Варіанти розташування прямої і площини в просторі. Взаємне розміщення прямої і площини, двох площин

Розташування

ознака:якщо пряма, що не лежить у цій площині, паралельна який-небудь прямий, що у цьому відношенні, то вона паралельна даній площині.

1. якщо площина проходить через дану пряму, паралельну іншій площині, і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій.

2. якщо одна з 2х прямих паралельна даної, то інша пряма або також паралельна цій площині, або лежить в цій площині.

ВЗАЄМНЕ РОЗТАШУВАННЯ ПЛОЩИН. паралельній площині

Розташування

1. площині мають хоча б 1 загальну точку, тобто перетинаються по прямій

2. площині не перетинаються, тобто не мають ні 1 загальною точки, в цьому випадку вони називаються паралельними.

ознака

якщо 2 пересічні прямі 1 площині відповідно паралельні 2 прямим іншій площині, то ці площини паралельні.

Св-во

1. якщо 2 паралельні площині пересічені 3, то лінії їх перетину паралельні

2. відрізки паралельних прямих, укладені між паралельними площинами, рівні.

Перпендикулярність прямої і площини. ОЗНАКА Перпендикулярність прямої і площини.

прямі зв перпендіулярнимі, Якщо вони перетинаються під<90.

Лемма:якщо 1 з 2 паралельних прямих перпендикулярна до 3й прямий, то й інша пряма перпендикулярна до цієї прямої.

Пряма зв перпендикулярної до площини,якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої в цій площині.

теорема: якщо 1 їх 2х паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини.

теорема:якщо 2 прямі перпендикулярні до площини, то вони паралельні.

ознака

Якщо пряма перпендикулярна до 2м пересічним прямим, лежачим в площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Перпендикуляр і похилих

Побудуємо площину і т.А, що не прінадлежащія площині. Їх т.А проведемо пряму, перпендік площині. Точку перетину прямої з площиною обознач Н. Відрізок АН - перпендикуляр, проведеннийіз т.А до площини. Т.М - підстава перпендикуляра. Візьмемо в площині Т.М, не збігається з Н. Відрізок АМ - похила, проведена з т.А до площини. М - підставу похилій. Відрізок МН - проекція похилої на площину. Перпендикуляр АН - відстань від т.А до площини. Будь-яке відстань - це частина перпендикуляра.

Теорема про 3 перпендикулярах:

Пряма, проведена в площині через підставу похилій перпендикулярно до її проекції на цю площину, перпендикулярна і до самої похилої.

КУТ МІЖ прямої і площини

Кутом між прямою іплощиною зв кут між цією прямою і її проекцією на площині.

Двогранний кут. Кут між площиною

двогранним кутом наз фігура, утворена прямий і 2 напівплощиною з спільним кордоном а, чи не належ одній площині.

Кордон а - ребро двогранного кута.напівплощини - грані двогранного кута.Для того, щоб виміряти двогранний кут. Потрібно побудувати всередині нього лінійний кут. Відзначимо на ребрі двогранного кута якусь точку і в кожній грані з цієї точки проведемо промінь, перпендикулярно до ребра. Утворений цими променями кут зв лінійним глом двогранного кута.Їх всередині двогранного кута може бути нескінченно багато. Всі вони мають одинак \u200b\u200bвеличину.

Перпендикулярно ДВОХ ПЛОЩИН

Дві пересічні площині зв перпендикулярними,якщо кут між ними дорівнює 90.

ознака:

Якщо 1 з 2х площин проходить через пряму, перпендикулярну до іншій площині, то такі площини перпендикулярні.

багатогранник

багатогранник- поверхня, складена з багатокутників і обмежує деякий геометричне тіло. грані - багатокутники, з яких складені багатогранники. ребра - сторони граней. вершини - кінці ребер. діагоналлю багатогранника наз відрізок, що з'єднує 2 вершини, які не належать 1 межі. Площина, по обидва боки від якої є точки багатогранника, наз . січної площини.Загальна частина багатогранника і січною площі зв перетином багатогранника.Багатогранники бувають опуклі й увігнуті. багатогранник зв опуклим, Якщо він розташований по одну сторону від площини кожної його грані (тетраедр, параллепіпед, октаедр). В опуклому многограннике сума всіх плоских кутів при кожній його вершині менше 360.

ПРИЗМА

Багатогранник, складений з 2х рівних багатокутників, розташованих в паралельних площинах і п - паралелограмів зв призмою.

