Ejemplos de distribución de Poisson. Distribución y fórmula de Poisson

En muchos problemas de la práctica, uno tiene que lidiar con variables aleatorias distribuidas de acuerdo con una ley peculiar, que se llama Ley de Poisson.

Considere una variable aleatoria discontinua X, que solo puede tomar valores enteros no negativos:

además, la secuencia de estos valores teóricamente no está limitada. Se dice que la variable aleatoria es X distribuido de acuerdo con la ley de Poisson si la probabilidad de que tome un cierto valor T, expresado por la fórmula

dónde a- algún valor positivo, llamado parámetro Ley de Poisson.

Serie de distribución de una variable aleatoria X, distribuido según la ley de Poisson, tiene la forma:

En primer lugar, asegurémonos de que la secuencia de probabilidades dada por la fórmula (5.9.1) pueda ser una serie de distribución, es decir suma de todas las probabilidades P t es igual a uno. Tenemos:

Pero

La figura 5.9.1 muestra los polígonos de distribución de una variable aleatoria. X, distribuido de acuerdo con la ley de Poisson, correspondiente a diferentes valores del parámetro una. La tabla 8 del apéndice muestra los valores P t para varios una.

Definamos las principales características (expectativa matemática y varianza) de una variable aleatoria. X, distribuido según la ley de Poisson. Por definición de expectativa matemática

Arroz. 5.9.1.

El primer término de la suma (correspondiente t = 0) es igual a cero, por lo tanto, la suma se puede iniciar desde t = 1:

Nosotros denotamos t - 1 = k; luego

Entonces el parámetro a no es más que la expectativa matemática de una variable aleatoria X.

Para determinar la varianza, primero encontramos el segundo momento inicial de la cantidad X:

De acuerdo con lo previamente probado Además, por eso,

Por lo tanto, varianza de una variable aleatoria, distribuido según la ley de Poisson, es igual a su expectativa matemática a.

Esta propiedad de la distribución de Poisson se utiliza a menudo en la práctica para decidir si la hipótesis de que una variable aleatoria X distribuido según la ley de Poisson. Para ello, las características estadísticas se determinan a partir de la experiencia (la expectativa matemática y la varianza) de una variable aleatoria. Si sus valores son cercanos, esto puede servir como argumento a favor de la hipótesis de distribución de Poisson; la marcada diferencia en estas características, por el contrario, testifica contra la hipótesis.

Definamos para una variable aleatoria X, distribuida de acuerdo con la ley de Poisson, la probabilidad de que tome un valor no menor que un determinado Para. Denotamos esta probabilidad R k:

Obviamente la probabilidad R k se puede calcular como la suma

Sin embargo, es mucho más fácil determinarlo a partir de la probabilidad del evento opuesto:

En particular, la probabilidad de que la cantidad X toma un valor positivo, expresado por la fórmula

Ya hemos mencionado que muchos problemas prácticos conducen a la distribución de Poisson. Consideremos una de las tareas típicas de este tipo.

Deje que los puntos se distribuyan aleatoriamente en el eje de abscisas Ox (figura 5.9.2). Supongamos que la distribución aleatoria de puntos satisface las siguientes condiciones:

Arroz. 5.9.2

1. La probabilidad de golpear un cierto número de puntos en un segmento / depende solo de la longitud de este segmento, pero no depende de su posición en el eje de abscisas. Es decir, los puntos se distribuyen en el eje de abscisas con la misma densidad media. Denotamos esta densidad (es decir, la expectativa matemática del número de puntos por unidad de longitud) por X.
2. Los puntos se distribuyen en el eje de abscisas independientemente entre sí, es decir la probabilidad de golpear uno u otro número de puntos en un segmento dado no depende de cuántos de ellos caigan en cualquier otro segmento que no se superponga con él.
3. La probabilidad de golpear una pequeña sección Ax de dos o más puntos es insignificante en comparación con la probabilidad de golpear un punto (esta condición significa la imposibilidad práctica de coincidencia de dos o más puntos).

Seleccionemos en el eje de abscisas un cierto segmento de longitud / y consideremos una variable aleatoria discreta X- el número de puntos que caen en este segmento. Los posibles valores de la cantidad serán

Dado que los puntos caen en el segmento de forma independiente entre sí, es teóricamente posible que haya tantos como desee, es decir, la serie (5.9.6) continúa indefinidamente.

Demostremos que la variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson. Para esto, calculamos la probabilidad P t del hecho de que exactamente T puntos.

Resolvamos primero un problema más simple. Considere una pequeña sección Ax en el eje Buey y calcule la probabilidad de que al menos un punto caiga en esta sección. Argumentaremos de la siguiente manera. La expectativa matemática del número de puntos que caen en esta sección es obviamente igual a Eh(ya que la unidad de longitud cae en promedio X puntos). De acuerdo con la condición 3, para un segmento pequeño Ax, se puede despreciar la posibilidad de que dos o más puntos caigan sobre él. Por tanto, la expectativa matemática Eh el número de puntos que caen sobre la sección Ax será aproximadamente igual a la probabilidad de que un punto caiga sobre ella (o, que en nuestras condiciones es equivalente, al menos uno).

