Los números complejos encuentran todos los valores. Números complejos
AGENCIA FEDERAL DE EDUCACIÓN
INSTITUCIÓN ESTATAL DE EDUCACIÓN
EDUCACIÓN PROFESIONAL SUPERIOR
"UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA ESTATAL DE VORONEZH"
DEPARTAMENTO DE AGLEBRA Y GEOMETRÍA
Números complejos
(tareas seleccionadas)
TRABAJO DE CALIFICACIÓN DE GRADUADO
en la especialidad 050201.65 matemáticas
(con especialidad adicional 050202.65 informática)
Completado: estudiante de quinto año
fisico y matematico
facultad
Supervisor:
VORONEZH - 2008
1. Introducción……………………………………………………...…………..…
2. Números complejos (problemas seleccionados)
2.1. Números complejos en forma algebraica…. …… ... ……….….
2.2. Interpretación geométrica de números complejos ………… ..…
2.3. Forma trigonométrica de números complejos
2.4. Aplicación de la teoría de números complejos a la solución de ecuaciones de 3º y 4º grado …………… .. ……………………………………………………………
2.5. Números complejos y parámetros ……… ... …………………… ...….
3. Conclusión …………………………………………………… .................
4. Referencias …………………………. ………………… ...............
1. Introducción
En el plan de estudios de matemáticas del curso escolar, se introduce la teoría de números utilizando ejemplos de conjuntos de números naturales, enteros, racionales, irracionales, es decir. en el conjunto de números reales, cuyas imágenes llenan todo el eje numérico. Pero ya en octavo grado, el stock de números reales no es suficiente, resolviendo ecuaciones cuadráticas con un discriminante negativo. Por lo tanto, era necesario reponer el stock de números reales con números complejos para los que la raíz cuadrada de un número negativo tiene sentido.
La elección del tema "Números complejos", como tema de mi trabajo de calificación final, es que el concepto de un número complejo amplía el conocimiento de los estudiantes sobre los sistemas numéricos, sobre la resolución de una amplia clase de problemas, tanto de contenido algebraico como geométrico, sobre resolución de ecuaciones algebraicas de cualquier grado y resolución de problemas con parámetros.
En esta tesis se considera la solución de 82 problemas.
La primera parte de la sección principal "Números complejos" proporciona soluciones a problemas con números complejos en forma algebraica, define las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, conjugación de números complejos en forma algebraica, la potencia de la unidad imaginaria, la módulo de un número complejo, y también establece la regla que extrae la raíz cuadrada de un número complejo.
En la segunda parte se resuelven problemas de interpretación geométrica de números complejos en forma de puntos o vectores de un plano complejo.
La tercera parte trata de acciones sobre números complejos en forma trigonométrica. Se utilizan las fórmulas: Moivre y extracción de una raíz de un número complejo.
La cuarta parte está dedicada a resolver ecuaciones de 3º y 4º grados.
Al resolver los problemas de la última parte "Números complejos y parámetros", se utiliza y consolida la información proporcionada en las partes anteriores. Una serie de problemas en el capítulo está dedicada a la determinación de familias de rectas en el plano complejo, dadas por ecuaciones (desigualdades) con un parámetro. En parte de los ejercicios, debe resolver ecuaciones con un parámetro (sobre el campo C). Hay tareas en las que una variable compleja satisface simultáneamente una serie de condiciones. Una característica de la resolución de los problemas de este apartado es la reducción de muchos de ellos a la solución de ecuaciones (desigualdades, sistemas) de segundo grado, irracionales, trigonométricas con un parámetro.
Una característica de la presentación del material de cada parte es la introducción inicial de los fundamentos teóricos, y posteriormente su aplicación práctica en la resolución de problemas.
Al final de la tesis, se presenta una lista de la literatura utilizada. En la mayoría de ellos, el material teórico se presenta con suficiente detalle y de manera accesible, se consideran soluciones a algunos problemas y se asignan tareas prácticas para su solución independiente. Me gustaría prestar especial atención a fuentes como:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Números complejos y sus aplicaciones: una guía de estudio. ... El material del tutorial se presenta en forma de conferencias y lecciones prácticas.
2. Shklyarsky DO, Chentsov NN, Yaglom IM Problemas seleccionados y teoremas de matemáticas elementales. Aritmética y Álgebra. El libro contiene 320 problemas relacionados con álgebra, aritmética y teoría de números. Por su naturaleza, estas tareas difieren significativamente de las tareas escolares estándar.
