La probabilidad de un evento determinado es un ejemplo. Probabilidad de evento

Probabilidad evento es la relación entre el número de resultados elementales favorables a un evento dado y el número de todos los resultados igualmente posibles de la experiencia en la que este evento puede aparecer. La probabilidad del evento A se denota por P (A) (aquí P es la primera letra de la palabra francesa probabilite - probabilidad). Según la definición
(1.2.1)
donde es el número de resultados elementales favorables al evento A; - el número de todos los resultados elementales igualmente posibles del experimento, formando un grupo completo de eventos.
Esta definición de probabilidad se llama clásica. Surgió en la etapa inicial del desarrollo de la teoría de la probabilidad.

La probabilidad de un evento tiene las siguientes propiedades:
1. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno. Designemos un evento válido con una letra. Para un evento confiable, por lo tanto
(1.2.2)
2. La probabilidad de un evento imposible es cero. Denotemos un evento imposible con una letra. Para un evento imposible, por lo tanto
(1.2.3)
3. La probabilidad de un evento aleatorio se expresa como un número positivo menor que uno. Dado que para un evento aleatorio se satisfacen las desigualdades, o, entonces
(1.2.4)
4. La probabilidad de cualquier evento satisface las desigualdades
(1.2.5)
Esto se sigue de las relaciones (1.2.2) - (1.2.4).

Ejemplo 1. La urna contiene 10 bolas del mismo tamaño y peso, de las cuales 4 son rojas y 6 azules. se saca una bola de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída resulte azul?

Solución... El evento "la bola removida resultó ser azul" se indicará con la letra A. Esta prueba tiene 10 resultados elementales igualmente posibles, de los cuales 6 favorecen el evento A. De acuerdo con la fórmula (1.2.1), obtenemos

Ejemplo 2. Todos los números naturales del 1 al 30 se escriben en tarjetas idénticas y se colocan en la urna. Después de mezclar bien las cartas, se saca una de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la tarjeta tomada sea múltiplo de 5?

Solución. Denotemos por A el evento "el número en la tarjeta tomada es un múltiplo de 5". En esta prueba, hay 30 resultados elementales igualmente posibles, de los cuales el evento A se ve favorecido por 6 resultados (números 5, 10, 15, 20, 25, 30). Por eso,

Ejemplo 3. Se lanzan dos dados, se calcula la suma de puntos en los bordes superiores. Encuentre la probabilidad del evento B, que consta de 9 puntos en total en los lados superiores de los cubos.

Solución. En esta prueba solo hay 6 2 = 36 resultados elementales igualmente posibles. El evento B se ve favorecido por 4 resultados: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3), por lo tanto

Ejemplo 4... Se eligió al azar un número natural que no exceda de 10. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea primo?

Solución. Denotemos con la letra C el evento "el número elegido es primo". En este caso, n = 10, m = 4 (primos 2, 3, 5, 7). Por tanto, la probabilidad requerida

Ejemplo 5. Se lanzan dos monedas simétricas. ¿Cuál es la probabilidad de que los lados superiores de ambas monedas tengan números?

Solución. Denotemos con la letra D el evento "había un número en la parte superior de cada moneda". En esta prueba hay 4 resultados elementales igualmente posibles: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (La entrada (G, C) significa que la primera moneda tiene un escudo de armas, la segunda tiene un número). El evento D se ve favorecido por un resultado elemental (C, C). Dado que m = 1, n = 4, entonces

Ejemplo 6.¿Cuál es la probabilidad de que en un número de dos dígitos elegido al azar los dígitos sean iguales?

Solución. Los números de dos dígitos son números del 10 al 99; Hay 90 números de este tipo en total. Los mismos números tienen 9 números (estos son los números 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Dado que en este caso m = 9, n = 90, entonces
,
donde A es el evento "número con los mismos dígitos".

Ejemplo 7. De las letras de la palabra diferencial una letra se elige al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esta letra sea: a) una vocal, b) una consonante, c) una letra h?

