El valor más pequeño es derivado. Función derivada

La función derivada es uno de los temas difíciles en programa escolar. No todos los graduados responderán a la pregunta de lo que se deriva.

Este artículo simplemente está hablando claramente sobre lo que es un derivado y por lo que necesita. No nos esforzaremos por esforzarnos por la estrictismo matemático de la presentación. Lo más importante es entender el significado.

Recordamos la definición:

El derivado es la velocidad del cambio de función.

En la imagen - Gráficos de tres funciones. ¿Qué crees que está creciendo más rápido?

La respuesta es obvia - la tercera. Ella tiene más alta velocidad Cambios, es decir, el mayor derivado.

Aquí hay otro ejemplo.

Kostya, Grisha y Matvey recibieron simultáneamente un trabajo. Veamos cómo cambian sus ingresos durante el año:

En el horario de inmediato, todo se puede ver, ¿no es así? El ingreso del hueso durante medio año ha crecido más de dos veces. Y los ingresos de Grisha también han crecido, pero bastante un poco. Y los ingresos de Matthew disminuyeron a cero. Las condiciones de inicio son las mismas, y la velocidad del cambio de función, es decir, derivado- Diferente. En cuanto a Mateo, su ingreso se deriva negativamente.

Intuitivamente, estamos evaluando fácilmente la velocidad del cambio de función. Pero, ¿cómo lo haces?

De hecho, observamos cómo se sube la gráfica de la función (o abajo). En otras palabras, qué tan rápido cambia y con un cambio en x. Obviamente, la misma característica en diferentes puntos puede tener diverso El derivado es que puede haber más rápido o más lento.

Se indica la función derivada.

Muestra cómo encontrar usando el gráfico.

Un gráfico se dibuja alguna función. Tome un punto con una abscisa en él. Dibujamos en este punto tangente a la función gráfica. Queremos evaluar cómo enfriar una gráfica de una función. Valor cómodo para esto - ángulo de inclinación tangente.

El derivado de la función en el punto es igual a la tangente del ángulo de inclinación, llevado a cabo al gráfico de la función en este punto.

Tenga en cuenta: como un ángulo de etiquetar tangente, tomamos un ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje.

A veces, los estudiantes preguntan qué tangentes son los gráficos de la función. Esta es una línea recta que tiene la única en esta área. punto total Con un horario, y como se muestra en nuestra figura. Parece una tangente a la circunferencia.

Lo encontraremos. Recordamos que la tangente del ángulo agudo en triángulo rectangular Es igual a la actitud del opuesto CATECH al adyacente. Desde el triángulo:

Encontramos un derivado con la ayuda de un gráfico, ni siquiera conociendo la función de fórmula. Tales tareas a menudo se encuentran en el examen en matemáticas en el número.

Hay otra proporción importante. Recuerde que el Directo está dado por la ecuación.

El valor en esta ecuación se llama coeficiente angular directo. Es igual a la tangente del ángulo de inclinación directo al eje.

.

Conseguimos eso

Recordamos esta fórmula. Expresa el significado geométrico del derivado.

El derivado de la función en el punto es igual al coeficiente angular de tangente, realizado hasta el gráfico de la función en este punto.

En otras palabras, el derivado es igual al ángulo de inclinación tangente.

Ya hemos dicho que la misma función en diferentes puntos puede tener un derivado diferente. Veamos cómo se asocia el derivado con el comportamiento de la función.

Dibuja un gráfico de alguna función. Deje que esta función esté aumentando en algunas secciones, en otras: disminuciones, con diferentes velocidades. E incluso si esta característica habrá un punto máximo y un mínimo.

En el punto, la función aumenta. Tangente al gráfico, realizado en el punto, forma un ángulo afilado con una dirección positiva del eje. Entonces, en el punto, el derivado es positivo.

