Lección del sistema de ecuaciones y desigualdades exponenciales. Ecuaciones exponenciales
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones.
Para empezar, recordemos brevemente qué métodos para resolver sistemas de ecuaciones existen en general.
Existe cuatro formas principales soluciones de sistemas de ecuaciones:
Método de sustitución: se toma cualquiera de estas ecuaciones y $ y $ se expresa mediante $ x $, luego $ y $ se sustituye en la ecuación del sistema, desde donde se encuentra la variable $ x. $ Después de eso, podemos calcular fácilmente la variable $ y. $
Método de suma: en este método es necesario multiplicar una o ambas ecuaciones por números tales que al sumar ambas una de las variables “desaparezca”.
Método gráfico: ambas ecuaciones del sistema se muestran en el plano de coordenadas y se encuentra el punto de su intersección.
Método de introducción de nuevas variables: en este método reemplazamos cualquier expresión para simplificar el sistema, y luego aplicamos uno de los métodos anteriores.
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Definición 1
Sistemas de ecuaciones que constan de ecuaciones exponenciales, se denominan sistema de ecuaciones exponenciales.
Consideraremos la solución de sistemas de ecuaciones exponenciales mediante ejemplos.
Ejemplo 1
Resolver sistema de ecuaciones
Foto 1.
Solución.
Usaremos el primer método para resolver este sistema. Primero, expresemos $ y $ en términos de $ x $ en la primera ecuación.
Figura 2.
Sustituye $ y $ en la segunda ecuación:
\ \ \ [- 2-x = 2 \] \ \
Respuesta: $(-4,6)$.
Ejemplo 2
Resolver sistema de ecuaciones
Figura 3.
Solución.
Este sistema es equivalente al sistema
Figura 4.
Apliquemos el cuarto método para resolver ecuaciones. Sea $ 2 ^ x = u \ (u> 0) $, y $ 3 ^ y = v \ (v> 0) $, obtenemos:
Figura 5.
Resolvamos el sistema resultante por el método de la suma. Agreguemos las ecuaciones:
\ \
Luego, de la segunda ecuación, obtenemos que
Volviendo al reemplazo, obtuve un nuevo sistema de ecuaciones exponenciales:
Figura 6.
Obtenemos:
Figura 7.
Respuesta: $(0,1)$.
Sistemas de desigualdades exponenciales
Definición 2
Los sistemas de desigualdades que consisten en ecuaciones exponenciales se denominan sistema desigualdades exponenciales.
Consideraremos la solución de sistemas de desigualdades exponenciales mediante ejemplos.
Ejemplo 3
Resuelve el sistema de desigualdades
Figura 8.
Solución:
Este sistema de desigualdades es equivalente al sistema
Figura 9.
Para resolver la primera desigualdad, recuerde el siguiente teorema sobre la equivalencia de desigualdades exponenciales:
Teorema 1. La desigualdad $ a ^ (f (x))> a ^ (\ varphi (x)) $, donde $ a> 0, a \ ne 1 $ es equivalente a la colección de dos sistemas
\ \ \
Respuesta: $(-4,6)$.
Ejemplo 2
Resolver sistema de ecuaciones
Figura 3.
Solución.
Este sistema es equivalente al sistema
Figura 4.
Apliquemos el cuarto método para resolver ecuaciones. Sea $ 2 ^ x = u \ (u> 0) $, y $ 3 ^ y = v \ (v> 0) $, obtenemos:
Figura 5.
Resolvamos el sistema resultante por el método de la suma. Agreguemos las ecuaciones:
\ \
Luego, de la segunda ecuación, obtenemos que
Volviendo al reemplazo, obtuve un nuevo sistema de ecuaciones exponenciales:
Figura 6.
Obtenemos:
Figura 7.
Respuesta: $(0,1)$.
Sistemas de desigualdades exponenciales
Definición 2
Los sistemas de desigualdades que consisten en ecuaciones exponenciales se denominan sistema de desigualdades exponenciales.
Consideraremos la solución de sistemas de desigualdades exponenciales mediante ejemplos.
Ejemplo 3
Resuelve el sistema de desigualdades
Figura 8.
Solución:
Este sistema de desigualdades es equivalente al sistema
Figura 9.
Para resolver la primera desigualdad, recuerde el siguiente teorema sobre la equivalencia de desigualdades exponenciales:
Teorema 1. La desigualdad $ a ^ (f (x))> a ^ (\ varphi (x)) $, donde $ a> 0, a \ ne 1 $ es equivalente a la colección de dos sistemas
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