Fórmulas de transformación para funciones trigonométricas. Fórmulas de trigonometría básica

Hay muchas fórmulas en trigonometría.

Es muy difícil memorizarlos mecánicamente, casi imposible. En el aula, muchos escolares y estudiantes utilizan impresiones en las guardas de los libros de texto y cuadernos, carteles en las paredes, cunas y, por último. ¿Y el examen?

Sin embargo, si observa más de cerca estas fórmulas, encontrará que todas están interconectadas y tienen una cierta simetría. Analicémoslos en términos de definiciones y propiedades. funciones trigonométricas para determinar el mínimo que realmente vale la pena memorizar.

Grupo I. Identidades básicas

sen 2 α + cos 2 α = 1;

tgα = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;

tgα · ctgα = 1;

1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α = _____ 1 pecado 2 α.

Este grupo contiene las fórmulas más simples y populares. La mayoría de los estudiantes los conocen. Pero si todavía hay dificultades, entonces para recordar las tres primeras fórmulas, imagínese mentalmente triángulo rectángulo con una hipotenusa igual a uno. Entonces sus piernas serán iguales, respectivamente, sinα por definición de seno (la razón entre la pierna opuesta y la hipotenusa) y cosα por la definición de coseno (la razón entre la pierna adyacente y la hipotenusa).

La primera fórmula es el teorema de Pitágoras para tal triángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa (1 2 = 1), la segunda y la tercera son las definiciones de la tangente (la razón de la pierna opuesta a la adyacente) y la cotangente (la relación entre la pierna adyacente y la opuesta).
El producto de la tangente y la cotangente es 1 porque la cotangente escrita como una fracción (fórmula tres) es una tangente invertida (fórmula dos). Esta última consideración, por cierto, permite excluir del número de fórmulas que deben memorizarse todas las fórmulas largas posteriores con cotangente. Si en alguno tarea difícil Encontrará ctgα, solo reemplácelo con una fracción ___ 1 tgα y usa las fórmulas para la tangente.

Las dos últimas fórmulas no necesitan memorizarse simbólicamente. Son menos comunes. Y si es necesario, siempre puede volver a imprimirlos en un borrador. Para ello, basta con sustituir en lugar de la tangente o contagente de sus definiciones por una fracción (fórmulas segunda y tercera, respectivamente) y reducir la expresión a común denominador... Pero es importante recordar que existen fórmulas que conectan los cuadrados de la tangente y el coseno, y los cuadrados de la cotangente y el seno. De lo contrario, es posible que no adivine qué transformaciones se necesitan para resolver un problema en particular.

Grupo II. Fórmulas de suma

sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) = tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ;

tg (α - β) =

Recuerde las propiedades de paridad par / impar de las funciones trigonométricas:

sin (−α) = - sin (α); cos (−α) = cos (α); tg (−α) = - tg (α).

De todas las funciones trigonométricas, solo el coseno es una función par y no cambia su signo cuando cambia el signo del argumento (ángulo), el resto de las funciones son impares. La rareza de la función, de hecho, significa que el signo menos puede introducirse y eliminarse fuera del signo de la función. Por lo tanto, si te encuentras con una expresión trigonométrica con la diferencia de dos ángulos, siempre puedes entenderla como la suma de ángulos positivos y negativos.

Por ejemplo, pecado ( X- 30º) = pecado ( X+ (−30º)).
A continuación, usamos la fórmula para la suma de dos ángulos y tratamos con los signos:
pecado ( X+ (−30º)) = pecado X· Cos (−30º) + cos X Sin (−30º) =
= pecado X· Cos30º - cos X· Sin30º.

Por lo tanto, todas las fórmulas que contienen la diferencia de ángulos simplemente se pueden omitir durante la primera memorización. Entonces vale la pena aprender a restaurarlos vista general primero en un borrador, y luego mentalmente.

Por ejemplo, tan (α - β) = tan (α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgα · tg (−β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

Esto ayudará en el futuro a adivinar rápidamente qué transformaciones deben aplicarse para resolver una tarea en particular a partir de la trigonometría.

Grupo Sh. Fórmulas de argumentos múltiples

sin2α = 2 sinα cosα;

cos2α = cos 2 α - sen 2 α;

tg2α = 2tgα _______ 1 - tg 2 α;

sin3α = 3sinα - 4sin 3α;

cos3α = 4cos3 α - 3cosα.

La necesidad de utilizar fórmulas para el seno y el coseno de un ángulo doble surge con mucha frecuencia, también para la tangente, con bastante frecuencia. Estas fórmulas deben conocerse de memoria. Además, no hay dificultades para memorizarlos. Primero, las fórmulas son breves. En segundo lugar, son fáciles de controlar según las fórmulas del grupo anterior, basadas en el hecho de que 2α = α + α.
Por ejemplo:
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α = 2sinα cosα.

Sin embargo, si aprendió rápidamente estas fórmulas, y no las anteriores, entonces puede hacer lo contrario: puede recordar la fórmula para la suma de dos ángulos usando la fórmula correspondiente para un ángulo doble.

Por ejemplo, si necesita una fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos:
1) recuerda la fórmula del coseno de un ángulo doble: cos2 X= cos 2 X- pecado 2 X;
2) lo pintamos largo: porque X + X) = cos X Porque X- pecado X Pecado X;
3) reemplaza uno NS por α, el segundo por β: cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ.

Practique de la misma manera para restaurar las fórmulas para el seno de la suma y la tangente de la suma. En casos críticos, como por ejemplo el USO, comprobar la exactitud de las fórmulas restauradas utilizando el primer trimestre conocido: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Verificando la fórmula anterior (obtenida reemplazando en la línea 3):
permitir α = 60 °, β = 30 °, α + β = 90 °,
luego cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _ / 2, sinα = sin60 ° = √3 _ / 2, senβ = sen30 ° = 1/2;
sustituir los valores en la fórmula: 0 = (1/2) ( √3_ /2) − (√3_ / 2) (1/2);
0 ≡ 0, no se encontraron errores.

Las fórmulas para un ángulo triple, en mi opinión, no necesitan estar especialmente "abarrotadas". Son bastante raros en exámenes como el examen. Se deducen fácilmente de las fórmulas anteriores, ya que sin3α = sin (2α + α). Y para aquellos estudiantes que, por alguna razón, todavía necesitan aprender estas fórmulas de memoria, les aconsejo que presten atención a su cierta "simetría" y memoricen no las fórmulas en sí mismas, sino las reglas mnemotécnicas. Por ejemplo, el orden en el que se ubican los números en las dos fórmulas "33433433", etc.

Grupo IV. Suma / diferencia - en producto

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Porque α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ = 2 sin α - β ____ 2 Porque α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2 Porque α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ = −2 sin α - β ____ 2 Pecado α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin (α + β) ________ cosα cosβ ;

tgα - tgβ = sin (α - β) ________ cosα cosβ .

Usando las propiedades impares de las funciones seno y tangente: sin (−α) = - sin (α); tg (−α) = - tg (α),
es posible reducir las fórmulas para las diferencias de dos funciones a fórmulas para sus sumas. Por ejemplo,

sin90º - sin30º = sin90º + sin (−30º) = 2 · sin 90º + (−30º) __________ 2 Porque 90º - (−30º) __________ 2 =

2 · sen30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.

Por lo tanto, las fórmulas para la diferencia de senos y tangentes no tienen que memorizarse de inmediato.
La situación con la suma y la diferencia de cosenos es más complicada. Estas fórmulas no son intercambiables. Pero nuevamente, usando la paridad del coseno, puede recordar las siguientes reglas.

La suma cosα + cosβ no puede cambiar su signo por cualquier cambio en el signo de los ángulos; por lo tanto, el producto también debe constar de funciones pares, es decir dos cosenos.

