Matemáticas con menor. Ordenamiento del conjunto de números naturales Teoremas sobre los números naturales más grandes y más pequeños
Un segmento N de una serie natural es el conjunto de números naturales que no exceden al número natural a, es decir, N = (x|x N y x a).
Por ejemplo, N es el conjunto de números naturales que no exceden 7, es decir norte =(1,2,3,4,5,6,7).
Observemos dos propiedades más importantes de los segmentos de la serie natural:
1) Cualquier segmento N contiene uno. Esta propiedad se deriva de la definición de segmento de una serie natural.
2) Si el número x está contenido en el intervalo N y x a, entonces el número x+1 que los sigue inmediatamente también está contenido en N.
Un conjunto A se dice finito si es equivalente a algún segmento N de la serie natural. Por ejemplo, el conjunto A de los vértices de un triángulo, el conjunto B de letras de la palabra “mundo” son conjuntos finitos, porque son iguales al segmento N = (1,2,3), es decir A~B~N.
Si un conjunto finito no vacío A es igual al segmento N, entonces el número natural a se llama número de elementos del conjunto A y se escribe n(A) = a. Por ejemplo, si A es el conjunto de vértices de un triángulo, entonces n(A) = 3.
Cada conjunto finito no vacío es equivalente a uno y sólo un segmento de la serie natural, es decir, cada conjunto finito A puede asociarse con un número a definido de forma única, de modo que el conjunto A se mapea uno a uno en el segmento. NORTE.
Establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos de un conjunto finito no vacío A y un segmento de una serie natural se llama contar los elementos del conjunto A. Dado que solo un número natural corresponde a cualquier conjunto finito no vacío, todo el conjunto de conjuntos finitos se divide en clases de conjuntos de potencias iguales. Una clase contendrá todos los conjuntos de un solo elemento, otra contendrá conjuntos de dos elementos, etc. Y este número puede considerarse como una propiedad general de la clase de conjuntos finitos de igual potencia. Por tanto, desde un punto de vista de la teoría de conjuntos, un número natural es una propiedad general de la clase de conjuntos finitos de igual cardinalidad.
El número 0 también tiene una interpretación teórica de conjuntos: se pone en correspondencia con el conjunto vacío: n() = 0.
Entonces, el número natural a como característica de la cantidad se puede considerar desde dos posiciones:
1) como el número de elementos del conjunto A, obtenido contando;
2) como propiedad general de la clase de conjuntos finitos de igual potencia.
La conexión establecida entre conjuntos finitos y números naturales nos permite dar una interpretación teórica de conjuntos de la relación "menor que".
Si a = n(A), b = n(B), entonces el número a es menor que el número b si y sólo si el conjunto A es igual a su propio subconjunto del conjunto B, es decir A~B, donde B B, B B, B (Fig. 1). O cuando un segmento de una serie natural N es un subconjunto propio del segmento N, es decir norte norte .
Los números a y b son iguales si están definidos por conjuntos iguales: a = k A~B, donde n(A) = a, n (B) = k. Por ejemplo, 2 = 2, porque norte(A) = 2, norte(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Las propiedades de la relación “menor que” para los números naturales también reciben una interpretación teórica de conjuntos: la transitividad y antisimetría de esta relación están asociadas con el hecho de que la relación “ser un subconjunto” es transitiva y antisimétrica.
Demostremos, usando la interpretación teórica de conjuntos de la relación “menor que” para los números naturales, que 2
Tomemos un conjunto A que contiene 2 elementos y un conjunto B que contiene 5 elementos, es decir n(A) = 2, n(B) = 5. Por ejemplo, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Del conjunto B podemos seleccionar un subconjunto B que sea igual al conjunto A: por ejemplo, B = (c, d) y A~B. Según la definición de ratio "menor que", 2
La validez de esta desigualdad también se deriva del hecho de que N
Esta desigualdad se puede ver en la Figura 2. Sea 2 el número de círculos y 5 el número de cuadrados. Si ponemos los círculos sobre los cuadrados, veremos que algunos de los cuadrados quedan al descubierto.
Esto significa que el número de círculos es menor que el número de cuadrados, es decir 2
Significado teórico de conjuntos de la desigualdad 0
La comparación de números en el curso inicial de matemáticas se lleva a cabo de varias maneras: se basa en todos los enfoques que hemos considerado para la interpretación de la relación "menor que".
Un número natural es un número que se utiliza para contar objetos. Surgió de las necesidades prácticas del hombre. El desarrollo del concepto de número natural se puede dividir en varias etapas: 1. Los antiguos, para comparar conjuntos, establecían correspondencias: por ejemplo, tanto como un dedo de una mano. Desventaja: los conjuntos comparados tenían que ser visibles al mismo tiempo. 2. Muchos: intermediarios, por ejemplo, piedras, conchas, palos. El concepto de número aún no está completo. Y los números están vinculados a elementos específicos. 3. Aparición de un número (Designación de un número en forma de números). Los orígenes de la aritmética. La aritmética como ciencia se originó en los países del Antiguo Oriente: China, India, Egipto y un mayor desarrollo en Grecia. El término "número natural" fue utilizado por primera vez por el científico romano Boecio. Es necesario contar para determinar la cantidad de un juego. Dividamos todos los conjuntos cuantitativos en clases de equivalencia, por ejemplo, en una clase de equivalencia. Incluirá muchos vértices de triángulos, lados de un cuadrado, muchas letras de la palabra mundo. Si continuamos este proceso, entonces debido al hecho de que en relación con la equivalencia, todo es una relación igualmente poderosa. Los conjuntos finitos se dividirán en clases. Eso. Teóricamente, el sentido plural de un número natural cardinal es una propiedad general de la clase de conjuntos finitos de igual potencia. Cada clase tiene su propio número cuantitativo. El cero se coloca de acuerdo con el conjunto vacío.
Se dice que los números A y B son iguales si están definidos por conjuntos de igual cardinalidad.
Este método se utiliza en los grados de primaria.
Métodos de trabajo en problemas que revelan el significado específico de las operaciones aritméticas.
Los problemas aritméticos ocupan un lugar importante en los cursos de matemáticas. Casi la mitad del tiempo en las clases de matemáticas se dedica a resolver problemas. Esto se explica por el gran papel educativo y educativo que desempeñan en la enseñanza de los niños. Resolver problemas aritméticos ayuda a revelar el significado básico de las operaciones aritméticas, especificarlas y conectarlas con una situación de vida específica. Los problemas contribuyen a la asimilación de conceptos, relaciones y patrones matemáticos. Al resolver problemas, los niños desarrollan atención voluntaria, observación, pensamiento lógico, habla e inteligencia. La resolución de problemas contribuye al desarrollo de procesos cognitivos como el análisis, la síntesis, la comparación y la generalización.
