Признаци на номера на делимост- Това са правила, които позволяват неработещи отдели сравнително бързо да разберат дали този номер е разделен на даден без остатък.
Някои от признаци на делимост Доста просто, по-трудно. На тази страница ще намерите като признаци на делимост прости номера, като например, 2, 3, 5, 7, 11 и признаци на разделимостта на компонентите, като 6 или 12.
Надявам се тази информация да ви бъде полезна.
Приятно учене!

Знак за разделяне на 2

Това е един от най-лесните признаци на делимост. Звучи така: ако записването на естествено число завършва с читател, тогава той е равномерно (разделен без остатък с 2) и ако записът на номера завършва с нечетна цифра, този номер е нечетен.
С други думи, ако последното цифрово число е равно 2 , 4 , 6 , 8 или 0 - броят им е разделен на 2, ако не, той не е разделен
Например, цифри: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 Те са разделени на 2, защото са дори.
Числа: 23. 5 , 137 , 2303
На 2 не са разделени, защото те са странни.

Знак за делимост на 3

Тази характеристика на разделението е напълно различна: ако броят на номерата е разделен на 3, тогава броят им е разделен на 3; Ако количеството номер на номера не е разделено на 3, номерът не е разделен на 3.
Така че, за да разберем дали броят е разделен на 3, е необходимо само да се добавят цифрите помежду си, от които се състои.
Това изглежда така: 3987 и 141 са разделени на 3, защото в първия случай 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - тя е разделена без останките от 3), а във втория 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - също разделени без останките от 3).
Но числата: 235 и 566 не са разделени на 3, защото 2 + 3 + 5 \u003d 10 и 5 + 6 + 6 \u003d 17 (И знаем, че нито 10, нито 17 не са разделени на 3 без остатък).

Знак за разделяне на 4

Този знак за разделяне ще бъде по-сложен. Ако последните 2 цифри са номерът, разделен на 4 или е 00, тогава номерът е разделен на 4, в противен случай този номер не е разделен на 4 без остатък.
Например: 1. 00 и 3. 64 разделени на 4, защото в първия случай броят приключва 00 и във втория 64 което на свой ред е разделено на 4 без остатък (64: 4 \u003d 16)
Числа 3. 57 и 8. 86 не се разделят на 4, защото нито една от тях 57 н. 86 4 не са разделени и следователно не съответстват на този знак за разделяне.

Знак за разделяне на 5

И отново имаме доста прост признак за разделяне: ако записът на естествения брой завършва с номер 0 или 5, тогава този номер е разделен без остатък с 5. Ако броят на броя завършва с различна цифра, Тогава броят без остатък не се разделя на 5.
Това означава, че всички номера, завършващи с цифри 0 и 5 , например, 1235. 5 и 43. 0 , поправете правило и разделено на 5.
А, например, 1549 3 и 56. 4 Не завършвайте на фигура 5 или 0, което означава, че те не могат да споделят за 5 без остатък.

Знак за разделяне на 6

Ние имаме композитен номер 6, който е продукт от числа 2 и 3. следователно, признак на делимост от 6 също е композитен: така че броят им е разделен на 6, той трябва да съответства на два знака за разделяне едновременно: знак От разделянето на 2 и знак за разделяне до 3. В същото време, имайте предвид, че такъв композитен номер като 4 има индивидуален знак за делимост, защото това е доказателство за номер 2. Но обратно към знака на делимостта на 6.
Числата 138 и 474 са дори и съответстващи на признаците на делимост с 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 и 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), което означава, че те са разделени до 6. но 123 и 447, въпреки че те са разделени на 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 и 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), но те са странни, и следователно не съответствайте на признаците на делимост с 2 и следователно те не съответстват на признаците на делимост от 6.

Знак за разделяне на 7

Този признак за разделяне е по-сложен: броят им е разделен на 7, ако резултатът от изваждането на двойната фигура на десетки от този брой е разделен на 7 или равен на 0.
Звучи доста объркващо, но на практика е лесно. Виж себе си: номер 95 9 е разделен на 7, защото 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77, разделени на 7 без остатъци). И ако номерът с номера, получен по време на трансформациите (поради неговия размер е трудно да се разбере, той е разделен на 7 или не, тогава тази процедура може да бъде продължена толкова пъти, колкото се чувствате необходими).
Например, 45 5 I. 4580 1 притежават признаци на делимостта до 7. В първия случай всичко е съвсем просто: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. Във втория случай ще направим това: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. За нас е трудно да разберем дали е разделен, ако 457 8 до 7, затова повтарям процеса: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. И отново използваме знак за разделяне, защото все още сме трицифрено число 44 1. 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, т.е. 42 е разделен на 7 без баланс, което означава, че е 45801, разделено на 7.
Но числата 11 1 I. 34 5 не са разделени на 7, защото 11 -2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 не е разделена без остатък с 7) и 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 не е разделена без остатък с 7).

Знак за разделяне на 8

Знакът за разделяне на 8 звуци като този: Ако последните 3 цифри образуват номер, разделен на 8, или е 000, тогава посоченият номер е разделен на 8.
Числа 1. 000 или 1. 088 разделен на 8: Първият завършва 000 , втори 88 : 8 \u003d 11 (разделено на 8 без остатък).
Но номер 1 100 или 4. 757 не се разделят на 8, тъй като цифрите 100 и 757 Не споделяйте без остатъци.

