Числові ряди: визначення, властивості, ознаки збіжності, приклади, рішення. Збіжність ряду онлайн Чому ряд 1 n розходиться
Перевірити збіжність ряду можна декількома способами. По-перше можна просто знайти суму ряду. Якщо в результаті ми отримаємо кінцеве число, то такий ряд сходиться. Наприклад, оскільки
то ряд сходиться. Якщо нам не вдалося знайти суму ряду, то слід використовувати інші методи для перевірки збіжності ряду.
Одним з таких методів є ознака Даламбера
тут і відповідно n-ий і (n + 1) -й члени ряду, а збіжність визначається значенням D: Якщо D< 1 - ряд сходится, если D >
Як приклад, досліджуємо збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера. Спочатку запишемо вирази для і. Тепер знайдемо відповідний межа:
Оскільки, відповідно до ознаки Даламбера, ряд сходиться.
Ще одним методом, що дозволяє перевірити відповідність низки є радикальний ознака Коші, Який записується в такий спосіб:
тут n-ий член ряду, а збіжність, як і в випадку ознаки Даламбера, визначається значенням D: Якщо D< 1 - ряд сходится, если D > 1 - розходиться. При D \u003d 1 - дана ознака не дає відповіді і потрібно проводити додаткові дослідження.
Як приклад, досліджуємо збіжність ряду за допомогою радикального ознаки Коші. Спочатку запишемо вираз для. Тепер знайдемо відповідний межа:
Оскільки title \u003d "15625/64\u003e 1"\u003e, відповідно до радикальних ознакою Коші, ряд розходиться.
Варто зазначити, що поряд з перерахованими, існують і інші ознаки збіжності рядів, такі як інтегральний ознака Коші, ознака Раабе і ін.
Наш онлайн калькулятор, побудований на основі системи Wolfram Alpha дозволяє протестувати збіжність ряду. При цьому, якщо калькулятор в якості суми ряду видає конкретне число, то ряд сходиться. В іншому випадку, необхідно звертати увагу на пункт «Тест збіжність ряду». Якщо там присутній словосполучення «series converges», то ряд сходиться. Якщо присутній словосполучення «series diverges», то ряд розходиться.
Нижче представлений переклад всіх можливих значень пункту «Тест збіжність ряду»:
| Текст англійською мовою | Текст російською мовою |
|---|---|
| By the harmonic series test, the series diverges. | При порівнянні досліджуваного ряду з гармонійним рядом, вихідний ряд розходиться. |
| The ratio test is inconclusive. | Ознака Даламбера не може дати відповіді про збіжність ряду. |
| The root test is inconclusive. | Радикальна ознака Коші не може дати відповіді про збіжність ряду. |
| By the comparison test, the series converges. | За ознакою порівняння, ряд сходиться |
| By the ratio test, the series converges. | За ознакою Даламбера, ряд сходиться |
| By the limit test, the series diverges. | На основних того, що title \u003d "(! LANG: Межа n-ого члена ряду при n-\u003e oo не дорівнює нулю або не існує"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !} |
Знайдемо суму ряду чисел. Якщо не виходить її знайти, то система обчислює суму ряду з певною точністю.
збіжність ряду
Даний калькулятор вміє визначати - чи сходиться ряд, також показує - які ознаки збіжності спрацьовують, а які - ні.
Також вміє визначати відповідність статечних рядів.
Також будується графік ряду, де можна побачити швидкість збіжності ряду (або розбіжність).
Правила введення виразів і функцій
Вирази можуть складатися з функцій (позначення дано в алфавітному порядку): absolute (x) Абсолютне значення x
(модуль x або | X |)
arccos (x) Функція - арккосинус від x arccosh (x) Арккосинус гіперболічний від x arcsin (x) арксинус від x arcsinh (x) Арксинус гіперболічний від x arctg (x) Функція - арктангенс від x arctgh (x) Арктангенс гіперболічний від x e e число, яке приблизно дорівнює 2.7 exp (x) Функція - експонента від x (що і e^x)
log (x) or ln (x) Натуральний логарифм від x
(Щоб отримати log7 (x), Треба ввести log (x) / log (7) (або, наприклад для log10 (x)\u003d Log (x) / log (10)) pi Число - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sin (x) Функція - Синус від x cos (x) Функція - Косинус від x sinh (x) Функція - Синус гіперболічний від x cosh (x) Функція - Косинус гіперболічний від x sqrt (x) Функція - квадратний корінь з x sqr (x) або x ^ 2 Функція - Квадрат x tg (x) Функція - Тангенс від x tgh (x) Функція - Тангенс гіперболічний від x cbrt (x) Функція - кубічний корінь з x
У виразах можна застосовувати такі операції: Дійсні числа вводити у вигляді 7.5
, що не 7,5
2 * x - множення 3 / x - розподіл x ^ 3 - зведення в ступінь x + 7 - складання x - 6 - віднімання
Інші функції: floor (x) Функція - округлення x в меншу сторону (приклад floor (4.5) \u003d\u003d 4.0) ceiling (x) Функція - округлення x в більшу сторону (приклад ceiling (4.5) \u003d\u003d 5.0) sign (x) Функція - Знак x erf (x) Функція помилок (або інтеграл ймовірності) laplace (x) функція Лапласа
гармонійний ряд - сума, складена з нескінченної кількості членів, зворотних послідовним числам натурального ряду:
Σ k \u003d 1 ∞ 1 k \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +1 4+ ⋯ + 1 k + ⋯ (\\ displaystyle \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (\\ mathcal (\\ infty)) (\\ frac (1 ) (k)) \u003d 1 + (\\ frac (1) (2)) + (\\ frac (1) (3)) + (\\ frac (1) (4)) + \\ cdots + (\\ frac (1) (k)) + \\ cdots).енциклопедичний YouTube
1 / 5
✪ Числові ряди. Основні поняття - bezbotvy
✪ Доказ гармонійний ряд
✪ Числові ряди-9. Збіжність і розбіжність ряду Діріхле
✪ Консультація №1. Мат. аналіз. Ряд Фур'є по тригонометричної системі. найпростіші властивості
✪ ЛАВ. огляд
субтитри
Сума перших n членів ряду
