Teoría de los fractales. El asombroso mundo de los fractales

Institución educativa presupuestaria municipal

"Escuela secundaria Siverskaya No. 3"

Investigación

matemáticas.

hizo el trabajo

estudiante de 8vo grado

Emelín Pavel

consejero científico

profesor de matematicas

Tupitsina Natalya Alekseevna

Pág. Siversky

año 2014

Las matemáticas están todas impregnadas de belleza y armonía,

Solo tienes que ver esta belleza.

B. Mandelbrot

Introducción

Capítulo 1. La historia de la aparición de los fractales _______ 5-6 pp.

Capítulo 2. Clasificación de los fractales._____________________6-10pp.

fractales geométricos

Fractales algebraicos

Fractales estocásticos

Capítulo 3. "Geometría fractal de la naturaleza" ______ 11-13pp.

Capítulo 4. Aplicación de los fractales _______________13-15pp.

Capítulo 5 Trabajo práctico __________________ 16-24pp.

Conclusión_________________________________25.página

Lista de literatura y recursos de Internet _______ 26 p.

Introducción

Matemáticas,

si lo miras bien,

refleja no sólo la verdad,

pero también una belleza incomparable.

Bertrand Russell

La palabra "fractal" es algo de lo que mucha gente habla en estos días, desde científicos hasta estudiantes de secundaria. Aparece en la portada de muchos libros de texto de matemáticas, revistas científicas y cajas de programas informáticos. Hoy en día, las imágenes en color de los fractales se pueden encontrar en todas partes: desde postales, camisetas hasta imágenes en el escritorio de una computadora personal. Entonces, ¿qué son estas formas de colores que vemos alrededor?

Las matemáticas son la ciencia más antigua. A la mayoría de la gente le parecía que la geometría en la naturaleza estaba limitada a formas tan simples como una línea, un círculo, un polígono, una esfera, etc. Al final resultó que, muchos sistemas naturales son tan complejos que usar solo objetos familiares de geometría ordinaria para modelarlos parece inútil. ¿Cómo, por ejemplo, construir un modelo de una cadena montañosa o la copa de un árbol en términos de geometría? ¿Cómo describir la diversidad de la diversidad biológica que observamos en el mundo de las plantas y los animales? ¿Cómo imaginar toda la complejidad del sistema circulatorio, que consta de muchos capilares y vasos y lleva sangre a cada célula del cuerpo humano? ¿Imagine la estructura de los pulmones y los riñones, que se asemejan a árboles con una estructura de copa ramificada?

Los fractales son un medio adecuado para explorar las cuestiones planteadas. A menudo, lo que vemos en la naturaleza nos intriga con la repetición interminable del mismo patrón, ampliado o reducido varias veces. Por ejemplo, un árbol tiene ramas. Estas ramas tienen ramas más pequeñas, y así sucesivamente. Teóricamente, el elemento "tenedor" se repite infinitamente muchas veces, haciéndose más y más pequeño. Lo mismo se puede ver al mirar una fotografía de un terreno montañoso. Intenta acercarte un poco a la cordillera --- verás las montañas de nuevo. Es así como se manifiesta la propiedad de autosemejanza característica de los fractales.

El estudio de los fractales abre maravillosas posibilidades, tanto en el estudio de infinidad de aplicaciones, como en el campo de las matemáticas. ¡El uso de los fractales es muy extenso! Después de todo, estos objetos son tan hermosos que son utilizados por diseñadores, artistas, con la ayuda de ellos se dibujan muchos elementos de árboles, nubes, montañas, etc. en gráficos. Pero los fractales incluso se usan como antenas en muchos teléfonos celulares.

Para muchos caólogos (científicos que estudian los fractales y el caos), esto no es solo un nuevo campo de conocimiento que combina matemáticas, física teórica, arte y tecnología informática, es una revolución. Este es el descubrimiento de un nuevo tipo de geometría, la geometría que describe el mundo que nos rodea y que se puede ver no solo en los libros de texto, sino también en la naturaleza y en todas partes del universo ilimitado..

En mi trabajo, también decidí “tocar” el mundo de la belleza y me determiné…

Objetivo: crear objetos que son muy similares a la naturaleza.

Métodos de búsqueda Palabras clave: análisis comparativo, síntesis, modelado.

Tareas:

conocimiento del concepto, historia de ocurrencia e investigación de B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky y otros;

familiaridad con varios tipos de conjuntos fractales;

estudio de la literatura científica popular sobre este tema, conocimiento de

hipótesis científicas;

encontrar confirmación de la teoría de la fractalidad del mundo circundante;

estudio del uso de fractales en otras ciencias y en la práctica;

realizando un experimento para crear sus propias imágenes fractales.

Pregunta central del trabajo:

Muestre que las matemáticas no son un tema seco y sin alma, pueden expresar el mundo espiritual de una persona individualmente y en la sociedad en su conjunto.

Tema de estudio: Geometría fractal.

Objeto de estudio: fractales en matemáticas y en el mundo real.

Hipótesis: Todo lo que existe en el mundo real es un fractal.

Métodos de búsqueda: analítico, búsqueda.

Relevancia del tema declarado está determinado, en primer lugar, por el objeto de investigación, que es la geometría fractal.

Resultados previstos: En el transcurso del trabajo, podré ampliar mis conocimientos en el campo de las matemáticas, ver la belleza de la geometría fractal y comenzar a trabajar en la creación de mis propios fractales.

El resultado del trabajo será la creación de una presentación informática, un boletín y un cuadernillo.

Capítulo 1

B Enua Mandelbrot

El término "fractal" fue acuñado por Benoit Mandelbrot. La palabra proviene del latín "fractus", que significa "roto, destrozado".

Fractal (lat. fractus - aplastado, roto, roto) - un término que significa una figura geométrica compleja con la propiedad de la autosimilitud, es decir, compuesta de varias partes, cada una de las cuales es similar a la figura completa como un todo.

Los objetos matemáticos a los que se refiere se caracterizan por propiedades sumamente interesantes. En geometría ordinaria, una línea tiene una dimensión, una superficie tiene dos dimensiones y una figura espacial es tridimensional. Los fractales, por otro lado, no son líneas o superficies, sino, si puedes imaginarlo, algo intermedio. Con un aumento de tamaño, el volumen del fractal también aumenta, pero su dimensión (exponente) no es un número entero, sino un valor fraccionario y, por lo tanto, el borde de la figura fractal no es una línea: a gran aumento, se vuelve claro que se desdibuja y se compone de espirales y rizos, repitiendo en pequeño la escala de la propia figura. Tal regularidad geométrica se llama invariancia de escala o autosimilitud. Es ella quien determina la dimensión fraccionaria de las figuras fractales.

Antes del advenimiento de la geometría fractal, la ciencia se ocupaba de sistemas contenidos en tres dimensiones espaciales. Gracias a Einstein, quedó claro que el espacio tridimensional es solo un modelo de la realidad, y no la realidad misma. De hecho, nuestro mundo está ubicado en un continuo de espacio-tiempo de cuatro dimensiones.
Gracias a Mandelbrot, quedó claro cómo se ve un espacio de cuatro dimensiones, en sentido figurado, la cara fractal del Caos. Benoit Mandelbrot descubrió que la cuarta dimensión incluye no solo las primeras tres dimensiones, sino también (¡esto es muy importante!) los intervalos entre ellas.

La geometría recursiva (o fractal) está reemplazando a la euclidiana. La nueva ciencia es capaz de describir la verdadera naturaleza de los cuerpos y los fenómenos. La geometría euclidiana se ocupaba únicamente de objetos artificiales e imaginarios pertenecientes a tres dimensiones. Solo la cuarta dimensión puede convertirlos en realidad.

Líquido, gas, sólido son los tres estados físicos habituales de la materia que existe en el mundo tridimensional. Pero, ¿cuál es la dimensión de la bocanada de humo, las nubes, o mejor dicho, sus límites, continuamente desdibujados por el movimiento turbulento del aire?

Básicamente, los fractales se clasifican en tres grupos:

Fractales algebraicos

Fractales estocásticos

fractales geométricos

Echemos un vistazo más de cerca a cada uno de ellos.

Capítulo 2. Clasificación de los fractales

fractales geométricos

Benoit Mandelbrot propuso un modelo fractal, que ya se ha convertido en un clásico y se usa a menudo para demostrar tanto un ejemplo típico del propio fractal como para demostrar la belleza de los fractales, lo que también atrae a investigadores, artistas y personas simplemente interesadas.

Fue con ellos que comenzó la historia de los fractales. Este tipo de fractales se obtienen mediante construcciones geométricas simples. Por lo general, al construir estos fractales, se procede de la siguiente manera: se toma una "semilla", un axioma, un conjunto de segmentos, sobre la base de los cuales se construirá el fractal. Además, se aplica un conjunto de reglas a esta "semilla", que la transforma en una figura geométrica. Además, el mismo conjunto de reglas se aplica de nuevo a cada parte de esta figura. Con cada paso, la figura se hará más y más compleja, y si realizamos (al menos en la mente) una infinidad de transformaciones, obtendremos un fractal geométrico.

Los fractales de esta clase son los más visuales, porque son auto-similares inmediatamente visibles en cualquier escala de observación. En el caso bidimensional, tales fractales se pueden obtener especificando alguna línea discontinua, llamada generador. En un paso del algoritmo, cada uno de los segmentos que componen la línea discontinua se reemplaza por un generador de línea discontinua, en la escala apropiada. Como resultado de la repetición interminable de este procedimiento (o, más precisamente, al pasar al límite), se obtiene una curva fractal. Con la aparente complejidad de la curva resultante, su forma general viene dada únicamente por la forma del generador. Ejemplos de tales curvas son: curva de Koch (Fig. 7), curva de Peano (Fig. 8), curva de Minkowski.

A principios del siglo XX, los matemáticos buscaban curvas que no tuvieran tangente en ningún punto. Esto significaba que la curva cambiaba bruscamente de dirección y, además, a una velocidad enormemente alta (la derivada es igual a infinito). La búsqueda de estas curvas fue causada no solo por el interés ocioso de los matemáticos. El hecho es que a principios del siglo XX, la mecánica cuántica se desarrolló muy rápidamente. El investigador M. Brown dibujó la trayectoria de las partículas suspendidas en el agua y explicó este fenómeno de la siguiente manera: los átomos líquidos que se mueven aleatoriamente golpean las partículas suspendidas y las ponen en movimiento. Después de tal explicación del movimiento browniano, los científicos se enfrentaron a la tarea de encontrar una curva que mostrara mejor el movimiento de las partículas brownianas. Para ello, la curva tenía que cumplir las siguientes propiedades: No tener tangente en ningún punto. El matemático Koch propuso una de esas curvas.

PARA la curva de Koch es un fractal geométrico típico. El proceso de su construcción es el siguiente: tomamos un solo segmento, lo dividimos en tres partes iguales y reemplazamos el intervalo medio con un triángulo equilátero sin este segmento. Como resultado, se forma una línea quebrada, que consta de cuatro enlaces de longitud 1/3. En el siguiente paso, repetimos la operación para cada uno de los cuatro enlaces resultantes, y así sucesivamente...