2. Números complejos (problemas seleccionados)
2.1. Números complejos en forma algebraica
La solución de muchos problemas en matemáticas y física se reduce a resolver ecuaciones algebraicas, es decir. ecuaciones de la forma
,donde a0, a1,…, an son números reales. Por tanto, el estudio de ecuaciones algebraicas es uno de los temas más importantes en matemáticas. Por ejemplo, una ecuación cuadrática con discriminante negativo no tiene raíces reales. La ecuación más simple es la ecuación
.Para que esta ecuación tenga solución, es necesario expandir el conjunto de números reales agregándole la raíz de la ecuación
.Denotamos esta raíz por
... Así, por definición, o,por eso,
... se llama unidad imaginaria. Con su ayuda y con la ayuda de un par de números reales, se compila una expresión de la forma.La expresión resultante se denominó números complejos, ya que contenían partes tanto reales como imaginarias.
Entonces, los números complejos son expresiones de la forma
, y son números reales, y es algún símbolo que satisface la condición. Un número se denomina parte real de un número complejo y un número se denomina parte imaginaria. Los símbolos se utilizan para denotarlos.Números complejos de la forma
son números reales y, por lo tanto, el conjunto de números complejos contiene un conjunto de números reales.Números complejos de la forma
se llaman puramente imaginarios. Dos números complejos de la forma y se llaman iguales si sus partes real e imaginaria son iguales, es decir, si se mantienen las igualdades.La notación algebraica de números complejos le permite realizar operaciones sobre ellos de acuerdo con las reglas habituales del álgebra.
La suma de dos números complejos
y se llama un número complejo de la forma.El producto de dos números complejos
§ 1. Números complejos: definiciones, interpretación geométrica, acciones en forma algebraica, trigonométrica y exponencial
Definición de un número complejo
Igualdades complejas
Representación geométrica de números complejos
Módulo y argumento de números complejos
Formas algebraicas y trigonométricas de un número complejo
Forma exponencial de un número complejo
Fórmulas de Euler
§ 2. Funciones completas (polinomios) y sus propiedades básicas. Resolver ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos
Definición de una ecuación algebraica de enésimo grado
Propiedades básicas de los polinomios
Ejemplos de resolución de ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos
Preguntas de autoevaluación
Glosario
§ 1. Números complejos: definiciones, interpretación geométrica, acciones en forma algebraica, trigonométrica y exponencial
La definición de un número complejo ( Formular la definición de un número complejo)
Un número complejo z es una expresión de la siguiente forma:
Número complejo en forma algebraica, (1)
Donde x, y Î;
- número conjugado complejo número z ;
- numero opuesto número z ;
- cero complejo ;
- así es como se denota el conjunto de números complejos.
1)z = 1 + IÞ Re z= 1, soy z = 1, = 1 – I, = –1 – I ;
2)z = –1 + IÞ Re z= –1, Im z = , = –1 – I, = –1 –I ;
3)z = 5 + 0I= 5 Þ Re z= 5, soy z = 0, = 5 – 0I = 5, = –5 – 0I = –5
Þ si soy z= 0, entonces z = X- Número Real;
4)z = 0 + 3I = 3IÞ Re z= 0, soy z = 3, = 0 – 3I = –3I , = –0 – 3I = – 3I
Þ si Re z= 0, entonces z = iy - número imaginario puro.
Igualdades complejas (Formular el significado de igualdad compleja)
1) 
;
2)
.
Una igualdad compleja equivale a un sistema de dos igualdades reales. Estas igualdades reales se obtienen a partir de la igualdad compleja dividiendo las partes real e imaginaria.
1) 
;
2) 
.
Representación geométrica de números complejos ( ¿Cuál es la representación geométrica de números complejos?)
Número complejo z está representado por un punto ( X , y) en el plano complejo o el vector de radio de este punto.
Firmar z en el segundo cuarto significa que el sistema de coordenadas cartesianas se utilizará como plano complejo.
El módulo y argumento de un número complejo ( ¿Cuál es el módulo y el argumento de un número complejo?)
El módulo de un número complejo es un número real no negativo
.(2)
Geométricamente, el módulo de un número complejo es la longitud del vector que representa el número z, o el radio polar del punto ( X , y).
Dibuja los siguientes números en el plano complejo y escríbelos en forma trigonométrica.