Solución... La palabra diferencial tiene 12 letras, de las cuales 5 son vocales y 7 consonantes. Letras h en esta palabra no. Designemos eventos: A - "letra vocal", B - "letra consonante", C - "letra h". El número de resultados elementales favorables: - para el evento A, - para el evento B, - para el evento C. Dado que n = 12, entonces
, y .

Ejemplo 8. Se lanzan dos dados, se anota el número de puntos en la parte superior de cada dado. Calcula la probabilidad de que ambos dados tengan la misma cantidad de puntos.

Solución. Designemos este evento con la letra A. Los eventos A favorecen 6 resultados elementales: (1;]), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6 ). En total, resultados elementales igualmente posibles que forman un grupo completo de eventos, en este caso n = 6 2 = 36. Por tanto, la probabilidad requerida

Ejemplo 9. El libro tiene 300 páginas. ¿Cuál es la probabilidad de que una página abierta al azar tenga un número de secuencia que sea múltiplo de 5?

Solución. De la condición del problema se deduce que todos los resultados elementales igualmente posibles que forman un grupo completo de eventos serán n = 300. De estos, m = 60 favorecen el inicio del evento especificado. De hecho, un múltiplo de 5 tiene la forma 5k, donde k es un número natural, y de donde ... Por eso,
, donde A - el evento "página" tiene un número de secuencia que es múltiplo de 5 ".

Ejemplo 10... Se lanzan dos dados, se calcula la suma de puntos en los bordes superiores. ¿Cuál es más probable que obtenga un total de 7 u 8?

Solución... Designemos eventos: A - "7 puntos abandonados", B - "8 puntos abandonados". El evento A se ve favorecido por 6 resultados elementales: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) y el evento B - 5 resultados: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Todos los resultados elementales igualmente posibles n = 6 2 = 36. Por lo tanto, y .

Entonces, P (A)> P (B), es decir, obtener 7 puntos en total es un evento más probable que obtener 8 puntos en total.

Tareas

1. Se eligió al azar un número natural que no exceda el 30. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea múltiplo de 3?
2. En la urna a rojo y B bolas azules, del mismo tamaño y peso. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar de esta urna resulte azul?
3. Elegí al azar un número que no exceda 30. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea divisor de zo?
4. En la urna a azul y B bolas rojas, del mismo tamaño y peso. Se saca una bola de esta urna y se deja a un lado. Esta bola resultó ser roja. Después de eso, se saca otra bola de la urna. Calcula la probabilidad de que la segunda bola también sea roja.
5. Se elige un número aleatorio que no exceda 50. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea primo?
6. Se lanzan tres dados, se calcula la suma de los puntos en los bordes superiores. ¿Cuál es más probable que obtenga 9 o 10 puntos en total?
7. Se lanzan tres dados, se calcula la suma de los puntos lanzados. ¿Cuál es más probable que obtenga un total de 11 (evento A) o 12 puntos (evento B)?

Respuestas

1. 1/3. 2 . B/(a+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(a+B-1). 5 .0,3.6 ... p 1 = 25/216 - la probabilidad de obtener 9 puntos en total; p 2 = 27/216 - la probabilidad de obtener 10 puntos en total; p 2> p 1 7 ... P (A) = 27/216, P (B) = 25/216, P (A)> P (B).

Preguntas

1. ¿Cómo se llama probabilidad de un evento?
2. ¿Cuál es la probabilidad de cierto evento?
3. ¿Cuál es la probabilidad de un evento imposible?
4. ¿Cuáles son los límites de la probabilidad de un evento aleatorio?
5. ¿Cuáles son los límites de probabilidad de cualquier evento?
6. ¿Qué definición de probabilidad se llama clásica?

Está claro que cada evento tiene un cierto grado de posibilidad de que ocurra (su realización). Para poder comparar cuantitativamente eventos entre sí según el grado de posibilidad, obviamente es necesario asociar un cierto número a cada evento, que cuanto mayor es el evento más posible. Este número se llama probabilidad de un evento.

