Докази теорем про кути, пов'язані з колом. Завдання на доказ геометричних фактів з гіа Доказ рівних кутів

Трикутник є найпростішим із типів багатокутників, у якого три кути та три сторони. Сторони утворені відрізками, які об'єднані між собою трьома крапками на площині, утворюючи у своїй жорстку форму. Рівність 2-х трикутниківМожна підтвердити кількома способами.

Інструкція

1. Якщо у трикутників ABC і DEF дві сторони рівні, а кут?, який розташований між двома сторонами трикутника ABC, дорівнює куту?, який розташований між відповідними сторонами трикутника DEF, то ці два трикутники рівні між собою.

2. Якщо у трикутників ABC і DEF сторона AB дорівнює стороні DE, а кути, що прилягають до сторони AB, дорівнюють кутам, прилеглим до сторони DE, ці трикутники вважаються рівними.

3. Якщо у трикутників ABC сторони AB, BC і CD рівні відповідним їм сторонам трикутника DEF, ці трикутники рівні.

Зверніть увагу!
Якщо потрібно підтвердити рівність між собою 2-х прямокутних трикутників, це можна зробити з допомогою наступних знаків рівності прямокутних трикутників:- по одному з катетів і гипотенузе;- по двом знаменитим катетам; - по гіпотенузі і одному з гострих кутів. Трикутники бувають гострокутними (якщо всі кути його менше 90 градусів), тупокутними (якщо один з його кутів більше 90 градусів), рівносторонні і рівнобедреними (якщо дві сторони його рівні).

Корисна порада
Крім рівності трикутників між собою, ці трикутники є подібними. Подібними трикутниками вважаються ті, у яких кути рівні між собою, а сторони одного трикутника пропорційні сторонам іншого. Варто відзначити, що якщо два трикутники подібні між собою, то це не гарантує їхньої рівності. При розподілі подібних сторін трикутників одне одного розраховується так званий показник подоби. Також цей показник можна отримати шляхом розподілу площ подібних трикутників.

З далеких часів і досі пошук ознак рівності фігур вважається базовим завданням, яке є основою основ геометрії; сотні теорем доводяться з використанням ознак рівності. Уміння доводити рівність та подібність фігур — важливе завдання у всіх сферах будівництва.

Вконтакте

Застосування досвіду на практиці

Припустимо, що ми маємо постать, накреслена на аркуші паперу. При цьому у нас є лінійка та транспортир, за допомогою яких ми можемо заміряти довжини відрізків та кути між ними. Як перенести на другий аркуш паперу фігуру таких самих розмірів або збільшити масштаб у два рази.

Ми знаємо, що трикутник - це фігура, що складається з трьох відрізків, які називаються сторонами, що утворюють кути. Таким чином, існує шість параметрів — три сторони та три кути, які визначають цю фігуру.

Проте, заміривши величину всіх трьох сторін і кутів, перенести цю фігуру на іншу поверхню виявиться непростим завданням. Крім того, є сенс поставити питання: а чи не достатньо буде знання параметрів двох сторін і одного кута, або лише трьох сторін.

Вимірявши довжину двох сторін і між ними, потім відкладемо цей кут на новому листку паперу, так ми зможемо повністю відтворити трикутник. Давайте розберемося, як це зробити, навчимося доводити ознаки, якими їх можна вважати однаковими, і визначимося з тим, яке мінімальне число параметрів достатньо знати, щоб отримати впевненість у тому, що трикутники однакові.

Важливо!Фігури називаються однаковими, якщо відрізки, що утворюють їх сторони, та кути рівні між собою. Подібними називають ті фігури, у яких сторони і кути пропорційні. Отже, рівність — це подібність із коефіцієнтом пропорційності 1.

Які існують ознаки рівності трикутників, дамо їх визначення:

перша ознака рівності: два трикутники можна вважати однаковими, якщо рівні дві сторони, а також кут між ними.
друга ознака рівності трикутників: два трикутники будуть однаковими, якщо однакові два кути, а також відповідна сторона між ними.
третя ознака рівності трикутників : трикутники можна вважати однаковими, коли всі їхні сторони мають рівну довжину.

Як довести, що трикутники дорівнюють. Наведемо доказ рівності трикутників.

Доказ 1 ознаки

Довгий час серед перших математиків ця ознака вважалася аксіомою, проте, як виявилося, її можна геометрично довести, спираючись на базовіші аксіоми.

Розглянемо два трикутники - KMN і K 1 M 1 N 1 . Сторона КМ має таку ж довжину як і K1M1, а KN = K1N1. А кут MKN дорівнює кутам KMN і M1K1N1.

