Уравнения на права линия в пространството. Права

ЪГЪЛ МЕЖДУ РАВНОСТИТЕ

Нека разгледаме две равнини α 1 и α 2, дадени съответно от уравненията:

Под ъгълмежду две равнини имаме предвид един от двустенните ъгли, образувани от тези равнини. Очевидно е, че ъгълът между нормалните вектори и равнините α 1 и α 2 е равен на един от посочените съседни двустенни ъгли или . Ето защо . защото И , Че

.

Пример.Определете ъгъла между равнините х+2г-3z+4=0 и 2 х+3г+z+8=0.

Условие за успоредност на две равнини.

Две равнини α 1 и α 2 са успоредни тогава и само ако техните нормални вектори и са успоредни, и следователно .

И така, две равнини са успоредни една на друга тогава и само ако коефициентите при съответните координати са пропорционални:

или

Условие за перпендикулярност на равнините.

Ясно е, че две равнини са перпендикулярни тогава и само ако техните нормални вектори са перпендикулярни и следователно, или .

По този начин, .

Примери.

ДИРЕКТНО В ПРОСТРАНСТВОТО.

ВЕКТОРНО УРАВНЕНИЕ ДИРЕКТНО.

ПАРАМЕТРИЧНИ УРАВНЕНИЯ ДИРЕКТ

Позицията на права линия в пространството се определя напълно чрез определяне на която и да е от нейните фиксирани точки М 1 и вектор, успореден на тази права.

Вектор, успореден на права линия, се нарича насочваневекторът на тази линия.

Така че нека направо лминава през точка М 1 (х 1 , г 1 , z 1), лежащ на права линия, успоредна на вектора .

Да разгледаме произволна точка M(x,y,z)на права линия. От фигурата се вижда, че .

Векторите и са колинеарни, така че има такова число T, какво , къде е множителят Tможе да приеме произволна цифрова стойност в зависимост от позицията на точката Мна права линия. Фактор Tсе нарича параметър. Означаване на радиус векторите на точките М 1 и Мсъответно, чрез и , получаваме . Това уравнение се нарича векторуравнение на права линия. Той показва, че стойността на всеки параметър Tсъответства на радиус вектора на някаква точка Млежащ на права линия.

Записваме това уравнение в координатна форма. Забележи това , и от тук

Получените уравнения се наричат параметриченуравнения на прави линии.

При промяна на параметъра Tпромяна на координатите х, гИ zи точка Мсе движи по права линия.

КАНОНИЧНИ УРАВНЕНИЯ ДИРЕКТНО

Позволявам М 1 (х 1 , г 1 , z 1) - точка, лежаща на права линия л, И е неговият вектор на посоката. Отново вземете произволна точка на права линия M(x,y,z)и разгледайте вектора.

Ясно е, че векторите и са колинеарни, така че съответните им координати трябва да бъдат пропорционални, следователно

– канониченуравнения на прави линии.

Забележка 1.Обърнете внимание, че каноничните уравнения на линията могат да бъдат получени от параметричните уравнения чрез елиминиране на параметъра T. Наистина, от параметричните уравнения, които получаваме или .

Пример.Напишете уравнението на права линия по параметричен начин.

Обозначете , следователно х = 2 + 3T, г = –1 + 2T, z = 1 –T.

Забележка 2.Нека линията е перпендикулярна на една от координатните оси, например оста вол. Тогава векторът на посоката на правата е перпендикулярен вол, следователно, м=0. Следователно параметричните уравнения на правата приемат формата

Елиминиране на параметъра от уравненията T, получаваме уравненията на правата във формата

Но и в този случай се съгласяваме да напишем официално каноничните уравнения на правата във формата . Така, ако знаменателят на една от дробите е нула, това означава, че правата е перпендикулярна на съответната координатна ос.

По същия начин, каноничните уравнения съответства на права линия, перпендикулярна на осите волИ Ойили успоредна ос Оз.