Así, hasta un orden infinitesimal superior en Ax - »0, podemos considerar la probabilidad de que un punto (al menos uno) caiga sobre el segmento Ax, igual a Eh, y la probabilidad de no golpear a ninguno, igual a 1 - Ja.

Usaremos esto para calcular la probabilidad P t golpeando el segmento / exactamente T puntos. Dividir el segmento / en NS partes iguales de largo. Acordemos llamar al segmento elemental Ax "vacío",

si no alcanzó un solo punto, y "ocupado" si alcanzó al menos uno. De acuerdo con lo anterior, la probabilidad de que el segmento Ax esté "ocupado" es aproximadamente igual a; probabilidad

el hecho de que resulte "vacío" es igual a

Dado que, de acuerdo con la condición 2, los aciertos de puntos en segmentos no superpuestos son independientes, entonces nuestro NS los segmentos se pueden considerar como NS"experimentos" independientes, en cada uno de los cuales el segmento se puede "ocupar" con probabilidad. Hallemos la probabilidad de que entre NS los segmentos serán exactamente

T"Ocupado". Según el teorema de la repetición de experimentos, esta probabilidad es igual a

o, denotando XI = a,

Con un lo suficientemente grande NS esta probabilidad es aproximadamente igual a la probabilidad de golpear el segmento / exactamente T puntos, ya que el impacto de dos o más puntos en el segmento Ax tiene una probabilidad insignificante. Para encontrar el valor exacto P t, es necesario en la expresión (5.9.7) pasar al límite en NS-> oo:

Transformemos la expresión bajo el signo de límite:

La primera fracción y el denominador de la última fracción en la expresión (5.9.9) en NS -> oo, obviamente, tienden a la unidad. Expresión de NS no depende. El numerador de la última fracción se puede convertir de la siguiente manera:

A y la expresión (5.9.10) tiende a f ~ a.

Así, se ha demostrado que la probabilidad de acertar es exactamente T puntos en un segmento / se expresa mediante la fórmula

dónde a = XI, aquellos. magnitud X distribuido según la ley de Poisson con parámetro a = XI.

Tenga en cuenta que la cantidad a dentro del significado es el número promedio de puntos por segmento I.

La magnitud R,(la probabilidad de que la cantidad X toma un valor positivo) en este caso expresa probabilidad, que al menos un punto cae en el segmento I:

Por lo tanto, nos aseguramos de que la distribución de Poisson ocurra donde algunos puntos (u otros elementos) ocupan una posición aleatoria independientemente entre sí, y se cuenta el número de estos puntos que caen en alguna área. En nuestro caso, tal "área" era el segmento / en el eje de abscisas. Sin embargo, nuestra conclusión puede extenderse fácilmente al caso de la distribución de puntos en un plano (un campo plano aleatorio de puntos) y en el espacio (un campo espacial aleatorio de puntos). No es difícil demostrar que si se cumplen las condiciones:

1) los puntos están distribuidos estadísticamente de manera uniforme en el campo con una densidad promedio NS
2) los puntos caen en áreas que no se superponen de manera independiente;
3) los puntos aparecen uno por uno, y no en pares, tripletes, etc., luego el número de puntos X, caer en cualquier área D(plano o espacial), distribuido según la ley de Poisson:

dónde a es el número medio de puntos que caen en el área D.

Para el caso plano

dónde DAKOTA DEL SUR- área de área D para espacial

dónde V D- volumen de área D.

Tenga en cuenta que para la presencia de una distribución de Poisson del número de puntos que caen en un segmento o región, la condición de densidad constante (X = constante) no es esencial. Si se satisfacen las otras dos condiciones, entonces la ley de Poisson todavía se mantiene, solo el parámetro a toma una expresión diferente: no se obtiene por una simple multiplicación de la densidad X en la longitud, área o volumen de la región, pero integrando la densidad variable sobre un segmento, área o volumen (para más detalles, vea la subsección 19.4).

La presencia de puntos aleatorios dispersos en una línea, en un plano o en un volumen no es la única condición bajo la cual ocurre una distribución de Poisson. Por ejemplo, se puede probar que la ley de Poisson es el límite para la distribución binomial:

si dirigimos simultáneamente el número de experimentos n a infinito, y la probabilidad R - a cero, y su producto NS mantiene un valor constante:

De hecho, esta propiedad limitante de la distribución binomial se puede escribir como:

Pero la condición (5.9.13) implica que

Sustituyendo (5.9.15) en (5.9.14), obtenemos la igualdad

que acabamos de probar en otra ocasión.

Esta propiedad limitante de la ley binomial se aplica a menudo en la práctica. Supongamos que se realiza una gran cantidad de experimentos independientes. NS, en cada uno de los cuales un evento A tiene una probabilidad muy baja R. Luego para calcular la probabilidad R t „ que evento A aparecerá exactamente T veces, puede utilizar la fórmula aproximada

dónde pr = a es el parámetro de la ley de Poisson, que aproximadamente reemplaza la distribución binomial.

