Ecuaciones lineales con un parámetro. Ecuaciones lineales con un parámetro Cómo encontrar el valor de un parámetro
A tareas con parámetro incluyen, por ejemplo, la búsqueda de soluciones a ecuaciones lineales y cuadráticas en vista general, el estudio de la ecuación para el número de raíces disponibles en función del valor del parámetro.
Sin dar definiciones detalladas, considere las siguientes ecuaciones como ejemplos:
y = kx, donde x, y son variables, k es un parámetro;
y = kx + b, donde x, y son variables, k y b son parámetros;
ax 2 + bx + c = 0, donde x son variables, a, b y c son parámetros.
Resolver una ecuación (desigualdad, sistema) con un parámetro significa, por regla general, resolver un conjunto infinito de ecuaciones (desigualdades, sistemas).
Las tareas con un parámetro se pueden dividir condicionalmente en dos tipos:
a) la condición dice: resolver la ecuación (desigualdad, sistema) - esto significa, para todos los valores del parámetro, encontrar todas las soluciones. Si queda al menos un caso sin explorar, tal solución no puede considerarse satisfactoria.
B) se requiere indicar los posibles valores del parámetro para el cual la ecuación (desigualdad, sistema) tiene ciertas propiedades. Por ejemplo, tiene una solución, no tiene soluciones, tiene soluciones que pertenecen al intervalo, etc. En tales tareas, es necesario indicar claramente en qué valor del parámetro se cumple la condición requerida.
El parámetro, al ser un número fijo desconocido, tiene, por así decirlo, una dualidad especial. En primer lugar, hay que tener en cuenta que la supuesta fama sugiere que el parámetro debe ser percibido como un número. En segundo lugar, la libertad para manejar un parámetro está limitada por su incógnita. Así, por ejemplo, las operaciones de dividir por una expresión en la que hay un parámetro o extraer una raíz de grado par de una expresión similar requieren una investigación previa. Por lo tanto, se debe tener cuidado al manejar el parámetro.
Por ejemplo, para comparar dos números -6a y 3a, se deben considerar tres casos:
1) -6a será mayor que 3a si a es un número negativo;
2) -6a = 3a en el caso de que a = 0;
3) -6a será menor que 3a si a es un número positivo 0.
La decisión será la respuesta.
Sea dada la ecuación kx = b. Esta ecuación es la abreviatura de un conjunto infinito de ecuaciones en una variable.
Al resolver tales ecuaciones, puede haber casos:
1. Sea k cualquier número real distinto de cero y b cualquier número de R, entonces x = b/k.
2. Sean k = 0 y b ≠ 0, la ecuación original tomará la forma 0 · x = b. Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones.
3. Sean k y b números iguales a cero, entonces tenemos la igualdad 0 · x = 0. Su solución es cualquier número real.
El algoritmo para resolver este tipo de ecuaciones:
1. Determinar los valores de "control" del parámetro.
2. Resuelva la ecuación original para x con los valores del parámetro que se determinaron en el primer párrafo.
3. Resuelva la ecuación original para x con valores de parámetro que difieran de los seleccionados en el primer párrafo.
4. Puedes anotar la respuesta de la siguiente forma:
1) cuando... (valor del parámetro), la ecuación tiene raíces...;
2) cuando... (valor del parámetro), no hay raíces en la ecuación.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación con el parámetro |6 – x| = un.
Solución.
Es fácil ver que aquí a ≥ 0.
Por la regla del módulo 6 – x = ±a, expresamos x:
Respuesta: x = 6 ± a, donde a ≥ 0.
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 con respecto a la variable x.
Solución.
Abramos los corchetes: ax - a + 2x - 2 \u003d 0
Escribamos la ecuación en forma estándar: x(a + 2) = a + 2.
Si la expresión a + 2 no es cero, es decir, si a ≠ -2, tenemos la solución x = (a + 2) / (a + 2), es decir x = 1.
Si a + 2 es igual a cero, es decir a \u003d -2, entonces tenemos la igualdad correcta 0 x \u003d 0, por lo tanto, x es cualquier número real.
Respuesta: x \u003d 1 para a ≠ -2 y x € R para a \u003d -2.
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación x/a + 1 = a + x con respecto a la variable x.
Solución.
Si a \u003d 0, entonces transformamos la ecuación a la forma a + x \u003d a 2 + ax o (a - 1) x \u003d -a (a - 1). La última ecuación para a = 1 tiene la forma 0 · x = 0, por lo tanto, x es cualquier número.