Якщо розглядати KM та K 1 M 1 , KN та K 1 N 1 як два промені, які виходять з однієї точки, то можна сказати, що між цими парами променів однакові кути (це задано умовою теореми). Зробимо паралельне перенесення променів K 1 M 1 і K 1 N 1 з точки K 1 в точку К. Внаслідок цього перенесення промені K 1 M 1 і K 1 N 1 повністю співпадуть. Відкладемо на промені K 1 M 1 відрізок довжиною КМ, що бере свій початок у точці К. Оскільки за умовою отриманий відрізок і дорівнюватиме відрізку K 1 M 1 то точки М і M 1 збігаються. Аналогічно і з відрізками KN і K1N1. Таким чином, переносячи K 1 M 1 N 1 так, що точки K 1 і збігаються, а дві сторони накладаються, отримуємо повний збіг і самих фігур.

Важливо!В інтернеті зустрічаються докази рівності трикутників з двох сторін і куту за допомогою алгебраїчних та тригонометричних тотожностей з чисельними значеннями сторін та кутів. Проте історично та математично дана теорема була сформульована задовго до алгебри і раніше, ніж тригонометрія. Для підтвердження цієї ознаки теореми використовувати щось, крім базових аксіом, некоректно.

Доказ 2 ознаки

Доведемо другий ознака рівності по двох кутах та стороні, ґрунтуючись на першому.

Доказ 2 ознаки

Розглянемо KMN та PRS. До дорівнює Р, N дорівнює S. Сторона КN має таку саму довжину, як і РS. Необхідно довести, що KMN і PRS однакові.

Відобразимо точку М щодо променя КN. Отриману точку назвемо L. У цьому довжина боку КМ = КL. NKL дорівнює PRS. KNL дорівнює RSP.

Оскільки сума кутів дорівнює 180 градусів, то KLN дорівнює PRS, а значить PRS і KLN - однакові (подібні) по обидва боки та кут, згідно з першою ознакою.

Але оскільки KNL дорівнює KMN, то KMN і PRS — дві однакові фігури.

Доказ 3 ознаки

Як встановити, що трикутники рівні? Це прямо випливає із доказу другої ознаки.

Довжина KN = S. Оскільки К = Р, N = S, KL = KM, у своїй КN = KS, MN = ML, то:

Це означає, що обидві фігури є подібними одна одній. Але оскільки їхні сторони однакові, то вони також рівні.

З ознак рівності та подоби випливає безліч наслідків. Одне з них полягає в тому, що для того, щоб визначити, чи рівні трикутники чи ні, необхідно знати їхні властивості, чи однакові:

усі три сторони;
обидві сторони та кут між ними;
обидва кути та сторона між ними.

Використання ознаки рівності трикутників для вирішення задач

Наслідки першої ознаки

У ході доказу можна дійти низки цікавих і корисних наслідків.

. Той факт, що точка перетину діагоналей паралелограма поділяє їх на дві однакові частини — наслідок ознак рівності і цілком піддається доказу.
Якщо є два прямокутні трикутники, які мають однакові гострі кути, то вони подібні. Якщо у своїй катет першого дорівнює катету другого, всі вони рівні. Зрозуміти це досить легко — будь-які прямокутні трикутники мають прямий кут. Тому ознаки рівності їм простіші.
Два трикутники з прямими кутами, у яких два катети мають однакову довжину, можна вважати однаковими. Це пов'язано з тим, що між двома катетами кут завжди дорівнює 90 градусів. Тому за першою ознакою (по двох сторонах і кутом між ними) всі трикутники з прямими кутами та однаковими катетами рівні.
Якщо є два прямокутні трикутники, і вони мають один катет і гіпотенуза рівні, отже і трикутники однакові.

Доведемо цю просту теорему.

Є два прямокутні трикутники. В одного боку a, b, c, де - гіпотенуза; a, b - катети. У другої сторони n, m, l, де l - гіпотенуза; m, n - катети.

По теоремі Піфагора один із катетів дорівнює:

;

Таким чином, якщо n = a, l = с (рівність катетів та гіпотенуз), відповідно і другі катети будуть рівні. Фігури, відповідно, будуть рівні за третьою ознакою (за трьома сторонами).

Відзначимо ще одне важливе слідство. Якщо є два рівні трикутники, і вони подібні з коефіцієнтом подібності k, тобто попарні відносини всіх їх сторін рівні k, то відношення їх площ дорівнює k2 .

Перша ознака рівності трикутників. Відеоурок з геометрії 7 клас

Геометрія 7 Перша ознака рівності трикутників

Висновок

Розглянута нами тема допоможе будь-якому учню краще розібратися в базових геометричних поняттях та підвищити свої навички у найцікавішому світі математики.

