Як побудувати рівносторонній п'ятикутник за допомогою циркуля. Правильний п'ятикутник: необхідний мінімум інформації

Рівень складності: Нескладно

1 крок

Спочатку, вибирайте, де розмістити центр окружності. Там потрібно поставити початкову точку, нехай вона називається О. За допомогою циркуля вичерчуємо навколо неї коло заданого діаметра або радіуса.

2 крок

Потім проводимо дві осі через точку О, центр окружності, одна горизонтальна, інша під 90 градусів по відношенню до неї - вертикальна. Точки перетину по горизонталі назвемо зліва на право А і В, по вертикалі, зверху вниз - М і Н. Радіус, який лежить на будь-який осі, наприклад, на горизонтальній в правій частині, ділимо навпіл. Це можна зробити так: циркуль з радіусом відомої нам окружності встановлюємо вістрям в точку перетину горизонтальній осі та кола - В, отчерківаем перетину з колом, отримані точки називаємо, відповідно зверху вниз - С і Р, з'єднуємо їх відрізком, який буде перетинати вісь ОВ, точку перетину називаємо К.

3 крок

З'єднуємо точки К і М і отримуємо відрізок КМ, встановлюємо циркуль в точку М, задаємо на ньому відстань до точки К і окреслюємо мітки на радіусі ОА, цю точку називаємо Е, далі ведемо циркуль до перетину з лівої верхньої частиною окружності ОМ. Цю точку перетину називаємо F. Відстань рівне відрізку МО є шуканої стороною рівностороннього п'ятикутника. При цьому точка М буде однією вершиною вбудованого в коло п'ятикутника, а точка F - інший.

4 крок

Далі з отриманих точок по всьому колу отчерчиваем циркулем відстані, рівні відрізку МО, всього точок повинно вийти 5. З'єднуємо всі точки відрізками - отримуємо п'ятикутник, вписаний в коло.

• При кресленні будьте обережні в вимірах відстаней, не допускайте помилок, щоб п'ятикутник дійсно полчілся рівностороннім

Правильний п'ятикутник є геометричну фігуру, яка утворюється перетином п'яти прямих, що створюють п'ять однакових кутів. Така фігура зветься - пентагон. З п'ятикутником тісно пов'язана робота художників - їх малюнки будуються на основі правильних геометричних фігур. Для цього необхідно знати те, як швидко побудувати пентагон.

Чим цікава ця фігура? Форму пентагона має будівля Міністерства оборони Сполучених Штатів Америки. Це можна побачити на фото, зроблених з висоти польоту. У природі не існує кристалів і каменів, форма яких нагадувала б пентагон. Тільки в цій фігурі кількість граней збігається з числом діагоналей.

Параметри правильного п'ятикутника

Прямокутний п'ятикутник, як і кожна фігура в геометрії, має свої параметри. Знаючи необхідні формули, можна розрахувати ці параметри, що полегшить процес побудови пентагона. Способи та формули розрахунків:

• сума всіх кутів в багатокутниках дорівнює 360 градусам. У правильному п'ятикутнику всі кути рівні, відповідно, центральний кут знаходиться у такий спосіб: 360/5 \u003d 72 градуси;
• внутрішній кут знаходиться таким чином: 180 * (n -2) / n \u003d 180 * (5-2) / 5 \u003d 108 градусів. Сума всіх внутрішніх кутів: 108 * 5 \u003d 540 градусів.

Сторона пентагона знаходиться за допомогою параметрів, які вже є у умови завдання:

• якщо навколо п'ятикутника описана окружність і відомий її радіус, сторона знаходиться за такою формулою: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \u003d 1,1756 * R.
• Якщо відомий радіус вписаного в пентагон окружності, то формула розрахунку сторони багатокутника: 2 * r * tg (α / 2) \u003d 2 * r * tg (α / 2) \u003d 1,453 * r.
• При відомій величині діагоналі пентагона його сторона розраховується таким чином: а \u003d D / 1,618.