En el punto, nuestra función disminuye. Tanner en este punto forma un ángulo estúpido con una dirección positiva del eje. Dado que la tangente de ángulo aburrido es negativo, un derivado es negativo en el punto.

Eso es lo que resulta:

Si la función aumenta, su derivado es positivo.

Si disminuye, su derivado es negativo.

¿Y qué estará en los puntos del máximo y mínimo? Vemos que en los puntos (punto máximo) y (punto mínimo) tangente horizontal. En consecuencia, el ángulo de inclinación tangente tangente en estos puntos es cero, y el derivado también es cero.

El punto es un punto máximo. En este punto, la función creciente se reemplaza descendiendo. En consecuencia, el signo del derivado cambia en un punto con una "plus" a "menos".

En el punto, el punto del mínimo, el derivado también es cero, pero su signo cambia de "menos" a la "PLUS".

Conclusión: Con la ayuda de un derivado, puede aprender sobre el comportamiento de la función todo lo que nos interesa.

Si el derivado es positivo, entonces la función aumenta.

Si la derivada es negativa, la función disminuye.

En el punto del máximo, el derivado es cero y cambia el letrero de la "PLUS" a "MINUS".

En el punto del mínimo, el derivado también es cero y cambia la señal de "menos" a la "plus".

Escribimos estas conclusiones en la forma de una tabla:

	aumentos	punto máximo	disminución	punto de mínimo	aumentos
+	0	-	0	+

Haremos dos pequeñas aclaraciones. Uno de ellos te necesitará al resolver las tareas del uso. Otro: en el primer año, con un estudio más serio de las funciones y derivados.

Un caso es posible cuando el derivado de la función en algún punto es cero, pero no hay una función mínima en este punto en este punto. Este es el llamado :

En el punto tangente a los gráficos de la horizontal, y la derivada es cero. Sin embargo, la función de la función aumentó, y después del punto sigue aumentando. El signo del derivado no cambia, ha sido positivo y permanecido.

También sucede que en el punto del máximo o mínimo, no existe el derivado. En la tabla, corresponde a una ruptura afilada cuando la tangente es imposible en este punto.

¿Y cómo encontrar un derivado si la función no está especificada por el horario, pero por la fórmula? En este caso, aplicado.

Esta sección contiene tareas del EGE En matemáticas sobre temas relacionados con el estudio de las funciones y sus derivados.

EN opciones de demostración EGE 2020. años que pueden reunirse en número 14 por nivel básico y en número 7 Para el nivel de perfil.

Mire cuidadosamente estos tres gráficos de funciones.
¿Notaste que estas funciones en un sentido "parientes"?
Por ejemplo, en aquellas áreas donde la gráfica de la función verde se encuentra sobre cero, aumenta la función roja. En aquellos sitios donde la gráfica de la función verde está por debajo de cero, la función roja disminuye.
Se pueden hacer comentarios similares con respecto a gráficos rojos y azules.
También puede notar que ceros de la función verde (puntos x. \u003d -1 I. x. \u003d 3) Coincidir con los puntos de las gráficos rojos extremos: cuando x. \u003d -1 en gráfico rojo vemos un máximo local, cuando h. \u003d 3 en el horario rojo es un mínimo local.
Es fácil ver que los máximos y mínimos locales del gráfico azul se logran en los mismos puntos donde el calendario rojo pasa a través del valor. y = 0.
Puede tomar algunas conclusiones más sobre las peculiaridades del comportamiento de estos gráficos, porque están realmente conectados entre sí. Mire las fórmulas de las funciones ubicadas en cada uno de los gráficos, y por cálculos, asegúrese de que cada una anterior se derive para posterior y, en consecuencia, cada una de las funciones anteriores previamente educadas.

φ 1 (x. ) = φ" 2 (x. ) φ 2 (x. ) = Φ 1 (x. )
φ 2 (x. ) = φ" 3 (x. ) φ 3 (x. ) = Φ 2 (x. )

Recuerde que sabemos sobre el derivado:

Función derivada y = f.(x.) En el punto h. Expresa la velocidad del cambio de función en el punto. x..

