Всички свойства на трапеца с доказателство. Какво е трапец: свойства на четириъгълник, теореми и формули

\[(\Large(\text(Свободен трапец)))\]

Дефиниции

Трапецът е изпъкнал четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две страни не са успоредни.

Успоредните страни на трапеца се наричат ​​негови основи, а другите две страни се наричат ​​негови странични страни.

Височината на трапец е перпендикулярът, прекаран от която и да е точка на една основа към друга основа.

Теореми: свойства на трапец

1) Сборът от ъглите при страната е \(180^\circ\) .

2) Диагоналите разделят трапеца на четири триъгълника, два от които са еднакви, а другите два са еднакви по големина.

Доказателство

1) Защото \(AD\паралел BC\), тогава ъглите \(\ъгъл BAD\) и \(\ъгъл ABC\) са едностранни за тези прави и напречната \(AB\), следователно, \(\ъгъл BAD +\ъгъл ABC=180^\circ\).

2) Защото \(AD\паралел BC\) и \(BD\) са секанс, тогава \(\ъгъл DBC=\ъгъл BDA\) лежат на кръст.
Също \(\ъгъл BOC=\ъгъл AOD\) като вертикален.
Следователно под два ъгъла \(\триъгълник BOC \sim \триъгълник AOD\).

Нека докажем това \(S_(\триъгълник AOB)=S_(\триъгълник COD)\). Нека \(h\) е височината на трапеца. Тогава \(S_(\триъгълник ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\триъгълник ACD)\). Тогава: \

Определение

Средната линия на трапец е сегмент, свързващ средните точки на страните.

Теорема

Средната линия на трапеца е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума.

Доказателство*

1) Нека докажем паралелизма.

Нека начертаем през точката \(M\) правата \(MN"\паралел AD\) (\(N"\в CD\) ). Тогава, според теоремата на Талес (тъй като \(MN"\паралел AD\паралел BC, AM=MB\)) точка \(N"\) е средата на отсечката \(CD\). Това означава, че точките \(N\) и \(N"\) ще съвпадат.

2) Нека докажем формулата.

Нека направим \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Позволявам \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Тогава, по теоремата на Талес, \(M"\) и \(N"\) са средите на отсечките \(BB"\) и \(CC"\), съответно. Това означава, че \(MM"\) е средната линия на \(\триъгълник ABB"\) , \(NN"\) е средната линия на \(\триъгълник DCC"\) . Ето защо: \

защото \(MN\паралел AD\паралел BC\)и \(BB", CC"\perp AD\), тогава \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) са правоъгълници. Съгласно теоремата на Талес, от \(MN\паралелен AD\) и \(AM=MB\) следва, че \(B"M"=M"B\) . Следователно \(B"M"N"C "\) и \(BM"N"C\) са равни правоъгълници, следователно \(M"N"=B"C"=BC\) .

По този начин:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство на произволен трапец

Средите на основите, пресечната точка на диагоналите на трапеца и пресечната точка на продълженията на страничните страни лежат на една и съща права линия.

Доказателство*
Препоръчително е да се запознаете с доказателството след изучаване на темата „Подобие на триъгълници“.

1) Нека докажем, че точките \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на една права.

Нека начертаем права линия \(PN\) (\(P\) е пресечната точка на продълженията на страничните страни, \(N\) е средата на \(BC\)). Нека пресича страната \(AD\) в точката \(M\) . Нека докажем, че \(M\) е средата на \(AD\) .

Помислете за \(\триъгълник BPN\) и \(\триъгълник APM\) . Те са подобни при два ъгъла (\(\ъгъл APM\) – общ, \(\ъгъл PAM=\ъгъл PBN\) като съответстващ на \(AD\паралел BC\) и \(AB\) секущ). означава: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Помислете за \(\триъгълник CPN\) и \(\триъгълник DPM\) . Те са подобни при два ъгъла (\(\angle DPM\) – общ, \(\angle PDM=\angle PCN\) като съответстващ на \(AD\паралел BC\) и \(CD\) секущ). означава: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Оттук \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Но \(BN=NC\) следователно \(AM=DM\) .

2) Нека докажем, че точките \(N, O, M\) лежат на една права.

