Para determinar la posición de un punto en un plano, puede usar coordenadas polares [g, (pag), donde GRAMO es la distancia del punto al origen, y (R- el ángulo que forma el radio - el vector de este punto con la dirección positiva del eje Oh. Dirección positiva del cambio de ángulo (R Se considera el sentido contrario a las agujas del reloj. Usando la relación entre coordenadas cartesianas y polares: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (p,

obtenemos la forma trigonométrica del número complejo

z - r(sin (p + i sin

donde GRAMO

Xi + y2, (p es el argumento de un número complejo, que se encuentra a partir de

l X . yy

fórmulas porque(p --, sin^9 ​​= - o por el hecho de que tg(p --, (p-arctg

Tenga en cuenta que al elegir los valores casarse de la última ecuación, es necesario tener en cuenta los signos X y Y.

Ejemplo 47 Escribir a forma trigonométrica Número complejo 2 \u003d -1 + l / Z / .

Solución. Encuentre el módulo y el argumento del número complejo:

= yj 1 + 3 = 2 . Inyección casarse encontrar a partir de las relaciones porque(p = -, pecado(p = - . Luego

obtenemos cos(p = -,buup

u/z g~

• - -. Obviamente, el punto z = -1 + V3-/ es
• 2 para 3

en el segundo trimestre: (R= 120°

Sustituyendo

2k. aporrear; pecado

en la fórmula (1) se encontró 27G L

Comentario. El argumento de un número complejo no está definido unívocamente, sino hasta un término que es múltiplo de 2p. Luego a través cn^r designado

valor del argumento encerrado dentro (pag 0 %2 Luego

A) ^ r = + 2kk.

Utilizando la conocida fórmula de Euler e, obtenemos la forma exponencial del número complejo.

Tenemos r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Operaciones con números complejos

• 1. La suma de dos números complejos r, = X] + yx/ y r 2 - x 2 + y 2 / se determina según la fórmula r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)'g
• 2. La operación de resta de números complejos se define como la operación inversa a la suma. Número complejo g \u003d g x - g 2, si g 2 + g \u003d g x,

es la diferencia de los números complejos 2, y g 2 . Entonces r = (x, - x2) + (y, - en 2) /.

• 3. Producto de dos números complejos g x= x, +y, -z y 2 2 = x2+ U2‘g está determinada por la fórmula
• *1*2 =(* +u"0(X2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + xY2 " * + En1 En2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

En particular, aaa\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Puede obtener las fórmulas de multiplicación de números complejos en forma exponencial y trigonométrica. Tenemos:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Ã 2 e > = Ã]Ã 2 cOs((P + cp 2) + iseno
• 4. La división de números complejos se define como la operación inversa

multiplicación, es decir número GRAMO-- se llama el cociente de la división de r! en g 2,

si rx-1 2 ? 2 . Luego

X + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x2 + ІУ2 ( 2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x2 + /y, x2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x2 + y2

1 mi

yo(rg

• - 1U y "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. Es mejor elevar un número complejo a una potencia entera positiva si el número se escribe en forma exponencial o trigonométrica.

De hecho, si z = ge 1 entonces

=(ge,) = r p e t = GRAMO"(co8 psr + it gcr).

fórmula g" =r n (cosn(p+is n(p) se llama fórmula de De Moivre.

6. Extrayendo la raíz PAGS- La potencia de un número complejo se define como la operación inversa de la exponenciación p, p- 1,2,3,... es decir número complejo = y[g llamado la raíz PAGS- grado de un numero complejo

si GRAMO = g x. De esta definición se sigue que g - g ", pero g x= l/g. (p-psr x, pero Sr^-sr/n, que se deriva de la fórmula de Moivre escrita para el número = r/*+ ippp(pag).

Como se señaló anteriormente, el argumento de un número complejo no está definido de manera única, sino hasta un término que es un múltiplo de 2 bien. Es por eso = (p + 2pc, y el argumento del número r, dependiendo de para, denotar (pag a y abucheo

dem calcular por fórmula (pag a= - + . Está claro que hay PAGS com-

números complejos, PAGS cuya potencia es igual al número 2. Estos números tienen uno

y el mismo módulo, igual a tu, y los argumentos de estos números se obtienen por para = 0, 1, PAGS - 1. Así, en forma trigonométrica, la raíz i-ésimo grado calculado por la fórmula:

(pag + 2kp . . cf + 2kp

, para = 0, 1, 77-1,

.(r+2kg

y en forma exponencial - según la fórmula l[r - y[ge n

Ejemplo 48. Realizar operaciones con números complejos en forma algebraica:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

Ejemplo 49. Eleve el número r \u003d Uz - / a la quinta potencia.

Solución. Obtenemos la forma trigonométrica de escribir el número r.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (regular

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'ç+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

De aquí sobre--, pero r = 2

Moivre obtenemos: i-2

/ ^ _ 7r, . ?GRAMO

• -NOSOTROS-- IBIP -

• --B/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Ejemplo 50 Encuentra todos los valores

Solución, r = 2, a casarse encontrar de la ecuacion tímido(p = -, zt--.

Este punto 1 - /d/z está en el cuarto cuarto, es decir f =--. Luego

• 1 - 2
• ( ( UG L

Los valores de la raíz se encuentran a partir de la expresión

V1 - /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 k
• 3 . . 3

С08--1- y 81П-

En para - 0 tenemos 2 0 = l/2

Puede encontrar los valores de la raíz del número 2 presentando el número en la pantalla

-* PARA/ 3 + 2 clase

En para= 1 tenemos un valor raíz más:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . h

7G . . 7G L-C05- + 181P- 6 6

• --NORTE-

¿con? - 7G + / 5Sh - Yo "

l/3__t_

forma corporal. Porque r= 2, un casarse= , entonces r = 2å 3 , y y[g = y/2e 2

Acciones sobre números complejos escritos en forma algebraica

La forma algebraica del número complejo z =(a,B) se llama expresión algebraica de la forma

z = a + bi.

Operaciones aritméticas con números complejos z 1 = un 1 +b 1 I Y z 2 = un 2 +b 2 I, escritos en forma algebraica, se realizan de la siguiente manera.

1. Suma (diferencia) de números complejos

z 1 ±z 2 = (a 1 ± un 2) + (B 1 ±b 2)∙yo,

esos. la suma (resta) se lleva a cabo de acuerdo con la regla de suma de polinomios con reducción de términos similares.

2. Producto de números complejos

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -B 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + un 2 ∙b 1)∙yo,

esos. la multiplicación se realiza de acuerdo con la regla habitual para la multiplicación de polinomios, teniendo en cuenta el hecho de que I 2 = 1.

3. La división de dos números complejos se realiza según la siguiente regla:

, (z 2 ≠ 0),

esos. la división se realiza multiplicando el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor.

La exponenciación de números complejos se define de la siguiente manera:

Es fácil demostrar que

Ejemplos.

1. Encuentra la suma de números complejos z 1 = 2 – I Y z 2 = – 4 + 3I.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙yo)+ (–4 + 3I) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) I = –2+2I.

2. Encuentra el producto de números complejos z 1 = 2 – 3I Y z 2 = –4 + 5I.

= (2 – 3I) ∙ (–4 + 5I) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3I)+ 2∙5I– 3yo∙ 5yo = 7+22I.

3. Encuentra privado z de la división z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – I.

z= .

4. Resuelve la ecuación:, X Y y Î R.

(2x+y) + (x+y)yo = 2 + 3I.

En virtud de la igualdad de los números complejos, tenemos:

donde x=–1 , y= 4.

5. Calcula: I 2 ,I 3 ,I 4 ,I 5 ,I 6 ,I -1 , I -2 .

6. Calcula si .

.

7. Calcula el recíproco de un número z=3-I.

Números complejos en forma trigonométrica

plano complejo se llama un plano con coordenadas cartesianas ( x, y), si cada punto con coordenadas ( un, b) se le asigna un número complejo z = a + bi. En este caso, el eje de abscisas se llama eje real, y el eje y es imaginario. Entonces todo número complejo a+bi representado geométricamente en un plano como un punto un (un, b) o vectoriales .

Por lo tanto, la posición del punto PERO(y por lo tanto el número complejo z) se puede establecer por la longitud del vector | | = r y ángulo j formado por el vector | | con la dirección positiva del eje real. La longitud de un vector se llama módulo de número complejo y se denota por | z|=r, y el ángulo j llamado argumento de número complejo y denotado j = argumento.

Está claro que | z| ³ 0 y | z | = 0 Û z= 0.

De la fig. 2 muestra que .

El argumento de un número complejo se define de forma ambigua, y hasta 2 paquete, kÎ Z.

De la fig. 2 también muestra que si z=a+bi Y j=argumento, luego

porque j =, pecado j =, tg j = .

Si zОR Y z > 0 entonces argumento = 0 +2paquete;

si z ОR Y z< 0 entonces argumentoz = p + 2paquete;

si z= 0,argumento no determinado.

El valor principal del argumento se determina en el intervalo 0 £argz£ 2 pags,

o -pags£ argumento z £ p.

Ejemplos:

1. Encuentra el módulo de números complejos z 1 = 4 – 3I Y z 2 = –2–2I.

2. Determine en el plano complejo las áreas especificadas por las condiciones:

1) | z | = 5; 2) | z| £ 6; 3) | z – (2+I) | £ 3; 4) 6 £ | z – I| £ 7.

Soluciones y respuestas:

1) | z| = 5 Û Û es la ecuación de una circunferencia de radio 5 y centrada en el origen.

2) Circunferencia de radio 6 con centro en el origen.

3) Circunferencia de radio 3 con centro en un punto z0 = 2 + I.

4) Un anillo delimitado por círculos con radios 6 y 7 centrados en un punto z 0 = I.

3. Encuentra el módulo y el argumento de los números: 1) ; 2).

1) ; pero = 1, B = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2I; un =–2, b=-2Þ ,

.

Nota: Al definir el argumento principal, utilice el plano complejo.

De este modo: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

Conferencia

Forma trigonométrica de un número complejo

Plan

1.Representación geométrica de números complejos.

2.Notación trigonométrica de números complejos.

3. Acciones sobre números complejos en forma trigonométrica.

Representación geométrica de números complejos.

a) Los números complejos se representan por puntos del plano según la siguiente regla: a + bi = METRO ( a ; B ) (Figura 1).

Foto 1

b) Un número complejo se puede representar como un vector que comienza en el puntoSOBRE y terminar en un punto dado (Fig. 2).

Figura 2

Ejemplo 7. Grafica puntos que representan números complejos:1; - I ; - 1 + I ; 2 – 3 I (Fig. 3).

figura 3

Notación trigonométrica de números complejos.

Número complejoz = a + bi se puede configurar usando el radio - vector con coordenadas( a ; B ) (Figura 4).

Figura 4

Definición . Longitud vectorial representando el número complejoz , se llama el módulo de este número y se denota or .

Para cualquier número complejoz su modulor = | z | está determinada únicamente por la fórmula .

Definición . El valor del ángulo entre la dirección positiva del eje real y el vector que representa un número complejo se llama el argumento de este número complejo y se denotaPERO rg z oφ .

Argumento de número complejoz = 0 no determinado. Argumento de número complejoz≠ 0 es una cantidad de varios valores y se determina hasta el término2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Argentina z = argumento z + 2πk , dondeargumento z - el valor principal del argumento, encerrado en el intervalo(-π; π] , es decir-π < argumento z ≤ π (a veces el valor perteneciente al intervalo se toma como valor principal del argumento .

Esta fórmula parar =1 a menudo denominada fórmula de De Moivre:

(cos φ + i sen φ) norte = cos (nφ) + i sen (nφ), n  N .

Ejemplo 11 Calcular(1 + I ) 100 .

Escribamos un número complejo1 + I en forma trigonométrica.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sen φ = , φ = .

(1+yo) 100 = [ (porque + yo peco )] 100 = ( ) 100 (porque 100 + peco 100) = = 2 50 (cos 25π + i sen 25π) = 2 50 (cos π + yo sen π) = - 2 50 .

4) Extracción raíz cuadrada de un número complejo.

Al sacar la raíz cuadrada de un número complejoa + bi tenemos dos casos:

siB > sobre , luego ;

3.1. Coordenadas polares

A menudo se usa en el avión. sistema de coordenadas polares . Se define si se da un punto O, llamado polo, y un rayo que emana del polo (para nosotros, este es el eje Ox) es el eje polar. La posición del punto M está fijada por dos números: radio (o radio vector) y el ángulo φ entre el eje polar y el vector . El ángulo φ se llama ángulo polar; Se mide en radianes y se cuenta en sentido antihorario desde el eje polar.

La posición de un punto en el sistema de coordenadas polares viene dada por un par ordenado de números (r; φ). en el polo r = 0 y φ no está definido. Para todos los demás puntos r > 0 y φ se define hasta un múltiplo de 2π. En este caso, a los pares de números (r; φ) y (r 1 ; φ 1) se les asigna el mismo punto si .

Para un sistema de coordenadas rectangulares xOy las coordenadas cartesianas de un punto se expresan fácilmente en términos de sus coordenadas polares de la siguiente manera:

3.2. Interpretación geométrica de un número complejo

Considere en el plano el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares xOy.

A cualquier número complejo z=(a, b) se le asigna un punto del plano de coordenadas ( x, y), donde coordenada x = a, es decir la parte real del número complejo, y la coordenada y = bi es la parte imaginaria.

Un plano cuyos puntos son números complejos es un plano complejo.

En la figura, el número complejo z = (a, b) punto decisivo M(x, y).

La tarea.Dibuja números complejos en el plano de coordenadas:

3.3. Forma trigonométrica de un número complejo

Un número complejo en el plano tiene las coordenadas de un punto M(x; y). Donde:

Escribir un número complejo - Forma trigonométrica de un número complejo.

El número r se llama módulo Número complejo z y se denota. El módulo es un número real no negativo. Para .

El módulo es cero si y sólo si z = 0, es decir a=b=0.

El número φ se llama argumento z y denotado. El argumento z se define de forma ambigua, como el ángulo polar en el sistema de coordenadas polares, es decir, hasta un múltiplo de 2π.

Entonces aceptamos: , donde φ es valor más pequeño argumento. Es obvio que

.

Con un estudio más profundo del tema, se introduce un argumento auxiliar φ*, tal que

Ejemplo 1. Encuentra la forma trigonométrica de un número complejo.

Solución. 1) consideramos el módulo: ;

2) buscando φ: ;

3) forma trigonométrica:

Ejemplo 2 Encuentra la forma algebraica de un número complejo .

Aquí basta con sustituir los valores funciones trigonométricas y transformamos la expresión:

Ejemplo 3 Encuentra el módulo y el argumento de un número complejo;

1) ;

2); φ - en 4 cuartos:

3.4. Operaciones con números complejos en forma trigonométrica

· Adición y sustracción es más conveniente actuar con números complejos en forma algebraica:

· Multiplicación- con sencillo transformaciones trigonométricas se puede demostrar que al multiplicar, se multiplican los módulos de números, y se suman los argumentos: ;