Площа пентагона так само, Як і його сторона, залежить від уже знайдених параметрів:

• за допомогою відомого радіуса вписаного кола площа знаходиться так: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• описана навколо п'ятикутника окружність дозволяє знайти площу за такою формулою: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• в залежності від сторони пентагона: S \u003d (5 * a2 * tg 54 °) / 4 \u003d 1,7205 * a2.

побудова пентагона

Побудувати правильний п'ятикутник можна за допомогою лінійки і циркуля, на основі вписаною в нього кола або однієї зі сторін.

Як накреслити п'ятикутник на основі вписаного кола? Для цього необхідно запастися циркулем і лінійкою і зробити такі кроки:

1. Спочатку необхідно накреслити коло з центром О, після чого на ній вибрати точку, А - вершину пентагона. Від центру до вершини проводиться відрізок.
2. Потім будується перпендикулярна прямий ОА відрізок, який також проходить через Про - центр окружності. Його перетин з окружністю позначається крапкою В. Відрізок О. В. ділиться навпіл точкою С.
3. Точка С стане центром нової окружності, що проходить через А. Точка D - це її перетин з прямою ОВ в межах першої фігури.
4. Після цього проводиться третя окружність через D, центром якої є точка А. Вона перетинається з першою фігурою в двох точках, їх необхідно позначити буквами Е і F.
5. Наступна окружність має центр в точці Е і проходить через А, а її перетин з первісної знаходиться в новій точці G.
6. Остання окружність в цьому малюнку проводиться через точку, А з центром F. На її перетині з початкової ставиться крапка Н.
7. На першій окружності після всіх пророблених кроків з'явилися п'ять точок, які необхідно з'єднати відрізками. Таким чином вийшов правильний п'ятикутник АЕ G Н F.

Як побудувати правильний п'ятикутник іншим способом? За допомогою лінійки і циркуля пентагон можна побудувати трохи швидше. Для цього необхідно:

1. Cначала необхідно за допомогою циркуля намалювати коло, центр якої - точка О.
2. Чертится радіус ОА - відрізок, який відкладається на коло. Його ділять навпіл точкою В.
3. Перпендикулярно радіусу ОА накреслюється відрізок ОС, точки В і С з'єднуються прямою.
4. Наступним кроком є \u200b\u200bвідкладення довжини відрізка ВС за допомогою циркуля на діаметральної лінії. Перпендикулярно відрізку ОА з'являється точка D. Точки В і D з'єднуються, утворюючи новий відрізок.
5. Для того, щоб отримати величину боку Пентагону, необхідно з'єднати точки С і D.
6. D за допомогою циркуля переноситься на окружність і позначається крапкою Е. Поєднавши Е і С, можна отримати першу сторону правильного п'ятикутника. Дотримуючись цієї інструкції можна дізнатися про те, як швидко побудувати п'ятикутник з рівними сторонами, продовжуючи побудову інших його сторін подібно першої.

У п'ятикутнику з однаковими сторонами діагоналі рівні і утворюють п'ятикутну зірку, яка називається пентаграммой. Золотий перетин - це відношення величини діагоналі до сторони пентагона.

Пентагон непридатний для повного заповнення площини. Використання будь-якого матеріалу в цій формі залишає проміжки або утворює накладення. Хоча природних кристалів цієї форми не існує в природі, але при утворенні льоду на поверхні гладких мідних виробів виникають молекули у вигляді пентагона, які з'єднані в ланцюжки.

Найбільш простий спосіб отримати правильний п'ятикутник зі смужки паперу - зав'язати її вузлом і трохи придавити. Цей спосіб корисний для батьків дітей-дошкільнят, які хочуть навчити своїх малюків розпізнавати геометричні фігури.

Відео

Подивіться, як можна швидко накреслити п'ятикутник.

Якщо під руками немає циркуля, то можна намалювати просту зірку з п'ятьма променями потім просто з'єднати ці промені. як бачимо на зображенні нижче виходить абсолютно правильний п'ятикутник.

Математика складна наука і у неї багато своїх секретів, деякі з них дуже забавні. Якщо ви захоплюєтеся такими речами раджу знайти книгу Забавна математика.