Нека \(N\) е средата на \(BC\) и \(O\) е пресечната точка на диагоналите. Нека начертаем права линия \(NO\) , тя ще пресича страната \(AD\) в точката \(M\) . Нека докажем, че \(M\) е средата на \(AD\) .

\(\триъгълник BNO\sim \триъгълник DMO\)по протежение на два ъгъла (\(\ъгъл OBN=\ъгъл ODM\), лежащ на кръст при \(BC\паралел AD\) и \(BD\) секанс; \(\ъгъл BON=\ъгъл DOM\) като вертикален). означава: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

По същия начин \(\триъгълник CON\sim \триъгълник AOM\). означава: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Оттук \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Но \(BN=CN\) следователно \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Равнобедрен трапец)))\]

Дефиниции

Трапецът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е прав.

Трапецът се нарича равнобедрен, ако страните му са равни.

Теореми: свойства на равнобедрен трапец

1) Равнобедреният трапец има равни ъгли при основата.

2) Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.

3) Два триъгълника, образувани от диагонали и основа, са равнобедрени.

Доказателство

1) Разгледайте равнобедрения трапец \(ABCD\) .

От върховете \(B\) и \(C\) пускаме перпендикулярите \(BM\) и \(CN\) съответно към страната \(AD\). Тъй като \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , тогава \(BM\parallel CN\) ; \(AD\паралел BC\) , тогава \(MBCN\) е успоредник, следователно \(BM = CN\) .

Разгледайте правоъгълните триъгълници \(ABM\) и \(CDN\) . Тъй като техните хипотенузи са равни и катетът \(BM\) е равен на катета \(CN\) , тогава тези триъгълници са равни, следователно \(\ъгъл DAB = \ъгъл CDA\) .

2)

защото \(AB=CD, \ъгъл A=\ъгъл D, AD\)- общ, след това според първия знак. Следователно \(AC=BD\) .

3) Защото \(\триъгълник ABD=\триъгълник ACD\), след това \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следователно триъгълникът \(\триъгълник AOD\) е равнобедрен. По същия начин се доказва, че \(\триъгълник BOC\) е равнобедрен.

Теореми: признаци на равнобедрен трапец

1) Ако трапецът има равни ъгли при основата, тогава той е равнобедрен.

2) Ако трапецът има равни диагонали, то той е равнобедрен.

Доказателство

Разгледайте трапеца \(ABCD\), така че \(\ъгъл A = \ъгъл D\) .

Нека завършим трапеца до триъгълника \(AED\), както е показано на фигурата. Тъй като \(\ъгъл 1 = \ъгъл 2\) , тогава триъгълникът \(AED\) е равнобедрен и \(AE = ED\) . Ъгли \(1\) и \(3\) са равни като съответните ъгли за успоредни прави \(AD\) и \(BC\) и секуща \(AB\). По същия начин ъглите \(2\) и \(4\) са равни, но \(\ъгъл 1 = \ъгъл 2\), тогава \(\ъгъл 3 = \ъгъл 1 = \ъгъл 2 = \ъгъл 4\), следователно, триъгълникът \(BEC\) също е равнобедрен и \(BE = EC\) .

В крайна сметка \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), тоест \(AB = CD\), което трябваше да бъде доказано.

2) Нека \(AC=BD\) . защото \(\триъгълник AOD\sim \триъгълник BOC\), тогава обозначаваме техния коефициент на подобие като \(k\) . Тогава ако \(BO=x\) , тогава \(OD=kx\) . Подобно на \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

защото \(AC=BD\) , след това \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Това означава, че \(\триъгълник AOD\) е равнобедрен и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Така според първия знак \(\триъгълник ABD=\триъгълник ACD\) (\(AC=BD, \ъгъл OAD=\ъгъл ODA, AD\)- общ). И така, \(AB=CD\) , защо.

