Вектори можуть бути графічно представлені направленими відрізками. Довжина вибирається за певною шкалою, щоб позначити величину вектора , А напрямок відрізка представляє напрямок вектора . Наприклад, якщо ми приймемо, що 1 см становить 5 км / год, тоді північно-східний вітер зі швидкістю 15 км / год буде представлений спрямованим відрізком довжиною 3 см, як показано на малюнку.

вектор на площині це спрямований відрізок. два вектора рівні якщо вони мають однакову величину і напрямок.

Розглянемо вектор, намальований з точки A до точки B. Точка називається початковою точкою вектора, а точка B називається кінцевою точкою. Символічним позначенням для цього вектора є (читається як "вектора AB"). Вектори також позначається жирними літерами, такими як U, V і W. Чотири вектора на малюнку зліва мають однакову довжину і напрямок. Тому вони представляють рівні ветори; тобто,

В контексті векторів ми застосовуємо \u003d щоб позначити їх рівність.

Довжина, або величина виражається як ||. Для того, щоб визначити, чи рівні вектори, ми знаходимо їх величини і напрямки.

приклад 1 Вектори u,, w показані на малюнку внизу. Доведіть, що u \u003d \u003d w.

Рішення Спочатку ми знаходимо довжину кожного вектора з використанням формули відстані:
| U | \u003d √ 2 + (4 - 3) 2 \u003d √9 + 1 \u003d √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
| W | \u003d √ (4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 \u003d √9 + 1 \u003d √10.
Звідси
| U | \u003d | \u003d | W |.
Вектори u,, і w, як видно з малюнка, начебто мають один і той же напрямок, але ми перевіримо їх нахил. Якщо прямі, на яких вони знаходяться, мають однакові нахили, то вектори мають один і той же напрямок. Розраховуємо нахили:
Так як u,, і w мають рівні величини і одне і те ж напраивленіе,
u \u003d \u003d w.

Майте на увазі, що рівність векторів вимагає тільки однакового розміру і однакового спрямування, а не розташування в одному місці. На самому верхньому малюнку - приклад рівності векторів.

Припустимо, що людина робить 4 кроки на схід, а потім 3 кроку на північ. Тоді людина буде в 5 кроках від початкової точки в напрямку, показаному зліва. Вектор в 4 одиниці довжиною і з напрям направо представляє 4 кроки на схід і вектор 3 одиниці довжиною напрямок вгору представляє 3 кроки на північ. сума двох цих векторів є вектор 5-ти кроків величини і в показаному напрямку. Сума також називається результуючим двох векторів.

Загалом, два ненульових вектора u і v можуть бути складені геометрично розташуванням початкової точки вектора v в кінцеву точку вектора u, і потім знаходженням ветора, який має ту ж саму початкову точку, що і вектор u і ту ж саму кінцеву точку що і вектор v, як показано на малюнку внизу.

Сумою є вектор, представлений спрямованим відрізком з точки A вектора u в кінцеву точку C вектора v. Таким чином, якщо u \u003d і v \u003d, тоді
u + v \u003d + \u003d

Ми також можемо описати складання векторів як спільне розміщення початкових точок векторів, побудовою паралелограма і знаходженням діагоналі паралелограма. (На малюнку внизу.) Це складання іноді називається як правило паралелограма додавання векторів. Векторне складання коммутативно. Як показано на малюнку, обидва вектори u + v і v + u представлені одним і тим же спрямованим відрізком.

Якщо дві сили F 1 і F 2 діють на один об'єкт, результуюча сила є сума F 1 + F 2 цих двох окремих сил.

приклад Дві сили в 15 ньютонів і 25 ньютонів діють на один об'єкт перпендикулярно один одному. Знайдіть їх суму, або результуючу силу і кут, яка вона утворює з більшою силою.

Рішення Намалюємо умову задачі, в цьому випадку - прямокутник, використовуючи v або буде представляти результуючої. Щоб знайти її величину, використовуємо теорему Піфагора:
| V | 2 \u003d 15 2 + 25 2 Тут | v | позначає довжину або величину v.
| V | \u003d √15 2 + 25 2
| V | ≈ 29,2.
Щоб знайти напрям, відзначимо, що так як OAB є прямим кутом,
tanθ \u003d 15/25 \u003d 0,6.
Використовуючи калькулятор, ми знаходимо θ, кут, який велика сила утворює з результуючої силою:
θ \u003d tan - 1 (0,6) ≈ 31 °
Результуюча має величину 29,2 і кут 31 ° з більшою силою.

