تابع خطی. تابع خط تابع y x 2 را رسم کنید

یاد بگیرید که مشتقات توابع را بگیرید.مشتق نرخ تغییر یک تابع را در یک نقطه مشخص در نمودار این تابع مشخص می کند. در این حالت، نمودار می تواند یک خط مستقیم یا منحنی باشد. یعنی مشتق نرخ تغییر یک تابع را در یک نقطه خاص از زمان مشخص می کند. قوانین کلی که بر اساس آن مشتقات گرفته می شوند را به خاطر بسپارید و تنها پس از آن به مرحله بعدی بروید.

• مقاله را بخوان.
• نحوه گرفتن ساده ترین مشتقات، به عنوان مثال، مشتق یک معادله نمایی، توضیح داده شده است. محاسبات ارائه شده در مراحل زیر بر اساس روش های شرح داده شده در آن خواهد بود.

یاد بگیرید که مسائلی را که در آنها شیب باید از طریق مشتق یک تابع محاسبه شود، تشخیص دهید.مشکلات همیشه از شما نمی خواهند شیب یا مشتق یک تابع را پیدا کنید. برای مثال، ممکن است از شما خواسته شود که نرخ تغییر یک تابع را در نقطه A(x,y) بیابید. همچنین ممکن است از شما خواسته شود که شیب مماس را در نقطه A(x,y) بیابید. در هر دو مورد لازم است مشتق تابع را بگیریم.

مشتق تابعی که به شما داده شده است را بگیرید.در اینجا نیازی به ساختن نمودار نیست - فقط به معادله تابع نیاز دارید. در مثال ما، مشتق تابع را در نظر بگیرید f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). مشتق را با توجه به روش های ذکر شده در مقاله ذکر شده در بالا بگیرید:

مختصات نقطه ای که به شما داده شده را با مشتق یافت شده جایگزین کنید تا شیب را محاسبه کنید.مشتق یک تابع برابر با شیب در یک نقطه معین است. به عبارت دیگر، f"(x) شیب تابع در هر نقطه است (x,f(x)). در مثال ما:

در صورت امکان، پاسخ خود را در نمودار بررسی کنید.به یاد داشته باشید که شیب را نمی توان در هر نقطه محاسبه کرد. حساب دیفرانسیل با توابع پیچیده و نمودارهای پیچیده سروکار دارد که در آن شیب را نمی توان در هر نقطه محاسبه کرد و در برخی موارد نقاط به هیچ وجه روی نمودارها قرار نمی گیرند. در صورت امکان، از یک ماشین حساب نمودار استفاده کنید تا بررسی کنید که شیب تابعی که به شما داده شده است درست است. در غیر این صورت، یک مماس بر نمودار در نقطه ای که به شما داده شده رسم کنید و به این فکر کنید که آیا مقدار شیبی که پیدا کردید با آنچه در نمودار می بینید مطابقت دارد یا خیر.

• مماس شیب مشابهی با نمودار تابع در یک نقطه خاص خواهد داشت. برای رسم مماس در یک نقطه داده شده، روی محور X به چپ/راست حرکت کنید (در مثال ما 22 مقدار به سمت راست) و سپس یک مقدار در محور Y بالا بروید. نقطه را علامت گذاری کنید و سپس آن را به امتیاز به شما داده شده در مثال ما، نقاط را با مختصات (4،2) و (26،3) وصل کنید.

مفهوم تابع عددی روش های تعیین یک تابع خواص توابع.

تابع عددی تابعی است که از یک فضای عددی (مجموعه) به فضای عددی دیگر (مجموعه) عمل می کند.

سه روش اصلی برای تعریف یک تابع: تحلیلی، جدولی و گرافیکی.

1. تحلیلی.

روش تعیین تابع با استفاده از فرمول را تحلیلی می نامند. این روش اصلی ترین روش در تشک است. تجزیه و تحلیل، اما در عمل راحت نیست.

2. روش جدولی برای تعیین یک تابع.

یک تابع را می توان با استفاده از جدولی که حاوی مقادیر آرگومان و مقادیر تابع متناظر آنها است، مشخص کرد.

3. روش گرافیکی تعیین یک تابع.

به یک تابع y=f(x) گفته می شود که اگر نمودار آن ساخته شده باشد به صورت گرافیکی داده می شود. این روش تعیین یک تابع، تعیین مقادیر تابع را فقط به طور تقریبی امکان پذیر می کند، زیرا ساخت یک نمودار و یافتن مقادیر تابع روی آن با خطا همراه است.

ویژگی های یک تابع که باید هنگام ساخت نمودار آن در نظر گرفته شود:

1) دامنه تعریف تابع.

دامنه تابع،یعنی آن مقادیری که آرگومان x تابع F =y (x) می تواند بگیرد.

2) فواصل توابع افزایش و کاهش.

تابع افزایش نامیده می شوددر بازه مورد بررسی، اگر مقدار بزرگتری از آرگومان با مقدار بزرگتری از تابع y(x) مطابقت داشته باشد. این بدان معنی است که اگر دو آرگومان دلخواه x 1 و x 2 از بازه مورد بررسی گرفته شود و x 1 > x 2، آنگاه y(x 1) > y(x 2) باشد.

تابع کاهش نامیده می شوددر بازه مورد بررسی، اگر مقدار بزرگتری از آرگومان با مقدار کوچکتری از تابع y(x) مطابقت داشته باشد. این بدان معنی است که اگر دو آرگومان دلخواه x 1 و x 2 از بازه مورد بررسی گرفته شود، و x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) تابع صفر.

به نقاطی که تابع F = y (x) محور آبسیسا را ​​قطع می کند (با حل معادله y(x) = 0 به دست می آیند) صفرهای تابع نامیده می شوند.

4) توابع زوج و فرد.

تابع زوج نامیده می شود،اگر برای همه مقادیر آرگومان از محدوده

y(-x) = y(x).

نمودار یک تابع زوج متقارن نسبت به ارتجاع است.

تابع فرد نامیده می شود، اگر برای همه مقادیر آرگومان از دامنه تعریف

y(-x) = -y(x).

نمودار یک تابع زوج نسبت به مبدا متقارن است.

بسیاری از توابع نه زوج هستند و نه فرد.

5) تناوب بودن تابع.

تابع دوره ای نامیده می شود،اگر عدد P وجود داشته باشد به طوری که برای تمام مقادیر آرگومان از دامنه تعریف

y (x + P) = y (x).

تابع خطی، خواص و نمودار آن.

تابع خطی تابعی از فرم است y = kx + b، بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است.

ک- شیب (عدد واقعی)

ب- عبارت ساختگی (عدد واقعی)

ایکس- متغیر مستقل

· در حالت خاص، اگر k = 0 باشد، یک تابع ثابت y = b به دست می آوریم که نمودار آن یک خط مستقیم موازی با محور Ox است که از نقطه ای با مختصات (0؛ b) می گذرد.

· اگر b = 0 باشد، تابع y = kx به دست می آید که تناسب مستقیم است.

o معنای هندسی ضریب b طول قطعه ای است که خط مستقیم آن را در امتداد محور Oy قطع می کند و از مبدأ شمارش می کند.

o معنای هندسی ضریب k زاویه میل خط مستقیم به جهت مثبت محور Ox است که در خلاف جهت عقربه های ساعت محاسبه می شود.

ویژگی های تابع خطی:

1) دامنه تعریف تابع خطی کل محور واقعی است.

2) اگر k ≠ 0 باشد، دامنه مقادیر تابع خطی کل محور واقعی است.

اگر k = 0 باشد، محدوده مقادیر تابع خطی از عدد b تشکیل شده است.

3) یکنواختی و عجیب بودن یک تابع خطی به مقادیر ضرایب k و b بستگی دارد.

الف) b ≠ 0، k = 0، بنابراین، y = b - زوج.

ب) b = 0، k ≠ 0، بنابراین y = kx – فرد.

ج) b ≠ 0، k ≠ 0، بنابراین y = kx + b تابعی از شکل کلی است.

د) b = 0، k = 0، بنابراین y = 0 هم یک تابع زوج و هم یک تابع فرد است.

4) تابع خطی خاصیت تناوب را ندارد.

5) نقاط تقاطع با محورهای مختصات:

Ox: y = kx + b = 0، x = -b/k، بنابراین (-b/k؛ 0) نقطه تقاطع با محور x است.

Oy: y = 0k + b = b، بنابراین (0؛ b) نقطه تقاطع با مصداق است.

اظهار نظر. اگر b = 0 و k = 0، تابع y = 0 برای هر مقدار از متغیر x ناپدید می شود. اگر b ≠ 0 و k = 0 باشد، تابع y = b برای هیچ مقداری از متغیر x ناپدید نمی شود.

6) فواصل علامت ثابت به ضریب k بستگی دارد.

الف) k > 0; kx + b > 0، kx > -b، x > -b/k.

y = kx + b - مثبت در x از (-b/k؛ +∞)،

y = kx + b - منفی برای x از (-∞؛ -b/k).

ب) ک< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - مثبت در x از (-∞؛ -b/k)،

y = kx + b - منفی برای x از (-b/k؛ +∞).

ج) k = 0، b > 0; y = kx + b در کل دامنه تعریف مثبت است،

k = 0، b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) فواصل یکنواختی یک تابع خطی به ضریب k بستگی دارد.

k> 0، بنابراین y = kx + b در کل دامنه تعریف افزایش می یابد،

ک< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. تابع y = ax 2 + bx + c، خواص و نمودار آن.

تابع y = ax 2 + bx + c (a، b، c ثابت هستند، a ≠ 0) نامیده می شود. درجه دومدر ساده ترین حالت، y = ax 2 (b = c = 0) نمودار یک خط منحنی است که از مبدا می گذرد. منحنی که به عنوان نمودار تابع y = ax 2 عمل می کند یک سهمی است. هر سهمی دارای یک محور تقارن به نام است محور سهمینقطه O تقاطع سهمی با محور آن نامیده می شود راس سهمی.

نمودار را می توان بر اساس طرح زیر ساخت: 1) مختصات راس سهمی را پیدا کنید x 0 = -b/2a. y 0 = y (x 0). 2) چندین نقطه دیگر را می سازیم که متعلق به سهمی است؛ هنگام ساخت، می توانیم از تقارن سهمی نسبت به خط مستقیم x = -b/2a استفاده کنیم. 3) نقاط مشخص شده را با یک خط صاف وصل کنید. مثال. تابع b = x 2 + 2x - 3 را رسم کنید.راه حل ها نمودار تابع یک سهمی است که شاخه های آن به سمت بالا هستند. آبسیسا راس سهمی x 0 = 2/(2 ∙1) = -1، مختصات آن y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. بنابراین، راس سهمی نقطه (-1; -4) است. بیایید جدول مقادیر را برای چندین نقطه که در سمت راست محور تقارن سهمی قرار دارند - خط مستقیم x = -1 جمع آوری کنیم. ویژگی های عملکرد

موضوع درس: تابع y =k ایکس 2 ، خواص و نمودار آن .

هدف از درس: تعمیم و نظام مند کردن دانش در مورد تابع درجه دوم، خواص و نمودار آن

اهداف آموزشی:

ویژگی های اصلی تابع درجه دوم y =kx 2 و نمودار آن را با استفاده از مدل سازی کامپیوتری و یک تخته سفید تعاملی ادغام کنید.

حل مسائل ریاضی با استفاده از چندین روش و روش، شناسایی مزایا و معایب هر یک از آنها.

وظایف توسعه ای

توسعه توانایی های ارتباطی دانش آموزان،

توسعه فرهنگ فکری و پژوهشی دانشجویان،

توسعه مهارت در مدل سازی کامپیوتری و کار بر روی تخته سفید تعاملی

وظایف آموزشی:

احترام به نظرات دیگران را تقویت کنید

نگرش جدی و مسئولانه به کار آموزشی

نوع درس: ارائه درس، کارگاه.

روش های تدریس: گفتگو، توضیح، بازی تجاری، نمایش، شبیه سازی کامپیوتری، کار عملی.

اشکال سازماندهی کار با دانش آموزان: فردی، جلویی، جفتی (گروهی).

تجهیزات: کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، تخته سفید تعاملی، تخته معمولی، کاغذ نمودار، جزوه ها: کارهای چند سطحی، یادداشتی با الزامات انجام کار عملی.

نرم افزار: ارائه آماده شده است V مایکروسافت پاورپوینت؛ Advanced Grapher 1.62 (برنامه چند منظوره برای مطالعه توابع ریاضی با رابط گرافیکی مناسب. به شما امکان می دهد نمودارهایی از توابع و مشتقات آنها بسازید، مازاد توابع و ریشه معادلات را پیدا کنید، یکپارچگی را انجام دهید، جدولی از مقادیر تابع را بدست آورید. با توجه به فرمول آن و غیره، وضعیت: نرم افزار رایگان، حق چاپ: SerpikSoft، وب سایت: ) نرم افزار وایت برد تعاملی

طرح درس.

1. لحظه سازمانی - 1-2 دقیقه.

2. تعیین اهداف و مقاصد برای درس - 2 دقیقه.

3. تجهیزات - 1 دقیقه.

4. تکرار مطالب قبلا مطالعه شده - 10 دقیقه.

وظیفه شماره 1

وظیفه شماره 2

5. کار عملی - 25 دقیقه.

وظیفه شماره 3

دفاع از کار انجام شده شماره 3

وظیفه شماره 4

دفاع از کار انجام شده شماره 4

6. تکالیف - 2 دقیقه.

7. جمع بندی درس. درجه بندی - 3 دقیقه

در طول کلاس ها

اسلاید 1 نشان داده شده است.

مرحله I. زمان سازماندهی

معلم به بچه ها سلام می کند ، به کسانی که غایب هستند یادداشت می کند ، در دسترس بودن ابزار نقاشی ، جزوه ها را بررسی می کند: کارت های کار ، کاغذ نمودار ، یادآوری.

تعیین هدف و اهداف درس

اسلاید 2-5 نشان داده شده است

معلم. امروز ما دانش و مهارت های به دست آمده را در عمل خلاصه و آزمایش خواهیم کرد، دانش را در مورد تابع درجه دوم گسترش و نظام مند خواهیم کرد. y = kx 2 ، به عنوان یکی از مدل های ریاضی. بیایید به تسلط بر قابلیت های تخته سفید تعاملی، با استفاده از رایانه در کار خود ادامه دهیم و ساخت نمودارهایی از توابع درجه دوم را با استفاده از آن در نظر بگیریم.

در زندگی واقعی، فرآیندهایی وجود دارد که توسط مدل‌های ریاضی مختلف شکل توصیف می‌شوند y = f ( ایکس )، جی de f ( ایکس ) - تابع. در کلاس هفتم با تابع خطی آشنا شدیم، در کلاس هشتم شروع به آشنایی با مدل ریاضی دیگری کردیم که مطالعه کرده بودیم. f ( ایکس ) – تابع درجه دوم. بیایید بررسی کنیم که در اولین کار چگونه یاد گرفتید که یک مدل را از مدل دیگر تشخیص دهید.

مرحله دوم. تکرار.

وظیفه 1. نمودار تابع را برچسب گذاری کنید.

برای هر نمودار نشان داده شده در تخته سفید تعاملی، تابع مربوطه را پیدا کنید.

اسلاید 6 نشان داده شده است

در تخته سفید تعاملی، دانش آموزان در طول زنجیره با استفاده از روش جابجایی اشیا (نام توابع) از گالری نقاشی ها، ضمن توجیه انتخاب خود، توابع را به نمودار مربوطه منتقل می کنند.

بقیه دانش‌آموزان در یک دفترچه و دو دانش‌آموز روی یک تخته معمولی به طور همزمان توابعی را در دو ستون جدول می‌نویسند و مقدار مربوطه را نشان می‌دهند. ک و ب . کار خلاصه شده است. دانش آموزان تست متقابل انجام می دهند (روی تخته های تعاملی و معمولی، در نوت بوک).

طبقه بندی بر اساس نوع مدل ریاضی

y = kx + b

y = kx 2

y = 3x + 2 ; k = 3 b = 2

y = 3x 2 ; k = 3

y = 2x ; k = 2 b = 0

y = - 3x 2 ; k =-3

y = 2x ; k = 2 b = 0

y = x 2 ; k = 1

سر راست

سهمی

وظیفه 2. ویژگی های یک تابع درجه دوم را فهرست کنید.

اسلاید 7 نشان داده شده است

معلم. در ریاضیات، تشخیص یک مدل از مدل دیگر، دانستن ویژگی‌های هر کدام و توانایی استفاده از زبان‌های مختلف (کلامی، نمادین، گرافیکی) در هنگام توصیف این ویژگی‌ها مهم است. در آماده‌سازی برای درس، گروهی از کودکان اطلاعات کلی در مورد تابع درجه دوم را با استفاده از زبان نمادین در جدولی نظام‌بندی کردند. در تخته سفید تعاملی، جدول ویژگی های عملکرد با یک پرده پوشانده شده است. بیایید آنچه را که در مورد ویژگی های تابع درجه دوم می دانیم به یاد بیاوریم.

پس از بررسی پیشانی برای فهرست کردن ویژگی‌های یک تابع درجه دوم، با استفاده از تکنیک پرده از چپ به راست، اولین ستون جدول باز می‌شود. بچه ها جدول را بررسی می کنند تا ببینند که آیا همه املاک نامگذاری شده اند یا خیر. سپس بسته به ضریب، ویژگی های تابع فهرست می شود؛ در طول مکالمه، ردیف های جدول به طور همزمان باز می شوند - تکنیک پایین آوردن پرده.

پاسخ دانش آموزان شنیده می شود و نتایج حاصل از تکرار ویژگی های تابع درجه دوم خلاصه می شود. دانش آموزان از خودکنترلی استفاده می کنند.

مرحله III. کاربرد دانش و مهارت

کار عملی

اسلاید 8 نشان داده شده است

وظیفه شماره 3. "خواص یک تابع داده شده را به صورت تکه ای بسازید و توصیف کنید

معلم. بنابراین، اکنون ما سعی خواهیم کرد تمام دانش را به روش های مختلف در عمل به کار ببریم.

اکنون به سه گروه تقسیم می شوید:

گروه شماره 1 "برنامه نویسان"» – با استفاده از کامپیوتر یک نمودار از یک تابع بسازید.

گروه شماره 2 "تمرین"- ساختن نمودار یک تابع بدون استفاده از کامپیوتر روی کاغذ گراف.

گروه شماره 3 "نظریه پردازان" -خصوصیات یک تابع معین را شرح دهد.

برای بچه های گروه شماره 1 (شرکت در دوره اختیاری IVT) الگوریتم کاری برای مدل سازی کامپیوتری روی تابلوی تعاملی نمایش داده می شود ( اسلاید 9 نشان داده شده است) گروه شماره 2 از یادداشت استفاده می کند اسلاید 23، برنامه شماره 2) , گروه شماره 3 یک نمودار آماده از این تابع را روی میز دارد که از قبل توسط دانش آموزان در دوره انتخابی IVT تکمیل شده است. اسلاید 14 ).

تکلیف کودکان گروه شماره 2 با توانایی های کمتر از حد متوسط ​​به وظایف فرعی تقسیم می شود. دانش‌آموزان ضعیف نموداری از یک تابع درجه دوم می‌سازند، دانش‌آموزان قوی‌تر نموداری از یک تابع درجه دوم و خطی می‌سازند، دانش‌آموزان پیشرفته تمام کار را به‌طور کلی کامل می‌کنند.

معلم تکلیف را برای دانش آموزانی که در هر گروه ابتدا تکلیف را انجام داده اند بررسی می کند. سپس، با تکمیل کار عملی، دانش آموزان تکالیف یکدیگر را به صورت زنجیره ای بررسی می کنند. به این ترتیب کار تمام دانش آموزان بررسی می شود. آن دسته از دانش آموزانی که مشکلاتی را تجربه می کنند برای کمک به معلم یا رفقای جفت همسایه مراجعه می کنند.

اسلاید 10-15 نشان داده شده است

حفاظت از کار انجام شده

هر گروه یک رهبر را شناسایی می کند که مسئول حفاظت از کار است. دانش آموزان مراحل ساخت و توصیف ویژگی های یک تابع را تجزیه و تحلیل می کنند. دانش آموزان گروه شماره 2 با مقایسه نمودار خود با نمودار روی تخته سفید تعاملی که با استفاده از مدل سازی کامپیوتری توسط دانش آموزان گروه شماره 1 ساخته شده است، خودکنترلی را اعمال می کنند. دانش آموزان گروه شماره 3 در مورد ویژگی های تابع، نمودار نظر می دهند. که در تابلو ارائه شده است.

در طول دفاع، معلم سؤالاتی می پرسد که به شناسایی مزایا و معایب هر روش برای ترسیم نمودار یک تابع کمک می کند:

مزیت این روش ترسیم نمودار یک تابع چیست؟

چه معایب این روش را می توانید نام ببرید؟

محافظت از کارهای انجام شده با استفاده از رایانه

اسلاید 16 نشان داده شده است

مزایای روش:

تجسم، سرعت کار، دقت ساخت و ساز، سهولت اجرا، توانایی تأیید خودکار نتیجه. یک برنامه نه تنها بر روی کاغذ، بلکه به صورت الکترونیکی نیز ایجاد می شود.

معایب این روش:

مهارت های محاسباتی بهبود نمی یابند، ارتباطی با تئوری وجود ندارد، سخت افزار و نرم افزار در دسترس نیست.

اسلاید 17 نشان داده شده است

محافظت از کارهای انجام شده بدون کامپیوتر

مزایای روش:

استقلال از فناوری رایانه در هنگام استفاده؛ توسعه مهارت های محاسباتی، ارتباط با نظریه.

معایب این روش:

کار زمان زیادی می برد ، هیچ دقتی در ساخت وجود ندارد ، تأیید خودکار نتیجه غیرممکن است. نمودار فقط روی کاغذ ایجاد می شود.

وظیفه شماره 4 "معادله را حل کنیدایکس 2 = 4 ایکس - 4"

اسلاید 18 نشان داده شده است

معلم. از شما دعوت می کنیم معادله را با استفاده از دو روش گرافیکی و تحلیلی حل کنید.

1. روش گرافیکی - به دو صورت (مدل سازی کامپیوتری و بدون کمک کامپیوتر).

2. روش – تحلیلی.

دانش آموزان با تجزیه و تحلیل مراحل حل نموداری یک معادله، الگوریتمی را برای تکمیل تکلیف فرموله می کنند. اسلاید 19 نشان داده شده است

هنگام استفاده از روش حل تحلیلی، لازم است فرمول مجذور اختلاف دو عبارت را به خاطر بسپارید.

روش حل گرافیکی را می توان به دو صورت با استفاده از مدل سازی کامپیوتری و به صورت سنتی ارائه کرد.

این کار توسط دانش آموزان گروه های شماره 1-3 مطابق با همان طرحی که هنگام انجام کار عملی تکلیف شماره 3 انجام می شود انجام می شود. دانش آموزان کار را تکمیل می کنند و نتیجه را با هم مقایسه می کنند.

حفاظت از کار انجام شده

گروهی از بچه ها که در رایانه کار می کنند، نتیجه کار خود را با استفاده از یک پروژکتور چند رسانه ای روی تخته سفید تعاملی نشان می دهند و نقطه تقاطع نمودارهای تابع را نشان می دهند و مختصات آن را امضا می کنند. گروه دانش آموزان شماره 3 - "نظریه پردازان"، تصمیم در هیئت مدیره معمولی گرفته می شود. گروه دانش‌آموزان شماره 3 - «تمرین‌کنندگان»، نتایج را با تابلوی تعاملی بررسی کنید.

اسلاید 20 نشان داده شده است

معلم تکلیف می دهد نتایج را مقایسه کنید از نظر خود روش موثرتری را تعیین کنید.

مرحله IV. مشق شب.

اسلاید 21 نشان داده شده است

معلم. در کلاس به صورت گروهی، دوتایی کار می کردید و یک کار را با هم انجام می دادید. در خانه باید بر اساس توانایی های خود کار عملی انجام دهید. کار با سطوح دشواری متمایز می شود ( اسلاید 22 - پیوست 2، اسلاید 23 ). یک اسلاید با دستورالعمل تکمیل کار روی تخته نشان داده شده است.

مرحله V. جمع بندی درس. درجه بندی.

اسلاید 24 نشان داده شده است

امروز ما با استفاده از مدل سازی کامپیوتری و تخته سفید تعاملی دانش را در مورد "تابع y = x 2، خصوصیات و نمودار آن" خلاصه و نظام مند کرده ایم، راه حل یک مسئله ریاضی را از چند جهت بررسی کرده و به مزایا و معایب هر کدام پی برده ایم. روش. برای شما، یک روش جهانی تر استفاده از مدل سازی ریاضی است. با این حال، انتخاب یک روش خاص به اهدافی نیز بستگی دارد که هنگام حل یک مشکل خاص تعیین می کنیم. مسائل مختلف ریاضی به ما این فرصت را می دهد تا تکنیک ها، روش ها و روش های مختلف را برای مسائل کاربردی خاص به کار ببریم. و شما حق دارید مواردی را انتخاب کنید که در شرایط داده شده مناسب تر باشند. در درس بعدی به سراغ آشنایی با یک مدل ریاضی جدید می رویم و موجودی توابع مورد مطالعه را پر می کنیم. تمام دانش و مهارت های به دست آمده از ساخت نمودارهای تابع به دو صورت به شما در کار آینده شما کمک می کند. با تشکر از همه برای کار شما.

ادبیات

مجله «ریاضیات در مدرسه»، شماره 10، 1387

مجله انفورماتیک و آموزش، شماره 10، 1387.

A.G. Mordkovich. جبر پایه هشتم. قسمت 1. کتاب درسی. M.: Mnemosyne، 2005.

A.G. Mordkovich. جبر پایه هشتم. بخش 2. کتاب مسائل. M.: Mnemosyne، 2005.

L.A.Alexandrova. جبر پایه هشتم. آثار مستقل / ویرایش. A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne، 2006.

A.G. Mordkovich. جبر 7-9. راهنمای روش شناسی برای معلمان. M.: Mnemosyne، 2000.

پیوست 1

یادداشت

1. چگونه یک تابع را نمودار کنیم.

جدولی از مقادیر ایجاد کنید.

نقاطی را در صفحه مختصات بسازید.

نقاط را با یک خط صاف وصل کنید.

نمودار تابع را برچسب گذاری کنید.

2. چگونه مقدار یک تابع را پیدا کنیم f (ایکس ) طبق برنامه.

مقدار متناظر متغیر را در محور x پیدا کنید.

یک عمود بر نمودار تابع رسم کنید و یک نقطه را روی آن ثابت کنید.

از این نقطه یک عمود بر محور مختصات رسم کنید.

نقطه تقاطع محور در – و مقدار تابع است f ( ایکس ).

3. نحوه بررسی اینکه آیا یک نقطه به نمودار یک تابع تعلق دارد یا خیر.

مقدار تابع را از ابسیسا نقطه پیدا کنید.

نتیجه را با ترتیب نقطه مقایسه کنید.

اگر مقادیر منطبق باشند، نقطه متعلق به نمودار تابع است.

پیوست 2

کار عملی

گزینه A

1. نمودار تابع y = 2 ایکس 2

یک مفهوم در در x = -1; 2 1/2

ب) ارزش ایکس ، اگر y = -8 باشد

V) y حداکثر و y نام در بخش [-1; 2]

3. آیا نقطه A (-5؛ 50) به نمودار تابع تعلق دارد؟

گزینه B

1. نمودار تابع y = - 0.5 ایکس 2

2. برای این تابع، پیدا کنید:

یک مفهوم در در x = -2; 0; 3

ب) ارزش ایکس اگر y = - 8

V) y حداکثر و y نام در بخش [- 4; 0]

3. آیا نقطه A به نمودار تابع تعلق دارد (-10؛ - 50)

گزینه ج

1. نمودار تابع y = 3/2 ایکس 2

2. برای این تابع، پیدا کنید:

یک مفهوم در در x = 2; 1 2/3

ب) ارزش ایکس اگر y = 6

V) y حداکثر و y نام در بخش [- 2; 1]

3. آیا نقطه A (-8;- 96) متعلق به نمودار تابع است؟

تعریف تابع خطی

اجازه دهید تعریف تابع خطی را معرفی کنیم

تعریف

تابعی به شکل $y=kx+b$ که $k$ غیر صفر است، تابع خطی نامیده می شود.

نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. عدد $k$ را شیب خط می نامند.

وقتی $b=0$ تابع خطی تابع تناسب مستقیم $y=kx$ نامیده می شود.

شکل 1 را در نظر بگیرید.

برنج. 1. معنای هندسی شیب یک خط

مثلث ABC را در نظر بگیرید. می بینیم که $ВС=kx_0+b$. بیایید نقطه تقاطع خط $y=kx+b$ را با محور $Ox$ پیدا کنیم:

\ \

بنابراین $AC=x_0+\frac(b)(k)$. بیایید نسبت این اضلاع را پیدا کنیم:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

از سوی دیگر، $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

بنابراین، می توانیم نتیجه گیری زیر را داشته باشیم:

نتیجه

معنای هندسی ضریب $k$. ضریب زاویه ای خط مستقیم $k$ برابر است با مماس زاویه میل این خط مستقیم بر محور $Ox$.

مطالعه تابع خطی $f\left(x\right)=kx+b$ و نمودار آن

ابتدا تابع $f\left(x\right)=kx+b$ را در نظر بگیرید که در آن $k > 0$ است.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. در نتیجه، این تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. هیچ نقطه افراطی وجود ندارد.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. نمودار (شکل 2).

برنج. 2. نمودارهای تابع $y=kx+b$، برای $k > 0$.

حالا تابع $f\left(x\right)=kx$ را در نظر بگیرید که در آن $k است

1. دامنه تعریف همه اعداد است.
2. محدوده مقادیر همه اعداد است.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. تابع نه زوج است و نه فرد.
4. برای $x=0،f\left(0\right)=b$. وقتی $y=0.0=kx+b،\ x=-\frac(b)(k)$.

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: $\left(-\frac(b)(k)،0\right)$ و $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. بنابراین، تابع نقطه عطف ندارد.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. نمودار (شکل 3).

تابع خطی y = kx + m زمانی که m = 0 شکل y = kx را به خود می گیرد. در این مورد می توانید متوجه شوید که:

1. اگر x = 0، y = 0. بنابراین، نمودار تابع خطی y = kx بدون توجه به مقدار k از مبدأ عبور می کند.
2. اگر x = 1، y = k.

بیایید مقادیر مختلف k را در نظر بگیریم و چگونه y از این تغییر می کند.

اگر k مثبت باشد (k > 0)، آنگاه خط مستقیم (نمودار تابع) که از مبدا می گذرد، در ربع مختصات I و III قرار می گیرد. به هر حال، با k مثبت، وقتی x مثبت است، y نیز مثبت خواهد بود. و وقتی x منفی است، y نیز منفی خواهد بود. به عنوان مثال، برای تابع y = 2x، اگر x = 0.5، آنگاه y = 1. اگر x = -0.5، y = -1.

حال با فرض k مثبت، سه معادله خطی مختلف را در نظر بگیرید. بگذارید اینها باشند: y = 0.5x و y = 2x و y = 3x. مقدار y برای همان x چگونه تغییر می کند؟ بدیهی است که با k افزایش می یابد: هر چه k بزرگتر باشد، y بزرگتر است. این بدان معنی است که خط مستقیم (گراف تابع) با مقدار k بزرگتر، زاویه بیشتری بین محور x (محور آبسیسا) و نمودار تابع خواهد داشت. بنابراین، زاویه ای که در آن محور مستقیم محور x را قطع می کند به k بستگی دارد و از این رو k به صورت شیب تابع خطی.

حال بیایید وضعیت را مطالعه کنیم که k x مثبت است، سپس y منفی خواهد بود. و بالعکس: اگر x y > 0 باشد. بنابراین، نمودار تابع y = kx برای در k

فرض کنید معادلات خطی وجود دارد y = –0.5x، y = –2x، y = –3x. برای x = 1، y = –0.5، y = –2، y = –3 را دریافت می کنیم. برای x = 2، y = –1، y = –2، y = –6 را دریافت می کنیم. بنابراین، هر چه k بزرگتر باشد، اگر x مثبت باشد، y بزرگتر است.

با این حال، اگر x = –1، آنگاه y = 0.5، y = 2، y = 3. برای x = –2، y = 1، y = 4، y = 6 را دریافت می کنیم. در اینجا، با کاهش مقدار k، y در x افزایش می یابد

نمودار تابع در k

نمودارهای توابع از نوع y = kx + m با نمودارهای y = km فقط در یک جابجایی موازی متفاوت است.