Probabilidad de evento- existe una medida numérica del grado de posibilidad objetiva de ocurrencia de este evento.

Considere un experimento estocástico y un evento aleatorio A observado en este experimento. Repitamos este experimento n veces y sea m (A) el número de experimentos en los que ocurrió el evento A.

Relación (1,1)

llamado Frecuencia relativa eventos A en la serie de experimentos llevados a cabo.

Es fácil verificar la validez de las propiedades:

si A y B son inconsistentes (AB =), entonces ν (A + B) = ν (A) + ν (B) (1.2)

La frecuencia relativa se determina solo después de una serie de experimentos y, en general, puede cambiar de una serie a otra. Sin embargo, la experiencia muestra que en muchos casos, con un aumento en el número de experimentos, la frecuencia relativa se acerca a un cierto número. Este hecho de la estabilidad de la frecuencia relativa ha sido verificado repetidamente y puede considerarse establecido experimentalmente.

Ejemplo 1.19.... Si lanza una moneda, nadie puede predecir de qué lado caerá. Pero si arrojas dos toneladas de monedas, entonces todos dirán que alrededor de una tonelada caerá hacia arriba con el escudo de armas, es decir, la frecuencia relativa de aparición del escudo de armas es de aproximadamente 0,5.

Si, con un aumento en el número de experimentos, la frecuencia relativa del evento ν (A) tiende a un cierto número fijo, entonces dicen que el evento A es estadísticamente estable, y este número se llama probabilidad del evento A.

Probabilidad del evento A se llama un cierto número fijo P (A), al que tiende la frecuencia relativa ν (A) de este evento con un aumento en el número de experimentos, es decir,

Esta definición se llama definición estadística de probabilidad .

Consideremos algún experimento estocástico y dejemos que el espacio de sus eventos elementales consista en un conjunto finito o infinito (pero contable) de eventos elementales ω 1, ω 2,…, ω i,…. Supongamos que a cada evento elemental ω i se le asigna un cierto número - p i, que caracteriza el grado de posibilidad de ocurrencia de este evento elemental y satisface las siguientes propiedades:

Tal número p i se llama la probabilidad de un evento elementalω yo.

Ahora sea A un evento aleatorio observado en este experimento, y un cierto conjunto le corresponde

En tal escenario probabilidad de evento A es la suma de las probabilidades de sucesos elementales favorables a A(incluido en el correspondiente set A):

La probabilidad introducida de esta manera tiene las mismas propiedades que la frecuencia relativa, a saber:

Y si AB = (A y B son inconsistentes),

entonces P (A + B) = P (A) + P (B)

De hecho, según (1.4)

En la última relación, aprovechamos el hecho de que ningún evento elemental puede favorecer simultáneamente dos eventos incompatibles.

Observamos especialmente que la teoría de la probabilidad no indica formas de determinar p i, deben buscarse a partir de consideraciones prácticas u obtenerse de un experimento estadístico apropiado.

Como ejemplo, considere el esquema clásico de la teoría de la probabilidad. Para hacer esto, considere un experimento estocástico, cuyo espacio de eventos elementales consiste en un número finito (n) de elementos. Supongamos además que todos estos eventos elementales son igualmente posibles, es decir, las probabilidades de eventos elementales son p (ω i) = p i = p. De ahí se sigue que

Ejemplo 1.20... Cuando se lanza una moneda simétrica, el emblema y la cruz son igualmente posibles, sus probabilidades son iguales a 0.5.

Ejemplo 1.21... Al lanzar un dado simétrico, todas las caras son igualmente posibles, sus probabilidades son iguales a 1/6.

Ahora dejemos que el evento A sea favorecido por m eventos elementales, generalmente se les llama resultados favorables al evento A... Luego

Tiene definición clásica de probabilidad: la probabilidad P (A) del evento A es igual a la razón entre el número de resultados favorables al evento A y el número total de resultados

Ejemplo 1.22... La urna contiene m bolas blancas y n negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar la bola blanca?

Solución... Hay m + n eventos elementales en total. Todos son igualmente probables. Acontecimiento favorable Y de ellos m. Por eso, .

Las siguientes propiedades se derivan de la definición de probabilidad:

Propiedad 1. La probabilidad de un evento determinado es igual a uno.

De hecho, si el evento es confiable, entonces cada resultado elemental de la prueba favorece el evento. En este caso m = n, por eso,

P (A) = m / n = n / n = 1.(1.6)

Propiedad 2. La probabilidad de un evento imposible es cero.

De hecho, si el evento es imposible, ninguno de los resultados elementales de la prueba favorece el evento. En este caso T= 0, por lo tanto P (A) = m / n = 0 / n = 0. (1.7)

Propiedad 3.La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno.

De hecho, solo una fracción del número total de resultados de pruebas elementales favorece un evento aleatorio. Es decir, 0≤m≤n, que significa 0≤m / n≤1, por lo tanto, la probabilidad de cualquier evento satisface la doble desigualdad 0≤ P (A) ≤1. (1.8)

Comparando las definiciones de probabilidad (1.5) y frecuencia relativa (1.1), concluimos: la definición de probabilidad no requiere que se realicen pruebas en realidad; la definición de la frecuencia relativa asume que las pruebas se llevaron a cabo realmente... En otras palabras, la probabilidad se calcula antes del experimento y la frecuencia relativa, después del experimento.

Sin embargo, calcular la probabilidad requiere información preliminar sobre el número o probabilidades de resultados elementales favorables a un evento dado. En ausencia de dicha información preliminar, para determinar la probabilidad, recurren a datos empíricos, es decir, la frecuencia relativa del evento se determina a partir de los resultados de un experimento estocástico.

Ejemplo 1.23... Departamento de control técnico encontrado 3 piezas personalizadas en un lote de 80 piezas seleccionadas al azar. La frecuencia relativa de aparición de piezas no estándar. r (A)= 3/80.

Ejemplo 1.24... Por destino. Producido 24 disparo, y se registraron 19 impactos. La frecuencia relativa de dar en el blanco. r (A)=19/24.

Las observaciones a largo plazo han demostrado que si los experimentos se llevan a cabo en las mismas condiciones, en cada una de las cuales el número de pruebas es suficientemente grande, la frecuencia relativa exhibe la propiedad de estabilidad. Esta propiedad es que en diferentes experimentos la frecuencia relativa cambia poco (cuanto menos, más pruebas se realizan), fluctuando alrededor de un cierto número constante. Resultó que este número constante se puede tomar como un valor aproximado de la probabilidad.

La relación entre frecuencia relativa y probabilidad se describirá con más detalle y con mayor precisión a continuación. Ahora ilustremos la propiedad de estabilidad con ejemplos.

Ejemplo 1.25... Según las estadísticas suecas, la frecuencia relativa de nacimientos de niñas para 1935 por meses se caracteriza por los siguientes números (los números están ordenados en el orden de meses, comenzando con Enero): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

La frecuencia relativa fluctúa alrededor del número 0.481, que puede tomarse como un valor aproximado de la probabilidad de tener niñas.

Tenga en cuenta que las estadísticas de diferentes países dan aproximadamente el mismo valor para la frecuencia relativa.

Ejemplo 1.26. Muchas veces se llevaron a cabo experimentos lanzando una moneda, en los que se contaba el número de aparición del "escudo de armas". Los resultados de varios experimentos se muestran en la tabla.

La teoría de la probabilidad es una rama independiente bastante extensa de las matemáticas. En el curso escolar, la teoría de la probabilidad se considera muy superficialmente, sin embargo, en el examen y el GIA hay problemas sobre este tema. Sin embargo, resolver los problemas del curso escolar no es tan difícil (al menos en lo que respecta a las operaciones aritméticas); aquí no es necesario contar derivadas, tomar integrales y resolver transformaciones trigonométricas complejas; lo principal es poder manejar números primos y fracciones.