La curva límite es Curva de Koch.

Copo de nieve Koch. Al realizar una transformación similar en los lados de un triángulo equilátero, puedes obtener una imagen fractal de un copo de nieve de Koch.

T
Otro representante simple de un fractal geométrico es Plaza Sierpinsky. Su construcción es bastante sencilla: el cuadrado se divide mediante líneas rectas paralelas a sus lados en 9 cuadrados iguales. El cuadrado central se elimina del cuadrado. Resulta un conjunto que consta de 8 cuadrados restantes del "primer rango". Haciendo lo mismo con cada uno de los cuadrados de la primera fila, obtenemos un conjunto formado por 64 cuadrados de la segunda fila. Continuando este proceso indefinidamente, obtenemos una sucesión infinita o cuadrado de Sierpinski.

Fractales algebraicos

Este es el grupo más grande de fractales. Los fractales algebraicos obtuvieron su nombre porque se construyen usando fórmulas algebraicas simples.

Se obtienen mediante procesos no lineales en norte-espacios dimensionales. Se sabe que los sistemas dinámicos no lineales tienen varios estados estables. El estado en el que se encuentra el sistema dinámico después de un cierto número de iteraciones depende de su estado inicial. Por tanto, cada estado estable (o, como se suele decir, un atractor) tiene una determinada zona de estados iniciales, a partir de la cual el sistema caerá necesariamente en los estados finales considerados. Por lo tanto, el espacio de fase del sistema se divide en áreas de atracción atractores Si el espacio de fase es bidimensional, entonces al colorear las regiones de atracción con diferentes colores, se puede obtener retrato de fase de color este sistema (proceso iterativo). Al cambiar el algoritmo de selección de color, puede obtener patrones fractales complejos con patrones multicolores de fantasía. Una sorpresa para los matemáticos fue la capacidad de generar estructuras muy complejas utilizando algoritmos primitivos.

Como ejemplo, considere el conjunto de Mandelbrot. Se construye usando números complejos.

Parte del límite del conjunto de Mandelbrot, ampliado 200 veces.

El conjunto de Mandelbrot contiene puntos que duranteinterminable el número de iteraciones no llega al infinito (puntos que son negros). Puntos pertenecientes a la frontera del conjunto(aquí es donde surgen las estructuras complejas) van al infinito en un número finito de iteraciones, y los puntos que se encuentran fuera del conjunto van al infinito después de varias iteraciones (fondo blanco).

PAGS



Un ejemplo de otro fractal algebraico es el conjunto de Julia. Hay 2 variedades de este fractal. Sorprendentemente, los conjuntos de Julia se forman según la misma fórmula que el conjunto de Mandelbrot. El conjunto de Julia fue inventado por el matemático francés Gaston Julia, de quien se nombró el conjunto.

Y
hecho interesante, algunos fractales algebraicos se asemejan sorprendentemente a imágenes de animales, plantas y otros objetos biológicos, por lo que se denominan biomorfos.

Fractales estocásticos

Otra clase bien conocida de fractales son los fractales estocásticos, que se obtienen si cualquiera de sus parámetros se cambia aleatoriamente en un proceso iterativo. Esto da como resultado objetos muy similares a los naturales: árboles asimétricos, costas dentadas, etc.

Un representante típico de este grupo de fractales es el "plasma".

D
Para construirlo se toma un rectángulo y se determina un color para cada una de sus esquinas. Luego, se encuentra el punto central del rectángulo y se pinta con un color igual a la media aritmética de los colores en las esquinas del rectángulo más algún número aleatorio. Cuanto mayor sea el número aleatorio, más "desgarrada" quedará la imagen. Si asumimos que el color del punto es la altura sobre el nivel del mar, obtendremos una cadena montañosa en lugar de plasma. Es sobre este principio que las montañas se modelan en la mayoría de los programas. Usando un algoritmo similar al plasma, se construye un mapa de altura, se le aplican varios filtros, se aplica una textura y las montañas fotorrealistas están listas.

mi
Si miramos este fractal en una sección, veremos que este fractal es voluminoso y tiene una "rugosidad", solo debido a esta "rugosidad" hay una aplicación muy importante de este fractal.

Digamos que quieres describir la forma de una montaña. Las figuras ordinarias de la geometría euclidiana no ayudarán aquí, porque no tienen en cuenta la topografía de la superficie. Pero al combinar la geometría convencional con la geometría fractal, se puede obtener la misma “rugosidad” de la montaña. Hay que aplicar plasma a un cono corriente y obtendremos el relieve de la montaña. Este tipo de operaciones se pueden realizar con muchos otros objetos de la naturaleza, gracias a los fractales estocásticos se puede describir la naturaleza misma.

Ahora hablemos de fractales geométricos.

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Capítulo 3 "La Geometría Fractal de la Naturaleza"

¿Por qué a menudo se hace referencia a la geometría como "fría" y "seca"? Una de las razones es su incapacidad para describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, los árboles la corteza no es suave, pero la complejidad de un nivel completamente diferente. El número de diferentes escalas de longitud de objetos naturales para todos los propósitos prácticos es infinito ".

(Benoit Mandelbrot "La geometría fractal de la naturaleza" ).

PARA La belleza de los fractales es doble: deleita la vista, como lo demuestra al menos la exposición mundial de imágenes fractales, organizada por un grupo de matemáticos de Bremen bajo la dirección de Peitgen y Richter. Posteriormente, los elementos de esta grandiosa exposición fueron plasmados en ilustraciones para el libro "La belleza de los fractales" de los mismos autores. Pero hay otro aspecto, más abstracto o sublime, de la belleza de los fractales, abierto, según R. Feynman, sólo a la mirada mental del teórico, en este sentido, los fractales son bellos con la belleza de un difícil problema matemático. Benoit Mandelbrot señaló a sus contemporáneos (y, presumiblemente, a sus descendientes) una desafortunada laguna en los Elementos de Euclides, según la cual, sin darse cuenta de la omisión, durante casi dos milenios la humanidad comprendió la geometría del mundo circundante y aprendió el rigor matemático de presentación. Por supuesto, ambos aspectos de la belleza de los fractales están estrechamente interconectados y no se excluyen, sino que se complementan mutuamente, aunque cada uno de ellos es autosuficiente.

La geometría fractal de la naturaleza, según Mandelbrot, es una geometría real que satisface la definición de geometría propuesta en el "Programa Erlangen" de F. Klein. El hecho es que antes del advenimiento de la geometría no euclidiana, N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, solo había una geometría, la que se estableció en los "Comienzos", y la cuestión de qué es la geometría y cuál de las geometrías es la geometría del mundo real no surgió y no pudo aumentar. Pero con el advenimiento de otra geometría, surgió la pregunta de qué es la geometría en general y cuál de las muchas geometrías corresponde al mundo real. Según F. Klein, la geometría estudia las propiedades de los objetos que son invariantes bajo transformaciones: Euclidianas: invariantes del grupo de movimientos (transformaciones que no cambian la distancia entre dos puntos, es decir, representan una superposición de traslaciones y rotaciones paralelas con o sin un cambio en la orientación), geometría de Lobachevsky-Bolyai - invariantes del grupo de Lorentz. La geometría fractal se ocupa del estudio de los invariantes del grupo de transformaciones autoafines, es decir propiedades expresadas por leyes de potencia.

En cuanto a la correspondencia con el mundo real, la geometría fractal describe una clase muy amplia de procesos y fenómenos naturales y, por lo tanto, podemos, siguiendo a B. Mandelbrot, hablar con razón de la geometría fractal de la naturaleza. Nuevo: los objetos fractales tienen propiedades inusuales. Las longitudes, áreas y volúmenes de algunos fractales son iguales a cero, otros se vuelven infinitos.

La naturaleza a menudo crea fractales sorprendentes y hermosos, con geometría perfecta y tal armonía que simplemente te congelas de admiración. Y aquí están sus ejemplos:

conchas de mar

Relámpago admirando su belleza. Los fractales creados por un rayo no son aleatorios ni regulares.

forma fractal subespecie de coliflor(Brassica cauliflora). Este tipo especial es un fractal particularmente simétrico.

PAGS helecho es también un buen ejemplo de un fractal entre la flora.

pavos reales todos son conocidos por su colorido plumaje, en el que se esconden sólidos fractales.

Hielo, patrones de escarcha en las ventanas, estos también son fractales

SOBRE
imagen ampliada folleto, antes de ramas de los árboles- puedes encontrar fractales en todo

Los fractales están en todas partes y en todas partes en la naturaleza que nos rodea. Todo el universo está construido de acuerdo con leyes sorprendentemente armoniosas con precisión matemática. ¿Es posible después de eso pensar que nuestro planeta es un puñado aleatorio de partículas? Difícilmente.

Capítulo 4

Los fractales encuentran cada vez más aplicaciones en la ciencia. La razón principal de esto es que describen el mundo real a veces incluso mejor que la física o las matemáticas tradicionales. Aquí hay unos ejemplos:

SOBRE
días de las aplicaciones más poderosas de los fractales se encuentran en gráficos de computadora. Esta es la compresión fractal de imágenes. La física y la mecánica modernas apenas comienzan a estudiar el comportamiento de los objetos fractales.

Las ventajas de los algoritmos de compresión de imágenes fractales son el tamaño muy pequeño del archivo empaquetado y el corto tiempo de recuperación de la imagen. Las imágenes empaquetadas fractalmente se pueden escalar sin que aparezca pixelización (mala calidad de imagen - cuadrados grandes). Pero el proceso de compresión lleva mucho tiempo y, a veces, dura horas. El algoritmo de empaquetado fractal con pérdida le permite establecer el nivel de compresión, similar al formato jpeg. El algoritmo se basa en la búsqueda de piezas grandes de la imagen similares a algunas piezas pequeñas. Y solo qué pieza es similar a la que se escribe en el archivo de salida. Al comprimir, generalmente se usa una cuadrícula cuadrada (las piezas son cuadrados), lo que conduce a una ligera angularidad al restaurar la imagen, una cuadrícula hexagonal está libre de tal inconveniente.

Iterated ha desarrollado un nuevo formato de imagen, "Sting", que combina compresión sin pérdida fractal y "onda" (como jpeg). El nuevo formato le permite crear imágenes con la posibilidad de escalar posteriormente en alta calidad, y el volumen de archivos gráficos es del 15 al 20% del volumen de imágenes sin comprimir.

En mecánica y física. los fractales se utilizan debido a la propiedad única de repetir los contornos de muchos objetos naturales. Los fractales te permiten aproximar árboles, superficies de montañas y fisuras con mayor precisión que las aproximaciones con segmentos de línea o polígonos (con la misma cantidad de datos almacenados). Los modelos fractales, como los objetos naturales, tienen "rugosidad", y esta propiedad se conserva en un aumento arbitrariamente grande en el modelo. La presencia de una medida uniforme en los fractales permite aplicar la teoría de la integración, potencial, para usarlos en lugar de objetos estándar en las ecuaciones ya estudiadas.

T
La geometría fractal también se utiliza para diseño de dispositivos de antena. Este fue utilizado por primera vez por el ingeniero estadounidense Nathan Cohen, que entonces vivía en el centro de Boston, donde estaba prohibida la instalación de antenas externas en los edificios. Cohen recortó una forma de curva de Koch de papel de aluminio y luego la pegó en una hoja de papel antes de colocarla en un receptor. Resultó que una antena de este tipo no funciona peor que una convencional. Y aunque los principios físicos de dicha antena no se han estudiado hasta ahora, esto no impidió que Cohen estableciera su propia empresa y estableciera su producción en serie. Por el momento, la empresa estadounidense “Fractal Antenna System” ha desarrollado un nuevo tipo de antena. Ya puedes dejar de usar antenas externas que sobresalen en los teléfonos móviles. La llamada antena fractal se encuentra directamente en la placa principal dentro del dispositivo.

También hay muchas hipótesis sobre el uso de fractales; por ejemplo, los sistemas linfático y circulatorio, los pulmones y mucho más también tienen propiedades fractales.

Capítulo 5. Trabajo práctico.

Primero, concentrémonos en los fractales "Collar", "Victoria" y "Cuadrado".

Primero - "Collar"(Figura 7). El círculo es el iniciador de este fractal. Este círculo consta de un cierto número de círculos iguales, pero de tamaños más pequeños, y él mismo es uno de varios círculos que son iguales, pero de tamaños más grandes. Entonces, el proceso de educación es interminable y puede llevarse a cabo tanto en una dirección como en la dirección opuesta. Esos. la figura puede agrandarse tomando solo un pequeño arco, o puede reducirse considerando su construcción a partir de otros más pequeños.

arroz. 7.

Fractal "Collar"

El segundo fractal es "Victoria"(Figura 8). Recibió este nombre porque exteriormente se parece a la letra latina "V", es decir, "victoria"-victoria. Este fractal consta de un cierto número de “v” pequeñas, que forman una “V” grande, y en la mitad izquierda, en la que se colocan las pequeñas de manera que sus mitades izquierdas formen una línea recta, se construye la parte derecha del mismo modo. Cada una de estas "v" está construida de la misma manera y continúa esta hasta el infinito.

Figura 8. Fractal "Victoria"

El tercer fractal es "Cuadrado" (Fig. 9). Cada uno de sus lados consta de una fila de celdas, en forma de cuadrados, cuyos lados también representan filas de celdas, y así sucesivamente.

Fig. 9. Fractal "Cuadrado"

El fractal se denominó "Rosa" (Fig. 10), debido a su parecido externo con esta flor. La construcción de un fractal está asociada a la construcción de una serie de círculos concéntricos, cuyo radio cambia en proporción a una relación dada (en este caso, R m / R b = ¾ = 0,75). Después de eso, se inscribe un hexágono regular en cada círculo, cuyo lado es igual al radio del círculo descrito a su alrededor.

Arroz. 11. Fractal "Rosa *"

Luego, pasamos al pentágono regular, en el que dibujamos sus diagonales. Luego, en el pentágono obtenido en la intersección de los segmentos correspondientes, nuevamente dibujamos diagonales. Continuemos este proceso hasta el infinito y obtengamos el fractal "Pentagrama" (Fig. 12).

Introduzcamos un elemento de creatividad y nuestro fractal tomará la forma de un objeto más visual (Fig. 13).

R
es. 12. Fractal "Pentagrama".

Arroz. 13. Fractal "Pentagrama *"

Arroz. 14 fractales "agujero negro"

Experimento No. 1 "Árbol"

Ahora que entiendo qué es un fractal y cómo construir uno, traté de crear mis propias imágenes fractales. En Adobe Photoshop creé una pequeña subrutina o acción, la peculiaridad de esta acción es que repite las acciones que yo hago, y así es como obtengo un fractal.

Para empezar, creé un fondo para nuestro futuro fractal con una resolución de 600 por 600. Luego dibujé 3 líneas sobre este fondo: la base de nuestro futuro fractal.

DESDE El siguiente paso es escribir el guión.

duplicar capa ( capa > duplicar) y cambie el tipo de combinación a " Pantalla" .

llamémoslo " fr1". Duplicar esta capa (" fr1") 2 veces más.

Ahora tenemos que cambiar a la última capa. (fr3) y fusionarlo dos veces con el anterior ( ctrl+e). Reducir el brillo de la capa ( Imagen > Ajustes > Brillo/Contraste , ajuste de brillo 50% ). Nuevamente, fusione con la capa anterior y corte los bordes de todo el dibujo para eliminar las partes invisibles.

Como paso final, copié esta imagen y la pegué reducida y rotada. Aquí está el resultado final.

Conclusión

Este trabajo es una introducción al mundo de los fractales. Hemos considerado solo la parte más pequeña de lo que son los fractales, sobre la base de qué principios se construyen.

Los gráficos fractales no son solo un conjunto de imágenes que se repiten a sí mismas, es un modelo de la estructura y el principio de cualquier ser. Toda nuestra vida está representada por fractales. Toda la naturaleza que nos rodea se compone de ellos. Cabe señalar que los fractales se utilizan mucho en los juegos de computadora, donde los terrenos suelen ser imágenes fractales basadas en modelos tridimensionales de conjuntos complejos. Los fractales facilitan enormemente el dibujo de gráficos por computadora, con la ayuda de los fractales, se crean muchos efectos especiales, varias imágenes fabulosas e increíbles, etc. Además, con la ayuda de la geometría fractal, se dibujan árboles, nubes, costas y toda la naturaleza. Los gráficos fractales son necesarios en todas partes, y el desarrollo de "tecnologías fractales" es una de las tareas más importantes en la actualidad.

En el futuro, planeo aprender a construir fractales algebraicos cuando estudie los números complejos con más detalle. También quiero intentar construir mi imagen fractal en el lenguaje de programación Pascal usando ciclos.

Cabe destacar el uso de los fractales en la tecnología informática, además de simplemente construir bellas imágenes en una pantalla de computadora. Los fractales en tecnología informática se utilizan en las siguientes áreas:

1. Comprimir imágenes e información

2. Ocultar información en la imagen, en el sonido,...

3. Cifrado de datos mediante algoritmos fractales

4. Crear música fractal

5. Modelado del sistema

En nuestro trabajo, no se dan todas las áreas del conocimiento humano, donde la teoría de los fractales ha encontrado su aplicación. Solo queremos decir que no ha pasado más de un tercio de siglo desde el surgimiento de la teoría, pero durante este tiempo los fractales se han convertido para muchos investigadores en una repentina luz brillante en la noche, que iluminó hechos y patrones hasta ahora desconocidos en puntos específicos. áreas de datos. Usando la teoría de los fractales, comenzaron a explicar la evolución de las galaxias y el desarrollo de la célula, la aparición de montañas y la formación de nubes, el movimiento de los precios en la bolsa y el desarrollo de la sociedad y la familia. Quizás, en un principio, esta pasión por los fractales fue incluso demasiado tormentosa y los intentos de explicar todo utilizando la teoría de los fractales fueron injustificados. Pero, sin duda, esta teoría tiene derecho a existir, y lamentamos que recientemente se haya olvidado de alguna manera y se haya quedado en la suerte de la élite. En la elaboración de este trabajo nos resultó muy interesante encontrar aplicaciones de la TEORÍA en la PRÁCTICA. Porque muy a menudo existe la sensación de que el conocimiento teórico se aparta de la realidad de la vida.

Así, el concepto de fractales se convierte no sólo en parte de la ciencia "pura", sino también en un elemento de la cultura humana. La ciencia fractal es todavía muy joven y tiene un gran futuro por delante. La belleza de los fractales está lejos de agotarse y aún nos brindará muchas obras maestras, aquellas que deleitan la vista y aquellas que traen verdadero placer a la mente.

10. Referencias

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fractales y multifractales. RHD 2001 .

Vitolin D. El uso de fractales en gráficos por computadora. // Computerworld-Rusia.-1995

Mandelbrot B. Conjuntos de fractales autoafines, "Fractales en física". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Geometría fractal de la naturaleza. - M.: "Instituto de Investigación Informática", 2002.

Morozov AD Introducción a la teoría de los fractales. Nizhny Novgorod: Editorial Nizhegorod. universidad 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. La belleza de los fractales. - M.: "Mir", 1993.

recursos de Internet

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http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animaciones.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

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http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Los fractales se conocen desde hace casi un siglo, están bien estudiados y tienen numerosas aplicaciones en la vida. Sin embargo, este fenómeno se basa en una idea muy simple: se puede obtener un número infinito de figuras en belleza y variedad a partir de estructuras relativamente simples usando solo dos operaciones: copiar y escalar.

¿Qué tienen en común un árbol, la orilla del mar, una nube o los vasos sanguíneos de nuestra mano? A primera vista, puede parecer que todos estos objetos no tienen nada en común. Sin embargo, de hecho, hay una propiedad de la estructura que es inherente a todos los objetos enumerados: son autosimilares. De la rama, así como del tronco de un árbol, parten procesos más pequeños, incluso más pequeños, etc., es decir, una rama es similar a todo el árbol. El sistema circulatorio está organizado de manera similar: las arteriolas parten de las arterias y de ellas, los capilares más pequeños a través de los cuales el oxígeno ingresa a los órganos y tejidos. Miremos imágenes satelitales de la costa del mar: veremos bahías y penínsulas; veámoslo, pero a vista de pájaro: veremos bahías y cabos; Ahora imagina que estamos parados en la playa y nos miramos los pies: siempre habrá guijarros que sobresalgan más en el agua que el resto. Es decir, la costa permanece similar a sí misma cuando se acerca. El matemático estadounidense Benoit Mandelbrot llamó a esta propiedad de los objetos fractalidad, y tales objetos en sí mismos, fractales (del latín fractus, roto).

Este concepto no tiene una definición estricta. Por lo tanto, la palabra "fractal" no es un término matemático. Por lo general, un fractal es una figura geométrica que satisface una o más de las siguientes propiedades: Tiene una estructura compleja en cualquier aumento (a diferencia, por ejemplo, de una línea recta, cualquier parte de la cual es la figura geométrica más simple: un segmento). Es (aproximadamente) auto-similar. Tiene una dimensión fraccional de Hausdorff (fractal), que es mayor que la topológica. Se puede construir con procedimientos recursivos.

Geometría y Álgebra

El estudio de los fractales entre los siglos XIX y XX fue más episódico que sistemático, porque los primeros matemáticos estudiaron principalmente objetos "buenos" que podían estudiarse utilizando métodos y teorías generales. En 1872, el matemático alemán Karl Weierstrass construye un ejemplo de una función continua que no es diferenciable en ninguna parte. Sin embargo, su construcción era totalmente abstracta y difícil de entender. Por lo tanto, en 1904, el sueco Helge von Koch ideó una curva continua que no tiene tangente en ninguna parte y es bastante simple dibujarla. Resultó que tiene las propiedades de un fractal. Una variación de esta curva se llama copo de nieve de Koch.

Las ideas de autosemejanza de las figuras fueron recogidas por el francés Paul Pierre Levy, el futuro mentor de Benoit Mandelbrot. En 1938, se publicó su artículo "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole", en el que se describe otro fractal: la curva C de Lévy. Todos estos fractales enumerados anteriormente se pueden atribuir condicionalmente a una clase de fractales constructivos (geométricos).

Otra clase son los fractales dinámicos (algebraicos), que incluyen el conjunto de Mandelbrot. Las primeras investigaciones en esta dirección comenzaron a principios del siglo XX y están asociadas con los nombres de los matemáticos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou. En 1918, se publicaron casi doscientas páginas de las memorias de Julia, dedicadas a iteraciones de funciones racionales complejas, en las que se describen los conjuntos de Julia, toda una familia de fractales estrechamente relacionados con el conjunto de Mandelbrot. Esta obra fue galardonada con el premio de la Academia Francesa, pero no contenía ni una sola ilustración, por lo que era imposible apreciar la belleza de los objetos descubiertos. A pesar de que este trabajo hizo famosa a Julia entre los matemáticos de la época, rápidamente se olvidó. Nuevamente, la atención se volvió hacia él solo medio siglo después con la llegada de las computadoras: fueron ellas quienes hicieron visible la riqueza y la belleza del mundo de los fractales.

Dimensiones fractales

Como sabes, la dimensión (número de medidas) de una figura geométrica es el número de coordenadas necesarias para determinar la posición de un punto que se encuentra en esta figura.
Por ejemplo, la posición de un punto en una curva está determinada por una coordenada, en una superficie (no necesariamente un plano) por dos coordenadas, en un espacio tridimensional por tres coordenadas.
Desde un punto de vista matemático más general, la dimensión se puede definir de la siguiente manera: un aumento en las dimensiones lineales, digamos, dos veces, para objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) (segmento) conduce a un aumento en el tamaño (longitud ) por un factor de dos, para bidimensional (cuadrado), el mismo aumento en las dimensiones lineales conduce a un aumento en el tamaño (área) de 4 veces, para tridimensional (cubo), de 8 veces. Es decir, la dimensión “real” (llamada Hausdorff) se puede calcular como la relación entre el logaritmo del aumento del “tamaño” de un objeto y el logaritmo del aumento de su tamaño lineal. Es decir, para un segmento D=log (2)/log (2)=1, para un plano D=log (4)/log (2)=2, para un volumen D=log (8)/log (2 )=3.
Calculemos ahora la dimensión de la curva de Koch, para cuya construcción el segmento unitario se divide en tres partes iguales y el intervalo medio se reemplaza por un triángulo equilátero sin este segmento. Con un aumento en las dimensiones lineales del segmento mínimo tres veces, la longitud de la curva de Koch aumenta en log (4) / log (3) ~ 1,26. Es decir, ¡la dimensión de la curva de Koch es fraccionaria!

ciencia y arte

En 1982, se publicó el libro de Mandelbrot "La geometría fractal de la naturaleza", en el que el autor recopiló y sistematizó casi toda la información sobre fractales disponible en ese momento y la presentó de una manera fácil y accesible. Mandelbrot hizo el énfasis principal en su presentación no en fórmulas pesadas y construcciones matemáticas, sino en la intuición geométrica de los lectores. Gracias a las ilustraciones generadas por computadora y las historias históricas, con las que el autor diluyó hábilmente el componente científico de la monografía, el libro se convirtió en un éxito de ventas y los fractales se dieron a conocer al gran público. Su éxito entre los no matemáticos se debe en gran parte al hecho de que con la ayuda de construcciones y fórmulas muy simples que incluso un estudiante de secundaria puede entender, se obtienen imágenes de una complejidad y belleza asombrosas. Cuando las computadoras personales se volvieron lo suficientemente poderosas, incluso apareció toda una tendencia en el arte: la pintura fractal, y casi cualquier propietario de una computadora podía hacerlo. Ahora en Internet puede encontrar fácilmente muchos sitios dedicados a este tema.

Esquema para la obtención de la curva de Koch

Guerra y paz

Como se señaló anteriormente, uno de los objetos naturales que tienen propiedades fractales es la costa. Una historia interesante está relacionada con él, o mejor dicho, con un intento de medir su longitud, que formó la base del artículo científico de Mandelbrot, y también se describe en su libro "La geometría fractal de la naturaleza". Estamos hablando de un experimento que fue creado por Lewis Richardson, un matemático, físico y meteorólogo muy talentoso y excéntrico. Una de las direcciones de su investigación fue un intento de encontrar una descripción matemática de las causas y la probabilidad de un conflicto armado entre dos países. Entre los parámetros que tuvo en cuenta estaba la longitud de la frontera común entre los dos países en guerra. Cuando recopiló datos para experimentos numéricos, encontró que en diferentes fuentes los datos sobre la frontera común de España y Portugal difieren mucho. Esto lo llevó al siguiente descubrimiento: la longitud de las fronteras del país depende de la regla con la que las midamos. Cuanto más pequeña sea la escala, más largo será el borde. Esto se debe al hecho de que a mayor aumento es posible tener en cuenta más y más curvas de la costa, que antes se ignoraban debido a la irregularidad de las mediciones. Y si, con cada zoom, se abren curvas de líneas previamente no contabilizadas, ¡resulta que la longitud de los bordes es infinita! Es cierto que, de hecho, esto no sucede: la precisión de nuestras mediciones tiene un límite finito. Esta paradoja se llama efecto Richardson.

Fractales constructivos (geométricos)

El algoritmo para construir un fractal constructivo en el caso general es el siguiente. En primer lugar, necesitamos dos formas geométricas adecuadas, llamémoslas la base y el fragmento. En la primera etapa, se representa la base del futuro fractal. Luego, algunas de sus partes se reemplazan por un fragmento tomado en una escala adecuada: esta es la primera iteración de la construcción. Luego, en la figura resultante, algunas partes vuelven a cambiar a figuras similares a un fragmento, y así sucesivamente. Si continuamos este proceso indefinidamente, entonces en el límite obtenemos un fractal.

Considere este proceso usando el ejemplo de la curva de Koch (vea la barra lateral en la página anterior). Cualquier curva puede tomarse como base de la curva de Koch (para el copo de nieve de Koch, este es un triángulo). Pero nos limitamos al caso más simple: un segmento. El fragmento es una línea discontinua que se muestra en la parte superior de la figura. Después de la primera iteración del algoritmo, en este caso, el segmento original coincidirá con el fragmento, luego cada uno de sus segmentos constituyentes será reemplazado por una línea discontinua similar al fragmento, y así sucesivamente. La figura muestra los primeros cuatro pasos de este proceso.

El lenguaje de las matemáticas: fractales dinámicos (algebraicos)

Los fractales de este tipo surgen en el estudio de sistemas dinámicos no lineales (de ahí el nombre). El comportamiento de tal sistema se puede describir mediante una función no lineal compleja (polinomio) f(z). Tomemos algún punto inicial z0 en el plano complejo (ver barra lateral). Ahora considere tal secuencia infinita de números en el plano complejo, cada uno de los cuales se obtiene del anterior: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Dependiendo del punto inicial z0, tal secuencia puede comportarse de manera diferente: tiende a infinito cuando n -> ∞; converger a algún punto final; tomar cíclicamente una serie de valores fijos; opciones más complejas son posibles.

Números complejos

Un número complejo es un número que consta de dos partes: real e imaginaria, es decir, la suma formal x + iy (x e y aquí son números reales). yo es el llamado. unidad imaginaria, es decir, un número que satisface la ecuación yo^ 2 = -1. Sobre números complejos, se definen las operaciones matemáticas básicas: suma, multiplicación, división, resta (solo la operación de comparación no está definida). Para mostrar números complejos, a menudo se usa una representación geométrica: en el plano (se llama complejo), la parte real se traza a lo largo del eje de abscisas y la parte imaginaria a lo largo del eje de ordenadas, mientras que el número complejo corresponderá a un punto con coordenadas cartesianas x e y.

Así, cualquier punto z del plano complejo tiene su propio carácter de comportamiento durante las iteraciones de la función f (z), y todo el plano se divide en partes. Además, los puntos que se encuentran en los límites de estas partes tienen la siguiente propiedad: para un desplazamiento arbitrariamente pequeño, la naturaleza de su comportamiento cambia drásticamente (estos puntos se denominan puntos de bifurcación). Entonces, resulta que los conjuntos de puntos que tienen un tipo específico de comportamiento, así como los conjuntos de puntos de bifurcación, a menudo tienen propiedades fractales. Estos son los conjuntos de Julia para la función f(z).

familia de dragones

Al variar la base y el fragmento, puede obtener una asombrosa variedad de fractales constructivos.
Además, se pueden realizar operaciones similares en el espacio tridimensional. Ejemplos de fractales volumétricos son la "esponja de Menger", la "pirámide de Sierpinski" y otros.
La familia de los dragones también se refiere a los fractales constructivos. A veces se los conoce con el nombre de los descubridores como los "dragones de Heiwei-Harter" (se parecen a los dragones chinos en su forma). Hay varias formas de construir esta curva. El más simple y obvio de ellos es este: debe tomar una tira de papel suficientemente larga (cuanto más delgado sea el papel, mejor) y doblarla por la mitad. Luego, dóblelo nuevamente por la mitad en la misma dirección que la primera vez. Después de varias repeticiones (por lo general, después de cinco o seis pliegues, la tira se vuelve demasiado gruesa para doblarla más con cuidado), debe enderezar la tira hacia atrás e intentar formar ángulos de 90˚ en los pliegues. Entonces la curva del dragón resultará de perfil. Por supuesto, esto será solo una aproximación, como todos nuestros intentos de representar objetos fractales. La computadora le permite representar muchos más pasos en este proceso, y el resultado es una figura muy hermosa.

El conjunto de Mandelbrot está construido de manera algo diferente. Considere la función fc (z) = z 2 +c, donde c es un número complejo. Construyamos una sucesión de esta función con z0=0, dependiendo del parámetro c, puede divergir hasta el infinito o permanecer acotada. Además, todos los valores de c para los que esta sucesión está acotada forman el conjunto de Mandelbrot. Fue estudiado en detalle por el mismo Mandelbrot y otros matemáticos, quienes descubrieron muchas propiedades interesantes de este conjunto.

Se puede ver que las definiciones de los conjuntos de Julia y Mandelbrot son similares entre sí. De hecho, estos dos conjuntos están estrechamente relacionados. Es decir, el conjunto de Mandelbrot son todos los valores del parámetro complejo c para los que el conjunto de Julia fc (z) está conectado (un conjunto se llama conectado si no se puede dividir en dos partes que no se intersecan, con algunas condiciones adicionales).

fractales y vida

En la actualidad, la teoría de los fractales es ampliamente utilizada en diversos campos de la actividad humana. Además de un objeto puramente científico para la investigación y la pintura fractal ya mencionada, los fractales se utilizan en la teoría de la información para comprimir datos gráficos (aquí, la propiedad de autosimilitud de los fractales se utiliza principalmente, después de todo, para recordar un pequeño fragmento de un dibujo y transformaciones con las que se pueden obtener el resto de las partes, se necesita mucha menos memoria que para almacenar todo el archivo). Al agregar perturbaciones aleatorias a las fórmulas que definen el fractal, se pueden obtener fractales estocásticos que transmiten muy plausiblemente algunos objetos reales: elementos de relieve, la superficie de cuerpos de agua, algunas plantas, que se utilizan con éxito en física, geografía y gráficos por computadora para lograr mayor similitud de los objetos simulados con los reales. En radioelectrónica, en la última década, se empezaron a producir antenas que tienen forma de fractal. Ocupando poco espacio, proporcionan una recepción de señal de bastante alta calidad. Los economistas usan fractales para describir las curvas de fluctuación de la moneda (esta propiedad fue descubierta por Mandelbrot hace más de 30 años). Así concluye esta breve excursión al mundo de los fractales, sorprendente por su belleza y diversidad.

