La acción aritmética que se realiza por última vez al calcular los valores de la expresión es el "principal".

Es decir, si sustituye a algún número (cualquiera) en lugar de letras, y intentará calcular el valor de la expresión, si la última acción es la multiplicación, significa que tenemos un trabajo (la expresión se descompone en los multiplicadores).

Si la última acción es la adición o la sustracción, significa que la expresión no se descompone en los factores (y, por lo tanto, no se puede reducir).

Para la consolidación, me resolveré algunos ejemplos:

Ejemplos:

Soluciones:

1. Espero que no hayas apresurado a reducir inmediatamente y? No es suficiente "cortar" tal tal:

La primera acción debe ser una descomposición de los multiplicadores:

4. Adición y resta de fracciones. Trayendo fracciones a un denominador común.

Adición y resta de fracciones ordinarias: la operación está bien familiar: estamos buscando un denominador común, estamos dominantes cada fracción en el multiplicador faltante y pliegue / deduce los números.

Recordemos:

Respuestas:

1. Los denominadores son mutuamente simples, es decir, no tienen multiplicadores comunes. En consecuencia, el NOC de estos números es igual a su trabajo. Este será un denominador común:

2. Aquí, el denominador general es:

3. Aquí está lo primero. fracciones mixtas Convertimos en incorrecto, y luego, por el esquema habitual:

Es otra cosa, si las fracciones contienen letras, por ejemplo:

Empecemos con simple:

a) los denominadores no contienen letras

Aquí está lo mismo que con las fracciones numéricas convencionales: encontramos un denominador común, estamos dominantes cada fracción en el multiplicador faltante y pliegue / deduce los números:

ahora, en el numerador, puede dar similares, si las hay, y dispone de multiplicadores:

Inténtalo tú mismo:

Respuestas:

b) Los denominadores contienen letras.

Recordemos el principio de encontrar un denominador común sin letras:

· En primer lugar, definimos factores generales;

· Luego escribimos todos los factores generales una vez;

· Y son dominantes para todos los demás multiplicadores, no son comunes.

Para determinar los multiplicadores generales de los denominadores, primero los cierre en factores simples:

Enfatizamos los factores generales:

Ahora, anotaremos los factores generales por una vez y agregaremos todos los multiplicadores (no subrayados) a ellos:

Este es un denominador común.

Volvamos a las letras. Danneles se dan exactamente por el mismo esquema:

· Decidir los denominadores para multiplicadores;

· Determinar los multiplicadores generales (idénticos);

· Escribimos todos los factores generales una vez;

· Somos dominantes para todos los demás multiplicadores, no son comunes.

Entonces, en orden:

1) Expandir los denominadores para multiplicadores:

2) Determinar los multiplicadores generales (idénticos):

3) Escribimos todos los factores generales una vez y los dominantes de ellos en todos los otros multiplicadores (inextrijados):

Entonces, el denominador general está aquí. La primera fracción debe multiplicarse, el segundo:

Por cierto, hay un truco:

Por ejemplo: .

Vemos los mismos multiplicadores en el denominador, todos con indicadores diferentes. En el denominador general irá:

en grado

en grado

en grado

a grado.

Complicar la tarea:

¿Cómo hacer el mismo denominador?

Recordemos la propiedad principal del Fraci:

En ninguna parte no se dice que la fracción se pueda restar del numerador y el denominador) (o agregar) el mismo número. ¡Porque es incorrecto!

Limpie usted mismo: tome cualquier fracción, por ejemplo, y agregue al numerador y denominador algún número, por ejemplo,. ¿Qué dijiste?

Entonces, la siguiente regla inquebrantable:

Cuando traiga una fracción a un denominador común, ¡use solo la operación de multiplicación!

Pero, ¿qué necesitas para multiplicar para obtener?

Aquí está en y el dominático. Y el domanki en:

Las expresiones que no se pueden descomponer en multiplicadas se llamarán "multiplicadores elementales".

Por ejemplo, es un multiplicador elemental. - además. Pero - No: se descompone en multiplicadores.

¿Qué dices sobre la expresión? Es elemental?

No, porque se puede descomponer en los multiplicadores:

(En la descomposición de los multiplicadores, ya lees en el tema "").

Por lo tanto, los multiplicadores elementales a los que rechazan la expresión con letras es un análogo de simples multiplicadores a los que extiende los números. Y actuaremos con ellos de la misma manera.

Vemos que en ambos denominadores hay un multiplicador. Irá a un denominador común hasta cierto punto (recuerde por qué?).

El multiplicador es elemental, y no tienen uno general, lo que significa que la primera fracción en ella tendrá que dibujar simplemente:

Otro ejemplo:

Decisión:

Vence que en un pánico multiplicar estos denominadores, ¿debe pensar cómo descomponerles a los multiplicadores? Ambos representan:

¡Excelente! Luego:

Otro ejemplo:

Decisión:

Como de costumbre, descomponer los denominadores para multiplicadores. En el primer denominador, simplemente perdimos detrás de los corchetes; En la segunda, la diferencia de cuadrados:

Parecería que no hay factores generales. Pero si miras, entonces son similares ... y la verdad:

Así que escribe:

Es decir, resultó así: dentro del soporte, cambiamos los lugares en lugares, y al mismo tiempo se cambió la señal antes de lo contrario. Tome nota, por lo que tendrá que hacer con frecuencia.

Ahora le damos un denominador común:

¿Ayudar? Revisa ahora.

Tareas para autoproducción:

Respuestas:

Aquí es necesario recordar otra: la diferencia de cubos:

¡Preste atención a que en el denominador la segunda fracción no es la fórmula "Cantidad cuadrada"! La cantidad cuadrada se vería así:.

Y, este es el llamado cuadrado incompleto de la cantidad: el segundo término en él es el trabajo de la primera y la última, y \u200b\u200bno duplicó su trabajo. El cuadrado incompleto de la cantidad es uno de los multiplicadores en la descomposición de la diferencia de cubos:

¿Qué hacer si las fracciones ya son tres piezas?