- (гръцки трапец). 1) в геометрията, четириъгълник, в който две страни са успоредни, а две не са. 2) фигура, пригодена за гимнастически упражнения. Речник на чуждите думи, включени в руския език. Чудинов A.N., 1910. ТРАПЕЦ... ... Речник на чуждите думи на руския език

Трапец- Трапец. ТРАПЕЦ (от гръцки trapezion, буквално маса), изпъкнал четириъгълник, в който две страни са успоредни (основите на трапеца). Площта на трапец е равна на произведението на половината от сумата на основите (средната линия) и височината. ... Илюстрован енциклопедичен речник

Четириъгълник, снаряд, напречна греда Речник на руските синоними. трапец съществително, брой синоними: 3 напречна греда (21) ... Речник на синонимите

- (от гръцки trapezion, буквално маса), изпъкнал четириъгълник, в който две страни са успоредни (основите на трапец). Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на основите (средната линия) и височината... Съвременна енциклопедия

- (от гръцки trapezion, осветена маса), четириъгълник, в който две противоположни страни, наречени основи на трапеца, са успоредни (на фигурата AD и BC), а другите две са неуспоредни. Разстоянието между основите се нарича височина на трапеца (при ... ... Голям енциклопедичен речник

ТРАПЕЦ, четириъгълна плоска фигура, в която две срещуположни страни са успоредни. Площта на трапец е равна на половината от сумата на успоредните страни, умножена по дължината на перпендикуляра между тях... Научно-технически енциклопедичен речник

TRAPEZE, трапец, дамски (от гръцки trapeza маса). 1. Четириъгълник с две успоредни и две неуспоредни страни (мат.). 2. Гимнастически уред, състоящ се от напречна греда, окачена на две въжета (спорт). Акробатичен...... Обяснителен речник на Ушаков

ТРАПЕЦ, и, женски. 1. Четириъгълник с две успоредни и две неуспоредни страни. Основите на трапеца (успоредните му страни). 2. Уредът за цирк или гимнастика е напречна греда, окачена на два кабела. Обяснителен речник на Ожегов. С… Обяснителен речник на Ожегов

Жена, геом. четириъгълник с неравни страни, две от които са успоредни (успоредни). Трапец, подобен четириъгълник, в който всички страни се разминават. Трапезоедър, тяло, фасетирано от трапец. Обяснителен речник на Дал. В И. Дал. 1863 1866 … Обяснителен речник на Дал

- (Трапец), САЩ, 1956, 105 мин. Мелодрама. Амбициозният акробат Тино Орсини се присъединява към циркова трупа, където работи Майк Рибъл, известен бивш артист на трапец. Веднъж Майк свири с бащата на Тино. Младият Орсини иска Майк... Енциклопедия на киното

Четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две страни не са успоредни. Разстоянието между успоредните страни се нарича. височина T. Ако успоредните страни и височината съдържат a, b и h метри, тогава площта на T съдържа квадратни метри ... Енциклопедия на Брокхаус и Ефрон

Книги

• Комплект маси. Геометрия. 8 клас. 15 таблици + методика, . Таблиците са отпечатани върху дебел печатен картон с размери 680 х 980 мм. Комплектът включва брошура с насоки за преподаване за учители. Образователен албум от 15 листа. Многоъгълници...
• Комплект маси. Математика. Многоъгълници (7 таблици), . Образователен албум от 7 листа. Изпъкнали и неизпъкнали многоъгълници. Четириъгълници. Успоредник и трапец. Признаци и свойства на успоредник. Правоъгълник. Ромб. Квадрат. Квадрат…

Многоъгълникът е част от равнина, ограничена от затворена начупена линия. Ъглите на многоъгълника се обозначават с точките на върховете на многоъгълника. Върховете на ъглите на многоъгълник и върховете на многоъгълник са съвпадащи точки.

Определение. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни.

Свойства на успоредник

1. Противоположните страни са равни.
На фиг. единадесет AB = CD; пр.н.е. = AD.

2. Противоположните ъгли са равни (два остри и два тъпи ъгъла).
На фиг. 11∠ А = ∠° С; ∠б = ∠д.

3 Диагонали (сегменти, свързващи два противоположни върха) се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.

На фиг. 11 сегмента А.О. = O.C.; Б.О. = O.D..

Определение. Трапецът е четириъгълник, в който две противоположни страни са успоредни, а другите две не са.

Успоредни страни се наричат ​​тя причини, а другите две страни са страни.

Видове трапец

1. Трапец, чиито страни не са равни,
Наречен универсален(фиг. 12).

2. Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен(фиг. 13).

3. Трапец, в който едната страна сключва прав ъгъл с основите, се нарича правоъгълен(фиг. 14).

Сегментът, свързващ средните точки на страничните страни на трапеца (фиг. 15), се нарича средна линия на трапеца ( MN). Средната линия на трапеца е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума.

Трапецът може да се нарече пресечен триъгълник (фиг. 17), следователно имената на трапеца са подобни на имената на триъгълници (триъгълниците са скалени, равнобедрени, правоъгълни).

Площ на успоредника и трапеца

правило. Площ на успореднике равно на произведението на неговата страна и височината, прекарана към тази страна.

Свързани определения

Трапецовидни елементи

• Паралелни страни се наричат причинитрапецовидни.
• Другите две страни се наричат страни.
• Отсечката, свързваща средните точки на страните, се нарича средна линия на трапеца.
• Разстоянието между основите се нарича височина на трапеца.

Видове трапец

Правоъгълен трапец

Равнобедрен трапец

• Нарича се трапец, чиито страни са равни равнобедренили равнобедрен.
• Нарича се трапец, чийто страни имат прави ъгли правоъгълен.

Общи свойства

• Средната линия на трапеца е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума.
• Отсечката, свързваща средите на диагоналите, е равна на половината от разликата на основите.
• Паралелни линии, пресичащи страните на ъгъл, отрязват пропорционални сегменти от страните на ъгъла.
• В трапец може да се впише окръжност, ако сборът от основите на трапеца е равен на сбора от страните му.

Свойства и признаци на равнобедрен трапец

• Правата, минаваща през средните точки на основите, е перпендикулярна на основите и е оста на симетрия на трапеца.
• Височината, спусната от върха към по-голямата основа, го разделя на два сегмента, единият от които е равен на половината от сбора на основите, а другият - на половината от разликата на основите.
• В равнобедрен трапец ъглите при всяка основа са равни.
• В равнобедрен трапец дължините на диагоналите са равни.
• Ако трапецът може да бъде вписан в окръжност, то той е равнобедрен.
• Около равнобедрен трапец може да се опише окръжност.
• Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава височината е равна на половината от сбора на основите.

Вписана и описана окръжност

Квадрат

Тези формули са еднакви, тъй като половината от сбора на основите е равна на средната линия на трапеца.

Нека разгледаме няколко посоки за решаване на проблеми, в които трапецът е вписан в кръг.

Кога трапецът може да бъде вписан в окръжност? Четириъгълник може да бъде вписан в окръжност тогава и само ако сборът от противоположните му ъгли е 180º. Следва, че Можете да поставите само равнобедрен трапец в кръг.

Радиусът на окръжност, описана от трапец, може да се намери като радиус на окръжност, описана от един от двата триъгълника, на които трапецът е разделен от своя диагонал.

Къде е центърът на окръжността, описана от трапеца? Зависи от ъгъла между диагонала на трапеца и неговата страна.

Ако диагоналът на трапец е перпендикулярен на неговата страна, тогава центърът на описаната около трапеца окръжност лежи в средата на по-голямата му основа. Радиусът на окръжността, описана около трапеца в този случай е равен на половината от по-голямата му основа:

Ако диагоналът на трапец образува остър ъгъл със страната му, центърът на окръжността, описана около трапеца, лежи вътре в трапеца.

Ако диагоналът на трапец образува тъп ъгъл със страната му, центърът на окръжността, описана около трапеца, се намира извън трапеца, зад голямата основа.

Радиусът на окръжност, описана около трапец, може да се намери чрез следствие от теоремата за синусите. От триъгълник ACD

От триъгълник ABC

Друга възможност за намиране на радиуса на описаната окръжност е

Синусите на ъгъл D и ъгъл CAD могат да бъдат намерени например от правоъгълни триъгълници CFD и ACF:

Когато решавате задачи, включващи трапец, вписан в окръжност, можете също да използвате факта, че вписаният ъгъл е равен на половината от съответния централен ъгъл. Например,

Между другото, можете също да използвате ъглите COD и CAD, за да намерите площта на трапец. Използване на формулата за намиране на площта на четириъгълник с помощта на неговите диагонали