Окружність можна намалювати не тільки за допомогою циркуля. Можна, наприклад, використовувати олівець і нитку. Відміряємо потрібний діаметр на нитці. Один кінець щільно затискаємо на аркуші паперу, де будемо креслити коло. А на інший кінець нитки встановлюються олівець і одержимий. Тепер діє як з циркулем: натягуємо нитку і по колу злегка натискаючи олівцем чкртім окружність.

Всередині кола малюємо селян від центру: вертикальна лінія і горизонтальна лінія. Точка перетину вертикальної лінії та кола буде вершиною п'ятикутника (точка 1). Тепер праву половину горизонтальної лінії ділимо навпіл (точка 2). Вимірюємо відстань від цієї точки до вершини п'ятикутника і цей відрізок відкладає вліво від точки 2 (точка 3). За допомогою нитки і олівця проводимо від точки 1 радіусом до точки 3 дугу, що перетинає першу окружність зліва і справа - точки перетину будуть вершинами п'ятикутника. Позначимо їх точка 4 і 5.

Тепер від точки 4 робимо дугу, що перетинає коло в нижній частині, радіусом дорівнює довжині від точки 1 до 4 - це буде точкою 6. Точно так же і від точки 5 - позначимо точкою 7.

Залишитися з'єднати наш п'ятикутник з вершинами 1, 5, 7, 6, 4.

Я знаю як побудувати простий п'ятикутник за допомогою циркуля: Будуємо окружність, відзначаємо п'ять точок, з'єднуємо їх. Можна побудувати п'ятикутник з рівними сторонами, для цього нам ще знадобиться транспортир. Просто ті ж самі 5 точок ставимо по транспортира. Для цього відзначаємо кути по 72 градуси. Після чого також з'єднуємо відрізками і отримуємо потрібну нам фігуру.

Зелену окружність можна креслити довільним радіусом. У це коло будемо вписувати правильний п'ятикутник. Без циркуля накреслити точно окружність можна, але це не обов'язково. Коло і всі подальші побудови можна виконувати від руки. Далі через центр окружності Про потрібно провести дві взаємно перпендикулярні прямі і одну з точок перетину прямої з колом позначити А. Точка А буде вершиною п'ятикутника. Радіус ОВ розділимо навпіл і поставимо крапку С. З точки С проводимо другу коло радіусом АС. З точки А проводимо третю коло радіусом АD. Точки перетину третьої окружності з першої (Е і F) будуть також вершинами п'ятикутника. З точок Е і F радіусом АЕ робимо зарубки на першій окружності і отримуємо інші вершини п'ятикутника G і H.



Адептам чорного мистецтва: що б просто, красиво і швидко намалювати п'ятикутник, слід накреслити правильну, гармонійну основу для пентаграми (п'ятикутна зірка) і з'єднати закінчення променів цієї зірки за допомогою прямих, рівних ліній. Якщо все було зроблено вірно - сполучна риса навколо основи і буде шуканим п'ятикутником.

(На малюнку - завершена, але незаповнена пентаграма)



Для тих, хто невпевнений у правильності накреслення пентаграми: візьміть за основу Вітрувіанська людина Да Вінчі (див. Нижче)



Якщо потрібен п'ятикутник - тикаєте довільним чином 5-якій точці і їх зовнішній контур буде п'ятикутником.

Якщо потрібен правильний п'ятикутник, то без математичного циркуля це побудова зробити неможливо, оскільки без нього не можна провести два однакових, але не паралельних відрізка. Будь-який інший інструмент, який дозволяє провести два однакових, але не паралельних відрізка еквівалентний математичного циркулю.



Спочатку треба треба накреслити коло, потім направляють, потім другий пунктирний коло, знаходимо верхню точку, потім відміряє два кута верхні, від них креслимо нижні. Зауважте, радіус циркуля один і той же час всім побудові.