¡Y lo mismo! En primer lugar, lo hacemos para que el número máximo de multiplicadores en los denominadores fue el mismo:

Preste atención: si cambia las señales dentro de un soporte, el letrero antes de la fracción cambia a lo contrario. Cuando cambiamos las señales en el segundo soporte, el letrero antes de que la fracción cambie de nuevo a lo contrario. Como resultado, él (el signo antes de la fracción) no ha cambiado.

En el denominador general, se descarga el primer denominador, y luego agrega todos los factores que no están escritos, desde el segundo, y luego desde el tercero (y así sucesivamente, si las franes son más). Es decir, resulta así:

Hmm ... con fracciones, es claro qué hacer. ¿Pero cómo estar con un TWOS?

Todo es simple: ¿Sabes cómo poner una fracción? Entonces, ¿debes hacerlo para que el doble se convierta en una fracción? Recordamos: la fracción es una operación de división (el numerador comparte el denominador si de repente olvidó). Y no hay nada más fácil que dividir el número. Al mismo tiempo, el número en sí no cambiará, pero se convertirá en una fracción:

Exactamente lo que se necesita!

5. Multiplicación y división de fracciones.

Bueno, lo más difícil ahora. Y tenemos lo más sencillo, pero lo más importante es:

Procedimiento

¿Cuál es el procedimiento para contar una expresión numérica? Recuerde, considerando la importancia de tal expresión:

¿Calculado?

Debe suceder.

Entonces, recuerdo.

Lo primero es el grado calculado.

El segundo es la multiplicación y la división. Si las multiplicaciones y las divisiones son simultáneamente varias, puede hacerlas en cualquier orden.

Y finalmente, realizamos la adición y la resta. De nuevo, en cualquier orden.

Pero: ¡La expresión entre paréntesis se calcula fuera de turno!

Si varios soportes se multiplican o se comparten entre sí, calculamos primero la expresión en cada uno de los soportes, y luego multiplicarlos o entregarlos.

¿Y si todavía hay algunos soportes dentro de los soportes? Bueno, pensemos: alguna expresión está escrita dentro de los soportes. Y al calcular la expresión, en primer lugar, ¿necesitas hacer qué? Eso es correcto, calcula los soportes. Bueno, así descubrió: primero calculamos los soportes internos, luego todo lo demás.

Por lo tanto, el procedimiento para la expresión es más alto que esto (los valores actuales se asignan de rojo, es decir, la acción que realizo ahora mismo):

Bueno, es simple.

Pero esto no es lo mismo que la expresión con letras.

No, es lo mismo! Solo en lugar de las acciones aritméticas deben hacerse algebraic, es decir, las acciones descritas en la sección anterior: traying Simple, Ajustando fracciones, cortando fracciones, etc. La única diferencia será la acción de la descomposición de los polinomios en los multiplicadores (a menudo lo aplicamos cuando se trabaja con fracciones). La mayoría de las veces, para la descomposición en multiplicadores, necesito aplicar o simplemente sacar un factor común para los soportes.

Por lo general, nuestro objetivo es presentar una expresión en forma de trabajo o privado.

Por ejemplo:

Simplificamos la expresión.

1) Primero simplificamos la expresión entre paréntesis. Allí tenemos una fracción de diferencia, y nuestro objetivo es presentarlo como trabajo o privado. Entonces, damos una fracción para un denominador común y pliegue:

Más Esta expresión es fácil de simplificar, todos los factores aquí son elementales (¡aún recuerda lo que significa?).

2) obtenemos:

Multiplicación de fracciones: lo que podría ser más fácil.

3) Ahora puedes reducir:

Eso es. Nada difícil, ¿verdad?

Otro ejemplo:

Simplificar la expresión.

Primero intente resolverme, y solo a continuación, vea la decisión.

Decisión:

Primero, definimos el procedimiento de acción.

Primero, realizaremos la adición de fracciones entre paréntesis, resulta en lugar de dos fracciones una.

Luego realizaremos fracciones divididas. Bueno, el resultado se tendrá en la última fracción.

Acciones de números esquemáticamente:

Ahora mostraré el proceso de noticias, tocando la acción actual en rojo:

1. Si hay similares, deben ser llevados inmediatamente. En cualquier momento, tenemos similares, es similar, es recomendable traerlos de inmediato.

2. Lo mismo se aplica a la reducción de las fracciones: tan pronto como la capacidad de reducir, debe usarse. La excepción son las fracciones que se pliega o deduce: si tienen los mismos denominadores ahora, entonces la abreviatura debe dejarse para más adelante.

Aquí están sus tareas para autoproducción:

Y prometido al principio:

Respuestas:

Soluciones (breve):

Si usted hizo frente al menos con los primeros tres ejemplos, entonces, considere, dominado.

Ahora reenvíe al aprendizaje!

Transformación de expresiones. Resumen y fórmulas básicas.

Operaciones básicas de simplificación:

• Traying Simple: Para plegar (plomo) Componentes similares, es necesario plegar sus coeficientes y atribuir la parte de la letra.
• Factorización:tomando un factor común para paréntesis, aplicación, etc.
• Reducción de fracciones.: El numerador y el denominador de la fracción se pueden multiplicar o dividir en uno y el mismo número distinto de cero, desde donde se cambia la fracción.
  1) numerador y denominador descomponerse a los multiplicadores
  2) Si hay multiplicadores generales en un numerador y denominador, se pueden eliminar.

  IMPORTANTE: ¡Solo se pueden cortar multiplicadores!