El signo de la diferencia cosα - cosβ depende de los valores de las funciones mismas, lo que significa que el signo del producto debe depender de la razón de los ángulos, por lo tanto el producto debe constar de funciones impares, es decir dos senos paranasales.

Y, sin embargo, este grupo de fórmulas no es el más fácil de memorizar. Este es el caso cuando es mejor abarrotar menos, pero comprobar más. Para evitar errores en la fórmula del examen responsable, asegúrese de escribirlo primero en un borrador y verificarlo de dos maneras. Primero, por sustituciones β = α y β = −α, luego por los valores conocidos de funciones para ángulos primos. Para ello, lo mejor es tomar 90º y 30º, como se hizo en el ejemplo anterior, porque la mitad de la suma y la mitad de la diferencia de estos valores vuelven a dar ángulos simples, y se puede ver fácilmente cómo la igualdad se convierte en una identidad. para la opción correcta. O, por el contrario, no se ejecuta si cometió un error.

Ejemplo comprobando la fórmula cosα - cosβ = 2 sin α - β ____ 2 Pecado α + β ____ 2 por la diferencia de cosenos con un error !

1) Sea β = α, entonces cosα - cosα = 2 sin α - α _____ 2 Pecado α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Sea β = - α, entonces cosα - cos (- α) = 2 sin α - (−α) _______ 2 Pecado α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos (- α) = cosα - cosα ≡ 0.

Estas comprobaciones mostraron que las funciones de la fórmula se utilizaron correctamente, pero debido al hecho de que la identidad resultó ser de la forma 0 ≡ 0, se podía pasar por alto un error con un signo o un coeficiente. Hacemos la tercera verificación.

3) Sea α = 90º, β = 30º, luego cos90º - cos30º = 2 · sin 90º - 30º ________ 2 Pecado 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 = 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

El error estaba realmente en el letrero y solo en el letrero antes de la obra.

Grupo V. Producto - en suma / diferencia

sinα sinβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα cosβ = 1 _ 2 (Sin (α - β) + sin (α + β)).

El mismo nombre del quinto grupo de fórmulas sugiere que estas fórmulas son el reverso del grupo anterior. Está claro que en este caso es más fácil restaurar la fórmula en un borrador que aprenderla nuevamente, lo que aumenta el riesgo de crear un "lío en la cabeza". Lo único en lo que tiene sentido enfocarse para una recuperación más rápida de la fórmula son las siguientes igualdades (verifíquelas):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Considerar ejemplo: necesidad de convertir el producto sin5 X Cos3 X en la suma de dos funciones trigonométricas.
Dado que el producto incluye tanto el seno como el coseno, tomamos del grupo anterior la fórmula para la suma de los senos, que ya hemos aprendido, y la escribimos en un borrador.

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Porque α - β ____ 2

Deja 5 X = α + β ____ 2 y 3 X = α - β ____ 2, entonces α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5X + 3X = 8X, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5X − 3X = 2X.

Reemplazamos en la fórmula del borrador los valores de los ángulos, expresados ​​en términos de las variables α y β, por los valores de los ángulos, expresados ​​en términos de la variable X.
Obtenemos pecado8 X+ pecado2 X= 2 pecado5 X Cos3 X

Dividimos ambas partes de la igualdad entre 2 y lo escribimos en la copia limpia de derecha a izquierda pecado5 X Cos3 X = 1 _ 2 (pecado8 X+ pecado2 X). La respuesta está lista.

Como ejercicio: Explica por qué en el libro de texto solo hay 3 fórmulas para convertir la suma / diferencia al producto de 6, y la inversa (para convertir el producto a la suma o diferencia).

VI grupo. Fórmulas de reducción de grados

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α = 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α = 3sinα - sin3α ____________ 4.