Багатокутники А1А2..А (п) і В1В2..В (п) - підстави призми. А1А2В2В1 ... - паралелограма, А (п) А1В1В (п) - бічні грані. Відрізки А1В1, А2В2..А (п) У (п) - бічні ребра. Залежно від багатокутника, що лежить в основі призми, призма наз п-вугільної.Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки одного підстави до площини іншої основи зв висотою.Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до основи, то призма - пряма, А якщо не перпендикулярні - то похила.Висота прямої призми дорівнює довжині її бічного ребра. Пряма прізманаз правильної, Якщо її основа - правильні багатокутники, всі бічні грані - рівні прямокутники.

параллепіпед

АВСД // А1В1С1Д1, Аа1 // ВВ1 // СС1 // ДД1, Аа1 \u003d ВВ1 \u003d СС 1 \u003d ДД1 (по св-ву паралельних площин)

Параллепіпед складається з 6 паралелограмів. паралелограми зв гранями.АВСД і А1В1С1Д1 - підстави, інші грані зв бічними. Точки А В С Д А1 В1 С1 Д1 - вершини. Відрізки, що з'єднують вершини - ребра. Аа1, ВВ1, СС1, ДД1 - бічні ребра.

Діагоналлю параллепіпед -наз відрізок, що з'єднує 2 вершини, які не належать 1 межі.

Св-ва

1. протилежні грані параллепіпед паралельні і рівні. 2. Діагоналі параллепіпед перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

ПІРАМІДА

Розглянемо багатокутник А1А2..А (п), точку Р, що не лежить в площині цього багатокутника. З'єднаємо точку Р з вершинами багатокутника і отримаємо п трикутників: РА1А2, РА2А3 ... .РА (п) А1.

Багатогранник, складений з п-кутника і п-трикутників наз пірамідою.багатокутник - заснування.трикутники - бічні грані.Р - вершина піраміди.Відрізки А1Р, А2Р..А (п) Р - бічні ребра.Залежно від багатокутника, що лежить в основі, піраміда зв п-вугільної. висотою пірамідиназ перпендикуляр, проведений з вершини до площини підстави. Піраміда наз правильною, Якщо в її основі лежить правильний багатокутник і висота потрапляє в центр підстави. апофема- висота бічної грані правильної піраміди.

усіченої піраміди

Розглянемо піраміду РА1А2А3А (п). проведемо січну площину, паралельну основи. Ця площина ділить нашу піраміду на 2 частини: верхня - піраміда, подібна цій, нижня - усічена піраміда. Бічна поверхня складається з трапеції. Бічні ребра з'єднують вершини підстав.

теорема:площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку напівсуми периметрів підстав на апофему.

правильні багатогранники

Опуклий багатогранник зв правильним, Якщо всі його грані - рівні правильні багатокутники і в кожній його вершині сходиться одне і теж число ребер. Прикладом правильного багатогранника явл куб. Всі його грані-рівні квадрати, і в кожній вершині сходиться 3 ребра.

правильний тетраедрскладений їх 4 рівносторонніх трикутників. Кожна вершина - вершина 3 трикутників. Сума плоских кутів при кожній вершині 180.

правильний октаедр сост з 8 равностороннік трикутників. Кожна вершина - вершина 4 трикутників. Сума плоских кутів при кожній вершині \u003d 240

правильний ікосаедр сост з 20 рівносторонніх трикутників. Кожна вершина - вершина 5 трикутник. Сума плоских кутів при кожній вершині 300.

кубсост з 6 квадратів. Кожна вершина - вершина 3 квадратів. Сума плоских кутів при кожній вершині \u003d 270.

правильний додекаедрсост з 12 правильних п'ятикутників. Кожна вершина - вершина 3 правильних п'ятикутників. Сума плоских кутів при кожній вершині \u003d 324.

Інших видів правильних багатогранників немає.

ЦИЛИНДР

Тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома колами з межами L і L1 зв циліндром.Кола L і L1 зв підставами циліндра. Відрізки ММ1, Аа1 - утворюють. Утворюють сост циліндричну або бічну поверхню циліндра. Пряма, соед центри підстав О і О1 зв віссю циліндра.Довжина утворює - висота циліндра.Радіус підстави (r) радіус циліндра.

перетину циліндра

осьовепроходить через вісь і діаметр основи

Перпендикулярне до осі

Циліндр - це тіло обертання. Він виходить обертанням прямокутника навколо 1 зі сторін.