Si a ≠ 1, entonces la última ecuación tomará la forma x = -a.
Esta solución se puede ilustrar en la línea de coordenadas (Figura 1)
Respuesta: no hay soluciones para a = 0; x - cualquier número en a = 1; x \u003d -a con a ≠ 0 y a ≠ 1.
Método gráfico
Considere otra forma de resolver ecuaciones con un parámetro: gráficamente. Este método se usa con bastante frecuencia.
Ejemplo 4
¿Cuántas raíces, dependiendo del parámetro a, tiene la ecuación ||x| – 2| = un?
Solución.
Para resolver por un método gráfico, construimos gráficas de funciones y = ||x| – 2| y y = un (Figura 2).
El dibujo muestra claramente los posibles casos de ubicación de la recta y = a y el número de raíces en cada uno de ellos.
Respuesta: la ecuación no tendrá raíces si a< 0; два корня будет в случае, если a >2 y a = 0; la ecuación tendrá tres raíces en el caso a = 2; cuatro raíces - en 0< a < 2.
Ejemplo 5
Para lo cual a la ecuación 2|x| + |x – 1| = a tiene una sola raíz?
Solución.
Dibujemos gráficas de funciones y = 2|x| + |x – 1| y y = a. Para y = 2|x| + |x - 1|, expandiendo los módulos por el método de la brecha, obtenemos:
(-3x + 1, en x< 0,
y = (x + 1, para 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, para x > 1.
Sobre el figura 3 se ve claramente que la ecuación tendrá raíz única sólo cuando a = 1.
Respuesta: a = 1.
Ejemplo 6
Determinar el número de soluciones de la ecuación |x + 1| + | x + 2 | = a dependiendo del parámetro a?
Solución.
Gráfica de la función y = |x + 1| + | x + 2 | será una línea discontinua. Sus vértices estarán situados en los puntos (-2; 1) y (-1; 1) (imagen 4).
Respuesta: si el parámetro a es menor que uno, entonces la ecuación no tendrá raíces; si a = 1, entonces la solución de la ecuación es un conjunto infinito de números del segmento [-2; -una]; si los valores del parámetro a son mayores que uno, entonces la ecuación tendrá dos raíces.
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Ecuación tipo F(X; a) = 0 se llama ecuación variable X y parámetro a.
Resolver una ecuación con un parámetro a Esto significa que para cada valor a encontrar valores X satisfaciendo esta ecuación.
Ejemplo 1 Oh= 0
Ejemplo 2 Oh = a
Ejemplo 3
x + 2 = hacha
x - hacha \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
Si 1 - a= 0, es decir a= 1, entonces X 0 = -2 sin raíces
Si 1 - a 0, es decir a 1, entonces X =
Ejemplo 4
(a 2 – 1) X = 2a 2 + a – 3
(a – 1)(a + 1)X = 2(a – 1)(a – 1,5)
(a – 1)(a + 1)X = (1a – 3)(a – 1)
Si a= 1, luego 0 X = 0
X- cualquier número real
Si a= -1, luego 0 X = -2
sin raíces
Si a 1, a-1 entonces X= (la única solución).
Esto significa que cada valor permitido a coincide con un solo valor X.
Por ejemplo:
Si a= 5, entonces X = = ;
Si a= 0, entonces X= 3 etc
Material didáctico
1. Oh = X + 3
2. 4 + Oh = 3X – 1
3. a = +
en a= 1 no hay raíces.
en a= 3 sin raíces.
en a = 1 X cualquier número real excepto X = 1
en a = -1, a= 0 no hay soluciones.
en a = 0, a= 2 sin soluciones.
en a = -3, a = 0, 5, a= -2 sin soluciones
en a = -Con, Con= 0 no hay soluciones.
Ecuaciones cuadráticas con un parámetro
Ejemplo 1 resuelve la ecuación
(a – 1)X 2 = 2(2a + 1)X + 4a + 3 = 0
En a = 1 6X + 7 = 0
Cuándo a 1 seleccione aquellos valores del parámetro para los cuales D va a cero.
D = (2(2 a + 1)) 2 – 4(a – 1)(4a + 30 = 16a 2 + 16a + 4 – 4(4a 2 + 3a – 4a – 3) = 16a 2 + 16a + 4 – 16a 2 + 4a + 12 = 20a + 16
20a + 16 = 0
20a = -16
Si a < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Si a> -4/5 y a 1, entonces D > 0,
X = 
Si a= 4/5, entonces D = 0,
Ejemplo 2¿A qué valores del parámetro a la ecuación?
x2 + 2( a + 1)X + 9a– 5 = 0 tiene 2 raíces negativas diferentes?
re = 4( a + 1) 2 – 4(9a – 5) = 4a 2 – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6)
4(a – 1)(a – 6) > 0
según T. Vieta: X 1 + X 2 = -2(a + 1)
X 1 X 2 = 9a – 5
Por condición X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(a + 1) < 0 и 9a – 5 > 0
| Finalmente | 4(a – 1)(a – 6) > 0 - 2(a + 1) < 0 9a – 5 > 0 |
a < 1: а > 6 a > - 1 a > 5/9 |
 (Arroz. una) < a < 1, либо a > 6 |
Ejemplo 3 Buscar valores a para lo cual esta ecuación tiene solución.
x2 - 2( a – 1)X + 2a + 1 = 0
re = 4( a – 1) 2 – 4(2a + 10 = 4a 2 – 8a + 4 – 8a – 4 = 4a 2 – 16a
4a 2 – 16 0
4a(a – 4) 0
a( a – 4)) 0
a( a – 4) = 0
a = 0 o a – 4 = 0
a = 4
(Arroz. 2)
Respuesta: a 0 y a 4
Material didáctico
1. ¿A qué valor? a la ecuacion Oh 2 – (a + 1) X + 2a– 1 = 0 tiene una raíz?
2. ¿A qué valor? a la ecuacion ( a + 2) X 2 + 2(a + 2)X+ 2 = 0 tiene una raíz?
3. ¿Para qué valores de a es la ecuación ( a 2 – 6a + 8) X 2 + (a 2 – 4) X + (10 – 3a – a 2) = 0 tiene más de dos raíces?
4. Para qué valores de una ecuación 2 X 2 + X – a= 0 tiene al menos una raíz común con la ecuación 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Para que valores de a hacen las ecuaciones X 2 +Oh+ 1 = 0 y X 2 + X + a= 0 tienen al menos una raíz común?
1. cuando a = - 1/7, a = 0, a = 1
2. cuando a = 0
3. cuando a = 2
4. cuando a = 10
5. Cuando a = - 2
Ecuaciones exponenciales con un parámetro
Ejemplo 1.Encontrar todos los valores a, para lo cual la ecuación
9 x - ( a+ 2) * 3 x-1 / x +2 a*3 -2/x = 0 (1) tiene exactamente dos raíces.
Solución. Multiplicando ambos lados de la ecuación (1) por 3 2/x, obtenemos una ecuación equivalente
3 2(x+1/x) – ( a+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)
Sea 3x+1/x = en, entonces la ecuación (2) toma la forma en 2 – (a + 2)en + 2a= 0, o
(en – 2)(en – a) = 0, de donde en 1 =2, en 2 = a.
Si en= 2, es decir 3 x + 1/x = 2 entonces X + 1/X= log 3 2 , o X 2 – X registro 3 2 + 1 = 0.
Esta ecuación no tiene raíces reales porque D= registro 2 3 2 – 4< 0.
Si en = a, es decir. 3x+1/x = a entonces X + 1/X= registro 3 a, o X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
La ecuación (3) tiene exactamente dos raíces si y solo si
D = log 2 3 2 – 4 > 0, o |log 3 a| > 2.
Si log 3 a > 2, entonces a> 9, y si log 3 a< -2, то 0 < a < 1/9.
Respuesta: 0< a < 1/9, a > 9.
Ejemplo 2. ¿A qué valores de una ecuación 2 2x - ( a - 3) 2x - 3 a= 0 tiene soluciones?
Para que una ecuación dada tenga soluciones, es necesario y suficiente que la ecuación t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 tiene al menos una raíz positiva. Encontremos las raíces usando el teorema de Vieta: X 1 = -3, X 2 = a = >
a es un número positivo.
respuesta: cuando a > 0
Material didáctico
1. Encuentra todos los valores de a para los cuales la ecuación
25 x - (2 a+ 5) * 5 x-1 / x + 10 a* 5 -2/x = 0 tiene exactamente 2 soluciones.
2. ¿Para qué valores de a la ecuación
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 tiene una sola raíz?
3. ¿Para qué valores del parámetro a la ecuación?
4 x - (5 a-3) 2x+4 a 2 – 3a= 0 tiene solución única?
Ecuaciones logarítmicas con un parámetro
Ejemplo 1 Encuentra todos los valores a, para lo cual la ecuación
registro 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)
tiene una solución única.
Solución. La ecuación (1) es equivalente a la ecuación
1 + Oh = 2X en X > 0, X 1/4 (3)
X = en
au 2 - en + 1 = 0 (4)
La condición (2) de (3) no se cumple.
Dejar a 0, entonces es 2 – 2en+ 1 = 0 tiene raíces reales si y solo si D = 4 – 4a 0, es decir en a 1. Para resolver la desigualdad (3), construimos gráficas de funciones Galitsky ML, Moshkovich MM, Shvartburd S.I. Estudio en profundidad del curso de álgebra y análisis matemático. - M.: Ilustración, 1990
El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestras vidas. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. Las ecuaciones han sido utilizadas por el hombre desde la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. En matemáticas hay tareas en las que es necesario buscar soluciones a ecuaciones lineales y cuadráticas de forma general o buscar el número de raíces que tiene la ecuación en función del valor del parámetro. Todas estas tareas con parámetros.
Considere las siguientes ecuaciones como un ejemplo ilustrativo:
\[y = kx,\] donde \ - variables, \ - parámetro;
\[y = kx + b,\] donde \ - variables, \ - parámetro;
\[ax^2 + bx + c = 0,\] donde \ es una variable, \[a, b, c\] es un parámetro.
Resolver una ecuación con un parámetro significa, por regla general, resolver un conjunto infinito de ecuaciones.
Sin embargo, adhiriéndose a cierto algoritmo, uno puede resolver fácilmente las siguientes ecuaciones:
1. Determinar los valores de "control" del parámetro.
2. Resuelva la ecuación original para [\x\] con los valores de los parámetros especificados en el primer párrafo.
3. Resuelva la ecuación original para [\x\] con valores de parámetro que difieran de los seleccionados en el primer párrafo.
Digamos que se da la siguiente ecuación:
\[\mid 6 - x \mid = a.\]
Después de analizar los datos iniciales, es claro que a \[\ge 0.\]
Por la regla del módulo \ expresamos \
Respuesta: \ donde \
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¿Para qué valores del parámetro $a$ la desigualdad $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ tiene al menos una solución?
Solución
Reducimos esta desigualdad a un coeficiente positivo para $x^2$:
$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$
Calcula el discriminante: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Para que esta desigualdad tenga solución es necesario que al menos un punto de la parábola se encuentre por debajo del eje $x$. Dado que las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba, esto requiere que el trinomio cuadrado del lado izquierdo de la desigualdad tenga dos raíces, es decir, su discriminante sea positivo. Llegamos a la necesidad de resolver la desigualdad cuadrática $a^2 - 28a > 0$. El trinomio cuadrado $a^2 - 28a$ tiene dos raíces: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Por tanto, la desigualdad $a^2 - 28a > 0$ se satisface con los intervalos $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Respuesta.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
¿Para qué valores del parámetro $a$ la ecuación $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ tiene al menos una raíz y todas las raíces son positivas?
Solución
Sea $a=2$. Entonces la ecuación toma la forma $() - 4x +5 = 0$, de donde obtenemos que $x=\dfrac(5)(4)$ es una raíz positiva.
Ahora vamos a $a\ne 2$. Resulta ecuación cuadrática. Primero determinemos para qué valores del parámetro $a$ tiene raíces la ecuación dada. Es necesario que su discriminante sea no negativo. Es decir:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
Las raíces deben ser positivas por condición, por lo tanto, del teorema de Vieta obtenemos el sistema:
$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (casos) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(casos)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6). $
Combinamos las respuestas, obtenemos el conjunto deseado: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Respuesta.$a\in(-\infty;-3)\cup$.
¿Para qué valores del parámetro $a$ la desigualdad $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ no tiene solución?
Solución
- Si $a = 0$, entonces esta desigualdad degenera en la desigualdad $5 \leqslant 0$ , que no tiene solución. Por tanto, el valor $a = 0$ satisface la condición del problema.
- Si $a > 0$, entonces el gráfico trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la desigualdad hay una parábola con ramas apuntando hacia arriba. Calculamos $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. La desigualdad no tiene solución si la parábola se encuentra arriba del eje x, es decir, cuando el trinomio cuadrado no tiene raíces ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Si $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Respuesta.$a \in \left$ se encuentra entre las raíces, por lo que debe haber dos raíces (por lo tanto, $a\ne 0$). Si las ramas de la parábola $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ apuntan hacia arriba, entonces $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ y $y(1) > 0$.
caso i Sea $a > 0$. Entonces
$\left\( \begin(matriz)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(matriz) \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. PS
Es decir, en este caso resulta que caben todos los $a > 3$.
Caso II. Sea $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(matriz)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Es decir, en este caso, resulta que todo $a< -1$.
Respuesta.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Encuentre todos los valores del parámetro $a$, para cada uno de los cuales el sistema de ecuaciones
$ \begin(casos) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(casos) $
tiene exactamente dos soluciones.
Solución
Resta el segundo del primero: $(x-y)^2 = 1$. Entonces
$ \left[\begin(matriz)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(matriz)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(matriz)\right. PS
Sustituyendo las expresiones obtenidas en la segunda ecuación del sistema, obtenemos dos ecuaciones cuadráticas: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ y $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. El discriminante de cada uno de ellos es igual a $D = 16a-4$.
Nótese que no puede ocurrir que el par de raíces de la primera de las ecuaciones cuadráticas coincida con el par de raíces de la segunda ecuación cuadrática, ya que la suma de las raíces de la primera es igual a $-1$, y la segunda es 1.
Esto significa que cada una de estas ecuaciones debe tener una raíz, entonces el sistema original tendrá dos soluciones. Eso es $D = 16a - 4 = 0$.
Respuesta.$a=\dfrac(1)(4)$
Encuentre todos los valores del parámetro $a$ para cada uno de los cuales la ecuación $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ tiene dos raíces.
Solución
Reescribamos la ecuación en la forma:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
Considere la función $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
Para $x\geqslant 3$, el primer módulo se expande con un signo más y la función se convierte en: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Es obvio que con cualquier expansión de los módulos, como resultado, se obtendrá una función lineal con el coeficiente $k\geqslant 5-3-1=1>0$, es decir, esta función crece indefinidamente en este intervalo.
Considere ahora el intervalo $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Entonces, tenemos que $x=3$ es el punto mínimo de esta función. Y esto significa que para que la ecuación original tenga dos soluciones, el valor de la función en el punto mínimo debe ser menor que cero. Es decir, se cumple la desigualdad: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Flecha izquierda-derecha\cuadrángulo |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Respuesta.$a \en (-24; 18)$ ¿Para qué valores del parámetro $a$ la ecuación $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ tiene una sola raíz? Hagamos un cambio: $t = 5^x > 0$. Entonces la ecuación original toma la forma de una ecuación cuadrática: $t^2-3t+a-1 =0$. La ecuación original tendrá una sola raíz si esta ecuación tiene una raíz positiva o dos raíces, una de las cuales es positiva y la otra es negativa. El discriminante de la ecuación es: $D = 13-4a$. Esta ecuación tendrá una raíz si el discriminante resultante es igual a cero, es decir, para $a = \dfrac(13)(4)$. En este caso, la raíz $t=\dfrac(3)(2) > 0$, por lo que el valor dado de $a$ es adecuado. Si hay dos raíces, una positiva y otra no positiva, entonces $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ y $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$. Es decir, $a\in(-\infty;1]$ Respuesta.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$ Encuentre todos los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema $ \begin(casos)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(casos) $ tiene exactamente dos soluciones. Transformemos el sistema a la siguiente forma: $ \begin(casos) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(casos) $ Como el parámetro $a$ está en la base del logaritmo, se le imponen las siguientes restricciones: $a>0$, $a \ne 1$. Dado que la variable $y$ es el argumento del logaritmo, entonces $y > 0$. Combinando ambas ecuaciones del sistema, pasamos a la ecuación: $\log_a y = y^2$. Dependiendo de qué valores tome el parámetro $a$, son posibles dos casos: Respuesta.$a\in(0;1)$ Considere el caso cuando $a > 1$. Dado que para valores grandes de $t$ la gráfica de la función $f(t) = a^t$ se encuentra por encima de la recta $g(t) = t$, el único punto común solo puede ser un punto de contacto . Sea $t_0$ el punto de contacto. En este punto, la derivada a $f(t) = a^t$ es igual a uno (la tangente de la pendiente de la tangente), además, los valores de ambas funciones son iguales, es decir, la sistema se lleva a cabo: $ \begin(casos) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(casos) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(casos) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(casos) $ De donde $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). PS Al mismo tiempo, otros puntos comunes en linea recta y funcion exponencial obviamente no. Respuesta.$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$Solución
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