1)z = 1 + I Þ
,
Þ 
Þ 
;
,
Þ 
Þ 
;
,
5)
,
es decir, para z = 0 habrá
, j indefinido.
Operaciones aritméticas con números complejos (Dé definiciones y enumere las propiedades principales de las operaciones aritméticas con números complejos.)
Suma (resta) de números complejos
z 1 ± z 2 = (X 1 + iy 1) ± ( X 2 + iy 2) = (X 1 ± X 2) + I (y 1 ± y 2),(5)
es decir, al sumar (restar) números complejos, se suman (restan) sus partes reales e imaginarias.
1)(1 + I) + (2 – 3I) = 1 + I + 2 –3I = 3 – 2I ;
2)(1 + 2I) – (2 – 5I) = 1 + 2I – 2 + 5I = –1 + 7I .
Propiedades básicas de la suma
1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;
2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);
3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);
4)z + (–z) = 0;
Multiplicación de números complejos en forma algebraica
z 1∙z 2 = (X 1 + iy 1)∙(X 2 + iy 2) = X 1X 2 + X 1iy 2 + iy 1X 2 + I 2y 1y 2 = (6)
= (X 1X 2 – y 1y 2) + I (X 1y 2 + y 1X 2),
es decir, la multiplicación de números complejos en forma algebraica se realiza según la regla de la multiplicación algebraica de un binomio por un binomio, seguida de la sustitución y reducción de otros semejantes en términos reales e imaginarios.
1)(1 + I)∙(2 – 3I) = 2 – 3I + 2I – 3I 2 = 2 – 3I + 2I + 3 = 5 – I ;
2)(1 + 4I)∙(1 – 4I) = 1 – 42 I 2 = 1 + 16 = 17;
3)(2 + I)2 = 22 + 4I + I 2 = 3 + 4I .
Multiplicación de números complejos en forma trigonométrica
z 1∙z 2 = r 1 (cos j 1 + I pecado j 1) × r 2 (porque j 2 + I pecado j 2) =
= r 1r 2 (porque j 1cos j 2 + I porque j 1 pecado j 2 + I pecado j 1cos j 2 + I 2 pecado j 1 pecado j 2) =
= r 1r 2 ((cos j 1cos j 2 - pecado j 1 pecado j 2) + I(porque j 1 pecado j 2 + pecado j 1cos j 2))
El producto de números complejos en forma trigonométrica, es decir, al multiplicar números complejos en forma trigonométrica, se multiplican sus módulos y se suman los argumentos.
Propiedades básicas de la multiplicación
1)z 1 × z 2 = z 2 × z 1 - conmutabilidad;
2)z 1 × z 2 × z 3 = (z 1 × z 2) × z 3 = z 1 × ( z 2 × z 3) - asociatividad;
3)z 1 × ( z 2 + z 3) = z 1 × z 2 + z 1 × z 3 - distributividad con respecto a la suma;
4)z× 0 = 0; z× 1 = z ;
División de números complejos
La división es la inversa de la multiplicación, por lo que
si z × z 2 = z 1 y z 2 ¹ 0, entonces.
Cuando la división se realiza en forma algebraica, el numerador y el denominador de la fracción se multiplican por el complejo conjugado del denominador:
División de números complejos en forma algebraica. (7)
Al hacer la división en forma trigonométrica, los módulos se dividen y los argumentos se restan:
División de números complejos en forma trigonométrica. (8)
2)
.
Elevar un número complejo a una potencia natural
Es más conveniente realizar una exponenciación natural en forma trigonométrica:
Fórmula de Moivre, (9)
es decir, cuando un número complejo se eleva a una potencia natural, su módulo se eleva a esta potencia y el argumento se multiplica por el exponente.
Calcular (1 + I)10.
Observaciones
1. Al realizar operaciones de multiplicación y elevar a una potencia natural en forma trigonométrica, se pueden obtener ángulos fuera de los límites de una revolución completa. Pero siempre se pueden reducir a ángulos o dejando caer un número entero de revoluciones completas según las propiedades de la periodicidad de las funciones y.
2. Valor 
llamado el valor principal del argumento de un número complejo;
los valores de todos los ángulos posibles significan;
es obvio que , .
Extraer la raíz natural de un número complejo
Fórmulas de Euler (16)
mediante el cual se expresan funciones trigonométricas y una variable real mediante una función exponencial (exponencial) con un exponente puramente imaginario.