Знак за делимостта на 9

Този признак за разделяне е подобен на признак на делимост с 3: ако броят на номерата е разделен на 9, тогава броят им е разделен на 9; Ако броят на номерата не е разделен на 9, тогава броят не е разделен на 9.
Например: 3987 и 144 са разделени на 9, защото в първия случай 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - е разделен без останките от 9), а във втория 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - също разделени без останките от 9).
Но числата: 235 и 141 не са разделени на 9, защото 2 + 3 + 5 \u003d 10 и 1 + 4 + 1 \u003d 6 (И ние знаем, че нито 10, нито 6 са разделени на 9 без остатък).

Признаци на делимостта на 10, 100, 1000 и други битови единици

Тези признаци на разделяне, които комбинирах, защото те могат да бъдат описани еднакво: номерът е разделен на разтоварване, ако броят на нулите в края на номера е по-голям или равен на броя на нулите в даден битов.
С други думи, например, имаме такива номера: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . От тях всички са разделени на 1 0 ; 46400 и 867. 000 Те са разделени на 1 00 Шпакловка И само един от тях - 867 000 разделени на 1. 000 .
Всички номера, в които броят на нулите в края е по-малък от този на освобождаването, не се разделя на това освобождаващо устройство, например 600 30 и 7. 93 Не споделяйте 1. 00 .

Знак за разделяне на 11

За да се разбере дали номерът е разделен на 11, е необходимо да се получи разликата в сумите от равномерни и нечетни номера на този брой. Ако тази разлика е равна на 0 или разделена на 11 без остатък, тогава самият номер е разделен на 11 без остатък.
За да стане по-ясно, предлагам да разгледаме примерите: 2 35 4 е разделен на 11, защото ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 също е разделена на 11, тъй като ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Но 1. 1 1 или 4 35 4 не са разделени на 11, тъй като в първия случай имаме (1 + 1) - 1 \u003d 1, и във втория ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Знак за разделяне на 12

Номер 12 е композитен. Неговият признак на делимост е кореспонденцията на признаците на делимост с 3 и на 4 едновременно.
Например, 300 и 636 съответстват на признаците на разделяне на 4 (последните 2 цифри са нули или са разделени на 4) и признаци на делимост с 3 (сумата от числата и първото и задълбочено число е разделено на 3) и ще бъдат приложени, те са разделени на 12 без баланс.
Но 200 или 630 не са разделени на 12, защото в първия случай броят отговаря само със знак за разнообразие от 4, а във втория - само знак за разнообразие от 3. но не и двете знаци по едно и също време .

Знак за делимост на 13 години

Знакът за разделяне на 13 е, че ако броят на десетки числа, сгънат с умножен по 4 единици от този номер, ще бъде многократно 13 или равно на 0, тогава самият номер е разделен на 13.
Пример 70 2. Така 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 е разделен без остатък с 13), това означава 70 2 е разделена на 13 без остатък. Друг пример е номерът 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Числото 130 е разделено на 13 без остатък, което означава даден номер съответства на признак на делимост от 13.
Ако вземете номера 12 5 или 21 2, тогава получаваме 12 + 4 * 5 \u003d 32 и 21 + 4 * 2 \u003d 29 съответства и нито 32, нито 29 са разделени на 13 без остатък, което означава, че посочените номера не са разделени без остатък от 13.

Дидимост на числата

Както може да се види от горното, може да се предположи, че всеки от естествените номера може да бъде подбран за индивидуалния си знак за разделяне или "композит", ако номерът е с няколко няколко различни номера. Но тъй като практиката показва, главно колкото по-голямо е броят, толкова по-трудно е неговият знак. Може би времето, прекарано за проверка на знака за разделяне, може да бъде равно или повече от самото разделение. Ето защо ние обикновено използваме най-простите признаци на делимост.

Помислете за прост пример:
15:5=3
В този пример естествено число 15 Ние сме разделени ница3, без баланс.

Понякога естественият брой е напълно в състояние да раздели фокуса. Например, разгледайте задачата:
16 играчки лежат в килера. Групата имаше пет деца. Всяко дете е взело същия брой играчки. Колко играчки имат всяко дете?

Решение:
Разделяме броя 16 на 5 колона получаваме:

Знаем, че 16 не е да споделяме. Най-близкото число, разделено на 5 е 15 и 1 в останалата част. Номер 15 можем да рисуваме като 5⋅3. В резултат (16 - Delimi, 5 - разделител, 3 - непълна частна, 1 - остатък). Получаване. \\ T Формула разделение с остатъкакоето може да се направи проверка на решението.

а.= б.⋅ ° С.+ д.
а. - Delimi,
б. - разделител,
° С. - непълна частна,
д. - Баланс.

Отговор: Всяко дете ще вземе 3 играчки и ще остане една играчка.

Остатък от разделението

Остатъкът винаги трябва да бъде по-малък от разделителя.

Ако при разделянето на остатъка е нула, това означава, че делимото споделяне ница Или без баланс на разделителя.

Ако при разделянето остатъкът е по-делител, това означава, че намереният номер не е най-големият. Има по-голям брой, които се разделят и остатъкът ще бъде по-малък от разделителя.

Въпроси по темата "Решение с остатък": \\ t
Останалата част може да бъде повече разделител?
Отговор: Не.

Остатъкът може да бъде равен на разделителя?
Отговор: Не.

Как да се намери делима на непълна частна, разделител и остатък?
Отговор: Стойностите на непълната частна, разделител и остатъкът са заместени във формулата и намират се делима. Формула:
a \u003d b⋅c + d

Пример номер 1:
Извършете разделение с остатъка и проверете: а) 258: 7 б) 1873: 8

Решение:
а) Разделяме колоната:

258 - Delimi,
7 - Разделител,
36 - Непълна частна,
6 - остатък. Остатък по-малко разделител 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

б) Разделяме колоната:

1873 - Delimi,
8 - разделител,
234 - Непълна частна,
1 - остатък. Остатъкът е по-малък от разделителя 1<8.

Заменете във формулата и проверете дали решихме да решим примера:
8⋅234+1=1872+1=1873

Пример номер 2:
Какви останки се получават при разделяне на естествени числа: а) 3 б) 8?

Отговор:
а) остатъкът е по-малък от разделителя, следователно, по-малко 3. в нашия случай, остатъкът може да бъде равен на 0, 1 или 2.
б) остатъкът е по-малък от разделителя, следователно по-малко от 8. В нашия случай остатъкът може да бъде равен на 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

Пример номер 3:
Какво може да се окаже най-големият остатък, когато се разделят естествените числа: а) 9 б) 15?

Отговор:
а) остатъкът е по-малък от разделителя, следователно по-малко от 9. Но трябва да посочим най-големия баланс. Това е най-близкият номер на разделителя. Това е номер 8.
б) Остатъкът е по-малък от разделителя, следователно по-малко от 15. Но трябва да посочим най-големия баланс. Това е най-близкият номер на разделителя. Това е номер 14.

Пример номер 4:
Намерете годност: а) A: 6 \u003d 3 (OST 4) b) c: 24 \u003d 4 (изток.11)

Решение:
а) Издаване с помощта на формула:
a \u003d b⋅c + d
(А - Delimi, B - разделител, С - Непълни частни, D - остатък.)
A: 6 \u003d 3 (OST.4)
(А - Delimi, 6 - разделител, 3 - непълни частни, 4 - остатъци.) Заместване на номерата във формулата:
A \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Отговор: A \u003d 22

б) разрешен с помощта на формула:
a \u003d b⋅c + d
(А - Delimi, B - разделител, С - Непълни частни, D - остатък.)
C: 24 \u003d 4 (изток.11)
(C - Delimi, 24 - разделител, 4 - непълни частни, 11 - остатък.) Заместване на номерата във формулата:
C \u003d 2400 + 11 \u003d 107
Отговор: C \u003d 107

Задача:

Тел 4м. Необходимо е да се режат на парчета от 13см. Колко такива части ще работи?

Решение:
Първо трябва да преведете метра до сантиметри.
4м. \u003d 400см.
Можете да споделите колона или в ума, ще получим:
400: 13 \u003d 30 (OST.10)
Проверка:
13⋅30+10=390+10=400

Отговор: 30 части се появяват и 10 cm. Тел ще остане.

В тази статия ще анализираме разделяне на цели числа с остатъка. Нека започнем с общия принцип на разделяне на цели числа с остатъка, формулираме и доказваме теорема за разделянето на цели числа с остатъка, проследявайки връзката между делима, разделител, непълна частна и остатъка. Тогава нека да изразим правилата, на които се извършва разделянето на цели числа, и разглежда използването на тези правила при решаването на примери. След това научете как да проверите резултата от разделянето на цели числа с остатъка.

Навигация.

Общ поглед върху разделянето на цели числа с остатъка

Разделението на цели числа с остатъка ще разгледаме като обобщение на разделението с остатъка от естествени числа. Това се дължи на факта, че естествените числа са неразделна част от цели числа.

Да започнем с термини и обозначения, които се използват в описанието.

По аналогия с разделянето на естествените числа с остатъка, ние ще приемем, че резултатът от разделянето на остатъка от две цели числа А и В (В не е нула) са две цели числа C и D. Номера А и Б се наричат делима и разделител Съответно, числото D - остатък от разделение a на b, и се нарича цяло число c непълна частна (или просто частниАко остатъкът е нула).

Ние се съгласяваме да приемем, че остатъкът е неотрицателен брой и неговата стойност не надвишава Б, т.е. ние се срещнахме, когато ни беше казано за сравнението на три и повече цели числа).

Ако номерът C е непълно частно, а броят D е остатъкът да се раздели цяло число А на цяло число Б, тогава този факт ще запишем накратко като равенство на формуляра A: B \u003d C (OST. D).

Обърнете внимание, че когато разделяте цяло число а до цяло число В, остатъкът може да бъде нула. В този случай те казват, че А е разделен на Б без остатък (или ница). Така разделянето на цели числа без остатък е специален случай на разделяне на цели числа с остатъка.

Също така си струва да се каже, че когато се разделя нула за някакво цяло число, ние винаги се занимаваме с разделение без баланс, тъй като в този случай частният ще бъде нула (виж част от теорията на нулевото разделение от цяло число) и остатъкът също ще бъде нула.

Решени с терминология и наименования, сега ще разберем със значението на разделянето на цели числа с остатъка.

Разделянето на цялото отрицателно число от цялото положително число Б може също да бъде дадено на смисъла. За да направите това, помислете за цяло отрицателно число като дълг. Представете си тази ситуация. Дълг, който прави позициите, трябва да изплати лицето Б, като направи същия принос. Абсолютната стойност на непълна частна в този случай ще определи размера на дълга на всеки един от тези хора, а остатъкът D ще покаже колко елементи ще останат след заплащане на дълга. Нека да дадем пример. Да предположим, че 2 души трябва да 7 ябълки. Ако приемем, че всеки от тях трябва да бъде 4 ябълки, след това след заплащане на дълга, те ще останат 1 ябълка. Тази ситуация съответства на равенството (-7): 2 \u003d -4 (OST. 1).

