Недоведені теореми сучасності, за які покладається нагорода. Хочу вчитися - невирішені завдання Яку теорему не можуть довести

НІКОМУ не дано володіти вселенським розумом і знати ВСЕ. Проте, у більшості вчених, так і тих, хто просто любить міркувати і досліджувати, завжди є прагнення дізнатися більше, розгадати загадки. Але чи залишилися ще нерозгадані теми у людства? Адже, здається, все вже ясно і потрібно тільки застосовувати отримані століттями знання?

НЕ варто впадати у відчай! Ще залишилися невирішені проблеми з галузі математики, логіки, які 2000 року експерти Математичного інституту Клея в Кембриджі (Массачусетс, США) об'єднали в список, так звані, 7 загадок тисячоліття (Millennium Prize Problems). Ці проблеми хвилюють вчених всієї планети. З тих пір і до цього дня будь-яка людина може заявити, що знайшов рішення одним із завдань, довести гіпотезу і отримати від бостонського мільярдера Лендона Клея (в честь якого і названий інститут) премію. Він уже виділив на ці цілі 7 мільйонів доларів. До слова сказати, на сьогоднішній день одна з проблем вже вирішена.

Отже, ви готові дізнатися про математичних загадках?

Рівняння Нав'є - Стокса (сформульовані в 1822 році)

Рівняння про турбулентних, повітряних потоках, а також перебігу рідин відомі як рівняння Нав'є - Стокса. Якщо, наприклад, плисти по озеру на чому-небудь, то неминуче навколо виникнуть хвилі. Це стосується і повітряного простору: при польоті на літаку в повітрі також будуть утворюватися турбулентні потоки.
Дані рівняння якраз виробляють опис процесів руху в'язкої рідиниі є стрижневою завданням всієї гідродинаміки. Для деяких окремих випадків вже знайдені рішення, в яких частини рівнянь відкидаються, що не впливають на кінцевий результат, але в загальному вигляді рішення цих рівнянь не знайдені.
Необхідно знайти рішення рівнянь і виявити гладкі функції.

Гіпотеза Рімана (сформульована в 1859 році)

Відомо, що розподіл простих чисел (які діляться тільки на себе і на одиницю: 2,3,5,7,11 ...) серед всіх натуральних чисел не підкоряється ніякої закономірності.
Над цією проблемою задумався німецький математик Ріман, який зробив своє припущення, теоретично стосується властивостей наявної послідовності простих чисел. Вже давно відомі так звані парні прості числа - прості числа-близнюки, різниця між якими дорівнює 2, наприклад 11 і 13, 29 і 31, 59 і 61. Іноді вони утворюють цілі скупчення, наприклад, 101, 103, 107, 109 і 113 .
Якщо такі скупчення будуть знайдені і виведений певний алгоритм, то це призведе до революційної зміни наших знань в області шифрування і до небаченого прориву в області безпеки Інтернету.

Проблема Пуанкаре (сформульована в 1904 році. Вирішено в 2002 році.)

Суть проблеми полягає в топології і полягає в тому, що якщо натягувати гумову стрічку, наприклад, на яблуко (сферу), то буде теоретично можливим стиснути її до точки, повільно переміщаючи без відриву від поверхні стрічку. Однак якщо цю ж стрічку натягнути навколо бублика (тора), то стиснути стрічку без розриву стрічки або розлому самого бублика не представляється можливим. Тобто вся поверхня сфери однозв'язна, в той час як тора - немає. Завдання полягало в тому, щоб довести, що однозв'язної є тільки сфера.

Представник ленінградської геометричній школи Григорій Якович Перельман є лауреатом премії тисячоліття математичного інституту Клея (2010 р) за вирішення проблеми Пуанкаре. Від знаменитої Фільдсовской премії він відмовився.

Гіпотеза Ходжа (сформульована в 1941 році)

У реальності існують безліч як простих, так і куди більш складних геометричних об'єктів. Чим складніше об'єкт, тим важче його вивчати. Зараз вченими придуманий і щосили застосовується підхід, заснований на використанні частин одного цілого ( "цеглинки") для вивчення цього об'єкта, як приклад - конструктор. Знаючи властивості «цеглинок», стає можливим підступитися і до властивостей самого об'єкта. Гіпотеза Ходжа в даному випадку пов'язана з деякими властивостями як «цеглинок», так і об'єктів.
Це дуже серйозна проблема алгебраїчної геометрії: знайти точні шляхи і методи аналізу складних об'єктів за допомогою простих "цеглинок".

