El valor de la derivada en el punto x0 según el gráfico. Encuentra el valor de la derivada de la función en el punto x0

Ejemplo 1

Referencia: Las siguientes formas de denotar una función son equivalentes: En algunas tareas es conveniente designar la función como "igrokom" y en otras como "ff de x".

Primero, encontramos la derivada:

Ejemplo 2

Calcular la derivada de una función en un punto

, , estudio de función completa y etc.

Ejemplo 3

Calcula la derivada de una función en un punto. Primero, encontremos la derivada:

Bueno, ese es un asunto completamente diferente. Calculemos el valor de la derivada en el punto:

En el caso de que no comprenda cómo se encontró la derivada, vuelva a las dos primeras lecciones del tema. Si tiene dificultades (malentendidos) con el arcangente y sus significados, necesariamente estudiar el material didáctico Gráficos y propiedades de funciones elementales.- el párrafo más reciente. Porque todavía hay suficientes arctangents para la edad de los estudiantes.

Ejemplo 4

Calcula la derivada de una función en un punto.

Ecuación de una tangente a una gráfica de una función

Para consolidar la sección anterior, considere el problema de encontrar la tangente a gráficos de funciones en este punto. Cumplimos con esta tarea en la escuela, y también se encuentra en el curso de matemáticas superiores.

Consideremos el ejemplo más simple de una "demostración".

Escribe la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en el punto con la abscisa. Daré inmediatamente una solución gráfica lista para el problema (en la práctica, esto no es necesario en la mayoría de los casos):

Una definición estricta de una tangente viene dada por definición de la derivada de una función, pero por ahora dominaremos la parte técnica de la pregunta. Seguramente casi todo el mundo entiende intuitivamente qué es una tangente. Si explica "con los dedos", entonces la tangente a la gráfica de la función es derecho que se refiere a la gráfica de la función en el único punto. En este caso, todos los puntos cercanos de la línea recta se ubican lo más cerca posible de la gráfica de la función.

Aplicado a nuestro caso: en, la tangente (notación estándar) toca la gráfica de la función en un solo punto.

Y nuestra tarea es encontrar la ecuación de la recta.

Derivada de una función en un punto

¿Cómo encontrar la derivada de una función en un punto? Dos puntos obvios de esta asignación se desprenden de la redacción:

1) Es necesario encontrar la derivada.

2) Es necesario calcular el valor de la derivada en un punto dado.

Ejemplo 1

Calcular la derivada de una función en un punto

Ayuda: Las siguientes formas de denotar una función son equivalentes:


En algunas tareas es conveniente designar la función como "igrokom" y en otras como "ff de x".

Primero, encontramos la derivada:

Espero que muchos ya se hayan acostumbrado a encontrar tales derivados por vía oral.

En el segundo paso, calculamos el valor de la derivada en el punto:

Un pequeño ejemplo de calentamiento para una solución independiente:

Ejemplo 2

Calcular la derivada de una función en un punto

Solución completa y respuesta al final del tutorial.

La necesidad de encontrar la derivada en un punto surge en los siguientes problemas: construcción de una tangente a la gráfica de una función (próximo párrafo), estudio de la función de los extremos , inflexión de una función gráfica , estudio de función completa y etc.

Pero la tarea en cuestión se encuentra en las pruebas y por sí misma. Y, como regla, en tales casos, la función se da bastante compleja. En este sentido, considere dos ejemplos más.

Ejemplo 3

Calcular la derivada de una función en el punto.
Primero, encontremos la derivada:

En principio, se ha encontrado la derivada y se puede sustituir el valor requerido. Pero realmente no quiero hacerlo. La expresión es muy larga y el valor de "x" es fraccionario. Por lo tanto, intentamos simplificar nuestra derivada tanto como sea posible. En este caso, intentemos llevar los últimos tres términos a un denominador común: en el punto.

Este es un ejemplo de una solución de bricolaje.

¿Cómo encontrar el valor de la derivada de la función F (x) en el punto Xo? ¿Cómo solucionar esto en general?

Si se da la fórmula, entonces encuentre la derivada y sustituya X-cero en lugar de X. Calcular
Si estamos hablando de b-8 USE, graph, entonces necesitas encontrar la tangente del ángulo (agudo u obtuso), que forma una tangente con el eje X (usando la construcción mental de un triángulo rectángulo y determinando la tangente del ángulo)

Timur adilkhodzhaev

Primero, debes decidir el letrero. Si el punto x0 está en la parte inferior del plano de coordenadas, entonces el signo en la respuesta será menos, y si es más alto, entonces +.
En segundo lugar, necesita saber qué tanges hay en un rectángulo rectangular. Y esta es la relación entre el lado opuesto (pierna) y el lado adyacente (también pierna). Suele haber algunas marcas negras en la pintura. A partir de estas marcas, forma un triángulo rectángulo y encuentra tanges.

¿Cómo encontrar el valor de la derivada de la función f x en el punto x0?

En general, para encontrar el valor de la derivada de cualquier función con respecto a alguna variable en cualquier punto, es necesario diferenciar la función dada con respecto a esta variable. En su caso, por la variable X. En la expresión resultante, en lugar de X, coloque el valor de x en el punto para el que necesita encontrar el valor de la derivada, es decir en su caso, sustituya por cero X y calcule la expresión resultante.

Bueno, tu deseo de entender este tema, en mi opinión, sin duda se merece +, que pongo con la conciencia tranquila.

Esta formulación del problema de encontrar la derivada se plantea a menudo para fijar el material en el significado geométrico de la derivada. Se propone una gráfica de una determinada función, completamente arbitraria y no dada por una ecuación, y se requiere encontrar el valor de la derivada (¡no la derivada en sí, nota!) En el punto especificado X0. Para ello, se construye una recta tangente a una función dada y se encuentra el punto de su intersección con los ejes coordenados. Luego, la ecuación de esta recta tangente se traza en la forma y = kx + b.

En esta ecuación, el coeficiente k y será el valor de la derivada. solo queda encontrar el valor del coeficiente b. Para hacer esto, encontramos el valor de y en x = o, sea igual a 3 - este es el valor del coeficiente b. Sustituimos los valores de X0 e Y0 en la ecuación original y encontramos k - nuestro valor de la derivada en este punto.

El problema B9 da una gráfica de una función o derivada, a partir de la cual desea determinar una de las siguientes cantidades:

1. El valor de la derivada en algún punto x 0,
2. Puntos altos o bajos (puntos extremos),
3. Los intervalos de aumento y disminución de la función (intervalos de monotonicidad).

Las funciones y derivadas que se presentan en este problema son siempre continuas, lo que simplifica enormemente la solución. A pesar de que la tarea pertenece a la sección de análisis matemático, está al alcance de incluso los estudiantes más débiles, ya que aquí no se requieren conocimientos teóricos profundos.

Existen algoritmos simples y universales para encontrar el valor de la derivada, los puntos extremos y los intervalos de monotonicidad; todos ellos se analizarán a continuación.

Lea atentamente el enunciado del problema B9 para evitar errores estúpidos: a veces se encuentra con textos bastante largos, pero no hay muchas condiciones importantes que afecten el curso de la solución.

Calculando el valor de la derivada. Método de dos puntos

Si en el problema se da la gráfica de la función f (x), tangente a esta gráfica en algún punto x 0, y se requiere encontrar el valor de la derivada en este punto, se aplica el siguiente algoritmo:

1. Encuentre dos puntos "adecuados" en el gráfico de tangente: sus coordenadas deben ser números enteros. Denotemos estos puntos por A (x 1; y 1) y B (x 2; y 2). Escriba las coordenadas correctamente: este es un punto clave en la solución, y cualquier error aquí conduce a la respuesta incorrecta.
2. Conociendo las coordenadas, es fácil calcular el incremento del argumento Δx = x 2 - x 1 y el incremento de la función Δy = y 2 - y 1.
3. Finalmente, encontramos el valor de la derivada D = Δy / Δx. En otras palabras, debe dividir el incremento de la función por el incremento del argumento, y esta será la respuesta.

Tenga en cuenta una vez más: los puntos A y B deben buscarse exactamente en la recta tangente, y no en la gráfica de la función f (x), como suele ser el caso. La línea tangente necesariamente contendrá al menos dos de esos puntos; de lo contrario, el problema no se escribe correctamente.

Considere los puntos A (−3; 2) y B (−1; 6) y encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Encuentre el valor de la derivada: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

Tarea. La figura muestra la gráfica de la función y = f (x) y la tangente a ella en el punto con la abscisa x 0. Encuentre el valor de la derivada de la función f (x) en el punto x 0.

Considere los puntos A (0; 3) y B (3; 0), encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = −3.

Ahora encontramos el valor de la derivada: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

Tarea. La figura muestra la gráfica de la función y = f (x) y la tangente a ella en el punto con la abscisa x 0. Encuentre el valor de la derivada de la función f (x) en el punto x 0.

Considere los puntos A (0; 2) y B (5; 2) y encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Queda por encontrar el valor de la derivada: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

A partir del último ejemplo, podemos formular una regla: si la tangente es paralela al eje OX, la derivada de la función en el punto de tangencia es cero. En este caso, ni siquiera necesita contar nada, solo mire la tabla.

Calcular los puntos máximos y mínimos

A veces, en lugar de una gráfica de una función, en el problema B9, se da una gráfica de la derivada y se requiere encontrar el punto máximo o mínimo de la función. En esta situación, el método de dos puntos es inútil, pero hay otro algoritmo aún más simple. Primero, definamos la terminología:

1. Un punto x 0 se llama punto máximo de la función f (x) si en alguna vecindad de este punto se cumple la siguiente desigualdad: f (x 0) ≥ f (x).
2. Un punto x 0 se llama punto mínimo de la función f (x) si en alguna vecindad de este punto se cumple la siguiente desigualdad: f (x 0) ≤ f (x).

Para encontrar los puntos máximo y mínimo en la gráfica de la derivada, basta con realizar los siguientes pasos:

1. Vuelva a dibujar el gráfico de la derivada, eliminando toda la información innecesaria. Como muestra la práctica, los datos innecesarios solo interfieren con la solución. Por lo tanto, marcamos los ceros de la derivada en el eje de coordenadas, eso es todo.
2. Descubra los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Si para algún punto x 0 se sabe que f '(x 0) ≠ 0, entonces solo son posibles dos opciones: f' (x 0) ≥ 0 o f '(x 0) ≤ 0. El signo de la derivada puede puede determinarse fácilmente a partir del dibujo inicial: si la gráfica de la derivada se encuentra por encima del eje OX, entonces f '(x) ≥ 0. Y viceversa, si la gráfica de la derivada está debajo del eje OX, entonces f' (x ) ≤ 0.
3. Verifique los ceros y los signos de la derivada nuevamente. Donde el signo cambia de menos a más, hay un punto mínimo. Por el contrario, si el signo de la derivada cambia de más a menos, este es el punto máximo. El recuento se realiza siempre de izquierda a derecha.

Este esquema funciona solo para funciones continuas; no hay otros en el problema B9.

Tarea. La figura muestra la gráfica de la derivada de la función f (x) definida en el segmento [−5; 5]. Encuentre el punto mínimo de la función f (x) en este segmento.

Eliminemos la información innecesaria; dejaremos solo los bordes [−5; 5] y ceros de la derivada x = −3 y x = 2.5. También tenga en cuenta las señales:

Obviamente, en el punto x = −3 el signo de la derivada cambia de menos a más. Este es el punto mínimo.

Tarea. La figura muestra la gráfica de la derivada de la función f (x), definida en el segmento [−3; 7]. Encuentre el punto máximo de la función f (x) en este segmento.

Rediseñemos el gráfico, dejando solo los límites [−3; 7] y los ceros de la derivada x = −1.7 y x = 5. Observe los signos de la derivada en la gráfica resultante. Tenemos:

Obviamente, en el punto x = 5 el signo de la derivada cambia de más a menos; este es el punto máximo.

Tarea. La figura muestra la gráfica de la derivada de la función f (x) definida en el segmento [−6; 4]. Encuentre el número de puntos máximos de la función f (x) que pertenecen al segmento [−4; 3].

Se deduce del enunciado del problema que es suficiente considerar solo la parte del gráfico delimitada por el segmento [−4; 3]. Por lo tanto, construimos un nuevo gráfico, en el que marcamos solo los límites [−4; 3] y los ceros de la derivada en su interior. Es decir, los puntos x = −3,5 y x = 2. Obtenemos:

Esta gráfica tiene solo un punto máximo x = 2. Es en este punto que el signo de la derivada cambia de más a menos.

Una nota rápida sobre puntos con coordenadas no enteras. Por ejemplo, en el último problema, el punto se consideró x = −3,5, pero también puedes tomar x = −3,4. Si el problema se formula correctamente, tales cambios no deberían afectar la respuesta, ya que los puntos "sin domicilio definido" no participan directamente en la solución del problema. Por supuesto, este truco no funcionará con puntos enteros.

Encontrar los intervalos de funciones crecientes y decrecientes

En un problema de este tipo, como los puntos máximo y mínimo, se propone encontrar las regiones en las que la función en sí aumenta o disminuye a partir de la gráfica derivada. Primero, definamos qué es creciente y decreciente:

1. Una función f (x) se llama creciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento la siguiente afirmación es verdadera: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). En otras palabras, cuanto mayor sea el valor del argumento, mayor será el valor de la función.
2. Una función f (x) se llama decreciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento se cumple la siguiente afirmación: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Aquellos. cuanto mayor sea el valor del argumento, menor será el valor de la función.

Formulemos condiciones suficientes para aumentar y disminuir:

1. Para que una función continua f (x) aumente en un segmento, es suficiente que su derivada dentro del segmento sea positiva, es decir f '(x) ≥ 0.
2. Para que una función continua f (x) disminuya en un segmento, es suficiente que su derivada dentro del segmento sea negativa, es decir, f '(x) ≤ 0.

Aceptemos estas declaraciones sin pruebas. Por lo tanto, obtenemos un esquema para encontrar los intervalos de aumento y disminución, que en muchos aspectos es similar al algoritmo para calcular los puntos extremos:

1. Elimina toda la información innecesaria. En la gráfica original de la derivada, estamos interesados ​​principalmente en los ceros de la función, por lo que los dejaremos solo.
2. Tenga en cuenta los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Donde f ’(x) ≥ 0, la función aumenta y donde f’ (x) ≤ 0, disminuye. Si el problema tiene restricciones en la variable x, las marcamos adicionalmente en el nuevo gráfico.
3. Ahora que conocemos el comportamiento de la función y la restricción, queda calcular el valor requerido en el problema.

Tarea. La figura muestra la gráfica de la derivada de la función f (x), definida en el segmento [−3; 7.5]. Encuentre los intervalos de disminución de la función f (x). En su respuesta, indique la suma de los números enteros incluidos en estos intervalos.

Como de costumbre, vuelva a dibujar el gráfico y marque los límites [−3; 7.5], así como los ceros de la derivada x = −1.5 y x = 5.3. Luego marcamos los signos de la derivada. Tenemos:

Dado que la derivada es negativa en el intervalo (- 1,5), este es el intervalo de función decreciente. Queda por resumir todos los enteros que están dentro de este intervalo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tarea. La figura muestra la gráfica de la derivada de la función f (x), definida en el segmento [−10; 4]. Encuentre los intervalos de aumento de la función f (x). En la respuesta, indique la longitud del más largo de ellos.

Eliminemos la información innecesaria. Deje solo los bordes [−10; 4] y los ceros de la derivada, que esta vez resultaron ser cuatro: x = −8, x = −6, x = −3 y x = 2. Observe los signos de la derivada y obtenga la siguiente imagen:

Estamos interesados ​​en los intervalos de aumento de la función, es decir tal, donde f '(x) ≥ 0. Hay dos intervalos de este tipo en la gráfica: (−8; −6) y (−3; 2). Calculemos sus longitudes:
l 1 = - 6 - (−8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Dado que se requiere encontrar la longitud del mayor de los intervalos, en la respuesta anotamos el valor l 2 = 5.