КОНУС

Розглянемо коло (про; r) і пряму ЗР перпендикулярну до площини цієї окружності. Через кожну точку кола L і т.р проведемо відрізки, їх нескінченно багато. Вони утворюють конічну поверхню і зв утворюють.

Р- вершина, ОР - вісь конічної поверхні.

Тіло, обмежене конічною поверхнею і кругом з кордоном L наз конусом. коло -підставу конуса. Вершина конічної поверхні - вершина конуса.Утворюють конічну поверхню - утворюють конуса. Конічна поверхня - бокова поверхня конуса.РВ - вісь конуса. Відстань від Р до О - висота конуса.Конус - це тіло обертання. Він виходить обертанням прямоку трикутника навколо катета.

перетин конуса

осьовий переріз

Перетин перпендикулярний до осі

СФЕРА І КУЛЯ

сфероюназ поверхню, що складається з усіх точок простору, розташованих на даній відстані від даної точки. Дана точка - центр сфери.Даною відстань - радіус сфери.

Відрізок, соедіняющ 2 точки сфери і проходить через її центр наз діаметром сфери.

Тіло, обмежене сферою зв кулею.Центр, радіус і діаметр сфери зв центром, радіусом і діаметром кулі.

Сфера і куля це тіла обертання. Сфера виходить обертанням півкола навколо діаметра, а куля виходить обертанням півкола навколо діаметра.

в прямокутній системі координат рівняння сфери радіусу R з центром С (х (0), у (0), Z (0) має вигляд (х-х (0)) (2) + (у-у (0)) (2 ) + (zz (0)) (2) \u003d R (2)

Взаємне розміщення прямої і площини в просторі допускає три випадки. Пряма і площина можуть перетинатися в одній точці. Вони можуть бути паралельні. Нарешті, пряма може лежати в площині. З'ясування конкретної ситуації для прямої і площини залежить від способу їх опису.

Припустимо, що площина π задана загальним рівнянням π: Ax + By + Cz + D \u003d 0, а пряма L - канонічними рівняннями (x - x 0) / l \u003d (y - y 0) / m \u003d (z - z 0) / n. Рівняння прямої дають координати точки M 0 (x 0; у 0; z 0) на прямій і координати направляючого вектора s \u003d (l; m; n) цієї прямої, а рівняння площині - координати її нормального вектора n \u003d (A; B; C).

Якщо пряма L і площина π перетинаються, то спрямовує вектор s прямий не паралельний площині π. Значить, нормальний вектор n площини не ортогонален вектору s, тобто їх скалярний добуток не дорівнює нулю. Через коефіцієнти рівнянь прямої і площини ця умова записується у вигляді нерівності A1 + Bm + Cn ≠ 0.

Якщо пряма і площина паралельні або пряма лежить в площині, то виконується умова s ⊥ n, яке в координатах зводиться до рівності Al + Bm + Cn \u003d 0. Щоб розділити випадки "паралельні" і "пряма належить площині", потрібно перевірити, чи належить точка прямої цій площині.

Таким чином, всі три випадки взаємного розташування прямої і площини поділяються шляхом перевірки відповідних умов:

Якщо пряма L задана своїми загальними рівняннями:

то проаналізувати взаємне розміщення прямої і площини π можна наступним чином. Із загальних рівнянь прямої та загального рівняння площини складемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Якщо ця система не має рішень, то пряма паралельна площині. Якщо вона має єдине рішення, то пряма і площина перетинаються в єдиній точці. Останнє рівнозначно тому, що визначник системи (6.6)

відмінний від нуля. Нарешті, якщо система (6.6) має нескінченно багато рішень, то пряма належить площині.

Кут між прямою і площиною. Кут φ між прямою L: (x - x 0) / l \u003d (y - y 0) / m \u003d (z - z 0) / n і площиною π: Ax + By + Cz + D \u003d 0 знаходиться в межах від 0 ° (в разі паралельності) до 90 ° (в разі перпендикулярності прямої і площини). Синус цього кута дорівнює | cosψ |, де ψ - кут між напрямних вектором прямої s і нормальним вектором n площині (рис. 6.4). Обчисливши косинус кута між двома векторами через їх координати (див. (2.16)), отримаємо

Умова перпендикулярності прямої і площини еквівалентно тому, що нормальний вектор площини і спрямовує вектор прямої колінеарні. Через координати векторів ця умова записується у вигляді подвійного рівності

У планіметрії площину є однією з основних фігур, тому, дуже важливо мати чітке уявлення про неї. Ця стаття створена з метою розкриття цієї теми. Спочатку дано поняття площині, її графічне представлення і показані позначення площин. Далі площину розглядається разом з точкою, прямий або іншої площиною, при цьому виникають варіанти з взаємного розташування в просторі. У другому і третьому і четвертому пункті статті якраз розібрані всі варіанти взаємного розташування двох площин, прямої та площини, а також точки і площини, наведені основні аксіоми і графічні ілюстрації. У висновку наведено основні способи встановлення площини в просторі.

