Як вирахувати довжину гіпотенузи. Рішення прямокутного трикутника
Прямокутний трикутник містить у собі безліч залежностей. Це робить його привабливим об'єктом для різноманітних геометричних завдань. Однією з найпоширеніших завдань вважається перебування гіпотенузи.
Прямокутний трикутник
Прямокутний трикутник – це трикутник, що містить у собі прямий кут, тобто. кут 90 градусів. Тільки прямокутному трикутнику можна висловити тригонометричні функції через величини сторін. У довільному трикутнику доведеться робити додаткові побудови.
У прямокутному трикутнику дві з трьох висот збігаються зі сторонами звуться катетами. Третя сторона називається гіпотенузою. Висота, проведена до гіпотенузи, єдина в цьому виді трикутника, що вимагає додаткових побудов.
Рис. 1. Види трикутників.
У прямокутному трикутнику може бути тупих кутів. Так само, як неможливе і існування другого прямого кута. У цьому випадку порушується тотожність суми кутів трикутника, яка завжди дорівнює 180 градусів.
Гіпотенуза
Перейдемо безпосередньо до гіпотенузи трикутника. Гіпотенуза – це максимальна сторона трикутника. Гіпотенуза завжди більша за будь-який з катетів, але при цьому завжди менше суми катетів. Це наслідок теореми нерівності трикутника.
Теорема говорить: у трикутнику жодна зі сторін не може більше за суму двох інших. Існує і друге формулювання або друга частина теореми: у трикутнику навпроти більшої сторони лежить більший кут і навпаки.
Рис. 2. Прямокутний трикутник.
У прямокутному трикутнику великим кутом є прямий кут, тому що другого прямого кута або тупого кута бути не може вже з названих причин. Значить, навпроти прямого кута завжди лежить велика сторона.
Здається незрозумілим, чому саме прямокутний трикутник заслужив окреме найменування кожної із сторін. Насправді, в рівнобедреному трикутнику сторони так само носять свої назви: бічні сторони та основа. Але саме за катети та гіпотенузи вчителі особливо люблять ставити двійки. Чому? З одного боку, це данина пам'яті древнім грекам, винахідникам математики. Саме вони вивчали прямокутні трикутники і поруч із цими знаннями залишили цілий пласт інформації, у якому будується сучасна наука. З іншого боку існування цих назв значно спрощує формулювання теорем і тригонометричних тотожностей.
теорема Піфагора
Якщо вчитель запитує формулу гіпотенузи прямокутного трикутника, отже, з ймовірністю 90 %, він має на увазі теорему Піфагора. Теорема говорить: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Рис. 3. Гіпотенуза прямокутного трикутника.
Зверніть увагу, як чітко та ємно формулюється теорема. Подібної простоти неможливо досягти без використання понять гіпотенузи та катета.
Теорема має таку формулу:
$c^2=b^2+a^2$ – де з - гіпотенуза, a і b - катети прямокутного трикутника.
Що ми дізналися?
Ми поговорили, що таке прямокутний трикутник. Дізналися, навіщо взагалі вигадали назви катетів та гіпотенузи. З'ясували деякі властивості гіпотенузи та навели формулу довжини гіпотенузи трикутника через теорему Піфагора.
Тест на тему
Оцінка статті
Середня оцінка: 4.6. Усього отримано оцінок: 213.
Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають із голови всю інформацію про них. Навіть і те, як знайти гіпотенузу, не кажучи вже про те, що це таке.
І даремно. Тому що надалі діагональ прямокутника виявляється цією гіпотенузою, і її потрібно знайти. Або діаметр кола збігається з найбільшою стороною трикутника, один із кутів якого прямий. І знайти її без цього знання неможливо.
Існує кілька варіантів, як знайти гіпотенузу трикутника. Вибір методу залежить від вихідного набору даних за умови завдання величин.
