Cómo calcular la longitud de la hipotenusa. Solución del triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo contiene una gran cantidad de dependencias. Esto lo convierte en un objeto atractivo para varios tipos de problemas geométricos. Uno de los problemas más comunes es encontrar la hipotenusa.

Triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es un triángulo que contiene un ángulo recto, es decir ángulo de 90 grados. Solo en un triángulo rectángulo las funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de los lados. En un triángulo arbitrario, se deberán realizar construcciones adicionales.
En un triángulo rectángulo, dos de las tres alturas coinciden con los lados se llaman catetos. El tercer lado se llama hipotenusa. La altura dibujada a la hipotenusa es la única en este tipo de triángulo que requiere construcciones adicionales.

Arroz. 1. Tipos de triángulos.

Un triángulo rectángulo no puede tener ángulos obtusos. Así como la existencia de un segundo ángulo recto es imposible. En este caso, se viola la identidad de la suma de los ángulos de un triángulo, que siempre es igual a 180 grados.

Hipotenusa

Vayamos directamente a la hipotenusa del triángulo. La hipotenusa es el lado más largo del triángulo. La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos, pero siempre es menor que la suma de los catetos. Esta es una consecuencia del teorema de desigualdad del triángulo.

El teorema dice que en un triángulo ninguno de los lados puede ser mayor que la suma de los otros dos. También hay una segunda formulación o la segunda parte del teorema: en un triángulo, el ángulo mayor se encuentra frente al lado mayor y viceversa.

Arroz. 2. Triángulo rectángulo.

En un triángulo rectángulo, un ángulo recto es un ángulo grande, ya que no puede haber un segundo ángulo recto ni un ángulo obtuso por las razones ya mencionadas. Esto significa que el lado más largo siempre se encuentra frente al ángulo recto.

Parece incomprensible por qué exactamente un triángulo rectángulo merecía un nombre distinto para cada uno de los lados. De hecho, en un triángulo isósceles, los lados también tienen sus propios nombres: los lados y la base. Pero es para los catetos y las hipotenusas que a los profesores les gusta especialmente poner doses. ¿Por qué? Por un lado, se trata de un homenaje a la memoria de los antiguos griegos, los inventores de las matemáticas. Fueron ellos quienes estudiaron los triángulos rectángulos y, junto con este conocimiento, dejaron toda una capa de información sobre la cual se construye la ciencia moderna. Por otro lado, la existencia de estos nombres simplifica enormemente la formulación de teoremas e identidades trigonométricas.

Teorema de pitágoras

Si un profesor pregunta sobre la fórmula de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces con una probabilidad del 90 %, se refiere al teorema de Pitágoras. El teorema dice: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Arroz. 3. Hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Presta atención a la forma clara y sucinta en que se formula el teorema. Tal simplicidad no se puede lograr sin usar los conceptos de hipotenusa y cateto.

El teorema tiene la siguiente fórmula:

$c^2=b^2+a^2$ – donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos de un triángulo rectángulo.

¿Qué hemos aprendido?

Hablamos de lo que es un triángulo rectángulo. Aprendimos por qué se les ocurrieron los nombres de los catetos y la hipotenusa. Descubrimos algunas propiedades de la hipotenusa y dimos la fórmula para la longitud de la hipotenusa de un triángulo a través del teorema de Pitágoras.

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Después de estudiar el tema de los triángulos rectángulos, los estudiantes a menudo se sacan de la cabeza toda la información sobre ellos. Incluyendo cómo encontrar la hipotenusa, sin mencionar qué es.

Y en vano Porque en el futuro, la diagonal del rectángulo resulta ser esta misma hipotenusa, y es necesario encontrarla. O el diámetro del círculo coincide con el lado mayor del triángulo, uno de cuyos ángulos es recto. Y es imposible encontrarlo sin este conocimiento.