Геометрія як окремий предмет починається у школярів у 7 класі. До цього часу вони стосуються геометричних завдань досить легкої форми і в основному того, що можна розглянути на наочних прикладах: площі кімнати, земельної ділянки, довжини та висоти стін у приміщеннях, плоских предметів та інше. На початку вивчення безпосередньо геометрії з'являються перші складності, такі, наприклад, як поняття прямий, так як помацати руками цю пряму немає можливості. Що стосується трикутників - це найпростіший вид багатокутників, що містить всього три кути і три сторони.

Вконтакте

Однокласники

Тема трикутників одна з основних важливихта великих тем шкільної програми у геометрії 7-9 класів. Засвоївши її добре, можна вирішувати дуже складні завдання. При цьому можна спочатку розглядати зовсім іншу геометричну фігуру, а потім розділити її для зручності на трикутні частини.

Для роботи над доказом рівності ∆ ABCі ∆A1B1C1Потрібно добре засвоїти ознаки рівності фігур та вміти ними користуватися. Перед вивченням ознак необхідно навчитися визначати рівністьсторін та кутів найпростіших багатокутників.

Щоб довести, що кути трикутників рівні, допоможуть такі варіанти:

∠ α = ∠ β виходячи із побудови фігур.
Дано за умови завдання.
При двох паралельних прямих та наявності сікучої можуть утворитися як внутрішні навхрест лежачі, так і відповідні ∠α = ∠β.
Додаючи (віднімаючи) до (з) ∠α = ∠β рівні кути.
Завжди подібні вертикальні ∠α та ∠β
Загальний ∠α, що одночасно належить ∆ MNKі ∆ MNH .
Бісектриса ділить ∠α на два рівнозначні.
Сумежний з ∠ 90°- Кут, рівний вихідному.
Сумежні рівним кутам рівні.
Висота утворює два суміжні ∠ 90° .
У рівнобедреному ∆ MNKна підставі ∠α = ∠β.
У рівних ∆ MNKі ∆ SDHвідповідні ∠α = ∠β.
Доведена раніше рівність ∆ MNKі ∆ SDH .

Як знайти периметр трикутника.

3 ознаки рівності трикутників

Доказ рівності ∆ ABCі ∆A1B1C1дуже зручно виробляти, спираючись на основні ознакитотожності цих найпростіших багатокутників. Існує три такі ознаки. Вони дуже важливими під час вирішення багатьох геометричних завдань. Варто розглянути кожен.

Перераховані вище ознаки є теоремами і доводяться методом накладання однієї фігури на іншу, з'єднання вершин відповідних кутів та початку променів. Докази рівності трикутників у 7 класі описані в дуже доступній формі, але складні у вивченні школярами на практиці, оскільки містять велику кількість елементів, позначених великими латинськими літерами. Це зовсім звично багатьом учнів на час початку вивчення предмета. Підлітки плутаються у назвах сторін, променів, кутів.

Трохи згодом з'являється ще одна важлива тема «Подібність трикутників». Саме визначення «подоба» у геометрії означає схожість формиза відмінності розмірів. Для прикладу можна взяти два квадрати, перший зі стороною 4 см, а другий 10 см. Ці види чотирикутників будуть схожі і, одночасно, мати відмінність, оскільки другий буде більшим, причому кожна сторона збільшена в однакову кількість разів.

У розгляді теми подоби наводяться 3 ознаки:

Перший — про два відповідно рівні кути двох трикутних фігур, що розглядаються.
Другий — про вугілля і сторони, що його утворюють. ∆ MNK, які рівні відповідним елементам ∆ SDH .
Третій – вказує на пропорційність усіх відповідних сторін двох потрібних фігур.

Як довести, що трикутники подібні? Досить скористатися однією з перелічених вище ознак і грамотно описати весь процес доказу завдання. Тема подібності ∆ MNKі ∆ SDHпростіше сприймається школярами виходячи з того, що на момент її вивчення учні вже вільно користуються позначеннями елементів у геометричних побудовах, не плутаються у величезній кількості назв і вміють читати креслення.

Завершуючи проходження великої теми трикутних геометричних постатей, учні вже досконало повинні знати, як довести рівність ∆ MNK = ∆ SDHз обох боків, встановити рівні два трикутники чи ні. Враховуючи, що багатокутник, що має рівно три кути – це одна з найважливіших геометричних фігур, до засвоєння матеріалу слід підійти серйозно, приділяючи особливу увагу навіть дрібним фактам теорії.