Спосіб під номером 1: дані обидва катеты
Це найбільш запам'ятовується метод, тому що використовує теорему Піфагора. Лише іноді учні забувають, що за цією формулою знаходиться квадрат гіпотенузи. Отже, щоб знайти саму сторону, потрібно буде витягти квадратний корінь. Тому формула для гіпотенузи, яку прийнято позначати буквою «с», виглядатиме так:
с = √ (а 2 + 2), де літерами "а" і "в" записані обидва катета прямокутного трикутника.
Спосіб під номером 2: відомий катет та кут, який до нього прилягає
Щоб дізнатися, як знайти гіпотенузу, потрібно згадати тригонометричні функції. А саме косинус. Для зручності вважатимемо, що дані катет «а» і кут α, що прилягає до нього.
Тепер слід згадати, що косинус кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню двох сторін. У чисельнику стоятиме значення катета, а знаменнику — гіпотенузи. З цього випливає, що останню можна буде порахувати за такою формулою:
с = а / cos α.
Спосіб під номером 3: дані катет і кут, що лежить навпроти нього
Щоб не заплутатися в формулах, введемо позначення для цього кута - β, а бік залишимо колишню "а". І тут потрібна інша тригонометрична функція - синус.
Як і в попередньому прикладі, синус дорівнює відношенню катета до гіпотенузи. Формула цього способу виглядає так:
с = а/sin β.
Для того щоб не заплутатися в тригонометричних функціях, можна запам'ятати просте мнемонічне прищеплення: якщо в задачі йдеться про противолежачому вугіллі, то потрібно використовувати з інус, якщо - про пр ілежачому, то до просинус. Слід звернути увагу на перші голосні у ключових словах. Вони утворюють пари о-іабо і-о.
Спосіб під номером 4: за радіусом описаного кола
Тепер, щоб дізнатися, як знайти гіпотенузу, потрібно згадати властивість кола, яке описано біля прямокутного трикутника. Воно свідчить таке. Центр кола збігається із серединою гіпотенузи. Якщо сказати по-іншому, то найбільша сторона прямокутного трикутника дорівнює діагоналі кола. Тобто подвоєний радіус. Формула для цього завдання виглядатиме так:
з = 2*r, де літерою r позначений відомий радіус.
Це все можливі способи того, як знаходити гіпотенузу прямокутного трикутника. Користуватися в кожній конкретній задачі необхідно тим способом, який більше підходить за набором даних.
Приклад завдання №1
Умова: у прямокутному трикутнику проведені медіани до обох катет. Довжина тієї, яка проведена до більшої сторони, дорівнює √52. Інша медіана має довжину √73. Потрібно обчислити гіпотенузу.
Так як у трикутнику проведені медіани, то вони ділять катети на два рівні відрізки. Для зручності міркування та пошуку того, як знайти гіпотенузу, потрібно ввести кілька позначень. Нехай обидві половинки більшого катета будуть позначені літерою "х", а іншого - "у".
Тепер потрібно розглянути два прямокутні трикутники, гіпотенузами яких є відомі медіани. Для них потрібно двічі записати формулу теореми Піфагора:
(2у) 2 + х 2 = (√52) 2
(у) 2 + (2х) 2 = (√73) 2 .
Ці два рівняння утворюють систему із двома невідомими. Вирішивши їх, легко можна буде знайти катети вихідного трикутника і за ними його гіпотенузу.
Спочатку треба все звести на другий ступінь. Виходить:
4у 2 + х 2 = 52
у 2+4х2=73.
З другого рівняння видно, що 2 = 73 - 4х 2 . Цей вираз потрібно підставити в першому і обчислити «х»:
4(73 - 4х2) + х2 = 52.
Після перетворення:
292 – 16 х 2 + х 2 = 52 або 15х 2 = 240.
З останнього виразу х = √16 = 4.
Тепер можна вирахувати «у»:
у 2 = 73 – 4 (4) 2 = 73 – 64 = 9.