Las dos primeras fórmulas de este grupo son muy necesarias. A menudo se utilizan al resolver ecuaciones trigonométricas, incluido el nivel examen unificado, así como al calcular integrales que contienen integrandos de tipo trigonométrico.

Puede ser más fácil recordarlos en el siguiente formulario de "un piso".
2cos2α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 - cos2α,
y siempre puedes dividir por 2 en tu cabeza o en un borrador.

La necesidad de utilizar las siguientes dos fórmulas (con cubos de funciones) en los exámenes es mucho menos común. En un entorno diferente, siempre tendrá tiempo para usar el borrador. En este caso, son posibles las siguientes opciones:
1) Si recuerda las dos últimas fórmulas del grupo III, úselas para expresar sin 3 α y cos 3 α mediante transformaciones simples.
2) Si en las dos últimas fórmulas de este grupo notas elementos de simetría que contribuyen a su memorización, entonces escribe los "bocetos" de las fórmulas en el borrador y compruébalos por los valores de los ángulos principales.
3) Si, además de que existen tales fórmulas para bajar el grado, no sabe nada sobre ellas, entonces resuelva el problema por etapas, partiendo del hecho de que sin 3 α = sin 2 α · sinα y otros aprendidos fórmulas. Se requerirán fórmulas de reducción de grados para un cuadrado y una fórmula para convertir un producto en una suma.

VII grupo. Medio argumento

pecado α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2; _____

porque α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2; _____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____

No veo ningún sentido en memorizar este grupo de fórmulas en la forma en que se presentan en los libros de texto y los libros de referencia. Si entiendes eso α es la mitad de 2α, entonces esto es suficiente para deducir rápidamente la fórmula deseada medio argumento, basado en las dos primeras fórmulas para disminuir el grado.

Esto también se aplica a la tangente de la mitad del ángulo, cuya fórmula se obtiene dividiendo la expresión del seno por la expresión del coseno correspondiente.

No te olvides solo al recuperar raíz cuadrada poner una señal ± .

Grupo VIII. Sustitución universal

sinα = 2tg (α / 2) _________ 1 + tan 2 (α / 2);

cosα = 1 - tan 2 (α / 2) __________ 1 + tan 2 (α / 2);

tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

Estas fórmulas pueden resultar extremadamente útiles para resolver problemas trigonométricos de todo tipo. Permiten implementar el principio de "un argumento, una función", lo que le permite realizar cambios de variables que reducen expresiones trigonométricas complejas a expresiones algebraicas. No en vano, esta sustitución se denomina universal.
Debemos aprender las dos primeras fórmulas. El tercero se puede obtener dividiendo los dos primeros entre sí según la definición de la tangente tgα = sinα ___ cosα

Grupo IX. Fórmulas de casting.

Para lidiar con este grupo de fórmulas trigonométricas, pase

Grupo X Valores para ángulos mayores.

Se dan los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos principales del primer trimestre.

Asi lo hacemos producción: Es necesario conocer las fórmulas de trigonometría. Cuanto más grande, mejor. Pero en qué dedicar su tiempo y esfuerzos: memorizar fórmulas o recuperarlas en el proceso de resolución de problemas, todos deben decidir por su cuenta.

Un ejemplo de una tarea para usar fórmulas de trigonometría

Resuelve la ecuación pecado5 X Cos3 X- pecado8 X Cos6 X = 0.

Tenemos dos diferentes funciones de pecado() y cos () y cuatro! diferentes argumentos 5 X, 3X, 8X y 6 X... Sin transformaciones preliminares, no funcionará reducir a los tipos más simples de ecuaciones trigonométricas. Por lo tanto, primero intentamos reemplazar los productos con las sumas o diferencias de funciones.
Hacemos esto de la misma manera que en el ejemplo anterior (ver sección).

pecado (5 X + 3X) + pecado (5 X − 3X) = 2 sin5 X Cos3 X
pecado8 X+ pecado2 X= 2 pecado5 X Cos3 X

pecado (8 X + 6X) + pecado (8 X − 6X) = 2 sin8 X Cos6 X
pecado14 X+ pecado2 X= 2 sin8 X Cos6 X

Expresando los productos de estas igualdades, los sustituimos en la ecuación. Obtenemos:

(pecado8 X+ pecado2 X) / 2 - (pecado14 X+ pecado2 X)/2 = 0.

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2, abrimos los corchetes y damos términos similares

Sin8 X+ pecado2 X- pecado14 X- pecado2 X = 0;
pecado8 X- pecado14 X = 0.

La ecuación se ha vuelto mucho más simple, pero resuélvala así sin8 X= pecado14 X, por lo tanto 8 X = 14X+ T, donde T es el período, es incorrecto, ya que no conocemos el significado de este período. Por tanto, utilizaremos el hecho de que hay 0 en el lado derecho de la igualdad, con lo que es fácil comparar los factores en cualquier expresión.
Para expandir sin8 X- pecado14 X por factores, es necesario pasar de la diferencia al producto. Para hacer esto, puede usar la fórmula para la diferencia de senos, o nuevamente la fórmula para la suma de senos y la rareza de la función seno (vea el ejemplo en la sección).

pecado8 X- pecado14 X= sin8 X+ pecado (−14 X) = 2 pecado 8X + (−14X) __________ 2 Porque 8X − (−14X) __________ 2 = pecado (−3 X) Porque11 X= −sin3 X Porque11 X.

Entonces la ecuación sin8 X- pecado14 X= 0 es equivalente a la ecuación sin3 X Porque11 X= 0, que, a su vez, equivale a la combinación de las dos ecuaciones más simples sin3 X= 0 y cos11 X= 0. Resolviendo este último, obtenemos dos series de respuestas
X 1 = π norte/3, norteϵZ
X 2 = π / 22 + π k/11, kϵZ

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Ejecutando para todos los valores de los argumentos (del ámbito común).

Fórmulas de sustitución universal.

Con estas fórmulas, es fácil que cualquier expresión que contenga varias funciones trigonométricas de un argumento se convierta en una expresión racional de una función. tg (α / 2):

Fórmulas para convertir sumas en productos y productos en sumas.

Anteriormente, estas fórmulas se usaban para simplificar los cálculos. Calculado mediante tablas logarítmicas y, posteriormente, regla de cálculo, ya que los logaritmos son los más adecuados para multiplicar números. Es por eso que cada expresión inicial se redujo a una forma que sería conveniente para tomar el logaritmo, es decir, a productos, por ejemplo:

2 pecado α pecado B = porque (α - B) - porque (α + B);

2 porque α porque B = porque (α - B) + porque (α + B);

2 pecado α porque B = pecado (α - B) + pecado (α + B).

donde es el ángulo para el cual, en particular,

Las fórmulas para las funciones tangente y cotangente se derivan fácilmente de lo anterior.

Fórmulas de reducción de grados.

sen 2 α = (1 - cos 2α) / 2;	cos 2 \ alpha = (1 + cos 2 \ alpha) / 2;
pecado 3α = (3 pecadoα - pecado 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Usando estas fórmulas ecuaciones trigonométricas se reducen fácilmente a ecuaciones con más grados bajos... Las fórmulas de reducción se derivan de la misma manera para más grados altos pecado y porque.

Expresión de funciones trigonométricas en términos de una de ellas del mismo argumento.

El signo delante de la raíz depende del cuarto del ángulo. α .