Derivado de sentido físico Es que el derivado expresa la tasa de procedimiento del proceso descrito por la dependencia y \u003d f (x).

Significado geométrico del derivado. Es que su valor en el punto considerado es igual al coeficiente angular de tangencial, realizado al gráfico de la función diferenciable en este punto.

Y ahora deja que los gráficos rojos en el dibujo no lo estén. Supongamos que ambas fórmulas son desconocidas para nosotros.

¿Puedo preguntarle algo relacionado con el comportamiento de la función? φ 2 (x. ) Si se sabe que es una función derivada. φ 3 (x. ) y función primitiva φ 1 (x. )?
Lata. Y puede dar una respuesta precisa a muchas preguntas, porque sabemos que la derivada es la característica de la función del cambio de cambio, para que podamos juzgar algunos de los comportamientos de una de estas funciones, mirando el horario del otro.

Antes de responder las siguientes preguntas, desplace la página para que el patrón superior que contenga el calendario rojo esté oculto. Cuando se dan las respuestas, devuélvala para verificar el resultado. Y solo después de eso, vea mi decisión.

Atención: Para mejorar el efecto de aprendizaje respuestas y soluciones Cargando por separado para cada tarea para presionar en serie los botones sobre un fondo amarillo. (Cuando haya muchas tareas, los botones pueden aparecer con un retraso. Si los botones no están visibles en absoluto, verifique si está permitido en su navegador JavaScript.)

1) Usando la gráfica del derivado. φ" 2 (x. ) (En nuestro caso, este es un horario verde), define cuál de los 2 valores de la función más φ 2 (-3) o φ 2 (−2)?

De acuerdo con la gráfica de la derivada, se puede ver que es estrictamente positivo en la sección [-3; -2], significa que la función en esta área solo está aumentando, por lo que el valor de la función en el extremo izquierdo x. \u003d -3 menos que su valor en el extremo derecho x. = −2.

Respuesta: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Uso del gráfico principal Φ 2 (x. ) (En nuestro caso, este es un horario azul), determina cuál de los 2 valores de la función más φ 2 (-1) o φ 2 (4)?

Según los gráficos, está claro que el punto. x. \u003d -1 está en el área de creciente, por lo tanto, el valor del derivado correspondiente es positivo. Punto x. \u003d 4 se encuentra en el sitio de disminución y el valor del derivado correspondiente negativamente. Dado que el valor positivo es más negativo, concluimos: el valor de una función desconocida, que es solo un derivado, en el punto 4 menos que en el punto -1.

Respuesta: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Puede haber muchas preguntas de tales preguntas sobre los gráficos faltantes, lo que causa una gran variedad de tareas con una breve respuesta, construida de acuerdo con el mismo esquema. Intenta resolver algunos de ellos.

Tareas para determinar las características derivadas en los gráficos de la función.

Foto 1.

Figura 2.

Tarea 1.

y = f. (x. ), determinado en el intervalo (-10,5; 19). Determine el número de enteros en los que la función derivada es positiva.

La función derivada es positiva en aquellas áreas donde aumenta la función. La figura muestra que estos intervalos (-10.5; -7,6), (-1; 8.2) y (15.7, 19). Enumeramos todos los puntos dentro de estos intervalos: "-10", "- 9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6 "," 7 "," 8 "," 16 "," 17 "," 18 ". Total de 15 puntos.

Respuesta: 15

Comentarios.
1. Cuando los gráficos en los gráficos requieren el nombre "Puntos", por regla general, nos refieren solo a los valores del argumento x. Que son las absclaciones de los puntos correspondientes ubicados en la tabla. Las ordentes de estos puntos son los valores de la función, dependen y se pueden calcular fácilmente si es necesario.
2. Al listar los puntos, no tuvimos en cuenta los bordes de los intervalos, ya que la función en estos puntos no aumenta y no disminuye y no disminuye, sino que "se despliega". El derivado en tales puntos no es positivo y no es negativo, es cero, por lo que se llaman puntos estacionarios. Además, no consideramos los límites del área de definición aquí, porque se dice que la condición se dice que este es el intervalo.