En el proceso de resolución de problemas aritméticos, los estudiantes aprenden a planificar y controlar sus actividades, dominar técnicas, autocontrol (comprobar el problema, estimar problemas, etc.), desarrollan perseverancia, voluntad y desarrollan interés por encontrar una solución al problema. problema. El papel de la resolución de problemas es excelente a la hora de preparar a los niños para la vida y para su futuro laboral. Al resolver problemas escritos, los estudiantes aprenden a traducir las relaciones entre objetos y cantidades al “lenguaje de las matemáticas”. Los problemas aritméticos utilizan material numérico que refleja los éxitos del país en diversos sectores de la economía nacional, la cultura, la ciencia, etc. Esto ayuda a ampliar los horizontes de los estudiantes, enriqueciéndolos con nuevos conocimientos sobre la realidad circundante. Los estudiantes dominan la capacidad de resolver problemas aritméticos con gran dificultad.
Las razones de las soluciones erróneas que dan los niños a los problemas residen principalmente en las peculiaridades de su pensamiento. En el proceso de aprender a resolver problemas, se debe evitar el entrenamiento en la resolución de problemas de cierto tipo; se debe enseñar un enfoque consciente para la resolución de problemas, enseñar cómo navegar en una determinada situación de la vida descrita en un problema, enseñar a seleccionar conscientemente la tarea datos, una elección consciente de acciones. En el proceso de resolución de cualquier problema aritmético se pueden distinguir las siguientes etapas:
1. Trabajar en el contenido de la tarea.
2. Encontrar una solución al problema.
3. Resolviendo el problema.
4. Formulación de la respuesta.
5. Comprobando la solución al problema.
6. Trabajo de seguimiento del problema resuelto.
Se debe prestar mucha atención a trabajar en el contenido de la tarea, es decir sobre comprender la situación planteada en el problema, estableciendo una relación entre los datos y lo que se busca. La secuencia de trabajo para dominar el contenido de la tarea;
a) análisis de palabras o expresiones incomprensibles;
b) lectura del texto del problema por parte del profesor y los alumnos;
c) registrar las condiciones del problema;
d) repetición de la tarea por preguntas.
Se debe enseñar a los estudiantes a leer el texto de un problema de manera expresiva. Hay que recordar que a los niños hay que enseñarles específicamente a leer expresivamente; no pueden leer el problema correctamente por sí solos, no pueden poner acentos lógicos, etc.
Además de especificar el contenido de una tarea con la ayuda de objetos, plantillas y dibujos, en la práctica de los profesores de las escuelas se han generalizado las siguientes formas de registrar el contenido de una tarea:
1. Una forma abreviada de registro en la que se escriben del texto del problema datos numéricos y solo aquellas palabras y expresiones que son necesarias para comprender el significado lógico del problema.
2. Una forma estructural abreviada de grabación, en la que cada parte lógica del problema se escribe en una nueva línea.
3. Forma esquemática de grabación.
4. Forma gráfica de grabación.
Dado que la función de control en los niños está debilitada, comprobar la solución de un problema no sólo tiene un significado educativo, sino también educativo. En los grados inferiores es necesario:
1. Verificar tareas formuladas verbalmente realizando acciones sobre objetos.
2. Verifique la realidad de la respuesta.
3. Verificar el cumplimiento de la respuesta con las condiciones y pregunta de la tarea. Comprobar la solución de un problema utilizando otros métodos de resolución es posible a partir del 4º grado.
Para controlar la corrección de la resolución de problemas también se utilizan algunos elementos del entrenamiento programado. Este elemento es muy útil porque el alumno recibe inmediatamente un refuerzo por la corrección o, por el contrario, el error de sus acciones. Si una decisión es equivocada, busca nuevas soluciones.
Un maestro en la escuela a menudo no puede estar seguro de que todos los estudiantes comprendan la solución a un problema. Por ello, es de gran utilidad trabajar en consolidar la solución a este problema. El trabajo para consolidar la solución al problema se puede realizar de diversas formas.
1. Se plantean preguntas clave sobre el contenido del problema.
2. Se propone contar todo el proceso de resolución del problema justificando la elección de acciones.
3. Se plantean preguntas sobre acciones o cuestiones individuales. Lo importante para los estudiantes no es el número de problemas similares resueltos, sino la comprensión de la situación del tema en relación con los datos. Este objetivo se logra mediante el trabajo posterior sobre el problema resuelto, que puede considerarse como una técnica importante que desarrolla habilidades en la resolución de problemas de este tipo. Una mejor comprensión del contenido temático de los problemas, la relación entre los datos y los requeridos, se facilita resolviendo problemas con datos numéricos sobrantes o faltantes, escritos no con números, sino con palabras. Las observaciones muestran que los mejores profesores utilizan ampliamente la redacción de problemas por parte de los propios estudiantes como uno de los métodos para enseñar a resolver problemas.
Elaborar problemas ayuda a los niños a comprender mejor la importancia vital y práctica de una tarea, comprender mejor su estructura, así como a distinguir entre diferentes tipos de problemas y comprender los métodos para resolverlos. La preparación de problemas se lleva a cabo en paralelo con la solución de problemas ya preparados. La experiencia y la observación muestran que la composición parcial de problemas es más fácil para los estudiantes. Se debe alentar a los estudiantes a componer problemas con una variedad de argumentos. Esto contribuye al desarrollo de su imaginación, ingenio e iniciativa. Es muy útil cuando, para redactar problemas, los estudiantes utilizan material que “obtienen” durante las excursiones, de libros de referencia, periódicos, revistas, etc. A los estudiantes de secundaria se les debe enseñar a completar y redactar documentos comerciales relacionados con ciertos cálculos. Por ejemplo, escriba un poder, complete un formulario para una transferencia de dinero, etc. Todas las técnicas anteriores se pueden utilizar ampliamente para resolver todo tipo de problemas.
Un problema aritmético simple es un problema que se puede resolver con una operación aritmética. Los problemas simples juegan un papel extremadamente importante en la enseñanza de matemáticas a los estudiantes. Son tareas simples las que permiten revelar el significado principal y especificar operaciones aritméticas, para formar ciertos conceptos matemáticos. Los problemas simples son parte integral de los problemas complejos y, por lo tanto, al desarrollar la capacidad de resolverlos, el docente prepara a los estudiantes para resolver problemas complejos.
Cada año académico, los estudiantes conocen nuevos tipos de problemas simples. Su paulatina introducción se explica por los distintos grados de dificultad de los conceptos matemáticos, el lugar de estudio de aquellas operaciones aritméticas cuyo significado específico revelan. Al elegir tareas de este tipo, las especificaciones y el contenido del profesor merecen no menos atención. Finalmente, el docente enseña a especificar el contenido del problema, revelando la relación entre los datos y lo que se busca utilizando diversas formas de notación corta.
La experiencia de los mejores profesores demuestra que la preparación para la resolución de problemas aritméticos debe comenzar por enriquecer y desarrollar la experiencia práctica de los estudiantes, orientándolos en la realidad circundante. Los estudiantes necesitan ser llevados a una situación de la vida en la que tengan que contar, resolver problemas aritméticos y hacer cambios. Además, estas situaciones no deben crearse artificialmente al principio; sólo se debe atraer y dirigir la atención de los estudiantes hacia ellas. El profesor organiza la observación de los cambios en el número de elementos de los conjuntos de objetos, el contenido de los vasos, etc., lo que contribuye al desarrollo de las ideas de los estudiantes sobre la cantidad y a su familiarización con cierta terminología, que posteriormente se encontrará en la formulación verbal. de problemas: se volvió, todo quedó, tomó, aumentó, disminuyó y etc. Es necesario organizar el juego y las actividades prácticas de los estudiantes de tal manera que, siendo partícipes directos de esta actividad, además de observar, los propios estudiantes puedan sacar una conclusión en cada caso individual; el número de elementos del conjunto ha aumentado o disminuido y qué operación y expresión verbal corresponde a este aumento o disminución. Esta etapa del trabajo preparatorio coincide con el inicio del trabajo sobre los primeros diez números y la familiarización con las operaciones aritméticas, con la resolución y compilación de ejemplos de operaciones con conjuntos objetivos.
Antes de comenzar a enseñar a resolver problemas aritméticos, el docente debe imaginar claramente qué conocimientos, destrezas y habilidades se deben impartir a los estudiantes. Para resolver un problema, los estudiantes deben resolver ejemplos aritméticos, escuchar y luego leer el problema, repetir el problema pregunta por pregunta, a partir de una nota breve, de memoria, identificar los componentes del problema, resolver el problema y comprobar su corrección. En el primer grado, los estudiantes aprenden a resolver problemas que implican encontrar la suma y el resto. Estas tareas se introducen por primera vez al enseñar los primeros diez números. Al aprender a resolver problemas de encontrar la suma de términos idénticos, dividir en partes iguales o dividir por contenido, se debe confiar en que los estudiantes comprendan la esencia de las operaciones aritméticas de multiplicación y división. Antes de resolver el problema de diferentes comparaciones, los estudiantes deben dar el concepto de comparar objetos de un conjunto, dos conjuntos temáticos, cantidades, números, estableciendo relaciones de igualdad y desigualdad entre ellos. Un problema aritmético compuesto o complejo es un problema que puede resolverse mediante dos o más operaciones aritméticas. La investigación psicológica sobre las características de la resolución de problemas aritméticos compuestos muestra que los niños no reconocen problemas simples que les resultan familiares en el contexto de un nuevo problema compuesto. El trabajo preparatorio para la resolución de problemas compuestos debe ser un sistema de ejercicios y técnicas que lleven deliberadamente a los estudiantes a dominar la solución de problemas compuestos. El profesor puede pasar a la resolución de problemas compuestos cuando esté convencido de que los alumnos dominan las técnicas de resolución de problemas simples que se incluirán en el problema compuesto y pueden crear ellos mismos un problema simple de cierto tipo. Al resolver problemas compuestos, los estudiantes deben plantear preguntas a los datos o seleccionar datos para responder la pregunta. Por lo tanto, durante el período preparatorio, es decir. A lo largo del primer año y al comienzo del segundo año de estudios, a los estudiantes se les deben ofrecer tareas:
1. Seleccione preguntas para la condición preparada.
2. Redactar un problema a partir de la pregunta, seleccionando los datos numéricos que faltan.
Al componer problemas simples y compuestos, los estudiantes aprenderán gradualmente a reconocer los simples en un problema compuesto; son muy útiles los ejercicios de composición de problemas complejos que ya han experimentado en su resolución. Esto contribuirá a una mejor asimilación de los tipos de problemas simples, a la capacidad de identificarlos en un problema compuesto y ayudará a los estudiantes a analizar los problemas de forma más consciente. Al resolver problemas compuestos, se debe enseñar a los estudiantes técnicas generales para trabajar en un problema; la capacidad de analizar el contenido de una tarea, resaltando los datos conocidos, lo que se busca (es decir, estableciendo lo que se necesita aprender en la tarea), determinar qué datos faltan para responder la pregunta principal de la tarea. En la práctica de la escuela se ha justificado el método de trabajo con tarjetas, tareas en las que se establece la secuencia de trabajo de una tarea. Al resolver problemas se anota la formalización de su solución con preguntas o se anota y explica cada acción. El desarrollo de un método generalizado para la resolución de problemas de este tipo se asegura mediante la resolución repetida de problemas con varios tipos, tramas, la resolución de problemas prefabricados compilados por los propios estudiantes, la comparación de problemas de este tipo con tipos de problemas previamente resueltos, etc.
1. Explique el método computacional para los casos 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3: todos los métodos de cálculo a partir de la concentración cien.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d=2d=20
3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4d=54
4) 34+2 = 3d+4ed+2d=3d 6d=36
5) 48-30 = 4d+8ed-3d=1d 8d= 18
6) 48-3= 4d+8ed-3d=4d 5d=45
Todos los métodos de cálculo son orales y se realizan mediante sumas y restas de dígitos.
Para el examen estatal de la especialidad.
1. Espacio lineal (vectorial) sobre el campo. Ejemplos. Subespacios, propiedades más simples. Dependencia lineal e independencia de vectores.
2. Base y dimensión del espacio vectorial. Matriz de coordenadas de un sistema vectorial. Transición de una base a otra. Isomorfismo de espacios vectoriales.
3. Cerramiento algebraico del cuerpo de números complejos.
4. Anillo de números enteros. Ordenamiento de números enteros. Teoremas sobre los números enteros “más grandes” y “más pequeños”.
5. Grupo, ejemplos de grupos. Las propiedades más simples de los grupos. Subgrupos. Homomorfismo e isomorfismo de grupos.
6. Propiedades básicas de la divisibilidad de números enteros. Números primos. El infinito del conjunto de los números primos. Descomposición canónica de un número compuesto y su unicidad.
7. Teorema de Kronecker-Capelli (criterio de consistencia para un sistema de ecuaciones lineales).
8. Propiedades básicas de las comparaciones. Sistemas completos y reducidos de deducciones en módulos. Anillo de clase de residuos de módulo. Teoremas de Euler y Fermat.
9. Aplicación de la teoría de las comparaciones a la derivación de criterios de divisibilidad. Convertir una fracción a decimal y determinar la duración de su período.
10. Conjugación de raíces imaginarias de un polinomio con coeficientes reales. Polinomios irreducibles sobre el cuerpo de números reales.
11. Comparaciones lineales con una variable (criterio de solubilidad, métodos de solución).
12. Sistemas equivalentes de ecuaciones lineales. Método de eliminación secuencial de incógnitas.
13. Anillo. Ejemplos de anillos. Las propiedades más simples de los anillos. Subanillo. Homomorfismos e isomorfismos de anillos. Campo. Ejemplos de campos. Las propiedades más simples. Minimidad del cuerpo de los números racionales.
14. Números naturales (conceptos básicos de la teoría axiomática de los números naturales). Teoremas sobre los números naturales “más grandes” y “más pequeños”.
15. Polinomios sobre un campo. Teorema de la división con resto. El máximo común divisor de dos polinomios, sus propiedades y métodos para encontrarlo.
16. Relaciones binarias. Relación de equivalencia. Clases de equivalencia, conjunto de factores.
17. Inducción matemática para números naturales y enteros.
18. Propiedades de los números relativamente primos. El mínimo común múltiplo de números enteros, sus propiedades y métodos de búsqueda.
19. Campo de números complejos, campos numéricos. Representación geométrica y forma trigonométrica de un número complejo.
20. Teorema de división con resto de números enteros. El máximo común divisor de números enteros, sus propiedades y métodos de búsqueda.
21. Operadores lineales del espacio vectorial. Núcleo e imagen de un operador lineal. Álgebra de operadores lineales en un espacio vectorial. Valores propios y vectores propios de un operador lineal.
22. Transformaciones afines del plano, sus propiedades y métodos de especificación. Grupo de transformaciones afines del plano y sus subgrupos.
23. Polígonos. Área de un polígono. Teorema de existencia y unicidad.
24. Igual tamaño e igual composición de polígonos.
25. Geometría de Lobachevsky. Consistencia del sistema de axiomas de la geometría de Lobachevsky.
26. El concepto de paralelismo en la geometría de Lobachevsky. La posición relativa de las líneas en el plano de Lobachevsky.
27. Fórmulas de movimiento. Clasificación de los movimientos del avión. Aplicaciones a la resolución de problemas.
28. La posición relativa de dos planos, una recta y un plano, dos rectas en el espacio (en presentación analítica).
29. Transformaciones proyectivas. Teorema de existencia y unicidad. Fórmulas para transformaciones proyectivas.
30. Productos escalares, vectoriales y mixtos de vectores, su aplicación a la resolución de problemas.
31. El sistema de axiomas de Weyl del espacio euclidiano tridimensional y su consistencia de contenido.
32. Movimientos del avión y sus propiedades. Grupo de movimientos de avión. Teorema de existencia y unicidad del movimiento.
33. Plano proyectivo y sus modelos. Transformaciones proyectivas, sus propiedades. Grupo de transformaciones proyectivas.
34. Transformaciones de similitud plana, sus propiedades. Grupo de transformaciones de similitud plana y sus subgrupos.
35. Superficies lisas. La primera forma cuadrática de una superficie y sus aplicaciones.
36. Diseño paralelo y sus propiedades. Imagen de figuras planas y espaciales en proyección paralela.
37. Líneas suaves. Curvatura de una curva espacial y su cálculo.
38. Elipse, hipérbola y parábola como secciones cónicas. Ecuaciones canónicas.
39. Propiedad directora de elipse, hipérbola y parábola. Ecuaciones polares.
40. Doble proporción de cuatro puntos de una recta, sus propiedades y cálculo. Separación armónica de pares de puntos. Cuadrilátero completo y sus propiedades. Aplicación a la resolución de problemas de construcción.
41. Teoremas de Pascal y Brianchon. Polos y polares.
Ejemplos de preguntas sobre análisis matemático
Teoremas sobre los números enteros “más grandes” y “más pequeños”
Teorema 4 (sobre el número entero "más pequeño"). Cada conjunto no vacío de números enteros acotados desde abajo contiene el número más pequeño. (Aquí, como en el caso de los números naturales, se utiliza la palabra “conjunto” en lugar de la palabra “subconjunto” E
Prueba. Sean O A C Z y A acotados por debajo, es decir 36? ¿ZVá? A(b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Sea ahora b A.
Entonces Ua y Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >ACERCA DE).
Formemos un conjunto M de todos los números de la forma a - b, donde a pasa por el conjunto A, es decir METRO = (c [ c = a - b, a E A)
Obviamente, el conjunto M no está vacío, ya que A 74 0
Como se señaló anteriormente, M C N . En consecuencia, según el teorema de los números naturales (54, capítulo III), en el conjunto M existe el número natural más pequeño m, entonces m = a1 - b para algún número a1. A, y como m es el más pequeño de M, ¿entonces Ua? En< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teorema 5 (sobre el número entero "más grande"). Cada conjunto limitado y no vacío de números enteros contiene el mayor número.
Prueba. Sean O 74 A C Z y A limitados desde arriba por el número b, es decir ? ZVa y A(a< Ь). Тогда -а >b para todos los números a? A.
En consecuencia, el conjunto M (con r = -a, a? A) no está vacío y está acotado por debajo por el número (-6). Por tanto, según el teorema anterior, el número más pequeño ocurre en el conjunto M, es decir ¿as? ¿MU? EM< с).
¿Esto significa Wah? C.A)< -а), откуда Уа? А(-с >A)
H. Diversas formas del método de inducción matemática para números enteros. Teorema de división con resto
Teorema 1 (primera forma del método de inducción matemática). Sea P(c) un predicado de un lugar definido en el conjunto Z de números enteros, 4. Entonces, si para algún NÚMERO a Z la proposición P(o) y para un entero arbitrario K > a de P(K) sigue P(K -4- 1), entonces la proposición P(r) es válida para todos los números enteros con > a (es decir, la siguiente fórmula de cálculo de predicados es verdadera en el conjunto Z:
Р(а) arco > + 1)) Ус > аР(с)
para cualquier entero fijo a
Prueba. Deje que todo lo que se dice en las condiciones del teorema sea cierto para la oración P (c), es decir
1) P(a) - verdadero;
2) UK Shch k + también es cierto.
De lo contrario. Supongamos que existe tal número
b > a, que RF) es falsa. Obviamente b a, ya que P(a) es verdadera. Formemos el conjunto M = (z ? > a, P(z) es falso).
Entonces el conjunto M 0, ya que b? M y M- están limitados desde abajo por el número a. En consecuencia, según el teorema del menor número entero (Teorema 4, 2), existe un mínimo entero c en el conjunto M. Por tanto c > a, lo que, a su vez, implica c - 1 > a.
Demostremos que P(c-1) es verdadera. Si c-1 = a, entonces P (c-1) es verdadera en virtud de la condición.
Sea c- 1 > a. Entonces, ¿el supuesto de que P(c- 1) es falso implica pertenecer a 1? M, lo cual no puede ser, ya que el número c es el más pequeño del conjunto M.
Por tanto, c - 1 > a y P(c - 1) es verdadera.
Por tanto, en virtud de las condiciones de este teorema, la proposición P((c- 1) + 1) es verdadera, es decir R(s) - verdadero. Esto contradice la elección del número c, ya que c? M El teorema está demostrado.
Tenga en cuenta que este teorema generaliza el Corolario 1 de los axiomas de Peano.
Teorema 2 (segunda forma del método de inducción matemática para números enteros). Sea P(c) un predicado de un lugar definido en el conjunto Z de números enteros. Entonces si la proposición P(c) es válida para algún entero K y para un entero arbitrario s K de la validez de la proposición P(c) Para todos los enteros que satisfacen la desigualdad K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >A.
La demostración de este teorema repite en gran medida la demostración de un teorema similar para números naturales (Teorema 1, 55, Capítulo III).
Teorema 3 (tercera forma del método de inducción matemática). Sea P(c) un predicado de un lugar definido en el conjunto Z de NÚMEROS enteros. Entonces, si P(c) es verdadera para todos los números de algún subconjunto infinito M del conjunto de números naturales y para un entero arbitrario a, la verdad de P(a) implica la verdad de P(a - 1), entonces la proposición P(c) es válido para todos los números enteros.
La demostración es similar a la demostración del teorema correspondiente a los números naturales.
Lo ofrecemos como un ejercicio interesante.
Tenga en cuenta que, en la práctica, la tercera forma de inducción matemática es menos común que las demás. Esto se explica por el hecho de que para aplicarlo es necesario conocer el subconjunto infinito M del conjunto de números naturales, lo cual se analiza en el teorema. Encontrar un conjunto de este tipo puede ser una tarea difícil.
Pero la ventaja de la tercera forma sobre las demás es que con su ayuda se puede demostrar la proposición P(c) para todos los números enteros.
A continuación daremos un ejemplo interesante de la aplicación de la tercera forma." Pero primero, demos un concepto muy importante.
Definición. El valor absoluto de un número entero a es un número determinado por la regla
0, si a O a, si a > O
Y, si un< 0.
Por tanto, si es 0, entonces ? NORTE.
Invitamos al lector, como ejercicio, a demostrar las siguientes propiedades del valor absoluto:
Teorema (sobre división con resto). Para cualquier número entero a y b, donde b 0, existe y, además, solo un par de números q U m tal que a r: bq + T L D.
Prueba.
1. Existencia de un par (q, m).
Sea a, b? Z y 0. Demostremos que existe un par de números q y que satisfacen las condiciones
Realizamos la prueba por inducción en tercera forma sobre el número a para un número fijo b.
M = (mlm= n lbl,n? N).
Es obvio que M C es una aplicación f: N M, definida por la regla f(n) = nlbl para cualquier n? N, es una biyección. Esto significa que M N, es decir M- infinitamente.
Demostremos que para un número arbitrario a? El enunciado M (y b-fijo) del teorema sobre la existencia de un par de números q y m es verdadero.
De hecho, sea a (- M. Entonces un pf! para algunos n? N.
Si b > 0, entonces a = n + O. Ahora, estableciendo q = n y m O, obtenemos el par requerido de números q y m. Si b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Hagamos ahora una suposición inductiva. Supongamos que para un número entero arbitrario c (y un b 0 fijo arbitrario) el enunciado del teorema es verdadero, es decir hay un par de números (q, m) tales que
Demostremos que esto también es cierto para el número (con 1). De la igualdad c = bq -4- se deduce que bq + (m - 1). (1)
Puede haber casos.
1) m > 0. Entonces 7" - 1 > 0. En este caso, poniendo - m - 1, obtenemos c - 1 - bq + Tl, donde el par (q, 7"1,) obviamente satisface la condición
0. Entonces c - 1 bq1 + 711 , donde q1
Podemos demostrar fácilmente que 0< < Д.
Por tanto, la afirmación también es cierta para un par de números.
La primera parte del teorema ha sido demostrada.
P. Unicidad del par q, etc.
Supongamos que para los números a y b 0 existen dos pares de números (q, m) y (q1, entonces, satisfaciendo las condiciones (*)
Demostremos que coinciden. Entonces deja
y un bq1 L O< Д.
Esto implica que b(q1 -q) m- 7 1 1. De esta igualdad se deduce que
Si ahora asumimos que q ql, entonces q - q1 0, de donde lq - q1l 1. Multiplicando estas desigualdades término por término por el número lbl, obtenemos φ! - q11 D. (3)
Al mismo tiempo, de las desigualdades 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Ejercicios:
1. Completa las demostraciones de los teoremas 2 y 3 de 5 1.
2. Demuestre el Corolario 2 del Teorema 3, 1.
3. Demuestre que el subconjunto H C Z, formado por todos los números de la forma< п + 1, 1 >(n? N), cerrado bajo suma y multiplicación.
4. Sea H el mismo conjunto que en el ejercicio 3. Demuestre que la aplicación ј : M satisface las condiciones:
1) ј - biyección;
2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) y j(nm) = ј(n) j(m) para cualesquiera números n, m (es decir, ј realiza un isomorfismo de las álgebras (N , 4 y (H, + ,).
5. Completa la demostración del Teorema 1 de 2.
6. Demuestre que para cualquier número entero a, b, c se cumplen las siguientes implicaciones:
7. Demuestre los teoremas segundo y tercero de Z.
8. Demuestre que el anillo Z de números enteros no contiene divisores de cero.
Literatura
1. Bourbaki N. Teoría de conjuntos. M.: Mir, 1965.
2. Vinogradov I. M. Fundamentos de la teoría de números. M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. Fundamentos de la aritmética. M.: Uchpedgiz, 1963.
4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Fundamentos de la teoría de grupos.
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19. Filippov V.P. Álgebra y teoría de números. Volgogrado: VGPI, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Fundamentos de la teoría de conjuntos. M.: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Sistemas parcialmente ordenados. M.: Mir, 1965.
Publicación educativaEdición
Vladimir Konstantinovich Kartashov
CURSO INTRODUCTORIO A LAS MATEMÁTICAS
Tutorial
Preparación editorial de O. I. Molokanova El diseño original fue preparado por A. P. Boschenko
“PR 020048 del 20/12/96
Firmado para publicación el 28 de agosto de 1999. Formato 60x84/16. Impresión de oficina Auge. tipo. M 2. Uel. horno l. 8.2. Educación académica. l. 8.3. Tirada 500 ejemplares. Orden 2
Editorial "Peremena"
Como sabes, el conjunto de los números naturales se puede ordenar mediante la relación “menor que”. Pero las reglas para construir una teoría axiomática requieren que esta relación no sólo se defina, sino que también se haga sobre la base de conceptos ya definidos en esta teoría. Esto se puede hacer definiendo la relación "menor que" mediante la suma.
Definición. El número a es menor que el número b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
En estas condiciones también se dice que el número b más A y escribe b > a.
Teorema 12. Para cualquier número natural A Y b una y sólo una de tres relaciones se cumple: a = b, a > b, A < b.
Omitimos la demostración de este teorema.. De este teorema se deduce que si
a¹ b, cualquiera A< b, o a > b, aquellos. la relación “menos” tiene la propiedad de conectividad.
Teorema 13. Si A< b Y b< с. Eso A< с.
Prueba. Este teorema expresa la propiedad de transitividad de la relación "menor que".
Porque A< b Y b< с. entonces, según la definición de la relación "menor que", hay números naturales A Así que lo que b = a + k y c = b + I. Pero entonces c = (a + k)+ / y con base en la propiedad de asociatividad de la suma obtenemos: c = a + (k +/). Porque el k + yo - número natural, entonces, según la definición de "menor que", A< с.
Teorema 14. Si A< b, no es cierto que b< а. Prueba. Este teorema expresa la propiedad antisimetría relación "menos".
Primero demostremos que ni para un solo número natural A tu no-!>! ■ )su actitud A< A. Supongamos lo contrario, es decir. Qué A< а ocurre. Entonces, según la definición de la relación “menor que”, existe un número natural Con, Qué A+ Con= A, y esto contradice el Teorema 6.
Probemos ahora que si A< b, entonces no es cierto que b < A. Supongamos lo contrario, es decir. Y si A< b , Eso b< а realizado. Pero de estas igualdades, por el Teorema 12 tenemos A< а, lo cual es imposible.
Dado que la relación “menor que” que definimos es antisimétrica y transitiva y tiene la propiedad de conectividad, es una relación de orden lineal, y el conjunto de números naturales conjunto ordenado linealmente.
De la definición de “menor que” y sus propiedades, podemos deducir las propiedades conocidas del conjunto de los números naturales.
Teorema 15. De todos los números naturales, uno es el número más pequeño, es decir I< а для любого натурального числа un¹1.
Prueba. Dejar A - cualquier número natural. Entonces son posibles dos casos: un = 1 y un¹ 1. Si un = 1, entonces es un número natural b, seguido por a: a = b " = b + yo = 1 + b, es decir, por definición de la relación “menor que”, 1< A. Por lo tanto, cualquier número natural es igual a 1 o mayor que 1. O bien, uno es el número natural más pequeño.
La relación "menor que" está asociada con la suma y multiplicación de números por las propiedades de monotonicidad.
Teorema 16.
a = b => a + c = b + c y a c = b c;
A< b =>a+c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + cy ac > bc.
Prueba. 1) La validez de esta afirmación se deriva de la unicidad de la suma y la multiplicación.
2) si A< b,
entonces existe un número tan natural k, Qué A
+ k = segundo.
Entonces b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ A)= (a + c) + k. Igualdad b+ c = (a + c) + k significa que a+c< b
+ Con.
De la misma manera se demuestra que A< b =>C.A< bс.
3) La prueba es similar.
Teorema 17(lo contrario del Teorema 16).
1) A+ c = b + c o ca ~ antes de Cristo-Þ a = b
2) a+c< Ь + с o C.A< antes de CristoÞ A< Ь:
3) a+c>b+ con o ca > antes de CristoÞ a > b.
Prueba. Probemos, por ejemplo, que a partir de C.A< bс debería A< b Supongamos lo contrario, es decir. que la conclusión del teorema no se cumple. Entonces no puede ser eso a = b. desde entonces la igualdad se cumpliría ac = antes de Cristo(Teorema 16); no puede ser A> b, porque entonces seria ac > bс(¡Teorema!6). Por tanto, según el teorema 12, A< b.
De los teoremas 16 y 17 podemos derivar las reglas bien conocidas para la suma y multiplicación de desigualdades término por término. Los dejamos fuera.
Teorema 18. Para cualquier número natural A Y b; existe un número natural n tal que pb>a.
Prueba. Para cualquiera A hay tal numero PAG, Qué norte > a. Para ello basta con tomar norte = un + 1. Multiplicar desigualdades término por término PAG> A Y b> 1, obtenemos pb > A.
De las propiedades consideradas de la relación "menor que", se desprenden características importantes del conjunto de números naturales, que presentamos sin prueba.
1. No para ningún número natural A no existe tal número natural PAG, Qué A< п < а +
1. Esta propiedad se llama propiedad
discreción conjuntos de números naturales y números A Y un + 1 se llama vecino.
2.
Cualquier subconjunto no vacío de números naturales contiene
número más pequeño.
3. Si METRO- subconjunto no vacío del conjunto de números naturales
y hay tal numero b, que para todos los números x de METRO sin ejecutar
igualdad x< b, entonces en abundancia METRO es el número más grande.
Ilustremos las propiedades 2 y 3 con un ejemplo. Dejar METRO- un conjunto de números de dos dígitos. Porque METRO es un subconjunto de números naturales y para todos los números en este conjunto la desigualdad x< 100, то в множестве METRO es el mayor número 99. El número más pequeño contenido en un conjunto dado m, - numero 10.
Así, la relación “menor que” permitió considerar (y en algunos casos probar) un número significativo de propiedades del conjunto de los números naturales. En particular, está ordenado linealmente, es discreto y tiene el número más pequeño 1.
A los niños de primaria se les presenta la relación “menor que” (“mayor que”) para los números naturales desde el comienzo de su educación. Y a menudo, junto con su interpretación teórica de conjuntos, se utiliza implícitamente la definición que damos en el marco de la teoría axiomática. Por ejemplo, los estudiantes pueden explicar que 9 > 7 porque 9 es 7+2. También es común el uso implícito de las propiedades de monotonicidad de la suma y la multiplicación. Por ejemplo, los niños explican que “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Ejercicios
1, ¿Por qué no se puede ordenar el conjunto de números naturales utilizando la relación de “seguimiento inmediato”?
Definir actitud a > b y demostrar que es transitivo y antisimétrico.
3. Demuestre que si a B C son números naturales, entonces:
A) A< b Þ ас < bс;
b) A+ Con< b + сÞ> A< Ь.
4. ¿Qué teoremas sobre la monotonicidad de la suma y la multiplicación pueden
uso por parte de escolares más pequeños al completar la tarea "Comparar sin realizar cálculos":
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8... 27-18.
5. ¿Qué propiedades del conjunto de números naturales utilizan implícitamente los niños de primaria al realizar las siguientes tareas?
A) Escribe los números mayores que 65 y menores que 75.
B) Nombra los números anteriores y siguientes en relación al número 300 (800.609.999).
C) Nombra el número de tres dígitos más pequeño y más grande.
Sustracción
En la construcción axiomática de la teoría de los números naturales, la resta suele definirse como la operación inversa de la suma.
Definición. La resta de números naturales a y b es una operación que satisface la condición: a - b = c si y sólo si b + c = a.
Número a-b se llama diferencia entre los números a y b, número A– minuendo, número b- deducible.
Teorema 19. Diferencia de números naturales A- b existe si y sólo si b< а.
Prueba. deja la diferencia A- b existe. Entonces, según la definición de diferencia, existe un número natural. Con, Qué b + c = a, Lo que significa que b< а.
Si b< а, entonces, por la definición de la relación “menor que”, existe un número natural c tal que segundo + c = a. Entonces, por definición de la diferencia, c = a-b, aquellos. diferencia a-b existe.
Teorema 20. Si la diferencia de números naturales. A Y b existe, entonces es único.
Prueba. Supongamos que hay dos valores diferentes de la diferencia entre números. A Y b;: a-b= s₁ Y a-b= s₂, y s₁ ¹ s₂ . Entonces, por definición de la diferencia, tenemos: a = b + c₁, Y a = b + c₂ : . Resulta que b+ c ₁ = segundo + c₂ : y basándonos en el Teorema 17 concluimos, с₁ = с₂.. Llegamos a una contradicción con el supuesto, lo que significa que es falso, pero este teorema es correcto.
Con base en la definición de la diferencia de números naturales y las condiciones para su existencia, es posible justificar las reglas bien conocidas para restar un número de una suma y una suma de un número.
Teorema 21. Dejar A. b Y Con- números enteros.
y si a > c, entonces (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Si b > c. entonces (a + b) - c - a + (b - c).
c) Si a > c y b > c. entonces puedes utilizar cualquiera de estas fórmulas.
Prueba. En el caso a) la diferencia de números A Y C existe porque a > s. Denotémoslo por x: a - c = x. dónde a = c + x. Si (A+ b) - c = y. entonces, por definición de la diferencia, A+ b = Con+ en. Sustituyamos en esta igualdad A expresión c+x:(c + x) + b = c + y. Usemos la propiedad de asociatividad de la suma: c + (x + b) = c+ en. Transformemos esta igualdad en base a la propiedad de monotonicidad de la suma y obtengamos:
x+b = Ud..Reemplazando x en esta igualdad con la expresión a-c, tendrá (A - GRAMO) + segundo = y. Así, hemos demostrado que si a > c, entonces (a + b) - c = (a - c) + b
La prueba se realiza de manera similar en el caso b).
El teorema probado se puede formular en forma de una regla conveniente para recordar: para restar un número de una suma, basta con restar este número de un término de la suma y agregar otro término al resultado resultante.
Teorema 22. Dejar a, b y c - números enteros. Si a > b+ s, entonces A- (b + c) = (a - b) - c o a - (b + c) = (a - c) - b.
La prueba de esta teoría es similar a la prueba del Teorema 21.
El teorema 22 se puede formular como regla: para restar la suma de números de un número, basta con restar de este número cada término uno por uno.
En la enseñanza de matemáticas primaria, la definición de resta como la inversa de la suma, por regla general, no se da en forma general, pero se usa constantemente, comenzando por realizar operaciones con números de un solo dígito. Los estudiantes deben comprender claramente que la resta está relacionada con la suma y utilizar esta relación en los cálculos. Restando, por ejemplo, el número 16 del número 40, los estudiantes razonan así: “Restar el número 16 de 40 significa encontrar un número tal que sumado al número 16, el resultado sea 40; este número será 24, ya que 24 + 16 = 40. Entonces. 40 - 16 = 24."
Las reglas para restar un número de una suma y una suma de un número en un curso inicial de matemáticas son la base teórica para diversas técnicas de cálculo. Por ejemplo, el valor de la expresión (40 + 16) - 10 se puede encontrar no solo calculando la suma entre paréntesis y luego restándole el número 10, sino también de esta manera;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Ejercicios
1. ¿Es cierto que cada número natural se obtiene del inmediato siguiente restándole uno?
2. ¿Qué tiene de especial la estructura lógica del Teorema 19? ¿Se puede formular utilizando las palabras “necesario y suficiente”?
3. Demuestre que:
y si segundo > c, Eso (a + b) - c = a + (b - c);
b) si a > b + c, Eso un - (b+ c) = (a B C.
4. ¿Es posible, sin realizar cálculos, decir qué expresiones tendrán los mismos valores?
a) (50+16)-14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; mi) 50 - 16-14.
5. ¿Qué propiedades de la resta son la base teórica de las siguientes técnicas de cálculo estudiadas en el curso inicial de matemáticas:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 = 16-6-P;
c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Describir posibles formas de evaluar el valor de una expresión de la forma. a-b- Con e ilustrarlos con ejemplos específicos.
7. Demuestra que cuando b< а y cualquier c natural la igualdad es verdadera (a – b) c = ac - antes de Cristo.
Nota. La prueba se basa en el axioma 4.
8. Determinar el valor de una expresión sin realizar cálculos escritos. Justifica tus respuestas.
a) 7865 × 6 – 7865 × 5: b) 957 × 11 – 957; c) 12 × 36 – 7 × 36.
División
En la construcción axiomática de la teoría de los números naturales, la división suele definirse como la operación inversa de la multiplicación.
Definición. La división de números naturales a y b es una operación que satisface la condición: a: b = c si y sólo si A cuando b× c = a.
Número a:b llamado privado números A Y b, número A número divisible b- divisor.
Como se sabe, la división en un conjunto de números naturales no siempre existe y no existe un signo tan conveniente de la existencia de un cociente como el que existe para una diferencia. Sólo existe una condición necesaria para la existencia de lo particular.
Teorema 23. Para que haya cociente de dos números naturales A Y b, Es necesario que b< а.
Prueba. Sea el cociente de números naturales. A Y b existe, es decir existe un número natural c tal que antes de Cristo = a. Dado que para cualquier número natural 1 la desigualdad 1 £ Con, luego, multiplicando ambas partes por un número natural b, obtenemos b£ antes de Cristo. Pero antes de Cristo = a, por eso, b£ A.
Teorema 24. Si el cociente de números naturales A Y b existe, entonces es único.
La demostración de este teorema es similar a la demostración del teorema de la unicidad de la diferencia de números naturales.
Con base en la definición del cociente de números naturales y las condiciones para su existencia, es posible justificar las reglas bien conocidas para dividir una suma (diferencia, producto) por un número.
Teorema 25. si los numeros A Y b divisible por un número Con, entonces su suma a+b dividido por c, y el cociente obtenido al dividir la suma A+ b por numero Con, igual a la suma de los cocientes obtenidos al dividir A en Con Y b en Con, es decir. (a+b):c = a:c + b:Con.
Prueba. Desde el número A dividido por Con, entonces hay un número natural x = A; es eso a = cx. De manera similar, existe un número natural y = segundo:Con, Qué
b= su. Pero entonces a + b = cx+ cy = - c(x + y). Esto significa que a+b se divide por c, y el cociente se obtiene dividiendo la suma A+ b por el número c, igual a x + y, aquellos. hacha + b: c.
El teorema probado se puede formular como una regla para dividir una suma por un número: para dividir la suma por un número, basta con dividir cada término por este número y sumar los resultados resultantes.
Teorema 26. si los numeros naturales A Y b divisible por un número Con Y a > b, entonces la diferencia a-b se divide por c, y el cociente obtenido al dividir la diferencia entre el número c es igual a la diferencia de los cocientes obtenidos al dividir A en Con Y b en c, es decir (a - b):c = a:c - b:c.
La demostración de este teorema es similar a la demostración del teorema anterior.
Este teorema se puede formular como una regla para dividir la diferencia por un número: Para Para dividir la diferencia entre un número, basta con dividir el minuendo y el sustraendo entre este número y restar el segundo al primer cociente.
Teorema 27. si es un numero natural A es divisible por un número natural c, entonces para cualquier número natural b trabajar ab dividido por s. En este caso, el cociente obtenido al dividir el producto ab al número s , igual al producto del cociente obtenido al dividir A en Con, y números b: (a × b):c - (a:c) × b.
Prueba. Porque A dividido por Con, entonces existe un número natural x tal que C.A= x, donde a = cx. Multiplicando ambos lados de la igualdad por b, obtenemos ab = (cx)b. Como la multiplicación es asociativa, entonces (cx) b = c(x b). De aquí (a b):c = x b= (a:c) b. El teorema se puede formular como una regla para dividir un producto por un número: para dividir un producto por un número, basta con dividir uno de los factores por este número y multiplicar el resultado por el segundo factor.
En la educación matemática elemental, la definición de división como la operación inversa de la multiplicación, por regla general, no se da en forma general, pero se utiliza constantemente, a partir de las primeras lecciones de familiarización con la división. Los estudiantes deben comprender claramente que la división está relacionada con la multiplicación y utilizar esta relación al hacer cálculos. Al dividir, por ejemplo, 48 entre 16, los estudiantes razonan así: “Dividir 48 entre 16 significa encontrar un número que, multiplicado por 16, da como resultado 48; tal número sería 3, ya que 16×3 = 48. Por lo tanto, 48: 16 = 3.
Ejercicios
1. Demuestre que:
a) si el cociente de números naturales a y B existe, entonces es único;
b) si los números a y B están divididos en Con Y a > b, Eso (a - b): c = a: c - b: c.
2. ¿Es posible decir que todas estas igualdades son verdaderas?
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 = 850:10:17.
¿Qué regla generaliza estos casos? Formúlelo y pruébelo.
3. ¿Qué propiedades de la división son la base teórica para
realizando las siguientes tareas ofrecidas a los alumnos de primaria:
¿Es posible, sin realizar división, decir qué expresiones tendrán los mismos valores?
a) (40+ 8):2; c) 48:3; e) (20+ 28):2;
b) (30+16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;
¿Son verdaderas las igualdades?
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Describe posibles formas de calcular el valor de una expresión.
tipo:
A) (A+ antes de Cristo; b) A:b: Con; V) ( a×b): Con .
Ilustrar los métodos propuestos con ejemplos específicos.
5. Encontrar el significado de la expresión de forma racional; su
justifica tus acciones:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
segundo) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Justifique los siguientes métodos de división por un número de dos dígitos:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Sin dividir con una esquina, encuentra lo más racional.
de forma cociente; Justifique el método elegido:
a) 495:15; c) 455:7; mi) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; mi) 455:65.
Conferencia 34. Propiedades del conjunto de números enteros no negativos.
1. El conjunto de números enteros no negativos. Propiedades del conjunto de números enteros no negativos.
2. El concepto de segmento de una serie natural de números y elementos contables de un conjunto finito. Números naturales ordinales y cardinales.
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