Нд залежить від того, який п'ятикутник вам необхідний. Якщо будь-хто, то ставите п'ять точок і поєднуєте їх між собою (єство точки ставимо не по прямій лінії). А якщо потрібен п'ятикутник правильно форми, візьміть будь-які п'ять по довжині (смужок паперу, сірників, олівців тощо), викладіть п'ятикутник і обчертіте його.

П'ятикутник можна накреслити, наприклад, з зірки. Якщо вмієте креслити зірку, але не вмієте п'ятикутник, накресліть зірку олівцем, потім з'єднайте між собою сусідні кінці зірки, а саму зірку потім зітріть.

Другий спосіб. Виріжте смужку з паперу, довжиною, що дорівнює бажаної стороні п'ятикутника, а шириною вузької, припустимо 0.5 - 1 см. Як за шаблоном, виріжте по цій смужці ещ чотири таких же полосочки, щоб їх вийшло всього 5.

Потім покладіть аркуш паперу (краще його закріпити на столі за допомогою чотирьом кнопок або голочок). Потім накладіть ці 5 смужок на листок так, щоб вони утворили п'ятикутник. Приколіть ці 5 смужок до листка паперу кнопками або голочками, щоб вони залишалися нерухомими. Потім обведіть отриманий п'ятикутник і зніміть ці смужки з листка.



Якщо немає циркуля і потрібно побудувати п'ятикутник, то я можу порадити наступне. Я і сама так будувала. Можна накреслити правильну п'ятикутну зірку. І після цього, щоб отримати п'ятикутник, просто потрібно з'єднати всі вершини зірки. Ось так і вийде п'ятикутник. Ось що ми отримаємо



Рівними чрнимі лінії ми з'єднали вершини зірки і отримали п'ятикутник.

Побудова вписаного в коло правильного шестикутника. Побудова шестикутника засноване на тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити окружність на шість рівних частин і з'єднати знайдені точки між собою (фіг. 60, а).

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною і косинцем 30X60 °. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр окружності за бісектрису кутів 1 і 4 (фіг. 60, б), будуємо боку 1 -6, 4-3, 4-5 і 7-2, після чого проводимо боку 5-6 і 3 2.

Побудова вписаного в коло рівностороннього трикутника. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля і косинця з кутами в 30 і 60 ° або тільки одного циркуля.

Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.

перший спосіб (Фіг. 61, a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60 °, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0-1- 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони

1-2 досить побудувати по точці 1 і стороні 0-1 кут в 30 °. Для цього встановлюємо рейсшини і косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1-2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати сторону 2-3, встановлюємо рейсшини в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.

другий спосіб заснований на тому, що, якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, і потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.

Для побудови трикутника (фіг. 61, б) намічаємо на діаметрі вершину-точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1-4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D / 2, описуємо дугу до перетину з колом в точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.

Побудова квадрата, вписаного в коло. Це побудова можна виконати за допомогою кутника і циркуля.

Перший спосіб заснований на тому, що діагоналі квадрата перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до його осях під кутом 45 °. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшини і косинець з кутами 45 ° так, як це показано на фіг. 62, а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4-1 і 3-2. Потім за допомогою рейсшини по катету кутника проводимо вертикальні боку квадрата 1-2 і 4-3.

Другий спосіб заснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги окружності, ув'язнені між кінцями діаметра (фіг. 62, б). Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом у описуємо дуги до взаємного їх перетину.

Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відмічені на фігурі суцільними лініями. Точки їх перетину з колом визначать вершини 1 і 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини шуканого квадрата з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.

Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник (фіг. 63), виробляємо наступні побудови.

Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом в точках M і В. Поєднавши ці точки прямої, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральної лінією АТ в точці H. Поєднавши точку 1 з точкою H, отримаємо сторону п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим же розчином циркуля зарубки з вершин 2 і 5, отримаємо інші вершини 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.

Побудова правильного п'ятикутника по даній його стороні.

Для побудови правильного п'ятикутника по даній його стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і розподіл 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму.

Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, рівним АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного семикутника.