§ 2. Funciones completas (polinomios) y sus propiedades básicas. Resolver ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos
Dos polinomios del mismo grado norte son idénticamente iguales entre sí si y solo si sus coeficientes coinciden en las mismas potencias de la variable X, es decir
Prueba
w La identidad (3) es válida para "xÎ (o" xÎ)
Þ es válido para; sustituyendo, obtenemos un = bn .
Nos aniquilamos mutuamente en (3) los términos un y bn y dividir ambas partes en X :
Esta identidad también es válida para " X, incluso en X = 0
Þ asumiendo X= 0, obtenemos un – 1 = bn – 1.
Aniquilamos mutuamente en (3 ") los términos un- 1 y a norte- 1 y dividir ambas partes por X, como resultado obtenemos
Continuando con el razonamiento de manera similar, encontramos que un – 2 = bn –2, …, a 0 = B 0.
Así, se ha demostrado que la identidad de polinomios 2-x implica la coincidencia de sus coeficientes en los mismos grados X .
La afirmación inversa es verdadera y obvia, es decir si dos polinomios tienen los mismos coeficientes, entonces son las mismas funciones, por lo tanto, sus valores coinciden para todos los valores del argumento, lo que significa su igualdad idéntica. La propiedad 1 está completamente probada. v
Al dividir un polinomio Pn (X) por la diferencia ( X – NS 0), el resto es igual a Pn (X 0), es decir
Teorema de Bezout, (4)
dónde Qn – 1(X) es la parte entera de la división, es un polinomio de grado ( norte – 1).
Prueba
w Escribamos la fórmula para la división con resto:
Pn (X) = (X – NS 0)∙Qn – 1(X) + A ,
dónde Qn – 1(X) es un polinomio de grado ( norte – 1),
A- el resto, que es un número debido al conocido algoritmo para dividir un polinomio por una "columna" de dos términos.
Esta igualdad es cierta para " X, incluso en X = NS 0 Þ
Pn (X 0) = (X 0 – X 0)× Qn – 1(X 0) + A Þ
A = Pn (NS 0), p.t.d. v
Corolario del teorema de Bezout. Al dividir un polinomio por un binomio sin resto
Si el numero NS 0 es el cero del polinomio, entonces este polinomio es divisible por la diferencia ( X – NS 0) sin resto, es decir
Þ 
.(5)
1), ya que PAG 3 (1) º 0
2), ya que PAG 4 (–2) º 0
3), ya que PAG 2 (–1/2) º 0
División de polinomios en binomios "en una columna":
| _ |  |
_ | ||||||||||||
| _ | _ | |||||||||||||
| _ | ||||||||||||||
Cualquier polinomio de grado n ³ 1 tiene al menos un cero, real o complejo
La demostración de este teorema está más allá del alcance de nuestro curso. Por tanto, aceptaremos el teorema sin demostración.
Trabajemos en este teorema y en el teorema de Bezout con el polinomio Pn (X).
Después norte-Aplicación doble de estos teoremas, obtenemos
dónde a 0 es el coeficiente en X norte v Pn (X).
Corolario del teorema principal del álgebra. Descomposición de un polinomio en factores lineales
Cualquier polinomio de grado en el conjunto de números complejos se descompone en norte factores lineales, es decir
Descomposición de un polinomio en factores lineales, (6)
donde x1, x2, ... xn son los ceros del polinomio.
Además, si k números del conjunto NS 1, NS 2, … xn coinciden entre sí y con el número a, entonces el factor ( X- a) k... Entonces el numero X= se llama a k-veces cero del polinomio Pn ( X) ... Si k= 1, entonces se llama cero polinomio cero simple Pn ( X) .
1)PAG 4(X) = (X – 2)(X- 4) 3 Þ X 1 = 2 - cero simple, X 2 = 4 - triple cero;
2)PAG 4(X) = (X – I) 4 Þ X = I- cero de multiplicidad 4.
Propiedad 4 (sobre el número de raíces de una ecuación algebraica)
Cualquier ecuación algebraica Pn (x) = 0 de grado n tiene exactamente n raíces en el conjunto de números complejos, si cada raíz se cuenta tantas veces como su multiplicidad.