За даними умови виходить, що катети вихідного трикутника дорівнюють 6 і 8. Отже, можна скористатися формулою з першого способу і знайти гіпотенузу:
√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Відповідь: гіпотенуза дорівнює 10
Приклад завдання №2
Умова: обчислити діагональ, проведену у прямокутнику з меншою стороною, що дорівнює 41. Якщо відомо, що вона поділяє кут на такі, що співвідносяться як 2 до 1.
У цій задачі діагональ прямокутника є найбільшою стороною у трикутнику з кутом 90º. Тому все зводиться до того, як знайти гіпотенузу.
У задачі йдеться про кути. Це означає, що потрібно буде користуватися однією з формул, у яких є тригонометричні функції. А спочатку потрібно визначити величину одного з гострих кутів.
Нехай менший із кутів, про які йдеться в умові, буде позначений α. Тоді прямий кут, який ділиться діагоналлю, дорівнюватиме 3α. Математичний запис цього виглядає так:
З цього рівняння легко визначити α. Він дорівнюватиме 30º. Причому він лежатиме навпроти меншої сторони прямокутника. Тому потрібна формула, описана у способі №3.
Гіпотенуза дорівнює відношенню катета до синуса протилежного кута, тобто:
41/sin 30º = 41/(0,5) = 82.
Відповідь: гіпотенуза дорівнює 82.
Трикутник є геометричним числом, що складається з трьох сегментів, які з'єднують три точки, які не лежать на одній лінії. Крапки, які утворюють трикутник, називаються його точками, а сегменти пліч-о-пліч.
Залежно від типу трикутника (прямокутного, монохромного тощо.) можна розрахувати бік трикутника по-різному, залежно від вихідних даних, і умов проблеми.
Швидка навігація для статті
Щоб обчислити сторони прямокутного трикутника, використовується теорема Піфагора, за якою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів ноги.
Якщо ми відзначаємо ноги літерами «a» і «b», а гіпотенуза – «c», то сторінки можна знайти з наступними формулами:
Якщо відомі гострі кути прямокутного трикутника (a та b), його сторони можуть бути знайдені з наступними формулами:
Обрізаний трикутник
Трикутник називається рівностороннім трикутником, у якому обидві сторони однакові.
Як знайти гіпотенузу у двох ногах
Якщо літера "a" ідентична одній і тій же сторінці, "b" - основа, "b" - кут, протилежний основи, "a" - суміжний кут для обчислення сторінок може використовувати такі формули:
Два кути та бічна сторона
Якщо відомі одна сторінка (c) і два кути (a і b) будь-якого трикутника, формула синуса використовується для обчислення сторінок, що залишилися:
Ви повинні знайти третє значення y = 180 - (a + b), тому що
сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°; 
Дві сторони та кут
Якщо відомі дві сторони трикутника (a та b) та кут між ними (y), для обчислення третьої сторони може бути використана теорема косинуса.
Як визначити периметр прямокутного трикутника
Трикутний трикутник є трикутником, один з яких дорівнює 90 градусам, а два інших — гострі. розрахунок периметртакий трикутникзалежно кількості відомих відомостей про це.
Вам це знадобиться
- Залежно від випадку, навички двох трьох сторін трикутника, а також один з його гострих кутів.
інструкції
першийМетод 1. Якщо всі три сторінки відомі трикутник, Потім, незалежно, перпендикулярно чи не трикутно, периметр розраховується як: P = A + B + C, де можливо, c - гіпотенуза; a і b – ноги.
другийСпосіб 2.
Якщо прямокутнику є лише дві сторони, то, використовуючи теорему Піфагора, трикутникможе бути розрахована за формулою: P = v (a2 + b2) + a + b або P = v (c2 - b2) + b + c.
третійМетод 3. Нехай гіпотенуза і гострий кут? Зважаючи на прямокутний трикутник, можна буде виявити периметр таким чином: P = (1 + sin?
четвертаМетод 4. Кажуть, що у правому трикутнику довжина однієї ноги дорівнює а і, навпаки, має гострий кут. Потім вирахувати периметрце трикутникбуде виконуватися за формулою: P = a*(1/tg?