De esta propiedad de la ley de Poisson, para expresar la distribución binomial para una gran cantidad de experimentos y una baja probabilidad de un evento, proviene su nombre, que se usa a menudo en los libros de texto de estadística: la ley de los fenómenos raros.

Veamos algunos ejemplos relacionados con la distribución de Poisson de varias áreas de práctica.

Ejemplo 1. La central recibe llamadas de densidad media PARA llamadas por hora. Suponiendo que el número de llamadas en cualquier intervalo de tiempo se distribuye de acuerdo con la ley de Poisson, calcule la probabilidad de que exactamente tres llamadas lleguen a la estación en dos minutos.

Solución. El número medio de llamadas en dos minutos es:

Según la fórmula (5.9.1), la probabilidad de llegada de exactamente tres llamadas

Ejemplo 2. En las condiciones del ejemplo anterior, calcule la probabilidad de que llegue al menos una llamada en dos minutos.

Solución. Por la fórmula (5.9.4) tenemos:

Ejemplo 3. En las mismas condiciones, calcule la probabilidad de que lleguen al menos tres llamadas en dos minutos.

Solución. Por la fórmula (5.9.4) tenemos:

Ejemplo 4. En un telar, el hilo se rompe en promedio 0.375 veces por hora de operación del telar. Encuentre la probabilidad de que para un turno (8 horas) el número de rupturas de hilo esté dentro de los límites de 2 y 4 (al menos 2 y como máximo 4 rupturas).

Solución. Obviamente,

tenemos:

Según el cuadro 8 del apéndice en a = 3

Ejemplo 5.De un cátodo calentado por unidad de tiempo, en promedio, q (t) electrones, donde t- el tiempo transcurrido desde el inicio del experimento. Encuentre la probabilidad de que para un intervalo de tiempo de duración t, comenzando en el momento t 0, saldrá volando del cátodo exactamente T electrones.

Solución. Hallamos el número promedio de electrones a emitidos por el cátodo durante un período de tiempo determinado. Tenemos:

Con base en el a calculado, determinamos la probabilidad deseada:

Ejemplo 6. El número de fragmentos que golpean un objetivo pequeño en una posición determinada del punto de ruptura se distribuye de acuerdo con la ley de Poisson. La densidad media del campo de fragmentación en el que el objetivo se encuentra en una posición determinada del punto de explosión es de 3 osk. / m 2. El área objetivo es S = 0,5 m 2. Para acertar al objetivo, basta con golpearlo con al menos un fragmento. Encuentre la probabilidad de dar en el blanco en una posición determinada del punto de quiebre.

Solución, a = XS = 1.5. Usando la fórmula (5.9.4), encontramos la probabilidad de golpear al menos un fragmento:

(Para calcular el valor de la función exponencial e ~ a usamos tabla. 2 anexos.)

Ejemplo 7. La densidad media de microbios patógenos en un metro cúbico de aire es de 100. Se toman 2 dm 3 de aire como muestra. Encuentre la probabilidad de que se encuentre al menos un microbio en él. Solución. Tomando la hipótesis sobre la distribución de Poisson del número de microbios en el volumen, encontramos:

Ejemplo 8. Para algún objetivo, se realizan 50 disparos independientes. La probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo es de 0,04. Usando la propiedad limitante de la distribución binomial (fórmula (5.9.17)), encuentre una probabilidad aproximada de que ni un solo proyectil golpee el objetivo, un proyectil, dos proyectiles.

Solución. Tenemos a = pr = 50 0.04 = 2. De acuerdo con la tabla 8 del apéndice, encontramos las probabilidades:

Para conocer los métodos de determinación experimental de estas características, consulte los capítulos 7 y 14 a continuación.

El caso más común de varios tipos de distribuciones de probabilidad es la distribución binomial. Usemos su universalidad para determinar los tipos particulares de distribuciones que se encuentran con mayor frecuencia en la práctica.

Distribución binomial

Que haya algún evento A. La probabilidad de ocurrencia del evento A es pag, la probabilidad de que no ocurra el evento A es 1 - pag, a veces se denota como q... Permitir norte- número de pruebas, metro¿Es la frecuencia de ocurrencia del evento A en estos norte pruebas.

Se sabe que la probabilidad total de todas las posibles combinaciones de resultados es igual a uno, es decir:

1 = pag norte + norte · pag norte- 1 (1 - pag) + C norte norte- 2 pag norte- 2 (1 - pag) 2 + ... + C norte metro · pag metro(1 - pag) norte metro+ ... + (1 - pag) norte .

pag norte¿Es la probabilidad de que en nortenorte una vez;

norte · pag norte- 1 (1 - pag) ¿Es la probabilidad de que en nortenorte- 1) una vez y no sucederá 1 vez;

C norte norte- 2 pag norte- 2 (1 - pag) 2 ¿Es la probabilidad de que en norte prueba el evento A ocurrirá ( norte- 2) veces y no sucederá 2 veces;

PAG metro = C norte metro · pag metro(1 - pag) norte metro ¿Es la probabilidad de que en norte prueba el evento A ocurrirá metro veces y no sucederá norte metro) una vez;

(1 - pag) norte¿Es la probabilidad de que en norte prueba el evento A no ocurrirá ni una sola vez;

- el número de combinaciones de norte sobre metro .