• Adición y resta de fracciones:
  ;
• Multiplicación y división de fracciones:
  ;

Sujeto: " Transformación de expresiones que contienen grados con indicador fraccionado "

"Deja que alguien intente salir de matemáticas, y él verá que no los dejarán sin ellos". (M.V. Lomonosov)

LECCIÓN DE OBJETIVOS:

educativo:resumir y sistematizar el conocimiento de los estudiantes sobre el tema "Grado con un indicador racional"; controlar el nivel de dominar el material; Eliminar las brechas en el conocimiento y las habilidades de los estudiantes;

desarrollando:formar las habilidades del autocontrol de los estudiantes; crear una atmósfera del interés de cada estudiante en el trabajo, desarrollar actividad cognitiva estudiantes;

educativo:interés ferroviario en el tema, a la historia de las matemáticas.

Tipo de lección: Lección de generalización y sistematización del conocimiento.

Equipo: Hojas estimadas, tarjetas con asignaciones, decodificadores, crucigramas para cada estudiante.

Preparación preliminar: la clase se divide en grupos, en cada grupo, la cabeza es un consultor.

Durante las clases

I. Tiempo de organización.

Profesor: Hemos terminado de aprender el tema "Grado con un indicador racional y sus propiedades". Su tarea en esta lección, muestre cómo aprendió el material estudiado y cómo puede aplicar el conocimiento obtenido al resolver tareas específicas. En la mesa, cada uno de ustedes tiene una hoja estimada. Usted lo contribuirá para cada etapa de la lección. Al final de la lección, exhibirá la puntuación media para la lección.

Papel de evaluación

	Crucigrama	Ejercicio	Trabajar en tetradi.	Ecuaciones	Compruebe (s \\ p)

II. Cheque tarea.

Mutual con un lápiz en la mano, las respuestas son leídas por los estudiantes.

III. Actualización del conocimiento de los estudiantes.

Profesor: El famoso escritor francés Anatole France dijo al mismo tiempo: "Es necesario aprender diversión. ... Para absorber el conocimiento para absorberlos con el apetito".

Repetimos la información teórica necesaria durante la solidificación del crucigrama.

Horizontalmente:

1. La acción por la cual se calcula el valor. (erección).

2. Una obra que consiste en los mismos multiplicadores. (energía).

3. La acción de los grados alise el grado en el grado. (composición).

4. La acción de los grados en los que se restan los indicadores de grados. (división).

Verticalmente:

5. El número de todos los mismos multiplicadores. (indicador).

6. El grado con el cero. (unidad).

7. Repetir multiplicador (base).

8. Valor 10 5: (2 3 5 5) (cuatro).

9. Indicador que normalmente no escribe. (unidad).

IV. Entrenamiento matemático.

Profesor. Repita la definición del grado con el indicador racional y sus propiedades, ejecute las siguientes tareas.

1. Represente una expresión x 22 en forma de una pieza de dos grados con la base X, si uno de los factores es igual a: x 2, x 5,5, x 1 \\ 3, x 17,5, x 0

2. Simplificar:

b) en 5 \\ 8 en 1 \\ 4: en 1 \\ 8 \u003d y

c) con 1.4 s -0.3 C 2.9

3. Calcule y haga una palabra usando un decodificador.

Al completar esta tarea, ustedes aprenderán el nombre de las matemáticas alemanas, que introdujeron el término - "título indicador".

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Palabra: 1234567 (Stififel)

V. Papeleo En cuadernos (respuestas abiertas en el tablero) .

Tareas:

1. Simplifique la expresión:

(x - 2): (x 1 \\ 2 -2 1 \\ 2) (U-3): (en 1 \\ 2 - 3 1 \\ 2) (x - 1): (x 2 \\ 3 s 1 \\ 3 + 1)

2. Encuentra el valor de la expresión:

(x 3 \\ 8 x 1 \\ 4 :) 4 en x \u003d 81

Vi. Trabajo en grupos.

La tarea. Resuelva las ecuaciones y haga una palabra usando un decodificador.

Tarjeta número 1.

Palabra: 1234567 (diofant)

Número de tarjeta 2.

Tarjeta número 3.

Calovo: 123451 (Newton)

Descifrador

Profesor. Todos estos científicos contribuyeron al desarrollo del concepto de "grado".

Vii. Información histórica Sobre el desarrollo del concepto de grado (el informe del estudiante).

El concepto de grado con el indicador natural fue formado por los pueblos antiguos. El número cuadrado y cubo se utilizaron para calcular áreas y volúmenes. Los grados de algunos números se utilizaron para resolver tareas individuales de los científicos del antiguo Egipto y Babilonia.

En el siglo III, se publicó el libro del científico griego Diophanta "aritmético", en el que era necesario comenzar la introducción del simbolismo alfabético. Diofant presenta símbolos para los primeros seis grados de valores desconocidos y reversos. En este libro, el cuadrado está indicado por el índice R; CUBO - Signo K con índice R, etc.

A partir de la práctica de resolver tareas algebraicas más complejas y operar con grados, hubo la necesidad de generalizar el concepto de grado y expandirlo administrando como un indicador de números cero, negativos y fraccionarios. La idea de generalizar el concepto de grado en el grado con una tasa de matemáticas no cumplida llegó gradualmente.

Indicadores fraccionarios y la mayoría reglas simples La acción sobre los grados con indicadores fraccionarios se encuentra en las matemáticas francesas de Nicholas Orema (1323-1382) en su trabajo "el algoritmo de proporciones".

La igualdad, y 0 \u003d 1 (por no igual a 0) se usó en sus escritos a principios del siglo XX, Samarkand Scientist Gyasaddin Kashi Jamshid. Independientemente de él, el indicador cero fue introducido por Nikolai Shuke en el siglo XV. Se sabe que Nikolai Schuke (1445-1500), considerado grados con indicadores negativos y cero.

Más tarde, fraccional y negativo, los indicadores se encuentran en "Aritmética completa" (1544) de las matemáticas alemanas M.Stifel y Simon Stewina. Simon Stevein sugirió implícita bajo una raíz 1 / N.

El Matemático alemán M.Stifel (1487-1567) dio una definición A 0 \u003d 1 con y entró en el nombre del indicador (esta es una traducción alfabética del exponente alemán). Potenzieren alemán significa ejercicio.

A finales del siglo XVI, Francois Vieta introdujo las cartas para designar no solo las variables, sino también a sus coeficientes. Aplicó las reducciones: N, Q, C - para los grados primero, segundo y tercero. Pero las designaciones modernas (tipo A 4, y 5) en el XVII introdujeron René Descartes.

Definiciones modernas y designaciones del grado con cero, indicador negativo y fraccional originado de las obras de los matemáticos ingleses, John Valis (1616-1703) y Isaac Newton (1643-1727).

Sobre la viabilidad de introducir indicadores cero, negativos y fraccionarios y los símbolos modernos por primera vez, escribió en detalle en 1665 matemático inglés John Vallis. Fue completada por Isaac Newton, quien comenzó a aplicar sistemáticamente nuevos símbolos, después de lo cual se incluyeron en el uso general.

La introducción de un título con un indicador racional es uno de los muchos ejemplos una generalización de los conceptos de la acción matemática. El grado con indicadores cero, negativos y fraccionarios se determina de tal manera que se apliquen las mismas reglas de las acciones, que se llevan a cabo para una cuestión de indicador natural, es decir, Para preservar las propiedades básicas del concepto definitivo inicial de grado.

Una nueva definición con un indicador racional no contradice la antigua determinación del grado con una figura natural, es decir, el significado de una nueva definición de un grado con un indicador racional también se mantiene para un caso particular con un indicador natural. Este principio, observado en la generalización de los conceptos matemáticos, se denomina principio de permanencia (conservación de la constancia). En una forma imperfecta, se expresó por 1830. Matemático inglés J. Picks, completamente y claramente lo estableció por el Matemático alemán G. Gankel en 1867

Viii. Compruébate a ti mismo.

Trabajo independiente en tarjetas (respuestas abiertas en el tablero) .

Opción 1

1. Calcular: (1 punto)

(A + 3A 1 \\ 2): (A 1 \\ 2 +3)

Opcion 2.

1. Calcular: (1 punto)

2. Simplifique la expresión: 1 punto.

a) x 1.6 x 0.4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6

3. Resolver la ecuación: (2 puntos)

4. Simplifique la expresión: (2 puntos)

5. Encuentra el valor de la expresión: (3 puntos)

Ix. Resumiendo la lección.

¿Qué fórmulas y reglas recordadas en la lección?

Analiza tu trabajo en la lección.

Se estima que el trabajo de los estudiantes en la lección.

H. Tarea. K: P IV (repetición) Artículo 156-157 No. 4 (A-B), No. 7 (A-B),

Opcional: № 16

solicitud

Papel de evaluación

F / y / Estudiante __________________________________________

	Crucigrama	Ejercicio	Trabajar en tetradi.	Ecuaciones	Compruebe (s \\ p)

Tarjeta número 1.

1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) un 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0.5 x 1,5 \u003d 1; 5) en 1 \\ 3 \u003d 2; 6) un 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 7) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3

Descifrador

Número de tarjeta 2.

1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \\ 2 \u003d 3; 4) en 1 \\ 3 \u003d 2; 5) (U-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3

Descifrador

Tarjeta número 3.

1) A 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (X-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3,7 \u003d 8; 4) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3; 5) A 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3

Descifrador

Tarjeta número 1.

1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) un 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0.5 x 1,5 \u003d 1; 5) en 1 \\ 3 \u003d 2; 6) un 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 7) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3

Descifrador

Número de tarjeta 2.

1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \\ 2 \u003d 3; 4) en 1 \\ 3 \u003d 2; 5) (U-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3

Descifrador

Tarjeta número 3.

1) A 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (X-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3,7 \u003d 8; 4) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3; 5) A 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3

Descifrador

Tarjeta número 1.

1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) un 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0.5 x 1,5 \u003d 1; 5) en 1 \\ 3 \u003d 2; 6) un 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 7) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3

Descifrador

Número de tarjeta 2.

1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \\ 2 \u003d 3; 4) en 1 \\ 3 \u003d 2; 5) (U-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3

Descifrador

Tarjeta número 3.

1) A 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (X-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3,7 \u003d 8; 4) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3; 5) A 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3

Descifrador

Opción 1 1. Calcular: (1 punto) 2. Simplifique la expresión: 1 punto. a) x 1 \\ 2 x 3 \\ 4 b) (x -5 \\ 6) -2 \\ 3 c) x -1 \\ 3: x 3 \\ 4 g) (0.04x 7 \\ 8) -1 \\ 2 3. Resolver la ecuación: (2 puntos) 4. Simplifique la expresión: (2 puntos) (A + 3A 1 \\ 2): (A 1 \\ 2 +3) 5. Encuentra el valor de la expresión: (3 puntos) (En 1 \\ 2 -2) -1 - (en 1 \\ 2 +2) -1 en y \u003d 18

Opcion 2. 1. Calcular: (1 punto) 2. Simplifique la expresión: 1 punto. a) x 1.6 x 0.4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6 c) x 3 \\ 7: x -2 \\ 3 g) (0.008x -6 \\ 7) -1 \\ 3 3. Resolver la ecuación: (2 puntos) 4. Simplifique la expresión: (2 puntos) (en 1.5 SOSH 1,5): (a 0.5 - desde 0.5) 5. Encuentra el valor de la expresión: (3 puntos) (x 3 \\ 2 + x 1 \\ 2): (x 3 \\ 2 s 1 \\ 2) en x \u003d 0.75

Secciones: Matemáticas

Clase: 9

Propósito: consolidar y mejorar las habilidades para aplicar las propiedades del grado con un indicador racional; Desarrolle las habilidades para realizar las transformaciones más simples de las expresiones que contienen grados con indicador fraccionado.

Tipo de lección: lección de consolidación y aplicando conocimientos sobre este tema.