Para resolver algunos problemas, será útil una tabla de identidades trigonométricas, lo que facilitará mucho la realización de transformaciones de funciones:

Identidades trigonométricas más simples

El cociente de dividir el seno del ángulo alfa por el coseno del mismo ángulo es igual a la tangente de este ángulo (Fórmula 1). Véase también la prueba de la corrección de la transformación de las identidades trigonométricas más simples.
El cociente de dividir el coseno del ángulo alfa por el seno del mismo ángulo es igual a la cotangente del mismo ángulo (Fórmula 2)
Ángulo secante es igual a uno dividido por el coseno del mismo ángulo (Fórmula 3)
La suma de los cuadrados del seno y el coseno del mismo ángulo es igual a uno (Fórmula 4). vea también la prueba de la suma de cuadrados de coseno y seno.
La suma de la unidad y la tangente de un ángulo es igual a la razón de la unidad al cuadrado del coseno de este ángulo (Fórmula 5)
La unidad más la cotangente del ángulo es igual al cociente de dividir uno por el seno al cuadrado de este ángulo (Fórmula 6)
El producto de la tangente y la cotangente del mismo ángulo es igual a uno (Fórmula 7).

Convertir ángulos negativos de funciones trigonométricas (pares e impares)

Para deshacerse del valor negativo de la medida en grados del ángulo al calcular el seno, el coseno o la tangente, puede usar las siguientes transformaciones trigonométricas (identidades) basadas en los principios de uniformidad o rareza de las funciones trigonométricas.

Como se vio, coseno y la secante es incluso función, seno, tangente y cotangente son funciones impares.

El seno de un ángulo negativo es igual al seno negativo de ese mismo ángulo positivo (menos seno alfa).
El coseno "menos alfa" dará el mismo valor que el coseno del ángulo alfa.
La tangente menos alfa es igual a la menos tangente alfa.

Fórmulas de reducción de doble ángulo (seno, coseno, tangente y cotangente de doble ángulo)

Si necesita dividir el ángulo por la mitad, o viceversa, pasar de un ángulo doble a un ángulo único, puede usar las siguientes identidades trigonométricas:

Conversión de doble ángulo (seno de doble ángulo, coseno de doble ángulo y tangente de doble ángulo) a single ocurre de acuerdo con las siguientes reglas:

Seno de doble ángulo igual al doble del producto de seno y coseno de un solo ángulo

Coseno de un doble ángulo es igual a la diferencia entre el cuadrado del coseno de un solo ángulo y el cuadrado del seno de este ángulo

Coseno de un doble ángulo igual al doble del cuadrado del coseno de un solo ángulo menos uno

Coseno de un doble ángulo igual a uno menos doble seno cuadrado de un solo ángulo

Tangente de doble ángulo es igual a una fracción, cuyo numerador es la doble tangente de un solo ángulo, y el denominador es igual a uno menos la tangente del cuadrado de un solo ángulo.

Cotangente de doble ángulo es igual a una fracción, cuyo numerador es el cuadrado de la cotangente de un solo ángulo menos uno, y el denominador es igual al doble de la cotangente de un solo ángulo

Fórmulas de sustitución trigonométricas universales

Las fórmulas de conversión a continuación pueden ser útiles cuando necesita dividir el argumento de una función trigonométrica (sin α, cos α, tan α) por dos y reducir la expresión a la mitad del ángulo. Del valor de α obtenemos α / 2.

Estas fórmulas se llaman fórmulas de sustitución trigonométricas universales... Su valor radica en el hecho de que la expresión trigonométrica con su ayuda se reduce a la expresión de la tangente de medio ángulo, independientemente de qué funciones trigonométricas ( pecado porque tg ctg) estaban en la expresión originalmente. Después de eso, la ecuación con la tangente de la mitad del ángulo es mucho más fácil de resolver.

Transformaciones trigonométricas de medio ángulo

Las siguientes fórmulas para la conversión trigonométrica de medio ángulo a un valor entero.
El valor del argumento de la función trigonométrica α / 2 se reduce al valor del argumento de la función trigonométrica α.