Valor esperado METRO La distribución binomial es igual a:

METRO = norte · pag ,

dónde norte- número de pruebas, pag- probabilidad de ocurrencia del evento A.

Desviación cuadrática media de la raíz σ :

σ = raíz cuadrada ( norte · pag(1 - pag)) .

Ejemplo 1. Calcule la probabilidad de que un evento con probabilidad pag= 0,5, en norte= Se producirán 10 desafíos metro= 1 vez. Tenemos: C 10 1 = 10, y más: PAG 1 = 10 0,5 1 (1 - 0,5) 10 - 1 = 10 0,5 10 = 0,0098... Como puede ver, la probabilidad de que ocurra este evento es bastante pequeña. Esto se explica, en primer lugar, por el hecho de que no está absolutamente claro si el evento ocurrirá o no, ya que la probabilidad es 0.5 y las probabilidades aquí son “50 a 50”; y en segundo lugar, se requiere calcular que el evento ocurrirá exactamente una vez (ni más ni menos) de cada diez.

Ejemplo 2. Calcule la probabilidad de que un evento con probabilidad pag= 0,5, en norte= Se producirán 10 desafíos metro= 2 veces. Tenemos: C 10 2 = 45, y más: PAG 2 = 45 0,5 2 (1 - 0,5) 10 - 2 = 45 0,5 10 = 0,044... ¡La probabilidad de que ocurra este evento ha aumentado!

Ejemplo 3. Aumentemos la probabilidad del evento en sí. Hagámoslo más probable. Calcule la probabilidad de que un evento con probabilidad pag= 0,8, en norte= Se producirán 10 desafíos metro= 1 vez. Tenemos: C 10 1 = 10, y más: PAG 1 = 10 0,8 1 (1 - 0,8) 10 - 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004... ¡La probabilidad se ha vuelto menor que en el primer ejemplo! La respuesta, a primera vista, parece extraña, pero dado que el evento tiene una probabilidad bastante alta, es poco probable que suceda solo una vez. Es más probable que suceda más de una vez. De hecho, contando PAG 0 , PAG 1 , PAG 2 , PAG 3, ..., PAG 10 (la probabilidad de que el evento en norte= Se producirán 10 pruebas 0, 1, 2, 3, ..., 10 veces), veremos:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

PAG 0 = 1 0,8 0 (1 - 0,8) 10-0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000;
PAG 1 = 10 0,8 1 (1 - 0,8) 10 - 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000;
PAG 2 = 45 0,8 2 (1 - 0,8) 10 - 2 = 45 0,8 2 0,2 8 = 0,0000;
PAG 3 = 120 0,8 3 (1 - 0,8) 10 - 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008;
PAG 4 = 210 0,8 4 (1 - 0,8) 10 - 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055;
PAG 5 = 252 0.8 5 (1 - 0.8) 10 - 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264;
PAG 6 = 210 0,8 6 (1 - 0,8) 10 - 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881;
PAG 7 = 120 0,8 7 (1 - 0,8) 10 - 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013;
PAG 8 = 45 0,8 8 (1 - 0,8) 10 - 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020(¡la mayor probabilidad!);
PAG 9 = 10 0,8 9 (1 - 0,8) 10 - 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684;
PAG 10 = 1 0.8 10 (1 - 0.8) 10 - 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074

Por supuesto PAG 0 + PAG 1 + PAG 2 + PAG 3 + PAG 4 + PAG 5 + PAG 6 + PAG 7 + PAG 8 + PAG 9 + PAG 10 = 1 .

Distribución normal

Si representamos los valores PAG 0 , PAG 1 , PAG 2 , PAG 3, ..., PAG 10, que calculamos en el ejemplo 3, en el gráfico, resulta que su distribución tiene una forma cercana a la ley de distribución normal (ver Fig. 27.1) (ver lección 25. Modelado de variables aleatorias distribuidas normalmente).

Arroz. 27.1. Tipo de distribución binomial
probabilidades para diferentes m en p = 0.8, n = 10

La ley binomial se vuelve normal si las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia del evento A son aproximadamente las mismas, es decir, condicionalmente podemos escribir: pag≈ (1 - pag) ... Por ejemplo, tome norte= 10 y pag= 0.5 (es decir pag= 1 - pag = 0.5 ).

Llegaremos a este problema de manera significativa si, por ejemplo, queremos calcular teóricamente cuántos niños habrá y cuántas niñas de cada 10 niños nacidos en un hospital de maternidad el mismo día. Más precisamente, no contaremos niños y niñas, sino la probabilidad de que solo nazcan niños, que nazcan 1 niño y 9 niñas, que nazcan 2 niños y 8 niñas, etc. Supongamos por simplicidad que la probabilidad de tener un niño y una niña es la misma e igual a 0.5 (pero de hecho, para ser honesto, este no es el caso, ver el curso "Modelado de sistemas de inteligencia artificial").

Es claro que la distribución será simétrica, ya que la probabilidad de tener 3 niños y 7 niñas es igual a la probabilidad de tener 7 niños y 3 niñas. Es más probable que nazcan 5 niños y 5 niñas. Esta probabilidad es igual a 0.25, por cierto, no es tan grande en valor absoluto. Además, la probabilidad de que nazcan 10 o 9 niños a la vez es mucho menor que la probabilidad de que nazcan 5 ± 1 niño de cada 10 niños. Es la distribución binomial la que nos ayudará a realizar este cálculo. Entonces.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

PAG 0 = 1 0.5 0 (1 - 0.5) 10 - 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977;
PAG 1 = 10 0,5 1 (1 - 0,5) 10 - 1 = 10 0,5 10 = 0,009766;
PAG 2 = 45 0,5 2 (1 - 0,5) 10 - 2 = 45 0,5 10 = 0,043945;
PAG 3 = 120 0,5 3 (1 - 0,5) 10 - 3 = 120 0,5 10 = 0,117188;
PAG 4 = 210 0,5 4 (1 - 0,5) 10 - 4 = 210 0,5 10 = 0,205078;
PAG 5 = 252 0,5 5 (1 - 0,5) 10 - 5 = 252 0,5 10 = 0,246094;
PAG 6 = 210 0,5 6 (1 - 0,5) 10 - 6 = 210 0,5 10 = 0,205078;
PAG 7 = 120 0,5 7 (1 - 0,5) 10 - 7 = 120 0,5 10 = 0,117188;
PAG 8 = 45 0,5 8 (1 - 0,5) 10 - 8 = 45 0,5 10 = 0,043945;
PAG 9 = 10 0,5 9 (1 - 0,5) 10 - 9 = 10 0,5 10 = 0,009766;
PAG 10 = 1 0,5 10 (1 - 0,5) 10 - 10 = 1 0,5 10 = 0,000977

Por supuesto PAG 0 + PAG 1 + PAG 2 + PAG 3 + PAG 4 + PAG 5 + PAG 6 + PAG 7 + PAG 8 + PAG 9 + PAG 10 = 1 .

Reflexionemos en la gráfica los valores PAG 0 , PAG 1 , PAG 2 , PAG 3, ..., PAG 10 (ver fig. 27.2).

Arroz. 27.2. Gráfica de distribución binomial con parámetros
p = 0.5 yn = 10, acercándolo a la ley normal

Entonces, bajo las condiciones metro ≈ norte/ 2 y pag≈ 1 - pag o pag≈ 0.5 en lugar de la distribución binomial, se puede usar la distribución normal. Para valores grandes norte el gráfico se desplaza hacia la derecha y se vuelve cada vez más plano, ya que la expectativa matemática y la varianza aumentan al aumentar norte : METRO = norte · pag , D = norte · pag(1 - pag) .

Por cierto, la ley binomial tiende a la normalidad y al aumentar norte, lo cual es bastante natural, de acuerdo con el teorema del límite central (ver lección 34. Fijación y procesamiento de resultados estadísticos).

Ahora consideremos cómo cambiará la ley binomial en el caso en que pag ≠ q, es decir pag-> 0. En este caso, es imposible aplicar la hipótesis de que la distribución es normal y la distribución binomial se convierte en la distribución de Poisson.

distribución de veneno

La distribución de Poisson es un caso especial de distribución binomial (para norte>> 0 y para pag-> 0 (eventos raros)).

De las matemáticas, se conoce una fórmula que le permite calcular aproximadamente el valor de cualquier miembro de la distribución binomial:

dónde a = norte · pag - Parámetro de Poisson (expectativa matemática), y la varianza es igual a la expectativa matemática. Presentamos los cálculos matemáticos que explican esta transición. Ley de distribución binomial

PAG metro = C norte metro · pag metro(1 - pag) norte metro

se puede escribir poniendo pag = a/norte , como

Porque pag es muy pequeño, entonces solo se deben tener en cuenta los números metro, pequeño en comparación con norte... Trabaja

muy cerca de uno. Lo mismo se aplica al valor

La magnitud

Muy cerca de mi a... De aquí obtenemos la fórmula:

Un ejemplo. La caja contiene norte= 100 piezas, tanto de alta calidad como defectuosas. La probabilidad de obtener un producto defectuoso es pag= 0,01. Digamos que sacamos el producto, determinamos si está defectuoso o no y lo devolvemos. Al hacerlo, resultó que de 100 productos que revisamos, dos resultaron ser defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda?

Por la distribución binomial, obtenemos:

Por la distribución de Poisson, obtenemos:

Como puede ver, los valores resultaron ser cercanos, por lo tanto, en el caso de eventos raros, es bastante aceptable aplicar la ley de Poisson, especialmente porque requiere menos costos computacionales.