1 / син? + 1)
п'ятіСпосіб 5.
Онлайн-розрахунок трикутника
Дозвольте нашій нозі привести і бути включеним до неї, тоді діапазон буде розраховуватися як: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)
Схожі відео
Теорема Піфагора є основою будь-якої математики. Визначає зв'язок між сторонами справжнього трикутника. Наразі зазначено 367 доказів цієї теореми.
інструкції
першийКласичне шкільне формулювання теореми Піфагора звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів ніг.
Щоб знайти гіпотенузу у прямокутному трикутнику двох Catets, ви повинні звернутися, щоб побудувати квадрат довжини ніг, зібрати їх і взяти квадратний корінь із суми. В оригінальному формулюванні його висловлювання ринок заснований на гіпотенузі, що дорівнює сумі квадратів з 2 квадратів виробництва Catete. Проте сучасне алгебраїчне формулювання не потребує введення уявлення області.
другийНаприклад, прямокутний трикутник, ноги якого становлять 7 см та 8 см.
Тоді, згідно з теоремою Піфагора, квадратна гіпотенуза дорівнює R + S = 49 + 64 = 113 см. Гіпотенуза дорівнює квадратному кореню з числа 113.
Кути прямокутного трикутника
Результатом став необґрунтований номер.
третійЯкщо трикутники - ноги 3 і 4, то гіпотенуза = 25 = 5. Коли ви отримуєте квадратний корінь, ви отримуєте натуральне число. Числа 3, 4, 5 утворюють пігагорейський триплет, оскільки вони задовольняють співвідношення x? + Y? = Z, що природно.
Іншими прикладами піфагорійського триплету є: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
четвертаУ разі, якщо ноги ідентичні одне одному, теорема Піфагора перетворюється на більш примітивне рівняння. Наприклад, нехай така рука дорівнює числу А і гіпотенуза визначена С, а потім с? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. В даному випадку вам не потрібен A.
п'ятіТеорема Піфагора — окремий випадок, який більший за загальну теорему косинуса, який встановлює зв'язок між трьома сторонами трикутника для будь-якого кута між двома з них.
Порада 2: Як визначити гіпотенузу для ніг та кутів
Гіпотенуза називається стороною прямокутному трикутнику, яка протилежна куту 90 градусів.
інструкції
першийУ разі відомих катетерів, а також гострого кута прямокутного трикутника може гіпотенузи розмір, рівний відношенню ноги до косинус / синус цього кута, якщо кут знаходився навпроти / е включають: Н = С1 (або С2) / гріх, Н = С1 (або С2?)/cos?. Приклад: Нехай ABC заданий неправильний трикутник із гіпотенузою AB і під прямим кутом C.
Нехай B дорівнює 60 градусів та A 30 градусів. Довжина ніжки BC 8 см. Повинна бути знайдена довжина гіпотенузи AB. Для цього ви можете використовувати один із вищезазначених методів: AB = BC / cos60 = 8 см. AB = BC / sin30 = 8 см.
Гіпотенуза - найдовша сторона прямокутника трикутник. Він розташований під прямим кутом. Метод пошуку гіпотенузи прямокутника трикутникзалежно від вихідних даних.
інструкції
першийЯкщо ваші ноги перпендикулярні трикутник, то довжина гіпотенузи прямокутника трикутникможе бути виявлено піфагорійським аналогом - квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин ніг: c2 = a2 + b2, де a і b - довжина ніг правої трикутник .
другийЯкщо відомо, і одна з ніг під гострим кутом, формула для знаходження гіпотенузи залежатиме від наявності або відсутності під певним кутом по відношенню до відомого катета — суміжно (катет розташована поблизу), або навпаки (розташований протилежний випадок nego.V вказаного кут дорівнює частці гіпотенуза ноги в косинусному куті: a = a/cos;E, з іншого боку, гіпотенуза така ж, як відношення синусоїдальних кутів: da = a/sin.
