Cómo describir un círculo alrededor de un trapecio isósceles. Recuerda y aplica las propiedades de un trapezoide.

Si un círculo está inscrito en un trapezoide, el problema tiene varios caminos por los que se puede llevar a cabo el razonamiento.

1. Un círculo puede inscribirse en un cuadrilátero si y sólo si las sumas de las longitudes de sus lados opuestos son iguales. Resulta que Si un círculo está inscrito en un trapezoide, entonces la suma de sus bases es igual a la suma de los lados.

AB+CD=AD+BC

2. Los segmentos tangentes trazados desde un punto son iguales. Resulta que

3. La altura de un trapecio es igual a la longitud del diámetro del círculo inscrito o a dos de sus radios.

MK es la altura del trapezoide, MK=2r, donde r es el radio del círculo inscrito en el trapezoide.

4. El centro de la circunferencia es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos del trapezoide.

Veamos un problema básico.

Encuentre el radio de un círculo inscrito en un trapezoide si el punto de contacto divide el lado en segmentos de longitud m y n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180º (como la suma de los ángulos internos unilaterales de las rectas paralelas AD y BC y secante CD);

2) dado que el punto O es el punto de intersección de las bisectrices de las esquinas del trapezoide, entonces ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;

3) como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, entonces en el triángulo COD ∠COD=90º;

4) así, el triángulo COD es rectángulo y OF es la altura dibujada hasta la hipotenusa, CF y FD son las proyecciones de los catetos OC y OD hasta la hipotenusa. Dado que la altura dibujada hasta la hipotenusa está entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa,

Por tanto, el radio de un círculo inscrito en un trapezoide se expresa en términos de las longitudes de los segmentos, ya que el lado lateral se divide por el punto de contacto, como

Y como la altura de un trapezoide es igual a su diámetro, la altura del trapezoide se puede expresar en términos de las longitudes de estos segmentos.

Un trapecio es un caso especial de cuadrilátero en el que un par de lados son paralelos. El término "trapezoide" proviene de la palabra griega τράπεζα, que significa "mesa", "mesa". En este artículo veremos los tipos de trapezoide y sus propiedades. Además, descubriremos cómo calcular elementos individuales de este. Por ejemplo, la diagonal de un trapezoide isósceles, la línea central, el área, etc. El material se presenta en el estilo de la geometría popular elemental, es decir, en una forma de fácil acceso. .

información general

Primero, averigüemos qué es un cuadrilátero. Esta figura es un caso especial de un polígono que contiene cuatro lados y cuatro vértices. Dos vértices de un cuadrilátero que no son adyacentes se llaman opuestos. Lo mismo puede decirse de dos lados no adyacentes. Los principales tipos de cuadriláteros son paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado, trapezoide y deltoides.

Entonces volvamos a los trapecios. Como ya hemos dicho, esta figura tiene dos lados paralelos. Se llaman bases. Los otros dos (no paralelos) son los lados laterales. En los materiales de los exámenes y diversas pruebas, a menudo se pueden encontrar problemas relacionados con los trapecios, cuya solución a menudo requiere que el estudiante tenga conocimientos no previstos en el programa. El curso de geometría escolar presenta a los estudiantes las propiedades de los ángulos y las diagonales, así como la línea media de un trapezoide isósceles. Pero, además de esto, la mencionada figura geométrica tiene otras características. Pero hablaremos de ellos un poco más adelante...

Tipos de trapezoide

Hay muchos tipos de esta figura. Sin embargo, la mayoría de las veces se acostumbra considerar dos de ellos: isósceles y rectangular.

1. Un trapecio rectangular es una figura en la que uno de los lados es perpendicular a las bases. Sus dos ángulos siempre son iguales a noventa grados.

2. Un trapecio isósceles es una figura geométrica cuyos lados son iguales entre sí. Esto significa que los ángulos en las bases también son iguales en pares.

Los principios fundamentales de la metodología para estudiar las propiedades de un trapezoide.

El principio fundamental incluye el uso del llamado enfoque de tareas. De hecho, no es necesario introducir nuevas propiedades de esta figura en el curso teórico de geometría. Pueden descubrirse y formularse en el proceso de resolución de diversos problemas (preferiblemente sistémicos). Al mismo tiempo, es muy importante que el docente sepa qué tareas deben asignarse a los estudiantes en un momento u otro del proceso educativo. Además, cada propiedad de un trapecio se puede representar como una tarea clave en el sistema de tareas.

El segundo principio es la llamada organización en espiral del estudio de las propiedades "notables" del trapezoide. Esto implica un retorno en el proceso de aprendizaje a las características individuales de una figura geométrica determinada. Esto hace que sea más fácil para los estudiantes recordarlos. Por ejemplo, la propiedad de cuatro puntos. Se puede demostrar tanto al estudiar la similitud como posteriormente al utilizar vectores. Y la equivalencia de los triángulos adyacentes a los lados laterales de una figura se puede probar aplicando no solo las propiedades de los triángulos con alturas iguales dibujados a los lados que se encuentran en la misma línea recta, sino también usando la fórmula S = 1/2( ab*sinα). Además, puedes trabajar sobre un trapecio inscrito o un triángulo rectángulo sobre un trapezoide inscrito, etc.

El uso de características "extracurriculares" de una figura geométrica en el contenido de un curso escolar es una tecnología basada en tareas para enseñarlas. Hacer referencia constante a las propiedades que se estudian mientras se analizan otros temas permite a los estudiantes obtener un conocimiento más profundo del trapezoide y garantiza el éxito en la resolución de los problemas asignados. Entonces, comencemos a estudiar esta maravillosa figura.

Elementos y propiedades de un trapecio isósceles.

Como ya hemos señalado, esta figura geométrica tiene lados iguales. También se le conoce como trapezoide correcto. ¿Por qué es tan notable y por qué recibió ese nombre? La peculiaridad de esta figura es que no solo los lados y ángulos en las bases son iguales, sino también las diagonales. Además, la suma de los ángulos de un trapezoide isósceles es 360 grados. ¡Pero eso no es todo! De todos los trapecios conocidos, sólo el isósceles puede describirse como un círculo. Esto se debe al hecho de que la suma de los ángulos opuestos de esta figura es igual a 180 grados, y sólo bajo esta condición se puede describir un círculo alrededor de un cuadrilátero. La siguiente propiedad de la figura geométrica considerada es que la distancia desde el vértice de la base hasta la proyección del vértice opuesto sobre la recta que contiene esta base será igual a la línea media.

Ahora descubramos cómo encontrar los ángulos de un trapezoide isósceles. Consideremos una solución a este problema, siempre que se conozcan las dimensiones de los lados de la figura.

Solución

Por lo general, un cuadrilátero suele denotarse con las letras A, B, C, D, donde BS y AD son las bases. En un trapecio isósceles los lados son iguales. Supondremos que su tamaño es igual a X, y que los tamaños de las bases son iguales a Y y Z (menor y mayor, respectivamente). Para realizar el cálculo es necesario trazar la altura H desde el ángulo B. El resultado es un triángulo rectángulo ABN, donde AB es la hipotenusa y BN y AN son los catetos. Calculamos el tamaño del cateto AN: restamos el menor a la base mayor, y dividimos el resultado entre 2. Lo escribimos en forma de fórmula: (Z-Y)/2 = F. Ahora, para calcular el cateto AN ángulo del triángulo, usamos la función cos. Obtenemos la siguiente entrada: cos(β) = X/F. Ahora calculamos el ángulo: β=arcos (X/F). Además, conociendo un ángulo, podemos determinar el segundo, para ello realizamos una operación aritmética elemental: 180 - β. Todos los ángulos están definidos.

Hay una segunda solución a este problema. Primero lo bajamos desde la esquina hasta la altura H. Calculamos el valor del cateto BN. Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Obtenemos: BN = √(X2-F2). A continuación usamos la función trigonométrica tg. Como resultado, tenemos: β = arctan (BN/F). Se ha encontrado un ángulo agudo. A continuación, lo definimos de manera similar al primer método.

Propiedad de las diagonales de un trapezoide isósceles

Primero, escribamos cuatro reglas. Si las diagonales de un trapezoide isósceles son perpendiculares, entonces:

La altura de la figura será igual a la suma de las bases dividida por dos;

Su altura y línea media son iguales;

El centro del círculo es el punto en el que ;

Si el lado lateral se divide por el punto de tangencia en los segmentos H y M, entonces es igual a la raíz cuadrada del producto de estos segmentos;

El cuadrilátero que está formado por los puntos de tangencia, el vértice del trapezoide y el centro del círculo inscrito es un cuadrado cuyo lado es igual al radio;

El área de una figura es igual al producto de las bases por el producto de la mitad de la suma de las bases y su altura.

Trapecios similares

Este tema es muy conveniente para estudiar las propiedades de este. Por ejemplo, las diagonales dividen un trapezoide en cuatro triángulos, y las adyacentes a las bases son similares y las adyacentes a los lados son iguales en tamaño. Esta afirmación puede denominarse propiedad de los triángulos en que se divide el trapezoide por sus diagonales. La primera parte de esta afirmación se prueba mediante el signo de semejanza en dos ángulos. Para probar la segunda parte, es mejor utilizar el método que se indica a continuación.

Prueba del teorema

Aceptamos que la figura ABSD (AD y BS son las bases del trapezoide) se divide por las diagonales VD y AC. El punto de su intersección es O. Obtenemos cuatro triángulos: AOS - en la base inferior, BOS - en la base superior, ABO y SOD en los lados. Los triángulos SOD y BOS tienen una altura común si los segmentos BO y OD son sus bases. Encontramos que la diferencia entre sus áreas (P) es igual a la diferencia entre estos segmentos: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Por lo tanto, PSOD = PBOS/K. De manera similar, los triángulos BOS y AOB tienen una altura común. Tomamos como base los segmentos CO y OA. Obtenemos PBOS/PAOB = CO/OA = K y PAOB = PBOS/K. De esto se deduce que PSOD = PAOB.

Para consolidar el material, se recomienda a los estudiantes encontrar la conexión entre las áreas de los triángulos resultantes en los que se divide el trapezoide por sus diagonales resolviendo el siguiente problema. Se sabe que los triángulos BOS y AOD tienen áreas iguales, es necesario encontrar el área del trapezoide. Dado que PSOD = PAOB, significa PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. De la similitud de los triángulos BOS y AOD se deduce que BO/OD = √(PBOS/PAOD). Por lo tanto, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Obtenemos PSOD = √(PBOS*PAOD). Entonces PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Propiedades de similitud

Continuando desarrollando este tema, podemos probar otras características interesantes de los trapecios. Así, mediante la semejanza se puede demostrar la propiedad de un segmento que pasa por el punto formado por la intersección de las diagonales de esta figura geométrica, paralelo a las bases. Para ello, resolvamos el siguiente problema: necesitamos encontrar la longitud del segmento RK que pasa por el punto O. De la similitud de los triángulos AOD y BOS se deduce que AO/OS = AD/BS. De la semejanza de los triángulos AOP y ASB se deduce que AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=BS*BP/(BS+BP). De manera similar, de la similitud de los triángulos DOC y DBS, se deduce que OK = BS*AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=OK y RK=2*BS*AD/(BS+AD). Un segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales, paralelo a las bases y que conecta dos lados laterales, se divide por la mitad por el punto de intersección. Su longitud es la media armónica de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de un trapezoide, que se llama propiedad de los cuatro puntos. Los puntos de intersección de las diagonales (O), la intersección de la continuación de los lados (E), así como los puntos medios de las bases (T y F) siempre se encuentran en la misma línea. Esto se puede demostrar fácilmente mediante el método de semejanza. Los triángulos resultantes BES y AED son semejantes, y en cada uno de ellos las medianas ET y EJ dividen el ángulo del vértice E en partes iguales. Por tanto, los puntos E, T y F se encuentran en la misma recta. De la misma forma, en la misma recta se ubican los puntos T, O y Zh. Todo esto se deriva de la similitud de los triángulos BOS y AOD. De aquí concluimos que los cuatro puntos (E, T, O y F) estarán en la misma línea recta.

Usando trapecios similares, puede pedirles a los estudiantes que encuentren la longitud del segmento (LS) que divide la figura en dos similares. Este segmento debe ser paralelo a las bases. Dado que los trapecios resultantes ALFD y LBSF son similares, entonces BS/LF = LF/AD. De ello se deduce que LF=√(BS*AD). Encontramos que el segmento que divide el trapecio en dos similares tiene una longitud igual a la media geométrica de las longitudes de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de similitud. Se basa en un segmento que divide el trapezoide en dos figuras iguales. Suponemos que el trapezoide ABSD está dividido por el segmento EH en dos similares. Desde el vértice B se omite una altura, que se divide por el segmento EN en dos partes: B1 y B2. Obtenemos: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 y PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. A continuación, componemos un sistema cuya primera ecuación es (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 y la segunda (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. De ello se deduce que B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) y BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Encontramos que la longitud del segmento que divide el trapezoide en dos iguales es igual a la raíz cuadrática media de las longitudes de las bases: √((BS2+AD2)/2).

Hallazgos de similitud

Así, hemos demostrado que:

1. El segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales de un trapezoide es paralelo a AD y BS y es igual a la media aritmética de BS y AD (la longitud de la base del trapezoide).

2. La recta que pasa por el punto O de la intersección de las diagonales paralelas a AD y BS será igual a la media armónica de los números AD y BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. El segmento que divide el trapezoide en otros semejantes tiene la longitud de la media geométrica de las bases BS y AD.

4. Un elemento que divide una figura en dos iguales tiene la longitud de la raíz cuadrática media de los números AD y BS.

Para consolidar el material y comprender la conexión entre los segmentos considerados, el estudiante necesita construirlos para un trapezoide específico. Puede representar fácilmente la línea media y el segmento que pasa por el punto O, la intersección de las diagonales de la figura, paralelo a las bases. ¿Pero dónde estarán ubicados el tercero y el cuarto? Esta respuesta llevará al estudiante al descubrimiento de la relación deseada entre valores medios.

Un segmento que conecta los puntos medios de las diagonales de un trapezoide.

Considere la siguiente propiedad de esta figura. Suponemos que el segmento MH es paralelo a las bases y biseca las diagonales. Llamemos a los puntos de intersección Ш y Ш. Este segmento será igual a la mitad de la diferencia de las bases. Veamos esto con más detalle. MS es la línea media del triángulo ABS, es igual a BS/2. MSH es la línea media del triángulo ABD, es igual a AD/2. Entonces obtenemos que ShShch = MSh-MSh, por lo tanto, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centro de gravedad

Veamos cómo se determina este elemento para una figura geométrica determinada. Para ello, es necesario extender las bases en direcciones opuestas. ¿Qué significa? Debe agregar la base inferior a la base superior, en cualquier dirección, por ejemplo, hacia la derecha. Y extendemos el inferior a lo largo del superior hacia la izquierda. A continuación, los conectamos en diagonal. El punto de intersección de este segmento con la línea media de la figura es el centro de gravedad del trapezoide.

Trapecios inscritos y circunscritos

Enumeremos las características de tales figuras:

1. Un trapecio puede inscribirse en una circunferencia sólo si es isósceles.

2. Se puede describir un trapezoide alrededor de un círculo, siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de los lados.

Corolarios del círculo:

1. La altura del trapezoide descrito es siempre igual a dos radios.

2. El lado del trapezoide descrito se observa desde el centro del círculo en ángulo recto.

El primer corolario es obvio, pero para demostrar el segundo es necesario establecer que el ángulo SOD es recto, lo cual, de hecho, tampoco es difícil. Pero el conocimiento de esta propiedad le permitirá utilizar un triángulo rectángulo al resolver problemas.

Ahora especifiquemos estas consecuencias para un trapezoide isósceles inscrito en un círculo. Encontramos que la altura es la media geométrica de las bases de la figura: H=2R=√(BS*AD). Mientras practica la técnica básica para resolver problemas de trapecios (el principio de dibujar dos alturas), el alumno debe resolver la siguiente tarea. Suponemos que BT es la altura de la figura isósceles ABSD. Es necesario encontrar los segmentos AT y TD. Usando la fórmula descrita anteriormente, esto no será difícil de hacer.

Ahora descubramos cómo determinar el radio de un círculo usando el área del trapezoide circunscrito. Bajamos la altura desde el vértice B hasta la base AD. Como el círculo está inscrito en un trapezoide, entonces BS+AD = 2AB o AB = (BS+AD)/2. Del triángulo ABN encontramos senα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Obtenemos PABSD = (BS+BP)*R, se deduce que R = PABSD/(BS+BP).

Todas las fórmulas para la línea media de un trapezoide.

Ahora toca pasar al último elemento de esta figura geométrica. Averigüemos a qué es igual la línea media del trapezoide (M):

1. Por las bases: M = (A+B)/2.

2. Por altura, base y esquinas:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. A través de la altura, las diagonales y el ángulo entre ellas. Por ejemplo, D1 y D2 son las diagonales de un trapezoide; α, β - ángulos entre ellos:

M = D1*D2*senα/2Н = D1*D2*senβ/2Н.

4. Área pasante y altura: M = P/N.

¿Cómo encontrar el circunradio de un trapezoide?

Dependiendo de las condiciones, esto se puede hacer de diferentes maneras. No existe una fórmula preparada para calcular el radio de un círculo circunscrito a un trapezoide.

I. El radio de un círculo circunscrito alrededor de un trapezoide como el radio de un círculo circunscrito alrededor de un triángulo cuyos vértices son los vértices del trapezoide

La circunferencia circunscrita de un trapezoide pasa por todos sus vértices, por tanto, está circunscrita a cualquiera de los triángulos cuyos vértices son los vértices del trapecio.

En general, se puede encontrar usando una de las fórmulas.

donde a es el lado del triángulo, α es el ángulo opuesto;

o por fórmula

donde a, b, c son los lados, S es el área del triángulo.

Para un trapezoide ABCD, el radio se puede encontrar, por ejemplo, como el radio de un círculo circunscrito al triángulo ABD:

donde el seno del ángulo A se puede encontrar en el triángulo rectángulo ABF:

III. El radio de un círculo circunscrito alrededor de un trapezoide como la distancia al punto de intersección de las bisectrices perpendiculares.

El radio de la circunferencia circunscrita es el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares con los lados del trapezoide. (Puedes razonar de otra manera: en el triángulo isósceles AOD (AO=OD=R), la altura ON también es la mediana. Para el triángulo BOC, lo mismo ocurre).

Si se conoce la altura del trapezoide KN=h, las bases AD=a, BC=b se pueden designar ON=x.

Si el centro del círculo está dentro del trapezoide, OK=h-x, de los triángulos rectángulos ANO y BKO podemos expresar

e igualar los lados derechos

Resolviendo estas ecuaciones para x, puedes encontrar R.

IV. Si la diagonal de un trapezoide es perpendicular al lado, el centro del círculo circunscrito se encuentra en el medio de la base mayor y el radio es la mitad de la base mayor.

Trabajo de proyecto “Propiedades interesantes de un trapecio” Realizado por: Estudiantes de décimo grado Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Escuela secundaria s. N.Batako Responsable: Gagieva A.O. 20 de noviembre de 2015

Objeto del trabajo: Considerar las propiedades del trapezoide, que no se estudian en el curso de geometría de la escuela, pero al resolver problemas geométricos del Examen Estatal Unificado de la parte ampliada C 4, puede ser necesario saber y poder aplicar precisamente estas propiedades.

Propiedades de un trapezoide: Si un trapezoide se divide por una recta paralela a sus bases igual a a y b, en dos trapecios iguales. Entonces el segmento de esta recta, encerrado entre los lados laterales, es igual a B para

Propiedad de un segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales de un trapezoide. El segmento paralelo a las bases que pasa por el punto de intersección de las diagonales es igual a: a en c

Propiedades de un trapezoide: Un segmento de recta paralela a las bases de un trapezoide, encerrado dentro del trapezoide, se divide en tres partes por sus diagonales. Entonces los segmentos adyacentes a los lados son iguales entre sí. MP=OK R M O K

Propiedades de un trapezoide isósceles: Si un círculo se puede inscribir en un trapezoide, entonces el radio del círculo es el promedio proporcional a los segmentos en los que el punto tangente divide el lado. O S V A D. E O

Propiedades de un trapezoide isósceles: si el centro del círculo circunscrito se encuentra en la base del trapezoide, entonces su diagonal es perpendicular al lado O A B C D

Propiedades de un trapezoide isósceles: Se puede inscribir un círculo en un trapezoide isósceles si el lado del lado es igual a su línea media. S V A D h

1) Si el enunciado del problema dice que un círculo está inscrito en un trapezoide rectangular, puedes usar las siguientes propiedades: 1. La suma de las bases del trapezoide es igual a la suma de los lados. 2. Las distancias desde el vértice del trapezoide a los puntos tangentes del círculo inscrito son iguales. 3. La altura de un trapezoide rectangular es igual a su lado menor e igual al diámetro del círculo inscrito. 4. El centro del círculo inscrito es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos del trapezoide. 5. Si el punto tangente divide el lado en segmentos myn, entonces el radio del círculo inscrito es igual a

Propiedades de un trapezoide rectangular en el que está inscrito un círculo: 1) Un cuadrilátero formado por el centro del círculo inscrito, los puntos de contacto y el vértice del trapezoide: un cuadrado cuyo lado es igual al radio. (AMOE y BKOM son cuadrados de lado r). 2) Si un círculo está inscrito en un trapezoide rectangular, entonces el área del trapezoide es igual al producto de sus bases: S=AD*BC

Demostración: El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases por su altura: denotemos CF=m, FD=n. Como las distancias de los vértices a los puntos tangentes son iguales, la altura del trapezoide es igual a dos radios del círculo inscrito, y

I. Las bisectrices de los ángulos en el lado lateral del trapezoide se cortan en un ángulo de 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (como unilateral interna con AD∥BC y secante AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (ya que las bisectrices bisecan los ángulos). 3) Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, en el triángulo ABK tenemos: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, por lo tanto ∠AKB=180-90=90º. Conclusión: Las bisectrices del lado lateral de un trapezoide se cortan en ángulo recto. Esta afirmación se utiliza al resolver problemas sobre un trapezoide en el que está inscrito un círculo.

I I. El punto de intersección de las bisectrices del trapezoide adyacente al lado lateral se encuentra en la línea media del trapezoide. Supongamos que la bisectriz del ángulo ABC corta al lado AD en el punto S. Entonces el triángulo ABS es isósceles con base BS, lo que significa que su bisectriz AK también es una mediana, es decir, el punto K es el punto medio de BS. Si M y N son los puntos medios de los lados laterales del trapezoide, entonces MN es la línea media del trapezoide y MN∥AD. Dado que M y K son los puntos medios de AB y BS, entonces MK es la línea media del triángulo ABS y MK∥AS. Como sólo se puede trazar una línea paralela a ésta a través del punto M, el punto K se encuentra en la línea media del trapezoide.

III. El punto de intersección de las bisectrices de ángulos agudos en la base de un trapezoide pertenece a otra base. En este caso, los triángulos ABK y DCK son isósceles con bases AK y DK, respectivamente. Por lo tanto, BC=BK+KC=AB+CD. Conclusión: Si las bisectrices de los ángulos agudos de un trapezoide se cortan en un punto que pertenece a la base más pequeña, entonces la base más pequeña es igual a la suma de los lados laterales del trapezoide. Un trapezoide isósceles en este caso tiene una base más pequeña que duplica el tamaño de su lado.

I V. El punto de intersección de las bisectrices de ángulos obtusos en la base del trapezoide pertenece a otra base. En este caso, los triángulos ABF y DCF son isósceles con bases BF y CF, respectivamente. Por lo tanto AD=AF+FD=AB+CD. Conclusión: Si las bisectrices de los ángulos obtusos de un trapezoide se cruzan en un punto que pertenece a la base mayor, entonces la base mayor es igual a la suma de los lados laterales del trapezoide. En este caso, un trapezoide isósceles tiene una base más grande que mide el doble de su lado.

Si se puede inscribir un trapezoide isósceles con lados a, b, c, d y se pueden dibujar círculos a su alrededor, entonces el área del trapezoide es

Un trapezoide es una figura geométrica con cuatro ángulos. Al construir un trapezoide, es importante tener en cuenta que dos lados opuestos son paralelos y los otros dos, por el contrario, no son paralelos entre sí. Esta palabra llegó a los tiempos modernos desde la Antigua Grecia y sonaba como “trapedzion”, que significaba “mesa”, “mesa de comedor”.

Este artículo habla de las propiedades de un trapezoide circunscrito a un círculo. También veremos los tipos y elementos de esta figura.

Elementos, tipos y características de la figura geométrica trapezoide.

Los lados paralelos de esta figura se llaman bases y los que no lo son se llaman lados. Siempre que los lados tengan la misma longitud, el trapezoide se considera isósceles. Un trapezoide cuyos lados son perpendiculares a la base formando un ángulo de 90° se llama rectangular.

Esta figura aparentemente simple tiene un número considerable de propiedades inherentes a ella, destacando sus características:

Si dibujas una línea media a lo largo de los lados, será paralela a las bases. Este segmento será igual a la 1/2 de la diferencia de las bases.
Al construir una bisectriz desde cualquier esquina de un trapezoide, se forma un triángulo equilátero.
Por las propiedades de un trapezoide descritas alrededor de un círculo, se sabe que la suma de los lados paralelos debe ser igual a la suma de las bases.
Al construir segmentos diagonales, donde uno de los lados es la base de un trapezoide, los triángulos resultantes serán similares.
Al construir segmentos diagonales, donde uno de los lados es lateral, los triángulos resultantes tendrán igual área.
Si continuamos las líneas laterales y construimos un segmento desde el centro de la base, entonces el ángulo formado será igual a 90°. El segmento que conecta las bases será igual a la mitad de su diferencia.

Propiedades de un trapecio circunscrito a una circunferencia

Es posible encerrar un círculo en un trapezoide sólo bajo una condición. Esta condición es que la suma de los lados debe ser igual a la suma de las bases. Por ejemplo, al construir un AFDM trapezoide, se aplica AF + DM = FD + AM. Sólo en este caso se puede encerrar un círculo en un trapezoide.

Entonces, más sobre las propiedades del trapezoide descritas alrededor de un círculo:

Si un círculo está encerrado en un trapecio, entonces para encontrar la longitud de su línea que cruza la figura por la mitad, es necesario encontrar la mitad de la suma de las longitudes de los lados.

Al construir un trapezoide circunscrito a un círculo, la hipotenusa formada es idéntica al radio del círculo y la altura del trapezoide es también el diámetro del círculo.

Otra propiedad de un trapecio isósceles circunscrito a un círculo es que su lado es inmediatamente visible desde el centro del círculo en un ángulo de 90°.

Un poco más sobre las propiedades de un trapezoide encerrado en un círculo.

En una circunferencia sólo se puede inscribir un trapezoide isósceles. Esto significa que es necesario cumplir las condiciones bajo las cuales el trapezoide AFDM construido cumplirá los siguientes requisitos: AF + DM = FD + MA.

El teorema de Ptolomeo establece que en un trapezoide encerrado en un círculo, el producto de las diagonales es idéntico e igual a la suma de los lados opuestos multiplicada. Esto significa que al construir un círculo circunscrito alrededor del trapezoide AFDM, se aplica lo siguiente: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Muy a menudo, en los exámenes escolares hay problemas que requieren resolver problemas con un trapezoide. Es necesario memorizar una gran cantidad de teoremas, pero si no puedes aprenderlos de inmediato, no importa. Es mejor recurrir periódicamente a las sugerencias de los libros de texto para que este conocimiento encaje en su cabeza por sí solo, sin mucha dificultad.