Примери.

ОБЩИ УРАВНЕНИЯ ПРАВА ЛИНИЯ КАТО ПРЕСЪЧВАЩА ЛИНИЯ НА ДВЕ РАВНИНИ

През всяка права линия в пространството минава безкраен брой равнини. Всякакви две от тях, пресичащи се, го определят в пространството. Следователно уравненията на всеки две такива равнини, разглеждани заедно, са уравненията на тази права.

Като цяло, всеки две неуспоредни равнини, дадени от общите уравнения

определят линията им на пресичане. Тези уравнения се наричат общи уравненияправ.

Примери.

Построете права линия, дадена с уравнения

За да се построи права, е достатъчно да се намерят произволни две нейни точки. Най-лесният начин е да изберете точките на пресичане на правата с координатните равнини. Например точката на пресичане с равнината xOyполучаваме от уравненията на права линия, като приемем z= 0:

Решавайки тази система, намираме точката М 1 (1;2;0).

По същия начин, ако приемем г= 0, получаваме пресечната точка на правата с равнината xOz:

От общите уравнения на права линия може да се премине към нейните канонични или параметрични уравнения. За да направите това, трябва да намерите някаква точка М 1 върху правата и вектора на посоката на правата.

Координати на точки М 1 получаваме от тази система от уравнения, давайки на една от координатите произволна стойност. За да намерите вектора на посоката, имайте предвид, че този вектор трябва да е перпендикулярен и на двата нормални вектора И . Следователно за вектора на посоката на правата линия лможете да вземете кръстосаното произведение на нормалните вектори:

.

Пример.Дайте общите уравнения на правата линия към каноничната форма.

Намерете точка на права линия. За да направите това, избираме произволно една от координатите, например г= 0 и решете системата от уравнения:

Нормалните вектори на равнините, определящи правата, имат координати Следователно векторът на посоката ще бъде прав

. следователно л: .

ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРАВИТЕ

ъгълмежду прави линии в пространството ще наречем всеки от съседните ъгли, образувани от две прави линии, прекарани през произволна точка, успоредна на данните.

Нека в пространството са дадени две прави линии:

Очевидно ъгълът φ между линиите може да се приеме като ъгъл между техните насочващи вектори и . Тъй като , то според формулата за косинус на ъгъла между векторите получаваме

Нека разгледаме примерно решение.

Пример.

Намерете координатите на всяка точка на права линия, дадена в пространството от уравненията на две пресичащи се равнини .

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в следния вид

Като базисен минор на основната матрица на системата вземаме ненулевия минор от втори ред , тоест z е свободна неизвестна променлива. Нека прехвърлим членовете, съдържащи z, в десните части на уравненията: .

Нека приемем , където е произволно реално число, тогава .

Нека решим получената система от уравнения:

Така общото решение на системата от уравнения има формата , където .

Ако вземем конкретна стойност на параметъра, тогава ще получим конкретно решение на системата от уравнения, което ни дава желаните координати на точка, лежаща на дадена права линия. Да го вземем тогава , следователно е желаната точка от правата.

Можете да проверите намерените координати на точката, като ги замените в оригиналните уравнения на две пресичащи се равнини:

Отговор:

Насочващият вектор на правата, по която се пресичат двете равнини.

В правоъгълна координатна система векторът на посоката на правата е неделим от правата линия. Когато правата a в правоъгълна координатна система в тримерното пространство е дадена от уравненията на две пресичащи се равнини и , тогава координатите на насочващия вектор на правата не се виждат. Сега ще покажем как да ги определим.

Знаем, че една права е перпендикулярна на равнина, когато е перпендикулярна на която и да е права в тази равнина. Тогава нормалният вектор на равнината е перпендикулярен на всеки ненулев вектор, лежащ в тази равнина. Ще използваме тези факти, когато намираме насочващия вектор на правата.