Отделение с остатъка на произволно цяло число А за цялото отрицателно число няма да дадем никакъв момент, но ще оставим правото да съществува.

Теорема за разделянето на цели числа с остатъка

Когато говорим за разделението на естествените числа с остатъка, те установиха, че делима А, разделител В, непълна частна С и остатъкът D са свързани с равенството A \u003d B · C + d. За цели числа, А, В, С и D се характеризират със същата връзка. Тази връзка е одобрена от следното дефиниране на теорема с остатъка.

Теорема.

Всяко цяло число a може да бъде единственият начин чрез цяло число и различно от нулев номер В като a \u003d b q + r, където q и r са някои цели числа, и.

Доказателства.

Първо, ние доказваме възможността за представяне a \u003d b · q + r.

Ако цели числа А и Б са такива, че А е разделен на B, след това по дефиниция има такова цяло число q, че a \u003d b · q. В този случай има равенство a \u003d b · q + r при R \u003d 0.

Сега приемаме, че b е цяло число положително число. Изберете цяло число Q по такъв начин, че продуктът b q не надвишава броя и продукта b · (Q + 1) вече е по-голям от a. Това е, ако това е, че неравенството b · q

Остава да се докаже възможността за представяне А \u003d B · Q + R за отрицателен б.

Тъй като модулът на числото Б в този случай е положително число, тогава за презентацията, където Q 1 е някакво цяло число, и R е цяло число, отговарящи на условията. След това приемаме Q \u003d -Q 1, ние получаваме идеята за визуално представяне А \u003d B Q + R за отрицателния б.

Отидете в доказателството за уникалност.

Да предположим, че в допълнение към представяне a \u003d b · q + r, q и r - цели числа и, има друго представяне a \u003d b · q 1 + r1, където q 1 и r1 са някои цели числа, и q 1 ≠ Q и.

След изваждане от лявата и дясната част на първото равенство, съответно, лявата и дясната част на второто равенство, получаваме 0 \u003d b · (Q - Q 1) + RR1, което е еквивалентно на равенството RR 1 \u003d b · (q 1-с). Тогава равенството на вида трябва да е вярно и по силата на свойствата на модула на броя - и равенство .

От условията и може да се заключи, че. Q и q 1 са цяло число и q ≠ q 1, тогава къде заключаваме това . От получените неравенства и От това следва, че равенството на формуляра Това е невъзможно при нашето предположение. Следователно, няма друго представяне на броя а, с изключение на a \u003d b q + r.

Връзки между делима, разделител, непълни частни и остатъци

Равенството A \u003d B · C + D ви позволява да намерите неизвестно разделение, ако е известен делител В, непълна частна С и остатъкът d. Помислете за пример.

Пример.

Какво е еднакво делимо, ако е възможно за цяло число -21, непълно частно 5 и остатък 12?

Решение.

Трябва да изчислим Delimi A, когато разделителят B \u003d -21 е известен, достатъчно непълен C \u003d 5 и остатъкът D \u003d 12. Като се свържете с равенството A \u003d B · C + D, получаваме a \u003d (- 21) · 5 + 12. Първоначално наблюдение, първо прекарваме умножението на цели числа -21 и 5 според правилото за умножаване на цели числа с различни признаци, след което извършваме добавянето на цели числа с различни признаци: (-21) · 5 + 12 \u003d -105 + 12 \u003d -93.

Отговор:

−93 .

Отношенията между делима, диви, непълни частни и остатъци също са изразени от равенства на формата B \u003d (A - D): С, С \u003d (А-d): В и D \u003d А-В · С. Тези равенства позволяват изчисляването на разделителя, съответно непълни и остатъци. Често трябва да намерим остатък от разделяне на цяло число А до цяло число В, когато разделя, разделител и непълна частна, като се използва формулата D \u003d A-B · c. Така че в бъдеще няма въпроси, ще анализираме пример за изчисляване на остатъка.

Пример.

Намерете баланса от разделянето на цяло число -19 на цяло число 3, ако е известно, че е непълно частно равно на -7.

Решение.

За да изчислите остатъка от разделяне, ние използваме формулата на формата D \u003d A - B · c. От условията имаме всички необходими данни A \u003d -19, B \u003d 3, C \u003d -7. Ние получаваме d \u003d ab · c \u003d -19-3 · (-7) \u003d -19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (разлика -19 - (- 21) сме изчислили според правилото за изваждане на цялостно отрицателно число).

Отговор:

Разделяне с остатъка от цели положителни числа, примери

Както многократно сме отбелязали, целият положителен брой са естествени числа. Следователно разделянето с остатъците от цели положителни числа се извършва във всички правила за разделяне с остатъка от естествени числа. Много е важно да може лесно да се извърши разделение с остатъка от естествени числа, тъй като е основа за разделяне не само цели положителни числа, но и в сърцето на всички правила за разделяне с остатъци от произволни цели числа.

От наша гледна точка е най-удобно да се извърши разделение с колона, този метод ви позволява да получите и непълни частни (или просто частни) и остатъка. Помислете за пример за разделяне с остатъка от цели положителни числа.

Пример.

Извършете разделение с остатъка от броя 14 671 до 54.

Решение.

Извършете разделението на тези положителни числа по сцената:

Непълната частна се оказа равна на 271, а остатъкът е 37.

Отговор:

14 671: 54 \u003d 271 (Ost. 37).

Правилото за разделяне с остатък от положителен брой адекватни примери

Ние формулираме правило, което ви позволява да извършвате разделение с цялостен положителен брой към цялото отрицателно число.