Los descubrimientos más ingeniosos de la ciencia pueden cambiar radicalmente la vida humana. La vacuna inventada puede salvar a millones de personas, la creación de armas, por el contrario, se lleva estas vidas. Más recientemente (en la escala de la evolución humana) hemos aprendido a "domar" la electricidad, y ahora no podemos imaginar la vida sin todos estos dispositivos convenientes que usan electricidad. Pero también hay descubrimientos a los que poca gente le da importancia, aunque también influyen mucho en nuestra vida.

Uno de estos descubrimientos “imperceptibles” son los fractales. Probablemente hayas escuchado esta pegadiza palabra, pero ¿sabes lo que significa y cuántas cosas interesantes se esconden en este término?

Cada persona tiene una curiosidad natural, un deseo de aprender sobre el mundo que lo rodea. Y en esta aspiración, una persona trata de adherirse a la lógica en los juicios. Analizando los procesos que tienen lugar a su alrededor, intenta encontrar la lógica de lo que sucede y deducir alguna regularidad. Las mentes más grandes del planeta están ocupadas con esta tarea. En términos generales, los científicos están buscando un patrón donde no debería estar. Sin embargo, incluso en el caos, uno puede encontrar una conexión entre los eventos. Y esta conexión es un fractal.

Nuestra hijita, de cuatro años y medio, está ahora en esa maravillosa edad en la que la cantidad de preguntas “¿Por qué?” muchas veces mayor que el número de respuestas que los adultos tienen tiempo para dar. No hace mucho tiempo, al mirar una rama levantada del suelo, mi hija notó de repente que esta rama, con nudos y ramas, parecía un árbol. Y, por supuesto, seguía la habitual pregunta “¿Por qué?”, para la que los padres tenían que buscar una explicación sencilla que el niño pudiera entender.

La similitud de una sola rama con un árbol completo descubierta por un niño es una observación muy precisa, que una vez más atestigua el principio de autosimilitud recursiva en la naturaleza. Muchas formas orgánicas e inorgánicas en la naturaleza se forman de manera similar. Las nubes, las conchas marinas, la "casa" de un caracol, la corteza y la copa de los árboles, el sistema circulatorio, etc., las formas aleatorias de todos estos objetos pueden describirse mediante un algoritmo fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot: el padre de la geometría fractal

La misma palabra "fractal" apareció gracias al brillante científico Benoît B. Mandelbrot.

Él mismo acuñó el término en la década de 1970, tomando prestada la palabra fractus del latín, donde literalmente significa "roto" o "aplastado". ¿Qué es? Hoy en día, la palabra "fractal" se usa con mayor frecuencia para referirse a una representación gráfica de una estructura que es similar a sí misma en una escala mayor.

La base matemática para el surgimiento de la teoría de los fractales se estableció muchos años antes del nacimiento de Benoit Mandelbrot, pero solo pudo desarrollarse con la llegada de los dispositivos informáticos. Al comienzo de su carrera científica, Benoit trabajó en el centro de investigación de IBM. En ese momento, los empleados del centro estaban trabajando en la transmisión de datos a distancia. En el curso de la investigación, los científicos se enfrentaron al problema de las grandes pérdidas derivadas de la interferencia del ruido. Benoit se enfrentó a una tarea difícil y muy importante: comprender cómo predecir la aparición de interferencias de ruido en los circuitos electrónicos cuando el método estadístico es ineficaz.

Mirando a través de los resultados de las mediciones de ruido, Mandelbrot llamó la atención sobre un patrón extraño: los gráficos de ruido en diferentes escalas tenían el mismo aspecto. Se observó un patrón idéntico independientemente de si se trataba de un gráfico de ruido de un día, una semana o una hora. Valió la pena cambiar la escala del gráfico, y la imagen se repitió cada vez.

Durante su vida, Benoit Mandelbrot dijo repetidamente que no se ocupaba de fórmulas, sino que simplemente jugaba con imágenes. Este hombre pensaba muy figurativamente, y traducía cualquier problema algebraico al campo de la geometría, donde, según él, la respuesta correcta siempre es obvia.

No sorprende que fuera un hombre con una imaginación espacial tan rica quien se convirtiera en el padre de la geometría fractal. Después de todo, la comprensión de la esencia de los fractales llega precisamente cuando comienzas a estudiar dibujos y piensas en el significado de los extraños patrones de remolinos.

Un patrón fractal no tiene elementos idénticos, pero tiene similitudes en cualquier escala. Construir una imagen de este tipo con un alto grado de detalle manualmente era simplemente imposible antes, requería una gran cantidad de cálculos. Por ejemplo, el matemático francés Pierre Joseph Louis Fatou describió este conjunto más de setenta años antes del descubrimiento de Benoit Mandelbrot. Si hablamos de los principios de autosemejanza, se mencionaron en los trabajos de Leibniz y Georg Cantor.

Uno de los primeros dibujos de un fractal fue una interpretación gráfica del conjunto de Mandelbrot, que nació de la investigación de Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (siempre enmascarado - lesión de la Primera Guerra Mundial)

Este matemático francés se preguntó cómo se vería un conjunto si se construyera a partir de una fórmula simple iterada por un circuito de retroalimentación. Si se explica "en los dedos", esto significa que para un número específico encontramos un nuevo valor usando la fórmula, después de lo cual lo sustituimos nuevamente en la fórmula y obtenemos otro valor. El resultado es una gran secuencia de números.

Para obtener una imagen completa de dicho conjunto, debe realizar una gran cantidad de cálculos: cientos, miles, millones. Era simplemente imposible hacerlo manualmente. Pero cuando aparecieron potentes dispositivos informáticos a disposición de los matemáticos, pudieron echar un nuevo vistazo a fórmulas y expresiones que habían sido de interés durante mucho tiempo. Mandelbrot fue el primero en usar una computadora para calcular el fractal clásico. Habiendo procesado una secuencia que constaba de una gran cantidad de valores, Benoit transfirió los resultados a un gráfico. Esto es lo que obtuvo.

Posteriormente, esta imagen fue coloreada (por ejemplo, una forma de colorear es por el número de iteraciones) y se convirtió en una de las imágenes más populares jamás creadas por el hombre.

Como dice el antiguo dicho atribuido a Heráclito de Éfeso: “No se puede entrar dos veces en el mismo río”. Es el más adecuado para interpretar la geometría de los fractales. No importa qué tan detallado examinemos una imagen fractal, siempre veremos un patrón similar.

Aquellos que deseen ver cómo se vería una imagen del espacio de Mandelbrot cuando se amplía muchas veces pueden hacerlo cargando un GIF animado.

⇡ Lauren Carpenter: arte creado por la naturaleza

La teoría de los fractales pronto encontró una aplicación práctica. Dado que está estrechamente relacionado con la visualización de imágenes autosimilares, no sorprende que los primeros en adoptar algoritmos y principios para construir formas inusuales fueran los artistas.

El futuro cofundador del legendario estudio Pixar, Loren C. Carpenter, comenzó a trabajar en Boeing Computer Services en 1967, que era una de las divisiones de la conocida corporación dedicada al desarrollo de nuevos aviones.

En 1977, creó presentaciones con prototipos de modelos voladores. Lauren fue responsable de desarrollar las imágenes del avión que se estaba diseñando. Tuvo que crear imágenes de nuevos modelos, mostrando futuros aviones desde diferentes ángulos. En algún momento, al futuro fundador de Pixar Animation Studios se le ocurrió la idea creativa de utilizar una imagen de montañas como fondo. Hoy, cualquier escolar puede resolver ese problema, pero a fines de los años setenta del siglo pasado, las computadoras no podían hacer frente a cálculos tan complejos: no había editores gráficos, sin mencionar las aplicaciones para gráficos tridimensionales. En 1978, Lauren vio accidentalmente el libro Fractals: Form, Randomness and Dimension de Benoit Mandelbrot en una tienda. En este libro, llamó su atención el hecho de que Benoit dio muchos ejemplos de formas fractales en la vida real y demostró que pueden describirse mediante una expresión matemática.

Esta analogía fue escogida por el matemático no por casualidad. El caso es que nada más publicar su investigación tuvo que enfrentarse a todo un aluvión de críticas. Lo principal que le reprocharon sus colegas fue la inutilidad de la teoría desarrollada. “Sí”, dijeron, “estos son hermosos cuadros, pero nada más. La teoría de los fractales no tiene valor práctico”. También hubo quienes generalmente creían que los patrones fractales eran simplemente un subproducto del trabajo de las "máquinas diabólicas", que a finales de los años setenta les parecía a muchos algo demasiado complicado e inexplorado como para ser completamente confiable. Mandelbrot trató de encontrar una aplicación obvia de la teoría de los fractales, pero, en general, no necesitaba hacer esto. Los seguidores de Benoit Mandelbrot durante los siguientes 25 años demostraron ser de gran utilidad para tal "curiosidad matemática", y Lauren Carpenter fue una de las primeras en poner en práctica el método fractal.

Habiendo estudiado el libro, el futuro animador estudió seriamente los principios de la geometría fractal y comenzó a buscar una forma de implementarla en gráficos por computadora. En solo tres días de trabajo, Lauren pudo visualizar una imagen realista del sistema montañoso en su computadora. En otras palabras, con la ayuda de fórmulas, pintó un paisaje de montaña completamente reconocible.

El principio que usó Lauren para lograr su objetivo fue muy simple. Consistía en dividir una figura geométrica mayor en elementos pequeños, y estos, a su vez, se dividían en figuras similares de menor tamaño.

Usando triángulos más grandes, Carpenter los dividió en cuatro más pequeños y luego repitió este procedimiento una y otra vez hasta que tuvo un paisaje montañoso realista. Así, logró convertirse en el primer artista en utilizar un algoritmo fractal en gráficos por computadora para construir imágenes. Tan pronto como se supo del trabajo realizado, entusiastas de todo el mundo recogieron esta idea y comenzaron a utilizar el algoritmo fractal para simular formas naturales realistas.

Una de las primeras representaciones 3D usando el algoritmo fractal

Solo unos años más tarde, Lauren Carpenter pudo aplicar sus logros en un proyecto mucho más grande. El animador los basó en una demostración de dos minutos, Vol Libre, que se mostró en Siggraph en 1980. Este video sorprendió a todos los que lo vieron y Lauren recibió una invitación de Lucasfilm.

La animación fue renderizada en una computadora VAX-11/780 de Digital Equipment Corporation a una velocidad de reloj de cinco megahercios, y cada fotograma tardó aproximadamente media hora en dibujarse.

Trabajando para Lucasfilm Limited, el animador creó los mismos paisajes 3D para el segundo largometraje de la saga Star Trek. En The Wrath of Khan, Carpenter pudo crear un planeta completo utilizando el mismo principio de modelado de superficie fractal.

Actualmente, todas las aplicaciones populares para crear paisajes en 3D utilizan el mismo principio de generar objetos naturales. Terragen, Bryce, Vue y otros editores 3D se basan en un algoritmo de modelado de textura y superficie fractal.

⇡ Antenas fractales: menos es mejor, pero mejor

Durante el último medio siglo, la vida ha cambiado rápidamente. La mayoría de nosotros damos por sentados los avances de la tecnología moderna. Todo lo que te hace la vida más cómoda, te acostumbras muy rápido. Rara vez alguien hace las preguntas "¿De dónde vino esto?" ¿Y, cómo funciona?". Un horno de microondas calienta el desayuno, bueno, genial, un teléfono inteligente te permite hablar con otra persona, genial. Esto nos parece una posibilidad obvia.

Pero la vida podría ser completamente diferente si una persona no buscara una explicación para los hechos que están ocurriendo. Tomemos, por ejemplo, los teléfonos celulares. ¿Recuerdas las antenas retráctiles de los primeros modelos? Interfirieron, aumentaron el tamaño del dispositivo, al final, a menudo se rompieron. Creemos que se han hundido en el olvido para siempre, y en parte por eso... los fractales.

Los dibujos fractales fascinan con sus patrones. Definitivamente se asemejan a imágenes de objetos espaciales: nebulosas, cúmulos de galaxias, etc. Por lo tanto, es bastante natural que cuando Mandelbrot expresó su teoría de los fractales, su investigación despertara un mayor interés entre los que estudiaban astronomía. Uno de esos aficionados llamado Nathan Cohen, después de asistir a una conferencia de Benoit Mandelbrot en Budapest, se inspiró en la idea de la aplicación práctica de los conocimientos adquiridos. Es cierto que lo hizo de forma intuitiva y el azar jugó un papel importante en su descubrimiento. Como radioaficionado, Nathan buscó crear una antena con la mayor sensibilidad posible.

La única forma de mejorar los parámetros de la antena, que se conocía en ese momento, era aumentar sus dimensiones geométricas. Sin embargo, el propietario del apartamento de Nathan en el centro de Boston se opuso rotundamente a la instalación de grandes dispositivos en la azotea. Entonces Nathan comenzó a experimentar con varias formas de antenas, tratando de obtener el máximo resultado con el mínimo tamaño. Entusiasmado con la idea de las formas fractales, Cohen, como dicen, hizo al azar uno de los fractales más famosos con alambre: el "copo de nieve de Koch". El matemático sueco Helge von Koch ideó esta curva en 1904. Se obtiene dividiendo el segmento en tres partes y reemplazando el segmento medio por un triángulo equilátero sin lado coincidente con este segmento. La definición es un poco difícil de entender, pero la figura es clara y simple.

También hay otras variedades de la "curva de Koch", pero la forma aproximada de la curva sigue siendo similar.

Cuando Nathan conectó la antena al receptor de radio, se sorprendió mucho: la sensibilidad aumentó drásticamente. Después de una serie de experimentos, el futuro profesor de la Universidad de Boston se dio cuenta de que una antena hecha según un patrón fractal tiene una alta eficiencia y cubre un rango de frecuencia mucho más amplio en comparación con las soluciones clásicas. Además, la forma de la antena en forma de curva fractal puede reducir significativamente las dimensiones geométricas. Nathan Cohen incluso desarrolló un teorema que demuestra que para crear una antena de banda ancha basta con darle la forma de una curva fractal autosimilar.

El autor patentó su descubrimiento y fundó una empresa para el desarrollo y diseño de antenas fractales Fractal Antenna Systems, creyendo con razón que en el futuro, gracias a su descubrimiento, los teléfonos móviles podrán deshacerse de las antenas voluminosas y volverse más compactos.

Básicamente, eso es lo que pasó. Cierto, hasta el día de hoy, Nathan está en una demanda con grandes corporaciones que usan ilegalmente su descubrimiento para producir dispositivos de comunicación compactos. Algunos fabricantes de dispositivos móviles muy conocidos, como Motorola, ya han llegado a un acuerdo de paz con el inventor de la antena fractal.

⇡ Dimensiones fractales: la mente no entiende

Benoit tomó prestada esta pregunta del famoso científico estadounidense Edward Kasner.

Este último, como muchos otros matemáticos famosos, era muy aficionado a comunicarse con los niños, haciéndoles preguntas y obteniendo respuestas inesperadas. A veces esto llevó a resultados sorprendentes. Entonces, por ejemplo, al sobrino de Edward Kasner, de nueve años, se le ocurrió la ahora conocida palabra "googol", que denota una unidad con cien ceros. Pero volvamos a los fractales. Al matemático estadounidense le gustaba preguntar cuánto mide la costa de Estados Unidos. Después de escuchar la opinión del interlocutor, el propio Edward pronunció la respuesta correcta. Si mide la longitud en el mapa con segmentos rotos, el resultado será inexacto, porque la costa tiene una gran cantidad de irregularidades. ¿Y qué pasa si mides con la mayor precisión posible? Deberá tener en cuenta la longitud de cada desnivel: deberá medir cada cabo, cada bahía, roca, la longitud de un saliente rocoso, una piedra en él, un grano de arena, un átomo, etc. Dado que el número de irregularidades tiende al infinito, la longitud medida de la línea de costa aumentará al infinito con cada nueva irregularidad.

Cuanto menor sea la medida al medir, mayor será la longitud medida

Curiosamente, siguiendo las indicaciones de Edward, los niños fueron mucho más rápidos que los adultos en decir la respuesta correcta, mientras que estos últimos tuvieron problemas para aceptar una respuesta tan increíble.

Usando este problema como ejemplo, Mandelbrot sugirió usar un nuevo enfoque para las mediciones. Dado que la línea de costa está cerca de una curva fractal, significa que se le puede aplicar un parámetro característico, la llamada dimensión fractal.

Cuál es la dimensión habitual está claro para cualquiera. Si la dimensión es igual a uno, obtenemos una línea recta, si dos, una figura plana, tres, volumen. Sin embargo, tal comprensión de la dimensión en matemáticas no funciona con curvas fractales, donde este parámetro tiene un valor fraccionario. La dimensión fractal en matemáticas puede considerarse condicionalmente como "rugosidad". Cuanto mayor sea la rugosidad de la curva, mayor será su dimensión fractal. Una curva que, según Mandelbrot, tiene una dimensión fractal superior a su dimensión topológica, tiene una longitud aproximada que no depende del número de dimensiones.

Actualmente, los científicos están encontrando cada vez más áreas para la aplicación de la teoría fractal. Con la ayuda de los fractales, puede analizar las fluctuaciones en los precios de las acciones, explorar todo tipo de procesos naturales, como las fluctuaciones en el número de especies, o simular la dinámica de los flujos. Los algoritmos fractales se pueden utilizar para la compresión de datos, por ejemplo, para la compresión de imágenes. Y, por cierto, para obtener un hermoso fractal en la pantalla de su computadora, no es necesario tener un doctorado.

⇡ Fractal en el navegador

Quizás una de las formas más fáciles de obtener un patrón fractal es usar el editor de vectores en línea de un joven programador talentoso, Toby Schachman. El conjunto de herramientas de este sencillo editor de gráficos se basa en el mismo principio de autosimilitud.

Solo hay dos formas simples a su disposición: un cuadrado y un círculo. Puede agregarlos al lienzo, escalar (para escalar a lo largo de uno de los ejes, mantenga presionada la tecla Mayús) y rotar. Superpuestos en el principio de las operaciones de suma booleana, estos elementos más simples forman formas nuevas y menos triviales. Además, estas nuevas formas se pueden agregar al proyecto y el programa repetirá la generación de estas imágenes indefinidamente. En cualquier etapa de trabajo en un fractal, puede volver a cualquier componente de una forma compleja y editar su posición y geometría. Es muy divertido, especialmente cuando consideras que la única herramienta que necesitas para ser creativo es un navegador. Si no comprende el principio de trabajar con este editor de vectores recursivo, le recomendamos que vea el video en el sitio web oficial del proyecto, que muestra en detalle todo el proceso de creación de un fractal.

⇡ XaoS: fractales para todos los gustos

Muchos editores gráficos tienen herramientas integradas para crear patrones fractales. Sin embargo, estas herramientas suelen ser secundarias y no le permiten afinar el patrón fractal generado. En los casos en que sea necesario construir un fractal matemáticamente preciso, el editor multiplataforma XaoS vendrá al rescate. Este programa hace posible no solo construir una imagen similar a sí misma, sino también realizar varias manipulaciones con ella. Por ejemplo, en tiempo real, puede "caminar" a través de un fractal cambiando su escala. El movimiento animado a lo largo de un fractal puede guardarse como un archivo XAF y luego reproducirse en el propio programa.

XaoS puede cargar un conjunto aleatorio de parámetros, así como usar varios filtros de posprocesamiento de imágenes: agregar un efecto de movimiento borroso, suavizar transiciones nítidas entre puntos fractales, simular una imagen 3D, etc.

⇡ Fractal Zoomer: generador de fractales compacto

En comparación con otros generadores de imágenes fractales, tiene varias ventajas. En primer lugar, es de tamaño bastante pequeño y no requiere instalación. En segundo lugar, implementa la capacidad de definir la paleta de colores de la imagen. Puede elegir tonos en modelos de color RGB, CMYK, HVS y HSL.

También es muy conveniente utilizar la opción de selección aleatoria de tonos de color y la función de invertir todos los colores de la imagen. Para ajustar el color, existe una función de selección cíclica de sombras: cuando se activa el modo correspondiente, el programa anima la imagen, cambiando cíclicamente los colores en ella.

Fractal Zoomer puede visualizar 85 funciones fractales diferentes, y las fórmulas se muestran claramente en el menú del programa. Hay filtros para el procesamiento posterior de imágenes en el programa, aunque en una pequeña cantidad. Cada filtro asignado se puede cancelar en cualquier momento.

⇡ Mandelbulb3D: editor de fractales 3D

Cuando se usa el término "fractal", generalmente significa una imagen bidimensional plana. Sin embargo, la geometría fractal va más allá de la dimensión 2D. En la naturaleza, uno puede encontrar tanto ejemplos de formas fractales planas, digamos, la geometría del rayo, como figuras tridimensionales tridimensionales. Las superficies fractales pueden ser 3D, y una ilustración muy gráfica de los fractales 3D en la vida cotidiana es una cabeza de repollo. Quizás la mejor manera de ver los fractales es en Romanesco, un híbrido de coliflor y brócoli.

Y este fractal se puede comer

El programa Mandelbulb3D puede crear objetos tridimensionales con una forma similar. Para obtener una superficie 3D usando el algoritmo fractal, los autores de esta aplicación, Daniel White y Paul Nylander, convirtieron el conjunto de Mandelbrot a coordenadas esféricas. El programa Mandelbulb3D que crearon es un verdadero editor tridimensional que modela superficies fractales de varias formas. Dado que a menudo observamos patrones fractales en la naturaleza, un objeto tridimensional fractal creado artificialmente parece increíblemente realista e incluso "vivo".