Пілоти можуть коригувати напрямок їх польоту, якщо є бічний вітер. Вітер і швидкість літака можуть бути зображені як ветори.

Приклад 3. Швидкість літака і напрямок. Літак рухається по азимуту 100 ° зі швидкістю 190 км / год, в той час як швидкість вітру 48 км / год, а його азимут - 220 °. Знайдіть абсолютну швидкість літака і напрямок його руху з урахуванням вітру.

Рішення Спочатку зробимо малюнок. Вітер представлений і вектор швидкості літака є. Результуючий вектор швидкості є v, сума двох векторів. Кут θ між v і називається кут зносу .


Зверніть увагу, що величина COA \u003d 100 ° - 40 ° \u003d 60 °. Тоді величина CBA також дорівнює 60 ° (протилежні кути параллклограмма рівні). Так як сума всіх кутів паралелограма дорівнює 360 ° і COB і OAB мають одну і ту ж величину, кожен повинен бути 120 °. за правилом косинусів в OAB, ми маємо
| V | 2 \u003d 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120 °
| V | 2 \u003d 47,524
| V | \u003d 218
Тоді, | v | одно 218 км / ч. згідно правилом синусів , В тому ж самому треуголніке,
48 / Sinθ \u003d 218 / sin 120 °,
або
sinθ \u003d 48.sin120 ° / 218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11 °
Тоді, θ \u003d 11 °, до найближчого цілого кутку. Абсолютна швидкість дорівнює 218 км / ч, і напрямок його руху з урахуванням вітру: 100 ° - 11 °, або 89 °.

Якщо нам заданий вектор w, ми можемо знайти два інших вектора u і v, сума яких є w. Вектори u і v називаються компонентами w і процес їх знаходження називається розкладанням , Або поданням вектора його векторними компонентами.

Коли ми розкладаємо вектор, зазвичай ми шукаємо перпендикулярні компоненти. Дуже часто, однак, одна компонента буде паралельною осі x, і інша буде паралельна осі y. Тому, вони часто називаються горизонтальними і вертикальними компонентами вектора. На малюнку внизу вектор w \u003d розкладений як сума u \u003d і v \u003d.

Горизонтальна компонента w є u і вертикальна компонента - v.

приклад 4 Вектор w має величину 130 і нахил 40 ° щодо горизонталі. Розкладіть вектор на горизонтальні і вертикальні компоненти.

Рішення Спочатку ми намалюємо малюнок з горизонтальними і вертикальними векторами u і v, чия сума є w.

З ABC, ми знаходимо | u | і | v |, використовуючи визначення косинуса і синуса:
cos40 ° \u003d | u | / 130, або | u | \u003d 130.cos40 ° ≈ 100,
sin40 ° \u003d | v | / 130, або | v | \u003d 130.sin40 ° ≈ 84.
Тоді, горизонтальна компонента w є 100 направо і вертикальна компонента w є 84 вгору.

Ця сторінка присвячена групі завдань з геометрії, пов'язаної з векторами, і є продовженням розгляду серії геометричних завдань, характерних для ЄДІ і ОГЕ з математики .
У демонстраційних варіантах ЄДІ 2020 року вони можуть зустрітися під номерами 8 і 15 для базового рівня і під номером 3 для профільного рівня. Якщо ви не займалися іншими типами цього завдання, перейдіть за посиланнями в кінці сторінки.

Увага: Для посилення навчального ефекту відповіді і рішення завантажуються окремо для кожного завдання послідовним натисканням кнопок на жовтому тлі. (Коли завдань багато, кнопки можуть з'явитися з затримкою. Якщо кнопок не видно зовсім, перевірте, чи дозволений у вашому браузері JavaScript.)

Завдання на вектора.

вектор - спрямований відрізок.

