дріб на найпростіші. Шукаємо розкладання у вигляді:
.
Звільняємося від знаменника дробу, множимо на (X + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Підставами x \u003d -1 . Тоді x + 1 = 0 ,
.

продифференцируем (3.1) :

;

.
Підставами x \u003d -1 і врахуємо, що x + 1 = 0 :
;
; .

підставами в (3.1) x \u003d 0 :
0 \u003d 2 A + 2 B + D;
.

прирівняємо в (3.1) коефіцієнти при x 3 :
;
1 \u003d B + C;
.

Отже, ми знайшли розкладання на найпростіші дроби:
.

3. Інтегруємо.


.

Див. також:

Нагадаємо, що дрібно-раціональними називають функції виду $$ f (x) \u003d \\ frac (P_n (x)) (Q_m (x)), $$ в загальному випадку є відношенням двох многочленів %% P_n (x) %% і %% Q_m (x)% %.

Якщо %% m\u003e n \\ geq 0 %%, то раціональну дріб називають правильної, В іншому випадку - неправильною. Використовуючи правило ділення многочленів, неправильну раціональну дріб можна представити у вигляді суми многочлена %% P_ (n - m) %% ступеня %% n - m %% і деякої правильної дробу, тобто $$ \\ frac (P_n (x)) (Q_m (x)) \u003d P_ (nm) (x) + \\ frac (P_l (x)) (Q_n (x)), $$ де ступінь %% l %% многочлена %% P_l (x) %% менше ступеня %% n %% многочлена %% Q_n (x) %%.

Таким чином, невизначений інтеграл від раціональної функції можна представити сумою невизначених інтегралів від многочлена і від правильної раціональної дробу.

Інтеграли від найпростіших раціональних дробів

Серед правильних раціональних дробів виділяють чотири типи, які відносять до найпростішим раціональним дробям:

1. %% \\ displaystyle \\ frac (A) (x - a) %%,
2. %% \\ displaystyle \\ frac (A) ((x - a) ^ k) %%,
3. %% \\ displaystyle \\ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) %%,
4. %% \\ displaystyle \\ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ k) %%,

де %% k\u003e 1 %% - ціле і %% p ^ 2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Обчислення невизначених інтегралів від дробів перших двох типів

Обчислення невизначених інтегралів від дробів перших двох типів не викликає ускладнень: $$ \\ begin (array) (ll) \\ int \\ frac (A) (x - a) \\ mathrm (d) x & \u003d A \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) (x - a)) (x - a) \u003d A \\ ln | x - a | + C, \\\\ \\\\ \\ int \\ frac (A) ((x - a) ^ k) \\ mathrm (d) x & \u003d A \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) (x - a)) (( xa) ^ k) \u003d A \\ frac ((xa) ^ (- k + 1)) (- k + 1) + C \u003d \\\\ & \u003d - \\ frac (A) ((k-1) (xa ) ^ (k-1)) + C. \\ end (array) $$

Обчислення невизначеного інтеграла від дробів третього типу

Дріб третього типу спочатку перетворимо, виділивши повний квадрат в знаменнику: $$ \\ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \u003d \\ frac (Ax + B) ((x + p / 2) ^ 2 + q - p ^ 2/4), $$ так як %% p ^ 2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 > 0 %%, яке позначимо як %% a ^ 2 %%. Замінивши також %% t \u003d x + p / 2, \\ mathrm (d) t \u003d \\ mathrm (d) x %%, перетворимо знаменник і запишемо інтеграл від дробу третього типу в формі $$ \\ begin (array) (ll) \\ / 4) \\ mathrm (d) x \u003d \\\\ & \u003d \\ int \\ frac (A (t - p / 2) + B) (t ^ 2 + a ^ 2) \\ mathrm (d) t \u003d \\ int \\ frac (At + (B - A p / 2)) (t ^ 2 + a ^ 2) \\ mathrm (d) t. \\ End (array) $$

Останній інтеграл, використовуючи лінійність невизначеного інтеграла, представимо у вигляді суми двох і в першому з них введемо %% t %% під знак диференціала: $$ \\ begin (array) (ll) \\ int \\ frac (At + (B - A p / 2)) (t ^ 2 + a ^ 2) \\ mathrm (d) t & \u003d A \\ int \\ frac (t \\ mathrm (d) t) (t ^ 2 + a ^ 2) + \\ left (B - \\ frac (pA) (2) \\ right) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t) (t ^ 2 + a ^ 2) \u003d \\\\ & \u003d \\ frac (A) (2) \\ int \\ frac ( \\ mathrm (d) \\ left (t ^ 2 + a ^ 2 \\ right)) (t ^ 2 + a ^ 2) + - \\ frac (2B - pA) (2) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t) (t ^ 2 + a ^ 2) \u003d \\\\ & \u003d \\ frac (A) (2) \\ ln \\ left | t ^ 2 + a ^ 2 \\ right | + \\ Frac (2B - pA) (2a) \\ text (arctg) \\ frac (t) (a) + C. \\ end (array) $$

Повертаючись до початкової змінної %% x %%, в результаті для дробу третього типу отримуємо $$ \\ int \\ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \\ mathrm (d) x \u003d \\ frac (A) ( 2) \\ ln \\ left | x ^ 2 + px + q \\ right | + \\ Frac (2B - pA) (2a) \\ text (arctg) \\ frac (x + p / 2) (a) + C, $$ де %% a ^ 2 \u003d q - p ^ 2/4\u003e 0% %.

Обчислення інтеграла 4 типи складно, тому в цьому курсі не розглядається.