Teoría de la probabilidad - términos básicos

Los términos principales de la teoría de la probabilidad son ensayo, resultado y evento aleatorio. Una prueba en la teoría de la probabilidad se llama experimento: lanzar una moneda, sacar una carta, sacar suertes, todas estas son pruebas. El resultado de la prueba, lo adivinó, se llama resultado.

Pero, ¿cuál es la aleatoriedad de un evento? En la teoría de la probabilidad, se asume que la prueba se realiza más de una vez y hay muchos resultados. Muchos resultados de un ensayo se denominan evento aleatorio. Por ejemplo, si lanza una moneda, pueden ocurrir dos eventos aleatorios: cara o cruz.

No confunda los conceptos de resultado y evento aleatorio. El resultado es uno de los resultados de un ensayo. Un evento aleatorio es un conjunto de posibles resultados. Por cierto, existe un término como evento imposible. Por ejemplo, el evento "número 8" en un dado de juego estándar no es posible.

¿Cómo hallas la probabilidad?

Todos entendemos aproximadamente qué es probabilidad y, con bastante frecuencia, usamos esta palabra en nuestro vocabulario. Además, incluso podemos sacar algunas conclusiones con respecto a la probabilidad de tal o cual evento, por ejemplo, si hay nieve fuera de la ventana, lo más probable es que podamos decir que ahora no es verano. Sin embargo, ¿cómo se puede expresar numéricamente esta suposición?

Para introducir una fórmula para encontrar la probabilidad, introducimos un concepto más: un resultado favorable, es decir, un resultado que es favorable para un evento en particular. La definición es bastante ambigua, por supuesto, sin embargo, de acuerdo con la condición del problema, siempre está claro cuál de los resultados es favorable.

Por ejemplo: hay 25 personas en la clase, tres de ellas son Katya. La maestra nombra a Olya de turno y ella necesita un compañero. ¿Cuál es la probabilidad de que Katya se convierta en socia?

En este ejemplo, un resultado favorable es la pareja Katya. Resolveremos este problema un poco más tarde. Pero primero, con la ayuda de una definición adicional, presentamos una fórmula para encontrar la probabilidad.

• P = A / N, donde P es la probabilidad, A es el número de resultados favorables, N es el número total de resultados.

Todos los problemas escolares giran en torno a esta fórmula y la principal dificultad suele estar en encontrar los resultados. A veces es fácil encontrarlos, a veces no es muy bueno.

¿Cómo resolver probabilidades?

Problema 1

Así que ahora solucionemos el problema planteado anteriormente.

El número de resultados favorables (el maestro elegirá a Katya) es tres, porque hay tres Katya en la clase y hay 24 resultados generales (25-1, porque Olya ya ha sido seleccionada). Entonces la probabilidad es: P = 3/24 = 1/8 = 0.125. Por tanto, la probabilidad de que Katya sea pareja de Olya es del 12,5%. No es difícil, ¿verdad? Veamos algo un poco más complicado.

Tarea 2

La moneda se lanzó dos veces, ¿cuál es la probabilidad de la combinación: una cara y una cruz?

Por lo tanto, considere los resultados generales. ¿Cómo pueden caer las monedas: cara / cara, cruz / cruz, cara / cruz, cruz / cara? Esto significa que el número total de resultados es 4. ¿Cuántos resultados favorables? Dos: caras / colas y colas / caras. Por tanto, la probabilidad de obtener una combinación cara / cruz es:

• P = 2/4 = 0,5 o 50 por ciento.

Ahora consideremos el siguiente problema. Masha tiene 6 monedas en su bolsillo: dos - 5 rublos y cuatro - 10 rublos. Masha puso 3 monedas en otro bolsillo. ¿Cuál es la probabilidad de que las monedas de 5 rublos terminen en diferentes bolsillos?

Para simplificar, designemos monedas con números: 1,2 - monedas de cinco rublos, 3,4,5,6 - monedas de diez rublos. Entonces, ¿cómo pueden haber monedas en tu bolsillo? Hay 20 combinaciones en total:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

A simple vista puede parecer que han desaparecido algunas combinaciones, por ejemplo, la 231, pero en nuestro caso las combinaciones 123, 231 y 321 son equivalentes.

Ahora contamos cuántos resultados favorables tenemos. Para ellos, tomamos aquellas combinaciones en las que existe el número 1 o el número 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Hay 12 de ellos. , la probabilidad es:

• P = 12/20 = 0,6 o 60%.

Los problemas de la teoría de la probabilidad que se presentan aquí son bastante sencillos, pero no piense que la teoría de la probabilidad es una simple rama de las matemáticas. Si decides continuar tu educación en una universidad (a excepción de las especialidades humanitarias), definitivamente tendrás pares en matemáticas superiores, donde te introducirán en términos más complejos de esta teoría, y los problemas allí serán mucho más difíciles. .

En las tareas USE en matemáticas, también hay problemas de probabilidad más complejos (que los que consideramos en la Parte 1), donde hay que aplicar la regla de la suma, multiplicación de probabilidades y distinguir entre eventos conjuntos e incompatibles.

Entonces la teoría.

Eventos conjuntos e incompatibles

Los eventos se denominan inconsistentes si la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia de otros. Es decir, solo puede ocurrir un evento específico u otro.

Por ejemplo, al lanzar un dado, se pueden distinguir eventos como un número par de puntos y un número impar de puntos. Estos eventos son inconsistentes.

Los eventos se denominan eventos conjuntos si la ocurrencia de uno de ellos no excluye la ocurrencia del otro.

Por ejemplo, al lanzar un dado, se pueden distinguir eventos como un número impar de puntos y un múltiplo de tres puntos. Cuando se tiran tres, ocurren ambos eventos.

Suma de eventos

La suma (o combinación) de varios eventos es un evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos eventos.

Donde suma de dos eventos incompatibles es la suma de las probabilidades de estos eventos:

Por ejemplo, la probabilidad de obtener 5 o 6 puntos en un dado con una tirada será porque ambos eventos (tirada 5, tirada 6) son inconsistentes y la probabilidad de que ocurra uno o el segundo evento se calcula de la siguiente manera:

La probabilidad la suma de dos eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos sin tener en cuenta su ocurrencia conjunta:

Por ejemplo, en un centro comercial, dos máquinas expendedoras idénticas venden café. La probabilidad de que la máquina se quede sin café al final del día es de 0,3. La probabilidad de quedarse sin café en ambas máquinas es de 0,12. Encontremos la probabilidad de que al final del día se acabe el café en al menos una de las máquinas (es decir, en una, en la otra, o en las dos a la vez).

La probabilidad del primer evento “se acaba el café en la primera máquina” así como la probabilidad del segundo evento “el café se acaba en la segunda máquina” es igual a 0,3 según la condición. Los eventos son colaborativos.

La probabilidad de realización conjunta de los dos primeros eventos por condición es 0.12.

Esto significa que la probabilidad de que al final del día al menos una de las máquinas se quede sin café

Eventos dependientes e independientes

Dos eventos aleatorios A y B se denominan independientes si la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de que ocurra el otro. De lo contrario, los eventos A y B se denominan dependientes.

Por ejemplo, si se lanzan dos dados simultáneamente, las consecuencias de uno de ellos, digamos 1, y del segundo 5, son eventos independientes.

Producto de probabilidades

El producto (o intersección) de varios eventos es un evento que consiste en la aparición conjunta de todos estos eventos.

Si suceden dos eventos independientes A y B con probabilidades, respectivamente, P (A) y P (B), entonces la probabilidad de que ocurran los eventos A y B es simultáneamente igual al producto de probabilidades:

Por ejemplo, estamos interesados ​​en las consecuencias de los seises en los dados dos veces seguidas. Ambos eventos son independientes y la probabilidad de realización de cada uno de ellos por separado es. La probabilidad de que ocurran ambos eventos se calculará utilizando la fórmula anterior :.

Vea una selección de tareas para resolver el tema.