Vista estándar de explicación monomial. Definición de un monomio: conceptos relacionados, ejemplos

En esta lección daremos una definición estricta de un monomio, considere varios ejemplos del libro de texto. Recordemos las reglas para multiplicar grados con las mismas bases. Démosle una definición de la forma estándar de un monomio, el coeficiente de un monomio y su letra. Consideremos dos acciones típicas básicas sobre monomios, a saber, la reducción a la forma estándar y el cálculo de un valor numérico específico de un monomio para valores dados de sus variables alfabéticas. Formulemos una regla para reducir un monomio a una forma estándar. Aprenderemos a resolver problemas típicos con cualquier monomio.

Tema:Monomios. Operaciones aritméticas sobre monomios

Lección:El concepto de monomio. Tipo estándar de monomio

Considere algunos ejemplos:

3. ;

Busquemos características comunes para las expresiones dadas. En los tres casos, la expresión es el producto de números y variables elevados a una potencia. Basado en esto, damos definición monomial : Un monomio es una expresión algebraica que consiste en el producto de grados y números.

Ahora daremos ejemplos de expresiones que no son monomios:

Encontremos la diferencia entre estas expresiones y las anteriores. Consiste en que en los ejemplos 4-7 existen operaciones de suma, resta o división, mientras que en los ejemplos 1-3, que son monomios, estas operaciones no lo son.

A continuación, se muestran algunos ejemplos más:

La expresión 8 es un monomio, ya que es el producto de una potencia por un número, mientras que el ejemplo 9 no es un monomio.

Ahora averigüémoslo acciones sobre monomios .

1. Simplificación. Considere el ejemplo n. ° 3. ; y ejemplo # 2 /

En el segundo ejemplo, vemos solo un coeficiente -, cada variable ocurre solo una vez, es decir, la variable " a"Se presenta en una sola copia, como" ", igualmente las variables" "y" "ocurren solo una vez.

En el ejemplo # 3, por el contrario, hay dos coeficientes diferentes - y vemos la variable "" dos veces - como "" y como "", de manera similar la variable "" ocurre dos veces. Es decir, esta expresión debe simplificarse, por lo que llegamos a la primera acción realizada en los monomios es llevar el monomio a la forma estándar ... Para hacer esto, llevemos la expresión del Ejemplo 3 a una forma estándar, luego definamos esta operación y aprendamos cómo llevar cualquier monomio a una forma estándar.

Entonces, considere un ejemplo:

El primer paso en la operación de conversión a la forma estándar es siempre multiplicar todos los factores numéricos:

;

El resultado de esta acción se llamará coeficiente monomial .

A continuación, debes multiplicar los grados. Multiplicamos las potencias de la variable " X"Según la regla para multiplicar grados con las mismas bases, que dice que al multiplicar, los exponentes suman:

ahora multiplicamos los poderes " en»:

;

Entonces, aquí hay una expresión simplificada:

;

Cualquier monomio se puede reducir a una forma estándar. Vamos a formular regla de estandarización :

Multiplica todos los factores numéricos;

Ponga el coeficiente resultante en primer lugar;

Multiplica todos los grados, es decir, obtén la parte de la letra;

Es decir, cualquier monomio se caracteriza por un coeficiente y una parte de letra. Mirando hacia el futuro, notamos que los monomios que tienen la misma parte de la letra se llaman similares.

Ahora necesitas ejercitarte la técnica de reducir los monomios a la forma estándar ... Considere ejemplos del tutorial:

Asignación: lleve el monomio a la forma estándar, nombre el coeficiente y la parte de la letra.

Para completar la tarea, usaremos la regla para reducir el monomio a la forma estándar y las propiedades de los grados.

1. ;

3. ;

Comentarios sobre el primer ejemplo: Primero, determinaremos si esta expresión es realmente un monomio, para ello comprobaremos si contiene operaciones de multiplicación de números y potencias y si contiene operaciones de suma, resta o división. Podemos decir que esta expresión es un monomio, ya que se cumple la condición anterior. Además, de acuerdo con la regla para reducir el monomio a la forma estándar, multiplicamos los factores numéricos:

- encontramos el coeficiente de un monomio dado;

; ; ; es decir, se recibe la parte literal de la expresión:;

escriba la respuesta :;

Comentarios sobre el segundo ejemplo: Siguiendo la regla, realizamos:

1) multiplica los factores numéricos:

2) multiplica los poderes:

Las variables se presentan en una sola copia, es decir, no se pueden multiplicar por nada, se reescriben sin cambios, se multiplica el grado:

Anotemos la respuesta:

;

En este ejemplo, el coeficiente del monomio es igual a uno y la parte alfabética es.

Comentarios sobre el tercer ejemplo: a Tributariamente a los ejemplos anteriores, realizamos las acciones:

1) multiplica los factores numéricos:

;

2) multiplica los poderes:

;

escriba la respuesta :;

En este caso, el coeficiente del monomio es "", y la parte de la letra .

Ahora considera la segunda operación estándar en monomios ... Dado que un monomio es una expresión algebraica que consta de variables literales que pueden tomar valores numéricos específicos, tenemos una expresión numérica aritmética que debe calcularse. Es decir, la siguiente operación sobre polinomios es calcular su valor numérico específico .

Veamos un ejemplo. Se da un monomio:

este monomio ya se ha reducido a la forma estándar, su coeficiente es igual a uno, y la parte de la letra

Anteriormente dijimos que una expresión algebraica no siempre se puede calcular, es decir, las variables que se incluyen en ella no pueden tomar ningún valor. En el caso de un monomio, las variables incluidas en él pueden ser cualquiera, esta es una característica del monomio.

Entonces, en el ejemplo dado, se requiere calcular el valor del monomio en ,,,.

Grado monomial

Para un monomio, existe el concepto de grado. Averigüemos qué es.

Definición.

Grado monomial la forma estándar es la suma de los exponentes de todas las variables incluidas en su registro; si no hay variables en el registro de un monomio, y es distinto de cero, entonces su grado se considera igual a cero; el número cero se considera un monomio, cuyo grado no está definido.

La determinación del grado de un monomio permite dar ejemplos. El grado de un monomio a es igual a uno, ya que a es un 1. El grado de un monomio 5 es cero, ya que es distinto de cero y su notación no contiene variables. Y el producto 7 a 2 x y 3 a 2 es un monomio de octavo grado, ya que la suma de los exponentes de todas las variables a, xey es 2 + 1 + 3 + 2 = 8.

Por cierto, el grado de un monomio no escrito en la forma estándar es igual al grado del monomio correspondiente en la forma estándar. Para ilustrar lo dicho, calculamos el grado del monomio 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y... Este monomio en la forma estándar tiene la forma −6 x 8 y 4, su grado es 8 + 4 = 12. Por tanto, el grado del monomio original es 12.

Coeficiente monomial

Un monomio en la forma estándar, que tiene al menos una variable en su notación, es un producto con un solo factor numérico: un coeficiente numérico. Este coeficiente se llama coeficiente del monomio. Formulemos el razonamiento anterior en forma de definición.

Definición.

Coeficiente monomial Es el factor numérico de un monomio escrito en forma estándar.

Ahora podemos dar ejemplos de los coeficientes de diferentes monomios. El número 5 es el coeficiente del monomio 5 · a 3 por definición, de manera similar, el monomio (−2,3) · x · y · z tiene un coeficiente de −2,3.

Los coeficientes de los monomios iguales a 1 y −1 merecen especial atención. El punto aquí es que generalmente no están explícitamente presentes en el registro. Se considera que el coeficiente de los monomios de la forma estándar, que no tienen un factor numérico en su registro, es igual a uno. Por ejemplo, los monomios a, x z 3, a t x, etc. tienen un coeficiente de 1, ya que a se puede considerar como 1 a, x z 3 como 1 x z 3, etc.

De manera similar, el coeficiente de los monomios, cuyos registros en la forma estándar no tienen un factor numérico y comienzan con un signo menos, se consideran menos uno. Por ejemplo, los monomios −x, −x 3 y z 3, etc. tienen coeficiente −1, ya que −x = (- 1) x, −x 3 y z 3 = (- 1) x 3 y z 3 etc.

Por cierto, el concepto de coeficiente de un monomio a menudo se conoce como monomios estándar, que son números sin factores alfabéticos. Estos números se consideran los coeficientes de tales números monomiales. Entonces, por ejemplo, el coeficiente de un monomio 7 se considera igual a 7.

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Los monomios son uno de los principales tipos de expresiones estudiadas en el curso de álgebra escolar. En este material te diremos cuáles son estas expresiones, definiremos su forma estándar y mostraremos ejemplos, además de tratar conceptos relacionados, como el grado de un monomio y su coeficiente.

Que es un monomio

En los libros de texto escolares, se suele dar la siguiente definición de este concepto:

Definición 1

Los monomios incluyen números, variables, así como sus grados con un indicador natural y diferentes tipos de trabajos compuestos por ellos.

Basándonos en esta definición, podemos dar ejemplos de tales expresiones. Entonces, todos los números 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 se referirán a monomios. Todas las variables, por ejemplo, x, a, b, p, q, t, y, z, también serán monomios por definición. Esto también incluye los grados de variables y números, por ejemplo, 6 3, (- 7, 41) 7, x 2 y t 15, así como expresiones de la forma 65 x, 9 (- 7) x y 3 6, x x y 3 x y 2 z, etc. Tenga en cuenta que un monomio puede incluir un número o una variable, o varios, y se pueden mencionar varias veces como parte de un polinomio.

Tales tipos de números como enteros, racionales, naturales también se refieren a monomios. También puede incluir números reales y complejos. Entonces, expresiones de la forma 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 también serán monomios.

¿Cuál es la forma estándar de un monomio y cómo convertirle una expresión?

Para la conveniencia del trabajo, todos los monomios primero conducen a una forma especial llamada estándar. Formulemos específicamente lo que esto significa.

Definición 2

Tipo estándar de monomio llámenlo de tal forma en que es el producto de un factor numérico y potencias naturales de diferentes variables. El factor numérico, también llamado coeficiente de un monomio, generalmente se escribe primero en el lado izquierdo.

Para mayor claridad, seleccionamos varios monomios de la forma estándar: 6 (este es un monomio sin variables), 4 · a, - 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Esto también incluye la expresión x y(aquí el coeficiente será igual a 1), - x 3(aquí el coeficiente es -1).

Ahora daremos ejemplos de monomios que deben reducirse a la forma estándar: 4 a a 2 a 3(aquí necesitas combinar las mismas variables), 5 x (- 1) 3 y 2(aquí debe combinar los factores numéricos de la izquierda).

Por lo general, cuando un monomio tiene varias variables escritas en letras, los factores de letras se escriben en orden alfabético. Por ejemplo, es preferible escribir 6 a b 4 c z 2, cómo b 4 6 a z 2 c... Sin embargo, el orden puede ser diferente si así lo requiere el propósito del cálculo.

Cualquier monomio se puede reducir a una forma estándar. Para hacer esto, debe realizar todas las transformaciones idénticas necesarias.

El concepto de grado de un monomio.

El concepto que lo acompaña del grado de un monomio es muy importante. Anotemos la definición de este concepto.

Definición 3

Grado monomial, escrito en forma estándar, es la suma de los exponentes de todas las variables incluidas en su registro. Si no hay ninguna variable en él, y el monomio en sí es diferente de 0, entonces su grado será cero.

Demos ejemplos de grados de un monomio.

Ejemplo 1

Por tanto, un monomio a tiene grado 1, ya que a = a 1. Si tenemos un monomio 7, entonces tendrá grado cero, ya que no hay variables en él y es diferente de 0. Y aqui esta la entrada 7 a 2 x y 3 a 2 será un monomio de octavo grado, porque la suma de los exponentes de todos los grados de las variables incluidas en él será igual a 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

El monomio reducido a la forma estándar y el polinomio original tendrán el mismo grado.

Ejemplo 2

Vamos a mostrar cómo calcular el grado de un monomio. 3 x 2 y 3 x (- 2) x 5 y... En su forma estándar, se puede escribir como - 6 x 8 y 4... Calculamos el grado: 8 + 4 = 12 ... Por tanto, el grado del polinomio original también es 12.

El concepto de coeficiente de un monomio.

Si tenemos un monomio reducido a una forma estándar, que incluye al menos una variable, entonces hablamos de él como un producto con un factor numérico. Este factor se llama coeficiente numérico o coeficiente del monomio. Anotemos la definición.

Definición 4

El coeficiente de un monomio es el factor numérico de un monomio reducido a una forma estándar.

Tomemos, por ejemplo, los coeficientes de varios monomios.

Ejemplo 3

Entonces, en la expresión 8 a 3 el coeficiente será el número 8, y en (-2, 3) x y z lo harán − 2 , 3 .

Se debe prestar especial atención a los coeficientes iguales a uno y menos uno. Por regla general, no se indican explícitamente. Se cree que en un monomio de la forma estándar, en el que no hay factor numérico, el coeficiente es igual a 1, por ejemplo, en las expresiones a, xz 3, atx, ya que pueden considerarse como 1 a, xz 3 - como 1 x z 3 etc.

Asimismo, en monomios que no tienen factor numérico y comienzan con un signo menos, podemos considerar el coeficiente - 1.

Ejemplo 4

Por ejemplo, las expresiones - x, - x 3 y z 3 tendrán dicho coeficiente, ya que se pueden representar como - x = (- 1) x, - x 3 y z 3 = (- 1) x 3 yz 3, etc. .

Si un monomio no tiene un factor de una sola letra, entonces también podemos hablar de un coeficiente en este caso. Los coeficientes de tales números monomiales son los propios números. Entonces, por ejemplo, el coeficiente de un monomio 9 será 9.

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