Muestremos gráficamente la forma de la ley de Poisson. Tomemos los parámetros como ejemplo. pag = 0.05 , norte= 10. Luego:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

PAG 0 = 1 0.05 0 (1 - 0.05) 10 - 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987;
PAG 1 = 10 0.05 1 (1 - 0.05) 10 - 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151;
PAG 2 = 45 0.05 2 (1 - 0.05) 10 - 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746;
PAG 3 = 120 0.05 3 (1 - 0.05) 10 - 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105;
PAG 4 = 210 0.05 4 (1 - 0.05) 10 - 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096;
PAG 5 = 252 0.05 5 (1 - 0.05) 10 - 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006;
PAG 6 = 210 0,05 6 (1 - 0,05) 10 - 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000;
PAG 7 = 120 0.05 7 (1 - 0.05) 10 - 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000;
PAG 8 = 45 0,05 8 (1 - 0,05) 10 - 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000;
PAG 9 = 10 0,05 9 (1 - 0,05) 10 - 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000;
PAG 10 = 1 0.05 10 (1 - 0.05) 10 - 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000

Por supuesto PAG 0 + PAG 1 + PAG 2 + PAG 3 + PAG 4 + PAG 5 + PAG 6 + PAG 7 + PAG 8 + PAG 9 + PAG 10 = 1 .

Arroz. 27.3. Gráfica de distribución de Poisson en p = 0.05 yn = 10

A norte-> ∞ la distribución de Poisson pasa a la ley normal, según el teorema del límite central (cf.

Distribución de Poisson - Caso binomial cuando el número de pruebas norte lo suficientemente grande, y la probabilidad pag desarrollos A pequeña ().

La distribución de Poisson también se denomina distribución de eventos raros. Por ejemplo, el nacimiento de tres o cuatro gemelos por año, la misma ley de distribución tiene el número de átomos en descomposición de una sustancia radiactiva por unidad de tiempo, etc.

La probabilidad de ocurrencia de eventos raros se calcula usando la fórmula de Poisson :

dónde metro número de ocurrencia del evento A;

Valor medio de la distribución de Poisson;

mi= 2.7183 es la base del logaritmo natural.

La ley de Poisson depende de un parámetro: λ (lambda), cuyo significado es el siguiente: es tanto la expectativa matemática como la varianza de una variable aleatoria, distribuida según la ley de Poisson.

Condiciones para la distribución de Poisson

Considere las condiciones bajo las cuales ocurre la distribución de Poisson.

En primer lugar, la distribución de Poisson es el límite de la distribución binomial cuando el número de experimentos norte aumenta indefinidamente (tiende a infinito) y al mismo tiempo la probabilidad pag El éxito en un experimento disminuye indefinidamente (tiende a cero), pero de tal manera que su producto notario público permanece constante en el límite e igual λ (lambda):

Está probado en análisis matemático que la distribución de Poisson con el parámetro λ = notario público se puede utilizar aproximadamente en lugar de binomial, cuando el número de experimentos norte muy alta, pero la probabilidad pag muy pequeño, es decir, en cada experiencia individual un evento A aparece muy raramente.

En segundo lugar, La distribución de Poisson ocurre cuando hay un flujo de eventos llamado el más simple (o flujo de Poisson estacionario) ... El flujo de eventos es la secuencia de momentos tales como la llegada de llamadas al centro de comunicaciones, la llegada de visitantes a la tienda, la llegada de trenes al patio de clasificación, etc. El flujo de Poisson tiene las siguientes propiedades:

estacionariedad: probabilidad de ocurrencia metro los eventos en un cierto período de tiempo es constante y no depende del comienzo de la cuenta de tiempo, sino que depende solo de la duración de la sección de tiempo;
ordinario: la probabilidad de que dos o más eventos caigan en un intervalo de tiempo pequeño es insignificante en comparación con la probabilidad de que caiga un evento en él;
sin consecuencia: probabilidad de ocurrencia metro eventos en un cierto período de tiempo no depende de cuántos eventos ocurrieron en el período anterior.

Características de una variable aleatoria distribuida según la ley de Poisson

Características de una variable aleatoria distribuida según la ley de Poisson:

valor esperado ;

Desviación Estándar ;

diferencia.

Distribución y cálculos de Poisson en MS Excel

Probabilidad de distribución de Poisson PAG(metro) y los valores de la función integral F(metro) se puede calcular utilizando la función de MS Excel POISSON.DIST. La ventana para el cálculo correspondiente se muestra a continuación (para ampliar, haga clic con el botón izquierdo del mouse).

MS Excel requiere que se ingresen los siguientes datos:

X- número de eventos metro;
la media;
integral - valor booleano: 0 - si necesita calcular la probabilidad PAG(metro) y 1 - si la probabilidad F(metro).

Ejemplos de distribución de Poisson

Ejemplo 1. El gerente de una empresa de telecomunicaciones decidió calcular la probabilidad de que 0, 1, 2, ... llamadas lleguen a cierta pequeña ciudad en cinco minutos. Se seleccionaron intervalos aleatorios de cinco minutos, se contó el número de llamadas en cada uno de sus intervalos y se calculó el número promedio de llamadas :.