Puede parecer una planta, puede parecerse a un animal extraño, un planeta o algo más. Este efecto se ve potenciado por un algoritmo de renderizado avanzado que permite obtener reflejos realistas, calcular transparencias y sombras, simular el efecto de profundidad de campo, etc. Mandelbulb3D tiene una gran cantidad de configuraciones y opciones de renderizado. Puede controlar los tonos de las fuentes de luz, elegir el fondo y el nivel de detalle del objeto modelado.

El editor de fractales de Incendia admite el suavizado de imágenes dobles, contiene una biblioteca de cincuenta fractales tridimensionales diferentes y tiene un módulo separado para editar formas básicas.

La aplicación utiliza secuencias de comandos fractales, con las que puede describir de forma independiente nuevos tipos de estructuras fractales. Incendia tiene editores de texturas y materiales, y un motor de renderizado que le permite usar efectos de niebla volumétrica y varios sombreadores. El programa tiene una opción para guardar el búfer durante el renderizado a largo plazo, se admite la creación de animaciones.

Incendia le permite exportar un modelo fractal a formatos de gráficos 3D populares: OBJ y STL. Incendia incluye una pequeña utilidad Geométrica, una herramienta especial para configurar la exportación de una superficie fractal a un modelo tridimensional. Con esta utilidad, puede determinar la resolución de una superficie 3D, especificar el número de iteraciones fractales. Los modelos exportados se pueden usar en proyectos 3D cuando se trabaja con editores 3D como Blender, 3ds max y otros.

Recientemente, el trabajo en el proyecto Incendia se ha ralentizado un poco. Por el momento, el autor está buscando patrocinadores que lo ayuden a desarrollar el programa.

Si no tienes suficiente imaginación para dibujar un hermoso fractal tridimensional en este programa, no importa. Utilice la biblioteca de parámetros, que se encuentra en la carpeta INCENDIA_EX\parameters. Con la ayuda de los archivos PAR, puede encontrar rápidamente las formas fractales más inusuales, incluidas las animadas.

⇡ Aural: cómo cantan los fractales

No solemos hablar de proyectos en los que recién se está trabajando, pero en este caso tenemos que hacer una excepción, se trata de una aplicación muy poco habitual. Un proyecto llamado Aural surgió con la misma persona que Incendia. Es cierto que esta vez el programa no visualiza el conjunto fractal, sino que lo expresa, convirtiéndolo en música electrónica. La idea es muy interesante, especialmente considerando las propiedades inusuales de los fractales. Aural es un editor de audio que genera melodías mediante algoritmos fractales, es decir, en realidad es un sintetizador-secuenciador de audio.

La secuencia de sonidos que emite este programa es inusual y... hermosa. Puede ser útil para escribir ritmos modernos y, en nuestra opinión, es especialmente adecuado para crear bandas sonoras para las introducciones de programas de radio y televisión, así como "bucles" de música de fondo para juegos de computadora. Ramiro aún no ha proporcionado una demostración de su programa, pero promete que cuando lo haga, para poder trabajar con Aural, no necesitará aprender la teoría de los fractales, solo jugar con los parámetros del algoritmo para generar una secuencia de notas. . Escucha cómo suenan los fractales, y.

Fractales: pausa musical

De hecho, los fractales pueden ayudar a escribir música incluso sin software. Pero esto solo puede hacerlo alguien que esté verdaderamente imbuido de la idea de la armonía natural y al mismo tiempo no se haya convertido en un desafortunado "nerd". Tiene sentido seguir el ejemplo de un músico llamado Jonathan Coulton, quien, entre otras cosas, escribe composiciones para la revista Popular Science. Y a diferencia de otros artistas, Colton publica todas sus obras bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-No comercial, que (cuando se utiliza para fines no comerciales) permite la copia, distribución, transferencia de obras a otros, así como su modificación (creación de obras derivadas) para adaptarlo a sus necesidades.

Jonathan Colton, por supuesto, tiene una canción sobre fractales.

⇡ Conclusión

En todo lo que nos rodea, a menudo vemos caos, pero en realidad no se trata de un accidente, sino de una forma ideal, que los fractales nos ayudan a discernir. La naturaleza es el mejor arquitecto, el constructor e ingeniero ideal. Está organizado de manera muy lógica, y si en algún lugar no vemos patrones, esto significa que debemos buscarlo en una escala diferente. La gente entiende esto cada vez mejor, tratando de imitar las formas naturales de muchas maneras. Los ingenieros diseñan sistemas de altavoces en forma de caparazón, crean antenas con geometría de copo de nieve, etc. Estamos seguros de que los fractales aún guardan muchos secretos, y muchos de ellos aún no han sido descubiertos por el hombre.

Ya hemos escrito sobre cómo la teoría matemática abstracta del caos ha encontrado aplicaciones en una variedad de ciencias, desde la física hasta la economía y la ciencia política. Ahora daremos otro ejemplo similar: la teoría de los fractales. No existe una definición estricta del concepto de "fractal", incluso en matemáticas. Dicen algo así, por supuesto. Pero la “persona común” no entiende esto. Qué tal, por ejemplo, esta frase: "Un fractal es un conjunto con una dimensión fraccionaria de Hausdorff, que es mayor que la topológica". Sin embargo, ellos, los fractales, nos rodean y ayudan a comprender muchos fenómenos de diferentes esferas de la vida.

Cómo empezó todo

Durante mucho tiempo, nadie, excepto los matemáticos profesionales, se interesó por los fractales. Antes de la llegada de las computadoras y el software relacionado. Todo cambió en 1982, cuando se publicó el libro de Benoit Mandelbrot "La geometría fractal de la naturaleza". Este libro se ha convertido en un éxito de ventas, no tanto por la presentación simple y comprensible del material (aunque esta afirmación es muy relativa: una persona que no tenga una educación matemática profesional no entenderá nada en él), sino por la ilustraciones de computadora de fractales dados, que son realmente fascinantes. Miremos estas imágenes. Realmente valen la pena.

Y hay muchas de esas imágenes. Pero, ¿qué tiene que ver todo este esplendor con nuestra vida real y lo que nos rodea en la naturaleza y el mundo cotidiano? Resulta el más directo.

Pero primero, digamos algunas palabras sobre los propios fractales, como objetos geométricos.

¿Qué es un fractal, en términos simples?

Primero. Cómo se construyen ellos, los fractales. Este es un procedimiento bastante complicado que usa transformaciones especiales en el plano complejo (no necesita saber qué es). Lo único importante es que estas transformaciones sean repetitivas (ocurren, como se dice en matemáticas, iteraciones). Es como resultado de esta repetición que surgen los fractales (los que viste arriba).

Segundo. Un fractal es una estructura auto-similar (exacta o aproximadamente). Esto significa lo siguiente. Si acerca un microscopio a cualquiera de las imágenes presentadas, ampliando la imagen, por ejemplo, 100 veces, y observa un fragmento de una pieza fractal que ha caído en el ocular, encontrará que es idéntica a la imagen original. Si toma un microscopio más fuerte que magnifica la imagen 1000 veces, encontrará que una parte del fragmento de la imagen anterior que cayó en el ocular tiene la misma estructura o una muy similar.

Esto lleva a una conclusión muy importante para lo que sigue. Un fractal tiene una estructura extremadamente compleja que se repite en diferentes escalas. Pero cuanto más profundizamos en su dispositivo, más complejo se vuelve en general. Y las estimaciones cuantitativas de las propiedades de la imagen original pueden comenzar a cambiar.

Ahora dejaremos las matemáticas abstractas y pasaremos a las cosas que nos rodean, por lo que parece simple y comprensible.

Objetos fractales en la naturaleza

Línea costera

Imagina que estás fotografiando una isla, como Gran Bretaña, desde la órbita terrestre. Obtendrá la misma imagen que en el mapa geográfico. El contorno suave de la costa, desde todos los lados: el mar.

Encontrar la longitud de la costa es muy sencillo. Tome un hilo ordinario y colóquelo con cuidado a lo largo de los bordes de la isla. Luego, mida su longitud en centímetros y multiplique el número resultante por la escala del mapa: hay algunos kilómetros en un centímetro. Aquí está el resultado.

Y ahora el siguiente experimento. Vuelas en un avión a vista de pájaro y fotografías la costa. Resulta una imagen similar a las fotografías de un satélite. Pero esta línea de costa está dentada. Pequeñas bahías, golfos, fragmentos de tierra que se adentran en el mar aparecen en tus imágenes. Todo esto es cierto, pero no se podía ver desde el satélite. La estructura de la costa es cada vez más compleja.

Digamos que, habiendo llegado a casa, hiciste un mapa detallado de la costa basado en tus fotos. Y decidimos medir su longitud con la ayuda del mismo hilo, disponiéndolo estrictamente de acuerdo con los nuevos datos que recibió. El nuevo valor de la longitud de la línea de costa superará al antiguo. Y significativo. Esto es intuitivamente claro. Después de todo, ahora su hilo debe rodear las costas de todas las bahías y bahías, y no solo ir a lo largo de la costa.

Nota. Nos alejamos y las cosas se volvieron mucho más complejas y confusas. como fractales.

Y ahora para otra iteración. Estás caminando por la misma costa. Y arreglar el relieve de la línea de costa. Resulta que las orillas de las bahías y bahías que tomaste desde el avión no son tan suaves y simples como pensabas en tus fotos. Tienen una estructura compleja. Y así, si trazas un mapa de esta costa "peatonal", crecerá aún más.

Sí, no hay infinitos en la naturaleza. Pero está bastante claro que la línea de costa es un fractal típico. Sigue siendo el mismo, pero su estructura se vuelve más y más compleja a medida que miras más de cerca (piensa en el ejemplo del microscopio).

Esto es realmente un fenómeno asombroso. Estamos acostumbrados al hecho de que cualquier objeto geométrico limitado en tamaño en un plano (cuadrado, triángulo, círculo) tiene una longitud fija y finita de sus límites. Pero aquí todo es diferente. La longitud de la línea de costa en el límite resulta ser infinita.

Madera

Imaginemos un árbol. árbol ordinario. Una especie de tilo suelto. Miremos su baúl. alrededor de la raíz. Es un cilindro ligeramente deformado. Esos. tiene una forma muy simple.

Levantemos nuestros ojos hacia arriba. Las ramas comienzan a emerger del tronco. Cada rama, en su inicio, tiene la misma estructura que el tronco - cilíndrica, en términos de geometría. Pero la estructura de todo el árbol ha cambiado. Se ha vuelto mucho más complejo.

Ahora echemos un vistazo a estas ramas. Ramas más pequeñas se extienden desde ellos. En su base tienen la misma forma cilíndrica ligeramente deformada. Como el mismo baúl. Y luego se apartan de ellos ramas mucho más pequeñas. Etc

El árbol se reproduce a sí mismo, en todos los niveles. Al mismo tiempo, su estructura se vuelve cada vez más compleja, pero sigue siendo similar a sí misma. ¿No es un fractal?