Рівняння Янга - Міллса (сформульовані в 1954 році)

Фізики Янг і Міллс описують світ елементарних частинок. Вони, виявивши зв'язок між геометрією і фізикою елементарних частинок, написали свої рівняння в області квантової фізики. Тим самим був знайдений шлях до об'єднання теорій електромагнітного, слабкого і сильного взаємодій.
На рівні мікрочастинок виникає «неприємний» ефект: якщо на частку діють кілька полів відразу, їх сукупний ефект вже не можна розкласти на дію кожного з них поодинці. Це відбувається через те, що в цій теорії один до одного притягуються не тільки частинки матерії, а й самі силові лінії поля.
Хоча і рівняння Янга - Міллса прийняті всіма фізиками світу, експериментально теорія, що стосується передбачення маси елементарних частинок, не доведена.

Гіпотеза Берча і Свіннертона-Дайера (сформульована в 1960 році)

гіпотеза пов'язана з рівняннями еліптичних кривих і безліччю їх раціональних рішень. У доведенні теореми Ферма еліптичні криві зайняли одне з найважливіших місць. А в криптографії вони утворюють цілий розділ імені себе, і на них засновані деякі російські стандарти цифрового підпису.
Завдання в тому, що потрібно описати ВСЕ рішення в цілих числах x, y, z алгебраїчних рівнянь, тобто рівнянь від декількох змінних з цілими коефіцієнтами.

Проблема Кука (сформульована в 1971 році)

Її ще називають "Рівність класів P і NP", і вона є однією з найбільш важливих завдань теорії алгоритмів, логіки та інформатики.
Чи може процес перевірки правильності рішення будь-якої задачі тривати довше, ніж час, витрачений на саме рішення цього завдання (Незалежно від алгоритму перевірки)?
На вирішення однієї і тієї ж задачі, часом, потрібно різну кількість часу, якщо змінити умови і алгоритми. Наприклад: у великій компанії ви шукаєте знайомого. Якщо ви знаєте, що він сидить в кутку або за столиком - то вам знадобиться частки секунд, щоб його побачити. Але якщо ви не будете знати точно, де знаходиться об'єкт, то витратите більше часу на його пошуки, обходячи всіх гостей.
Основним питанням є: все або не всі завдання, які можна легко і швидко перевірити, можна також легко і швидко вирішити?

Математика, як може здатися багатьом, не так далека від реальності. Вона є тим механізмом, за допомогою якого можна описати наш світ і багато явищ. Математика всюди. І мав рацію В.О. Ключевський, який прорік: «Не квіти винні, що сліпий їх не бачить».

І на закінчення ....

Отже, Велика теорема Ферма (нерідко звана останньої теоремою Ферма), сформульована в 1637 році блискучим французьким математиком П'єром Ферма, дуже проста за своєю суттю і зрозуміла кожній людині із середньою освітою. У ньому записано, що формула а в ступені n + b в ступеня n \u003d c в ступеня n не має натуральних (тобто не дрібних) рішень для n\u003e 2. Начебто все просто і зрозуміло, але кращі вчені-математики і прості любителі билися над пошуком рішення більше трьох з половиною століть.

Нерозв'язані завдання - це 7 найцікавіших математичних проблем. Кожна з них була запропонована свого часу відомими вченими, як правило, у вигляді гіпотез. Ось уже багато десятиліть над їх вирішенням ламають голови математики в усьому світі. Тих, хто досягне успіху, чекає винагорода в мільйон американських доларів, запропоноване інститутом Клей.

інститут Клей

Під такою назвою відома приватна некомерційна організація, штаб-квартира якої знаходиться в Кембриджі, штат Массачусетс. Вона була заснована в 1998 році гарвардським математиком А. Джеффі і бізнесменом Л. Клей. Метою діяльності інституту є популяризація та розвиток математичних знань. Для її досягнення організація видає премії вченим і спонсорує багатообіцяючі дослідження.

