Los límites dan muchos problemas a todos los estudiantes de matemáticas. Para resolver el límite, a veces tienes que usar muchos trucos y elegir entre una variedad de soluciones exactamente la que sea adecuada para un ejemplo en particular.

En este artículo, no lo ayudaremos a comprender los límites de sus habilidades o comprender los límites del control, pero intentaremos responder a la pregunta: ¿cómo comprender los límites en las matemáticas superiores? La comprensión viene con la experiencia, así que al mismo tiempo daremos algunos ejemplos detallados de resolución de límites con explicaciones.

El concepto de límite en matemáticas.

La primera pregunta es: ¿cuál es el límite y el límite de qué? Podemos hablar de los límites de las sucesiones y funciones numéricas. Nos interesa el concepto de límite de una función, ya que es con ellos que los estudiantes se encuentran con mayor frecuencia. Pero primero, la definición más general de un límite:

Digamos que hay alguna variable. Si este valor en el proceso de cambio se acerca indefinidamente a un cierto número a , después a es el límite de este valor.

Para una función definida en algún intervalo f(x)=y el limite es el numero A , al que tiende la función cuando X tendiendo a un cierto punto a . Punto a pertenece al intervalo en el que se define la función.

Suena engorroso, pero está escrito de manera muy simple:

Lim- De inglés límite- límite.

También hay una explicación geométrica para la definición del límite, pero aquí no entraremos en la teoría, ya que estamos más interesados ​​en el lado práctico que en el teórico del problema. cuando decimos eso X tiende a algún valor, esto significa que la variable no toma el valor de un número, sino que se aproxima infinitamente a él.

Tomemos un ejemplo concreto. El desafío es encontrar el límite.

Para resolver este ejemplo, sustituimos el valor x=3 en una función. Obtenemos:

Por cierto, si está interesado, lea un artículo separado sobre este tema.

en los ejemplos X puede tender a cualquier valor. Puede ser cualquier número o infinito. Aquí hay un ejemplo cuando X tiende a infinito:

Es intuitivamente claro que cuanto mayor sea el número en el denominador, menor será el valor que tomará la función. Entonces, con un crecimiento ilimitado X sentido 1/x disminuirá y se aproximará a cero.

Como puede ver, para resolver el límite, solo necesita sustituir el valor por el que luchar en la función X . Sin embargo, este es el caso más simple. A menudo, encontrar el límite no es tan obvio. Dentro de los límites hay incertidumbres de tipo 0/0 o infinito/infinito . ¿Qué hacer en tales casos? ¡Usa trucos!

Incertidumbres dentro

Incertidumbre de la forma infinito/infinito

Sea un límite:

Si intentamos sustituir infinito en la función, obtendremos infinito tanto en el numerador como en el denominador. En general, vale la pena decir que hay cierto elemento de arte en resolver tales incertidumbres: uno debe notar cómo una función puede transformarse de tal manera que la incertidumbre desaparezca. En nuestro caso, dividimos el numerador y el denominador por X en grado superior. ¿Lo que sucederá?

Del ejemplo ya considerado anteriormente, sabemos que los términos que contienen x en el denominador tenderán a cero. Entonces la solución al límite es:

Para descubrir ambigüedades de tipo infinito/infinito dividir el numerador y el denominador por X al más alto grado.

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Otro tipo de incertidumbre: 0/0

Como siempre, la sustitución en la función de valor x=-1 da 0 en el numerador y el denominador. Mire un poco más de cerca y notará que tenemos una ecuación cuadrática en el numerador. Busquemos las raíces y escribamos:

Reducimos y obtenemos:

Entonces, si encuentra ambigüedad de tipo 0/0 - factorizar el numerador y el denominador.

Para facilitarte la resolución de ejemplos, aquí tienes una tabla con los límites de algunas funciones:

La regla de L'Hopital dentro

Otra forma poderosa de eliminar ambos tipos de incertidumbres. ¿Cuál es la esencia del método?

Si hay incertidumbre en el límite, tomamos la derivada del numerador y el denominador hasta que desaparezca la incertidumbre.

Visualmente, la regla de L'Hopital se ve así:

Punto importante : debe existir el límite, en el que las derivadas del numerador y el denominador están en lugar del numerador y el denominador.

Y ahora un ejemplo real:

Hay una incertidumbre típica 0/0 . Toma las derivadas del numerador y el denominador:

Voila, la incertidumbre se elimina rápida y elegantemente.

Esperamos que pueda poner en práctica esta información y encontrar la respuesta a la pregunta "cómo resolver límites en matemáticas superiores". Si necesita calcular el límite de una secuencia o el límite de una función en un punto, y no hay tiempo para este trabajo a partir de la palabra "absolutamente", comuníquese con un servicio de estudiantes profesionales para obtener una solución rápida y detallada.



Es un largo veintiocho años, y veintiocho inviernos, además,

Guardó un secreto en sí mismo y fue un esposo ejemplar en la familia.
Todo estaba, como, como siempre: la mujer estaba preparando la cena...
Pero de repente sucedió una desgracia: lo tomó y recordó el secreto.
Bajo el ruido y el olor agrio de la sopa de repollo, las quejas se redujeron en la mañana,
Recordaba todo hasta el más mínimo detalle, como si fuera ayer...
... Estaba sentada junto a la ventana, y la suave y maravillosa luz de la luna
Pintó su hermosa silueta en tonos pálidos...
Las hebras fluían sobre los hombros, se deslizaban serpientes sobre el cofre ...
Y pensó en el fragor del momento: "¡Algún día me casaré con ella!".
Recordaba todo hasta el más mínimo detalle: las curvas de las líneas, la suavidad de los labios...
Y el calor de sus discursos sencillos, y fuera de la ventana un enorme roble.
Entrelazamiento de manos… Fusión de cuerpos… Una cascada de cabello castaño…
¡Y la forma en que la deseaba hasta el frenesí, hasta las lágrimas!
¡Confesiones de un arroyo tembloroso, mientras se las susurraba al oído!
Un divertido rizo sobre la oreja que temblaba de aliento...
Ella lo miró con los ojos húmedos como la noche.
Las palabras embriagaban como el vino: “Te amo… Da a luz a mi hija…”
Por la mañana perdió la paz: se inquietó, luego se aburrió...
Luego, tapándose la cara con la mano, se sentó en una silla y guardó silencio.
La esposa se quejó, como siempre. Regañó la sopa fugitiva...
Y señaló que la edad de ella, envejecida, no le conviene.
Cómo el color blanco y los mechones de cabello teñido no le sientan bien.
Y durante veintiocho años todo de alguna manera no fue serio ...
De repente se levantó de un salto, agarró su abrigo, se olvidó del sombrero y los calcetines.
Todos los veintiocho años, no eso ... Todos los veintiocho inviernos: melancolía.
Encontré esa casa. La casa es de roble. Corrió escaleras arriba como una flecha...
Para calmar el temblor de los labios fríos y la cobardía desagradable, ¡abajo!
Probablemente ahora esté bebiendo té y envolviéndose en un chal...
Y de sus hermosos ojos fluye una tristeza silenciosa...
¿O tal vez empezaste a tejer? ¿Quizás tejiendo encaje?
¡Tanto que decirle! Y lo más importante, lo siento...
Ella abrió la puerta ... En los ojos - una pregunta. Ella tenía veinte años otra vez...
Una cascada de cabello castaño... Una silueta familiar...
Encima de la oreja, un rizo ligero ... Como hace muchos años, exactamente igual ...
"¿No te equivocas?" - No, no podría… ¿Eres Anya?” Vera. Su hija…"
“¿Y Anya?” - “Mamá ya no está… ¿Quién eres tú?” Se volvió:
“Hace veintiocho años que voy con ella…” - Te ha estado esperando… Veinticinco…
¡Qué vértigo... cómo se me hundió el corazón en el pecho!
Y recordó sus palabras con una súplica: "¡No te vayas!"
Se encorvó. Se alejó. El plexo de las manos... La fusión de los cuerpos...
Te amo... Dame una hija... Pero él realmente quería una hija.
Que extraño. Anya ya no está... lloré... me lancé al silencio: “Te amaré por muchos, muchos años... Tú sola...”

PD MANTÉN EL AMOR - es la base de tu felicidad...



¡Una mujer que perdona muy a menudo y aguanta mucho tiempo a menudo se va inesperadamente y para siempre!



Sepa que cada uno tiene un “dolor” diferente,
Sepa que todos tienen un "miedo" diferente.
No juzgues desde tu campanario
Número desconocido de pisos.

No dibujes límites
No pienses en límites con tu cerebro.
¿Qué sueñas en un sueño terrible?
Para algunos, es el negocio como de costumbre.

Sepa que cada uno tiene una “necesidad” diferente,
Sepa que cada uno tiene una “dificultad” diferente.
Sin embargo, la representación del infierno
Es imposible generalizar y comparar.

Saber que la verdad es diferente
No el que viene en bandeja.
Eche un vistazo más de cerca a aquellos cuyo destino asusta
Estas son las personas más fuertes.

no digas que no te recuerdo
Recuerdo todo, y muchas veces al día.
te repito el numero de telefono
Pero nunca te llamaré.
Sentí que mi corazón se iba a romper
Y al borde de los días solitarios

Fueron más allá del horizonte en mi alma.
¡Había amor, había amor, había!
Y no hay nada que añadir a esta frase.
Nuestro castillo mágico se quemó hasta los cimientos
Y las cenizas no nos dejaron como recuerdo.
Recuerdo todo, y recuerdo un jardín en flor,
Y a través del follaje - rayos de todos lados,
Como si de un campanario blanco-blanco
En el alma, escuchas, se vierte un sonido silencioso.
El amor se ha ido y no volverá
y para no añorarla para siempre,
Tus ojos son como dos soles tristes
Fueron más allá del horizonte en mi alma.

Para la felicidad, la búsqueda vuelve a ser infructuosa ...
Y la noche es lluviosa, está sombrío afuera ...
Y en la infancia ... unté un bollo con mermelada.
Y simplemente feliz, hasta el punto de la estupefacción...

Glamour, etiqueta, diamantes, jacuzzi...
Ahora, además de la felicidad, en el destino de "Todo incluido",
Y en la infancia comía semillas de girasol,
Y afortunadamente, parecía que no habría límite...

Nos convertimos mucho en payasos...
Todos tienen maquillaje que ríe afuera...
Y en la infancia ... solo el sol se abrió paso desde el cielo.
Y el corazón feliz sonrió tan...

Seleccionamos personas, como en el trigo sarraceno "Cenicienta" ...
Todo lo necesario - en contactos... Desfavorable en el horno...
Y en la infancia, un cielo despejado creía en nosotros...
¿Dónde está la alegría del olor del pan fresco?

Y la amistad ahora también se compra...
Sobrevivió... Vivimos en un mundo de pieles y cuero...
Y de niño, un mestizo se salvó de un aguacero...
Y dando felicidad, la recibieron.

Hemos perdido la sinceridad, la sensibilidad con los años...
Los bordes y los marcos los inventamos nosotros mismos...
¿Tienes un panecillo y un tarro de mermelada de cereza?
¡Así que sé feliz como el infierno!

Te miro y me doy cuenta de que todavía te amo. Este amor es una enfermedad crónica de los últimos años. Trae un dolor tan insoportable que me lanzo a completamente extraños, tratando de ser engañado por ellos, con ellos de repente en estos brazos encontraré el mismo analgésico que, según los dueños de los corazones arrugados, no existe en absoluto. Entiendo que me están engañando, pero todavía sigo abrazando, no puedo matarme de otra manera, me duele, me atormenta, no me deja dormir por la noche, así que estoy sentado en el alféizar de la ventana y , por un minuto más, gritaré desgarradoramente por la tortura de las ilusiones. ponerse en contacto con usted para obtener ayuda? Inútil. Sabes de mi amor, pero no lo necesitas, "una boca llena de tus sentimientos tácitos". Estamos en la misma red de irresponsabilidad, pero no podemos ayudarnos. Envuelves tus manos alrededor de finos hilos y varillas blancas y miras hacia algún lugar más allá de los límites de la realidad, con la esperanza de que el diablo sepa de quién es la ayuda. Y solo hay una diferencia entre nosotros: mi amor por ti casi me derriba, y tu amor por alguien, te nutre, te revive con expectativa, aunque sea engañosa. Ya no quiero mirarte, alejo de mi corazón la posibilidad de ti, pero esto duele aún más. Entonces pasas por un susurro a sufrir, esperando también que el diablo sepa de quién ayuda. ¿Tiempo?..

Tu vida está llena de mentiras, pornografía, cotidianidad, adicción a Internet y esclavitud celular. Bueno, ¿no tengo razón? Dime, ¿alguna vez has hecho algo realmente fuera de lo común? Nunca. Y no puedes. ¿Sabes por qué? Porque todo está fuera de tu zona de confort. Estás envuelto en él. Como en una bolsa de polipropileno. Sois pedazos de carne, exprimidos por el marco de la vida y del trabajo. ¿O estoy equivocado? ¿Puede ser que esté equivocado? Corrígeme.
Por ejemplo, ¿puedes darle tu teléfono móvil a la primera persona que te encuentras? ¿PERO? Pregunta capciosa. ¿Puedes formatear un tornillo en tu computadora ahora mismo? ¿Mudo? ¿Te cagas a ti mismo? ¿Sabes por qué no? Porque es equivalente al suicidio. No existes sin él.