Теорема на Гаус за електрическа индукция. Теорема на Гаус

Когато има много заряди, възникват някои трудности при изчисляването на полетата.

Теоремата на Гаус помага за преодоляването им. същност Теореми на Гауссе свежда до следното: ако произволен брой заряди е мислено заобиколен от затворена повърхност S, тогава потокът на напрегнатост на електрическото поле през елементарната област dS може да се запише като dФ = Есоsα۰dS, където α е ъгълът между нормалата към равнината и вектор на интензитета . (фиг.12.7)

Общият поток през цялата повърхност ще бъде равен на сумата от потоците от всички заряди, произволно разпределени вътре в нея и пропорционални на стойността на този заряд

(12.9)

Нека определим потока на вектора на опън през сферична повърхност с радиус r, в центъра на която има точков заряд +q (фиг. 12.8). Линиите на опън са перпендикулярни на повърхността на сферата, α = 0, следователно сosα = 1. Тогава

Ако полето е образувано от система от заряди, тогава

Теорема на Гаус: потокът на вектора на напрегнатост на електростатичното поле във вакуум през всяка затворена повърхност е равен на алгебричната сума на зарядите, затворени вътре в тази повърхност, разделена на електрическата константа.

(12.10)

Ако вътре в сферата няма заряди, тогава Ф = 0.

Теоремата на Гаус прави относително лесно изчисляването на електрически полета за симетрично разпределени заряди.

Нека въведем концепцията за плътността на разпределените заряди.

Линейната плътност се означава с τ и характеризира заряда q на единица дължина ℓ. Като цяло може да се изчисли по формулата

(12.11)

При равномерно разпределение на зарядите линейната плътност е равна на

Повърхностната плътност се обозначава със σ и характеризира заряда q на единица площ S. Най-общо тя се определя по формулата

(12.12)

При равномерно разпределение на зарядите по повърхността, повърхностната плътност е равна на

Обемната плътност, означена с ρ, характеризира заряда q на единица обем V. Най-общо се определя по формулата

(12.13)

При равномерно разпределение на зарядите тя е равна на
.

Тъй като зарядът q е равномерно разпределен върху сферата, тогава

σ = const. Нека приложим теоремата на Гаус. Нека начертаем сфера с радиус през точка A. Потокът на вектора на интензитета на фиг. 12.9 през сферичната повърхност на радиуса е cosα = 1, тъй като α = 0. Според теоремата на Гаус,
.

или

(12.14)

От израза (12.14) следва, че напрегнатостта на полето извън заредената сфера е същата като напрегнатостта на полето на точков заряд, поставен в центъра на сферата. На повърхността на сферата, т.е. r 1 \u003d r 0, напрежение
.

Вътре в сферата r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Цилиндър с радиус r 0 е равномерно зареден с повърхностна плътност σ (фиг. 12.10). Нека определим напрегнатостта на полето в произволно избрана точка A. Нека начертаем въображаема цилиндрична повърхност с радиус R и дължина ℓ през точка A. Поради симетрията потокът ще излезе само през страничните повърхности на цилиндъра, тъй като зарядите върху цилиндъра с радиус r 0 са равномерно разпределени по повърхността му, т.е. линиите на напрежение ще бъдат радиални прави линии, перпендикулярни на страничните повърхности на двата цилиндъра. Тъй като потокът през основата на цилиндрите е нула (cos α = 0), а страничната повърхност на цилиндъра е перпендикулярна на силовите линии (cos α = 1), тогава

или

(12.15)

Изразяваме стойността на E чрез σ - повърхностна плътност. A-приори,

следователно,

Заместете стойността на q във формулата (12.15)

(12.16)

По дефиницията на плътността на линиите,
, където
; заместваме този израз във формулата (12.16):

(12.17)

тези. напрегнатостта на полето, генерирана от безкрайно дълъг зареден цилиндър, е пропорционална на линейната плътност на заряда и обратно пропорционална на разстоянието.