Непълни частни от разделянето на цяло число положително число от отрицателно число Б е число, противоположно на непълно частно частно от разделение А към модула на числото Б, и остатъкът от разделение А на Б е равен на баланса на разделението .

Това правило предполага, че непълното частно от разделянето на цяло числото положително число на цялостно отрицателно число е почтеност.

Планираме обявеното правило в алгоритъма на разделянето с остатъка от цялостен положителен брой адекватни:

• Разделяме разделителния модул на разделителния модул, получаваме непълна частна и остатъка. (Ако остатъкът се оказа равен на нула, първоначалните числа са разделени без остатък и съгласно правилата за разделяне на цели числа с противоположни знаци, търсената дата е равна на броя, противоположен на дяла от разделението на модулите.)
• Запишете номера, противоположен на получения непълни частни, и остатъка. Тези цифри са съответно желаните частни и остатъци да разделят първоначалното цяло число положително число до цяло отрицателно.

Даваме пример за използване на алгоритъм за разделяне на цяло положителен брой на цял отрицателен.

Пример.

Извършете разделение с остатъка от положително число 17 към цялото отрицателно число -5.

Решение.

Използваме алгоритъма на разделянето с остатъка от положителен брой до цяло отрицателен.

Споделяне

Номерът е обратното на числото 3 е -3. По този начин желаният непълна част от участък 17 до -5 е -3 и остатъкът е 2.

Отговор:

17: (- 5) \u003d - 3 (OST. 2).

Пример.

Разделям 45 на -15.

Решение.

Делимо и разделителните модули са съответно 45 и 15. Числото 45 е разделено на 15 без остатък, частният е равен на 3. Следователно, цяло число положително число 45 е разделено на цялото отрицателно число -15 без остатък, частното в същото време е равно на броя, противоположен на 3, т.е. -3. Всъщност, според правилото на разделението на цели числа с различни знаци, които имаме.

Отговор:

45:(−15)=−3 .

Отдел с цял отрицателен брой цели положителни, примери

Ние ще дадем формулировката на правилата на разделянето с остатъка от цялостно отрицателно число до цялостен.

За да се получи непълна частна С да се раздели цялостно отрицателно число от а до цяло положително число Б, трябва да вземете номер, противоположен на непълно отделното частно от разделянето на модулите на първоначалните номера и да приспаднате уреда от него, след това който остатъкът D се изчислява съгласно формула d \u003d ab · c.

От правилото за разделяне с остатъка следва, че непълното частно от разделение на цялото отрицателно за цяло положително число е цялостно отрицателно число.

От гласовото правило предполага алгоритъм за разделяне с баланса на цялото отрицателно число от цялото положително Б:

• Ние намираме раздели и разделителни модули.
• Разделяме разделителния модул на разделителния модул, получаваме непълна частна и остатъка. (Ако остатъкът е нула, първоначалните цели числа са разделени без остатък, а търсеният частен е равен на броя, противоположен на частните модули.)
• Ние записваме броя, противоположен на получената непълна частна и изваждам номер 1 от него. Изчисленият номер е желаното непълно частно C от разделението на първоначалното цялостно отрицателно число до положителното число.

Ние ще анализираме решението на примера, в който използваме записания алгоритъм на разделение с остатъка.

Пример.

Намерете непълна частна и остатък от разделяне на цялостно отрицателно число -17 за цялото положително число 5.

Решение.

Модулът Dividera -17 е 17, а разделителният модул 5 е 5.

Споделяне 17 до 5, ние получаваме непълни частни 3 и остатъци 2.

Броя на 3 е -3. Ние изваждаме от -3 единица: -3-1 \u003d -4. Така че желаният непълна частна е -4.

Остава да се изчисли остатъците. В нашия пример A \u003d -17, B \u003d 5, C \u003d -4, след това D \u003d A-B · C \u003d -17-5 · (-4) \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Така, непълното частно от разделение на цялото отрицателно число -17 до цяло число положително число 5 е -4 и остатъкът е 3.

Отговор:

(-17): 5 \u003d -4 (OST. 3).

Пример.

Разделете цялото отрицателно число -1 404 с положително число 26.

Решение.

Модулът за дивиденти е 1 404, разделителят е 26.

Разделяме 1 404 на 26-ия етап:

Тъй като разделителният модул е \u200b\u200bразделен на разделителен модул без остатък, първоначалните цели числа са разделени без остатък, а желаният частен е равен на броя, противоположен на 54, т.е. -54.

Отговор:

(−1 404):26=−54 .

Правилото за разделяне с остатъци от цели отрицателни числа, примери

Ние формулираме правило за разделяне с остатъка от цели отрицателни числа.

За да се получи непълна част C от разделянето на цялостно отрицателно число от отрицателно число Б, е необходимо да се изчисли непълното лично на отдела на модулите на първоначалните номера и да се добави единица към нея, след това остатъка d изчислява според формулата d \u003d ab · c.

Това правило предполага, че непълното частно от разделение на цели отрицателни числа е цяло положително число.

Пренаписваме изразеното правило под формата на алгоритъм за разделяне на цели отрицателни числа:

• Ние намираме раздели и разделителни модули.
• Разделяме разделителния модул на разделителния модул, получаваме непълна частна и остатъка. (Ако остатъкът е нула, първоначалните цели числа са разделени без остатък, а търсеният лично е равен на частния от разделянето на разделителния модул към разделителния модул.)
• Той се добавя към получената непълна частна единица, този номер е желаният непълен личен от разделянето на първоначалните цели отрицателни числа.
• Остатъкът се изчислява съгласно формула D \u003d А-В · ° С.