1)X 2 – 4X+ 5 = 0 - ecuación algebraica de segundo grado
Þ X 1,2 = 2 ± = 2 ± I- dos raíces;
2)X 3 + 1 = 0 - ecuación algebraica de tercer grado
Þ X
1,2,3 = 
- tres raíces;
3)PAG 3(X) = X 3 + X 2 – X- 1 = 0 Þ X 1 = 1, porque PAG 3(1) = 0.
Dividir el polinomio PAG 3(X) sobre ( X – 1):
| X 3 | + | X 2 | – | X | – | 1 | X – 1 |
| X 3 | – | X 2 | X 2 + 2X +1 | ||||
| 2X 2 | – | X | |||||
| 2X 2 | – | 2X | |||||
| X | – | 1 | |||||
| X | – | 1 | |||||
| 0 |
Ecuación original
PAG 3(X) = X 3 + X 2 – X- 1 = 0 Û ( X – 1)(X 2 + 2X+ 1) = 0 Û ( X – 1)(X + 1)2 = 0
Þ X 1 = 1 - raíz simple, X 2 = –1 - raíz doble.
1) - raíces conjugadas complejas emparejadas;
Cualquier polinomio con coeficientes reales se descompone en el producto de funciones lineales y cuadráticas con coeficientes reales.
Prueba
w Deje X 0 = a + bi- cero del polinomio Pn (X). Si todos los coeficientes de este polinomio son números reales, entonces también es su cero (por propiedad 5).
Calculamos el producto de binomios 
:
ecuación polinomial de número complejo
Tiene ( X – a)2 + B 2 - trinomio cuadrado con coeficientes reales.
Por lo tanto, cualquier par de binomios con raíces conjugadas complejas en la fórmula (6) conduce a un trinomio cuadrado con coeficientes reales. v
1)PAG 3(X) = X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 – X + 1);
2)PAG 4(X) = X 4 – X 3 + 4X 2 – 4X = X (X –1)(X 2 + 4).
Ejemplos de resolución de ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos ( Dar ejemplos de resolución de ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos.)
1. Ecuaciones algebraicas de primer grado:
, Es la única raíz simple.
2. Ecuaciones cuadráticas:
, 
- siempre tiene dos raíces (diferentes o iguales).
1) 
.
3. Ecuaciones de grado de dos términos:
, - siempre tiene raíces diferentes.
,
Respuesta: , 
.
4. Resuelve la ecuación cúbica.
Una ecuación de tercer grado tiene tres raíces (reales o complejas), y cada raíz debe contarse tantas veces como su multiplicidad. Dado que todos los coeficientes de esta ecuación son números reales, las raíces complejas de la ecuación, si las hay, serán conjugadas complejas emparejadas.
Por selección, encontramos la primera raíz de la ecuación, ya que.
Por el corolario del teorema de Bezout. Calculamos esta división "en una columna":
| _ |  |
||||
| _ |  |
||||
| _ | |||||
Representando ahora el polinomio como un producto de un factor lineal y cuadrado, obtenemos:
.
Encontramos otras raíces como las raíces de la ecuación cuadrática: 
Respuesta: , 
.
5. Escribe la ecuación algebraica de menor grado con coeficientes reales, si se sabe que los números X 1 = 3 y X 2 = 1 + I son sus raíces, y X 1 es una raíz doble y X 2 - simple.
El número también es la raíz de la ecuación, ya que los coeficientes de la ecuación deben ser válidos.
En total, la ecuación requerida tiene 4 raíces: X 1, X 1,X 2 ,. Por tanto, su grado es 4. Componemos un polinomio de 4º grado con ceros X
11. ¿Qué es el cero complejo?
13. Formule el significado de igualdad compleja.
15. ¿Cuál es el módulo y el argumento de un número complejo?
17. ¿Qué es un argumento de número complejo?
18. ¿Qué nombre o significado tiene la fórmula?
19. Explique el significado de la notación en esta fórmula:
27. Da definiciones y enumera las propiedades básicas de las operaciones aritméticas con números complejos.
28. ¿Qué nombre o significado tiene la fórmula?
29. Explique el significado de las designaciones en esta fórmula:
31. ¿Qué nombre o significado tiene la fórmula?
32. Explique el significado de la notación en esta fórmula:
34. ¿Qué nombre o significado tiene la fórmula?
35. Explique el significado de las designaciones en esta fórmula:
61. Enumere las propiedades básicas de los polinomios.
63. Formule la propiedad de dividir el polinomio por la diferencia (x - x0).
65. ¿Qué nombre o significado tiene la fórmula?