Схожі відео
Корисні поради
Кутовий трикутник, сторони якого пов'язані як 3:4:5, звані єгипетською дельтою, через те, що ці фігури широко використовуються архітекторами стародавнього Єгипту.
Це також найпростіший приклад трикутників Джерона, в якому сторінки та область представлені цілими числами.
Трикутник називається прямокутником, кут якого дорівнює 90°. Сторона, протилежна до правого кута, називається гіпотенузою, інша — ногами.
Якщо ви хочете знайти, як прямокутного трикутника, утвореного деякими властивостями правильних трикутників, саме той факт, що сума гострих кутів 90 °, який використовується, і той факт, що довжина протилежної ноги становить половину гіпотенузи становить 30 °.
Швидка навігація для статті
Обрізаний трикутник
Однією з властивостей рівного трикутника є те, що його два кути однакові.
Щоб обчислити кут прямокутного рівного трикутника, потрібно знати, що:
- Це не гірше за 90°.
- Значення гострих кутів визначаються за такою формулою: (180°-90°)/2=45°, тобто.
Кути α та β дорівнюють 45°.
Якщо відоме значення одного з гострих кутів відомо, інше можна знайти за формулою: β = 180º-90º-α або α = 180º-90º-β.
Це співвідношення найчастіше використовується, якщо один із кутів становить 60° або 30°.
Ключові поняття
Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.
Тому що це один рівень, два залишаються гострими.
Обчислити трикутник онлайн
Якщо ви хочете їх знайти, вам потрібно знати, що:
Інші способи
Значення гострих кутів прямокутного трикутника можуть бути обчислені із середнього значення - з лінією від точки на протилежній стороні трикутника, а висота - лінія є перпендикуляром, опущеною з гіпотенузи під прямим кутом.
Нехай медіана витягується від правого кута до середини гіпотенузи, а h – висота. У цьому випадку виявляється, що: 
- sin α = b/(2*s); sin β = a/(2*s).
- cos α = a/(2*s); cos β = b/(2*s).
- sin α = h/b; sin β = h/a.
Дві сторінки
Якщо довжини гіпотенузи та одна з ніг відомі у прямокутному трикутнику або з двох сторін, то для визначення значень гострих кутів використовуються тригонометричні тотожності:
- α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
- α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
- α = arctg (a/b), β = arctg (b/a).
Довжина прямокутного трикутника
Площа та площа трикутника
периметр
Окружність будь-якого трикутника дорівнює сумі довжин трьох сторін. Загальна формула для пошуку трикутного трикутника:
де P — коло трикутника, a, b та c його сторони.
Периметр рівного трикутникаможна знайти шляхом послідовного об'єднання довжин його сторін або множення бічної довжини 2 і додавання до продукту довжини основи.
Загальна формула для знаходження рівноважного трикутника виглядатиме так:
де P - периметр рівного трикутника, але або b, b - основа.
Периметр рівностороннього трикутникаможна знайти шляхом послідовного об'єднання довжини сторін або шляхом множення довжини будь-якої сторінки на 3.
Загальна формула для знаходження обода рівносторонніх трикутників виглядатиме так:
де P – периметр рівностороннього трикутника, a – будь-яка з його сторін.
область
Якщо ви хочете виміряти область трикутника, можна порівняти її з паралелограмом. Розглянемо трикутник ABC:
Якщо ми візьмемо той самий трикутник і зафіксуємо його так, щоб ми отримали паралелограм, ми отримаємо паралелограм тієї ж висоти та основи, що і цей трикутник:
У цьому випадку загальна сторона трикутників складається разом з діагоналі формованого паралелограма.
З властивостей паралелограма. Відомо, що діагоналі паралелограма завжди діляться на два рівні трикутники, то поверхня кожного трикутника дорівнює половині діапазону паралелограма.