Навігація по сторінці.

Площина - основні поняття, позначення і зображення.

Найпростішими і основними геометричними фігурами в тривимірному просторі є точка, пряма і площина. Ми вже маємо уявлення про точку і прямий на площині. Якщо помістити площину, на якій зображені точки і прямі, в тривимірний простір, то ми отримаємо точки і прямі в просторі. Подання про площині в просторі дозволяє отримати, наприклад, поверхня стола або стіни. Однак, стіл або стіна мають кінцеві розміри, а площину простягається за їх межі в нескінченність.

Точки і прямі в просторі позначаються також як і на площині - великими і маленькими латинськими буквами відповідно. Наприклад, точки А і Q, прямі а і d. Якщо задані дві точки, що лежать на прямій, то пряму можна позначити двома буквами, що відповідають цим точкам. Наприклад, пряма АВ або ВА проходить через точки А і В. Площині прийнято позначати маленькими грецькими буквами, наприклад, площини, або.

При вирішенні завдань виникає необхідність зображувати площині на кресленні. Площина зазвичай зображують у вигляді паралелограма або довільної простий замкнутої області.

Площина зазвичай розглядається разом з точками, прямими або іншими площинами, при цьому виникають різні варіанти їх взаємного розташування. Переходимо до їх опису.

Взаємне розташування площини і точки.

Почнемо з аксіоми: в кожній площині є точки. З неї випливає перший варіант взаємного розташування площини і точки - точка може належати площині. Іншими словами, площина може проходити через точку. Для позначення приналежності будь-якої точки будь-якої площини використовують символ «». Наприклад, якщо площина проходить через точку А, то можна коротко записати.

Слід розуміти, що на заданій площині в просторі є нескінченно багато точок.

Наступна аксіома показує, скільки точок в просторі необхідно відзначити, щоб вони визначали конкретну площину: через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину, причому тільки одна. Якщо відомі три точки, що лежать в площині, то площину можна позначити трьома буквами, що відповідають цим точкам. Наприклад, якщо площина проходить через точки А, В і С, то її можна позначити АВС.

Сформулюємо ще одну аксіому, яка дає другий варіант взаємного розташування площини і точки: є принаймні чотири точки, що не лежать в одній площині. Отже, точка простору може не належати площині. Дійсно, в силу попередньої аксіоми через три точки простору проходить площину, а четверта точка може як лежати на цій площині, так і не лежати. При короткої записи використовують символ «», який рівносильний фразі «не належить».

Наприклад, якщо точка А не лежить в площині, то використовують коротку запис.

Пряма і площина в просторі.

По-перше, пряма може лежати в площині. В цьому випадку, в площині лежать хоча б дві точки цієї прямої. Це встановлюється аксіомою: якщо дві точки прямої лежать в площині, то всі точки цієї прямої лежать в площині. Для короткої записи приналежності деякої прямої цій площині користуються символом «». Наприклад, запис означає, що пряма а лежить в площині.

По-друге, пряма може перетинати площину. При цьому пряма і площину мають одну єдину спільну точку, яку називають точкою перетину прямої і площини. При короткої записи перетин позначаю символом «». Наприклад, запис означає, що пряма а перетинає площину в точці М. При перетині площині деякої прямої виникає поняття кута між прямою і площиною.

Окремо варто зупинитися на прямий, яка перетинає площину і перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить у цій площині. Таку пряму називають перпендикулярної до площини. Для короткої записи перпендикулярності використовують сімовл «». Для більш глибокого вивчення матеріалу можете звернутися до статті перпендикулярність прямої і площини.

Особливу значущість при вирішенні завдань, пов'язаних з площиною, має так званий нормальний вектор площини. Нормальним вектором площини є будь-який ненульовий вектор, що лежить на прямій, перпендикулярній цій площині.

По-третє, пряма може бути паралельна площині, тобто, не мати в ній спільних точок. При короткої записи паралельності використовують символ «». Наприклад, якщо пряма а паралельна площині, то можна записати. Рекомендуємо докладніше вивчити цей випадок, звернувшись до статті паралельність прямої і площини.