Tarea 2.

La figura 1 muestra un gráfico de gráfico y = f. (x. ), determinado en el intervalo (-10,5; 19). Determinar el número de enteros en los que la función derivada f " (x. ) Negativo.

La función derivada es negativa en aquellas áreas donde la función disminuye. La figura muestra que estos intervalos (-7.6; -1) y (8.2; \u200b\u200b15,7). Puntos enteros dentro de estos intervalos: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "-3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Total de 13 puntos.

Respuesta: 13

Ver comentarios a la tarea anterior.

Para resolver las siguientes tareas, debe recordar otra definición.

Las características máximas y mínimas se combinan con un nombre común. puntos de extremo .

En estos puntos, la función derivada es cero o no existe ( condición extremo requerida).
Sin embargo, la condición necesaria es un signo, pero no una garantía de la existencia de una función extremo. Una condición suficiente para extremo. Es un cambio de signo del derivado: si el derivado en el punto cambia la señal de "+" a "-", entonces este es el punto de la función máxima; Si el derivado en el punto cambia la señal de "-" en "+", entonces este es el punto de una función mínima; Si en el punto, la función derivada es cero, o no existe, pero el signo del derivado durante la transición a través de este punto no cambia a lo contrario, entonces el punto especificado no es un punto extremo de la función. Esto puede ser un punto de flexión, un punto de ruptura o un punto de ruptura de una función de una función.

Tarea 3.

La figura 1 muestra un gráfico de gráfico y = f. (x. ), determinado en el intervalo (-10,5; 19). Encuentre la cantidad de puntos en que la función Tangente a la función es paralela a la directa y \u003d 6 o coincide con él.

Recuerde que la ecuación directa tiene la vista. y = kx. + b. dónde k. - Coeficiente de inclinación de este directo al eje. BUEY.. En nuestro caso k. \u003d 0, es decir ,. derecho y \u003d 6 no inclinado, pero paralelo al eje BUEY.. Significa que las tangentes deseadas también deben ser paralelas al eje. BUEY. Y también debe tener un factor de inclinación 0. Esta propiedad de las tangentes posee en los puntos de extremos de funciones. Por lo tanto, para responder a la pregunta que solo necesita para contar todos los puntos de los extremos en el horario. Aquí están 4, dos puntos de máximo y dos puntos de mínimo.

Respuesta: 4

Tarea 4.

Funciones y = f. (x. ), determinado en el intervalo (-11; 23). Encuentre la cantidad de funciones de puntos extremo en el segmento.

En el segmento especificado, vemos 2 puntos de extremo. La función máxima se logra en el punto. x. 1 \u003d 4, mínimo en el punto x. 2 = 8.
x. 1 + x. 2 = 4 + 8 = 12.

Respuesta: 12

Tarea 5.

La figura 1 muestra un gráfico de gráfico y = f. (x. ), determinado en el intervalo (-10,5; 19). Encuentra la cantidad de puntos en que la función derivada f " (x. ) Igual a 0.

La función derivada es cero en los puntos extremo, que se ven en la tabla 4:
2 puntos de máximo y mínimo de 2 puntos.

Respuesta: 4

Tareas para determinar las características de la función en el gráfico de su derivado.

Foto 1.

Figura 2.

Tarea 6.

La figura 2 muestra un gráfico f " (x. ) - Función derivada f. (x. ), determinado en el intervalo (-11; 23). En qué punto está la función del segmento [-6; 2] f. (x. ) Toma el mayor valor.

En la sección especificada, la derivada no fue positiva, por lo tanto, la función no aumentó. Se declinó o pasó por puntos estacionarios. De este modo, el mayor valor La función alcanzada en el segmento izquierdo del segmento: x. = −6.

Respuesta: −6

Comentario: Según la gráfica, el derivado muestra que en el segmento [-6; 2] es cero tres veces: en los puntos x. = −6, x. = −2, x. \u003d 2. Pero en el punto x. \u003d -2 Ella no cambió el signo, entonces en este punto no podría ser extremo. Lo más probable es que hubiera un punto de inflexión del gráfico de la función original.

Tarea 7.

La figura 2 muestra un gráfico f " (x. ) - Función derivada f. (x. ), determinado en el intervalo (-11; 23). En qué punto del segmento, la función toma el valor más pequeño.

En el segmento, la derivada es estrictamente positiva, por lo tanto, la función en esta área acaba de aumentar. Por lo tanto, la función más pequeña alcanzada en el borde izquierdo del segmento: x. = 3.

Respuesta: 3

Tarea 8.

La figura 2 muestra un gráfico f " (x. ) - Función derivada f. (x. ), determinado en el intervalo (-11; 23). Encuentra el número de características de la función máxima. f. (x. ), perteneciente al segmento [-5; 10].

De acuerdo a tal requisito previo Función máxima extremo tal vez En los puntos donde su derivado es cero. En un segmento dado, estos puntos: x. = −2, x. = 2, x. = 6, x. \u003d 10. Pero de acuerdo con una condición suficiente, él con seguridadsolo en aquellos de ellos donde el signo del derivado cambia con "+" a "-". En la gráfica de la derivada vemos que solo el punto es de los puntos listados. x. = 6.

Respuesta: 1

Tarea 9.

La figura 2 muestra un gráfico f " (x. ) - Función derivada f. (x. ), determinado en el intervalo (-11; 23). Encuentra el número de características de puntos extremo. f. (x. ) Perteneciente al segmento.

Las funciones extremas pueden estar en aquellos puntos donde su derivado es 0. En un segmento dado de la gráfica, vemos 5 puntos de este tipo: x. = 2, x. = 6, x. = 10, x. = 14, x. \u003d 18. Pero en el punto x. \u003d 14 El derivado no cambió el signo, por lo tanto, debe excluirse de la consideración. Así, quedan 4 puntos.

Respuesta: 4

Tarea 10.

La figura 1 muestra un gráfico f " (x. ) - Función derivada f. (x. ), determinado en el intervalo (-10,5; 19). Encuentra las tasas de función creciente. f. (x. ). En respuesta, especifique la longitud del más grande de ellos.

Las brechas de función creciente coinciden con los brechas de la positividad derivada. En la tabla, vemos sus tres (-9; -7), (4; 12), (18; 19). El más largo de ellos es el segundo. Su longitud l. = 12 − 4 = 8.

Respuesta: 8

Tarea 11.

La figura 2 muestra un gráfico f " (x. ) - Función derivada f. (x. ), determinado en el intervalo (-11; 23). Encuentra la cantidad de puntos en que una función tangente f. (x. ) Directo paralelo y = −2x. − 11 o coincide con él.

El coeficiente angular (es la tangente del ángulo de inclinación) del DIRECTO K \u003d -2 especificado. Estamos interesados \u200b\u200ben paralelo o coincidiendo con tangentes, es decir. Directamente con la misma pendiente. Sobre la base del significado geométrico del derivado: el coeficiente angular de tangencial en el punto considerado del gráfico de la función, traducimos puntos en los que la derivada es igual a -2. Figura 2 de dichos puntos 9. Es conveniente contar con las intersecciones del gráfico y la línea de la rejilla de coordenada que pasa a través del valor de -2 en el eje Oy.