Довжина відрізка називається модулем вектора. Два вектора рівні, якщо вони мають рівні модулі та однаково спрямовані.
Вектора позначають або малими латинськими буквами a, b, c ..., Або зазначенням кінців відрізка AB, CD, MN ... Щоб відрізнити позначення вектора від позначення просто відрізка, ці символи зверху доповнюються рисками або стрілочками. У друкованому тексті малі латинські букви часто виділяють лише напівжирним шрифтом.

Якщо вектор позначений двома буквами (кінцями відрізка), то на першому місці завжди стоїть початок вектора.

Задати вектор можна різними способами:
1. Графічно - зобразити на координатній сітці.
2. Поставити початкову і кінцеву точки і їх координати.
3. Задати довжину відрізка і напрямок. Напрямок визначають кути з осями координат (напрямні косинуси).
4. Поставити координати вектора.

Уточнимо поняття координати вектора.

нехай вектор а на площині має початок в точці А(x A; y A) і кінець в точці В(x B; y B).
Координатами вектора називаються числа
a 1 = x B - x A і a 2 = y B - y A.
Таким чином, вектор a має координати ( a 1 ;a 2).

На малюнку вектор AB має координати (9; 5). Зверніть увагу, що ці числа фактично задають катети прямокутного трикутника, гіпотенузою якого є відрізок АВ. Довжина цих катетів не зміниться, якщо ми перемістимо паралельним переносом відрізок, а з ним і весь трикутник, в інше місце. Координати вектора не залежить від його положення на площині, а тільки від довжини відрізка і напрямки. Якщо напрямок вектора не збігається з напрямком осі координат, то відповідна координата вектора буде дорівнює довжині катета зі знаком "мінус".

Вектора можна додавати, віднімати, множити на число. Для векторів також визначені спеціальні види множення - скалярне твір, результатом якого є число, і - векторний добуток, результатом якого є вектор. (Векторне твір не входить в обов'язкову шкільну програму з математики, але частково зустрічається на уроках фізики, коли вивчають закони індукції магнітного поля.) Операції над векторами можна робити або координатним методом, або графічним (правило паралелограма, правило трикутника ...). Повторіть ці правила за підручником або довідником і виберіть собі "улюблене". Я привожу рішення тим методом, який коротше для конкретного завдання.

Для наступної групи завдань креслення в умови, взагалі кажучи, не обов'язковий. Якщо вирішувати завдання координатним методом, то і в рішенні можна обійтися без креслення, тим більше, не потрібна сітка. Однак краще креслення робити завжди, щоб уникнути випадкових помилок. А сітка допомагає візуально контролювати своє рішення. Звичайно, в тому випадку, якщо масштаб даних дозволяє.

завдання 1

Дві сторони прямокутника ABCD рівні 6 і 8.
Знайдіть довжину вектора AC.

Довжина вектора AC — дорівнює довжині відрізка AC, Який є гіпотенузою прямокутного трикутника ABC з відомими катетами.
AC 2 = AB 2 + BC 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 = 100; AC = 10.

«Геометрія« Площа трапеції »» - Подумай. Площа трапеції. AH \u003d. 1. AD \u003d 4 см. Підстава. Знайдіть площу трапеції ABCD. Знайдіть площу прямокутної трапеції. Геометрія. Повторити доказ теореми. Розбивають багатокутник на трикутники. Завдання з рішенням.

«Визначення осьової симетрії» - Будуйте точки А "і В". Осьова симетрія. Фігура. Пропущені координати. Побудова відрізка. Відрізок. Вісь симетрії. Симетрія в поезії. Побудова трикутника. Точки, що лежать на одному перпендикуляре. Побудова точки. Симетрія. Трикутники. Побудуйте трикутники. Покажіть точку. Побудуйте точки. Фігури, що володіють однією віссю симетрії. Пряма. Фігури, що володіють двома осями симетрії. Симетрія в природі.

«Чотирикутники, їх ознаки і властивості» - Тести. Кути ромба. Прямокутник, у якого всі сторони рівні. Види чотирикутників. Ознайомити з видами чотирикутників. Чотирикутник, вершини якого знаходяться в серединах сторін. Чотирикутники. Чотирикутники, їх ознаки і властивості. Трапеція. Паралелограм. Властивості паралелограма. Діагоналі. З яких двох рівних трикутників можна скласти квадрат. Прямокутник. Квадрат. Види трапецій.

«Теорема про кут, вписаний» - Вивчення нового матеріалу. Кола перетинаються. Відповідь. Актуалізація знань учнів. Перевір себе. Радіус кола. Правильну відповідь. Радіус кола дорівнює 4 см. Закріплення вивченого матеріалу. Гострий кут. Знайти кут між хордами. Трикутник. Теорема про кут, вписаний. Поняття вписаного кута. Знайти кут між ними. Як називається кут з вершиною в центрі кола. Рішення. Актуалізація знань.

«Побудова дотичної до кола» - Коло. Взаємне розташування прямої та кола. Коло і пряма. Діаметр. Загальні точки. Хорда. Рішення. Коло і пряма мають одну спільну точку. Дотична до кола. Повторення. Теорема про відрізках дотичних.

«Геометрія« Подібні трикутники »» - Два трикутника називаються подібними. Значення синуса, косинуса і тангенса для кутів 30 °, 45 °, 60 °. Знайти площу рівнобедреного прямокутного трикутника. Теорема про ставлення площ подібних трикутників. Подібні трикутники. Друга ознака подібності трикутників. Продовження бічних сторін. Значення синуса, косинуса і тангенса. Пропорційні відрізки. Дві сторони трикутника з'єднали відрізком, непаралельність третьої.

Ця глава присвячена розробці векторного апарату геометрії. За допомогою векторів можна доводити теореми і вирішувати геометричні завдання. Приклади такого застосування векторів наведені в цьому розділі. Але вивчення векторів корисно ще й тому, що вони широко використовуються у фізиці для опису різних фізичних величин, таких, наприклад, як швидкість, прискорення, сила.

Багато фізичні величини, наприклад сила, переміщення матеріальної точки, швидкість, характеризуються не тільки своїм числовим значенням, а й напрямком в просторі. Такі фізичні величини називаються векторними величинами (Або коротко векторами).

Розглянемо приклад. Нехай на тіло діє сила в 8 Н. На малюнку силу зображують відрізком зі стрілкою (рис. 240). Стрілка вказує напрямок сили, а довжина відрізка відповідає в обраному масштабі числовим значенням сили. Так, на малюнку 240 сила в 1 Н зображена відрізком довжиною 0,6 см, тому сила в 8 Н зображена відрізком довжиною 4,8 см.

Мал. 240

Відволікаючись від конкретних властивостей фізичних векторних величин, ми приходимо до геометричного поняття вектора.

Розглянемо довільний відрізок. Його кінці називаються також граничними точками відрізка.

На відрізку можна вказати два напрямки: від однієї граничної точки до іншої і навпаки.

Щоб вибрати один із цих напрямків, одну граничну точку відрізка назвемо початком відрізка, А іншу - кінцем відрізка і будемо вважати, що відрізок спрямований від початку до кінця.

визначення

На малюнках вектор зображується відрізком зі стрілкою, яка показує напрямок вектора. Вектори позначають двома великими латинськими буквами зі стрілкою над ними, наприклад. Перша буква позначає початок вектора, друга - кінець (рис. 242).

Мал. 242

На малюнку 243, а зображені вектори точки А, С, Е - початку цих векторів, а В, D, F - їх кінці. Вектори часто позначають і однієї малої латинською буквою зі стрілкою над нею: (рис. 243, б).

Мал. 243

Для подальшого доцільно домовитися, що будь-яка точка площині також є вектором. У цьому випадку вектор називається нульовим. Початок нульового вектора збігається з його кінцем. На малюнку такий вектор зображується однією точкою. Якщо, наприклад, точка, яка зображує нульовий вектор, позначена буквою М, то даний нульовий вектор можна позначити так: (рис. 243, а). Нульовий вектор позначається також символом На малюнку 243 вектори ненульові, а вектор нульової.

Довжиною або модулем ненульового вектора називається довжина відрізка АВ. Довжина вектора (вектора) позначається так:. Довжина нульового вектора вважається рівною нулю:

Довжини векторів, зображених на малюнках 243, а і 243, 6, такі:

(Кожна клітина на малюнку 243 має сторону, рівну одиниці виміру відрізків).