Оскільки площа паралелограма збігається з продуктом його базової висоти, площа трикутника дорівнюватиме половині цього продукту. Таким чином, для ABC область буде однаковою
Тепер розглянемо прямокутний трикутник:
Два однакові прямокутні трикутники можна згинати в прямокутник, якщо він притуляється до них, що кожна інша гіпотенуза.
Так як поверхня прямокутника збігається з поверхнею сусідніх сторін, площа цього трикутника однакова:
Звідси можна зробити висновок, що поверхня будь-якого прямокутного трикутника дорівнює добутку ніг, поділена на 2.
З цих прикладів можна зробити висновок, що поверхня кожного трикутника така сама, як добуток довжини, а висота знижується до підкладки, розділеної на 2.
Загальна формула для пошуку області трикутника буде виглядати так:
де S - область трикутника, але його основа, але висота падає на дно a.
Знаючи один із катетів у прямокутному трикутнику, можна знайти другий катет та гіпотенузу використовуючи тригонометричні відносини – синус та тангенс відомого кута. Оскільки ставлення протилежного куту катета до гіпотенузи дорівнює синусу цього кута, отже, щоб знайти гіпотенузу потрібно катет розділити на синус кута. a/c=sinα c=a/sinα
Другий катет можна знайти з тангенсу відомого кута як відношення відомого катета до тангенсу. a/b=tanα b=a/tanα
Щоб обчислити невідомий кут прямокутному трикутнику потрібно з 90 градусів відняти величину кута α. β=90°-α
Периметр і площа прямокутного трикутника через катет і протилежний йому кут можна виразити, підставивши отримані раніше вирази другого катета і гіпотенузи в формули. P=a+b+c=a+a/tanα +a/sinα =a tanα sinα+a sinα+a tanα S=ab/2=a^2/( 2 tanα)
Обчислити висоту можна також через тригонометричні відносини, але вже у внутрішньому прямокутному трикутнику зі стороною a, який вона утворює. Для цього потрібно бік a, як гіпотенузу такого трикутника помножити на синус кута β або косинус α, оскільки згідно з тригонометричними тотожностями вони рівнозначні. (рис. 79.2) h=a cosα
Медіана гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи або відомому катету a, поділеному на два синуси α. Щоб знайти медіани катетів, наведемо формули до відповідного виду для відомої сторони та кути. (рис.79.3) m_с=c/2=a/(2 sinα) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2α)/2=(a√(4 tan^2) α+1))/(2 tanα) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2α +a^2/sin ^2α)/2=√((3a^2 sin^2α+a^2 tan^2α)/(tan^2α sin^2α))/2=(a√( 3 sin^2α+tan^2α))/(2 tanα sinα)
Так як бісектрисою прямого кута в трикутнику є добуток двох сторін і кореня з двох, поділений на суму цих сторін, замінивши один з катетів на відношення відомого катета до тангенсу, отримуємо наступне вираз. Аналогічно, підставивши відношення до другої та третьої формули, можна обчислити бісектриси кутів α та β. (рис.79.4) l_с=(a a/tanα √2)/(a+a/tanα)=(a^2 √2)/(a tanα+a)=(a√2)/ (tanα+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tanα √(2c (a/tanα +c)))/(a/tanα +c)=(a√(2c(a/tanα +c)))/(a+c tanα) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sinα)))/(a+a/sinα)=(a sinα √(2c(a+a/sinα)))/(a sinα+a)
Середня лінія проходить паралельно одній із сторін трикутника, при цьому утворюючи ще один подібний прямокутний трикутник з такими ж за величиною кутами, в якому всі сторони вдвічі менші, ніж у початкового. Виходячи з цього, середні лінії можна знайти за такими формулами, знаючи тільки катет і кут, що протилежить йому. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tanα) M_c=c/2=a/(2 sinα)
Радіус вписаного кола дорівнює різниці катетів і гіпотенузи, поділеної на два, а щоб знайти радіус описаного кола, потрібно розділити на два гіпотенузи. Замінюємо другий катет та гіпотенузу на відношення катета a до синуса та тангенсу відповідно. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tanα-a/sinα)/2=(a tanα sinα+a sinα-a tanα)/(2 tanα sinα) R=c/2=a/2sinα
Перші - це відрізки, які прилягають до прямого кута, а гіпотенуза є найдовшою частиною фігури і знаходиться навпроти кута 90 о. Піфагоровим трикутником називається той, сторони якого дорівнюють натуральним числам; їх довжини у разі мають назву «піфагорова трійка».