Окремі члени ряду прагнуть до нуля, але його сума розходиться. n-тої часткової сумою s n гармонійного ряду називається n-те гармонійне число:
sn \u003d Σ k \u003d 1 n 1 k \u003d 1 + 1 2 + 1 3 +1 4+ ⋯ + 1 n (\\ displaystyle s_ (n) \u003d \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (n) (\\ frac (1 ) (k)) \u003d 1 + (\\ frac (1) (2)) + (\\ frac (1) (3)) + (\\ frac (1) (4)) + \\ cdots + (\\ frac (1) (n)))Деякі значення часткових сум
| s 1 \u003d 1 s 2 \u003d 3 2 \u003d 1, 5 s 3 \u003d 11 6 ≈ 1,833 s 4 \u003d 25 12 ≈ 2,083 s 5 \u003d 137 60 ≈ 2,283 (\\ displaystyle (\\ begin (matrix) s_ (1) & \u003d & 1 \\\\\\\\ s_ (2) & \u003d & (\\ frac (3) (2)) & \u003d & 1 (,) 5 \\\\\\\\ s_ (3) & \u003d & (\\ frac (11) (6)) & \\ approx & 1 (,) 833 \\\\\\\\ s_ (4) & \u003d & (\\ frac (25) (12)) & \\ approx & 2 (,) 083 \\\\\\\\ s_ (5) & \u003d & (\\ frac (137) (60)) & \\ approx & 2 (,) 283 \\ end (matrix))) | s 6 \u003d 49 20 \u003d 2, 45 s 7 \u003d 363 140 ≈ 2,593 s 8 \u003d 761 280 ≈ 2,718 s 10 3 ≈ 7,484 s 10 6 ≈ 14,393 (\\ displaystyle (\\ begin (matrix) s_ (6) & \u003d & ( \\ frac (49) (20)) & \u003d & 2 (,) 45 \\\\\\\\ s_ (7) & \u003d & (\\ frac (363) (140)) & \\ approx & 2 (,) 593 \\\\\\\\ s_ (8) & \u003d & (\\ frac (761) (280)) & \\ approx & 2 (,) 718 \\\\\\\\ s_ (10 ^ (3)) & \\ approx & 7 (,) 484 \\\\\\\\ s_ ( 10 ^ (6)) & \\ approx & 14 (,) 393 \\ end (matrix))) |
Формула Ейлера
при значення ε n → 0 (\\ displaystyle \\ varepsilon _ (n) \\ rightarrow 0), Отже, для великих n (\\ displaystyle n):
s n ≈ ln \u2061 (n) + γ (\\ displaystyle s_ (n) \\ approx \\ ln (n) + \\ gamma) - формула Ейлера для суми перших n (\\ displaystyle n) членів гармонійного ряду.| n (\\ displaystyle n) | s n \u003d Σ k \u003d 1 n 1 k (\\ displaystyle s_ (n) \u003d \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (n) (\\ frac (1) (k))) | ln \u2061 (n) + γ (\\ displaystyle \\ ln (n) + \\ gamma) | ε n (\\ displaystyle \\ varepsilon _ (n)), (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Більш точна асимптотична формула для часткової суми гармонійного ряду:
sn ≍ ln \u2061 (n) + γ + 1 2 n - 1 12 n 2 + 1 120 n 4 - 1 252 n 6 ⋯ \u003d ln \u2061 (n) + γ + 1 2 n - Σ k \u003d 1 ∞ B 2 k 2 kn 2 k (\\ displaystyle s_ (n) \\ asymp \\ ln (n) + \\ gamma + (\\ frac (1) (2n)) - (\\ frac (1) (12n ^ (2))) + (\\ \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (B_ (2k)) (2k \\, n ^ (2k)))), де B 2 k (\\ displaystyle B_ (2k)) - числа Бернуллі.Даний ряд розходиться, проте помилка обчислень по ньому ніколи не перевищує половини першого відкинутого члена.
Теоретико-числові властивості часткових сум
∀ n\u003e 1 s n ∉ N (\\ displaystyle \\ forall n\u003e 1 \\; \\; \\; \\; s_ (n) \\ notin \\ mathbb (N))
розбіжність ряду
S n → ∞ (\\ displaystyle s_ (n) \\ rightarrow \\ infty) при n → ∞ (\\ displaystyle n \\ rightarrow \\ infty)
Гармонійний ряд розходиться дуже повільно (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 10 43 елементів ряду).
Розбіжність гармонійного ряду можна продемонструвати, порівнявши його з телескопічним поруч:
vn \u003d ln \u2061 (n + 1) - ln \u2061 n \u003d ln \u2061 (1 + 1 n) ~ + ∞ 1 n (\\ displaystyle v_ (n) \u003d \\ ln (n + 1) - \\ ln n \u003d \\ ln \\ часткова сума якого, очевидно, дорівнює:,Σ i \u003d 1 n - 1 v i \u003d ln \u2061 n ~ s n (\\ displaystyle \\ sum _ (i \u003d 1) ^ (n-1) v_ (i) \u003d \\ ln n \\ sim s_ (n))
доказ Орема.Доказ розбіжність можна побудувати, групуючи доданки наступним чином:
Σ k \u003d 1 ∞ 1 k \u003d 1 + [1 2] + [1 3 +1 4] + [1 5 +1 6 + 1 7 +1 8] + [1 +9 ⋯] + ⋯\u003e 1 + [1 2] + [1 4 + 1 4] + [1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8] + [1 16 + ⋯] + ⋯ \u003d 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯. (\\ Displaystyle (\\ begin (aligned) \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (1) (k)) & () \u003d 1 + \\ left [(\\ frac (1) (2) ) \\ right] + \\ left [(\\ frac (1) (3)) + (\\ frac (1) (4)) \\ right] + \\ left [(\\ frac (1) (5)) + (\\ frac (1) (6)) + (\\ frac (1) (7)) + (\\ frac (1) (8)) \\ right] + \\ left [(\\ frac (1) (9)) + \\ cdots \\ (4)) \\ right] + \\ left [(\\ frac (1) (8)) + (\\ frac (1) (8)) + (\\ frac (1) (8)) + (\\ frac (1) (8)) \\ right] + \\ left [(\\ frac (1) (16)) + \\ cdots \\ right] + \\ cdots \\\\ & () \u003d 1 + \\ (\\ frac (1) (2)) \\ ) (2)) \\ \\ quad + \\ \\ cdots. \\ end (aligned)))
Останній ряд, очевидно, розходиться. Це доказ належить середньовічному вченому Миколі Орему (бл. 1350).Альтернативне доказ розбіжність
пропонуємо читачеві переконатися в помилковості цього докази
різниця між
-м гармонійним числом і натуральним логарифмом n (\\ displaystyle n)сходиться до постійної Ейлера - Маськероні. n (\\ displaystyle n) Різниця між різними гармонійними числами ніколи не дорівнює цілому числу і ніяке гармонійне число, крім
H 1 \u003d 1 (\\ displaystyle H_ (1) \u003d 1) , Не є цілим.пов'язані ряди
ряд Діріхле
Узагальненим гармонійним рядом (або поруч Дирихле) називають ряд
Σ k \u003d 1 ∞ 1 k α \u003d 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\\ displaystyle \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac ( 1) (k ^ (\\ alpha))) \u003d 1 + (\\ frac (1) (2 ^ (\\ alpha))) + (\\ frac (1) (3 ^ (\\ alpha))) + (\\ frac ( 1) (4 ^ (\\ alpha))) + \\ cdots + (\\ frac (1) (k ^ (\\ alpha))) + \\ cdots).Узагальнений гармонійний ряд розходиться при α ⩽ 1 (\\ displaystyle \\ alpha \\ leqslant 1) і сходиться при α\u003e 1 (\\ displaystyle \\ alpha\u003e 1) .