На початку 21 століття Математичний інститут Клей запропонував премію тим, хто вирішить проблеми, які відомі, як найскладніші нерозв'язані завдання, назвавши свій список Millennium Prize Problems. З «Списку Гільберта» в нього увійшла лише гіпотеза Рімана.

завдання тисячоліття

У список інституту Клей спочатку входили:

• гіпотеза про циклах Ходжа;
• рівняння квантової теорії Янга - Міллса;
• гіпотеза Пуанкаре;
• проблема рівності класів Р і NP;
• гіпотеза Рімана;
• про існування і гладкості його рішень;
• проблема Берча - Свіннертона-Дайера.

Ці відкриті математичні проблеми представляють величезний інтерес, так як можуть мати безліч практичних реалізацій.

Що довів Григорій Перельман

У 1900 році відомий вчений-філософ Анрі Пуанкаре припустив, що будь-яке однозв'язного компактне 3-мірне різноманіття без краю гомеоморфним 3-мірної сфері. Її доказ в загальному випадку не знаходилося протягом століття. Лише в 2002-2003 роках петербурзький математик Г. Перельман опублікував ряд статей з вирішенням проблеми Пуанкаре. Вони справили ефект бомби, що розірвалася. У 2010 році гіпотеза Пуанкаре була виключена зі списку «Не розв'язані задачі» інституту Клей, а самому Перельману було запропоновано отримати належне йому чималу винагороду, від якого останній відмовився, не пояснивши причин свого рішення.

Саме зрозуміле пояснення того, що вдалося довести російському математику, можна дати, уявивши, що на бублик (тор), натягують гумовий диск, а потім намагаються стягнути краю його окружності в одну точку. Очевидно, що це неможливо. Інша справа, якщо зробити цей експеримент з кулею. В такому випадку начебто тривимірна сфера, вийшла з диска, окружність якого стягнули в точку гіпотетичним шнуром, буде тривимірної в розумінні звичайної людини, але двовимірної з точки зору математики.

Пуанкаре припустив, що тривимірна сфера є єдиним тривимірним «предметом», поверхня якої можна стягнути в одну точку, а Перельману вдалося це довести. Таким чином, список «нерозв'язних завдання» сьогодні складається з 6 проблем.

Теорія Янга-Міллса

Ця математична проблема була запропонована її авторами в 1954-му році. Наукова формулювання теорії має наступний вигляд: для будь-якої простої компактної каліброваної групи квантова просторова теорія, створена Янгом і Мілльсом, існує, і при цьому має нульовий дефект маси.

Якщо говорити мовою, зрозумілою для звичайної людини, взаємодії між природними об'єктами (частками, тілами, хвилями та ін.) Поділяються на 4 типи: електромагнітне, гравітаційне, слабке і сильне. Уже багато років фізики намагаються створити загальну теорію поля. Вона повинна стати інструментом для пояснення всіх цих взаємодій. Теорія Янга-Міллса - це математичний мову, за допомогою якого стало можливо описати 3 з 4-х основних сил природи. Вона не може бути застосована до гравітації. Тому не можна вважати, що Янгу і Миллсу вдалося створити теорію поля.

Крім того, нелінійність запропонованих рівнянь робить їх вкрай складними для вирішення. При малих константах зв'язку їх вдається приблизно вирішити у вигляді ряду теорії збурень. Однак поки незрозуміло, як можна вирішити ці рівняння при сильній зв'язку.

Рівняння Нав'є-Стокса

За допомогою цих виразів описуються такі процеси, як повітряні потоки, протягом рідин і турбулентність. Для деяких окремих випадків аналітичні рішення рівняння Нав'є-Стокса вже були знайдені, проте зробити це для загального поки нікому не вдалося. У той же час, чисельне моделювання для конкретних значень швидкості, щільності, тиску, часу і так далі дозволяє досягти чудових результатів. Залишається сподіватися, що у кого-небудь вийде застосувати рівняння Нав'є-Стокса в зворотному напрямку, т. Е. Вирахувати з їх допомогою параметри, або довести, що методу рішення немає.