Єгипетський трикутник
Щоб нинішнє покоління дізналося геометрію у вигляді, у якому її викладають у школі зараз, вона розвивалася кілька століть. Основним моментом вважається теорема Піфагора. Сторони прямокутного відома на весь світ) становлять 3, 4, 5.
Мало хто не знайомий з фразою «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проте насправді теорема звучить так: c2 (квадрат гіпотенузи) = a2+b2 (сума квадратів катетів).
Серед математиків трикутник із сторонами 3, 4, 5 (див, м і т. д.) називається "єгипетським". Цікаво те, що яка вписана у фігуру, дорівнює одиниці. Назва виникла приблизно в V столітті до н.е., коли філософи Греції їздили до Єгипту.
При побудові пірамід архітектори та землеміри користувалися співвідношенням 3:4:5. Такі споруди виходили пропорційними, приємними на вигляд і просторими, а також рідко руйнувалися.
Для того, щоб побудувати прямий кут, будівельники використовували мотузку, на якій було зав'язано 12 вузлів. У такому разі ймовірність побудови прямокутного трикутника підвищувалася до 95%.
Ознаки рівності фігур
- Гострий кут прямокутного трикутника і велика сторона, які рівні тим самим елементам у другому трикутнику, - безперечна ознака рівності фігур. Зважаючи на суму кутів, легко довести, що другі гострі кути також рівні. Таким чином, трикутники однакові за другою ознакою.
- При накладенні двох фігур одна на одну повернемо їх таким чином, щоб вони, суміснившись, стали одним рівнобедреним трикутником. За його властивістю сторони, а точніше, гіпотенузи, рівні, як і кути при підставі, отже, ці постаті однакові.
За першою ознакою дуже просто довести те, що трикутники справді рівні, головне, щоб дві менші сторони (тобто катети) були рівними між собою.
Трикутники будуть однаковими за II ознакою, суть якого полягає в рівності катета та гострого кута.
Властивості трикутника із прямим кутом
Висота, яку опустили із прямого кута, розбиває фігуру на дві рівні частини.
Сторони прямокутного трикутника та його медіани легко дізнатися за правилом: медіана, що опущена на гіпотенузу, дорівнює її половині. можна знайти як за формулою Герона, так і за твердженням, що вона дорівнює половині твору катетів.
У прямокутному трикутнику діють властивості кутів 30 про, 45 про 60 про.
- При вугіллі, який дорівнює 30 про, слід пам'ятати, що протилежний катет дорівнюватиме 1/2 найбільшої сторони.
- Якщо кут 45о, значить, другий гострий кут також 45о. Це говорить про те, що трикутник рівнобедрений, та його катети однакові.
- Властивість кута 60 про полягає в тому, що третій кут має градусну міру 30 о.
Площу легко впізнати за однією з трьох формул:
- через висоту та бік, на яку вона опускається;
- за формулою Герона;
- по сторонах і кутку між ними.
Сторони прямокутного трикутника, точніше катети, сходяться з двома висотами. Для того щоб знайти третю, необхідно розглядати трикутник, що утворився, і тоді по теоремі Піфагора обчислити необхідну довжину. Крім цієї формули існує також співвідношення подвоєної площі та довжини гіпотенузи. Найпоширенішим виразом серед учнів є перше, оскільки потребує менше розрахунків.
Теореми, що застосовуються до прямокутного трикутника
Геометрія прямокутного трикутника включає використання таких теорем, як:
Завантаження...