Нехай дана окружність діаметра D; потрібно вписати в неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр окружності на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, рівним діаметру окружності D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні розподілу вертикального діаметра промені, перетин яких з окружністю визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин /// - /// з точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів з полюса F і через непарні поділу вертикального діаметра.

Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників з будь-яким числом сторін.

Поділ кола на будь-яке число рівних частин можна проводити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведено коефіцієнти, що дають можливість визначати розміри сторін правильних вписаних багатокутників.

Ця фігура є багатокутником з мінімальною кількістю кутів, яким неможливо замостити площу. Тільки у п'ятикутника кількість діагоналей збігається з кількістю його сторін. Скориставшись формулами для довільного правильного багатокутника, можна визначити всі необхідні параметри, які має пентагон. Наприклад, вписати його в коло з заданим радіусом або побудувати на базі заданої збоку.

Як правильно накреслити промінь і які приналежності для креслення вам знадобляться? Візьміть аркуш паперу і відзначте в довільному місці точку. Потім прикладіть лінійку і проведіть лінію, починаючи з зазначеної точки і до безкінечності. Щоб накреслити рівну лінію, натисніть клавішу «Shift» і проведіть лінію потрібної довжини. Відразу після накреслення відкриється вкладка «Формат». Приберіть виділення з лінії і побачите, що на початку лінії з'явилася точка. Для створення напису натисніть кнопку «Намалювати напис» і створіть поле, де буде знаходитися напис.

Перший спосіб побудови п'ятикутника вважається більш «класичним». Отримана в результаті побудови фігура буде правильним п'ятикутником. Двенадцатіугольнік не є винятком, тому його побудова буде неможливим без застосування циркуля. Завдання побудови правильного п'ятикутника зводиться до задачі розподілу окружності на п'ять рівних частин. Накреслити пентаграму можна з використанням простих інструментів.

Я довго бився намагаючись цього домогтися і самостійно знайти пропорції і залежності, але мені цього не вдалося. Виявилося, що є кілька різних варіантів побудови правильного п'ятикутника, розроблених відомими математиками. Інересним моментів є те, що арифметично це завдання вирішити тільки приблизно точно, оскільки доведеться використовувати ірраціональні числа. Зате її можна вирішити геометрично.

Розподіл кіл. Точки перетину цих ліній з колом і є вершинами квадрата. У окружності радіуса R (Крок 1) слід провести вертикальний діаметр. У точці сполучення N прямої та кола пряма є дотичною до кола.

Отримання за допомогою смужки паперу

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною і косинцем 30X60 °. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля і косинця з кутами в 30 і 60 ° або тільки одного циркуля. Щоб побудувати сторону 2-3, встановлюємо рейсшини в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника. Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів з полюса F і через непарні поділу вертикального діаметра.

А на інший кінець нитки встановлюються олівець і одержимий. Якщо вмієте креслити зірку, але не вмієте п'ятикутник, накресліть зірку олівцем, потім з'єднайте між собою сусідні кінці зірки, а саму зірку потім зітріть. Потім покладіть аркуш паперу (краще його закріпити на столі за допомогою чотирьох кнопок або голочок). Приколіть ці 5 смужок до листка паперу кнопками або голочками, щоб вони залишалися нерухомими. Потім обведіть отриманий п'ятикутник і зніміть ці смужки з листка.

Наприклад, нам потрібно намалювати п'ятикутну зірку (пентаграму) для картини про Радянський минулому або про сьогодення Китаю. Правда для цього потрібно вміти створити малюнок зірки в перспективі. Точно так же ви зможете намалювати фігуру олівцем на папері. Як правильно намалювати зірку, що б вона виглядала рівно і красиво, відразу не відповіси.

З центру опусти на коло 2 променя, щоб кут між ними був 72 градуси (транспортиром). Розподіл кола на п'ять частин здійснюється за допомогою звичайного циркуля або транспортира. Оскільки правильний п'ятикутник - це одна з фігур, що містить в собі пропорції золотого перетину, його побудовою здавна цікавилися живописці і математики. Ці принципи побудови із застосуванням циркуля і лінійки були викладені ще в евклідова «Засадах».