Помислете за използването на алгоритъма за разделяне на цели отрицателни числа при решаването на пример.

Пример.

Намерете непълна частна и остатък от разделяне на цялостно отрицателно число -17 към цялото отрицателно число -5.

Решение.

Използваме съответния алгоритъм на разделението с остатъка.

Модулът за дивиденти е 17, разделителният модул е \u200b\u200b5.

Дивизия 17 На 5 дава непълна частна 3 и остатъка 2.

Чрез непълна частна 3 Добавяне на единица: 3 + 1 \u003d 4. Следователно желаната непълна частна от участък -17 до -5 е 4.

Остава да се изчисли остатъците. В този пример, A \u003d -17, B \u003d -5, с \u003d 4, след това d \u003d А-В · С \u003d -17 - (- 5) · 4 \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Така че, непълното частно да се раздели цялостно отрицателно число -17 към цялото отрицателно число -5 е 4 и остатъкът е 3.

Отговор:

(-17): (- 5) \u003d 4 (OST. 3).

Проверете резултата от разделянето на цели числа с остатъка

След определянето на цели числа с остатъка е направен, е полезно да се провери полученото получено. Проверката се извършва на два етапа. На първия етап се проверява дали остатъкът D е не-отрицателно число и състоянието се проверява. Ако са направени всички условия на първия етап от проверката, можете да започнете до втория етап на проверка, в противен случай може да се твърди, че е направена грешка при разделянето с остатъка. На втория етап се проверява валидността на равенството a \u003d b · c + d. Ако това равенство е валидно, разделянето с остатъка се извършва правилно, в противен случай някъде е направена грешка.

Помислете за решения на примери, в които се извършва резултатът от разделянето на цели числа с остатъка.

Пример.

При разделяне на броя -521 на -12, са получени непълни частни 44 и остатък 7, следвайте резултата.

Решение. -2 за b \u003d -3, c \u003d 7, d \u003d 1. . \\ T b · c + d \u003d -3 · 7 + 1 \u003d -21 + 1 \u003d -20. По този начин равенството a \u003d b · c + d е неправилно (в нашия пример A \u003d -19).

Следователно разделянето с остатъка е неправилно.

Статията се изразходва концепцията за разделяне на цели числа с остатъка. Ние доказваме теорема за делимостта на цели числа с остатъка и разглеждаме връзката между разделенията и дивизорите, непълни частни и остатъци. Помислете за правилата, когато целият брой са разделени с останките, разгледани подробно за примерите. В края на решението ще извърши проверка.

Общ поглед върху разделянето на цели числа с остатъци

Разделението на цели числа с остатъка се счита за генерализирано разделение с остатъка от естествени числа. Това се прави, защото естествените числа са неразделна част от цялото.

Разделянето с остатъка на произволен брой предполага, че цяло число А е разделена на броя Б, различен от нула. Ако b \u003d 0, тогава не произвеждайте разделение с остатъка.

Както и разделението на естествените числа с остатъка, разделянето на цели числа А и В е направено, като се различава от нула, на C и d. В този случай, А и В се наричат \u200b\u200bделима и разделител, а D е баланс остатъкът, С е цяло число или непълно частно.

Ако приемем, че остатъкът е не-отрицателен брой, тогава неговата стойност не е по-голяма от броя б. Пишем по този начин: 0 ≤ d ≤ b. Тази верига от неравенства се използва при сравняване на 3 и повече от броя на номерата.

Ако c е непълна частна, тогава D е остатъкът от разделянето на цяло число a per b, може да бъде фиксирано: A: B \u003d C (OST. D).

Остатъкът по време на разделянето на номерата А на Б е възможен нула, след което казват, че А е разделен на В фокус, т.е. без остатък. Разделянето без остатък се счита за специален случай на разделение.

Ако разделим нула за някакъв брой, получаваме в резултат на нула. Балансът също ще бъде нула. Това може да бъде проследено от теорията за разделяне на нула от цяло число.

Сега разгледайте значението на разделянето на цели числа с остатъка.

Известно е, че целият положителен брой са естествени, след това, когато се разделят с остатъка, той ще бъде същият смисъл, както в разделението на естествените числа с остатъка.

Когато се разделяте цялостно отрицателно число а, цялото положително b има значение. Помислете за примера. Представлявайки ситуацията, когато имаме дълг от обекти в количеството на, което трябва да платите Б. За да направите това, трябва да направите същия принос за всички. За да се определи размерът на дълга за всички, е необходимо да се обърне внимание на размера на личното. Остатъкът D казва, че редица елементи са известни след отказ от отговорност с дългове.

Помислете за примера с ябълки. Ако 2 души трябва да 7 ябълки. В случай, че се счита, че всеки трябва да се върне на 4 ябълки, след пълно изчисление, те ще останат 1 ябълка. Пишем под формата на равенство: (- 7): 2 \u003d - 4 (o с t. 1).

Разделянето на произволен номер и няма смисъл, но може би като опция.

Теорема за разделянето на цели числа с остатъка

Разкрихме, че A - това е делимо, тогава Б е разделител, с - непълен личен, и D е остатъкът. Те са свързани помежду си. Тази връзка ще покаже с помощта на равенство A \u003d B · C + d. Връзката между тях се характеризира с разделението на теоретия с остатъка.

Теорема

Всяко цяло число може да бъде представено само чрез цяло число и различно от нулевия номер b по този начин: a \u003d b · q + r, където q и r са някои цели числа. Тук имаме 0 ≤ R ≤ b.