Tutorial: Álgebra 9 ed. S.A.A. Velakovsky.

Durante las clases

Palabra introductoria del maestro

"Las personas que no están familiarizadas con el álgebra no pueden imaginar esas cosas increíbles que se pueden lograr ... con la ayuda de la ciencia nombrada". G.V. Leibnitas

Algebra nos abre la puerta en el complejo de laboratorio. "Grado con indicador racional".

1. Encuesta frontal

1) Dar el grado con un indicador fraccional.

2) ¿Para qué indicador fraccional se determina con la base igual a cero?

3) ¿El grado es el grado con un indicador fraccional por una base negativa?

Tarea: Prepare el número 64 en forma de grado con una base - 2; 2; ocho.

¿En qué fecha es 64?

¿Hay alguna otra forma de representar el número 64 en forma de grado con un indicador racional?

2. Trabaja en grupos.

1 grupo. Demostrar que las expresiones (-2) 3/4; 0 -2 No tengas sentido.

2 grupo. Presente un grado con un indicador fraccional en forma de raíz: 2 2/3; 3 -1 | 3; -en 1,5; 5a 1/2; (x - y) 2/3.

3 grupo. Imagínese en forma de grado con un indicador fraccionario: v3; 8 VA 4; 3V2 -2; V (x + y) 2/3; Vvv.

3. Nos dirigimos al laboratorio "Acción en grados".

Huéspedes frecuentes de laboratorio - astrónomos. Traen sus "números astronómicos", exponen su procesamiento algebraico y reciben resultados útiles.

Por ejemplo, la distancia desde el suelo hasta la nebulosa de Andrómeda se expresa por el número

9500000000000000000000 \u003d 95 10 18 km;

se llama trillón.

La masa del sol en gramos se expresa por el número de 1983 10 30 gr - nonalon

Además, otras tareas serias llegan al laboratorio. Por ejemplo, a menudo surge el problema de calcular las expresiones de la forma:

pero) ; B); en) .

El personal de laboratorio produce tales cálculos de la manera más conveniente.

Puedes conectarte al trabajo. Para hacer esto, repitimos las propiedades de los grados con indicadores racionales:

Y ahora calcule o simplifique la expresión, aplicando las propiedades de los grados con indicadores racionales:

1 grupo:

2 Grupo:

3 Grupo:

Compruebe: una persona del grupo en la pizarra.

4. Comparar tarea

¿Cómo, aplicando las propiedades de los grados, comparar expresiones 2 100 y 10 30?

Respuesta:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. Y ahora te invito al laboratorio "Estudio de estudio".

¿Qué transformaciones podemos realizar por encima de los grados?

1) Representa el número 3 en forma de grado con un indicador 2; 3; -uno.

2) de qué manera se pueden descomponer sobre los factores de la expresión A-B; B + en 1/2; A-2A 1/2; 2 2?

3) Reducir la fracción con la prueba mutua posterior:

4) Explique la conversión ejecutada y encuentre el valor de expresión:

6. Trabajar con un libro de texto. № 611 (g, d, e).

1 Grupo: (D).

2 Grupo: (e).

3 Grupo: (e).

№ 629 (a, b).

Multi-prueba.

7. Llevamos a cabo talleres (trabajo independiente).

Se dan expresiones:

Con una reducción en las fórmulas de fracciones se aplican. multiplicación abreviada ¿Y hacer un multiplicador general para paréntesis?

1 Grupo: No. 1, 2, 3.

2 Grupo: № 4, 5, 6.

3 Grupo: № 7, 8, 9.

Al ejecutar una tarea, puede usar las recomendaciones.

1. Si hay un título con un indicador racional, así como raíces n-th Grado, luego escribe raíces grado de NTH En forma de grados con un indicador racional.
2. Intente simplificar la expresión en la que se realizan las acciones: la divulgación de los soportes, el uso de la fórmula de multiplicación abreviada, la transición al grado con un indicador negativo a la expresión que contiene un grado con un indicador positivo.
3. Determinar el procedimiento para realizar acciones.
4. Realice las acciones siguiendo su ejecución.

Evalúa al profesor, recogiendo cuadernos.

8. Tarea: No. 624, 623.

Una expresión de la forma A (m / n), donde n es un número natural, M es un número entero y la base del grado y más cero, llamado un grado con un indicador fraccionario. Y fiel es la siguiente igualdad. N√ (a m) \u003d a (m / n).

Como ya sabemos, los números de la forma m / n, donde N es un cierto número natural, y M es un número entero, llamado números fraccionarios o racionales. De todos los anteriores, obtenemos que el grado se determina para cualquier indicador racional del grado y cualquier fundación positiva.

Para cualquier racional números P, Q y cualquier A\u003e 0 y B\u003e 0 son las siguientes ecualidades:

• 1. (A P) * (A Q) \u003d A (P + Q)
• 2. (A P) :( B Q) \u003d A (P-Q)
• 3. (A P) Q \u003d A (P * Q)
• 4. (A * B) P \u003d (A P) * (B P)
• 5. (A / B) P \u003d (A P) / (B P)

Estas propiedades se usan ampliamente en la conversión de diversas expresiones, donde se contenían grados con indicadores fraccionados.

Ejemplos de transformaciones de expresiones que contienen un grado fraccionado.

Considere varios ejemplos que demuestren el uso de estas propiedades para convertir expresiones.

1. Calcule 7 (1/4) * 7 (3/4).

• 7 (1/4) * 7 (3/4) \u003d z (1/4 + 3/4) \u003d 7.

2. Calcule 9 (2/3): 9 (1/6).

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Calcule (16 (1/3)) (9/4).

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Calcule 24 (2/3).

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Calcule (8/27) (1/3).

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Simplifique la expresión ((A (4/3)) * B + A * B (4/3)) / (3√A + 3√B)

• ((A (4/3)) * B + A * B (4/3)) / (3√A + 3√B) \u003d (A * B * (A (1/3) + B (1/3 ))))) / (1/3) + B (1/3)) \u003d a * b.