Сума узагальненого гармонічного ряду порядку α (\\ displaystyle \\ alpha) дорівнює значенню дзета-функції Рімана:
Σ k \u003d 1 ∞ 1 k α \u003d ζ (α) (\\ displaystyle \\ sum _ (k \u003d 1) ^ (\\ infty) (\\ frac (1) (k ^ (\\ alpha))) \u003d \\ zeta (\\ alpha ))Для парних це значення явно виражається через число пі, наприклад, ζ (2) \u003d π 2 6 (\\ displaystyle \\ zeta (2) \u003d (\\ frac (\\ pi ^ (2)) (6))), А вже для α \u003d 3 його значення аналітично невідомо.
Інший ілюстрацією гармонійний ряд може служити співвідношення ζ (1 + 1 n) ~ n (\\ displaystyle \\ zeta (1 + (\\ frac (1) (n))) \\ sim n). Тому кажуть, що такий ряд володіє з ймовірністю 1, і сума ряду є випадкова величина з цікавими властивостями. Наприклад, функція щільності ймовірності, обчислена в точках +2 або -2 має значення:
0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,відрізняючись від ⅛ на менш ніж 10 -42.
«Стоншена» гармонійний ряд
ряд Кемпнера (Англ.)Якщо розглянути гармонійний ряд, в якому залишені тільки доданки, знаменники яких не містять цифри 9, то виявиться, що сума, що залишилася сходиться до числа<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\\ displaystyle n), Все менше доданків береться для суми «стоншена» ряду. Тобто в кінцевому рахунку відкидається переважна більшість членів утворюють суму гармонійного ряду, щоб не перевершити обмежує зверху геометричну прогресію.
відповідь: Ряд розходиться.
приклад №3
Знайти суму ряду $ \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $.
Так як нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $ u_n \u003d \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Складемо n-ю часткову суму ряду, тобто підсумуємо перші $ n $ членів заданого числового ряду:
$$ S_n \u003d u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \\ ldots + u_n \u003d \\ frac (2) (3 \\ cdot 5) + \\ frac (2) (5 \\ cdot 7) + \\ frac (2) (7 \\ cdot 9 ) + \\ frac (2) (9 \\ cdot 11) + \\ ldots + \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Чому я пишу саме $ \\ frac (2) (3 \\ cdot 5) $, а не $ \\ frac (2) (15) $, буде зрозуміло з подальшого оповідання. Однак запис часткової суми ні на йоту не наблизила нас до мети. Адже нам потрібно знайти $ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $, але якщо ми просто запишемо:
$$ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ left (\\ frac (2) (3 \\ cdot 5) + \\ frac (2) (5 \\ cdot 7) + \\ то цей запис, абсолютно вірна за формою, нічого нам не дасть по суті. Щоб знайти межу, вираз часткової суми попередньо потрібно спростити.
для цього є стандартне перетворення, що складається в розкладанні дробу $ \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $, яка представляє загальний член ряду, на елементарні дроби. Питанню розкладання раціональних дробів на елементарні присвячена окрема тема (див., Наприклад, приклад №3 на цій сторінці). Розкладаючи дріб $ \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) $ на елементарні дроби, матимемо:
$$ \\ frac (2) ((2n + 1) (2n + 3)) \u003d \\ frac (A) (2n + 1) + \\ frac (B) (2n + 3) \u003d \\ frac (A \\ cdot (2n +3) + B \\ cdot (2n + 1)) ((2n + 1) (2n + 3)). $$
Прирівнюємо числители дробів в лівій і правій частинах отриманої рівності:
$$ 2 \u003d A \\ cdot (2n + 3) + B \\ cdot (2n + 1). $$
Щоб знайти значення $ A $ і $ B $ є два шляхи. Можна розкрити дужки і перегрупувати доданки, а можна просто підставити замість $ n $ якісь відповідні значення. Суто для різноманітності в цьому прикладі підемо першим шляхом, а наступного - будемо підставляти приватні значення $ n $. Розкриваючи дужки і перегруповуючи складові, отримаємо:
$$ 2 \u003d 2An + 3A + 2Bn + B; \\\\ 2 \u003d (2A + 2B) n + 3A + B. $$
У лівій частині рівності перед $ n $ стоїть нуль. Якщо завгодно, ліву частину рівності для наочності можна уявити як $ 0 \\ cdot n + 2 $. Так як в лівій частині рівності перед $ n $ стоїть нуль, а в правій частині равества перед $ n $ коштує $ 2A + 2B $, то маємо перше рівняння: $ 2A + 2B \u003d 0 $. Відразу розділимо обидві частини цього рівняння на 2, отримавши після цього $ A + B \u003d 0 $.
Так як в лівій частині рівності вільний член дорівнює 2, а в правій частині рівності вільний член дорівнює $ 3A + B $, то $ 3A + B \u003d 2 $. Отже, маємо систему:
$$ \\ left \\ (\\ begin (aligned) & A + B \u003d 0; \\\\ & 3A + B \u003d 2. \\ End (aligned) \\ right. $$
Доказ будемо проводити методом математичної індукції. На першому етапі необхідно перевірити, чи виконано доказувана рівність $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ при $ n \u003d 1 $. Ми знаємо, що $ S_1 \u003d u_1 \u003d \\ frac (2) (15) $, але чи дасть вираз $ \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ значення $ \\ frac (2 ) (15) $, якщо підставити в нього $ n \u003d 1 $? перевіримо:
$$ \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2 \\ cdot 1 + 3) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (5) \u003d \\ frac (5-3) (15) \u003d \\ frac (2) (15). $$
Отже, при $ n \u003d 1 $ рівність $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ виконано. На цьому перший крок методу математичної індукції закінчений.
Припустимо, що при $ n \u003d k $ рівність виконано, тобто $ S_k \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) $. Доведемо, що це ж рівність буде виконано при $ n \u003d k + 1 $. Для цього розглянемо $ S_ (k + 1) $:
$$ S_ (k + 1) \u003d S_k + u_ (k + 1). $$
Так як $ u_n \u003d \\ frac (1) (2n + 1) - \\ frac (1) (2n + 3) $, то $ u_ (k + 1) \u003d \\ frac (1) (2 (k + 1) + 1) - \\ frac (1) (2 (k + 1) +3) \u003d \\ frac (1) (2k + 3) - \\ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. Згідно зробленій вище припущенням $ S_k \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) $, тому формула $ S_ (k + 1) \u003d S_k + u_ (k + 1) $ набуде вигляду:
$$ S_ (k + 1) \u003d S_k + u_ (k + 1) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) + \\ frac (1) (2k + 3) - \\ $$
Висновок: формула $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ вірна при $ n \u003d k + 1 $. Отже, згідно з методом математичної індукції, формула $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ вірна при будь-якому $ n \\ in N $. Рівність доведено.