66. Explique el significado de las designaciones en esta fórmula:
67. ⌂ 
.
69. Formular el teorema El teorema principal del álgebra.
70. ¿Qué nombre o significado tiene la fórmula?
71. Explique el significado de las designaciones en esta fórmula:
75. Formule la propiedad sobre el número de raíces de una ecuación algebraica.
78. Formule la propiedad sobre la descomposición de un polinomio con coeficientes reales en factores lineales y cuadráticos.
Glosario
k-veces cero de un polinomio se llama ... (p. 18)
un polinomio algebraico se llama ... (p. 14)
una ecuación algebraica de enésimo grado se llama ... (p. 14)
la forma algebraica de un número complejo se llama ... (p. 5)
El argumento de número complejo es ... (p. 4)
la parte real de un número complejo z es ... (p. 2)
un número conjugado complejo es ... (p. 2)
el cero complejo es ... (página 2)
un número complejo se llama ... (p. 2)
La raíz n-ésima de un número complejo se llama ... (p. 10)
la raíz de la ecuación se llama ... (p. 14)
los coeficientes del polinomio son ... (p. 14)
la unidad imaginaria es ... (p. 2)
la parte imaginaria de un número complejo z es ... (p. 2)
el módulo de un número complejo se llama ... (p. 4)
la función cero se llama ... (p. 14)
la forma exponencial de un número complejo se llama ... (p. 11)
El polinomio se llama ... (p. 14)
un cero simple de un polinomio se llama ... (p. 18)
el número opuesto es ... (página 2)
el grado de un polinomio es ... (p. 14)
La forma trigonométrica de un número complejo se llama ... (p. 5)
La fórmula de Moivre es ... (p. 9)
Las fórmulas de Euler son ... (p. 13)
toda la función se llama ... (p. 14)
un número puramente imaginario es ... (p. 2)
Plan de estudios.
1. Momento organizacional.
2. Presentación del material.
3. Tarea.
4. Resumiendo la lección.
Durante las clases
I. Momento organizativo.
II. Presentación del material.
Motivación.
La expansión del conjunto de números reales es que se agregan nuevos números (imaginarios) a los números reales. La introducción de estos números está asociada a la imposibilidad de extraer una raíz de un número negativo en el conjunto de números reales.
Introducción del concepto de número complejo.
Los números imaginarios con los que complementamos los números reales se escriben como bi, dónde I Es una unidad imaginaria y yo 2 = - 1.
Con base en esto, obtenemos la siguiente definición de un número complejo.
Definición... Un número complejo es una expresión de la forma a + bi, dónde a y B- numeros reales. En este caso, se cumplen las siguientes condiciones:
a) Dos números complejos a 1 + b 1 yo y a 2 + b 2 yo son iguales si y solo si a 1 = a 2, b 1 = b 2.
b) La suma de números complejos está determinada por la regla:
(una 1 + segundo 1 yo) + (una 2 + segundo 2 yo) = (una 1 + una 2) + (segundo 1 + segundo 2) yo.
c) La multiplicación de números complejos está determinada por la regla:
(una 1 + segundo 1 yo) (una 2 + segundo 2 yo) = (una 1 una 2 - segundo 1 segundo 2) + (una 1 segundo 2 - una 2 segundo 1) yo.
Forma algebraica de un número complejo.
Escribir un número complejo en el formulario a + bi se llama la forma algebraica de un número complejo, donde a- parte real, bi Es la parte imaginaria, y B Es un número real.
Número complejo a + bi se considera igual a cero si sus partes real e imaginaria son iguales a cero: a = b = 0
Número complejo a + bi a b = 0 se considera igual que un número real a: a + 0i = a.
Número complejo a + bi a a = 0 se llama puramente imaginario y se denota bi: 0 + bi = bi.
Dos números complejos z = a + bi y = a - bi que difieren solo en el signo de la parte imaginaria se llaman conjugadas.
Acciones sobre números complejos en forma algebraica.
Puede hacer lo siguiente con números complejos en forma algebraica.
1) Adición.
Definición... La suma de números complejos z 1 = a 1 + segundo 1 yo y z 2 = una 2 + segundo 2 yo llamado un número complejo z, cuya parte real es igual a la suma de las partes reales z 1 y z 2, y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los números z 1 y z 2, es decir z = (una 1 + una 2) + (segundo 1 + segundo 2) yo.
Números z 1 y z 2 se llaman términos.
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
1º. Conmutabilidad: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Asociatividad: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Número complejo –A –bi llamado el opuesto de un número complejo z = a + bi... Número complejo opuesto al número complejo z, denotado -z... Suma de números complejos z y -z es igual a cero: z + (-z) = 0
Ejemplo 1. Realizar suma (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Resta.
Definición. Restar de un número complejo z 1 Número complejo z 2 z, qué z + z 2 = z 1.
Teorema... La diferencia de números complejos existe y, además, es única.
Ejemplo 2. Realizar una resta (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Multiplicación.
Definición... El producto de números complejos z 1 = a 1 + segundo 1 yo y z 2 = una 2 + segundo 2 yo llamado un número complejo z definido por la igualdad: z = (una 1 una 2 - segundo 1 segundo 2) + (una 1 segundo 2 + una 2 segundo 1) yo.
Números z 1 y z 2 se llaman factores.
La multiplicación de números complejos tiene las siguientes propiedades:
1º. Conmutabilidad: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Asociatividad: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distribución de la multiplicación relativa a la suma:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2 es un número real.
En la práctica, la multiplicación de números complejos se realiza según la regla de multiplicar la suma por la suma y separar las partes real e imaginaria.
En el siguiente ejemplo, consideraremos la multiplicación de números complejos de dos formas: por regla y multiplicación de la suma por la suma.
Ejemplo 3. Realice una multiplicación (2 + 3i) (5 - 7i).
1 vía. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) yo = 31 + yo.
Método 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) División.
Definición... Dividir número complejo z 1 en un número complejo z 2, luego encuentra un número tan complejo z, qué z z 2 = z 1.
Teorema. El cociente de números complejos existe y es único si z 2 ≠ 0 + 0i.
En la práctica, el cociente de números complejos se calcula multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Permitir z 1 = a 1 + segundo 1 yo, z 2 = una 2 + segundo 2 yo, luego
.
En el siguiente ejemplo, dividiremos por la fórmula y la regla de la multiplicación por el conjugado del denominador.
Ejemplo 4. Halla el cociente 
.
5) Elevación a un número entero positivo.
a) Los poderes de la unidad imaginaria.
Usando la igualdad yo 2 = -1, es fácil definir cualquier potencia entera positiva de la unidad imaginaria. Tenemos:
yo 3 = yo 2 yo = -i,
yo 4 = yo 2 yo 2 = 1,
yo 5 = yo 4 yo = yo,
yo 6 = yo 4 yo 2 = -1,
yo 7 = yo 5 yo 2 = -i,
yo 8 = yo 6 yo 2 = 1 etc.
Esto muestra que los valores del grado en, dónde norte- un número entero positivo, que se repite periódicamente cuando el indicador aumenta en 4 .
Por lo tanto, para aumentar el número I en un grado totalmente positivo, el exponente debe dividirse por 4 y erguido I a la potencia, cuyo exponente es igual al resto de la división.
Ejemplo 5. Calcular: (yo 36 + yo 17) yo 23.
yo 36 = (yo 4) 9 = 1 9 = 1,
yo 17 = yo 4 × 4 + 1 = (yo 4) 4 × yo = 1 yo = yo.
yo 23 = yo 4 × 5 + 3 = (yo 4) 5 × yo 3 = 1 · yo 3 = - yo.
(yo 36 + yo 17) yo 23 = (1 + yo) (- yo) = - yo + 1 = 1 - yo.
b) La elevación de un número complejo a una potencia entera positiva se realiza de acuerdo con la regla de elevar un binomio a la potencia adecuada, ya que es un caso especial de multiplicar los mismos factores complejos.
Ejemplo 6. Calcular: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.
Los números complejos son la extensión mínima del conjunto de números reales al que estamos acostumbrados. Su diferencia fundamental es que aparece un elemento que da -1 en el cuadrado, es decir yo, o.
Cualquier número complejo tiene dos partes: real e imaginario:
Así, se puede ver que el conjunto de números reales coincide con el conjunto de números complejos con parte imaginaria cero.
El modelo más popular para el conjunto de números complejos es el plano. La primera coordenada de cada punto será su parte real y la segunda será imaginaria. Entonces los vectores con el origen en el punto (0,0) actuarán como números complejos.
Operaciones con números complejos.