рівність векторів

Перш ніж дати визначення рівних векторів, звернемося до прикладу. Розглянемо рух тіла, при якому всі його точки рухаються з однієї і тієї ж швидкістю і в одному і тому ж напрямку.

Швидкість кожної точки М тіла є векторною величиною, тому її можна зобразити спрямованим відрізком, початок якого збігається з точкою М (рис. 244). Так як всі точки тіла рухаються з однієї і тієї ж швидкістю, то все спрямовані відрізки, що зображують швидкості цих точок, мають один і той же напрямок і довжини їх рівні.

Мал. 244

Цей приклад підказує нам, як визначити рівність векторів.

Попередньо введемо поняття колінеарних векторів.

Ненульові вектори називаються колінеарними, Якщо вони лежать або на одній прямій, або на паралельних прямих; нульовий вектор вважається колінеарну будь-якому вектору.

На малюнку 245 вектори (вектор нульової) колінеарні, а вектори а також не колінеарні.

Мал. 245

Якщо два ненульових вектора і колінеарні, то вони можуть бути спрямовані або однаково, або протилежно. У першому випадку вектори і називаються сонаправленнимі, А в другому - протилежно спрямованими 1 .

Сонаправленнимі векторів і позначається наступним чином: Якщо ж вектори і протилежно спрямовані, то це позначають так: На малюнку 245 зображені як сонаправленнимі, так і протилежно спрямовані вектори:

Початок нульового вектора збігається з його кінцем, тому нульовий вектор не має якого-небудь певного напрямку. Інакше кажучи, будь-який напрямок можна вважати напрямком нульового вектора. Домовимося вважати, що нульовий вектор сонаправлени з будь-яким вектором. Таким чином, на малюнку 245 і т. Д.

Ненульові Колінеарні вектори мають властивості, які проілюстровані на малюнку 246, а - в.




Мал. 246

Дамо тепер визначення рівних векторів.

визначення

Таким чином, вектори і рівні, якщо. Рівність векторів і позначається так:

Відкладання вектора від даної точки

Якщо точка А - початок вектора, то кажуть, що вектор відкладений від точки А (Рис. 247). Доведемо наступне твердження:

від будь-якої точки М можна відкласти вектор, рівний даному вектору, і притому тільки один.




Мал. 247

Справді, якщо - нульовий вектор, то шуканим вектором є вектор. Припустимо, що вектор ненульовий, а точки А і B - його початок і кінець. Проведемо через точку M пряму р, паралельну АВ (рис. 248; якщо M - точка прямої АВ, то в якості прямої р візьмемо саму пряму АВ). На пряме р відкладемо відрізки MN і MN ", рівні відрізку АВ, і виберемо з векторів той, який сонаправлени з вектором (на малюнку 248 вектор). Цей вектор і є шуканим вектором, рівним вектору. З побудови випливає, що такий вектор тільки один.




Мал. 248

зауваження

Рівні вектори, відкладені від різних точок, часто позначають однією і тією ж буквою. Так позначені, наприклад, рівні вектори швидкості різних точок на малюнку 244. Іноді про такі вектори кажуть, що це один і той же вектор, але відкладений від різних точок.

практичні завдання

738. Відзначте точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. Накресліть всі ненульові вектори, початок і кінець яких збігаються з якимись двома з цих точок. Випишіть всі отримані вектори і вкажіть початок і кінець кожного вектора.

739. Вибравши відповідний масштаб, накресліть вектори, що зображують політ літака спочатку на 300 км на південь від міста А до В, а потім на 500 км на схід від міста В до С. Потім накресліть вектор який зображує переміщення з початкової точки в кінцеву.

740. Накресліть вектори так, щоб:

741. Накресліть два неколінеарних вектора і. Зобразіть кілька векторів: а) сонаправленнимі з вектором; б) сонаправленнимі з вектором; в) протилежно спрямованих вектору; г) протилежно спрямованих вектору.

742. Накресліть два вектора: а) мають рівні довжини і неколінеарние; б) мають рівні довжини і сонаправленнимі; в) мають рівні довжини і протилежно спрямовані. В якому випадку отримані вектори рівні?

відповідь У випадку б).