Доказваме възможността за съществуване A \u003d B · Q + R.

Доказателства

Ако има две числа А и В, и А е разделен на B без остатък, след това от дефиницията следва да има номер Q, което ще бъде истинско равенство A \u003d B · Q. Тогава равенството може да се счита за вярно: a \u003d b · q + r с r \u003d 0.

След това е необходимо да се вземе Q така, че това неравенство b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Ние имаме, че стойността на експресията A - B · Q е по-голяма от нула и няма повече стойност на броя Б, от това следва, че R \u003d A - B · Q. Получаваме, че номерът a може да бъде представен като a \u003d b q + r.

Сега е необходимо да се обмисли възможността за представяне a \u003d b q + r за отрицателни стойности b.

Модулът на номера се получава положителен, след това получаваме a \u003d b · q 1 + r, където стойността q 1 е някакво цяло число, r е цяло число, което отговаря на състоянието 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Доказателство за уникалност

Да предположим, че a \u003d b q + r, q и r са цели числа с вярно състояние 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где Q 1. и R 1. са някои числа, където Q 1 ≠ q 0 ≤ R 1< b .

Когато неравенството се изважда от лявата и дясната част, тогава получаваме 0 \u003d b · (Q - Q 1) + R1, което е еквивалентно на R - R1 \u003d B · Q 1 - Q. Тъй като модулът се използва, ние получаваме равенство r - r 1 \u003d b · q 1 - Q.

Посоченото състояние предполага, че 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q.и Q 1.- цяло, и Q ≠ Q 1, след това q 1 - q ≥ 1. Оттук имаме това b q 1 - q ≥ b. Получени неравенства R - R 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

От това следва, че е представен различен номер А, освен като такъв запис A \u003d B · Q + R.

Комуникация между делима, разделител, непълна частна и остатъка

С помощта на равенството A \u003d B · C + D, неизвестното разделение може да бъде намерено, когато разделител В е известен с непълна частна С и остатъка d.

Пример 1.

Определете дивидими, ако се получи разделението - 21, непълна частна 5 и остатъка 12.

Решение

Необходимо е да се изчисли Delimi A с известния разделител B \u003d - 21, непълна частна C \u003d 5 и остатъка D \u003d 12. Необходимо е да се обърнете към равенството A \u003d B · C + D, получаваме a \u003d (- 21) · 5 + 12. Съгласно процедурата за извършване на действия, умножете - 21 до 5, след което получаваме (- 21) · 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93.

Отговор: - 93 .

Връзката между разделителя и непълната частна и остатъкът може да бъде експресирана чрез уравнения: b \u003d (А-d): С, С \u003d (А-d): В и D \u003d А - b · ° С. С тяхната помощ можем да изчислим разделителя, непълни частни и остатъци. Това се свежда до постоянното намиране на остатъка от разделянето на цели числа А на Б с известен делител, разделител и непълен личен. Прилага се формула D \u003d A - b · c. Разгледа подробно решението.

Пример 2.

Намерете остатъка от разделението на цяло число - 19 с цялото 3 с известен непълен личен, равен на 7.

Решение

За да изчислите остатъка от разделението, ние прилагаме формулата на формата D \u003d A - B · c. С условие, всички данни A \u003d - 19, B \u003d 3, C \u003d - 7 са на разположение. От тук получаваме d \u003d a - b · c \u003d - 19 - 3 · (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (разликата е 19 - (- 21). Този пример е изчислени според правилото за приспадане. Цялото отрицателно число.

Отговор: 2 .

Всички цели числа са естествени. От това следва, че разделението се извършва на всички правила за разделяне с остатъка от естествени числа. Степента на изпълнение на отдела с остатъка от естествени числа е важна, тъй като тя е основана не само на разделението на положителните, но и правилата за разделяне на цели произволни.

Най-удобният метод на разделение е колона, тъй като е по-лесна и по-бърза да се получи непълна или само частна с остатъка. По-подробно обмислете решението.

Пример 3.

Решение 14671-54.

Решение

Това разделение трябва да се извърши с колона:

Това означава, че непълното лично се получава равно на 271 и остатъкът е 37.

Отговор: 14 671: 54 \u003d 271. (OST. 37)

Правилото за разделяне с остатък от положителен брой адекватни примери

За да се разделят на остатъка от положителен брой за цялостно отрицателно, е необходимо да се формулира правило.

Определение 1.

Непълна частна от разделение на цялото положително а до цяло отрицателен б получават число, което е противоположно на непълно частно от разделяне на номерата на б. След това остатъкът е равен на остатъка при разделяне на b.

Оттук ще имаме, че непълно частно от разделение на един единствен номер за цял отрицателен брой се счита за цяло число, което не е умствено число.

Получаваме алгоритъма:

• разделете разделителния модул към разделителния модул, след това получаваме непълна частна и
• остатък;
• ние пишем броя, противоположен на полученото.

Помислете за примера на алгоритъма за разделяне на цяло положителен брой на цялото отрицателно.

Пример 4.

Извършете разделение с остатъка от 17 до 5.

Решение

Нанесете алгоритъм за разделяне с цялостен положителен брой цели отрицателни. Необходимо е да се раздели модул от 17 до 5. От тук ние получаваме, че непълната частна е 3, а остатъкът е 2.

Получаваме, че желаният номер от участък 17 до - 5 \u003d - 3 с остатъка е равен на 2.

Отговор: 17: (- 5) \u003d - 3 (OST. 2).

Пример 5.

Необходимо е да се разделят от 45 до 15.