Завдання Берча - Свіннертона-Дайера

До категорії «розв'язані задачі» відноситься і гіпотеза, запропонована англійськими вченими з Кембриджського університету. Ще 2300 років тому давньогрецький вчений Евклід дав повний опис рішень рівняння x2 + y2 \u003d z2.

Якщо для кожного з простих чисел порахувати кількість точок на кривій по його модулю, вийде нескінченний набір цілих чисел. Якщо конкретним чином «склеїти» його в 1 функцію комплексної змінної, тоді вийде дзета-функція Хассе-Вейля для кривої третього порядку, що позначається буквою L. Вона містить інформацію про поведінку по модулю всіх простих чисел відразу.

Брайан Берч і Пітер Свіннертона-Дайер висунули гіпотезу щодо еліптичних кривих. Відповідно до неї, структура і кількість безлічі її раціональних рішень пов'язані з поведінкою L-функції в одиниці. Недоведеним на даний момент гіпотеза Берча - Свіннертона-Дайера залежить від опису алгебраїчних рівнянь 3 ступеня і є єдиним порівняно простим загальним способом розрахунку рангу еліптичних кривих.

Щоб зрозуміти практичну важливість цього завдання, досить сказати, що в сучасній криптографії на еліптичних кривих заснований цілий клас асиметричних систем, і на їх застосуванні засновані вітчизняні стандарти цифрового підпису.

Рівність класів p і np

Якщо інші «Завдання тисячоліття» відносяться до суто математичним, то ця має відношення до актуальної теорії алгоритмів. Проблема, що стосується рівності класів р і np, відома також, як проблема Кука-Левіна, зрозумілою мовою може бути сформульована таким чином. Припустимо, що позитивну відповідь на якесь питання можна перевірити досить швидко, т. Е. За поліноміальний час (ПВ). Тоді правильно твердження, що відповідь на нього можна досить швидко відшукати? Ще простіше звучить так: чи дійсно рішення задачі перевірити не важче, ніж його знайти? Якщо рівність класів р і np буде коли-небудь доведено, то всі проблеми підбору можна буде вирішувати за ПВ. На даний момент багато фахівців сумніваються в істинності цього твердження, хоча не можуть довести зворотне.

гіпотеза Рімана

Аж до 1859 роки не було виявлено будь-якої закономірності, яка описувала б, як розподіляються прості числа серед натуральних. Можливо, це було пов'язано з тим, що наука займалася іншими питаннями. Однак до середини 19 століття ситуація змінилася, і вони стали одними з найбільш актуальних, якими почала займатися математика.

Гіпотеза Рімана, що з'явилася в цей період - це припущення про те, що в розподілі простих чисел існує певна закономірність.

Сьогодні багато сучасних вчені вважають, що якщо вона буде доведена, то доведеться переглянути багато фундаментальні принципи сучасної криптографії, що становлять основу значної частини механізмів електронної комерції.

Відповідно до гіпотези Рімана, характер розподілу простих чисел, можливо, суттєво відрізняється від передбачуваного на даний момент. Справа в тому, що до сих поки не було виявлено будь-якої системи в розподілу простих чисел. Наприклад, існує проблема «близнюків», різниця між якими дорівнює 2. Цими числами є 11 і 13, 29. Інші прості числа утворюють скупчення. Це 101, 103, 107 і ін. Вчені давно підозрювали, що подібні скупчення існують і серед дуже великих простих чисел. Якщо їх знайдуть, то стійкість сучасних кріптоключа опиниться під питанням.

Гіпотеза про циклах Ходжа

Ця невирішена досі завдання сформульована в 1941 році. Гіпотеза Ходжа передбачає можливість апроксимації форми будь-якого об'єкта шляхом «склеювання» разом простих тел більшої розмірності. Цей спосіб був відомий і успішно застосовується досить давно. Однак не відомо, до якої міри можна виробляти спрощення.

Тепер ви знаєте, які нерозв'язані завдання існують на даний момент. Вони є предметом дослідження тисяч вчених у всьому світі. Залишається сподіватися, що найближчим часом вони будуть вирішені, а їх практичне застосування допоможе людству вийти на новий виток технологічного розвитку.