De hecho, si tenemos en cuenta el modelo de un conjunto de números complejos, es intuitivamente claro que la suma (resta) y la multiplicación de dos números complejos se realizan de la misma forma que las correspondientes operaciones sobre vectores. Y nos referimos al producto vectorial de vectores, porque el resultado de esta operación es nuevamente un vector.
1.1 Adición.
(Como puede ver, esta operación coincide exactamente)
1.2 Resta, igualmente, se realiza de acuerdo con la siguiente regla:
2. Multiplicación.
3. División.
Definido simplemente como el inverso de la multiplicación.
Forma trigonométrica.
El módulo de un número complejo z es la siguiente cantidad:
,
obviamente, esto es, nuevamente, solo el módulo (longitud) del vector (a, b).
Muy a menudo, el módulo de un número complejo se denota como ρ.
Resulta que
z = ρ (cosφ + isinφ).
Lo siguiente sigue inmediatamente de la forma trigonométrica de notación para un número complejo. fórmulas :
La última fórmula se llama Fórmula de Moivre. La fórmula se deriva directamente de ella. raíz enésima de un número complejo:
por tanto, hay n raíces del n-ésimo grado del número complejo z.
Recordemos la información necesaria sobre números complejos.
Número complejo es una expresión de la forma a + bi, dónde a, B son números reales, y I- así llamado unidad imaginaria, un carácter cuyo cuadrado es -1, es decir I 2 = -1. Número a llamado parte real y el numero B - parte imaginaria Número complejo z = a + bi... Si B= 0, entonces en lugar de a + 0I escribir simplemente a... Puede verse que los números reales son un caso especial de números complejos.
Las operaciones aritméticas con números complejos son las mismas que con los reales: se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir entre sí. La suma y la resta ocurren de acuerdo con la regla ( a + bi) ± ( C + di) = (a ± C) + (B ± D)I, y multiplicación - de acuerdo con la regla ( a + bi) · ( C + di) = (C.A – bd) + (anuncio + antes de Cristo)I(solo se usa aquí que I 2 = –1). Número = a – bi llamado complejo conjugado Para z = a + bi... Igualdad z · = a 2 + B 2 le permite comprender cómo dividir un número complejo por otro número complejo (distinto de cero):
(Por ejemplo, 
.)
Los números complejos tienen una representación geométrica conveniente e intuitiva: el número z = a + bi puede ser representado por un vector con coordenadas ( a; B) en el plano cartesiano (o, que es casi lo mismo, un punto, el final del vector con estas coordenadas). En este caso, la suma de dos números complejos se representa como la suma de los vectores correspondientes (que se pueden encontrar mediante la regla del paralelogramo). Según el teorema de Pitágoras, la longitud de un vector con coordenadas ( a; B) es igual. Esta cantidad se llama módulo Número complejo z = a + bi y denotado por | z|. El ángulo que forma este vector con la dirección positiva del eje de abscisas (contado en sentido antihorario) se llama argumento Número complejo z y se denota por Arg z... El argumento no se define de forma única, sino solo hasta la suma de un múltiplo de 2 π
radianes (o 360 °, si cuenta en grados); después de todo, está claro que la rotación en tal ángulo alrededor del origen no cambiará el vector. Pero si el vector de longitud r forma un ángulo φ
con una dirección positiva del eje de abscisas, entonces sus coordenadas son ( r Porque φ
; r Pecado φ
). De ahí resulta notación trigonométrica Número complejo: z = |z| (Porque (Arg z) + I pecado (Arg z)). A menudo es conveniente escribir números complejos en esta forma, ya que simplifica enormemente los cálculos. Multiplicar números complejos en forma trigonométrica parece muy simple: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Porque (Arg z 1 + Arg z 2) + I pecado (Arg z 1 + Arg z 2)) (al multiplicar dos números complejos, se multiplican sus módulos y se suman los argumentos). Por lo tanto sigue Fórmulas de Moivre: z n = |z|norte(Porque ( norte(Arg z)) + I pecado ( norte(Arg z))). Con estas fórmulas, es fácil aprender a extraer raíces de cualquier grado a partir de números complejos. Raíz enésima de z es un número tan complejo w, qué w n = z... Está claro que 
, Y donde k puede tomar cualquier valor del conjunto (0, 1, ..., norte- 1). Esto significa que siempre hay exactamente norte raíces norte-th grado de un número complejo (en el plano, están ubicados en los vértices de la correcta norte-gon).
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