Calcule la probabilidad de que lleguen 6 llamadas en cinco minutos.

Solución. Por la fórmula de Poisson obtenemos:

Obtenemos el mismo resultado usando la función MS Excel POISSON.DIST (el valor del valor integral es 0):

PAG(6 ) = DISTR.POS. (6; 4,8; 0) = 0,1398.

Calculemos la probabilidad de que no lleguen más de 6 llamadas en cinco minutos (el valor del valor integral es 1):

PAG(≤6 ) = DISTR.POS. (6; 4,8; 1) = 0,7908.

Resuelva el ejemplo usted mismo y luego vea la solución.

Ejemplo 2. El fabricante envió 1000 televisores verificados, es decir, reparables a alguna ciudad. La probabilidad de que el televisor se averíe durante el transporte es de 0,003. Es decir, en este caso, se aplica la ley de distribución de Poisson. Calcule la probabilidad de que, de todos los televisores entregados, los siguientes sean defectuosos: 1) dos televisores; 2) menos de dos televisores.

Seguimos resolviendo ejemplos juntos

Ejemplo 3. El centro de atención al cliente recibe un flujo de llamadas con una intensidad de 0,8 llamadas por minuto. Calcule la probabilidad de que en 2 minutos: a) no llegue ni una sola llamada; b) vendrá exactamente una llamada; c) vendrá al menos una llamada.

Teoría breve

Dejemos que se realicen pruebas independientes, en cada una de las cuales la probabilidad de que ocurra un evento es igual a. La fórmula de Bernoulli se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento en estas pruebas. Si es grande, utilice o. Sin embargo, esta fórmula es inutilizable si es pequeña. En estos casos (grandes, pequeños) se recurre a la asintótica Fórmula de Poisson.

Fijémonos la tarea de encontrar la probabilidad de que con un número muy grande de pruebas, en cada una de las cuales la probabilidad de un evento es muy pequeña, el evento ocurra exactamente una vez. Hagamos una suposición importante: el trabajo permanece constante, a saber. Esto significa que el número promedio de ocurrencias de un evento en varias series de prueba, es decir, a diferentes valores, permanece sin cambios.

Un ejemplo de solución del problema.

Problema 1

La base recibió 10,000 lámparas eléctricas. La probabilidad de que la lámpara se rompa en el camino es de 0,0003. Encuentre la probabilidad de que entre las lámparas resultantes haya cinco lámparas rotas.

Solución

Condición de aplicabilidad de la fórmula de Poisson:

Si la probabilidad de que ocurra un evento en una prueba individual es lo suficientemente cercana a cero, incluso para valores grandes del número de pruebas, la probabilidad calculada por el teorema de Laplace local resulta ser insuficientemente precisa. En tales casos, utilice la fórmula derivada de Poisson.

Deja que el evento - 5 lámparas se rompan

Usemos la fórmula de Poisson:

En nuestro caso:

Respuesta

Tarea 2

La empresa cuenta con 1000 equipos de cierto tipo. La probabilidad de que un equipo falle en una hora es 0,001. Elabore la ley de distribución para el número de fallas de equipos en una hora. Encuentra características numéricas.

Solución

Variable aleatoria: el número de fallas del equipo, puede tomar valores

Usemos la ley de Poisson:

Encontremos estas probabilidades:

La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria distribuida de acuerdo con la ley de Poisson es igual al parámetro de esta distribución:

El precio está fuertemente influenciado por la urgencia de la decisión (desde un día hasta varias horas). La ayuda en línea para el examen / prueba está disponible con cita previa.

Puedes dejar la aplicación directamente en el chat, habiendo descartado previamente el estado de las tareas e informándote los términos de la solución que necesitas. El tiempo de respuesta es de unos minutos.

Donde λ es igual al número promedio de ocurrencias de eventos en las mismas pruebas independientes, es decir λ = n × p, donde p es la probabilidad de un evento en una prueba, e = 2.71828.

La serie de distribución de la ley de Poisson tiene la forma:

Propósito del servicio... La calculadora en línea se utiliza para construir la distribución de Poisson y calcular todas las características de la serie: expectativa matemática, varianza y desviación estándar. El informe con la solución está elaborado en formato Word.

En el caso de que n sea grande y λ = p · n> 10, la fórmula de Poisson da una aproximación muy aproximada y los teoremas locales e integrales de Moivre-Laplace se utilizan para calcular P n (m).