Лев Валентинович Руді, автор статті «П'єр Ферма і його« бездоказова »теорема», прочитавши публікацію про один з 100 геніїв сучасності математики, який був названий генієм завдяки своєму рішенню теореми Ферма, запропонував опублікувати своє альтернативна думка на цю тему. На що ми охоче відгукнулися і публікуємо його статтю без скорочень.

П'єр Ферма і його «бездоказова» теорема

Цього року виповнилося 410 років від дня народження великого французького математика П'єра Ферма. Академік В.М. Тихомиров пише про П. Ферма: «Лише один математик удостоївся того, що ім'я його стало прозивним. Якщо говорять «ферматист», значить, мова йде про людину, одержимого до божевілля якийсь нездійсненною ідеєю. Але це слово не може бути віднесено до самого П'єру Ферма (1601-1665), одного з найсвітліших умів Франції.

П. Ферма - людина дивовижної долі: один з найвидатніших математиків світу, він не був «професійним» математиком. За професією Ферма був юристом. Він отримав прекрасну освіту і був видатним знавцем мистецтва і літератури. Все життя він пропрацював на державній службі, останні 17 років був радником парламенту в Тулузі. До математики його вабила безкорислива і піднесена любов, і саме ця наука дала йому все, що може дати людині любов: захоплення красою, насолоду і щастя.

У паперах і листуванні Ферма сформулював чимало гарних тверджень, про які він писав, що має в своєму розпорядженні їх доказом. І поступово таких недоведених тверджень ставало все менше і, нарешті, залишилося тільки одне - його загадкова Велика теорема!

Однак, тим, хто цікавиться математикою, ім'я Ферма говорить багато про що незалежно від його Великої теореми. Він був одним з найбільш проникливих умів свого часу, його вважають основоположником теорії чисел, він вніс величезний вклад в розвиток аналітичної геометрії, математичного аналізу. Ми вдячні Ферма за те, що він відкрив для нас світ, сповнений краси і загадковості »(nature.web.ru:8001\u003edb/msg.html...).

Дивна, однак, «вдячність» !? Математичний світ і освічене людство проігнорували 410-й ювілей Ферма. Все було, як завжди, тихо, мирно, буденно ... Не було чутно фанфар, хвалебних промов, тостів. З усіх математиків світу тільки Ферма «удостоївся» такої високої честі, що при слові «ферматист», всі розуміють, що мова йде про Напівдурків, який «до нестями одержимий нездійсненною ідеєю» знайти загублене доказ теореми Ферма!

У своєму зауваженні на полях книги Діофанта Ферма писав: «Я знайшов справді дивовижний доказ свого твердження, але поля книги вузькі, щоб його вмістити». Так це ж був «момент слабкості математичного генія XVII століття». Цей бовдур не розумів, що «помиляється», а, швидше за все, він просто «брехав», «лукавив».

Якщо Ферма стверджував, значить, доказ у нього було !? Рівень знань був не вище, ніж у сучасного десятикласника, але якщо якийсь інженер намагається знайти такі докази, то його висміюють, оголошують божевільним. І зовсім інша справа, якщо американський 10-річний хлопчик Е. Уайлс «приймає в якості вихідної гіпотези, що Ферма не міг знати набагато більше математики, ніж він», і починає «доводити» цю «недоведену теорему». На таке, природно, здатний тільки «геній».

Випадково я потрапив на сайт (works.tarefer.ru\u003e 50/100086 / index.html), де студентка Читинського ГТУ Кушенко В.В. пише про Ферма: «... Маленьке містечко Бомон і все його п'ять тисяч мешканців не в силах усвідомити, що тут народився великий Ферма, останній математик-алхімік, вирішував пусті завдання прийдешніх століть, Найтихіший суддівський гачок, лукавий сфінкс, замучив людство своїми загадками , обережний і гречний чинуша, подтасовщік, інтриган, домосід, заздрісник, геніальний компілятор, один з чотирьох титанів математики ... Ферма майже не виїжджав з Тулузи, де осів після одруження на Луїзі де Лонг, дочки радника парламенту. Завдяки тестеві він дослужився до звання радника і придбав жадану приставку «де». Син третього стану, практичний нащадок багатих шкіряників, нашпигований латиною і францисканским благочестям, він не ставив перед собою грандіозних завдань в реальному житті ...

У свій бурхливий вік він прожив грунтовно і тихо. Він не писав філософських трактатів, як Декарт, ні наперсником французьких королів, як Вієт, не воював, не подорожував, не створював математичні гуртки, не мав учнів і не друкувався за життя ... Не виявивши ніяких свідомих претензій на місце в історії, ферма помирає 12 січня 1665 року ».

Я був вражений, шокований ... А хто був першим «математиком-алхіміком» !? Що це за «пусті завдання прийдешніх століть» !? «Чинуша, подтасовщік, інтриган, домосід, заздрісник» ... Звідки у цих зелених молодиків і телиць стільки зневаги, презирства, цинізму до людині, що жила за 400 років до них !? Яке блюзнірство, кричуща несправедливість !? Але, чи не самі ж молодики все це придумали !? Їх напоумили математики, «царі наук», то саме «людство», яке «лукавий сфінкс» Ферма «замучив своїми загадками».

Однак, Ферма не може нести будь-яку відповідальність за те, що пихаті, але бездарні нащадки триста з гаком років збивали свої роги про його шкільну теоремку. Принижуючи, оплевивая Ферма, математики намагаються врятувати свою честь мундира !? Але ніякої «честі» давно немає, навіть «мундира» немає !? Дитяча завдання Ферма стала найбільшою ганьбою «добірної, доблесної» армії математиків світу !?

«Царі наук» зганьбилися тим, що сім поколінь математичних «світил» так і не змогли довести шкільну теоремку, яку довели і П. Ферма, і арабський математик ал-Худжанд за 700 років до Ферма !? Вони зганьбилися і тим, що замість визнання своїх помилок, знеславили П. Ферма обманщиком і стали роздмухувати міф про «недовідності» його теореми !? Математики зганьбилися і тим, що вже ціле століття несамовито труять математиків-аматорів, «б'ють по голові своїх братів менших». Ця цькування стала самим ганебним, після утоплення Пифагором Гіппаса, діянням математиків у всій історії наукової думки! Вони зганьбилися і тим, що під виглядом «докази» теореми Ферма, підсунули освіченому людству сумнівне «творіння» Е. Уайлса, яке «не розуміють» навіть найяскравіші світила математики !?

410-річний ювілей від дня народження П. Ферма - це, безсумнівно, досить вагомий аргумент для того, щоб математики, нарешті, схаменулися і перестали б наводити тінь на тин і відновили б добре, чесне ім'я великого математика. П. Ферма «не виявлено ніяких свідомих претензій на місце в історії», але ця примхлива і примхлива Дама сама внесла його на руках в свої аннали, зате багатьох завзятих і завзятих «претендентів» вона виплюнула, як зжовані жуйку. І нічого з цим не поробиш, всього одна з багатьох його красивих теорем навічно вписала ім'я П. Ферма в історію.

Але це унікальне творіння Ферма і саме вже ціле століття загнано в «підпіллі», оголошено «поза законом», стало самої ганебною і ненависної завданням у всій історії математики. Але настав час цього «бридкому каченяті» математики перетворюватися в прекрасного лебедя! Дивовижна загадка Ферма вистраждала своє право зайняти гідне місце і в скарбниці математичних знань, і в кожній школі світу поряд зі своєю сестрою - теоремою Піфагора.

Така унікальна, витончена завдання просто не може не мати і красиві, витончені рішення. Якщо теорема Піфагора має 400 доказів, то нехай спочатку у теореми Ферма буде всього 4 простих докази. Вони є, поступово їх стане більше !? Я вважаю, що 410-річний ювілей П. Ферма - це найкращий привід або випадок, для того, щоб математикам-професіоналам схаменутися і припинити, нарешті, цю безглузду, абсурдну, клопітку і абсолютно непотрібну «блокаду» любителів !?

1. 1 Murad:

   Ми рівність Zn \u003d Xn + Yn вважали Діофанта рівняння або великої теоремою Ферма, а це є рішення рівняння (Zn- Xn) Xn \u003d (Zn - Yn) Yn. Тоді Zn \u003d - (Xn + Yn) є рішення рівняння (Zn + Xn) Xn \u003d (Zn + Yn) Yn. Ці рівняння і рішення пов'язані з властивостями цілих чисел і дії над ними. Значить, не знаємо властивості цілих чисел ?! Володіючи такими обмеженими знання не розкриємо істину.
   Розглянемо рішення Zn \u003d + (Xn + Yn) і Zn \u003d - (Xn + Yn), коли n \u003d 1. Цілі числа + Z утворюються за допомогою 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Вони ділитися на 2 цілі числа + X - парні, останні праві цифри: 0, 2, 4, 6, 8 і + Y - непарні, останні праві цифри: 1, 3, 5, 7, 9, т . Е. + X \u003d + Y. Кількість Y \u003d 5 - непарних і X \u003d 5 - парних чисел дорівнює: Z \u003d 10. Чи задовольняє рівняння: (Z - X) X \u003d (Z - Y) Y, а рішення + Z \u003d + X + Y \u003d + (X + Y).
   Цілі числа -Z складаються з об'єднання -X - парні і -Y - непарні, і задовольняє рівняння:
   (Z + X) X \u003d (Z + Y) Y, а рішення -Z \u003d - X - Y \u003d - (X + Y).
   Якщо Z / X \u003d Y або Z / Y \u003d X, то Z \u003d XY; Z / -X \u003d -Y або Z / -Y \u003d -X, то Z \u003d (-X) (- Y). Розподіл перевіряється множенням.
   Однозначні позитивні і негативні числа складаються з 5 непарних і 5 непарних чисел.
   Розглянемо випадок n \u003d 2. Тоді Z2 \u003d X2 + Y2 є рішення рівняння (Z2 - X2) X2 \u003d (Z2 - Y2) Y2 і Z2 \u003d - (X2 + Y2) є рішення рівняння (Z2 + X2) X2 \u003d (Z2 + Y2) Y2. Ми Z2 \u003d X2 + Y2 вважали теоремою Піфагора і тоді рішення Z2 \u003d - (X2 + Y2) є цієї ж теоремою. Знаємо, що діагональ квадрата ділити його на 2 частини, де діагональ є гіпотенузою. Тоді справедливі рівності: Z2 \u003d X2 + Y2, і Z2 \u003d - (X2 + Y2) де X і Y катети. І ще рішення R2 \u003d X2 + Y2 і R2 \u003d - (X2 + Y2) є кола, центри є початком квадратної системи координат і з радіусом R. Їх можна записати у вигляді (5n) 2 \u003d (3n) 2 + (4n) 2 , де n - цілі позитивні і негативні, і є 3 послідовні числа. Також рішеннями є 2-розрядні числа XY, які починається з 00 і закінчується 99 і є 102 \u003d 10х10 і вважати 1 століття \u003d 100 років.
   Розглянемо рішення, коли n \u003d 3. Тоді Z3 \u003d X3 + Y3 рішення рівняння (Z3 - X3) X3 \u003d (Z3 - Y3) Y3.
   3-розрядні числа XYZ починається з 000 і закінчується 999 і є 103 \u003d 10х10х10 \u003d 1000 років \u003d 10веков
   З 1000 кубиків однакового розміру і кольору можна скласти рубик порядку 10. Розглянемо рубик порядку + 103 \u003d +1000 - червоний і -103 \u003d -1000 - синій. Вони складаються з 103 \u003d 1000 кубиків. Якщо розкладемо, і кубики поставити в один ряд або один на одного, без проміжків, то отримаємо горизонтальний або вертикальний відрізок довжини 2000. Рубік - великий куб, вкрите маленькими кубами, починаючи з розміру 1бутто \u003d 10ст.-21, і в нього не можна додати або зменшити одного куба.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Кожне ціле число 1. Скласти 1 (одиниці) 9 + 9 \u003d 18, 10 + 9 \u003d 19, 10 +10 \u003d 20, 11 +10 \u003d 21, а твори:
   111111111 х 111111111 \u003d 12345678987654321; 1111111111 х 111111111 \u003d 123456789987654321.
   0111111111х1111111110 \u003d 0123456789876543210; 01111111111х1111111110 \u003d 01234567899876543210.
   Ці операції можна виконати 20-розрядних калькуляторах.
   Відомо, що + (n3 - n) завжди ділиться на +6, а - (n3 - n) ділиться на -6. Знаємо, що n3 - n \u003d (n-1) n (n + 1). Це є 3 послідовні числа (n-1) n (n + 1), де n - парне, то ділиться на 2, (n-1) і (n + 1) непарні, діляться на 3. Тоді (n-1) n (n + 1) завжди ділиться на 6. Якщо n \u003d 0, то (n-1) n (n + 1) \u003d (- 1) 0 (+1), n \u200b\u200b\u003d 20, то (n-1) n (n + 1) \u003d (19) (20) (21).
   Знаємо, що 19 х 19 \u003d 361. Це означає, що одного квадрата оточують 360 квадратів і тоді одного куба оточують 360 кубів. Виконується рівність: 6 n - 1 + 6n. Якщо n \u003d 60, то 360 - 1 + 360, а n \u003d 61, то 366 - 1 + 366.
   З вищевказаних тверджень випливають узагальнення:
   n5 - 4n \u003d (n2-4) n (n2 + 4); n7 - 9n \u003d (n3-9) n (n3 + 9); n9 -16 n \u003d (n4-16) n (n4 + 16);
   0 ... (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1) n (n +1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5) (n + 6) (n + 7) (n + 8) (n + 9) ... 2n
   (N + 1) х (n + 1) \u003d 0123 ... (n-3) (n-2) (n-1) n (n + 1) n (n-1) (n-2) (n-3 ) ... 3210
   n! \u003d 0123 ... (n-3) (n-2) (n-1) n; n! \u003d N (n-1) (n-2) (n-3) ... 3210; (N + 1)! \u003d N! (N +1).
   0 +1 +2 +3 + ... + (n-3) + (n-2) + (n-1) + n \u003d n (n + 1) / 2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 3 + 2 + 1 + 0 \u003d n (n + 1) / 2;
   n (n + 1) / 2 + (n + 1) + n (n + 1) / 2 \u003d n (n + 1) + (n + 1) \u003d (n + 1) (n + 1) \u003d (n +1) 2.
   Якщо 0123 ... (n-3) (n-2) (n-1) n (n + 1) n (n-1) (n-2) (n-3) ... 3210 х 11 \u003d
   \u003d 013 ... (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n + 1) (2n + 1) (2n-1) (2n-3) (2n-5) ... 310.
   Будь-яке ціле число n є мірою 10, має: - n і + n, + 1 / n і -1 / n, непарне і парне:
   - (n + n + ... + n) \u003d -n2; - (n x n x ... x n) \u003d -nn; - (1 / n + 1 / n + ... + 1 / n) \u003d - 1; - (1 / n x 1 / n x ... x1 / n) \u003d -n-n;
   + (N + n + ... + n) \u003d + n2; + (N x n x ... x n) \u003d + nn; + (1 / n + ... + 1 / n) \u003d + 1; + (1 / n x 1 / n x ... x1 / n) \u003d + n-n.
   Ясно, що якщо будь-яке ціле число скласти саме себе, то збільшитися в 2 рази, а твір буде квадратом: X \u003d a, Y \u003d a, X + Y \u003d a + a \u003d 2a; XY \u003d a x a \u003d a2. Це вважали теоремою Вієта - помилка!
   Якщо в дане число додати і відняти число b, то сума не змінюється, а твір змінюється, наприклад:
   X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2- b2.
   X \u003d a + √b, Y \u003d a -√b, X + Y \u003d a + √b + a - √b \u003d 2a; XY \u003d (a + √b) x (a -√b) \u003d a2- b.
   X \u003d a + bi, Y \u003d a - bi, X + Y \u003d a + bi + a - bi \u003d 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
   X \u003d a + √b i, Y \u003d a - √bi, X + Y \u003d a + √bi + a - √bi \u003d 2a, XY \u003d (a -√bi) x (a -√bi) \u003d a2 + b.
   Якщо замість букв a і b поставити цілі числа, то отримаємо парадокси, абсурди, і недовіри математики.