Fórmulas trigonométricas para sumar ángulos

cos (α - β) = cos α cos β + sen α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangente y cotangente de la suma de ángulos alfa y beta se pueden convertir de acuerdo con las siguientes reglas de conversión de funciones trigonométricas:

Tangente de la suma de ángulos es igual a una fracción, cuyo numerador es la suma de la tangente del primer ángulo y la tangente del segundo ángulo, y el denominador es uno menos el producto de la tangente del primer ángulo y la tangente del segundo ángulo .

Diferencia de ángulo tangente es igual a una fracción, cuyo numerador es igual a la diferencia entre la tangente del ángulo reducido y la tangente del ángulo restado, y el denominador es igual a uno más el producto de las tangentes de estos ángulos.

Cotangente de la suma de ángulos es igual a una fracción, cuyo numerador es igual al producto de las cotangentes de estos ángulos más uno, y el denominador es igual a la diferencia entre la cotangente del segundo ángulo y la cotangente del primer ángulo.

Cotangente de diferencia de ángulo es igual a la fracción, cuyo numerador es el producto de las cotangentes de estos ángulos menos uno, y el denominador es igual a la suma las cotangentes de estos ángulos.

Estas identidades trigonométricas son convenientes de usar cuando necesita calcular, por ejemplo, la tangente de 105 grados (tg 105). Si lo representa como tg (45 + 60), entonces puede usar las transformaciones idénticas dadas de la tangente de la suma de los ángulos, después de lo cual simplemente sustituye los valores tabulares de la tangente 45 y la tangente 60 grados.

Fórmulas de conversión de suma o diferencia para funciones trigonométricas

Las expresiones que representan una suma de la forma sin α + sin β se pueden transformar usando las siguientes fórmulas:

Fórmulas de triple ángulo: convierta sin3α cos3α tg3α en sinα cosα tgα

A veces es necesario convertir el valor triple del ángulo para que el ángulo α se convierta en el argumento de la función trigonométrica en lugar de 3α.
En este caso, puede utilizar las fórmulas de transformación de triple ángulo (identidades):

Fórmulas de transformación para el producto de funciones trigonométricas

Si es necesario transformar el producto de senos de diferentes ángulos de cosenos de diferentes ángulos, o incluso el producto de seno y coseno, entonces puede usar las siguientes identidades trigonométricas:


En este caso, el producto de las funciones seno, coseno o tangente de diferentes ángulos se convertirá a la suma o diferencia.

Fórmulas de reducción de funciones trigonométricas

Necesita usar la mesa de yeso de la siguiente manera. En la línea, seleccione la función que nos interese. La columna contiene la esquina. Por ejemplo, el seno del ángulo (α + 90) en la intersección de la primera fila y la primera columna, encontramos que sin (α + 90) = cos α.

V transformaciones idénticas expresiones trigonométricas se pueden utilizar las siguientes técnicas algebraicas: suma y resta de los mismos términos; quitando el factor común del paréntesis; multiplicación y división por la misma cantidad; aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas; selección de un cuadrado completo; factorización de un trinomio cuadrado; introducción de nuevas variables para simplificar las transformaciones.

Al convertir expresiones trigonométricas que contienen fracciones, puede usar las propiedades de proporción, reducción de fracciones o convertir fracciones a un denominador común. Además, puede utilizar la selección de la parte entera de la fracción, multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por el mismo valor, así como, si es posible, tener en cuenta la homogeneidad del numerador o denominador. Si es necesario, puede representar una fracción como la suma o diferencia de varias fracciones más simples.

Además, al aplicar todos los métodos necesarios para convertir expresiones trigonométricas, es necesario tener en cuenta constantemente la valores permitidos expresiones a convertir.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.

Calcular А = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos (2x - 7π / 2) +
+ sin (3π / 2 - x) sin (2x -5π / 2)) 2

Solución.

Se deduce de las fórmulas de reducción:

sin (2x - π) = -sin 2x; cos (3π - x) = -cos x;

sin (2x - 9π / 2) = -cos 2x; cos (x + π / 2) = -sin x;

cos (x - π / 2) = sen x; cos (2x - 7π / 2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) = -cos x; sin (2x - 5π / 2) = -cos 2x.