Características numéricas de una variable aleatoria X

Expectativa de distribución de Poisson
M [X] = λ

La varianza de la distribución de Poisson
D [X] = λ

Ejemplo 1. Las semillas contienen 0,1% de malas hierbas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 semillas de malas hierbas en una selección aleatoria de 2000 semillas?
Solución.
La probabilidad p es pequeña, pero el número n es grande. np = 2 P (5) = λ 5 e -5 / 5! = 0.03609
Valor esperado: M [X] = λ = 2
Dispersión: D [X] = λ = 2

Ejemplo No. 2. Entre las semillas de centeno, hay un 0,4% de semillas de malas hierbas. Elabore la ley de distribución del número de malezas con una selección aleatoria de 5000 semillas. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de esta variable aleatoria.
Solución. Expectativa matemática: M [X] = λ = 0.004 * 5000 = 20. Varianza: D [X] = λ = 20
Ley de distribución:

X	0	1	2	…	metro	…
PAG	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 / m!	…

Ejemplo No. 3. En la central telefónica, se produce una conexión incorrecta con una probabilidad de 1/200. Encuentre la probabilidad de que entre 200 conexiones ocurran:
a) exactamente una conexión incorrecta;
b) menos de tres conexiones incorrectas;
c) más de dos conexiones incorrectas.
Solución. Según la condición del problema, la probabilidad de un evento es pequeña; por lo tanto, usamos la fórmula de Poisson (15).
a) Dado: n = 200, p = 1/200, k = 1. Encuentre P 200 (1).
Obtenemos: ... Entonces P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0.3679.
b) Dado: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Tenemos: a = 1.

c) Dado: n = 200, p = 1/200, k> 2. Encuentre P 200 (k> 2).
Este problema se puede resolver de manera más simple: encuentre la probabilidad del evento opuesto, ya que en este caso es necesario calcular menos términos. Teniendo en cuenta el caso anterior, tenemos

Considere el caso en el que n es lo suficientemente grande y p lo suficientemente pequeño; poner np = a, donde a es un número. En este caso, la probabilidad deseada está determinada por la fórmula de Poisson:

La probabilidad de ocurrencia de k eventos durante un tiempo de duración t también se puede encontrar usando la fórmula de Poisson:
donde λ es la intensidad del flujo de eventos, es decir, el número promedio de eventos que aparecen por unidad de tiempo.

Ejemplo No. 4. La probabilidad de que la pieza esté defectuosa es 0,005. Se comprueban 400 piezas. Indique la fórmula para calcular la probabilidad de que se encuentren defectuosas más de 3 piezas.

Ejemplo No. 5. La probabilidad de que aparezcan piezas defectuosas en la producción en masa es p. determine la probabilidad de que un lote de N partes contenga a) exactamente tres partes; b) no más de tres piezas defectuosas.
p = 0,001; N = 4500
Solución.
La probabilidad p es pequeña, pero el número n es grande. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
La variable aleatoria X tiene un rango de valores (0,1,2, ..., m). Las probabilidades de estos valores se pueden encontrar mediante la fórmula:

Encuentre la serie de distribución X.
Aquí λ = np = 4500 * 0.001 = 4.5
P (0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P (1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Entonces, la probabilidad de que un lote de N partes contenga exactamente tres partes es:

Entonces, la probabilidad de que un lote de N piezas no contenga más de tres piezas defectuosas:
P (x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Ejemplo no 6. Una central telefónica automática recibe una media de N llamadas por hora. Determine la probabilidad de que en un minuto dado reciba: a) exactamente dos llamadas; b) más de dos convocatorias.
N = 18
Solución.
Durante un minuto, el ATC recibe en promedio λ = 18/60 minutos. = 0,3
Suponiendo que un número aleatorio X de llamadas que llegan al PBX en un minuto,
obedece la ley de Poisson, por la fórmula encontramos la probabilidad requerida

Encuentre la serie de distribución X.
Aquí λ = 0.3
P (0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P (1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

La probabilidad de que en un minuto determinado reciba exactamente dos llamadas:
P (2) = 0,03334
La probabilidad de que en un minuto determinado reciba más de dos llamadas:
P (x> 2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366

Ejemplo No. 7. Se consideran dos elementos que funcionan de forma independiente. El tiempo de actividad tiene una distribución exponencial con el parámetro λ1 = 0.02 para el primer elemento y λ2 = 0.05 para el segundo elemento. Calcule la probabilidad de que en 10 horas: a) ambos elementos funcionen sin problemas; b) solo la probabilidad de que el elemento n. ° 1 no falle en 10 horas:
Anuncio.
P 1 (0) = e -λ1 * t = e -0.02 * 10 = 0.8187

La probabilidad de que en 10 horas el elemento n. ° 2 no falle:
P 2 (0) = e -λ2 * t = e -0,05 * 10 = 0,6065

a) ambos elementos funcionarán a la perfección;
P (2) = P 1 (0) * P 2 (0) = 0.8187 * 0.6065 = 0.4966
b) solo un elemento fallará.
P (1) = P 1 (0) * (1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0)) * P 2 (0) = 0,8187 * (1-0,6065) + (1-0,8187) * 0,6065 = 0,4321

Ejemplo No. 7. La producción da el 1% de la chatarra. ¿Cuál es la probabilidad de que de 1100 ítems tomados para investigación, no más de 17 sean rechazados?
Nota: dado que aquí n * p = 1100 * 0.01 = 11> 10, entonces es necesario usar