Circulación

Aquí está el sistema circulatorio humano. También tiene una estructura fractal. Hay arterias y venas. Según uno de ellos, la sangre llega al corazón (venas), según otros, sale de él (arterias). Y luego, el sistema circulatorio comienza a parecerse al mismo árbol del que hablamos anteriormente. Los vasos, manteniendo su estructura, se vuelven más delgados y ramificados. Penetran en las zonas más remotas de nuestro cuerpo, aportan oxígeno y otros componentes vitales a cada célula. Esta es una estructura fractal típica que se reproduce en escalas cada vez más pequeñas.

desagües de río

"Desde lejos, el río Volga fluye durante mucho tiempo". En un mapa geográfico, esta es una línea azul sinuosa. Bueno, los principales afluentes están marcados. Bien, Kama. ¿Y si nos alejamos? Resulta que estos afluentes son mucho más grandes. No solo cerca del propio Volga, sino también cerca de Oka y Kama. Y tienen sus propios afluentes, solo que más pequeños. Y esos tienen la suya. Emerge una estructura que es sorprendentemente similar al sistema circulatorio humano. Y de nuevo surge la pregunta. ¿Cuál es la extensión de todo este sistema de agua? Si mide la longitud de solo el canal principal, todo está claro. Puedes leerlo en cualquier libro de texto. ¿Y si todo se mide? De nuevo, en el límite se obtiene el infinito.

Nuestro Universo

Por supuesto, en la escala de miles de millones de años luz, el Universo está dispuesto uniformemente. Pero echemos un vistazo más de cerca. Y luego veremos que no hay homogeneidad en ello. En algún lugar hay galaxias (cúmulos de estrellas), en algún lugar hay vacío. ¿Por qué? Por qué la distribución de la materia obedece a leyes jerárquicas irregulares. Y lo que sucede dentro de las galaxias (otro zoom out). En algún lugar hay más estrellas, en algún lugar menos. En algún lugar hay sistemas planetarios, como en nuestro sistema solar, pero en algún lugar no.

¿No se manifiesta aquí la esencia fractal del mundo? Ahora, por supuesto, existe una gran brecha entre la teoría general de la relatividad, que explica el surgimiento de nuestro universo y su estructura, y las matemáticas fractales. ¿Pero quién sabe? Quizás todo esto algún día sea llevado a un "denominador común", y miraremos el espacio que nos rodea con ojos completamente diferentes.

A cuestiones prácticas

Se pueden citar muchos ejemplos de este tipo. Pero volvamos a cosas más prosaicas. Tomemos, por ejemplo, la economía. Parecería, y aquí los fractales. Resulta que mucho. Un ejemplo de esto son las bolsas de valores.

La práctica muestra que los procesos económicos suelen ser caóticos e impredecibles. Los modelos matemáticos que existían hasta hoy, que intentaban describir estos procesos, no tenían en cuenta un factor muy importante: la capacidad del mercado para autoorganizarse.

Aquí es donde viene al rescate la teoría de los fractales, que tienen propiedades de "autoorganización", reproduciéndose a sí mismos a nivel de diferentes escalas. Por supuesto, un fractal es un objeto puramente matemático. Y en la naturaleza, y en la economía, no existen. Pero hay un concepto de fenómenos fractales. Son fractales sólo en un sentido estadístico. No obstante, la simbiosis de la matemática fractal y la estadística permite obtener pronósticos suficientemente precisos y adecuados. Este enfoque es especialmente efectivo en el análisis de los mercados bursátiles. Y estas no son "nociones" de matemáticos. Los datos de expertos muestran que muchos participantes en los mercados bursátiles gastan mucho dinero para pagar especialistas en el campo de las matemáticas fractales.

¿Qué aporta la teoría de los fractales? Postula una dependencia general y global de la fijación de precios de lo que sucedió en el pasado. Por supuesto, localmente el proceso de fijación de precios es aleatorio. Pero los saltos y caídas aleatorias de los precios, que pueden ocurrir momentáneamente, tienen la particularidad de agruparse en racimos. Que se reproducen a gran escala de tiempo. Por lo tanto, al analizar lo que fue una vez, podemos predecir cuánto durará esta o aquella tendencia de desarrollo del mercado (crecimiento o caída).

Así, a escala global, tal o cual mercado se "reproduce" a sí mismo. Asumiendo fluctuaciones aleatorias provocadas por una masa de factores externos en cada momento particular del tiempo. Pero las tendencias globales persisten.

Conclusión

¿Por qué el mundo está ordenado según el principio fractal? La respuesta, quizás, es que los fractales, como modelo matemático, tienen la propiedad de autoorganización y autosemejanza. Al mismo tiempo, cada una de sus formas (ver las imágenes que se dan al principio del artículo) es arbitrariamente compleja, pero vive su propia vida, desarrollando formas similares a sí misma. ¿No es así como funciona nuestro mundo?

Y aquí está la sociedad. Surge alguna idea. Bastante abstracto al principio. Y luego "penetra en las masas". Sí, cambia de alguna manera. Pero en general se conserva. Y se convierte al nivel de la mayoría de las personas en una designación de meta del camino de la vida. Aquí está la misma URSS. El próximo congreso del PCUS adoptó las próximas decisiones históricas y todo fue cuesta abajo. En una escala más pequeña. Comités de ciudad, comités de partido. Y así sucesivamente para cada persona. estructura repetitiva.

Por supuesto, la teoría fractal no nos permite predecir eventos futuros. Y esto es casi imposible. Pero mucho de lo que nos rodea, y lo que sucede en nuestra vida diaria, nos permite mirar con ojos completamente diferentes. Consciente.

Encontré una mención de la "Teoría de los Fractales" en la serie de televisión "Jeremiah" y me interesé en esta teoría bastante elegante, que los metafísicos modernos usan para probar la existencia de Dios. La teoría de los fractales tiene una edad muy joven. Apareció a finales de los sesenta en la intersección de las matemáticas, la informática, la lingüística y la biología. En ese momento, las computadoras estaban penetrando cada vez más en la vida de las personas, los científicos comenzaron a usarlas en sus investigaciones y el número de usuarios de computadoras estaba creciendo. Para el uso masivo de las computadoras, se hizo necesario facilitar el proceso de comunicación entre una persona y una máquina. Si al comienzo de la era de la computadora, algunos programadores de usuarios ingresaron desinteresadamente comandos en códigos de máquina y recibieron resultados en forma de interminables cintas de papel, luego con el modo masivo y cargado de usar computadoras, se hizo necesario inventar una programación. lenguaje que sería comprensible para una máquina y, al mismo tiempo, sería fácil de aprender y usar. Es decir, el usuario necesitaría ingresar solo un comando, y la computadora lo descompondría en otros más simples y ya los ejecutaría. Para facilitar la escritura de los traductores, surgió la teoría de los fractales en la intersección de la informática y la lingüística, que permite especificar estrictamente la relación entre los lenguajes algorítmicos. Y el matemático y biólogo danés A. Lindenmeer ideó una de esas gramáticas en 1968, a la que llamó sistema L, que, según él, también modela el crecimiento de los organismos vivos, en particular la formación de arbustos y ramas en las plantas.

Un fractal (lat. fractus - aplastado, roto, roto) es una figura geométrica compleja que tiene la propiedad de la autosimilitud, es decir, se compone de varias partes, cada una de las cuales es similar a la figura completa como un todo. En un sentido más amplio, los fractales se entienden como conjuntos de puntos en el espacio euclidiano que tienen una dimensión métrica fraccionaria (en el sentido de Minkowski o Hausdorff), o una dimensión métrica estrictamente mayor que la topológica. Una forma fractal de la subespecie de coliflor (Brassica cauliflora). Un fractal es una figura geométrica infinitamente similar a sí misma, cada fragmento de la cual se repite cuando se aleja.

Benoit Mandelbrot puede considerarse legítimamente el padre de los fractales. Mandelbrot es el inventor del término "fractal". Mandelbrot
escribió: “Yo acuñé la palabra “fractal”, tomando como base el adjetivo latino “fractus”, que significa irregular, recursivo,
fragmentario. La primera definición de fractales también la dio B. Mandelbrot. La figura muestra solo el modelo fractal clásico: el conjunto de Mandelbrot.

Hablando primitivamente, la teoría fractal es la capacidad de las estructuras caóticas para autoorganizarse en un sistema. Un atractor es un conjunto de estados (más precisamente, puntos del espacio de fase) de un sistema dinámico, al que tiende a lo largo del tiempo. Las variantes más simples del atractor son un punto fijo atractivo (por ejemplo, en el problema de un péndulo con fricción) y una trayectoria periódica (un ejemplo son las oscilaciones autoexcitadas en un circuito de retroalimentación positiva), pero también hay mucho más complejas. ejemplos Algunos sistemas dinámicos son siempre caóticos, pero en la mayoría de los casos se observa un comportamiento caótico solo cuando los parámetros del sistema dinámico pertenecen a algún subespacio especial.

Los más interesantes son los casos de comportamiento caótico, cuando un gran conjunto de condiciones iniciales conduce a un cambio en las órbitas del atractor. Una manera fácil de demostrar un atractor caótico es comenzar desde un punto en la región de atracción del atractor y luego trazar su órbita posterior. Debido al estado de transitividad topológica, esto es similar a mapear la imagen de un atractor finito completo. Por ejemplo, en un sistema que describe un péndulo, el espacio es bidimensional y consta de datos de posición y velocidad. Puede trazar las posiciones del péndulo y su velocidad. La posición del péndulo en reposo será un punto y un período de oscilación se verá como una simple curva cerrada en el gráfico. Un gráfico en forma de curva cerrada se llama órbita. El péndulo tiene un número infinito de tales órbitas, formando en apariencia una colección de elipses anidadas.

La mayoría de los tipos de movimiento se describen mediante atractores simples, que son ciclos acotados. El movimiento caótico se describe mediante atractores extraños, que son muy complejos y tienen muchos parámetros. Por ejemplo, un sistema meteorológico tridimensional simple es descrito por el famoso atractor de Lorenz, uno de los diagramas más famosos de sistemas caóticos, no solo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos. Otro de esos atractivos es el mapa de Rössler, que tiene un doble período, similar al mapa logístico. Los atractores extraños aparecen en ambos sistemas, tanto en sistemas dinámicos continuos (como el sistema de Lorentz) como en algunos discretos (por ejemplo, mapas de Hénon). Algunos sistemas dinámicos discretos se denominan sistemas de Julia por su origen. Tanto los atractores extraños como los sistemas de Julia tienen una estructura fractal recursiva típica. El teorema de Poincaré-Bendixson demuestra que un atractor extraño puede surgir en un sistema dinámico continuo solo si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, esta limitación no funciona para sistemas dinámicos discretos. Los sistemas discretos bidimensionales e incluso unidimensionales pueden tener atractores extraños. El movimiento de tres o más cuerpos que experimentan atracción gravitacional bajo ciertas condiciones iniciales puede resultar un movimiento caótico.

Entonces, la propiedad de los sistemas caóticos de autoorganizarse con la ayuda de atractores irregulares, según algunos matemáticos, es una prueba indemostrable de la existencia de Dios y Su energía de creación de todas las cosas. ¡Misterio!