7. Calcule (25 (1/5)) * (125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Simplificar la expresión

• (A (1/3) - A (7/3)) / (A (1/3) - A (4/3)) - (A (-1/3) - A (5/3)) / ( A (2/3) + A (-1/3)).
• (A (1/3) - A (7/3)) / (A (1/3) - A (4/3)) - (A (-1/3) - A (5/3)) / ( A (2/3) + A (-1/3)) \u003d
• \u003d ((A (1/3)) * (1-A 2) / ((A (1/3)) * (1-a)) - ((A (-1/3)) * (1- a 2)) / ((a (-1/3)) * (1 + a)) \u003d
• \u003d 1 + A - (1-a) \u003d 2 * a.

Como puede ver utilizando estas propiedades, puede simplificar significativamente algunas expresiones que contienen títulos con indicadores fraccionarios.

Expresiones, transformación de expresiones.

Expresiones poderosas (expresiones con grados) y su conversión.

En este artículo hablaremos sobre la transformación de expresiones con títulos. Primero, nos centraremos en las transformaciones que se realizan con expresiones de cualquier especie, incluso con expresiones poderosas, como revelación de paréntesis, que traen términos similares. Y luego analizaremos la transformación inherente a las expresiones con grados: trabajar con la base e indicador del grado, el uso de las propiedades de los grados, etc.

Navegando.

¿Qué son las expresiones de poder?

El término "expresiones poderosas" prácticamente no se produce a los libros de texto escolares de las matemáticas, pero a menudo aparece en colecciones de tareas, especialmente diseñadas para prepararse para EGE y OGE, por ejemplo,. Después de analizar las tareas en las que se requieren acciones con expresiones de energía, queda claro que en las expresiones de energía comprende las expresiones que contienen en sus registros de grado. Por lo tanto, es posible aceptar tal definición para usted mismo:

Definición.

Expresiones de poder - Estas son expresiones que contienen grados.

Aquí ejemplos de expresiones de poder.. Además, los someteremos de acuerdo con la forma en que se produce el desarrollo de puntos de vista sobre el grado en un indicador natural al grado realizado con el indicador real.

Como usted sabe, primero el conocido con el grado de número con una figura natural, en esta etapa, las primeras expresiones de energía más simples del tipo 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · Aparece un 2 -A + A 2, x 3-1, (A 2) 3, etc.

Un poco más tarde, se estudia el grado de número con un entero, lo que conduce a la aparición de expresiones de energía con grados negativos enteros, como los siguientes: 3 -2, , A -2 + 2 · B -3 + C 2.

En la escuela secundaria, volvió a grados de nuevo. Hay un título con un indicador racional, que conlleva la aparición de expresiones de energía apropiadas: , , etc. Finalmente, discute los títulos con indicadores irracionales y que comprenden sus expresiones :,.

El caso listado por expresiones de energía no se limita a: la variable penetra más en términos de la extensión, y existen tales expresiones 2 x 2 +1 o . Y después de conocer, las expresiones con grados y logaritmos comienzan a cumplir, por ejemplo, x 2 · lgx -5 · x lgx.

Entonces, nos ocupamos de la pregunta, lo que representa expresiones poderosas. Continuaremos aprendiendo a convertirlos.

Los principales tipos de transformaciones de expresiones de energía.

Con expresiones eléctricas, puede realizar cualquiera de las principales transformaciones de identidad de las expresiones. Por ejemplo, puede revelar paréntesis, reemplazar expresiones numéricas por sus valores, traer términos similares, etc. Naturalmente, debe ser necesario cumplir con el procedimiento para realizar acciones. Damos ejemplos.

Ejemplo.

Calcule el valor de la expresión de energía 2 3 · (4 2 -12).

Decisión.

Según el procedimiento para realizar acciones, primero realice acciones entre paréntesis. En primer lugar, reemplazamos el grado 4 2 de su valor 16 (ver si es necesario), y en segundo lugar, calculamos la diferencia 16-12 \u003d 4. Tengo 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4.

En la expresión resultante, reemplazamos el grado 2 3 de su valor 8, después de lo cual calculamos el producto 8 · 4 \u003d 32. Este es el valor deseado.

Entonces, 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4 \u003d 8 · 4 \u003d 32.

Respuesta:

2 3 · (4 2 -12) \u003d 32.

Ejemplo.

Simplificar expresiones con grados. 3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B-7.

Decisión.

Es obvio que esta expresión contiene términos similares 3 · A 4 · B-7 y 2 · A 4 · B-7, y podemos guiarlos :.

Respuesta:

3 · A 4 · B-7 -1 + 2 · A 4 · B -7 \u003d 5 · A 4 · B-7 -1.

Ejemplo.

Presente una expresión con grados en forma de trabajo.

Decisión.

El crédito con la tarea permite la representación del número 9 en forma de grado 3 2 y el uso posterior de la fórmula de la multiplicación abreviada. Diferencias cuadradas:

Respuesta:

También hay una serie de transformaciones idénticas inherentes a las expresiones de energía. Luego los discerniremos.

Trabajar con la base e indicador del grado.

Hay extensión, en la base y / o indicador de los cuales no son solo números o variables, sino algunas expresiones. Como ejemplo, proporcione el registro (2 + 0.3 · 7) 5-3.7 y (a · (A + 1) -A 2) 2 · (x + 1).

Cuando se trabaja con expresiones similares, es posible como una expresión en la base del grado y la expresión en el indicador se reemplaza idénticamente a la expresión en la extraña de sus variables. En otras palabras, podemos convertir por separado la raíz del grado de los Estados Unidos por separado, y por separado el indicador. Está claro que, como resultado de esta transformación, una expresión será idéntica igual a la inicial.