Правата a лежи едновременно в равнината и в равнината. Следователно насочващият вектор на правата a също е перпендикулярен на нормалния вектор равнина и нормален вектор самолети. Така насочващият вектор на правата a е И :

Наборът от всички насочващи вектори на правата линия и можем да зададем като , където е параметър, който приема реална стойност, различна от нула.

Пример.

Намерете координатите на който и да е насочващ вектор на линия, дадена в правоъгълната координатна система Oxyz в 3D пространство чрез уравненията на две пресичащи се равнини .

Решение.

Нормалните вектори на равнините и са векторите И съответно. Насочващият вектор на правата линия, която е пресечната точка на две дадени равнини, ще вземем векторния продукт на нормалните вектори:

Отговор:

Преход към параметрични и канонични уравнения на права линия в пространството.

Има случаи, в които използването на уравненията на две пресичащи се равнини за описване на права линия не е много удобно. Някои проблеми са по-лесни за решаване, ако каноничните уравнения на права линия в пространството са под формата или параметрични уравнения на права линия в пространството на формата , където x 1 , y 1 , z 1 са координатите на някаква точка от правата, a x , a y , a z са координатите на насочващия вектор на правата и е параметър, който приема произволни реални стойности. Нека опишем процеса на преход от преките уравнения на формата към канонични и параметрични уравнения на права линия в пространството.

В предишните параграфи научихме как да намираме координатите на определена точка на права линия, както и координатите на някакъв насочващ вектор на права линия, който се дава от уравненията на две пресичащи се равнини. Тези данни са достатъчни, за да се напишат както каноничните, така и параметричните уравнения на тази права в правоъгълна координатна система в пространството.

Разгледайте решението на примера и след това ще покажем друг начин за намиране на каноничните и параметричните уравнения на права линия в пространството.

Пример.

Решение.

Нека първо изчислим координатите на насочващия вектор на правата. За да направим това, намираме векторното произведение на нормалните вектори И самолети И :

Това е, .

Сега нека определим координатите на някоя точка от дадената права. За да направим това, намираме едно от решенията на системата от уравнения .

Определящо е различно от нула, ние го приемаме като базисен минор на основната матрица на системата. Тогава променливата z е свободна, ние прехвърляме членовете с нея в дясната страна на уравненията и даваме на променливата z произволна стойност:

Решаваме получената система от уравнения по метода на Крамер:

следователно

Приемаме , докато получаваме координатите на точката на правата линия: .

Сега можем да напишем необходимите канонични и параметрични уравнения на оригиналната линия в пространството:

Отговор:

И

Ето втория начин за решаване на този проблем.

Когато намираме координатите на определена точка на права линия, решаваме системата от уравнения . Най-общо неговите решения могат да бъдат записани като .

И това са само желаните параметрични уравнения на права линия в пространството. Ако всяко от получените уравнения се разреши по отношение на параметъра и след това десните части на равенствата се приравнят, тогава получаваме каноничните уравнения на правата линия в пространството

Нека покажем решението на предишната задача по този метод.

Пример.

Правата линия в триизмерното пространство се дава от уравненията на две пресичащи се равнини . Напишете каноничните и параметричните уравнения на тази линия.

Решение.

Решаваме тази система от две уравнения с три неизвестни (решението е дадено в предишния пример, няма да го повтаряме). В същото време получаваме . Това са желаните параметрични уравнения на права линия в пространството.

Остава да се получат каноничните уравнения на права линия в пространството:

Получените уравнения на правата линия външно се различават от уравненията, получени в предишния пример, но са еквивалентни, тъй като дефинират същия набор от точки в триизмерното пространство (и следователно същата права линия).

Отговор:

И

Библиография.

• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

В правоъгълна координатна система на равнина, права линия може да бъде дадена от каноничното уравнение на права линия. В тази статия първо извеждаме, записваме каноничните уравнения на прави в равнината, които са успоредни на координатните оси или съвпадат с тях, а също така даваме примери. След това показваме връзката между каноничното уравнение на права линия в равнината и други видове уравнение на тази права линия. В заключение разглеждаме подробно решенията на типични примери и задачи за съставянето на каноничното уравнение на права линия в равнината.

Навигация в страницата.

Канонично уравнение на права върху равнина - описание и примери.

Нека Окси се оправи в самолета. Нека си поставим задачата: да получим уравнението на правата a , ако - някаква точка от правата a и - насочващ вектор на правата a .

Нека е плаваща запетая на правата a . Тогава векторът е векторът на посоката на правата a и има координати (ако е необходимо, вижте статията). Очевидно множеството от всички точки в равнината определя права, минаваща през точката и имаща насочващ вектор тогава и само ако векторите и са колинеарни.

Пример.

Напишете каноничното уравнение на права линия, която минава през две точки и в правоъгълна координатна система Oxy на равнината.

Решение.

От известните координати на началната и крайната точка можем да намерим координатите на вектора: . Този вектор е насочващият вектор на правата линия, чието уравнение търсим. Каноничното уравнение на права линия, минаваща през точка и имаща насочващ вектор.

Решение.

нормална векторна линия има координати , и този вектор е насочващият вектор на правата линия, чието уравнение търсим поради перпендикулярността на правите линии. Така желаното канонично уравнение на права линия в равнината може да бъде написано като .

Отговор:

Библиография.

• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Позволявам л- някаква линия на пространството. Както в планиметрията, всеки вектор

А =/= 0, колинеарна права линия л, е наречен водещ вектортази права линия.

Позицията на права линия в пространството се определя напълно чрез определяне на вектор на посоката и точка, принадлежаща на правата линия.

Нека линията лс водещ вектор А минава през точката M 0 , а M е произволна точка в пространството. Очевидно точката M (фиг. 197) принадлежи на правата лако и само ако векторът \(\overrightarrow(M_0 M)\) е колинеарен на вектора А , т.е.

\(\стрелка надясно(M_0 M)\) = T а , T\(\в\) Р. (1)

Ако точките M и M 0 са дадени с техните радиус вектори r И r 0 (фиг. 198) по отношение на някаква точка O от пространството, тогава \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 и уравнение (1) приема формата

r = r 0 + T а , T\(\в\) Р. (2)

Уравнения (1) и (2) се наричат векторно-параметрични уравнения на права линия. Променлива Tвъв векторно-параметричните уравнения се нарича права линия параметър.

Нека точката M 0 е права линия ли насочващ вектор a са дадени от техните координати:

M 0 ( х 0 ; при 0 , z 0), А = (А 1 ; А 2 ; А 3).

Тогава ако ( Х; y; z) - координати на произволна точка M от правата л, Че

\(\стрелка надясно(M_0 M) \) = ( х - х 0 ; u - u 0 ; z - z 0)

и векторното уравнение (1) е еквивалентно на следните три уравнения:

х - х 0 = та 1 , u - u 0 = та 2 , z - z 0 = та 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

Уравнения (3) се наричат параметрични уравнения на правата линия в космоса.

Задача 1.Напишете параметричните уравнения на права линия, минаваща през точка

M 0 (-3; 2; 4) и имащ насочващ вектор А = (2; -5; 3).

В такъв случай х 0 = -3, при 0 = 2, z 0 = 4; А 1 = 2; А 2 = -5; А 3 = 3. Замествайки тези стойности във формули (3), получаваме параметричните уравнения на тази права линия

$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​​​\;\;t\in R\end(cases) $$

Изключете параметъра Tот уравнения (3). Това може да стане, защото А =/= 0 и следователно една от координатите на вектора А очевидно различен от нула.

Първо, нека всички координати са различни от нула. Тогава

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

и следователно

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Тези уравнения се наричат канонични уравнения на правата .