Слід сказати, що пряма, що лежить в площині, ділить цю площину на дві півплощини. Пряма в цьому випадку називається кордоном напівплощин. Будь-які дві точки одній півплощині лежать по одну сторону від прямої, а дві точки різних напівплощин лежать по різні боки від граничної прямої.

Взаємне розташування площин.

Дві площини в просторі можуть співпадати. У цьому випадку вони мають, принаймні, три спільні точки.

Дві площини в просторі можуть перетинатися. Перетином двох площин є пряма лінія, що встановлюється аксіомою: якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають загальну пряму, на якій лежать всі загальні точки цих площин.

В цьому випадку виникає поняття кута між пересічними площинами. Окремий інтерес представляє випадок, коли кут між площинами дорівнює дев'яноста градусів. Такі площині називають перпендикулярними. Про них ми поговорили в статті перпендикулярність площин.

Нарешті, дві площини в просторі можуть бути паралельними, тобто, не мати спільних точок. Пропонуємо Вам ознайомитися зі статтею паралельність площин, щоб отримати повне уявлення про цей варіант взаємного розташування площин.

Способи завдання площини.

Зараз ми перерахуємо основні способи завдання конкретній площині в просторі.

По-перше, площина можна задати, зафіксувавши три не лежать на одній прямій точки простору. Цей спосіб заснований на аксіомі: через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина.

Якщо в тривимірному просторі зафіксована і задана площина за допомогою вказівки координат трьох її різних точок, які не лежать на одній прямій, то ми можемо написати рівняння площини, що проходить через три задані точки.

Два наступних способу встановлення площини є наслідком з попереднього. Вони засновані на наслідках з аксіоми про площині, що проходить через три точки:

• через пряму і не лежить на ній крапку проходить площину, до того ж лише одна (дивіться також статтю рівняння площини, що проходить через пряму і точку);
• через дві пересічні прямі проходить єдина площина (рекомендуємо ознайомитися з матеріалом статті рівняння площини, що проходить через дві пересічні прямі).

Четвертий спосіб встановлення площини в просторі заснований на визначенні паралельних прямих. Нагадаємо, що дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються. Таким чином, вказавши дві паралельні прямі в просторі, ми визначимо єдину площину, в якій ці прямі лежать.

Якщо в тривимірному просторі щодо прямокутної системи координат задана площина зазначеним способом, то ми можемо скласти рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі.

В курсі середньої школи на уроках геометрії доводиться наступна теорема: через фіксовану точку простору проходить єдина площина, перпендикулярна до даної прямої. Таким чином, ми можемо поставити площину, якщо зазначимо точку, через яку вона проходить, і пряму, перпендикулярну до неї.

Якщо в тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат і задана площина зазначеним способом, то можна скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої.

Замість прямої, перпендикулярної до площини, можна вказати один з нормальних векторів цієї площини. В цьому випадку є можливість написати

Взаємне розташування двох прямих

Наступні твердження висловлюють необхідні та достатні ознаки взаємного розташування двох прямих у просторі, заданих канонічними рівняннями

а) Прямі схрещуються, тобто лежать в одній площині.

б) Прямі перетинаються.

Але вектори і неколінеарна (інакше їх координати пропорційні).

в) Прямі паралельні.

Вектори і колінеарні, але вектор їм неколлінеарен.

г) Прямі співпадають.

Всі три вектори:, колінеарні.

Доведення. Доведемо достатність зазначених ознак

а) Розглянемо вектор і напрямні вектори даних прямих

то ці вектори некомпланарних, отже, дані прямі не лежать на одній площині.

б) Якщо, то вектори компланарні, отже, дані прямі лежать в одній площині, а так як в разі ( б) Напрямні вектори і цих прямих передбачаються неколінеарна, то прямі перетинаються.

в) Якщо напрямні вектори і даних прямих колінеарні, то прямі або паралельні, або збігаються. В разі ( в) Прямі паралельні, тому що за умовою вектор, початок якого знаходиться в точці першої прямої, а кінець - в точці другий прямій не коллінеарен і.

г) Якщо всі вектори і колінеарні, то прямі збігаються.

Необхідність ознак доводиться методом від противного.

Клетенік № 1007

Наступні твердження дають необхідні і достатні умови взаємного розташування прямої, заданої канонічними рівняннями

і площини, заданої загальним рівнянням

щодо загальної декартової системи координат.

Площина і пряма перетинаються:

Площина і пряма паралельні:

Пряма лежить на площині:

Доведемо спочатку достатність зазначених ознак. Запишемо рівняння даної прямої в параметричному вигляді:

Підставляючи в рівняння (2 (площині)) координати довільної точки даної прямої, взяті з формул (3), будемо мати:

1. Якщо, то рівняння (4) має відносно t єдине рішення:

а значить, дана пряма і дана площину мають тільки одну спільну точку, тобто перетинаються.

2. Якщо, то рівняння (4) не задовольняється ні при якому значення t, Тобто на даній прямій немає жодної точки, що лежить на даній площині, отже, дані пряма і площина паралельні.

3. Якщо, то рівняння (4) задовольняється при будь-якому значенні t, Тобто всі точки даної прямої лежать на даній площині, значить, дана пряма лежить на даній площині.

Виведені нами достатні умови взаємного розташування прямої і площини є і необхідними і доводяться відразу методом від противного.

З доведеного випливає необхідна і достатня умова того, що вектор компланарен площині, заданої загальним рівнянням щодо загальної декартової системи координат.

Пряма належить площині, Якщо має дві спільні точки або одну загальну точку і паралельна будь-якої прямої, що лежить в площині. Нехай площину на кресленні задана двома пересічними прямими. У цій площині потрібно побудувати дві прямі m і n відповідно до цих умов ( Г (А b)) (рис. 4.5).

Р і ш е н і е. 1. Довільно проводимо m 2, так як пряма належить площині, відзначаємо проекції точок перетину її з прямими а і b і визначаємо їх горизонтальні проекції, через 1 1 і 2 1 проводимо m 1.

2. Через точку К площині проводимо n 2 ║m 2 і n 1 ║m 1.

Пряма паралельна площині, Якщо вона паралельна будь-якої прямої, що лежить в площині.

Перетин прямої і площини. Можливі три випадки розташування прямої і площини щодо площин проекцій. Залежно від цього визначається точка перетину прямої і площини.

перший випадок - пряма і площина - проецирующего положення. У цьому випадку точка перетину на кресленні є (обидві її проекції), її потрібно тільки позначити.

П р и м і р. На кресленні задана площина слідами Σ ( h 0 f 0) - горизонтально проецирующего положення - і пряма l - фронтально проецирующего положення. Визначити точку їх перетину (рис. 4.6).

Точка перетину на кресленні вже є - К (К 1 К 2).

другий випадок - або пряма, або площину - проецирующего положення. У цьому випадку на одній з площин проекцій проекція точки перетину вже є, її потрібно позначити, а на другій площині проекцій - знайти за належністю.

П р и м і р и. На рис. 4.7, а зображена площина слідами фронтально проецирующего положення і пряма l - загального положення. Проекція точки перетину До 2 на кресленні вже є, а проекцію До 1 необхідно знайти за належністю точки До прямої l. на
Мал. 4.7, б площина загального положення, а пряма m - фронтально проецирующего, тоді К 2 вже є (збігається з m 2), а К 1 потрібно знайти з умови приналежності точки До площині. Для цього через До проводять
пряму ( h - горизонталь), що лежить в площині.

третій випадок - і пряма, і площина - загального положення. У цьому випадку для визначення точки перетину прямої і площини необхідно скористатися так званим посередником - площиною проецирующей. Для цього через пряму проводять допоміжну січну площину. Ця площина перетинає задану площину по лінії. Якщо ця лінія перетинає задану пряму, тобто точка перетину прямої і площини.

П р и м і р и. На рис. 4.8 представлені площину трикутником АВС - загального положення - і пряма l - загального положення. Щоб визначити точку перетину К, необхідно через l провести фронтально проецирующую площину Σ, побудувати в трикутнику лінію перетину Δ і Σ (на кресленні це відрізок 1,2), визначити К1 і за належністю - До 2. Потім визначається видимість прямої l по відношенню до трикутника по конкуруючим точкам. На П 1 конкуруючими точками взяті точки 3 і 4. Видима на П 1 проекція точки 4, так як у неї координата Z більше, ніж у точки 3, отже, проекція l 1 від цієї точки до До 1 буде невидима.

На П 2 конкуруючими точками взяті точка 1, що належить АВ, і точка 5, що належить l. Видимої буде точка 1, так як у неї координата Y більше, ніж у точки 5, і отже, проекція прямої l 2до К2 невидима.