Интензитетът на полето, създадено от безкрайна равномерно заредена равнина

Нека определим силата на полето, създадено от безкрайна равномерно заредена равнина в точка А. Нека повърхностната плътност на заряда на равнината е σ. Като затворена повърхност е удобно да изберете цилиндър, чиято ос е перпендикулярна на равнината, а дясната основа съдържа точка А. Равнината разделя цилиндъра наполовина. Очевидно е, че силовите линии са перпендикулярни на равнината и успоредни на страничната повърхност на цилиндъра, така че целият поток преминава само през основите на цилиндъра. И на двете бази силата на полето е еднаква, т.к. точки A и B са симетрични спрямо равнината. Тогава потокът през основите на цилиндъра е

Според теоремата на Гаус,

защото
, Че
, където

(12.18)

По този начин силата на полето на безкрайно заредена равнина е пропорционална на повърхностната плътност на заряда и не зависи от разстоянието до равнината. Следователно полето на равнината е хомогенно.

Интензитетът на полето, създадено от две противоположно еднакво заредени успоредни равнини

Полученото поле, създадено от две равнини, се определя от принципа на суперпозицията на полето:
(фиг.12.12). Полето, създадено от всяка равнина, е хомогенно, силите на тези полета са еднакви по абсолютна стойност, но противоположни по посока:
. Според принципа на суперпозицията силата на общото поле извън равнината е нула:

Между равнините напрегнатостта на полето има еднакви посоки, така че получената сила е равна на

По този начин полето между две противоположно еднакво заредени равнини е еднакво и силата му е два пъти по-голяма от силата на полето, създадено от една равнина. Отляво и отдясно на самолетите няма поле. Полето на крайните равнини има същата форма, изкривяването се появява само в близост до техните граници. Използвайки получената формула, можете да изчислите полето между плочите на плосък кондензатор.

Теорема на Гаус за електрическа индукция (електрическо изместване)[

За поле в диелектрична среда електростатичната теорема на Гаус може да бъде написана по друг начин (алтернативно) - чрез потока на вектора на електрическото изместване (електрическа индукция). В този случай формулировката на теоремата е следната: потокът на вектора на електрическото изместване през затворена повърхност е пропорционален на свободния електрически заряд вътре в тази повърхност:

В диференциална форма:

Теорема на Гаус за магнитна индукция

Потокът на вектора на магнитната индукция през всяка затворена повърхност е нула:

или в диференциална форма

Това е еквивалентно на факта, че в природата няма "магнитни заряди" (монополи), които биха създали магнитно поле, както електрическите заряди създават електрическо поле. С други думи, теоремата на Гаус за магнитната индукция показва, че магнитното поле е (напълно) вихрово.

Теорема на Гаус за Нютоновата гравитация

За силата на полето на нютоновата гравитация (ускорение на свободното падане) теоремата на Гаус практически съвпада с тази в електростатиката, с изключение на константите (те обаче все още зависят от произволен избор на системата от единици) и, най-важното, знака :

Където ж- интензитет на гравитационното поле, М- гравитационен заряд (т.е. маса) вътре в повърхността С, ρ - плътност на масата, Же Нютоновата константа.

проводници в електрическо поле. Полето вътре в проводника и на неговата повърхност.

Проводниците са тела, през които електрическите заряди преминават от заредено тяло към незаредено.Способността на проводниците да пропускат електрически заряди през тях се обяснява с наличието на свободни носители на заряд в тях. Проводници - метални тела в твърдо и течно състояние, течни разтвори на електролити. Свободните заряди на проводник, въведен в електрическо поле, започват да се движат под неговото действие. Преразпределението на зарядите предизвиква промяна в електрическото поле. Когато напрегнатостта на електрическото поле в проводника стане нула, електроните спират да се движат. Феноменът на разделяне на противоположни заряди в проводник, поставен в електрическо поле, се нарича електростатична индукция. Вътре в проводника няма електрическо поле. Това се използва за електростатична защита - защита с метални проводници от електрическо поле. Повърхността на проводящо тяло с произволна форма в електрическо поле е еквипотенциална повърхност.

Кондензатори

За да получат устройства, които при малък потенциал спрямо средата биха натрупали върху себе си (кондензирали) заряди със забележима величина, те използват факта, че електрическият капацитет на проводника се увеличава, когато други тела се приближават към него. Наистина, под действието на поле, създадено от заредени проводници, индуцирани (върху проводник) или свързани (върху диелектрик) заряди се появяват върху тяло, доведено до него (фиг. 15.5). Зарядите, които са противоположни по знак на заряда на проводника q, са разположени по-близо до проводника от тези със същото име с q и следователно имат голямо влияние върху неговия потенциал.

Следователно, когато тялото се приближи до зареден проводник, силата на полето намалява и следователно потенциалът на проводника намалява. Според уравнението това означава увеличаване на капацитета на проводника.

Кондензаторът се състои от два проводника (плочи) (фиг. 15.6), разделени от диелектричен слой. Когато определена потенциална разлика се приложи към проводник, неговите плочи се зареждат с равни заряди с противоположен знак. Електрическият капацитет на кондензатор се разбира като физическо количество, пропорционално на заряда q и обратно пропорционално на потенциалната разлика между плочите

Нека определим капацитета на плосък кондензатор.

Ако площта на плочата е S и зарядът върху нея е q, тогава силата на полето между плочите

От друга страна, потенциалната разлика между плочите откъде

Енергията на система от точкови заряди, зареден проводник и кондензатор.

Всяка система от заряди има някаква потенциална енергия на взаимодействие, която е равна на работата, изразходвана за създаването на тази система. Енергия на система от точкови заряди р 1 , р 2 , р 3 ,… р нсе определя, както следва:

Където φ 1 - потенциалът на електрическото поле, създадено от всички заряди, с изключение на р 1 в точката, където е зарядът р 1 и т.н. Ако конфигурацията на системата от заряди се промени, тогава енергията на системата също се променя. За да промените конфигурацията на системата, трябва да се работи.

Потенциалната енергия на система от точкови заряди може да се изчисли по друг начин. Потенциална енергия на два точкови заряда р 1 , р 2 на разстояние едно от друго е равно. Ако има няколко заряда, тогава потенциалната енергия на тази система от заряди може да се определи като сумата от потенциалните енергии на всички двойки заряди, които могат да бъдат събрани за тази система. И така, за система от три положителни заряда, енергията на системата е равна на

Енергия на зареден самотен проводник и кондензатор

Ако самотен проводник има заряд q, то около него има електрическо поле, чийто потенциал на повърхността на проводника е , а капацитетът е C. Нека увеличим заряда с dq. При прехвърляне на заряд dq от безкрайност, работата е равна на . Но потенциалът на електростатичното поле на даден проводник в безкрайност е равен на нула. Тогава

Когато зарядът dq се прехвърля от проводника към безкрайността, същата работа се извършва от силите на електростатичното поле. Следователно, с увеличаване на заряда на проводника с dq, потенциалната енергия на полето се увеличава, т.е.

Интегрирайки този израз, намираме потенциалната енергия на електростатичното поле на зареден проводник, когато неговият заряд нараства от нула до q:

Прилагайки съотношението , могат да се получат следните изрази за потенциалната енергия W:

Следователно за зареден кондензатор потенциалната разлика (напрежение) е равна на съотношението за общата енергия на неговото електростатично поле, което има формата

Най-трудно е изследването на електрически явления в нехомогенна електрическа среда. В такава среда ε има различни стойности, променящи се рязко на границата на диелектриците. Да предположим, че определяме напрегнатостта на полето на границата между две среди: ε 1 =1 (вакуум или въздух) и ε 2 =3 (течност - масло). На границата, по време на прехода от вакуум към диелектрик, напрегнатостта на полето намалява с коефициент три, а потокът на вектора на якост намалява със същото количество (фиг. 12.25, а). Рязката промяна на вектора на напрегнатостта на електростатичното поле на границата между две среди създава известни трудности при изчисляването на полетата. Що се отнася до теоремата на Гаус, при тези условия тя като цяло губи смисъла си.

Тъй като поляризуемостта и интензитетът на различни диелектрици са различни, броят на линиите на полето във всеки диелектрик също ще бъде различен. Тази трудност може да бъде елиминирана чрез въвеждане на нова физическа характеристика на полето, електрическата индукция D (или вектора електрическо изместване ).