Hay varias formas de encontrar la hipotenusa de un triángulo. La elección del método depende del conjunto de datos inicial en el problema de las cantidades.

Método número 1: se dan ambas piernas

Este es el método más memorable porque utiliza el teorema de Pitágoras. Solo a veces los estudiantes olvidan que esta fórmula es el cuadrado de la hipotenusa. Entonces, para encontrar el lado en sí, necesitarás sacar la raíz cuadrada. Por lo tanto, la fórmula de la hipotenusa, que generalmente se denota con la letra "c", se verá así:

c = √ (un 2 + un 2), donde las letras "a" y "b" se escriben ambos catetos de un triángulo rectángulo.

Método número 2: se conocen el cateto y el ángulo adyacente

Para aprender a encontrar la hipotenusa, debes recordar las funciones trigonométricas. Es decir, coseno. Por conveniencia, supondremos que el cateto "a" y el ángulo α adyacente a él están dados.

Ahora debemos recordar que el coseno del ángulo de un triángulo rectángulo es igual a la razón de los dos lados. El numerador será el valor del cateto y el denominador será la hipotenusa. De esto se deduce que este último se puede calcular mediante la fórmula:

c = a / cos α.

Método número 3: dado el cateto y el ángulo que se encuentra frente a él

Para no confundirse con las fórmulas, introducimos la designación de este ángulo - β, y dejamos el lado como "a". En este caso, se requiere otra función trigonométrica: el seno.

Como en el ejemplo anterior, el seno es igual a la razón del cateto a la hipotenusa. La fórmula para este método se ve así:

c \u003d a / sin β.

Para no confundirse con las funciones trigonométricas, puede recordar una regla mnemotécnica simple: si el problema es sobre acerca de esquina opuesta, entonces necesitas usar con y nous si - oh pr y mintiendo, luego a acerca de seno. Preste atención a las primeras vocales de las palabras clave. forman parejas Oh y o y sobre.

Método número 4: a lo largo del radio del círculo circunscrito

Ahora, para saber cómo encontrar la hipotenusa, debes recordar la propiedad del círculo, que se describe alrededor de un triángulo rectángulo. Dice lo siguiente. El centro de la circunferencia coincide con el punto medio de la hipotenusa. En otras palabras, el lado más largo de un triángulo rectángulo es igual a la diagonal del círculo. Es decir, el doble del radio. La fórmula para esta tarea se vería así:

c = 2 * r, donde r denota el radio conocido.

Todas estas son formas posibles de encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo. En cada tarea específica, debe utilizar el método que sea más adecuado para el conjunto de datos.

Ejemplo de tarea #1

Condición: en un triángulo rectángulo, las medianas se dibujan en ambos lados. La longitud de la dibujada hacia el lado mayor es √52. La otra mediana tiene una longitud de √73. Necesitas calcular la hipotenusa.

Como las medianas se dibujan en un triángulo, dividen los catetos en dos segmentos iguales. Para la conveniencia de razonar y encontrar cómo encontrar la hipotenusa, debe introducir varias notaciones. Deje que ambas mitades de la pierna más grande se marquen con la letra "x" y la otra con "y".

Ahora necesitamos considerar dos triángulos rectángulos, cuyas hipotenusas son medianas conocidas. Para ellos, debe escribir la fórmula del teorema de Pitágoras dos veces:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Estas dos ecuaciones forman un sistema con dos incógnitas. Habiéndolos resuelto, será fácil encontrar los catetos del triángulo original y su hipotenusa a partir de ellos.

Primero necesitas elevar todo al segundo grado. Resulta:

4y2 + x2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

De la segunda ecuación se puede ver que y 2 \u003d 73 - 4x 2. Esta expresión se debe sustituir en la primera y calcular "x":

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Después de la conversión:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 o 15 x 2 \u003d 240.

De la última expresión x = √16 = 4.

Ahora puedes calcular "y":

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Según la condición, resulta que los catetos del triángulo original son 6 y 8. Entonces, puedes usar la fórmula del primer método y encontrar la hipotenusa:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Responder: la hipotenusa es 10.

Ejemplo de tarea #2

Condición: calcular la diagonal trazada en un rectángulo de lado menor igual a 41. Si se sabe que divide el ángulo en los que se relacionan de 2 a 1.

En este problema, la diagonal de un rectángulo es el lado más largo de un triángulo de 90º. Así que todo se reduce a cómo encontrar la hipotenusa.

El problema son las esquinas. Esto significa que necesitará usar una de las fórmulas en las que hay funciones trigonométricas. Y primero necesitas determinar el valor de uno de los ángulos agudos.

Sea α el menor de los ángulos a los que se refiere la condición. Entonces el ángulo recto, que se divide por la diagonal, será igual a 3α. La notación matemática para esto se ve así:

A partir de esta ecuación es fácil determinar α. Será igual a 30º. Además, estará enfrente del lado más pequeño del rectángulo. Por lo tanto, se requerirá la fórmula descrita en el método No. 3.

La hipotenusa es igual a la razón del cateto al seno del ángulo opuesto, es decir:

41 / sen 30º = 41 / (0,5) = 82.

Respuesta: La hipotenusa es 82.

Un triángulo es un número geométrico formado por tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en la misma línea. Los puntos que forman un triángulo se llaman sus puntos, y los segmentos están uno al lado del otro.

Dependiendo del tipo de triángulo (rectangular, monocromático, etc.), puede calcular el lado del triángulo de diferentes maneras, según los datos de entrada y las condiciones del problema.

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Para calcular los lados de un triángulo rectángulo se utiliza el teorema de Pitágoras, según el cual el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados del cateto.

Si etiquetamos los catetos con "a" y "b" y la hipotenusa con "c", entonces se pueden encontrar páginas con las siguientes fórmulas:

Si se conocen los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (a y b), sus lados se pueden encontrar con las siguientes fórmulas:

triangulo recortado

Un triángulo se llama triángulo equilátero en el que ambos lados son iguales.

Como hallar la hipotenusa en dos catetos

Si la letra "a" es idéntica a la misma página, "b" es la base, "b" es la esquina opuesta a la base, "a" es la esquina adyacente, se pueden usar las siguientes fórmulas para calcular las páginas:

Dos esquinas y lado

Si se conocen una página (c) y dos ángulos (a y b) de cualquier triángulo, se usa la fórmula del seno para calcular las páginas restantes:

Debes encontrar el tercer valor y = 180 - (a + b) porque

la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°;

Dos lados y un ángulo

Si se conocen dos lados de un triángulo (a y b) y el ángulo entre ellos (y), se puede usar el teorema del coseno para calcular el tercer lado.

Cómo determinar el perímetro de un triángulo rectángulo

Un triángulo triangular es un triángulo, uno de los cuales tiene 90 grados y los otros dos son agudos. cálculo perímetro tal triángulo dependiendo de la cantidad de información conocida al respecto.

Lo necesitaras

Dependiendo de la ocasión, habilidades 2 de los tres lados del triángulo, así como una de sus esquinas afiladas.

instrucciones

primero Método 1. Si se conocen las tres páginas triángulo Entonces, sea perpendicular o no triangular, el perímetro se calcula como: P = A + B + C, en lo posible, c es la hipotenusa; a y b son catetos.

segundo Método 2.

Si un rectángulo tiene solo dos lados, entonces usando el teorema de Pitágoras, triángulo se puede calcular mediante la fórmula: P = v (a2 + b2) + a + b o P = v (c2 - b2) + b + c.

El tercero Método 3. ¿Sea la hipotenusa c y un ángulo agudo? Dado un triángulo rectángulo, será posible encontrar el perímetro de esta manera: P = (1 + sen?

cuatro Método 4. Dicen que en el triángulo rectángulo la longitud de un cateto es igual aa y, por el contrario, tiene un ángulo agudo. Luego calcula perímetro Este triángulo se realizará según la fórmula: P = a * (1/tg?

1 / hijo? + 1)

quinto Método 5.

Cálculo en línea de triángulos

Deje que nuestra pierna dirija y se incluya en ella, luego el rango se calculará como: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

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El teorema de Pitágoras es la base de cualquier matemática. Especifica la relación entre los lados de un triángulo verdadero. Ahora hay 367 demostraciones de este teorema.

instrucciones

primero La formulación clásica de la escuela del teorema de Pitágoras suena así: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Para encontrar la hipotenusa en un triángulo rectángulo de dos Catetes, debes convertir al cuadrado la longitud de los catetos, ensamblarlos y sacar la raíz cuadrada de la suma. En la formulación original de su afirmación, el mercado se basa en la hipotenusa, igual a la suma de los cuadrados de 2 cuadrados producidos por Catete. Sin embargo, la formulación algebraica moderna no requiere la introducción de una representación de dominio.

segundo Por ejemplo, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm y 8 cm.

Entonces, según el teorema de Pitágoras, la hipotenusa cuadrada es R + S = 49 + 64 = 113 cm La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de 113.

Ángulos de un triángulo rectángulo

El resultado fue un número irrazonable.

El tercero Si los triángulos son los catetos 3 y 4, entonces la hipotenusa = 25 = 5. Cuando sacas la raíz cuadrada, obtienes un número natural. Los números 3, 4, 5 forman una terna pigagórica, ya que satisfacen la relación x? +Y? = Z, que es natural.

Otros ejemplos de triplete pitagórico son: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

cuatro En este caso, si los catetos son idénticos entre sí, el teorema de Pitágoras se convierte en una ecuación más primitiva. Por ejemplo, sea tal mano igual al número A y la hipotenusa está definida para C, y luego c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. En este caso, no necesita A.

quinto El teorema de Pitágoras es un caso especial, mayor que el teorema general del coseno, que establece una relación entre los tres lados de un triángulo para cualquier ángulo entre dos de ellos.

Consejo 2: Cómo determinar la hipotenusa para catetos y ángulos

La hipotenusa se llama el lado en un triángulo rectángulo que es opuesto al ángulo de 90 grados.

instrucciones

primero En el caso de los catéteres conocidos, además de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, el tamaño de la hipotenusa puede ser igual a la relación del cateto al coseno/seno de este ángulo, si el ángulo fuera opuesto/e incluyen: H = C1 (o C2) / sin, H = C1 (o С2 ?) / cos ?. Ejemplo: Sea ABC un triángulo irregular con hipotenusa AB y ángulo recto C.

Sean B 60 grados y A 30 grados. La longitud del tallo BC es de 8 cm, se debe encontrar la longitud de la hipotenusa AB. Para hacer esto, puede usar uno de los métodos anteriores: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

La hipotenusa es el lado más largo del rectángulo. triángulo. Se encuentra en ángulo recto. Método para encontrar la hipotenusa de un rectángulo. triángulo dependiendo de los datos de origen.

instrucciones

primero Si tus piernas son perpendiculares triángulo, entonces la longitud de la hipotenusa del rectángulo triángulo se puede encontrar por el análogo pitagórico: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos: c2 = a2 + b2, donde a y b son la longitud de los catetos de la derecha triángulo .

segundo Si se conoce y uno de los catetos forma un ángulo agudo, la fórmula para encontrar la hipotenusa dependerá de la presencia o ausencia en un cierto ángulo con respecto al cateto conocido - adyacente (el cateto se encuentra cerca), o viceversa versa (el caso contrario se encuentra nego.V del ángulo especificado es igual a la fracción de cateto hipotenusa en ángulo coseno: a = a / cos; E, por otro lado, la hipotenusa es lo mismo que la relación de ángulos sinusoidales: da = a / pecado.

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Consejos útiles
Un triángulo angular cuyos lados están conectados como 3:4:5, llamado delta egipcio, debido a que estas figuras fueron muy utilizadas por los arquitectos del antiguo Egipto.

Este es también el ejemplo más simple de los triángulos de Jeron, con páginas y áreas representadas como números enteros.

Un triángulo se llama rectángulo cuyo ángulo es de 90°. El lado opuesto a la esquina derecha se llama hipotenusa, el otro lado se llama catetos.

Si desea averiguar cómo se forma un triángulo rectángulo mediante algunas propiedades de los triángulos regulares, a saber, el hecho de que la suma de los ángulos agudos es 90°, que se utiliza, y el hecho de que la longitud del cateto opuesto es la mitad de la hipotenusa es 30°.

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triangulo recortado

Una de las propiedades de un triángulo igual es que sus dos ángulos son iguales.

Para calcular el ángulo de un triángulo equilátero rectángulo, necesitas saber que:

No es peor que 90°.
Los valores de los ángulos agudos están determinados por la fórmula: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, es decir
Los ángulos α y β miden 45°.

Si se conoce el valor conocido de uno de los ángulos agudos, el otro se puede encontrar mediante la fórmula: β = 180º-90º-α o α = 180º-90º-β.

Esta relación se usa más comúnmente si uno de los ángulos es de 60° o 30°.

Conceptos clave

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Debido a que es un nivel, dos se mantienen nítidos.

Calcular triángulo en línea

Si quieres encontrarlos, debes saber que:

otros metodos

Los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo se pueden calcular a partir de la media, con una línea desde un punto en el lado opuesto del triángulo y la altura, la línea es una perpendicular trazada desde la hipotenusa en un ángulo recto.

Deje que la mediana se extienda desde la esquina derecha hasta la mitad de la hipotenusa, y h sea la altura. En este caso resulta que:

senα = b / (2 * s); sen β = a / (2 * s).
cosα = a/(2*s); cos β = b / (2 * s).
senα = h/b; sen β = h / a.

Dos paginas

Si se conocen las longitudes de la hipotenusa y uno de los catetos en un triángulo rectángulo o de dos lados, entonces se utilizan identidades trigonométricas para determinar los valores de los ángulos agudos:

α=arcoseno(a/c), β=arcoseno(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α = arctan (a/b), β = arctan (b/a).

Longitud de un triángulo rectángulo

Área y Área de un Triángulo

perímetro

La circunferencia de cualquier triángulo es igual a la suma de las longitudes de los tres lados. La fórmula general para encontrar un triángulo triangular es:

donde P es la circunferencia del triángulo, a, b y c son sus lados.

Perímetro de un triángulo igual se puede encontrar combinando sucesivamente las longitudes de sus lados, o multiplicando la longitud del lado por 2 y sumando la longitud de la base al producto.

La fórmula general para encontrar un triángulo de equilibrio se verá así:

donde P es el perímetro de un triángulo igual, pero b, b son la base.

Perímetro de un triángulo equilátero se puede encontrar combinando sucesivamente las longitudes de sus lados, o multiplicando la longitud de cualquier página por 3.

La fórmula general para encontrar el borde de los triángulos equiláteros se vería así:

donde P es el perímetro de un triángulo equilátero, a es cualquiera de sus lados.

región

Si quieres medir el área de un triángulo, puedes compararlo con un paralelogramo. Considere el triángulo ABC:

Si tomamos el mismo triángulo y lo arreglamos para obtener un paralelogramo, obtenemos un paralelogramo con la misma altura y base que este triángulo:

En este caso, el lado común de los triángulos se dobla a lo largo de la diagonal del paralelogramo moldeado.

De las propiedades de un paralelogramo. Se sabe que las diagonales de un paralelogramo siempre se dividen en dos triángulos iguales, entonces la superficie de cada triángulo es igual a la mitad del recorrido del paralelogramo.

Como el área del paralelogramo es el producto de la altura de su base, el área del triángulo será la mitad de ese producto. Entonces para ΔABC el área será la misma

Ahora considere un triángulo rectángulo:

Dos triángulos rectángulos idénticos se pueden doblar en un rectángulo si se apoya contra ellos, que es cualquier otra hipotenusa.

Como la superficie del rectángulo coincide con la superficie de los lados adyacentes, el área de este triángulo es la misma:

De esto podemos concluir que la superficie de cualquier triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos dividido por 2.

De estos ejemplos, podemos concluir que la superficie de cada triángulo es igual al producto de la longitud, y la altura se reduce a la base dividida por 2.

La fórmula general para hallar el área de un triángulo quedaría así:

donde S es el área del triángulo, pero su base, pero la altura cae al fondo a.

Conociendo uno de los catetos de un triángulo rectángulo, puedes encontrar el segundo cateto y la hipotenusa usando relaciones trigonométricas: el seno y la tangente de un ángulo conocido. Dado que la razón del cateto opuesto al ángulo a la hipotenusa es igual al seno de este ángulo, por lo tanto, para encontrar la hipotenusa, el cateto debe dividirse por el seno del ángulo. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

El segundo cateto se puede encontrar a partir de la tangente del ángulo conocido, como la razón del cateto conocido a la tangente. a/b=bronceado⁡α b=a/bronceado⁡α

Para calcular el ángulo desconocido en un triángulo rectángulo, debes restar el ángulo α de 90 grados. β=90°-α

El perímetro y el área de un triángulo rectángulo a través del cateto y el ángulo opuesto a él se pueden expresar sustituyendo las expresiones obtenidas anteriormente para el segundo cateto y la hipotenusa en las fórmulas. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 bronceados⁡α)

También se puede calcular la altura mediante relaciones trigonométricas, pero ya en el interior del triángulo rectángulo de lado a, que forma. Para hacer esto, necesitas el lado a, como la hipotenusa de dicho triángulo, multiplicado por el seno del ángulo β o el coseno de α, ya que según las identidades trigonométricas son equivalentes. (fig. 79.2) h=a cos⁡α

La mediana de la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa o del cateto conocido a dividido por dos senos α. Para encontrar las medianas de los catetos, llevamos las fórmulas a la forma apropiada para el lado y los ángulos conocidos. (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/bronceado^2⁡α)/2=(a√(4 bronceado^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Dado que la bisectriz de un ángulo recto en un triángulo es el producto de dos lados y la raíz de dos, dividido por la suma de estos lados, reemplazando uno de los catetos por la razón del cateto conocido a la tangente, obtenemos la siguiente expresión. De manera similar, al sustituir la razón en la segunda y tercera fórmulas, se pueden calcular las bisectrices de los ángulos α y β. (fig.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (bronceado⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/bronceado⁡α √(2c (a/bronceado⁡α +c)))/(a/bronceado⁡α +c)=(a√(2c(a/bronceado⁡α +c)))/(a+c bronceado⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

La línea media corre paralela a uno de los lados del triángulo, formando otro triángulo rectángulo similar con los mismos ángulos, en el que todos los lados tienen la mitad del tamaño del original. Con base en esto, las líneas medias se pueden encontrar usando las siguientes fórmulas, conociendo solo el cateto y el ángulo opuesto a él. (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

El radio de la circunferencia inscrita es igual a la diferencia entre los catetos y la hipotenusa dividida por dos, y para hallar el radio de la circunferencia circunscrita hay que dividir la hipotenusa por dos. Reemplazamos el segundo cateto y la hipotenusa con las razones del cateto a al seno y la tangente, respectivamente. (Fig. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Los primeros son los segmentos que son adyacentes al ángulo recto, y la hipotenusa es la parte más larga de la figura y está opuesta al ángulo de 90 grados. Un triángulo pitagórico es aquel cuyos lados son iguales a los números naturales; sus longitudes en este caso se denominan "triple pitagórico".

triangulo egipcio

Para que la generación actual aprenda geometría en la forma en que se enseña ahora en la escuela, se ha desarrollado durante varios siglos. El punto fundamental es el teorema de Pitágoras. Los lados de un rectángulo son conocidos en todo el mundo) son 3, 4, 5.

Pocas personas no están familiarizadas con la frase "los pantalones pitagóricos son iguales en todas las direcciones". Sin embargo, de hecho, el teorema suena así: c 2 (el cuadrado de la hipotenusa) \u003d a 2 + b 2 (la suma de los cuadrados de los catetos).

Entre los matemáticos, un triángulo con lados 3, 4, 5 (cm, m, etc.) se llama "egipcio". Es interesante que lo que está inscrito en la figura sea igual a uno. El nombre surgió alrededor del siglo V a. C., cuando los filósofos griegos viajaron a Egipto.

Al construir las pirámides, los arquitectos y agrimensores utilizaron la proporción 3:4:5. Tales estructuras resultaron ser proporcionales, agradables a la vista y espaciosas, y rara vez colapsaron.

Para construir un ángulo recto, los constructores usaron una cuerda en la que se ataron 12 nudos. En este caso, la probabilidad de construir un triángulo rectángulo aumentó al 95 %.

Signos de igualdad de figuras.

Un ángulo agudo en un triángulo rectángulo y un lado grande, que son iguales a los mismos elementos en el segundo triángulo, son un signo indiscutible de la igualdad de las figuras. Teniendo en cuenta la suma de los ángulos, es fácil probar que los segundos ángulos agudos también son iguales. Así, los triángulos son idénticos en el segundo criterio.
Cuando dos figuras se superponen, las rotamos de tal manera que, al combinarlas, se conviertan en un triángulo isósceles. Según su propiedad, los lados, o mejor dicho, las hipotenusas son iguales, así como los ángulos en la base, lo que significa que estas figuras son iguales.

Por el primer signo, es muy fácil demostrar que los triángulos son realmente iguales, lo principal es que los dos lados menores (es decir, los catetos) son iguales entre sí.

Los triángulos serán iguales según el signo II, cuya esencia es la igualdad del cateto y el ángulo agudo.

Propiedades del triangulo rectangulo

La altura, que se bajó desde un ángulo recto, divide la figura en dos partes iguales.

Los lados de un triángulo rectángulo y su mediana son fáciles de reconocer por la regla: la mediana, que se reduce a la hipotenusa, es igual a la mitad de ella. se puede encontrar tanto por la fórmula de Heron como por la declaración de que es igual a la mitad del producto de las piernas.

En un triángulo rectángulo se aplican las propiedades de los ángulos de 30°, 45° y 60°.

En un ángulo que sea de 30°, cabe recordar que el cateto opuesto será igual a la 1/2 del lado mayor.
Si el ángulo es de 45o, entonces el segundo ángulo agudo también es de 45o. Esto sugiere que el triángulo es isósceles y sus catetos son iguales.
La propiedad de un ángulo de 60 grados es que el tercer ángulo tiene una medida de 30 grados.

El área es fácil de encontrar mediante una de tres fórmulas:

por la altura y el lado por el que desciende;
según la fórmula de Heron;
a lo largo de los lados y el ángulo entre ellos.

Los lados de un triángulo rectángulo, o más bien los catetos, convergen con dos alturas. Para encontrar el tercero, es necesario considerar el triángulo resultante y luego, usando el teorema de Pitágoras, calcular la longitud requerida. Además de esta fórmula, también existe la razón del doble del área y la longitud de la hipotenusa. La expresión más común entre los estudiantes es la primera, ya que requiere menos cálculos.

Teoremas que se aplican a un triángulo rectángulo

La geometría de un triángulo rectángulo incluye el uso de teoremas como: