Información básica sobre expresiones racionales y sus transformaciones. Transformación de expresiones racionales Ejemplos de expresiones racionales fraccionarias con soluciones

En primer lugar, para aprender a trabajar con fracciones racionales sin errores, debe aprender las fórmulas de multiplicación abreviadas. Y no es fácil de aprender: deben reconocerse incluso cuando los senos, los logaritmos y las raíces actúan como términos.

Sin embargo, la herramienta principal sigue siendo la factorización del numerador y denominador de una fracción racional. Esto se puede lograr de tres formas diferentes:

En realidad, de acuerdo con la fórmula de la multiplicación abreviada: te permiten doblar un polinomio en uno o más factores;
Usando la factorización de un trinomio cuadrado en términos del discriminante. El mismo método nos permite asegurarnos de que ningún trinomio se descomponga en factores en absoluto;
El método de agrupamiento es la herramienta más difícil, pero es el único método que funciona si los dos anteriores no funcionaron.

Como probablemente habrás adivinado por el título de este video, hablaremos de fracciones racionales nuevamente. Hace apenas unos minutos, terminé una lección con un alumno de décimo grado y ahí estábamos analizando estas mismas expresiones. Por lo tanto, esta lección estará dirigida específicamente a estudiantes de secundaria.

Seguramente muchos ahora tendrán una pregunta: "¿Por qué los alumnos de los grados 10-11 deberían aprender cosas tan simples como fracciones racionales, porque esto se hace en el grado 8?" Pero el problema es que la mayoría de la gente simplemente "pasa" este tema. En los grados 10-11, ya no recuerdan cómo se hace la multiplicación, división, resta y suma de fracciones racionales del octavo grado, pero es sobre este simple conocimiento que se construyen construcciones más complejas, como la solución de logarítmico. , ecuaciones trigonométricas y muchas otras expresiones complejas, por lo que prácticamente no hay nada que hacer en la escuela secundaria sin fracciones racionales.

Fórmulas para resolver problemas.

Vamos a ir al grano. En primer lugar, necesitamos dos hechos: dos conjuntos de fórmulas. En primer lugar, debe conocer las fórmulas de multiplicación abreviadas:

$ ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right) $ - diferencia de cuadrados;
$ ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ left (a \ pm b \ right)) ^ (2)) $ - el cuadrado de la suma o diferencia;
$ ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ left (a + b \ right) \ left (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ (2)) \ right) $ - la suma de cubos;
$ ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ left (ab \ right) \ left (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2 )) \ right) $ - diferencia de cubos.

En su forma pura, no se encuentran en ningún ejemplo y en expresiones serias reales. Por tanto, nuestra tarea es aprender a ver construcciones mucho más complejas bajo las letras $ a $ y $ b $, por ejemplo, logaritmos, raíces, senos, etc. Puede aprender a ver esto solo a través de la práctica constante. Por eso es absolutamente necesario resolver fracciones racionales.

La segunda fórmula, completamente obvia, es la factorización de un trinomio cuadrado:

$ ((x) _ (1)) $; $ ((x) _ (2)) $ - raíces.

Nos hemos ocupado de la parte teórica. Pero, ¿cómo resolver fracciones racionales reales, que se consideran en octavo grado? Ahora vamos a practicar.

Problema número 1

\ [\ frac (27 ((a) ^ (3)) - 64 ((b) ^ (3))) (((b) ^ (3)) - 4): \ frac (9 ((a) ^ (2)) + 12ab + 16 ((b) ^ (2))) (((b) ^ (2)) + 4b + 4) \]

Intentemos aplicar las fórmulas anteriores para resolver fracciones racionales. En primer lugar, quiero explicar por qué es necesario el factoring. El caso es que a primera vista en la primera parte de la tarea, quieres reducir un cubo con un cuadrado, pero esto es absolutamente imposible, porque son términos en el numerador y en el denominador, pero en ningún caso son factores. .

En general, ¿qué es una reducción? La abreviatura es una regla general para tratar este tipo de expresiones. La propiedad principal de una fracción es que podemos multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, que no sea cero. En este caso, cuando reducimos, entonces, por el contrario, dividimos por el mismo número, diferente de "cero". Sin embargo, debemos dividir todos los términos del denominador por el mismo número. No puedes hacer eso. Y tenemos derecho a cancelar el numerador con el denominador solo cuando ambos están factorizados. Vamos a hacerlo.

Ahora necesita ver cuántos términos hay en uno u otro elemento, de acuerdo con esto, averigüe qué fórmula debe usarse.

Convirtamos cada expresión en un cubo exacto:

Reescribamos el numerador:

\ [((\ left (3a \ right)) ^ (3)) - ((\ left (4b \ right)) ^ (3)) = \ left (3a-4b \ right) \ left (((\ left (3a \ derecha)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ izquierda (4b \ derecha)) ^ (2)) \ derecha) \]

Echemos un vistazo al denominador. Expandámoslo de acuerdo con la fórmula de la diferencia de cuadrados:

\ [((b) ^ (2)) - 4 = ((b) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) = \ left (b-2 \ right) \ left (b + 2 \ Derecha) \]

Ahora veamos la segunda parte de la expresión:

Numerador:

Queda por averiguar el denominador:

\ [((b) ^ (2)) + 2 \ cdot 2b + ((2) ^ (2)) = ((\ left (b + 2 \ right)) ^ (2)) \]

Reescribamos toda la construcción teniendo en cuenta los hechos anteriores:

\ [\ frac (\ left (3a-4b \ right) \ left (((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ ( 2)) \ right)) (\ left (b-2 \ right) \ left (b + 2 \ right)) \ cdot \ frac (((\ left (b + 2 \ right)) ^ (2))) (((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (\ left (3a-4b \ right) \ left (b + 2 \ right)) (\ left (b-2 \ right)) \]

Matices de multiplicar fracciones racionales.

La conclusión clave de estas construcciones es la siguiente:

No todos los polinomios están factorizados.
Incluso si se desarrolla, es necesario observar cuidadosamente qué fórmula exacta para la multiplicación abreviada.

Para hacer esto, en primer lugar, necesita estimar cuántos sumandos hay (si hay dos, entonces todo lo que podemos hacer es expandirlos por la suma de la diferencia de cuadrados, o por la suma o diferencia de cubos; y si hay tres, entonces esto es, sin ambigüedades, el cuadrado de la suma o el cuadrado de la diferencia). A menudo sucede que el numerador o el denominador no requieren factorización en absoluto, puede ser lineal o su discriminante será negativo.

Problema número 2

\ [\ frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) \ cdot \ frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \ cdot \ frac (8 - ((x) ^ (3))) (4 ((x) ^ (2)) - 1) \]

En general, el esquema para resolver este problema no es diferente del anterior: simplemente habrá más acciones y se volverán más diversas.

Comencemos con la primera fracción: veamos su numerador y hagamos posibles transformaciones:

Ahora veamos el denominador:

Con la segunda fracción: no se puede hacer nada en el numerador, porque esta es una expresión lineal y no se le puede quitar ningún factor. Veamos el denominador:

\ [((x) ^ (2)) - 4x + 4 = ((x) ^ (2)) - 2 \ cdot 2x + ((2) ^ (2)) = ((\ left (x-2 \ derecha)) ^ (2)) \]

Pasamos a la tercera fracción. Numerador:

Tratemos con el denominador de la última fracción:

Reescribamos la expresión teniendo en cuenta los hechos anteriores:

\ [\ frac (3 \ left (1-2x \ right)) (2 \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) \ cdot \ frac (2x + 1) ((( \ left (x-2 \ right)) ^ (2))) \ cdot \ frac (\ left (2-x \ right) \ left (((2) ^ (2)) + 2x + ((x) ^ (2)) \ derecha)) (\ izquierda (2x-1 \ derecha) \ izquierda (2x + 1 \ derecha)) = \]

\ [= \ frac (-3) (2 \ left (2-x \ right)) = - \ frac (3) (2 \ left (2-x \ right)) = \ frac (3) (2 \ left (x-2 \ derecha)) \]

Matices de solución

Como puede ver, no todo y no siempre se basa en las fórmulas de multiplicación abreviadas; a veces es suficiente excluir una constante o una variable de los corchetes. Sin embargo, también existe la situación opuesta, cuando hay tantos términos o están construidos de tal manera que las fórmulas para la multiplicación abreviada son generalmente imposibles. En este caso, una herramienta universal viene en nuestra ayuda, a saber, el método de agrupación. Esto es lo que aplicaremos ahora en la siguiente tarea.

Problema número 3

\ [\ frac (((a) ^ (2)) + ab) (5a - ((a) ^ (2)) + ((b) ^ (2)) - 5b) \ cdot \ frac (((a ) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10a) (((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \]

Echemos un vistazo a la primera parte:

\ [((a) ^ (2)) + ab = a \ left (a + b \ right) \]

\ [= 5 \ left (ab \ right) - \ left (ab \ right) \ left (a + b \ right) = \ left (ab \ right) \ left (5-1 \ left (a + b \ right ) \ derecha) = \]

\ [= \ left (a-b \ right) \ left (5-a-b \ right) \]

Reescribamos la expresión original:

\ [\ frac (a \ left (a + b \ right)) (\ left (ab \ right) \ left (5-ab \ right)) \ cdot \ frac (((a) ^ (2)) - ( (b) ^ (2)) + 25-10a) (((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \]

Ahora tratemos con el segundo corchete:

\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10a = ((a) ^ (2)) - 10a + 25 - ((b) ^ (2)) = \ izquierda (((a) ^ (2)) - 2 \ cdot 5a + ((5) ^ (2)) \ derecha) - ((b) ^ (2)) = \]

\ [= ((\ left (a-5 \ right)) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ left (a-5-b \ right) \ left (a-5 + b \ Derecha) \]

Dado que los dos elementos no se pudieron agrupar, agrupamos tres. Solo queda averiguar el denominador de la última fracción:

\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right) \]

Ahora reescribamos toda nuestra construcción:

\ [\ frac (a \ left (a + b \ right)) (\ left (ab \ right) \ left (5-ab \ right)) \ cdot \ frac (\ left (a-5-b \ right) \ left (a-5 + b \ right)) (\ left (ab \ right) \ left (a + b \ right)) = \ frac (a \ left (ba + 5 \ right)) (((\ left (ab \ right)) ^ (2))) \]

El problema está resuelto y aquí no se puede simplificar nada más.

Matices de solución

Descubrimos la agrupación y obtuvimos otra herramienta muy poderosa que amplía las posibilidades de factorización. Pero el problema es que en la vida real nadie nos dará ejemplos tan refinados, donde hay varias fracciones, en las que solo necesitas factorizar el numerador y el denominador en un factor, y luego reducirlos si es posible. Las expresiones reales serán mucho más complejas.

Lo más probable es que, además de la multiplicación y la división, haya restas y sumas, todo tipo de corchetes; en general, habrá que tener en cuenta el orden de las acciones. Pero lo peor es que al restar y sumar fracciones con distintos denominadores, habrá que reducirlas a un común. Para hacer esto, cada uno de ellos deberá factorizarse, y luego estas fracciones deberán transformarse: para traer otras similares y mucho más. ¿Cómo hacerlo correctamente, rápidamente y al mismo tiempo obtener una respuesta inequívocamente correcta? De esto es de lo que hablaremos ahora con el ejemplo de la siguiente construcción.

Problema número 4

\ [\ left (((x) ^ (2)) + \ frac (27) (x) \ right) \ cdot \ left (\ frac (1) (x + 3) + \ frac (1) ((( x) ^ (2)) - 3x + 9) \ derecha) \]

Escribamos la primera fracción e intentemos tratarla por separado:

\ [((x) ^ (2)) + \ frac (27) (x) = \ frac (((x) ^ (2))) (1) + \ frac (27) (x) = \ frac ( ((x) ^ (3))) (x) + \ frac (27) (x) = \ frac (((x) ^ (3)) + 27) (x) = \ frac (((x) ^ (3)) + ((3) ^ (3))) (x) = \]

\ [= \ frac (\ left (x + 3 \ right) \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ right)) (x) \]

Pasemos al segundo. Calculemos inmediatamente el discriminante del denominador:

No se puede factorizar, por lo que escribimos lo siguiente:

\ [\ frac (1) (x + 3) + \ frac (1) (((x) ^ (2)) - 3x + 9) = \ frac (((x) ^ (2)) - 3x + 9 + x + 3) (\ left (x + 3 \ right) \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ right)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (\ left (x + 3 \ right) \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ right)) \]

Escribamos el numerador por separado:

\ [((x) ^ (2)) - 2x + 12 = 0 \]

En consecuencia, este polinomio no se puede factorizar.

Lo máximo que pudimos hacer y expandir, ya lo hemos hecho.

Entonces, reescribimos nuestra construcción original y obtenemos:

\ [\ frac (\ left (x + 3 \ right) \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ right)) (x) \ cdot \ frac (((x) ^ (2) ) -2x + 12) (\ left (x + 3 \ right) \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \ right)) = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (x) \]

Eso es todo, el problema está resuelto.

Para ser honesto, no fue una tarea tan difícil: todo se descompuso fácilmente en factores, esos términos se dieron rápidamente y todo se redujo maravillosamente. Así que ahora intentemos resolver un problema más serio.

Problema número 5

\ [\ left (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ right) \ cdot \ left (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ derecha) \]

Primero, tratemos con el primer paréntesis. Desde el principio, factoriza el denominador de la segunda fracción por separado:

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) \]

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (((x) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x-2 \ right) \ izquierda (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) - \ frac (1) (x-2) = \]

\ [= \ frac (x \ left (x-2 \ right) + ((x) ^ (2)) + 8- \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) ( \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ left (x- 2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \ frac (((\ left (x-2 \ right)) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right )) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

Ahora trabajemos con la segunda fracción:

\ [\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac (((x) ^ (2 ))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) - \ frac (2) (2-x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ izquierda (x-2 \ derecha)) (\ izquierda (x-2 \ derecha) \ izquierda (x + 2 \ derecha)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) \]

Regrese a nuestra construcción original y escriba:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2) \ right) \ left (x + 2 \ right)) = \ frac (1) (x + 2) \]

Puntos clave

Una vez más, los datos clave del video tutorial de hoy:

Es necesario conocer "de memoria" las fórmulas de la multiplicación abreviada - y no solo saber, sino poder ver en esas expresiones que encontrarás en problemas reales. Una regla maravillosa puede ayudarnos en esto: si hay dos términos, entonces esta es la diferencia de cuadrados, o la diferencia o suma de cubos; si es tres, solo puede ser el cuadrado de la suma o diferencia.
Si alguna construcción no se puede descomponer usando fórmulas de multiplicación abreviadas, entonces la fórmula estándar para factorizar trinomios en factores o el método de agrupación viene en nuestra ayuda.
Si algo no funciona, observe de cerca la expresión original y si se requiere alguna conversión con ella. Tal vez sea suficiente con poner el factor fuera del paréntesis, y esto a menudo es solo una constante.
En expresiones complejas donde necesita realizar varias acciones seguidas, no olvide llevar a un denominador común, y solo después de eso, cuando todas las fracciones se reduzcan a él, asegúrese de traer algo como esto en un nuevo numerador, y luego vuelva a factorizar el nuevo numerador; es posible que eso disminuya.

Eso es todo lo que quería decirles hoy sobre las fracciones racionales. Si algo no está claro, todavía hay un montón de videos tutoriales en el sitio, así como un montón de tareas para una solución independiente. Por lo tanto, ¡quédate con nosotros!

En la lección anterior ya se introdujo el concepto de expresión racional, en la lección de hoy continuamos trabajando con expresiones racionales y enfocándonos en transformarlas. Usando ejemplos específicos, consideraremos métodos para resolver problemas sobre la transformación de expresiones racionales y probar las identidades relacionadas.

Tema:Fracciones algebraicas. Operaciones aritméticas sobre fracciones algebraicas

Lección:Convertir expresiones racionales

Recordemos primero la definición de expresión racional.

Definición.Racionalexpresión- una expresión algebraica que no contiene raíces e incluye solo las acciones de suma, resta, multiplicación y división (elevar a una potencia).

Por el concepto de "transformar una expresión racional" queremos decir, en primer lugar, su simplificación. Y esto se lleva a cabo en el orden de acciones que conocemos: primero las acciones entre paréntesis, luego producto de números(exponenciación), división de números y luego acciones de suma / resta.

El objetivo principal de la lección de hoy será ganar experiencia en la resolución de problemas más complejos para simplificar expresiones racionales.

Ejemplo 1.

Solución. En un principio, puede parecer que las fracciones indicadas se pueden cancelar, ya que las expresiones en los numeradores de las fracciones son muy similares a las fórmulas para los cuadrados perfectos de sus correspondientes denominadores. En este caso, es importante no apresurarse, sino comprobar por separado si es así.

Comprobemos el numerador de la primera fracción :. Ahora el numerador es el segundo :.

Como puede ver, nuestras expectativas no se cumplieron y las expresiones en los numeradores no son cuadrados perfectos, ya que no tienen una duplicación del producto. Tales expresiones, si recordamos el curso del séptimo grado, se llaman cuadrados incompletos. Debe tener mucho cuidado en tales casos, ya que confundir la fórmula de un cuadrado completo con un cuadrado incompleto es un error muy común, y estos ejemplos ponen a prueba la atención del estudiante.

Dado que la cancelación es imposible, agreguemos las fracciones. Los denominadores no tienen factores comunes, por lo que simplemente se multiplican para obtener el mínimo común denominador, y el factor complementario de cada fracción es el denominador de la otra fracción.

Por supuesto, además puede abrir los corchetes y luego dar términos similares, sin embargo, en este caso puede arreglárselas con menos esfuerzo y observe que en el numerador el primer término es la fórmula para la suma de cubos, y el segundo es la diferencia entre cubos. Por conveniencia, recordemos estas fórmulas en forma general:

En nuestro caso, las expresiones en el numerador se contraen de la siguiente manera:

, la segunda expresión es la misma. Tenemos:

Respuesta..

Ejemplo 2. Simplifica la expresión racional .

Solución. Este ejemplo es similar al anterior, pero aquí se puede ver inmediatamente que hay cuadrados incompletos en los numeradores de las fracciones, por lo que la reducción en la etapa inicial de la solución es imposible. De manera similar al ejemplo anterior, agregue las fracciones:

Aquí, de manera similar al método indicado anteriormente, notamos y colapsamos las expresiones de acuerdo con las fórmulas para la suma y diferencia de cubos.

Respuesta..

Ejemplo 3. Simplifica la expresión racional.

Solución. Puedes ver que el denominador de la segunda fracción se factoriza usando la fórmula para la suma de cubos. Como ya sabemos, factorizar los denominadores es útil para encontrar aún más el mínimo común denominador de fracciones.

Indicamos el mínimo común denominador de fracciones, es igual a :, porque se divide por el denominador de la tercera fracción, y la primera expresión es generalmente un número entero, y cualquier denominador le conviene. Habiendo indicado los factores adicionales obvios, escribimos:

Respuesta.

Veamos un ejemplo más complejo con fracciones de "niveles múltiples".

Ejemplo 4. Demuestre la identidad de todos los valores admisibles de la variable.

Prueba. Para probar la identidad indicada, intentaremos simplificar su lado izquierdo (complejo) a la forma simple que se nos exige. Para hacer esto, realizaremos todas las acciones con fracciones en el numerador y denominador, y luego dividiremos las fracciones y simplificaremos el resultado.

Probado para todos los valores admisibles de la variable.

Probado.

En la próxima lección, veremos más de cerca ejemplos más complejos para transformar expresiones racionales.

Bibliografía

1. Bashmakov M.I. Álgebra de octavo grado. - M.: Educación, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. y otros Álgebra 8. - 5ª ed. - M.: Educación, 2010.

3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Álgebra de octavo grado. Libro de texto para instituciones educativas. - M.: Educación, 2006.

2. Elaboración de lecciones, presentaciones, apuntes de clase ().

Tarea

1. No. 96-101. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. y otros Álgebra 8. - 5ª ed. - M.: Educación, 2010.

2. Simplifica la expresión .

3. Simplifica la expresión.

4. Demuestre la identidad.

Lección y presentación sobre el tema: "Transformación de expresiones racionales. Ejemplos de resolución de problemas"

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El concepto de expresión racional

El concepto de "expresión racional" es similar al concepto de "fracción racional". La expresión también se representa como una fracción. Solo en los numeradores tenemos, no números, sino varios tipos de expresiones. La mayoría de las veces se trata de polinomios. Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria que consta de números y variables.

Al resolver muchos problemas en los grados de primaria, después de realizar operaciones aritméticas, recibimos valores numéricos específicos, la mayoría de las veces fracciones. Ahora, después de realizar las operaciones, recibiremos fracciones algebraicas. Muchachos, recuerden: para obtener la respuesta correcta, deben simplificar la expresión con la que están trabajando tanto como sea posible. Uno debe obtener el menor grado posible; las mismas expresiones en los numeradores y denominadores deben reducirse; con expresiones que se pueden contraer, debe hacerlo. Es decir, después de realizar una serie de acciones, deberíamos obtener la fracción algebraica más simple.

Procedimiento de expresión racional

El procedimiento para realizar operaciones con expresiones racionales es el mismo que para las operaciones aritméticas. Primero se realizan las acciones entre paréntesis, luego la multiplicación y la división, la elevación a una potencia y finalmente la suma y la resta.

Probar una identidad significa mostrar que para todos los valores de las variables, los lados derecho e izquierdo son iguales. Hay muchos ejemplos de prueba de identidad.

Los principales métodos para resolver identidades son.

Convierta el lado izquierdo en el lado derecho igual.
Convierta el lado derecho en el lado izquierdo igual.
Transforma los lados izquierdo y derecho por separado hasta que obtengas la misma expresión.
Reste el lado derecho del lado izquierdo y, como resultado, debe obtener cero.

Convierte expresiones racionales. Ejemplos de resolución de problemas

Ejemplo 1.
Demuestra la identidad:

$ (\ frac (a + 5) (5a-1) + \ frac (a + 5) (a + 1)): (\ frac (a ^ 2 + 5a) (1-5a)) + \ frac (a ^ 2 + 5) (a + 1) = a-1 $.

Solución.
Obviamente, necesitamos transformar el lado izquierdo.
Primero, realicemos las acciones entre paréntesis:

1) $ \ frac (a + 5) (5a-1) + \ frac (a + 5) (a + 1) = \ frac ((a + 5) (a + 1) + (a + 5) (5a -1)) ((a + 1) (5a-1)) = $
$ = \ frac ((a + 5) (a + 1 + 5a-1)) ((a + 1) (5a-1)) = \ frac ((a + 5) (6a)) ((a + 1) ) (5a-1)) $

Debes intentar sacar los factores comunes al máximo.
2) Transformamos la expresión por la que dividimos:

$ \ frac (a ^ 2 + 5a) (1-5a) = \ frac (a (a + 5)) ((1-5a) = \ frac (a (a + 5)) (- (5a-1) PS

.
3) Realicemos la operación de división:

$ \ frac ((a + 5) (6a)) ((a + 1) (5a-1)): \ frac (a (a + 5)) (- (5a-1)) = \ frac ((a +5) (6a)) ((a + 1) (5a-1)) * \ frac (- (5a-1)) (a (a + 5)) = \ frac (-6) (a + 1) PS

4) Realicemos la operación de suma:

$ \ frac (-6) (a + 1) + \ frac (a ^ 2 + 5) (a + 1) = \ frac (a ^ 2-1) (a + 1) = \ frac ((a-1) ) (a + 1)) (a +)) = a-1 $.

Los lados derecho e izquierdo han coincidido. Por tanto, se prueba la identidad.
Chicos, al resolver este ejemplo, necesitábamos conocimiento de muchas fórmulas y operaciones. Vemos que después de la transformación, la expresión grande se convirtió en una muy pequeña. Al resolver casi todos los problemas, las transformaciones generalmente conducen a expresiones simples.

Ejemplo 2.
Simplifica la expresión:

$ (\ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2)): (\ frac (a) (a + b) - \ frac ( a ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2)) $.

Solución.
Empecemos por el primer paréntesis.

1. $ \ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) = \ frac (a ^ 2) (a + b) - \ frac (a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (a + b) -a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = $
$ = \ frac (a ^ 3 + a ^ 2 b-a ^ 3) ((a + b) ^ 2) = \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2) $.

2. Transformemos los segundos paréntesis.

$ \ frac (a) (a + b) - \ frac (a ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2) = \ frac (a) (a + b) - \ frac (a ^ 2) ((ab ) (a + b)) = \ frac (a (ab) -a ^ 2) ((ab) (a + b)) = $
$ = \ frac (a ^ 2-ab-a ^ 2) ((a-b) (a + b)) = \ frac (-ab) ((a-b) (a + b)) $.

3. Hagamos la división.

$ \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2): \ frac (-ab) ((ab) (a + b)) = \ frac (a ^ 2b) ((a + b) ^ 2 ) * \ frac ((ab) (a + b)) ((- ab)) = $
$ = - \ frac (a (a-b)) (a + b) $

Respuesta: $ - \ frac (a (a-b)) (a + b) $.

Ejemplo 3.
Sigue los pasos:

$ \ frac (k-4) (k-2): (\ frac (80k) ((k ^ 3-8) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) - \ frac (k-16 ) (2-k)) - \ frac (6k + 4) ((4-k) ^ 2) $.

Solución.
Como siempre, debes comenzar con paréntesis.

1. $ \ frac (80k) (k ^ 3-8) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) - \ frac (k-16) (2-k) = \ frac (80k) ( (k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) + \ frac (2k) (k ^ 2 + 2k + 4) + \ frac (k-16) (k-2) = $

$ = \ frac (80k + 2k (k-2) + (k-16) (k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac (80k + 2k ^ 2-4k + k ^ 3 + 2k ^ 2 + 4k-16k ^ 2-32k-64) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = $

$ = \ frac (k ^ 3-12k ^ 2 + 48k-64) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac ((k-4) ^ 3) ((k-2) ) (k ^ 2 + 2k + 4)) $.

2. Ahora hagamos la división.

$ \ frac (k-4) (k-2): \ frac ((k-4) ^ 3) ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) = \ frac (k-4) ( k-2) * \ frac ((k-2) (k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-4) ^ 3) = \ frac ((k ^ 2 + 2k + 4)) ((k- 4) ^ 2) $.

3. Usemos la propiedad: $ (4-k) ^ 2 = (k-4) ^ 2 $.
4. Realicemos la operación de resta.

$ \ frac ((k ^ 2 + 2k + 4)) ((k-4) ^ 2) - \ frac (6k + 4) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k ^ 2-4k) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k (k-4)) ((k-4) ^ 2) = \ frac (k) (k-4) $.

Como dijimos anteriormente, debes simplificar la fracción tanto como sea posible.
Respuesta: $ \ frac (k) (k-4) $.

Tareas para una solución independiente

1. Demuestre la identidad:

$ \ frac (b ^ 2-14) (b-4) - (\ frac (3-b) (7b-4) + \ frac (b-3) (b-4)) * \ frac (4-7b ) (9b-3b ^ 2) = b + 4 $.

2. Simplifica la expresión:

$ \ frac (4 (z + 4) ^ 2) (z-2) * (\ frac (z) (2z-4) - \ frac (z ^ 2 + 4) (2z ^ 2-8) - \ frac (2) (z ^ 2 + 2z)) $.

3. Siga los pasos:

$ (\ frac (ab) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) - \ frac (2a) ((ab) (a + b)) + \ frac (ab) ((ab) ^ 2)) * \ frac (a ^ 4-b ^ 4) (8ab ^ 2) + \ frac (2b ^ 2) (a ^ 2-b ^ 2) $.

La acción aritmética que se realiza en último lugar al calcular el valor de la expresión es la "principal".

Es decir, si sustituye cualquier (cualquier) número en lugar de letras e intenta calcular el valor de la expresión, entonces si la última acción es la multiplicación, entonces tenemos un producto (la expresión está factorizada).

Si la última acción es suma o resta, esto significa que la expresión no está factorizada (y por lo tanto no se puede cancelar).

Para arreglar la solución usted mismo, tome algunos ejemplos:

Ejemplos:

Soluciones:

1. Espero que no se haya apresurado a cortar y? Todavía no era suficiente "cortar" unidades como esta:

El primer paso es factorizar:

4. Suma y resta de fracciones. Llevando fracciones a un denominador común.

Sumar y restar fracciones ordinarias es una operación muy familiar: buscamos un denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos / restamos los numeradores.

Recordemos:

Respuestas:

1. Los denominadores y son primos entre sí, es decir, no tienen factores comunes. Por lo tanto, el MCM de estos números es igual a su producto. Este será el denominador común:

2. Aquí el denominador común es:

3. Aquí, en primer lugar, convertimos las fracciones mixtas en incorrectas y luego, de acuerdo con el esquema habitual:

Es muy diferente si las fracciones contienen letras, por ejemplo:

Comencemos simple:

a) Los denominadores no contienen letras

Aquí todo es igual que con las fracciones numéricas ordinarias: encuentra el denominador común, multiplica cada fracción por el factor que falta y suma / resta los numeradores:

ahora en el numerador puede traer otros similares, si los hay, y descomponerlos en factores:

Inténtalo tú mismo:

Respuestas:

b) Los denominadores contienen letras

Recordemos el principio de encontrar un denominador común sin letras:

· En primer lugar, determinamos los factores comunes;

· Luego escriba todos los factores comunes una vez;

· Y multiplicarlos por todos los demás factores que no sean comunes.

Para determinar los factores comunes de los denominadores, primero los descomponemos en factores primos:

Destaquemos los factores comunes:

Ahora escribamos los factores comunes una vez y agreguemos todos los factores no comunes (no subrayados):

Este es el denominador común.

Volvamos a las letras. Los denominadores se muestran exactamente de la misma manera:

· Descomponemos los denominadores en factores;

· Determinamos factores comunes (idénticos);

· Escriba todos los factores comunes una vez;

· Los multiplicamos por todos los demás factores, no comunes.

Entonces, en orden:

1) descomponemos los denominadores en factores:

2) determinamos los factores comunes (idénticos):

3) escribimos todos los factores comunes una vez y los multiplicamos por todos los demás factores (sin estrés):

Entonces, el denominador común está aquí. La primera fracción debe multiplicarse por, la segunda por:

Por cierto, hay un truco:

Por ejemplo: .

Vemos los mismos factores en los denominadores, solo que todos con diferentes indicadores. El denominador común será:

en la medida

en grado.

Compliquemos la tarea:

¿Cómo se hace que las fracciones tengan el mismo denominador?

Recordemos la propiedad básica de una fracción:

En ninguna parte se dice que se pueda restar (o sumar) el mismo número del numerador y denominador de una fracción. ¡Porque esto no es cierto!

Compruébelo usted mismo: tome cualquier fracción, por ejemplo, y agregue algún número al numerador y al denominador, por ejemplo. ¿Qué se ha aprendido?

Entonces, otra regla inquebrantable:

Cuando lleves fracciones a un denominador común, ¡usa solo la multiplicación!

Pero, ¿qué hay que multiplicar para recibir?

Aquí adelante y multiplicar. Y multiplicar por:

Las expresiones que no se pueden factorizar se denominarán "factores elementales".

Por ejemplo, es un factor elemental. - también. Pero - no: está factorizado.

¿Qué opinas de la expresión? Es elemental?

No, ya que se puede factorizar:

(ya leíste sobre factorización en el tema "").

Entonces, los factores elementales en los que expande la expresión con letras son análogos a los factores primos en los que expande los números. Y nos ocuparemos de ellos de la misma forma.

Vemos que hay un factor en ambos denominadores. Irá al denominador común en poder (¿recuerdas por qué?).

El factor es elemental, y no es común para ellos, lo que significa que la primera fracción simplemente habrá que multiplicarla por ella:

Otro ejemplo:

Solución:

Antes de multiplicar estos denominadores en pánico, ¿necesita pensar cómo factorizarlos? Ambos representan:

¡Multa! Luego:

Otro ejemplo:

Solución:

Como de costumbre, factoriza los denominadores. En el primer denominador, simplemente lo ponemos fuera de los corchetes; en el segundo - la diferencia de cuadrados:

Parecería que no existen factores comunes. Pero si miras de cerca, entonces son tan similares ... Y la verdad:

Entonces escribiremos:

Es decir, resultó así: dentro del paréntesis, intercambiamos los términos y, al mismo tiempo, el signo frente a la fracción cambió al opuesto. Toma nota, tendrás que hacer esto a menudo.

Ahora traemos a un denominador común:

¿Entiendo? Veámoslo ahora.

Tareas para una solución independiente:

Respuestas:

Aquí debemos recordar uno más: la diferencia entre los cubos:

Tenga en cuenta que el denominador de la segunda fracción no es la fórmula del "cuadrado de la suma". El cuadrado de la suma se vería así:

A es el llamado cuadrado incompleto de la suma: el segundo término en él es el producto del primero y el último, y no su producto duplicado. El cuadrado incompleto de la suma es uno de los factores en la descomposición de la diferencia de cubos:

¿Y si ya hay tres fracciones?

¡La misma cosa! En primer lugar, lo haremos para que el número máximo de factores en los denominadores sea el mismo:

Presta atención: si cambias los signos dentro de un paréntesis, el signo delante de la fracción cambia al contrario. Cuando cambiamos los signos en el segundo paréntesis, el signo delante de la fracción se invierte nuevamente. Como resultado, (el signo delante de la fracción) no ha cambiado.

En el denominador común, escriba el primer denominador en su totalidad y luego agregue todos los factores que aún no se han escrito, desde el segundo y luego desde el tercero (y así sucesivamente, si hay más fracciones). Es decir, resulta así:

Mmm ... Con las fracciones, está claro qué hacer. Pero, ¿qué pasa con el diablo?

Es simple: puedes sumar fracciones, ¿verdad? ¡Esto significa que tenemos que convertir el deuce en una fracción! Recuerda: una fracción es una operación de división (el numerador se divide por el denominador, en caso de que de repente lo olvides). Y no hay nada más fácil que dividir un número por. En este caso, el número en sí no cambiará, pero se convertirá en una fracción:

¡Exactamente lo que se necesita!

5. Multiplicación y división de fracciones.

Bueno, la parte más difícil ya pasó. Y delante de nosotros está el más simple, pero al mismo tiempo el más importante:

Procedimiento

¿Cuál es el procedimiento para calcular una expresión numérica? Recuerde contando el significado de tal expresión:

Lo contabas?

Deberia de funcionar.

Entonces, déjame recordarte.

El primer paso es calcular el grado.

El segundo es la multiplicación y la división. Si hay varias multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, puede hacerlas en cualquier orden.

Y finalmente, hacemos sumas y restas. Nuevamente, en cualquier orden.

Pero: ¡la expresión entre paréntesis se evalúa fuera de orden!

Si varios corchetes se multiplican o dividen entre sí, primero calculamos la expresión en cada uno de los corchetes, y luego los multiplicamos o dividimos.

¿Qué pasa si hay más corchetes dentro de los corchetes? Bueno, pensemos en ello: alguna expresión está escrita entre corchetes. Y al evaluar una expresión, ¿qué es lo primero que se debe hacer? Así es, calcula los paréntesis. Bueno, lo descubrimos: primero calculamos los corchetes internos, luego todo lo demás.

Entonces, el procedimiento para la expresión anterior es el siguiente (la acción actual está resaltada en rojo, es decir, la acción que estoy realizando en este momento):

De acuerdo, es todo simple.

¿Pero esto no es lo mismo que una expresión con letras?

¡No, es lo mismo! Solo que en lugar de operaciones aritméticas, necesita hacer operaciones algebraicas, es decir, las acciones descritas en la sección anterior: trayendo similar, suma de fracciones, reducción de fracciones, etc. La única diferencia es el efecto de factorizar polinomios (a menudo lo usamos cuando trabajamos con fracciones). La mayoría de las veces, para factorizar, debe usar io simplemente poner el factor común fuera del paréntesis.

Normalmente nuestro objetivo es presentar una expresión en forma de obra o de un particular.

Por ejemplo:

Simplifiquemos la expresión.

1) La primera es simplificar la expresión entre paréntesis. Ahí tenemos la diferencia de fracciones, y nuestro objetivo es presentarla como producto o cociente. Entonces, llevamos las fracciones a un denominador común y agregamos:

Ya es imposible simplificar esta expresión, todos los factores aquí son elementales (¿todavía recuerdas lo que esto significa?).

2) Obtenemos:

Multiplicación de fracciones: qué podría ser más fácil.

3) Ahora puedes acortar:

Así que eso es todo. Nada complicado, ¿verdad?

Otro ejemplo:

Simplifica la expresión.

Primero intente resolverlo usted mismo, y solo entonces vea la solución.

Solución:

En primer lugar, definamos el orden de las acciones.

Primero, sumamos las fracciones entre paréntesis, obtenemos una en lugar de dos fracciones.

Luego dividiremos las fracciones. Bueno, suma el resultado con la última fracción.

Numeraré esquemáticamente los pasos:

Ahora mostraré todo el proceso, coloreando la acción actual en rojo:

1. Si existen similares, se deben traer de inmediato. En cualquier momento que tengamos similares, es recomendable traerlos de inmediato.

2. Lo mismo se aplica a la reducción de fracciones: tan pronto como haya una oportunidad de reducir, debe utilizarse. La excepción son las fracciones que sumas o restas: si ahora tienen los mismos denominadores, entonces la reducción debe dejarse para más adelante.

Aquí hay algunas tareas para que las resuelva por su cuenta:

Y prometió desde el principio:

Respuestas:

Soluciones (concisas):

Si ha hecho frente al menos a los tres primeros ejemplos, entonces ha dominado el tema.

¡Ahora adelante a aprender!

TRANSFORMACIÓN DE EXPRESIONES. RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Operaciones básicas de simplificación:

Trayendo similar: para agregar (traer) tales términos, debe agregar sus coeficientes y asignar la parte de la letra.
Factorización: factorizar el factor común, la aplicación, etc.
Reducción de fracciones: el numerador y el denominador de una fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero, lo que no cambia el valor de la fracción.
1) numerador y denominador factor
2) si hay factores comunes en el numerador y denominador, se pueden tachar.
IMPORTANTE: ¡solo se pueden reducir los multiplicadores!
Suma y resta de fracciones:
;
Multiplicación y división de fracciones:
;