У стандартному курсі вищої математики зазвичай задовольняються "викреслюванням" скорочуються доданків, не вимагаючи ніяких доказів. Отже, ми отримали вираз для n-й часткової суми: $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $. Знайдемо значення $ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $:
Висновок: заданий ряд сходиться і сума його $ S \u003d \\ frac (1) (3) $.
Другий спосіб спрощення формули для часткової суми.
Чесно кажучи, я сам люблю саме цей спосіб :) Давайте запишемо часткову суму в скороченому варіанті:
$$ S_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) u_k \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)). $$
Ми отримали раніше, що $ u_k \u003d \\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) $, тому:
$$ S_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ left (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ right). $$
Сума $ S_n $ містить кінцеве кількість доданків, тому ми можемо переставляти їх так, як нам заманеться. Я хочу спочатку скласти всі складові виду $ \\ frac (1) (2k + 1) $, а вже потім переходити до доданком виду $ \\ frac (1) (2k + 3) $. Це означає, що часткову суму ми представимо в такому вигляді:
$$ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (5) - \\ frac (1) (7) + \\ frac (1) (7) - \\ \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (7) + \\ frac (1) (9) + \\ ldots + \\ frac (1) (2n + 1 ) - \\ left (\\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (7) + \\ frac (1) (9) + \\ ldots + \\ frac (1) (2n + 3) \\ right). $$
Звичайно, розгорнута запис вкрай незручна, тому представлене вище рівність можна оформити більш компактно:
$$ S_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ left (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ right) \u003d \\ sum \\ limits_ ( k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3). $$
Тепер перетворимо вираження $ \\ frac (1) (2k + 1) $ і $ \\ frac (1) (2k + 3) $ до одного виду. Я вважаю зручним приводити до виду більшої дробу (хоча можна і до меншої, це справа смаку). Так як $ \\ frac (1) (2k + 1)\u003e \\ frac (1) (2k + 3) $ (чим більше знаменник, тим менше дріб), то будемо приводити дріб $ \\ frac (1) (2k + 3) $ до виду $ \\ frac (1) (2k + 1) $.
Вираз в знаменнику дробу $ \\ frac (1) (2k + 3) $ я представлю в такому вигляді:
$$ \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ frac (1) (2k + 2 + 1) \u003d \\ frac (1) (2 (k + 1) +1). $$
І суму $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) $ тепер можна записати так:
$$ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1 ) +1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1). $$
Якщо рівність $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) $ не викликає питань, то підемо далі. Якщо ж питання є, то прошу розгорнути примітка.
Як ми отримали перетворену суму? показати \\ приховати
У нас був ряд $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 ( k + 1) +1) $. Давайте замість $ k + 1 $ введемо нову змінну, - наприклад, $ t $. Отже, $ t \u003d k + 1 $.
Як змінювалася стару змінну $ k $? А змінювалася вона від 1 до $ n $. Давайте з'ясуємо, як же буде змінюватися нова змінна $ t $. Якщо $ k \u003d 1 $, то $ t \u003d 1 + 1 \u003d 2 $. Якщо ж $ k \u003d n $, то $ t \u003d n + 1 $. Отже, вираз $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) $ тепер стало таким: $ \\ sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ (n +1) \\ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) \u003d \\ sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1 ) (2t + 1). $$
У нас є сума $ \\ sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2t + 1) $. Питання: а чи не все одно, яку букву використовувати в цій сумі? :) Банально записуючи букву $ k $ замість $ t $, отримаємо наступне:
$$ \\ sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2t + 1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k +1). $$
Ось так і виходить рівність $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) $.
Таким чином, часткову суму можна представити в наступному вигляді:
$$ S_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1 ). $$
Зауважте, що суми $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) $ і $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1 ) (2k + 1) $ відрізняються лише межами підсумовування. Зробимо ці межі однаковими. "Забираючи" перший елемент з суми $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) $ будемо мати:
$$ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ frac (1) (2 \\ cdot 1 + 1) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1). $$
"Забираючи" останній елемент з суми $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) $, отримаємо:
$$ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1 ) + \\ frac (1) (2 (n + 1) +1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) + \\ frac (1) (2n + 3). $$
Тоді вираз для часткової суми набуде вигляду:
$$ S_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k +1) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ left (\\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) + \\ frac (1) (2n + 3) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2n + 3) \u003d \\ $$
Якщо пропустити всі пояснення, то процес знаходження скороченою формули для n-й часткової суми прийме такий вигляд:
$$ S_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) u_k \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) ((2k + 1) (2k + 3)) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ left (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ left (\\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1 ) + \\ frac (1) (2n + 3) \\ right) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3). $$
Нагадаю, що ми приводили дріб $ \\ frac (1) (2k + 3) $ до виду $ \\ frac (1) (2k + 1) $. Зрозуміло, можна вчинити і навпаки, тобто уявити дріб $ \\ frac (1) (2k + 1) $ в вигляді $ \\ frac (1) (2k + 3) $. Кінцеве вираз для часткової суми не зміниться. Процес знаходження часткової суми в цьому випадку я приховую під примітка.
Як знайти $ S_n $, якщо приводити до виду інший дроби? показати \\ приховати
$$ S_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ frac (1) (2k + 3) - \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n-1) \\ frac (1) (2k + 3) - \\ left (\\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n-1) \\ frac (1) (2k + 3) + \\ frac (1) (2n + 3) \\ right) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3). $$
Отже, $ S_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $. Знаходимо межу $ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $:
$$ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) \\ left (\\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) \\ right) \u003d \\ frac (1) (3) -0 \u003d \\ frac (1) (3). $$
Заданий ряд сходиться і сума його $ S \u003d \\ frac (1) (3) $.
відповідь: $ S \u003d \\ frac (1) (3) $.
Продовження теми знаходження суми ряду буде розглянуто у другій і третій частинах.
Дана стаття являє собою структуровану і детальну інформацію, яка може стати в нагоді під час розбору вправ і завдань. Ми розглянемо тему числових рядів.
Дана стаття починається з основних визначень і понять. Далі ми стандартні варіанти і вивчимо основні формули. Для того, щоб закріпити матеріал, в статті наведені основні приклади і завдання.
базові тези
Для початку представимо систему: a 1, a 2. . . , A n,. . . , Де a k ∈ R, k \u003d 1, 2. . . .
Для прикладу, візьмемо такі числа, як: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16,. . . .
визначення 1
Числовий ряд - це сума членів Σ a k k \u003d 1 ∞ \u003d a 1 + a 2 +. . . + A n +. . . .
Щоб краще зрозуміти визначення, розглянемо даний випадок, в якому q \u003d - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ (- 16) · - 1 | 2 k.
визначення 2
a k є загальним або k -м членом ряду.
Він виглядає приблизно таким чином - 16 · - 1 | 2 k.
визначення 3
Часткова сума ряду виглядає приблизно таким чином S n \u003d a 1 + a 2 +. . . + A n, в якій n -будь число. S n є n -ої сумою ряду.
Наприклад, Σ k \u003d 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 \u003d 8 - 4 + 2 - 1 \u003d 5.
S 1, S 2,. . . , S n,. . . утворюють нескінченну послідовність числового ряду.
для ряду n -а суму знаходиться за формулою S n \u003d a 1 · (1 - q n) 1 - q \u003d 8 · 1 - - 1 | 2 n 1 - - 1 | 2 \u003d 16 3 · 1 - - 1 | 2 n. Використовуємо наступну послідовність часткових сум: 8, 4, 6, 5,. . . , 16 3 · 1 - - 1 | 2 n,. . . .
визначення 4
Ряд Σ k \u003d 1 ∞ a k є сходящимся тоді, коли послідовність має кінцевий межею S \u003d lim S n n → + ∞. Якщо межі немає або послідовність нескінченна, то ряд Σ k \u003d 1 ∞ a k називається розходяться.
визначення 5
Сумою сходиться ряду Σ k \u003d 1 ∞ a k є межа послідовності Σ k \u003d 1 ∞ a k \u003d lim S n n → + ∞ \u003d S.
В даному прикладі lim S nn → + ∞ \u003d lim 16 3 т → + ∞ · 1 - 1 | 2 n \u003d 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 | 2 n \u003d 16 3, ряд Σ k \u003d 1 ∞ (- 16) · - 1 | 2 k сходиться. Сума дорівнює 16 3: Σ k \u003d 1 ∞ (- 16) · - 1 | 2 k \u003d 16 3.
приклад 1
Як приклад розходиться ряду можна привести суму геометричній прогресії зі знаменником більшому, ніж одиниця: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 +. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 2 k - 1.
n -а часткова сума визначається виразом S n \u003d a 1 · (1 - qn) 1 - q \u003d 1 · (1 - 2 n) 1 - 2 \u003d 2 n - 1, а межа часткових сум нескінченний: lim n → + ∞ S n \u003d lim n → + ∞ (2 n - 1) \u003d + ∞.
Ще одим прикладом розходиться числового ряду є сума виду Σ k \u003d 1 ∞ 5 \u003d 5 + 5 +. . . . В цьому випадку n -а часткова сума може бути обчислена як S n \u003d 5 n. Межа часткових сум нескінченний lim n → + ∞ S n \u003d lim n → + ∞ 5 n \u003d + ∞.
визначення 6
Сума подібного виду як Σ k \u003d 1 ∞ \u003d 1 + 1 2 + 1 3+. . . + 1 n +. . . - це гармонійний числовий ряд.
визначення 7
Сума Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 n s +. . . , де s дійсний число, є узагальнено гармонійним числовим рядом.
Визначення, розглянуті вище, допоможуть вам для вирішення більшості прикладів і завдань.
Для того, щоб доповнити визначення, необхідно довести певні рівняння.
- Σ k \u003d 1 ∞ 1 k - розходиться.
Діємо методом від зворотного. Якщо він сходиться, то межа кінцевий. Можна записати рівняння як lim n → + ∞ S n \u003d S і lim n → + ∞ S 2 n \u003d S. Після певних дій ми отримуємо рівність l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) \u003d 0.
навпаки,
S 2 n - S n \u003d 1 + 1 2 + 1 3+. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3+. . . + 1 n \u003d 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n
Справедливі наступні нерівності 1 n + 1\u003e 1 2 n, 1 n + 1\u003e 1 2 n,. . . , 1 2 Показати n - 1\u003e 1 2 n. Отримуємо, що S 2 n - S n \u003d 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n\u003e 1. 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n \u003d n 2 n \u003d 1 2. Вираз S 2 n - S n\u003e 1. 2 вказує на те, що lim n → + ∞ (S 2 n - S n) \u003d 0 не досягається. Ряд розходиться.
- b 1 + b 1 q + b 1 q 2 +. . . + B 1 q n +. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ b 1 q k - 1
Необхідно підтвердити, що сума послідовності чисел сходиться при q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
Згідно з наведеними вище визначеннями, сума n членів визначається згідно з формулою S n \u003d b 1 · (q n - 1) q - 1.
якщо q< 1 верно
lim n → + ∞ S n \u003d lim n → + ∞ b 1 · qn - 1 q - 1 \u003d b 1 · lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 \u003d \u003d b 1 · 0 - 1 q - 1 \u003d b 1 q - 1
Ми довели, що числовий ряд сходиться.
При q \u003d 1 b 1 + b 1 + b 1 +. . . Σ k \u003d 1 ∞ b 1. Суми можна відшукати з використанням формули S n \u003d b 1 · n, межа нескінченний lim n → + ∞ S n \u003d lim n → + ∞ b 1 · n \u003d ∞. У представленому варіанті ряд розходиться.
якщо q \u003d - 1, То ряд виглядає як b 1 - b 1 + b 1 -. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1. Часткові суми виглядають як S n \u003d b 1 для непарних n, І S n \u003d 0 для парних n. Розглянувши даний випадок, ми переконався, що межі немає і ряд є розбіжним.
При q\u003e 1 справедливо lim n → + ∞ S n \u003d lim n → + ∞ b 1 · (qn - 1) q - 1 \u003d b 1 · lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 \u003d \u003d b 1 · ∞ - 1 q - 1 \u003d ∞
Ми довели, що числовий ряд розходиться.
- Ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s сходиться, якщо s\u003e 1 і розходиться, якщо s ≤ 1.
для s \u003d 1 отримуємо Σ k \u003d 1 ∞ 1 k, ряд розходиться.
при s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,натурального числа. Так як ряд є розбіжним Σ k \u003d 1 ∞ 1 k, то межі немає. Слідуючи цьому, послідовність Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s необмежена. Робимо висновок, що обраний ряд розходиться при s< 1 .
Необхідно надати докази, що ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s сходиться при s\u003e 1.
Уявімо S 2 n - 1 - S n - 1:
S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s \u003d 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1 (2 n - 1) s
Припустимо, що 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Уявімо рівняння для чисел, які є натуральними і парними n \u003d 2: S 2 n - 1 - S n - 1 \u003d S 3 - S 1 \u003d 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
отримуємо:
Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s \u003d 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . +1 7 s +1 8 s +. . . +1 15 s +. . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
Вираз 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 | 2 + 1 2 s - 1 3+. . . - це сума геометричної прогресії q \u003d 1 2 s - 1. Згідно з вихідними даними при s\u003e 1, То 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s\u003e 1 збільшується і обмежується зверху 1 1 - 1 | 2 s - 1. Уявімо, що є межа і ряд є збіжним Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s.
визначення 8
Ряд Σ k \u003d 1 ∞ a k знакоположітелен в тому випадку, Якщо його члени\u003e 0 a k\u003e 0, k \u003d 1, 2,. . . .
Ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k Знакозмінні, Якщо знаки чисел відрізняються. Даний приклад представлений як Σ k \u003d 1 ∞ bk \u003d Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k · ak або Σ k \u003d 1 ∞ bk \u003d Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k + 1 · ak, де ak\u003e 0 , k \u003d 1, 2,. . . .
Ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k знакозмінний, Так як в ньому безліч чисел, негативних і позитивних.
Другий варіант ряд - це окремий випадок третього варіанту.
Наведемо приклади для кожного випадку відповідно:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
Для третього варіанту також можна визначити абсолютну і умовну збіжність.
визначення 9
Знакозмінні ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k абсолютно сходиться в тому випадку, коли Σ k \u003d 1 ∞ b k також вважається сходящимся.
Детально розберемо кілька характерних варіантів
приклад 2
Якщо ряди 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . і 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . визначаються як сходяться, то вірно вважати, що 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .
визначення 10
Знакозмінний ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k вважається умовно збіжним в тому випадку, якщо Σ k \u003d 1 ∞ b k - розходиться, а ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k вважається сходящимся.
приклад 3
Детально розберемо варіант Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k + 1 k \u003d 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4+. . . . Ряд Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k + 1 k \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 1 k, який складається з абсолютних величин, визначається як розходиться. Цей варіант вважається сходящимся, так як це легко визначити. З цього прикладу ми дізнаємося, що ряд Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k + 1 k \u003d 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4+. . . буде вважатися умовно збіжним.
Особливості сходяться рядів
Проаналізуємо властивості для певних випадків
- Якщо Σ k \u003d 1 ∞ a k буде сходиться, то і ряд Σ k \u003d m + 1 ∞ a k також визнається сходящимся. Можна відзначити, що ряд без m членів також вважається сходящимся. У разі, якщо ми додаємо до Σ k \u003d m + 1 ∞ a k кілька чисел, то отриманий результат також буде збіжним.
- Якщо Σ k \u003d 1 ∞ a k сходиться і сума \u003d S, То сходиться і ряд Σ k \u003d 1 ∞ A · a k, Σ k \u003d 1 ∞ A · a k \u003d A · S, де A постійна.
- Якщо Σ k \u003d 1 ∞ a k і Σ k \u003d 1 ∞ b k є сходяться, суми A і Bтеж, то й ряди Σ k \u003d 1 ∞ a k + b k і Σ k \u003d 1 ∞ a k - b k також сходяться. Суми будуть дорівнювати A + B і A - B відповідно.
Визначити, що ряд сходиться Σ k \u003d 1 ∞ 2 3 k · k 3.
Змінимо вираз Σ k \u003d 1 ∞ 2 3 k · k 3 \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3. Ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k 4 3 вважається сходящимся, так як ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s сходиться при s\u003e 1. Згідно з другим властивістю, Σ k \u003d 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3.
приклад 5
Визначити, чи сходиться ряд Σ n \u003d 1 ∞ 3 + n n 5 2.
Перетворимо початковий варіант Σ n \u003d 1 ∞ 3 + n n 5 2 \u003d Σ n \u003d 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 \u003d Σ n \u003d 1 ∞ 3 n 5 2 + Σ n \u003d 1 ∞ 1 n 2.
Отримуємо суму Σ n \u003d 1 ∞ 3 n 5 2 і Σ n \u003d 1 ∞ 1 n 2. Кожен ряд визнається сходящимся відповідно до властивості. Так, як ряди сходяться, то вихідний варіант теж.
приклад 6
Обчислити, чи сходиться ряд 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 +1 8 - 2 +9. . . і обчислити суму.
Розкладемо вихідний варіант:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 +1 8 - 2 +9. . . \u003d \u003d 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8+. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 +9. . . \u003d \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · Σ k \u003d 1 ∞ 1 3 k - 2
Кожен ряд сходиться, так як є одним з членів числової послідовності. Згідно з третім властивості, ми можемо вирахувати, що вихідний варіант також є збіжним. Обчислюємо суму: Перший член ряду Σ k \u003d 1 ∞ 1 2 k - 1 \u003d 1, а знаменник \u003d 0. 5, за цим слід, Σ k \u003d 1 ∞ 1 2 k - 1 \u003d 1 1 - 0. 5 \u003d 2. Перший член Σ k \u003d 1 ∞ 1 3 k - 2 \u003d 3, а знаменник спадної числової послідовності \u003d 1 3. Отримуємо: Σ k \u003d 1 ∞ 1 3 k - 2 \u003d 3 1 - 1 3 \u003d 9 2.
Використовуємо вираження, отримані вище, для того, щоб визначити суму 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 +1 8 - 2 +9. . . \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · Σ k \u003d 1 ∞ 1 3 k - 2 \u003d 2 - 2 · 9 2 \u003d - 7
Необхідна умова для визначення, чи є ряд сходящимся
визначення 11Якщо ряд Σ k \u003d 1 ∞ a k є збіжним, то межа його k -ого члена \u003d 0: lim k → + ∞ a k \u003d 0.
Якщо ми перевіримо будь-який варіант, то потрібно не забувати про неодмінну умову. Якщо воно не виконується, то ряд розходиться. Якщо lim k → + ∞ a k ≠ 0, то ряд розходиться.
Слід уточнити, що умова важливо, але не достатньо. Якщо рівність lim k → + ∞ a k \u003d 0 виконується, то це не гарантує, що Σ k \u003d 1 ∞ a k є збіжним.
Наведемо приклад. Для гармонійного ряду Σ k \u003d 1 ∞ 1 k умова виконується lim k → + ∞ 1 k \u003d 0, але ряд все одно розходиться.
приклад 7
Визначити збіжність Σ n \u003d 1 ∞ n 2 +1 n.
Перевіримо вихідне вираз на виконання умови lim n → + ∞ n 2 1 + n \u003d lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n \u003d lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n \u003d 1 + 0 + 0 \u003d + ∞ ≠ 0
межа n -ого Члена СОТ не дорівнює 0. Ми довели, що даний ряд розходиться.
Як визначити збіжність знакоположітельного ряду.
Якщо постійно користуватися зазначеними ознаками, доведеться постійно обчислювати межі. Даний розділ допоможе уникнути складнощів під час вирішення прикладів і задач. Для того, щоб визначити відповідність знакоположітельного ряду, існує певна умова.
Для збіжності знакоположітельного Σ k \u003d 1 ∞ a k, a k\u003e 0 ∀ k \u003d 1, 2, 3,. . . потрібно визначати обмежену послідовність сум.
Як порівнювати ряди
Існує кілька ознак порівняння рядів. Ми порівнюємо ряд, збіжність якого пропонується визначити, з тим поряд, збіжність якого відома.
перша ознака
Σ k \u003d 1 ∞ a k і Σ k \u003d 1 ∞ b k - знакоположітельние ряди. Нерівність a k ≤ b k справедливо для k \u003d 1, 2, 3, ... З цього випливає, що з ряду Σ k \u003d 1 ∞ b k ми можемо отримати Σ k \u003d 1 ∞ a k. Так як Σ k \u003d 1 ∞ a k розходиться, то ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k можна визначити як розходиться.
Дане правило постійно використовується для вирішення рівнянь і є серйозним аргументом, яке допоможе визначити збіжність. Складнощі можуть полягати в тому, що підібрати підходящий приклад для порівняння можна знайти далеко не в кожному випадку. Досить часто ряд вибирається за принципом, згідно з яким показник k -ого члена дорівнюватиме результату віднімання показників ступенів чисельника і знаменника k -ого члена ряду. Припустимо, що a k \u003d k 2 + 3 4 k 2 + 5, різниця буде дорівнює 2 – 3 = - 1 . В даному випадку можна визначити, що для порівняння необхідний ряд з k -м членом b k \u003d k - 1 \u003d 1 k, який є гармонійним.
Для того, щоб закріпити отриманий матеріал, детально розглянемо пару типових варіантів.
приклад 8
Визначити, яким є ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k - 1 | 2.
Так як межа \u003d 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 | 2 \u003d 0, ми виконали необхідна умова. Нерівність буде справедливим 1 k< 1 k - 1 2 для k,які є натуральними. З попередніх пунктів ми дізналися, що гармонійний ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k - розходиться. Відповідно до першого ознакою, можна довести, що вихідний варіант є розбіжним.
приклад 9
Визначити, є ряд сходящимся або розбіжним Σ k \u003d 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1.
В даному прикладі виконується необхідна умова, так як lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 \u003d 0. Представляємо у вигляді нерівності 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k 3 є збіжним, так як гармонійний ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s сходиться при s\u003e 1. Відповідно до першого ознакою, ми можемо зробити висновок, що числовий ряд є збіжним.
приклад 10
Визначити, є яким є ряд Σ k \u003d 3 ∞ 1 k ln (ln k). lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) \u003d 1 + ∞ + ∞ \u003d 0.
В даному варіанті можна відзначити виконання необхідної умови. Визначимо ряд для порівняння. Наприклад, Σ k \u003d 1 ∞ 1 k s. Щоб визначити, чому дорівнює ступінь, расммотрім послідовність (ln (ln k)), k \u003d 3, 4, 5. . . . Члени послідовності ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . збільшується до нескінченності. Проаналізувавши рівняння, можна відзначити, що, взявши в якості значення N \u003d 1619, то члени послідовності\u003e 2. Для даної послідовності буде справедливо нерівність 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
Друга ознака
Припустимо, що Σ k \u003d 1 ∞ a k і Σ k \u003d 1 ∞ b k - знакоположітельние числові ряди.
Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞, то ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k сходиться, і Σ k \u003d 1 ∞ a k сходиться також.
Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, то так як ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k розходиться, то Σ k \u003d 1 ∞ a k також розходиться.
Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ і lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, то збіжність або розбіжність ряду означає збіжність або розбіжність іншого.
Розглянемо Σ k \u003d 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 за допомогою другої ознаки. Для порівняння Σ k \u003d 1 ∞ b k візьмемо сходиться ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k 3. Визначимо межа: lim k → + ∞ a k b k \u003d lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 \u003d lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 \u003d 1
Згідно з другим ознакою можна визначити, що сходиться ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k 3 означається, що первісний варіант також сходиться.
приклад 11
Визначити, яким є ряд Σ n \u003d 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5.
Проаналізуємо необхідна умова lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 \u003d 0, яке в даному варіанті виконується. Згідно з другим ознакою, візьмемо ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 k. Шукаємо межа: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k \u003d lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 \u003d 1 4
Згідно з наведеними вище тез, що йде врозріз ряд тягне собою розбіжність вихідного ряду.
третя ознака
Розглянемо третя ознака порівняння.
Припустимо, що Σ k \u003d 1 ∞ a k і _ Σ k \u003d 1 ∞ b k - знакоположітельние числові ряди. Якщо умова виконується для деякого номера a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k, то збіжність даного ряду Σ k \u003d 1 ∞ b k означає, що ряд Σ k \u003d 1 ∞ a k також є збіжним. Розходиться ряд Σ k \u003d 1 ∞ a k тягне за собою розбіжність Σ k \u003d 1 ∞ b k.
ознака Даламбера
Уявімо, що Σ k \u003d 1 ∞ a k - знакоположітельний числовий ряд. Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k > 1, то розходяться.
зауваження 1
Ознака Даламбера справедливий в тому випадку, якщо межа нескінченний.
Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k \u003d - ∞, то ряд є збіжним, якщо lim k → ∞ a k + 1 a k \u003d + ∞, то розходяться.
Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k \u003d 1, то ознака Даламбера не допоможе і потрібно провести ще декілька досліджень.
приклад 12
Визначити, є ряд сходящимся або розбіжним Σ k \u003d 1 ∞ 2 k + 1 2 k за ознакою Даламбера.
Необхідно перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності. Обчислимо межа, скориставшись правилом Лопіталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k \u003d ∞ ∞ \u003d lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" \u003d lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 \u003d 2 + ∞ · ln 2 \u003d 0
Ми можемо побачити, що умова виконується. Скористаємося ознакою Даламбера: lim k → + ∞ \u003d lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k \u003d 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 \u003d 1 2< 1
Ряд є збіжним.
приклад 13
Визначити, є ряд розходиться Σ k \u003d 1 ∞ k k k! .
Скористаємося ознакою Даламбера для того, щоб визначити рассходімость ряду: lim k → + ∞ a k + 1 a k \u003d lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1)! k k k! \u003d Lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k! k k · (k + 1)! \u003d Lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk · (k + 1) \u003d \u003d lim k → + ∞ (k + 1) kkk \u003d lim k → + ∞ k + 1 kk \u003d lim k → + ∞ 1 + 1 kk \u003d e\u003e 1
Отже, ряд є розбіжним.
Радикальна ознака Коші
Припустимо, що Σ k \u003d 1 ∞ a k - це знакоположітельний ряд. Якщо lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k > 1, то розходяться.
зауваження 2
Якщо lim k → + ∞ a k k \u003d 1, то дана ознака не дає ніякої інформації - потрібне проведення додаткового аналізу.
Даний ознака може бути використаний в прикладах, які легко визначити. Випадок буде характерним тоді, коли член числового ряду - це показово статечне вираз.
Для того, щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька характерних прикладів.
приклад 14
Визначити, чи є знакоположітельний ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 (2 k + 1) k на напрямах, що сходяться.
Необхідна умова вважається виконаним, так як lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k \u003d 1 + ∞ + ∞ \u003d 0.
Згідно ознакою, розглянутому вище, отримуємо lim k → + ∞ a k k \u003d lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k \u003d lim k → + ∞ 1 2 k + 1 \u003d 0< 1 . Данный ряд является сходимым.
приклад 15
Сходиться числовий ряд Σ k \u003d 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2.
Використовуємо ознака, описаний в попередньому пункті lim k → + ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 k \u003d 1 3 · lim k → + ∞ 1 + 1 k k \u003d e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
Інтегральний ознака Коші
Припустимо, що Σ k \u003d 1 ∞ a k є знакоположітельним поруч. Необхідно позначити функцію безперервного аргументу y \u003d f (x), Яка збігається a n \u003d f (n). якщо y \u003d f (x)більше нуля, не переривається і убуває на [a; + ∞), де a ≥ 1
То в разі, якщо невласний інтеграл ∫ a + ∞ f (x) d x є збіжним, то розглянутий ряд також сходиться. Якщо ж він розходиться, то в розглянутому прикладі ряд теж розходиться.
При перевірці спадання функції можна використовувати матеріал, розглянутий на попередніх уроках.
приклад 16
Розглянути приклад Σ k \u003d 2 ∞ 1 k · ln k на збіжність.
Умова збіжності ряду вважається виконаним, так як lim k → + ∞ 1 k · ln k \u003d 1 + ∞ \u003d 0. Розглянемо y \u003d 1 x · ln x. Вона більше нуля, не переривається і убуває на [2; + ∞). Перші два пункти достеменно відомі, а ось на третьому варто зупинитися докладніше. Знаходимо похідну: y "\u003d 1 x · ln x" \u003d x · ln x "x · ln x 2 \u003d ln x + x · 1 xx · ln x 2 \u003d - ln x + 1 x · ln x 2. Вона менше нуля на [2; + ∞). Це доводить тезу про те, що функція є спадною.
Власне, функція y \u003d 1 x · ln x відповідає ознакам принципу, який ми розглядали вище. Скористаємося їм: ∫ 2 + ∞ dxx · ln x \u003d lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x \u003d lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A \u003d \u003d lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) \u003d ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) \u003d + ∞
Згідно з отриманими результатами, вихідний приклад розходиться, так як невласний інтеграл є розбіжним.
приклад 17
Доведіть збіжність ряду Σ k \u003d 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3.
Так як lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 \u003d 1 + ∞ \u003d 0, то умова вважається виконаною.
Починаючи з k \u003d 4, вірне вираз 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Якщо ряд Σ k \u003d 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 буде вважатися що сходяться, то, відповідно до одного з принципів порівняння, ряд Σ k \u003d 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 також буде вважатися що сходяться. Таким чином, ми зможемо визначити, що вихідне вираз також є збіжним.
Перейдемо до доведення Σ k \u003d 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3.
Так як функція y \u003d 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 більше нуля, не переривається і убуває на [4; + ∞). Використовуємо ознака, описаний в попередньому пункті:
∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 \u003d lim A → + ∞ ∫ 4 A dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 \u003d \u003d 1 5 · lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 \u003d - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A \u003d \u003d - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 \u003d \u003d - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 \u003d 1 10 · ln 28 2
В отриманому сходиться ряді, ∫ 4 + ∞ dx (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, можна визначити, що Σ k \u003d 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 також сходиться.
ознака Раабе
Припустимо, що Σ k \u003d 1 ∞ a k - знакоположітельний числовий ряд.
Якщо lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 > 1, то сходиться.
Даний спосіб визначення можна використовувати в тому випадку, якщо описані вище техніки не дають видимих \u200b\u200bрезультатів.
Дослідження на абсолютну збіжність
Для дослідження беремо Σ k \u003d 1 ∞ b k. Використовуємо знакоположітельний Σ k \u003d 1 ∞ b k. Ми можемо використовувати будь-який з відповідних ознак, які ми описували вище. Якщо ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k сходиться, то вихідний ряд є абсолютно збіжним.
приклад 18
Дослідити ряд Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 на збіжність Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1.
Умова виконується lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 \u003d 1 + ∞ \u003d 0. Використовуємо Σ k \u003d 1 ∞ 1 k 3 2 і скористаємося другою ознакою: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 \u003d 1 3.
Ряд Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 сходиться. Вихідний ряд також абсолютно сходиться.
Розбіжність знакозмінних рядів
Якщо ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k - розходиться, то відповідний знакозмінний ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k або розходиться, або умовно сходиться.
Лише ознака Даламбера і радикальний ознака Коші допоможуть зробити висновки про Σ k \u003d 1 ∞ b k по розходження з модулів Σ k \u003d 1 ∞ b k. Ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k також розходиться, якщо не виконується необхідна умова збіжності, тобто, якщо lim k → ∞ + b k ≠ 0.
приклад 19
Перевірити расходимость 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6,. . . .
модуль k -ого члена представлений як b k \u003d k! 7 k.
Досліджуємо ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k \u003d Σ k \u003d 1 ∞ k! 7 k на збіжність за ознакою Даламбера: lim k → + ∞ b k + 1 b k \u003d lim k → + ∞ (k + 1)! 7 k + 1 k! 7 k \u003d 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) \u003d + ∞.
Σ k \u003d 1 ∞ b k \u003d Σ k \u003d 1 ∞ k! 7 k розходиться так само, як і вихідний варіант.
приклад 20
Чи є Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) збіжним.
Розглянемо на необхідна умова lim k → + ∞ bk \u003d lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) \u003d ∞ ∞ \u003d lim k → + ∞ \u003d k 2 + 1 "(ln (k + 1))" \u003d \u003d lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 \u003d lim k → + ∞ 2 k (k + 1) \u003d + ∞. Умова не виконана, тому Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ряд розходиться. Межа був обчислений за правилом Лопіталя.
Ознаки для умовної збіжності
ознака Лейбніца
визначення 12Якщо величини членів Знакозмінні ряду зменшуються b 1\u003e b 2\u003e b 3\u003e. . . \u003e. . . і межа модуля \u003d 0 при k → + ∞, то ряд Σ k \u003d 1 ∞ b k сходиться.
приклад 17
Розглянути Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) на збіжність.
Ряд представлений як Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1). Необхідна умова виконується lim k → + ∞ \u003d 2 k + 1 5 k (k + 1) \u003d 0. Розглянемо Σ k \u003d 1 ∞ 1 k за другою ознакою порівняння lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k \u003d lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) \u003d 2 5
Отримуємо, що Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) \u003d Σ k \u003d 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) розходиться. Ряд Σ k \u003d 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) сходиться за ознакою Лейбніца: послідовність 2 · 1 + 1 5 · 1 · 1 1 + 1 \u003d 3 10, 2 · 2 + 1 5 · 2 · (2 \u200b\u200b+ 1) \u003d 5 30, 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1,. . . убуває і lim k → + ∞ \u003d 2 k + 1 5 k (k + 1) \u003d 0.
Ряд умовно сходиться.
Ознака Абеля-Діріхле
визначення 13Σ k \u003d 1 + ∞ u k · v k сходиться в тому випадку, якщо (u k) не збільшується, а послідовність Σ k \u003d 1 + ∞ v k обмежена.
приклад 17
Досліджуйте 1 - 3 2 + 2 3 +1 4 - 3 5 +1 3 +1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . на збіжність.
Уявімо
1 - 3 2 + 2 3 +1 4 - 3 5 +1 3 +1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . \u003d 1 · 1 + 1 2 · (- 3) + 1 3 · 2 + 1 4 · 1 + 1 5 · (- 3) + 1 6 ∙ \u003d Σ k \u003d 1 ∞ u k · v k
де (u k) \u003d 1, 1, 2, -1 3,. . . - незростаюча, а послідовність (v k) \u003d 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . обмежена (S k) \u003d 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Ряд сходиться.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter
Завантаження ...