Tales transformaciones permiten simplificar las expresiones con títulos o alcanzar otros propósitos que necesitamos. Por ejemplo, en la expresión de energía mencionada anteriormente (2 + 0.3 · 7) 5-3.7, es posible realizar acciones con números en la base e indicador, lo que le permitirá pasar al grado de 4.1 1.3. Y después de las divulgaciones de los soportes y brindar términos similares en la base del grado (A · (A + 1) -A 2) 2 · (x + 1) obtendramos una expresión de energía más vista simple un 2 · (x + 1).

Usa las propiedades de los grados.

Una de las herramientas principales para transformar expresiones con grados es la igualdad que se refleja. Recordemos el principal de ellos. Para cualquiera números positivos A y B y los números válidos arbitrarios R y S son justos para las siguientes propiedades de los grados:

• un r · a s \u003d a r + s;
• a R: A S \u003d A R-S;
• (a · b) r \u003d a r · b r;
• (A: B) R \u003d A R: B R;
• (A R) S \u003d A R · S.

Tenga en cuenta que con los indicadores naturales, enteros, así como los indicadores positivos del grado de restricción en el número A y B, pueden no ser tan estrictos. Por ejemplo, para números naturales M y N Igualdad A M · A N \u003d A M + N es cierto no solo para positivo A, sino también para negativo, y para A \u003d 0.

En la escuela, el enfoque en la transformación de las expresiones de energía se enfoca en la capacidad de seleccionar una propiedad adecuada y aplicarla correctamente. Al mismo tiempo, las bases de los grados suelen ser positivas, lo que permite el uso de las propiedades de los grados sin restricciones. Lo mismo se aplica a la transformación de expresiones que contienen variables en las bases - la región valores permisibles Las variables suelen ser que solo los valores positivos lo toman, lo que le permite usar libremente las propiedades de los grados. En general, es necesario preguntarse constantemente si es posible utilizar cualquier propiedad de títulos en este caso, porque el uso incorrecto de las propiedades puede llevar a un estrechamiento de OTZ y otros problemas. En detalle y en los ejemplos, estos momentos se desmontan en la transformación del artículo de las expresiones utilizando las propiedades de los grados. Aquí nos restringiremos a la consideración de varios ejemplos simples.

Ejemplo.

Prepare una expresión A 2.5 · (A 2) -3: A -5.5 como licenciatura con una base A.

Decisión.

Primero, el segundo factor (A 2) -3 está convirtiendo el ejercicio en el grado en el grado en el grado: (A 2) -3 \u003d A 2 · (-3) \u003d A -6. La expresión de energía inicial toma el formulario A 2.5 · A -6: A -5.5. Obviamente, queda por aprovechar las propiedades de la multiplicación y la división de grados con la misma base, tenemos
un 2.5 · a -6: a -5.5 \u003d
a 2.5-6: A -5.5 \u003d A -3,5: A -5.5 \u003d
a -3.5 - (- 5.5) \u003d A 2.

Respuesta:

a 2.5 · (A 2) -3: A -5.5 \u003d A 2.

Las propiedades de los grados al convertir las expresiones de energía se utilizan de izquierda a derecha y derecha a izquierda.

Ejemplo.

Encuentra el valor de una expresión de energía.

Decisión.

La igualdad (A · B) R \u003d A R · B R, aplicada a la izquierda derecha, permite que la expresión inicial se mueva al producto y más. Y al multiplicar grados con las mismas bases, los indicadores se pliegan: .

Fue posible realizar la transformación de la expresión inicial y de otra manera:

Respuesta:

.

Ejemplo.

La expresión de energía A 1.5 -A 0.5 -6, ingrese una nueva variable T \u003d A 0.5.

Decisión.

El grado A 1.5 se puede representar como 0.5 · 3 y en la base de datos de la propiedad de grado en el grado (A R) S \u003d A R · S, aplicado a la derecha a izquierda, convertirla al formulario (A 0.5) 3. De este modo, a 1,5 -A 0.5 -6 \u003d (A 0.5) 3 -A 0.5 -6. Ahora es fácil ingresar una nueva variable T \u003d A 0.5, obtenemos T 3 -T-6.

Respuesta:

t 3 -T-6.

Transformación de fracciones que contienen grados.

Las expresiones poderosas pueden contener fracciones con títulos o representar tales fracciones. Dichas fracciones son totalmente aplicables cualquiera de las principales transformaciones de fracciones que son inherentes a las fracciones de cualquier tipo. Es decir, las fracciones que contienen grados pueden reducirse, conducir a un nuevo denominador, trabajar por separado con su numerador y por separado con el denominador, etc. Para ilustrar las palabras, considere soluciones de varios ejemplos.

Ejemplo.

Simplificar la expresión de energía .

Decisión.

Esta expresión de energía es una fracción. Trabajaremos con su numerador y denominador. En el numerador, revelaremos los paréntesis y simplificaremos la expresión obtenida después de esto, utilizando las propiedades de los grados, y en el denominador daremos términos similares:

Y aún cambia el signo del denominador, colocando menos antes de la fracción: .

Respuesta:

.

Llevar los grados de fracciones a un nuevo denominador se lleva a cabo de manera similar para traer fracciones racionales a un nuevo denominador. Al mismo tiempo, también se encuentra un factor adicional y se multiplican el numerador y el denominador de la fracción. Realizando esta acción, vale la pena recordar que llevar a un nuevo denominador puede llevar a un estrechamiento de OTZ. A esto no sucede, es necesario que el factor adicional no se aplique a cero, sin importar los valores de las variables de las variables impares para la expresión inicial.

Ejemplo.

Da fracciones a un nuevo denominador: a) al denominador A, B) al denominador.

Decisión.

a) En este caso, es bastante simple imaginar lo que un factor adicional ayuda a lograr el resultado deseado. Este es un multiplicador A 0.3, como 0.7 · a 0.3 \u003d A 0.7 + 0.3 \u003d A. Tenga en cuenta que en el área de los valores permisibles de la variable A (estas son una pluralidad de todos los números válidos positivos). Grado A 0.3 no apela a cero, por lo tanto, tenemos el derecho de multiplicar el numerador y el denominador de la Fracción especificada en este factor adicional:

b) Mirando más estrechamente con el denominador, se puede encontrar que

Y la multiplicación de esta expresión se dará la cantidad de cubos y, es decir,. Y este es el nuevo denominador al que necesitamos para traer la fracción original.

Así que encontramos un factor adicional. En el área de valores permisibles de las variables X e Y, la expresión no se aplica a cero, por lo tanto, podemos multiplicar el numerador y el denominador de la fracción:

Respuesta:

pero) B) .

No hay nada nuevo en la reducción de las fracciones que contengan grados, no hay nada nuevo: el numerador y el denominador se representan como varios multiplicadores, y se reducen los mismos multiplicadores del numerador y el denominador.

Ejemplo.

Reducir la fracción: a) , B).

Decisión.

a) En primer lugar, el numerador y el denominador se pueden reducir a los números 30 y 45, que es igual a 15. Además, obviamente, puede hacer una reducción en x 0.5 +1 y . Eso es lo que tenemos:

b) En este caso, los mismos multiplicadores en el numerador y el denominador no pueden ser visibles inmediatamente. Para conseguirlos, tendrás que realizar transformaciones preliminares. En este caso, se concluyen en la expansión del denominador para multiplicadores utilizando la fórmula de la diferencia cuadrada:

Respuesta:

pero)

B) .

Traer fracciones a un nuevo denominador y la reducción de las fracciones se utiliza principalmente para realizar una acción con fracciones. Las acciones se realizan de acuerdo con las normas conocidas. Al agregar (restar) fracciones, se le dan a un denominador compartido, después de lo cual se completan los números (restados), y el denominador sigue siendo el mismo. Como resultado, resulta una fracción, cuyo numerador es el producto de los números, y el denominador es un producto de denominadores. La división de la fracción es la multiplicación por fracción, la inversa.

Ejemplo.

Sigue los pasos .

Decisión.

Primero, realizamos la resta de fracciones ubicadas entre paréntesis. Para hacer esto, llevarlos a un denominador común que tenga , después de lo cual restamos los números:

Ahora multiplicamos las fracciones:

Obviamente, es posible reducir el grado de X 1/2, después de lo cual tenemos .

Aún puede simplificar la expresión de energía en el denominador, utilizando la fórmula de la diferencia cuadrada: .

Respuesta:

Ejemplo.

Simplificar la expresión de energía .

Decisión.

Obviamente, esta fracción se puede reducir por (x 2.7 +1) 2, da una fracción . Está claro que necesita hacer algo más con los grados de ICA. Para hacer esto, transformamos la fracción resultante en el trabajo. Esto nos da la oportunidad de aprovechar la propiedad de los títulos con los mismos motivos: . Y en conclusión, proceda del último trabajo a la fracción.

Respuesta:

.

Y también agrego que es posible y, en muchos casos, es deseable transferir tasas de grado múltiples desde el numerador a un denominador o del denominador a un numerador, cambiando el indicador. Tales transformaciones a menudo simplifican las acciones adicionales. Por ejemplo, una expresión de energía puede ser reemplazada por.

Transformación de expresiones con raíces y grados.

A menudo, en expresiones que requieren algunas transformaciones, junto con grados con indicadores fraccionarios, hay raíces. Para convertir una expresión similar a la mente correcta, en la mayoría de los casos, es suficiente para ir a raíces o solo a grados. Pero como es más conveniente trabajar con grados, generalmente vaya de raíces a grados. Sin embargo, es recomendable ejercer tal transición cuando las variables OTZ para la expresión inicial hace posible reemplazar las raíces por grados sin tener que girar al módulo o dividir OTZ a varias huecos (nos desmontamos en detalle la transición de las raíces A los grados y de vuelta después de explorar el grado con un indicador racional, se introduce el grado con el indicador irracional, lo que le permite hablar sobre el grado con un indicador real arbitrario. En esta etapa, la escuela comienza a estudiar funcion exponencialque se define analizánicamente por el grado en que se encuentra el número, y en el indicador, la variable. Por lo tanto, nos enfrentamos a las expresiones poderosas que contienen el número en la base del grado, y en el indicador: expresiones con variables, y naturalmente existe la necesidad de realizar transformaciones de tales expresiones.

Se debe decir que la transformación de las expresiones de las especies especificadas generalmente debe realizarse al resolver ecuaciones indicatorias y desigualdades indicativos Y estas transformaciones son bastante simples. En el abrumador número de casos, se basan en las propiedades de grado y están dirigidas a la mayor parte de ingresar a una nueva variable en el futuro. Demuéstreles permitirá la ecuación. 5 2 · x + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x-1 \u003d 0.

En primer lugar, los grados en los indicadores de los cuales hay una suma de alguna variable (o expresiones con variables) y los números son reemplazados por las obras. Esto se aplica a las expresiones del primer y último término desde el lado izquierdo:
5 2 · x · 5 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x · 7 -1 \u003d 0,
5 · 5 2 · x -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 · x \u003d 0.

Además, la división de ambas partes de la igualdad se realiza en la expresión 7 2 · x, que solo valores positivos asumen la ecuación de origen a la ecuación de origen (esta es la recepción estándar de las ecuaciones de este tipo, no es Acerca de él ahora, así que se centra en las transformaciones posteriores de las expresiones con grados):

Ahora las fracciones se reducen con grados, lo que da .

Finalmente, la proporción de títulos con los mismos indicadores se reemplaza por grados de relaciones, lo que conduce a la ecuación. Eso es equivalente . Las transformaciones hechas le permiten ingresar una nueva variable, que reduce la solución del original. ecuación indicativa Para resolver la ecuación cuadrada.

I. V. Boykov, L. D. ROMONOVA Colección de tareas para la preparación para el examen. Parte 1. Penza 2003.