De donde, en virtud de las fórmulas para la suma de argumentos y la identidad trigonométrica básica, obtenemos

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Respuesta 1.

Ejemplo 2.

Convierta la expresión М = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ en un producto.

Solución.

De las fórmulas para la suma de argumentos y fórmulas para la transformación de la suma de funciones trigonométricas en un producto después de la agrupación correspondiente, tenemos

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + (β +) γ) / 2) / 2) =

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

Respuesta: М = 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

Ejemplo 3.

Muestre que la expresión A = cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) tiene el mismo significado. Encuentra este valor.

Solución.

Aquí hay dos formas de resolver este problema. Aplicando el primer método, seleccionando un cuadrado completo y usando las fórmulas trigonométricas básicas correspondientes, obtenemos

А = (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) =

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Resolviendo el problema de la segunda forma, considere A como una función de x de R y calcule su derivada. Después de las transformaciones, obtenemos

A´ = -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) =

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) =

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Por tanto, en virtud del criterio de constancia de una función diferenciable en un intervalo, concluimos que

A (x) ≡ (0) = cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 = (√3 / 2) 2 = 3/4, x € R.

Respuesta: A = 3/4 para x € R.

Los principales métodos para probar identidades trigonométricas son:

a) reduciendo el lado izquierdo de la identidad a manera correcta transformaciones apropiadas;
B) reducción del lado derecho de la identidad al izquierdo;
v) reducción de las partes derecha e izquierda de la identidad al mismo tipo;
GRAMO) reducción a cero de la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de la identidad que se está probando.

Ejemplo 4.

Compruebe que cos 3x = -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3).

Solución.

Transformando el lado derecho de esta identidad de acuerdo con las fórmulas trigonométricas correspondientes, tenemos

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) =

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

El lado derecho de la identidad se ha reducido a la izquierda.

Ejemplo 5.

Demuestre que sen 2 α + sen 2 β + sen 2 γ - 2cos α cos β cos γ = 2 si α, β, γ son ángulos interiores de algún triángulo.

Solución.

Teniendo en cuenta que α, β, γ son ángulos interiores de algún triángulo, obtenemos que

α + β + γ = π y, por tanto, γ = π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2 cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Se prueba la igualdad original.

Ejemplo 6.

Para demostrar que para que uno de los ángulos α, β, γ del triángulo sea igual a 60 °, es necesario y suficiente que sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Solución.

La condición de este problema presupone una prueba tanto de necesidad como de suficiencia.

Primero, demostremos necesitar.

Se puede demostrar que

sen 3α + sen 3β + sen 3γ = -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Por lo tanto, teniendo en cuenta que cos (3/2 60 °) = cos 90 ° = 0, encontramos que si uno de los ángulos α, β o γ es 60 °, entonces

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 y, por lo tanto, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Demos ahora adecuación la condición especificada.

Si sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, entonces cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0, y por lo tanto

ya sea cos (3α / 2) = 0, o cos (3β / 2) = 0, o cos (3γ / 2) = 0.

Por eso,

o 3α / 2 = π / 2 + πk, es decir α = π / 3 + 2πk / 3,

o 3β / 2 = π / 2 + πk, es decir β = π / 3 + 2πk / 3,

o 3γ / 2 = π / 2 + πk,

aquellos. γ = π / 3 + 2πk / 3, donde k ϵ Z.

Dado que α, β, γ son los ángulos del triángulo, tenemos

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Por lo tanto, para α = π / 3 + 2πk / 3 o β = π / 3 + 2πk / 3 o

γ = π / 3 + 2πk / 3 de todos los kϵZ solo se ajusta k = 0.

De donde se sigue que α = π / 3 = 60 °, o β = π / 3 = 60 °, o γ = π / 3 = 60 °.

La afirmación está probada.

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