Respuesta: 9

Como puede ver, uno y el mismo programa, puede hacer una amplia variedad de preguntas sobre el comportamiento de la función y su derivado. Además, se puede atribuir una pregunta a los gráficos de diferentes funciones. Tenga cuidado al resolver esta tarea en el examen, y le parecerá muy fácil. Otros tipos de tareas de esta tarea: en el significado geométrico de la primitivo, se considerarán en otra sección.

Sergey Nikiforov

Si el derivado de la función se ajusta en el intervalo, y la función en sí es continua en sus bordes, los puntos de límite se conectan tanto a las brechas crecientes como a las brechas de disminución, que corresponde completamente a la definición de funciones crecientes y decrecientes.

Fritu yamaev 26.10.2016 18:50

Hola. Cómo (sobre qué base) Se puede argumentar que en un punto donde la derivada es cero, la función aumenta. Dar argumentos. De lo contrario, es solo el capricho de alguien. ¿Qué tipo de teorema? Así como la evidencia. Gracias.

Apoyo

El valor del derivado en el punto no se atribuye directamente al aumento en la función en el intervalo. Considere, por ejemplo, funciones, todos aumentan en el segmento.

Pisario de propiedad 02.11.2016 22:21

Si la función aumenta en el intervalo (A; B) y se define y continúa en los puntos A y B, aumenta en el segmento. Esos. El punto x \u003d 2 está incluido en esta brecha.

Aunque, como regla general, el aumento y la disminución se considera en el segmento, sino en el intervalo.

Pero en el punto X \u003d 2, la función tiene un mínimo local. Y cómo explicar a los niños que cuando buscan puntos de aumento (descendente), entonces los puntos de extremo local no consideran, y en las brechas de aumentar (descender).

Teniendo en cuenta que la primera parte del EGE por " grupo medio jardín de infancia", Entonces, probablemente tales matices están reventando.

Por separado, muchas gracias por el "sólido EGE" a todos los empleados, excelente subsidio.

Sergey Nikiforov

Se puede obtener una explicación simple si se repele de la definición de una función creciente / decreciente. Permítanme recordarle que suena así: la función se llama creciendo / disminuyendo en el intervalo si el mayor argumento de la función corresponde a un valor de mayor / menos función. Dicha definición no utiliza el concepto de un derivado, por lo que no puede haber preguntas sobre los puntos donde no aparece el derivado.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Buenos días. Aquí en los comentarios, veo la creencia de que los límites deben incluir. Supongamos que estoy de acuerdo con esto. Pero consulte, su decisión de la tarea 7089. Allí, al especificar las brechas de aumentar el límite, no active. Y afecta la respuesta. Esos. La decisión de las tareas 6429 y 7089 se contradicen entre sí. Por favor, aclare esta situación.

Alejandro Ivanov

En las tareas 6429 y 7089 preguntas completamente diferentes.

En un aumento profesional en el aumento, y en un intervalo diferente con un derivado positivo.

No hay contradicción.

Los extremos se encuentran entre los huecos de creciente y descendente, pero los puntos en los que la derivada es cero no se incluye en los intervalos en los que la derivada es positiva.

Un z. 28.01.2019 19:09

Colegas, hay un concepto creciente en el punto

(Ver FIHTENDULZ por ejemplo)

y su comprensión del aumento en el punto X \u003d 2 se opone a la definición clásica.

Ascender y disminuir es el proceso y me gustaría adherirme a este principio.

En cualquier intervalo, que contiene el punto X \u003d 2, la función no está aumentando. Por lo tanto, inclusión este punto x \u003d 2 proceso es especial.

Por lo general, para evitar la confusión sobre la inclusión del final de los intervalos, dicen por separado.

Alejandro Ivanov

La función y \u003d f (x) se llama aumento en algún intervalo, si el mayor valor del argumento de este espacio corresponde al mayor valor de la función.

En el punto x \u003d 2, la función es diferenciable, y en el intervalo (2; 6), el derivado es positivo, significa en el intervalo)