Според формулата

ε 1 E 1 \u003d ε 2 E 2 \u003d E 0 \u003d const

Умножавайки всички части на тези равенства по електрическата константа ε 0, получаваме

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 = const

Нека въведем обозначението ε 0 εЕ=D тогава предпоследната връзка ще приеме вида

D 1 = D 2 = D 0 = конст

Векторът D, равен на произведението на напрегнатостта на електрическото поле в диелектрика и неговата абсолютна диелектрична проницаемост, се наричавектор на електрическо изместване

(12.45)

Единицата за електрическо изместване е висулка на квадратен метър(C/m 2).

Електрическото изместване е векторна величина, може да се изрази и като

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

За разлика от напрежението E, електрическото изместване D е постоянно във всички диелектрици (фиг. 12.25, b). Следователно е удобно да се характеризира електрическото поле в нехомогенна диелектрична среда не чрез интензитета E, а чрез вектора на изместване D. Векторът D описва електростатичното поле, създадено от свободни заряди (т.е. във вакуум), но с такова разпределение в пространството, както в присъствието на диелектрик, тъй като свързаните заряди, възникващи в диелектриците, могат да причинят преразпределение на свободните заряди, създавайки поле .

Векторно поле се представя графично чрез линии на електрическо изместване по същия начин като полето представени чрез силови линии.

Линия на електрическо изместване са линии, чиито допирателни във всяка точка съвпадат по посока с вектора на електрическото изместване.

Правите на вектора E могат да започват и завършват на всякакви заряди - свободни и свързани, докато линиите на векторад- само при безплатни такси. Векторни линиидза разлика от линиите на напрежение са непрекъснати.

Тъй като векторът на електрическото изместване не изпитва прекъсване на интерфейса между две среди, всички линии на индукция, идващи от заряди, заобиколени от някаква затворена повърхност, ще проникнат през него. Следователно за вектора на електрическото изместване теоремата на Гаус напълно запазва значението си за нехомогенна диелектрична среда.

Теорема на Гаус за електростатично поле в диелектрик : потокът на вектора на електрическото изместване през произволна затворена повърхност е равен на алгебричната сума на зарядите, затворени вътре в тази повърхност.

(12.47)

Цел на урока: Теоремата на Остроградски–Гаус е създадена от руския математик и механик Михаил Василиевич Остроградски под формата на обща математическа теорема и от немския математик Карл Фридрих Гаус. Тази теорема може да се използва при изучаване на физика на ниво профил, тъй като позволява по-рационални изчисления на електрическите полета.

За да се изведе теоремата на Остроградски-Гаус, е необходимо да се въведат такива важни спомагателни понятия като вектора на електрическата индукция и потока на този вектор Ф.

Известно е, че електростатичното поле често се изобразява чрез силови линии. Да предположим, че определяме напрежението в точка, разположена на границата между две среди: въздух (=1) и вода (=81). В този момент, при преминаване от въздух към вода, силата на електрическото поле според формулата ще намалее с 81 пъти. Ако пренебрегнем проводимостта на водата, тогава броят на силовите линии ще намалее със същия фактор. При решаването на различни задачи за изчисляване на полета се създават определени неудобства поради прекъсването на вектора на якост на границата между средата и диелектриците. За да ги избегнете, се въвежда нов вектор, който се нарича вектор на електрическа индукция:

Векторът на електрическата индукция е равен на произведението на вектора и електрическата константа и диелектричната проницаемост на средата в дадена точка.

Очевидно при преминаване през границата на два диелектрика броят на електрическите индукционни линии не се променя за полето на точковия заряд (1).

В системата SI векторът на електрическата индукция се измерва в кулони на квадратен метър (C / m 2). Изразът (1) показва, че числовата стойност на вектора не зависи от свойствата на средата. Графично векторното поле се изобразява подобно на полето на напрежение (например за точков заряд вижте фиг. 1). За векторно поле се прилага принципът на суперпозиция:

Електрически индукционен поток

Векторът на електрическата индукция характеризира електрическото поле във всяка точка на пространството. Може да се въведе още едно количество, в зависимост от стойностите на вектора не в една точка, а във всички точки на повърхността, ограничена от плосък затворен контур.

За да направите това, разгледайте плосък затворен проводник (верига) с повърхност S, поставен в еднородно електрическо поле. Нормалната към равнината на проводника сключва ъгъл с посоката на вектора на електрическата индукция (фиг. 2).

Потокът на електрическа индукция през повърхността S се нарича стойност, равна на произведението на модула на вектора на индукция и площта S и косинуса на ъгъла между вектора и нормалата:

Тази теорема ви позволява да намерите потока на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност, вътре в която има електрически заряди.

Нека първо един точков заряд q бъде поставен в центъра на сфера с произволен радиус r 1 (фиг. 3). Тогава ; . Нека изчислим общия индукционен поток, преминаващ през цялата повърхност на тази сфера: ; (). Ако вземем сфера с радиус , тогава също Ф = q. Ако начертаем сфера, която не обхваща заряда q, тогава общият поток Ф \u003d 0 (тъй като всяка линия ще влезе в повърхността, а друг път ще я напусне).

Така Ф = q, ако зарядът е разположен вътре в затворената повърхност и Ф = 0, ако зарядът е разположен извън затворената повърхност. Потокът F не зависи от формата на повърхността. Освен това не зависи от разположението на зарядите вътре в повърхността. Това означава, че полученият резултат е валиден не само за един заряд, но и за произволен брой произволно разположени заряди, ако под q разбираме само алгебричната сума на всички заряди, разположени вътре в повърхността.

Теорема на Гаус: потокът на електрическа индукция през всяка затворена повърхност е равен на алгебричната сума на всички заряди вътре в повърхността: .

От формулата се вижда, че размерът на електрическия поток е същият като този на електрическия заряд. Следователно единицата за потока на електрическата индукция е висулката (C).

Забележка: ако полето е нехомогенно и повърхността, през която се определя потокът, не е равнина, тогава тази повърхност може да бъде разделена на безкрайно малки елементи ds и всеки елемент може да се счита за плосък, а полето в близост до него е хомогенно. Следователно, за всяко електрическо поле, потокът на вектора на електрическата индукция през повърхностния елемент е: dФ=. В резултат на интегрирането общият поток през затворена повърхност S във всяко нехомогенно електрическо поле е равен на: , където q е алгебричната сума на всички заряди, заобиколени от затворена повърхност S. Изразяваме последното уравнение по отношение на напрегнатостта на електрическото поле (за вакуум): .

Това е едно от основните уравнения на Максуел за електромагнитното поле, записано в интегрална форма. Той показва, че източник на постоянно електрическо поле във времето са неподвижни електрически заряди.

Нека сега определим, използвайки теоремата на Остроградски-Гаус, силата на полето за редица случаи.

1. Електрическо поле на равномерно заредена сферична повърхност.

Сфера с радиус R. Нека зарядът +q е равномерно разпределен върху сферична повърхност с радиус R. Разпределението на заряда върху повърхността се характеризира с плътността на повърхностния заряд (фиг. 4). Плътността на повърхностния заряд е съотношението на заряда към повърхността, върху която е разпределен. . В SI.

Да определим силата на полето:

а) извън сферичната повърхност,
б) вътре в сферична повърхност.

а) Да вземем точката А, която е на разстояние r>R от центъра на заредената сферична повърхност. Нека начертаем през нея сферична повърхност S с радиус r, имаща общ център със заредена сферична повърхност. От съображения за симетрия е очевидно, че силовите линии са радиални прави линии, перпендикулярни на повърхността S и равномерно проникват в тази повърхност, т.е. напрежението във всички точки на тази повърхност е постоянно по величина. Нека приложим теоремата на Остроградски-Гаус към тази сферична повърхност S с радиус r. Значи общият поток през сферата е N = E? С; N=E. От друга страна . Приравнете: . Следователно: за r>R.

По този начин: напрежението, създадено от равномерно заредена сферична повърхност извън нея, е същото, както ако целият заряд е в центъра (фиг. 5).

б) Да намерим напрегнатостта на полето в точките, разположени вътре в заредената сферична повърхност. Нека вземем точка В, отделена от центъра на сферата на разстояние . Тогава E = 0 за r

2. Напрегнатост на полето на равномерно заредена безкрайна равнина

Помислете за електрическото поле, създадено от безкрайна равнина, заредена с константа на плътност във всички точки на равнината. От съображения за симетрия можем да приемем, че линиите на опън са перпендикулярни на равнината и насочени от нея в двете посоки (фиг. 6).

Избираме точка А, разположена вдясно от равнината, и изчисляваме в тази точка, използвайки теоремата на Остроградски-Гаус. Като затворена повърхност избираме цилиндрична повърхност, така че страничната повърхност на цилиндъра да е успоредна на силовите линии, а основите и са успоредни на равнината, а основата минава през точка А (фиг. 7). Нека изчислим потока на опън през разглежданата цилиндрична повърхност. Потокът през страничната повърхност е 0, т.к линиите на опън са успоредни на страничната повърхност. Тогава общият поток е сумата от потоците и преминаващи през основите на цилиндъра и . И двата потока са положителни =+; =; =; ==; N=2.

- сечение от равнината, разположено вътре в избраната цилиндрична повърхност. Зарядът вътре в тази повърхност е q.

Тогава ; - може да се приеме като точков заряд) с точка А. За да се намери общото поле, е необходимо да се съберат геометрично всички полета, създадени от всеки елемент: ; .

Обща формулировка: Потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през всяка произволно избрана затворена повърхност е пропорционален на електрическия заряд, затворен вътре в тази повърхност.

В системата GSSE:

В системата SI:

е потокът на вектора на напрегнатостта на електрическото поле през затворена повърхност.

е общият заряд, съдържащ се в обема, който ограничава повърхността.

е електрическата константа.

Този израз е теоремата на Гаус в интегрална форма.

В диференциална форма теоремата на Гаус съответства на едно от уравненията на Максуел и се изразява по следния начин

в системата SI:

,

в системата GSSE:

Тук е обемната плътност на заряда (в случай на наличие на среда, общата плътност на свободните и свързаните заряди) и е операторът nabla.

За теоремата на Гаус е валиден принципът на суперпозицията, т.е. потокът на вектора на напрежението през повърхността не зависи от разпределението на заряда вътре в повърхността.

Физическата основа на теоремата на Гаус е законът на Кулон или иначе теоремата на Гаус е интегрална формулировка на закона на Кулон.

Теорема на Гаус за електрическа индукция (електрическо изместване).

За поле в веществото електростатичната теорема на Гаус може да се напише и по друг начин - чрез потока на вектора на електрическото изместване (електрическа индукция). В този случай формулировката на теоремата е следната: потокът на вектора на електрическото изместване през затворена повърхност е пропорционален на свободния електрически заряд вътре в тази повърхност:

Ако разгледаме теоремата за силата на полето в веществото, тогава като заряд Q е необходимо да вземем сумата от свободния заряд, разположен вътре в повърхността, и поляризационния (индуциран, свързан) заряд на диелектрика:

,

Където ,
е векторът на диелектричната поляризация.

Теорема на Гаус за магнитна индукция

Потокът на вектора на магнитната индукция през всяка затворена повърхност е нула:

.

Това е еквивалентно на факта, че в природата няма "магнитни заряди" (монополи), които биха създали магнитно поле, както електрическите заряди създават електрическо поле. С други думи, теоремата на Гаус за магнитната индукция показва, че магнитното поле е вихрово.

Приложение на теоремата на Гаус

За изчисляване на електромагнитните полета се използват следните величини:

Обемна плътност на заряда (виж по-горе).

Плътност на повърхностния заряд

където dS е безкрайно малка площ от повърхността.

Линейна плътност на заряда

където dl е дължината на безкрайно малък сегмент.

Помислете за полето, създадено от безкрайна хомогенна заредена равнина. Нека повърхностната плътност на заряда на равнината е еднаква и равна на σ. Представете си мислено цилиндър с генератори, перпендикулярни на равнината, и основа ΔS, разположена симетрично спрямо равнината. Заради симетрията. Векторният поток на интензитета е равен на . Прилагайки теоремата на Гаус, получаваме:

,

от кое

в системата GSSE

Важно е да се отбележи, че въпреки своята универсалност и обобщеност, теоремата на Гаус в интегрална форма има относително ограничено приложение поради неудобството при изчисляване на интеграла. Въпреки това, в случай на симетричен проблем, неговото решение става много по-просто от използването на принципа на суперпозицията.