Обърнете внимание, че уравнения (4) образуват система от две уравнения с три променливи x, yИ z.

Ако в уравнения (3) една от координатите на вектора А , Например А 1 е равно на нула, тогава с изключение на параметъра T, отново получаваме система от две уравнения с три променливи x, yИ z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Тези уравнения се наричат ​​още канонични уравнения на правата. За еднородност те също се записват условно във формата (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

като се има предвид, че ако знаменателят е равен на нула, тогава съответният числител е равен на нула. Тези уравнения са уравнения на права линия, минаваща през точката M 0 ( х 0 ; при 0 , z 0) успоредна на координатната равнина yOz, тъй като тази равнина е успоредна на нейния насочващ вектор (0; А 2 ; А 3).

И накрая, ако в уравнения (3) две координати на вектора А , Например А 1 и А 2 са равни на нула, тогава тези уравнения приемат формата

х = х 0 , г = при 0 , z = z 0 + T а 3 , T\(\в\) Р.

Това са уравненията на права линия, минаваща през точката M 0 ( х 0 ; при 0 ; z 0) успоредна на оста Оз. За такъв директен х = х 0 , г = при 0, а z- всякакъв брой. И в този случай, за равномерност, уравненията на права линия могат да бъдат записани (със същата резерва) във формата (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Така за всяка линия в пространството могат да се напишат канонични уравнения (4) и, обратно, всяко уравнение под формата (4), при условие че поне един от коефициентите А 1 , А 2 , А 3 не е равно на нула, определя някаква линия на пространството.

Задача 2.Напишете каноничните уравнения на права линия, минаваща през точката M 0 (- 1; 1, 7), успоредна на вектора А = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в този случай се записват, както следва:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Нека изведем уравненията на права линия, минаваща през две дадени точки M 1 ( х 1 ; при 1 ; z 1) и

M2( х 2 ; при 2 ; z 2). Очевидно е, че векторът на посоката на тази права линия може да се приеме за вектор а = (х 2 - х 1 ; при 2 - при 1 ; z 2 - z 1), но отвъд точката M 0, през която минава правата, например точката M 1 . Тогава уравнения (4) ще бъдат записани, както следва:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Това са уравненията на права линия, минаваща през две точки M 1 ( х 1 ; при 1 ; z 1) и

M2( х 2 ; при 2 ;z 2).

Задача 3.Напишете уравненията на права линия, минаваща през точките M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).

В такъв случай х 1 = -4, при 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, при 2 = 0, z 2 = 3. Замествайки тези стойности във формули (5), получаваме

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Задача 4.Напишете уравненията на права линия, минаваща през точките M 1 (3; -2; 1) и

М 2 (5; -2; 1/2).

След като заместим координатите на точките M 1 и M 2 в уравнения (5), получаваме

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Нека Oxyz бъде фиксиран в триизмерното пространство. Нека да определим права линия в него. Нека изберем следния начин за задаване на права линия в пространството: посочваме точката, през която минава правата a, и насочващия вектор на правата a . Ще приемем, че точката лежи на правата a и - насочващ вектор на права линия a.

Очевидно множеството от точки в триизмерното пространство определя права линия тогава и само ако векторите и са колинеарни.

Обърнете внимание на следните важни факти:

Ето няколко примера за канонични уравнения на права линия в пространството:

Съставяне на канонични уравнения на права линия в пространството.

И така, каноничните уравнения на права линия във фиксирана правоъгълна координатна система Oxyz в триизмерно пространство от формата съответстват на права линия, която минава през точката , а векторът на посоката на тази права линия е векторът . Така, ако знаем формата на каноничните уравнения на права линия в пространството, тогава можем веднага да запишем координатите на насочващия вектор на тази права линия и ако координатите на насочващия вектор на правата линия и координатите на някаква точка от тази права линия са известни, тогава можем веднага да запишем нейните канонични уравнения.

Нека покажем решения на такива проблеми.

Пример.

Права линия в правоъгълна координатна система Oxyz в тримерно пространство се дава от каноничните уравнения на права линия от формата . Напишете координатите на всички насочващи вектори на тази линия.

Решение.

Числата в знаменателите на каноничните уравнения на правата линия са съответните координати на насочващия вектор на тази права линия, т.е. - един от насочващите вектори на оригиналната линия. Тогава наборът от всички насочващи вектори на линията може да бъде даден като , където е параметър, който приема всяка реална стойност освен нула.

Отговор:

Пример.

Напишете каноничните уравнения на права линия, която в правоъгълната координатна система Oxyz в пространството минава през точката , а насочващият вектор на правата има координати .

Решение.

От състоянието, което имаме. Тоест имаме всички данни, за да напишем необходимите канонични уравнения на права линия в пространството. В нашия случай

.

Отговор:

Разгледахме най-простата задача за съставяне на каноничните уравнения на права линия в дадена правоъгълна координатна система в триизмерно пространство, когато са известни координатите на насочващия вектор на правата линия и координатите на някаква точка от правата линия . Много по-често срещани са обаче задачи, при които първо трябва да намерите координатите на насочващия вектор на правата линия и едва след това да запишете каноничните уравнения на правата линия. Като пример можем да посочим задачи за намиране на уравненията на права линия, минаваща през дадена точка от пространството, успоредна на дадена права линия и задачи за намиране на уравнения на права линия, минаваща през дадена точка в пространството, перпендикулярна на дадена равнина .

Частни случаи на канонични уравнения на права линия в пространството.

Вече отбелязахме, че едно или две от числата в каноничните уравнения на линията в пространството на формата може да бъде нула. След това влизането се счита за формално (тъй като знаменателите на една или две дроби ще имат нули) и трябва да се разбира като , Където .

Нека разгледаме по-отблизо всички тези специални случаи на каноничните уравнения на права линия в пространството.

Позволявам , или , или , тогава каноничните уравнения на линиите имат формата

или

или

В тези случаи, в правоъгълната координатна система Oxyz в пространството, правите лежат в равнините , или , съответно, които са успоредни съответно на координатните равнини Oyz , Oxz или Oxy , съответно (или съвпадат с тези координатни равнини при , или ) . Фигурата показва примери за такива линии.

При , или , или каноничните уравнения на линиите се записват като


или


или


съответно.

В тези случаи линиите са успоредни съответно на координатните оси Oz , Oy или Ox (или съвпадат с тези оси при , или ). Наистина, насочващите вектори на разглежданите прави имат координати , или , или , очевидно е, че те са колинеарни на векторите , или , или съответно, където са насочващите вектори на координатните прави. Вижте илюстрациите за тези конкретни случаи на каноничните уравнения на права линия в пространството.

Остава да се консолидира материалът на този параграф, за да се разгледат решенията на примерите.

Пример.

Напишете каноничните уравнения на координатните прави Ox , Oy и Oz .

Решение.

Насочващите вектори на координатните прави Ox , Oy и Oz са координатните вектори и съответно. В допълнение, координатните линии преминават през началото на координатите - през точката. Сега можем да напишем каноничните уравнения на координатните линии Ox, Oy и Oz, те имат формата и съответно.

Отговор:

Канонични уравнения на координатната права Ox, - канонични уравнения на у-оста Oy, - канонични уравнения на приложната ос.

Пример.

Напишете каноничните уравнения на права линия, която в правоъгълната координатна система Oxyz в пространството минава през точката и успоредна на ординатната ос Oy .

Решение.

Тъй като правата линия, чиито канонични уравнения трябва да съставим, е успоредна на координатната ос Oy, тогава нейният насочващ вектор е векторът. Тогава каноничните уравнения на тази линия в пространството имат формата .

Отговор:

Канонични уравнения на права, минаваща през две дадени точки в пространството.

Нека си поставим задачата: да напишем каноничните уравнения на права линия, минаваща в правоъгълна координатна система Oxyz в тримерно пространство през две несъвпадащи точки и .

Като насочващ вектор на дадена права линия можете да вземете вектор (ако векторът ви харесва повече, можете да го вземете). Според известните координати на точките M 1 и M 2 можете да изчислите координатите на вектора: . Сега можем да напишем каноничните уравнения на правата линия, тъй като знаем координатите на точка от правата линия (в нашия случай дори координатите на две точки M 1 и M 2 ) и знаем координатите на нейната вектор на посоката. Така дадена линия в правоъгълната координатна система Oxyz в тримерното пространство се определя от канонични уравнения от вида или . Това е желаното канонични уравнения на права, минаваща през две дадени точки в пространството.

Пример.

Напишете каноничните уравнения на права линия, минаваща през две точки в триизмерното пространство И .

Решение.

От състоянието, което имаме. Ние заместваме тези данни в каноничните уравнения на права линия, минаваща през две точки :

Ако използваме каноничните директни уравнения на формата , тогава получаваме
.

Отговор:

или

Преход от канонични уравнения на права линия в пространството към други видове уравнения на права линия.

За решаване на някои задачи, каноничните уравнения на права линия в пространството може да се окаже по-малко удобно от параметричните уравнения на права линия в пространството на формата . И понякога е за предпочитане да се дефинира права линия в правоъгълната координатна система Oxyz в пространството чрез уравненията на две пресичащи се равнини като . Следователно възниква проблемът за прехода от каноничните уравнения на права линия в пространството към параметричните уравнения на права линия или към уравненията на две пресичащи се равнини.

Лесно е да се премине от уравненията на права линия в канонична форма към параметричните уравнения на тази права линия. Това изисква всяка от дробите в каноничните уравнения на правата линия в пространството да бъде взета равна на параметъра и да се решат получените уравнения за променливите x, y и z:

В този случай параметърът може да приема всякакви реални стойности (тъй като променливите x, y и z могат да приемат всякакви реални стойности).

Сега ще покажем как от каноничните уравнения на правата линия вземете уравненията на две пресичащи се равнини, които определят една и съща права.

двойно равенство е по същество система от три уравнения от формата (приравнявахме по двойки дробите от каноничните уравнения на правата линия). Тъй като разбираме пропорцията като , тогава

Така че имаме
.

Тъй като числата a x , a y и a z не са равни на нула едновременно, тогава основната матрица на получената система е равна на две, тъй като

и поне един от детерминантите от втори ред


различен от нула.

Следователно уравнение, което не участва във формирането на базисния минор, може да бъде изключено от системата. Така каноничните уравнения на права линия в пространството ще бъдат еквивалентни на система от две линейни уравнения с три неизвестни, които са уравненията на пресичащи се равнини, а пресечната линия на тези равнини ще бъде права линия, определена от канонични права линия уравнения на формата .

За по-голяма яснота даваме подробно решение на примера, на практика всичко е по-просто.

Пример.

Напишете уравненията на две пресичащи се равнини, които определят права, определена в правоъгълната координатна система Oxyz в пространството от каноничните уравнения на правата. Напишете уравненията за две равнини, пресичащи се по тази права.

Решение.

Приравнете по двойки дробите, които образуват каноничните уравнения на правата:

Детерминантата на основната матрица на получената система от линейни уравнения е равна на нула (ако е необходимо, вижте статията), а второстепенният втори ред е различно от нула, ще го приемем като базисен минор. По този начин рангът на основната матрица на системата от уравнения е равно на две, а третото уравнение на системата не участва във формирането на основния минор, т.е. третото уравнение може да бъде изключено от системата. следователно . Така че получихме необходимите уравнения на две пресичащи се равнини, които определят оригиналната права линия.

Отговор:

Библиография.

• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.