Решение

Необходимо е да се разделят номерата по модула. Числото 45 е разделено на 15, ние ще получим частен 3 без остатък. Така че броят 45 е разделен на 15 без остатък. В отговор получаваме - 3, тъй като разделянето е извършено в модула.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Отговор: 45: (− 15) = − 3 .

Формулировката на правилата за разделяне с остатъка е следната.

Определение 2.

За да се получи непълна частна С при разделянето на цялостно отрицателно a на положителен б, трябва да приложите обратното на този номер и да извадите от него 1, след това остатъкът D ще бъде изчислен по формулата: D \u003d A - B · ° С.

Въз основа на правилото може да се заключи, че когато се разделят, ние получаваме неотрицателно число. За точността на разтвора, алгоритъмът на разделение А на Б се използва с остатъка:

• намерете раздели и разделителни модули;
• разделете модула;
• запишете обратното на този брой и извадете 1;
• използвайте формулата за остатъка D \u003d A - B · c.

Помислете за примера на решение, където се прилага този алгоритъм.

Пример 6.

Намерете непълна частна и баланса от дивизия - 17 до 5.

Решение

Разделяме посочените номера в модула. Получаваме това в разделянето на частното равни на 3 и останалата част 2. Тъй като имат 3, срещу - 3. Необходимо е да се отнеме 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Желаната стойност е 100-та равна на 4.

За да се изчисли остатъкът, е необходимо a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, след това d \u003d a - b · c \u003d - 17 - 5 · (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Така че, непълното частно от разделението е номерът - 4 с остатъка, равен на 3.

Отговор: (- 17): 5 \u003d - 4 (OST. 3).

Пример 7.

Разделете цялото отрицателно число - 1404 на положително 26.

Решение

Необходимо е да се раздели колоната и на много.

Получихме разделянето на модулите на числата без остатък. Това означава, че разделението се извършва без остатък, а художественият частен \u003d - 54.

Отговор: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Правилото за разделяне с остатъци от цели отрицателни числа, примери

Необходимо е да се формулира правило за разделяне с остатъка от цели отрицателни числа.

Определение 3.

За да се получи непълна част C от разделянето на цялото отрицателно число от а до цяло отрицателно b, е необходимо да се изчисли модулът в модула, след което да се добави 1, тогава можем да направим изчисления съгласно формулата D \u003d A - B · ° С.

Оттук следва, че непълното частно от разделение на цели отрицателни числа ще бъде номерът е положителен.

Ние формулираме това правило като алгоритъм:

• намерете раздели и разделителни модули;
• разделете модула Devier на разделителния модул, за да получите непълна частна с
• остатък;
• коригирани 1 до непълна частна;
• изчисляването на остатъка, на базата на формула D \u003d А - В · ° С.

Този алгоритъм ще разгледа примера.

Пример 8.

Намерете непълна частна и остатъка по време на дивизията - 17 до 5.

Решение

За правилността на решението прилагаме алгоритъм за разделяне с остатъка. Да започнете оттеглянето на номера в модула. От тук ние получаваме това непълно-лично \u003d 3, а остатъкът е 2. Според правилото е необходимо да се добави непълна частна и 1. Получаваме това 3 + 1 \u003d 4. От тук ние получаваме, че непълното частно от разделението на дадените номера е 4.

За да изчислите остатъка, ние прилагаме формулата. Чрез състояние, ние имаме това a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, след това, използвайки формулата, получаваме d \u003d a - b · c \u003d - 17 - (- 5) · 4 \u003d - 17 - ( - 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Желаният отговор, който е, остатъкът е 3 и непълният лист е 4.

Отговор: (- 17): (- 5) \u003d 4 (OST. 3).

Проверете резултата от разделянето на цели числа с остатъка

След като направите разделението на номерата с остатъка, трябва да проверите. Тази проверка предполага 2 етапа. Първоначално има проверка на остатъка D към негативността, работата на състоянието 0 ≤ D< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Помислете за примерите.

Пример 9.

Разделянето е произведено - 521 на 12. Частно равнище, равно на 44, остатък 7. Извършване на проверка.

Решение

Тъй като остатъкът е положителен брой, тогава стойността му е по-малка от модула на дивизора. Разделителят е равен на 12, това означава, че неговият модул е \u200b\u200b12. Можете да преминете към следващия елемент за проверка.

Чрез условие, ние имаме това a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. От тук изчисляваме b · c + d, където b · c + d \u003d - 12 · 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. От това следва, че равенството е правилно. Проверката се предава.

Пример 10.

Проверете разделението (- 17): 5 \u003d - 3 (OST. - 2). Е равенство вярно?

Решение

Значението на първия етап е, че е необходимо да се провери разделението на цели числа с остатъка. Може да се види, че действието е направено неправилно, тъй като остатъкът е равен на 2. Остатъкът не е отрицателно число.

Имаме, че второто условие е направено, но не е достатъчно за този случай.

Отговор: не.

Пример 11.

Номерът - 19 е разделен на 3. Непълна частна равна на 7 и остатъка 1. Проверете дали това изчисление е вярно.

Решение

Дан остатък, равен на 1. Той е положителен. По големина по-малко от разделителния модул, това означава, че първият етап се извършва. Нека се обърнем към втория етап.

Изчислете стойността на експресията B · C + D. Чрез условие, ние имаме това b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, това означава, че замествайки цифровите стойности, получаваме b · c + d \u003d - 3,7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. От това следва, че A \u003d B · C + D не се извършва, тъй като условието е дадено a \u003d - 19.

Оттук и заключението, че разделението е направено с грешка.

Отговор: не.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter