در مورد حل سیستم های منحط و بد شرط معادلات جبری خطی. حل سیستم های نامشخص معادلات جبری خطی حل معادلات غیرخطی و سیستم های معادلات غیرخطی

8.2.3. سیستم های منحط و بد شرایط

اجازه دهید دوباره به SLAE Ax=b با یک ماتریس مربع A با اندازه MxN برگردیم، که بر خلاف حالت "خوب" در نظر گرفته شده در بالا (به بخش 8. D مراجعه کنید)، به رویکرد خاصی نیاز دارد. اجازه دهید به دو نوع مشابه SLAE توجه کنیم:

• سیستم منحط (با تعیین کننده صفر |A|=0)؛
• سیستم شرطی ضعیف (تعیین کننده A برابر با صفر نیست، اما عدد شرط بسیار بزرگ است).

علیرغم این واقعیت که این نوع سیستم های معادلات به طور قابل توجهی با یکدیگر متفاوت هستند (برای اولی راه حلی وجود ندارد، اما برای دومی تنها یک راه حل وجود دارد)، از نقطه نظر عملی رایانه، اشتراکات زیادی بین آنها وجود دارد. آنها

SLAE های منحط

یک سیستم منحط سیستمی است که توسط ماتریسی با تعیین کننده صفر |A|=0 (ماتریس منفرد) توصیف می شود. از آنجایی که برخی از معادلات موجود در چنین سیستمی با ترکیب خطی معادلات دیگر نشان داده می شوند، در واقع خود سیستم کمتر تعیین شده است. به راحتی می توان فهمید که بسته به نوع خاص بردار سمت راست b، یا تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد یا اصلاً هیچ کدام وجود ندارد. گزینه اول به ساخت یک شبه راه حل معمولی می رسد (یعنی انتخاب از بین مجموعه ای از راه حل ها که نزدیک ترین به یک بردار معین است، مثلاً صفر). این مورد به تفصیل در بخش مورد بحث قرار گرفت. 8.2.2 (به فهرست های 8.11-8.13 مراجعه کنید).

برنج. 8.7. نمایش گرافیکی یک سیستم ناسازگار از دو معادله با یک ماتریس منفرد

بیایید حالت دوم را در نظر بگیریم، زمانی که SLAE Aх=b با ماتریس مربع منفرد A یک جواب واحد ندارد. نمونه ای از چنین مسئله ای (برای یک سیستم دو معادله) در شکل 1 نشان داده شده است. 8.7، که در قسمت بالایی آن ماتریس A و بردار b معرفی شده است و تلاشی (ناموفق، زیرا ماتریس A منفرد است) برای حل سیستم با استفاده از تابع isolve انجام می شود. نموداری که قسمت اصلی شکل را اشغال می کند نشان می دهد که دو معادله تعریف کننده سیستم دو خط موازی را در صفحه (x0,xi) تعریف می کنند. خطوط در هیچ نقطه ای از صفحه مختصات قطع نمی شوند و بر این اساس، هیچ راه حلی برای سیستم وجود ندارد.

توجه داشته باشید

ابتدا توجه داشته باشید که یک SLAE تعریف شده توسط یک ماتریس مربع غیر منفرد به اندازه 2x2 یک جفت خط متقاطع را در صفحه تعریف می کند (شکل 8.9 را در زیر ببینید). ثانیاً، شایان ذکر است که اگر سیستم سازگار بود، نمایش هندسی معادلات دو خط متقابل خواهد بود که تعداد نامحدودی از راه حل ها را توصیف می کند.

برنج. 8.8. نمودار مقاطع تابع باقیمانده f (x) = |Ax-b|

به راحتی می توان حدس زد که در حالت منفرد در نظر گرفته شده شبه راه حل های سیستم که اختلاف را به حداقل می رساند |Ax-b| تعداد بی نهایت زیاد خواهد بود و روی سومین خط مستقیم، موازی با دو نشان داده شده در شکل قرار خواهند گرفت. 8.7 و در وسط بین آنها قرار دارد. این در شکل نشان داده شده است. 8.8 که چندین بخش از تابع f(x) = = | را نشان می دهد Axe-b | ، که نشان دهنده وجود خانواده ای از حداقل ها با همان عمق است. اگر سعی کنید از تابع داخلی Minimize برای پیدا کردن آنها استفاده کنید، روش عددی آن همیشه یک نقطه از خط ذکر شده را (بسته به شرایط اولیه) پیدا می کند. بنابراین، برای تعیین یک راه حل منحصر به فرد، باید از کل مجموعه شبه راه حل ها، راه حلی را انتخاب کرد که کمترین هنجار را دارد. شما می توانید سعی کنید این مشکل کمینه سازی چند بعدی را در Mathcad با استفاده از ترکیبی از توابع Minimize داخلی فرموله کنید، اما راه کارآمدتر استفاده از منظم سازی (به زیر) یا تجزیه ماتریس متعامد (به بخش 8.3 مراجعه کنید) خواهد بود.

سیستم های نامطلوب

سیستم شرطی ضعیف سیستمی است که در آن تعیین کننده A برابر با صفر نیست، اما عدد شرط |A -1 | |الف| بسیار بزرگ علیرغم این واقعیت که سیستم های نامطلوب راه حل منحصر به فردی دارند، در عمل اغلب جستجو برای این راه حل منطقی نیست. بیایید با استفاده از دو مثال خاص، ویژگی های SLAE های بد شرایط را در نظر بگیریم (فهرست 8.14).

فهرست 8.14. راه حل دو SLAE نامطلوب نزدیک

هر خط از فهرست 8.14 حاوی راه حل دو SLAE نامطلوب بسیار نزدیک است (با همان سمت راست b و ماتریس های A کمی متفاوت). با وجود نزدیکی آنها، راه حل های دقیق این سیستم ها بسیار دور از یکدیگر هستند. لازم به ذکر است که برای یک سیستم دو معادله، یک راه حل دقیق به راحتی به دست می آید، اما هنگام حل یک SLAE با ابعاد بالا، خطاهای گرد کردن جزئی که به ناچار در طول محاسبات جمع می شوند (از جمله الگوریتم گاوس "دقیق") منجر به خطاهای بزرگ می شود. در نتیجه این سوال مطرح می شود: آیا منطقی است که به دنبال یک راه حل عددی باشیم اگر از قبل بدانیم که به دلیل ناپایداری خود مسئله، ممکن است کاملاً نادرست باشد؟

ملاحظات دیگری که ما را مجبور می کند به دنبال روش های ویژه ای برای حل SLAE های بدشرایط باشیم (حتی سیستم دو معادله ای که به عنوان مثال در فهرست 8.14 آورده شده است) با تفسیر فیزیکی آنها به عنوان نتایج تجربی مرتبط است. اگر در ابتدا مشخص شود که داده‌های ورودی با مقداری خطا به‌دست آمده‌اند، حل سیستم‌های بد شرط اصلاً معنی ندارد، زیرا خطاهای کوچک در مدل (ماتریس A و بردار b) منجر به خطاهای بزرگ در راه‌حل می‌شود. مشکلات مربوط به چنین ویژگی هایی را نامناسب می نامند.

برای درک بهتر دلیل نادرستی، مقایسه تفسیر گرافیکی یک سیستم شرطی خوب (شکل 8.9) و یک سیستم شرطی ضعیف (شکل 8.10) از دو معادله مفید است. راه حل سیستم با نقطه تقاطع دو خط مستقیم که هر یک از معادلات را نشان می دهند، تجسم می شود.

برنج. 8.9. نمودار یک سیستم به خوبی شرطی شده از دو معادله

برنج. 8.10. نمودار یک سیستم نامشخص از دو معادله

از شکل 8.10 واضح است که خطوط مستقیم مربوط به SLAE نامطلوب در مجاورت یکدیگر قرار دارند (تقریباً موازی). در این راستا، اشتباهات کوچک در محل هر یک از خطوط می تواند منجر به خطاهای قابل توجهی در محلی سازی نقطه تقاطع آنها شود (راه حل های SLAE)، بر خلاف سیستم با شرایط خوب، زمانی که خطاهای کوچک در شیب خطوط تأثیر کمی بر محل نقطه تقاطع آنها دارد (شکل 8.9).

توجه داشته باشید

شرایط ضعیف ماتریس نیز در هنگام بازسازی داده های تجربی مشخص شده توسط SLAE های بیش از حد تعیین شده (ناسازگار) معمول است (به عنوان مثال، در مشکلات توموگرافی). این موردی است که در بخش بعدی نشان داده شده است (به فهرست 8.16 در زیر مراجعه کنید).

روش منظم سازی

برای حل مشکلات بد ایجاد شده، به ویژه، SLAE های منحط و بد شرایط، یک تکنیک بسیار موثر به نام منظم سازی توسعه داده شده است. این مبتنی بر در نظر گرفتن اطلاعات قبلی اضافی در مورد ساختار راه حل (بردار تخمین پیشینی xo) است که اغلب در موارد عملی وجود دارد. با توجه به اینکه قاعده گرایی به تفصیل در بخش بحث شد. 6.3.3، ما فقط به یاد می آوریم که مشکل حل SLAE Ax=b را می توان با مشکل یافتن حداقل عملکرد Tikhonov جایگزین کرد:

Ω (x,λ) = |Ax-b| 2 +λ |x-x0| 2. (8.3)

در اینجا R یک پارامتر تنظیم مثبت کوچک است که باید به روشی بهینه انتخاب شود. می توان نشان داد که مشکل به حداقل رساندن عملکرد Tikhonov به نوبه خود می تواند به حل یک SLAE دیگر کاهش یابد:

(A T A+ λ I)-x=A T B+λ x0، (8.4)

که در λ ->0 وارد سیستم بد شرط اصلی می شود و برای x بزرگ که به خوبی شرطی شده است، راه حل x 0 دارد. بدیهی است که مقداری از مقدار میانی A بهینه خواهد بود و سازش خاصی را بین شرطی بودن قابل قبول و نزدیکی به مسئله اصلی ایجاد می کند. توجه داشته باشید که رویکرد قاعده‌سازی، مسئله بد را به مشکل مشروط به خوبی (به گفته تیخونف) یافتن راه‌حل برای سیستم (8.4) کاهش می‌دهد، که به دلیل خطی بودن مسئله، منحصر به فرد و پایدار است.

اجازه دهید بدون نظرات غیر ضروری، یک راه حل منظم از سیستم منحط را که در شکل 1 ارائه شده است، ارائه کنیم. 8.8. فهرست 8.15 یافتن راه حلی برای مسئله (8.4) را نشان می دهد، و وابستگی حاصل از باقیمانده و خود راه حل به پارامتر تنظیم R در شکل نشان داده شده است. به ترتیب 8.11 و 8.12. مهم است که تاکید شود که راه حل های سیستم اصلی و بنابراین، سیستم (8.4) در λ =0 وجود ندارد.

فهرست 8.15 منظم کردن یک SLAE منحط

مرحله نهایی تنظیم، انتخاب بهینه است λ . حداقل دو ملاحظه وجود دارد که بر اساس آنها می توان یک پارامتر منظم سازی را بر اساس وابستگی باقیمانده به آن انتخاب کرد. در مثال مورد بررسی، معیار تعیین را اعمال می کنیم λ ، بر اساس انتخاب هنجار باقیمانده برابر با برآورد پیشینی خطاها در تعیین داده های ورودی: ماتریس A و بردار b، یعنی مقدار | δA | + |5λ|. به عنوان مثال، می توانید هنجار باقیمانده و بر این اساس، پارامتر را انتخاب کنید λ و راه حل x( λ ), که در شکل مشخص شده اند. خطوط نقطه چین 8.11 و 8.12.

یادداشت 1

انتخاب دیگر λ که نیازی به ملاحظات پیشینی در مورد خطاهای مدل ندارد، به اصطلاح روش شبه بهینه است که در بخش مورد بحث قرار گرفته است. 6.3.3.

توجه 2

بررسی این که فرمول (8.4) در مورد یک مسئله خطی همان نتیجه را با فرمول کلی (8.3) می دهد مفید است. برای انجام این کار کافی است آخرین خط در لیست 8.15 را که حل SLAE (8.4) را بیان می کند، به کدی تغییر دهید که مینیمم سازی را با یک روش عددی اجرا می کند، همانطور که در لیست 8.16 نشان داده شده است. محاسبات (که به زمان کامپیوتری به میزان قابل توجهی نیاز دارند) همان نتیجه ای را به دست می دهند که در شکل 1 نشان داده شده است. 8.11 و 8.12.

نکته 3

سعی کنید در محاسبات فهرست‌های 8.15 و 8.16، یک تخمین پیشینی متفاوت، به‌عنوان مثال، واقعی‌تر از راه‌حل (به‌جای بردار صفر x0 مورد استفاده در آن‌ها) بگیرید و ببینید که این چگونه بر نتیجه تأثیر می‌گذارد.

برنج. 8.11. وابستگی باقیمانده محلول منظم شده یک SLAE منحط به پارامتر A. (ادامه فهرست 8.15)

توجه 4

همچنین استفاده از وابستگی دیگر به جای فرمول (8.3) به عنوان تابع Tikhonov جالب است: Ω(xλ ) = |Ax-b|+ λ |x-x0 | . نمونه‌ای از محاسبات را روی سی‌دی خواهید دید.

برنج. 8.12. راه حل منظم بسته به λ (ادامه از فهرست 8.15)

فهرست 8.16. منظم‌سازی SLAE با استفاده از الگوریتم کمینه‌سازی (ادامه فهرست 8.15)

وکتور مورد نیاز

اگر، سیستم (1) نامشخص نامیده می شود. در این حالت، خطا در ضرایب ماتریس و سمت راست و یا خطاهای گرد کردن در محاسبات می تواند راه حل را تا حد زیادی مخدوش کند.

هنگام حل بسیاری از مسائل، سمت راست سیستم (1) و ضرایب ماتریس A تقریباً مشخص است. در این حالت به جای سیستم دقیق (1) سیستم دیگری داریم

به طوری که

ما فرض می کنیم که مقادیر و d شناخته شده است.

از آنجایی که به جای سیستم (1) سیستم (2) داریم، فقط می توانیم یک راه حل تقریبی برای سیستم (1) پیدا کنیم. روش ساخت یک راه حل تقریبی سیستم (1) باید در برابر تغییرات کوچک در داده های اولیه پایدار باشد.

حل شبه سیستم (1) برداری است که اختلاف را در کل فضا به حداقل می رساند.

اجازه دهید x 1 بردار ثابتی از 1 باشد که معمولاً با دستور مسئله تعیین می شود.

راه حل سیستم (1) نرمال با توجه به بردار x 1 یک حل شبه x 0 با حداقل هنجار است، یعنی

که در آن F مجموعه ای از شبه راه حل های سیستم (1) است.

علاوه بر این

که در آن ¾ اجزای بردار x هستند.

برای هر سیستم از نوع (1)، یک راه حل معمولی وجود دارد و منحصر به فرد است. مشکل یافتن یک راه حل معمولی برای یک سیستم بد شرط (1) نامناسب است.

برای یافتن یک جواب نرمال تقریبی برای سیستم (1)، از روش منظم سازی استفاده می کنیم.

طبق این روش، یک تابع هموارسازی فرم می سازیم

و برداری را پیدا کنید که این تابع را به حداقل می رساند. علاوه بر این، پارامتر منظم سازی a به طور منحصر به فردی از شرایط تعیین می شود

جایی که .

سیستم های منحط و نامطلوب ممکن است در یک دقت مشخص قابل تشخیص نباشند. اما اگر اطلاعاتی در مورد حلالیت سیستم (1) وجود دارد، به جای شرط (5) باید از شرط زیر استفاده شود:

اجزاء بردارها راه حل های یک سیستم معادلات جبری خطی هستند که از شرط حداقل تابع (4) به دست می آیند.

و به نظر می رسد

جایی که E ماتریس هویت است،

¾ماتریس مزدوج هرمیتین.

در عمل، انتخاب یک بردار نیازمند ملاحظات اضافی است. اگر آنها وجود ندارند، =0 را فرض کنید.

برای =0، سیستم (7) را به شکل می نویسیم

جایی که

بردار یافت شده یک جواب نرمال تقریبی سیستم (1) خواهد بود.

بیایید روی انتخاب پارامتر a تمرکز کنیم. اگر a=0 باشد، سیستم (7) به یک سیستم بد شرط تبدیل می شود. اگر a بزرگ باشد، سیستم (7) به خوبی شرطی می شود، اما راه حل منظم شده به راه حل مورد نظر برای سیستم (1) نزدیک نخواهد بود. بنابراین، a خیلی بزرگ یا خیلی کوچک مناسب نیست.

معمولاً در عمل، محاسبات با تعدادی از مقادیر پارامتر a انجام می شود. مثلا،

برای هر مقدار a، عنصری را پیدا کنید که تابع (4) را به حداقل می رساند. مقدار مورد نظر پارامتر منظم سازی عدد a در نظر گرفته می شود که برابری (5) یا (6) با دقت مورد نیاز برآورده می شود.

III. ورزش

1. یک سیستم معادلات جبری خطی، متشکل از سه معادله با سه مجهول، با یک تعیین کننده که مقدار آن از مرتبه 10 -6 است بسازید.

2. یک سیستم دوم مشابه سیستم اول بسازید، اما دارای اصطلاحات آزاد دیگری باشد که با شرایط آزاد سیستم اول 0.00006 تفاوت دارد.

3. سیستم های ساخته شده را با استفاده از روش منظم سازی (با فرض =0 و d=10 -4) و روش دیگری (مثلاً روش گاوسی) حل کنید.

4. نتایج به دست آمده را با هم مقایسه کنید و در مورد کاربرد روش های مورد استفاده نتیجه بگیرید.

IV. تدوين گزارش

گزارش باید ارائه شود:

1. عنوان اثر.

2. بیان مسئله.

3. شرح الگوریتم حل (روش).

4. متن برنامه با توضیحات.

5. نتایج برنامه.

فهرست کتابشناسی

1. تیخونوف A.N.، Arsenin V.Ya. روش هایی برای حل مشکلات نادرست - م.: ناوکا، 1979. 286 ص.

2. باخوالوف N.S.، Zhidkov N.P.، Kobelkov G.M. روشهای عددی. - M.: BINOM. Laboratory of Knowledge, 2007 636 pp.

کار آزمایشگاهی شماره 23

خروجی مجموعه:

حل سیستم های نامطلوب معادلات جبری خطی با استفاده از زیرفضای کرایلوف

گوسوا یولیا سرگیونا

دانشجوی دانشگاه هوافضای دولتی سامارا به نام S.P. ملکه،

سامارا

پست الکترونیک:

گوگولووا سوفیا یوریونا

دانشیار دانشگاه هوافضای دولتی سامارا به نام S.P. ملکه،

سامارا

پست الکترونیک:

معرفی

مدل‌های ریاضی بسیاری از مسائل کاربردی منجر به حل SLAE با ماتریس‌های ضریب بزرگ و پراکنده می‌شوند که در آن اکثر عناصر برابر با صفر هستند. نسبت دادن خاصیت پراکندگی به یک ماتریس معادل اثبات وجود الگوریتمی است که از پراکندگی آن استفاده می کند. وقتی بخش بزرگی از ضرایب یک ماتریس از صفر تشکیل شده باشد، کاملاً بدیهی است که ما نمی خواهیم همه این صفرها را در حافظه رایانه ذخیره کنیم. بنابراین، الگوریتم‌های ماتریسی باید به گونه‌ای طراحی شوند که فقط عناصر غیرصفر پردازش شوند و بر اساس دانش قبلی از مکان عناصر غیرصفر، از عملیاتی مانند جمع با صفر یا ضرب در صفر اجتناب شود. بنابراین، تعداد عملیات انجام شده توسط ماشین در هنگام اجرای الگوریتم متناسب با تعداد عناصر غیر صفر است و نه با تعداد تمام عناصر ماتریس. یک مشکل جدی هنگام کار با ماتریس های پراکنده، ثبات عددی است.

هنگامی که روش هایی مانند حذف گاوسی به زمان یا حافظه زیادی برای حل سیستم معادلات نیاز دارند، از روش های تکراری استفاده می شود. هنگام حل SLAE های پراکنده بد شرط، انتخاب روشی ضروری است که به فرد امکان می دهد نتیجه دقیق و کمترین پر شدن (ظاهر عناصر جدید غیر صفر) را هنگام حل به دست آورد. مؤثرترین و پایدارترین روش‌های تکراری برای حل چنین سیستم‌هایی از معادلات، روش‌های موسوم به پروجکشن و به‌ویژه دسته‌ای از آنها هستند که با فرافکنی بر روی زیرفضاهای کریلوف همراه هستند. این روش ها تعدادی مزیت دارند: پایدار هستند، امکان موازی سازی کارآمد، کار با فرمت های ردیف (ستون) و پیش شرط های مختلف را فراهم می کنند.

فرمول بندی مسئله

سیستمی از معادلات جبری خطی را در نظر بگیرید

کجا: - ماتریس پراکنده نامطلوب،

.

این مقاله یک تجزیه و تحلیل مقایسه ای از روش های تکراری برای حل SLAE های پراکنده بد شرط ارائه می دهد. روش‌های زیر انتخاب شدند: روش گرادیان مزدوج (CG)، روش حداقل باقی‌مانده (MinRes)، روش جهت مزدوج دوگانه (CGS)، و باقی‌مانده‌های شبه حداقلی (QMR).

هنگام انتخاب یک یا روش دیگر برای حل SLAE، مهم است که ساختار ماتریس A را در نظر بگیرید. این به دلیل این واقعیت است که هر روشی امکان به دست آوردن نتیجه تضمین شده برای یک سیستم معین از معادلات خطی را ممکن نمی کند.

بنابراین، معیار مقایسه روش های تکراری برای حل SLAE ها عبارتند از: خطای نتایج، سرعت همگرایی و ساختار ماتریس.

نتایج مطالعات عددی نشان داده است که برای حل SLAE ها با ماتریس A که متقارن/ نامتقارن است و به خوبی به معادلات عادی شرطی شده است، بهتر است از روش CG استفاده شود. اگر ماتریس A متقارن و بد شرطی باشد، روش MinRes بهترین همگرایی را نشان داد. برای A - نامتقارن، بد شرط - روش باقیمانده شبه حداقل.

برای بهبود نرخ همگرایی روش های تکراری، از پیش شرطی سازی ماتریس سیستم استفاده می شود. این در این واقعیت نهفته است که چنین ماتریس پیش شرطی به گونه ای انتخاب می شود که روش حل SLAE خیلی کار فشرده و از نظر عددی پایدار نباشد. انتخاب صحیح پیش‌تهویه‌کننده، بسته به مشکل خاص، می‌تواند تا حد زیادی سرعت همگرایی را افزایش دهد. در واقع، یک پیش شرط خوب اغلب برای همگرا شدن یک روش تکراری ضروری است.

در این مقاله، چندین نوع پیش شرطی برای روش باقیمانده‌های شبه حداقل با ماتریس‌های نامطلوب پراکنده در نظر گرفته شد: پیش‌شرطی‌سازی چپ و راست با استفاده از تجزیه QR، پیش‌شرطی‌سازی چپ و راست با استفاده از تجزیه LU، و همچنین با استفاده از اصلاح تجزیه LU. .

میز 1.

مقایسه خطای نسبی پیش شرطی ها

ماتریس	لو.- تجزیه		لو.- تجزیه (اصلاح)	QR- تجزیه
	(ترک کرد)	(درست)		(ترک کرد)	(درست)

نتیجه

این مقاله روش شبه حداقل باقیمانده را در رابطه با حل SLAEهای نامطلوب پراکنده و گزینه‌های مختلف برای انتخاب پیش‌تهویه‌کننده در نظر گرفت. روش شبه حداقل باقیمانده، بر اساس استفاده از یک پیش شرط به دست آمده با اصلاح تجزیه LU، بهترین نتیجه را از نظر پایداری عددی ارائه داد.

کتابشناسی - فهرست کتب:

1. Golub J., Van Loon Ch. محاسبات ماتریس / Ed. V.V. ویوودینا - م.: «میر»، 1378. - 548 ص.

2. Demmel J. جبر خطی محاسباتی. نظریه و کاربردها / ترجمه. از انگلیسی H.D. اکراموا. - م.: «میر»، 1380. - 430 ص.

3. Pissanetski S. فناوری ماتریس های پراکنده / ویرایش. H.D. Ikramova - M.: "میر"، 1988. - 410 p.

4.Stankevich، I.V. ذخیره و استفاده از ماتریس های پراکنده در فناوری اجزای محدود مجله "علم و آموزش". - 2005. - 10 اکتبر.

5. Tewarson R. ماتریس های پراکنده / Ed. H.D. اکراموا. - م.: "میر"، 1977. - 172 ص.

6. باکر مارتین، بازرمن آخیم. مقایسه QMR، CGS و TFQMR در ماشین حافظه توزیع شده / باکر مارتین // ریاضیات محاسبات. - 1994 - 31 مه

7. مجموعه هارول-بوئینگ - [منبع الکترونیکی] - حالت دسترسی. - URL: http://math.nist.gov/MatrixMarket/data/Harwell-Boeing/ (تاریخ دسترسی: 12/15/2012)

8. رولاند دبلیو. فروند، نوئل ام. ناچتیگال. QMR: یک روش نیمه حداقل باقیمانده برای سیستم های خطی غیر هرمیتی / Roland W. Freund, Noel M. Nachtigal // Journal Math. - 1991. - شماره 60. - پ. 315-339.

9. Saad, Y. روش های تکراری برای سیستم های خطی پراکنده / Y. Saad. // SIAM. - 2003. - 447 ص.

رونوشت

1 6. SLAEهای منحط و بدشرایط 1 6. SLAEهای منحط و نامطلوب اکنون دو نوع SLAE (27) با ماتریس مربع A به اندازه MxM را در نظر می گیریم: سیستم منحط (با تعیین کننده صفر A = 0). سیستم بد شرط (تعیین کننده A برابر با صفر نیست، اما عدد شرط بسیار بزرگ است). علیرغم این واقعیت که این نوع سیستم های معادلات به طور قابل توجهی با یکدیگر متفاوت هستند (برای اولی راه حلی وجود ندارد، اما برای دومی تنها یک راه حل وجود دارد)، از نقطه نظر عملی رایانه، اشتراکات زیادی بین آنها وجود دارد. آنها یک سیستم منحط سیستمی است که توسط ماتریسی با تعیین کننده صفر A = 0 (ماتریس منفرد) توصیف می شود. از آنجایی که برخی معادلات موجود در چنین سیستمی با ترکیبی خطی از معادلات دیگر نشان داده می شوند، در واقع، خود سیستم تعریف نشده است. به راحتی می توان فهمید که بسته به نوع خاص بردار سمت راست b، یا تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد یا هیچ کدام. بیایید حالت اول را در نظر بگیریم، زمانی که SLAE A x=b با ماتریس مربع منفرد A یک جواب واحد ندارد. این گزینه به ساخت یک شبه راه حل معمولی می رسد (یعنی انتخاب از بین مجموعه ای از راه حل ها که نزدیک ترین به یک بردار معین است، مثلاً صفر). اجازه دهید مثالی از چنین مسئله ای (برای سیستمی متشکل از دو معادله) بیاوریم A= , b= (37) SLAE (37) در شکل نشان داده شده است. 19، که نشان می دهد که دو معادله تعریف کننده سیستم، دو خط موازی را در صفحه تعریف می کنند (x 1، x 2). خطوط در هیچ نقطه ای قطع نمی شوند

2 2 6. SLAEهای منحط و نامطلوب در یک نقطه از صفحه مختصات، و بر این اساس، هیچ راه حلی برای سیستم وجود ندارد. توجه داشته باشید که SLAE که توسط یک ماتریس مربع غیر منفرد به اندازه 2x2 تعریف می شود، یک جفت خط متقاطع را روی صفحه تعریف می کند (شکل زیر را ببینید). همچنین شایان ذکر است که اگر سیستم سازگار بود، نمایش هندسی معادلات دو خط منطبق خواهد بود که تعداد بی نهایت راه حل را توصیف می کند. برنج. 19. نمایش گرافیکی یک SLAE ناسازگار شکل. 20. نمودار مقاطع باقیمانده f(x)= A x b بسته به x 1 به راحتی می توان حدس زد که در حالت منفرد مورد بررسی بی نهایت شبه راه حل های سیستم (37) وجود خواهد داشت که باقیمانده A x b را به حداقل می رساند. و روی سومین خط مستقیم به موازات دو نشان داده شده در شکل قرار می گیرند. 19 و در وسط بین آنها قرار دارد. این در شکل نشان داده شده است. 20، که چندین بخش از تابع باقیمانده f(x) = A x b را نشان می دهد، که نشان دهنده وجود خانواده ای از حداقل ها با همان عمق است. برای تعیین یک راه حل منحصر به فرد، باید از کل مجموعه شبه راه حل هایی که دارد، انتخاب شود

3 6. SLAEهای منحط و بد شرایط 3 با کوچکترین هنجار. بنابراین، در حالت منفرد، برای به دست آوردن یک راه حل متمایز، لازم است یک مسئله کمینه سازی چند بعدی به صورت عددی حل شود. با این حال، همانطور که بعدا خواهیم دید، یک راه کارآمدتر استفاده از منظم سازی یا تجزیه ماتریس متعامد است (به ترتیب به 7 و 10 مراجعه کنید). اجازه دهید اکنون به سیستم های نامطلوب بپردازیم، یعنی. SLAE با ماتریس A که دترمینان آن برابر با صفر نیست اما شرط عدد A -1 A بزرگ است. علیرغم این واقعیت که سیستم های نامطلوب راه حل منحصر به فردی دارند، در عمل اغلب جستجو برای این راه حل منطقی نیست. اجازه دهید خواص SLAE های بدشرایط را با استفاده از دو مثال خاص از SLAE های نامطلوب بسیار نزدیک با همان سمت راست b و ماتریس های A و B کمی متفاوت در نظر بگیریم: A= B=, b=, 3 5. (38 ) با وجود مجاورت این سیستم ها، راه حل های دقیق آنها بسیار دور از یکدیگر است، یعنی: y A = , y B = (39) اگر وجود نویز را به خاطر بیاوریم، i.e. در مورد خطای همیشه موجود در داده‌های ورودی، مشخص می‌شود که حل سیستم‌های نامطلوب با استفاده از روش‌های استاندارد اصلاً معنی ندارد. به یاد بیاورید که مسائلی که خطاهای مدل کوچک (ماتریس A و بردار b) برای آنها منجر به خطاهای حل بزرگ می شود، نادرست نامیده می شوند. بنابراین، SLAE های بدشرایط یک مثال معمولی از مشکلات نامطلوب هستند. علاوه بر این، لازم به ذکر است که برای یک سیستم دو معادله به راحتی می توان یک جواب دقیق را به دست آورد، اما هنگام حل یک SLAE با ابعاد بالا (از جمله با الگوریتم "دقیق"

4 4 6. SLAE های گاوسی منحط و نامطلوب) حتی خطاهای گرد کردن جزئی که به ناچار در طول محاسبات جمع می شوند منجر به خطاهای بزرگی در نتایج می شوند. این سوال مطرح می شود: آیا منطقی است که به دنبال یک راه حل عددی باشیم اگر از قبل بدانیم که به دلیل ناپایداری خود مسئله، ممکن است کاملاً نادرست باشد؟ برای درک بیشتر دلیل نادرستی، مقایسه تفسیر گرافیکی چاه (شکل 21) و سیستم شرطی ضعیف (شکل 22) از دو معادله مفید است. راه حل سیستم با نقطه تقاطع دو خط مستقیم که هر یک از معادلات را نشان می دهند، تجسم می شود. برنج. 21. نمودار یک SLAE با شرایط خوب شکل. 22. نمودار SLAE نامطلوب از شکل. 22 می توان دید که خطوط مستقیم مربوط به SLAE نامطلوب در مجاورت یکدیگر قرار دارند (تقریباً موازی). در این راستا، اشتباهات کوچک در محل هر یک از خطوط می تواند منجر به خطاهای قابل توجهی در محلی سازی نقطه تقاطع آنها شود (راه حل های SLAE)، بر خلاف سیستم با شرایط خوب، زمانی که خطاهای کوچک در شیب خطوط تأثیر کمی بر محل نقطه تقاطع آنها دارد (شکل 21).

5 6. SLAEهای منحط و نامطلوب 5 توجه داشته باشید که ماتریس بد شرطی نیز در هنگام بازسازی داده های تجربی داده شده توسط SLAEهای بیش از حد تعیین شده (ناسازگار) معمولی است (مثلاً در مشکلات توموگرافی). برای حل مشکلات بد ایجاد شده، به ویژه، SLAE های منحط و بد شرایط، یک روش بسیار موثر به نام منظم سازی توسعه داده شده است. این مبتنی بر در نظر گرفتن اطلاعات قبلی قبلی در مورد ساختار راه حل است که اغلب در موارد عملی در دسترس است.

10. تجزیه QR و SVD: SLAEهای "بد" 1 10. تجزیه QR و SVD: SLAEهای "بد" در میان تجزیه ماتریسی، نقش ویژه ای توسط متعامدها ایفا می شود که دارای خاصیت حفظ هنجار هستند. بردار به شما یادآوری کنیم

7. منظم سازی 1 7. منظم سازی برای حل مسائل نامطلوب، تیخونوف، ریاضیدان شوروی، روشی ساده اما بسیار مؤثر به نام قاعده‌سازی و مبتنی بر درگیر کردن ارائه کرد.

مثال: وزن کردن 1 مثال: وزن کردن اجازه دهید تفسیر ساده تری از مسئله معکوس مربوط به پردازش نتایج یک آزمایش ارائه دهیم، به عنوان مثال، وزن کردن اجسام از دو نوع

موضوع روش های عددی جبر خطی - - موضوع روش های عددی جبر خطی طبقه بندی چهار بخش اصلی جبر خطی وجود دارد: حل سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE)

UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE YSU به نام KTynystanov درباره یک راه حل تقریبی سیستم های بد شرایط معادلات جبری خطی این مقاله الگوریتم هایی را برای دو روش برای حل ضعیف ارائه می کند

کارگاه محاسباتی ویژه با تحقیقات علمی نیکولای ماتویویچ آندروشفسکی، دانشکده علوم کامپیوتر، دانشگاه دولتی مسکو چکیده این کارگاه مبتنی بر مطالعه دقیق روش تجزیه مقادیر منفرد ماتریس ها و کاربرد آن است.

سیستم های معادلات خطی بیش از حد تعیین شده Skalko Yuriy Ivanovich Tsybulin ایوان شوچنکو الکساندر SLAE های بیش از حد تعیین شده SLAE های بیش از حد تعیین شده SLAE Ax = b را در نظر بگیرید، اما در موردی که معادلات بیشتری وجود دارد،

سیستم معادلات جبری خطی مفاهیم اساسی سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) سیستمی است به شکل a a, a a, a a a می توان آن را به صورت یک معادله ماتریسی نشان داد.

آزمون Ne LA برای لیسانس اقتصاد در سال تحصیلی 04-0، بردار Ne (6 4؛ 6 8) و Ne DEMO گزینه 0 (x; y) را پیدا کنید (که برای آن Ne و x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный

معادله یک خط در فضای 1 یک خط تقاطع دو صفحه است. سیستمی متشکل از دو معادله خطی با سه مجهول. خط مستقیم در فضا را می توان به عنوان تقاطع دو صفحه تعریف کرد. اجازه دهید

سخنرانی 6 وظایف طیفی. روش های نزول در آخرین سخنرانی، روش های تکراری از نوع متغیر در نظر گرفته شد. برای سیستم Au = f، که برای آن A = A، تابعی Φ(u,u) معرفی شد

11. کاهش خطی 1 11. کاهش خطی بیایید با ارائه رویکرد دیگری به نام کاهش، گفتگوی خود را در مورد مسائل معکوس خطی به پایان برسانیم. اساساً به منظم شدن بسیار نزدیک است (در برخی

01 1. جواب های کلی و اساسی سیستم معادلات را بیابید: x + x + 3x = 26، 2x 12x x = 22، x + 3x + 2x = 20، x و x را به عنوان متغیرهای پایه انتخاب کنید. پاسخ: اگر به عنوان متغیرهای پایه انتخاب کنیم

دمو 01 1. جواب های کلی و اساسی سیستم معادلات را بیابید: x + x + 3x = 26، 2x 12x x = 22، x + 3x + 2x = 20، x و x را به عنوان متغیرهای اصلی انتخاب کنید. 2. اساس سیستم را بیابید

دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام NE Bauman دانشکده علوم بنیادی گروه مدل سازی ریاضی ÀÍ Ê asiakov،

UDC 57.9 Igrunova S.V.، کاندیدای علوم جامعه شناسی، دانشیار، دانشیار گروه سیستم های اطلاعات روسیه، Belgorod Kichigina A.K. دانشجوی سال چهارم، موسسه فناوری های مهندسی و علوم طبیعی

6 روش تقریب توابع. بهترین تقریب روش‌های تقریب مورد بحث در فصل آخر مستلزم آن است که گره‌های تابع شبکه کاملاً به درون قطبی حاصل تعلق داشته باشند. اگر تقاضا نکنی

عناصر جبر خطی طبقه بندی ماتریس و عملیات روی آنها تعریف یک ماتریس طبقه بندی ماتریس ها بر اساس اندازه ماتریس های صفر و هویت چیست؟ در چه شرایطی ماتریس ها برابر در نظر گرفته می شوند؟

) مفهوم SLAE ) قانون کرامر برای حل SLAE ) روش گاوسی 4) رتبه ماتریس قضیه کرونکر-کاپلی 5) حل SLAE با وارونگی ماتریس مفهوم شرطی سازی ماتریس ها) مفهوم SLAE O. سیستم SLAE

محاسبات موازی در توموگرافی روش های جبری توموگرافی محاسباتی. مشکل توموگرافی کامپیوتری به صورت گسسته مشکل توموگرافی کامپیوتری به صورت گسسته. متقابلا

سخنرانی 2 حل عددی SLAE به عنوان یک قاعده، هنگام حل اکثر مسائل عملی، مشکل حل سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE) به شکل برخی از وظایف فرعی کمکی رخ می دهد.

نمونه هایی از مسائل اساسی در روش LA گاوسی سیستم های معینی از معادلات خطی حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی 6

تعریف تحقیق در عملیات یک عملیات رویدادی است با هدف دستیابی به یک هدف معین که امکان چندین احتمال و مدیریت آنها را فراهم می کند. تعریف تحقیق در عملیات مجموعه ای از ریاضیات

سخنرانی 3. 3. روش نیوتن (مماسها. بیایید مقداری تقریب اولیه [,b] را تنظیم کنیم و تابع f(در همسایگی را با استفاده از قطعه ای از سری تیلور f(= f(+ f "((-. (5 به جای معادله) خطی کنیم. (حل می کنیم

معادلات یک خط و یک صفحه معادله یک خط در یک صفحه.. معادله کلی یک خط. نشانه موازی و عمود بودن خطوط. در مختصات دکارتی، هر خط مستقیم در صفحه اکسی تعریف می شود

دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام N.E. باومن دانشکده علوم پایه گروه مدلسازی ریاضی A.N. کاسیکوف،

نمونه هایی از تکمیل برگه های تست در حین آموزش از راه دور مقاله تست 1 (CR-1) مبحث 1. جبر خطی کار 1 لازم است سیستم معادلات ارائه شده در کار را به شکل پارامترهای ثابت حل کنید.

دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام. N.E. دانشکده باومن گروه علوم بنیادی ریاضیات عالی هندسه تحلیلی ماژول 1. جبر ماتریس. سخنرانی جبر برداری

بلیط. ماتریس ها، اقدامات روی آنها.. معادله سهمی در سیستم مختصات متعارف. بلیط. ویژگی های عملیات ماتریس موقعیت نسبی یک خط و یک صفحه. زاویه بین آنها، شرایط موازی

3 مطالب 1. اهداف و مقاصد رشته 4. جایگاه رشته در ساختار BOP 4 3. ساختار و محتوای رشته 5 3.1. ساختار رشته 5 3.. محتویات رشته 6 4. فهرست مطالب آموزشی و روش شناختی

درس های عملی درس شرایط لازم و کافی برای یک افراطی غیرشرطی بیان مسئله با توجه به یک تابع دو بار متمایز پیوسته f ()، تعریف شده در مجموعه X R مورد نیاز برای بررسی

راه حل مسائل جبر ترم دوم D.V. گورکوفتس، F.G. کورابلف، وی. Korableva 1 فضاهای برداری خطی مسئله 1. آیا بردارهای R4 به صورت خطی وابسته هستند؟ a 1 = (4، 5، 2، 6)، a 2 = (2، 2، 1،

موسسه بودجه آموزشی دولت فدرال آموزش عالی حرفه ای "دانشگاه مالی تحت دولت فدراسیون روسیه" (دانشگاه مالی) بخش "ریاضیات"

Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı نشان می دهد که بردار;;) ;;) ; ;) اساس بردار را تشکیل دهید و یک ترکیب خطی از بردار بنویسید If;;) روی این بردارها X را از معادله پیدا کنید نشان دهید که بردار;)

قضیه کرونکر-کاپلی. حل SLAE با استفاده از روش گاوسی. رتبه ماتریسی یک ماتریس مستطیلی با m ردیف و ستون در نظر بگیرید: A. m m m اجازه دهید سطرها و ستون های دلخواه را در این ماتریس انتخاب کنیم. عناصر

سیستم معادلات خطی با دو متغیر یک سیستم معادلات فرمی را سیستم معادلات خطی با دو متغیر می نامند. راه حل یک سیستم معادلات در دو متغیر یک جفت مقدار است

جبر خطی سخنرانی خط و صفحه در فضا مطالب: معادله یک صفحه آرایش متقابل صفحات معادله بردار-پارامتری یک خط معادلات یک خط از دو نقطه خط

دانشگاه ایالتی سنت پترزبورگ دانشکده ریاضیات کاربردی فرآیندهای کنترل A. P. IVANOV, Y. V. OLEMSKOY PRACTICUM ON NUMERICAL METHODS MINIMIZATION OF QUADRATIC FUNCTION Methodical

0 گرم 6 مجموعه مقالات FORA شرط تعداد ماتریس به عنوان شاخص پایداری در حل مسائل کاربردی R Tsey, MM Shumafov دانشگاه ایالتی آدیگه، Maikop شماره شرایط یک ماتریس

ماتریس‌ها، تعیین‌کننده‌ها، سیستم‌های معادلات خطی روش مرزبندی مینورها برای یافتن رتبه یک ماتریس A = m m m مینور K جزئی از مرتبه k ماتریس A، هر تعیین‌کننده‌ای از مرتبه k ام این ماتریس است.

سخنرانی 4 روش های تکراری برای حل SLAE به منظور کاهش خطای مرتبط با گرد کردن، به الگوریتم زیر متوسل شوید اجازه دهید u یک راه حل دقیق سیستم، u یک حل عددی باشد سپس به معرفی

1. سیستم ها و ماتریس های خطی 1. ضرب ماتریس را تعریف کنید. آیا این عملیات جابجایی است؟ پاسخ را توضیح دهید. حاصلضرب C ماتریس های A و B به صورت m p m p A B ij = A ik B kj تعریف می شود. عملیات تعویضی نیست.

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه دانشگاه دولتی سیستم های کنترل و رادیو الکترونیک تامسک (TUSUR) Yu.E. Voskoboynikov A.A. میتزل مشکلات ریاضی نادرست

روش های عددی جبر خطی در بخش "روش های عددی جبر خطی" روش های عددی برای حل سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE) و روش های عددی برای حل مسائل بحث می شود.

هندسه تحلیلی 3 جریان مدرس P. V. Golubtsov 1.1. بردارها لیست سوالات قسمت اول امتحان 1. تعریف عملیات خطی بردارها را فرموله کنید. ویژگی های عملیات خطی را فهرست کنید

سیستم معادلات جبری خطی سیستمی از m معادلات جبری خطی با مجهولات را در نظر بگیرید b b () m m m bm اگر تمام عبارات آزاد آن b b b m برابر باشند سیستم () همگن نامیده می شود.

4. سیستم معادلات خطی. مفاهیم اساسی معادله ای خطی نامیده می شود که فقط تا درجه اول مجهولات داشته باشد و مشتمل بر مجهولات نباشد، یعنی. اگر شکل + + + داشته باشد

جبر خطی سخنرانی 7 بردارها مقدمه در ریاضیات دو نوع کمیت وجود دارد: مقیاس‌ها و بردارها.

لیست سوالات آزمون روش های عددی (28 اردیبهشت 1397) 0.1 ادغام عددی 1. فهرست روش های محاسبه انتگرال های نامناسب. برای محاسبه انتگرال یک فرمول ربع بسازید

محاسبات موازی در توموگرافی روش تکرار ساده. روش شیب دارترین فرود. روش ART. روش SIRT. در روش تکرار ساده، فاکتورهای آرامش τ k و ماتریس H k به عدد بستگی ندارند

مقدمه ای بر جبر ماتریس خطی. تعریف. جدولی متشکل از m n عدد به شکل m m n n mn متشکل از m ردیف و n ستون ماتریس نامیده می شود. عناصر ماتریس به طور مشابه با عناصر تعیین کننده شماره گذاری می شوند

سخنرانی 7 INTERPOLATION در آخرین سخنرانی، مسئله حل یک سیستم بیش از حد تعیین شده در نظر گرفته شد. چنین سیستمی این شکل را دارد: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x

سوالات تئوری I. ماتریس ها، عوامل تعیین کننده 1) تعریفی از ماتریس ارائه دهید. ماتریس های صفر و هویت چیست؟ در چه شرایطی ماتریس ها برابر در نظر گرفته می شوند؟ عملیات جابجایی چگونه انجام می شود؟ چه زمانی

سخنرانی 7 کاهش منحنی مرتبه دوم به شکل متعارف. تبدیل مبانی و مختصات در صفحه اجازه دهید دو سیستم مختصات دکارتی مستطیلی با یک مبدا مشترک در صفحه داده شود:

ماژول جبر خطی 1. فضاهای خطی و اقلیدسی. عملگرهای خطی در فضای خطی سخنرانی 1.4 چکیده بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک عملگر خطی، خواص آنها.

UDC. سنتز فیلترهای دیجیتال بازگشتی با ویژگی های ضربه ای تعیین شده توسط یک تابع ریاضی پایه نیکیتین D.A., Khanov V.Kh. مقدمه در زرادخانه مدرن روش های سنتز بازگشتی

فصل 8 توابع و نمودارها متغیرها و وابستگی های بین آنها. دو کمیت اگر نسبت آنها ثابت باشد مستقیماً متناسب نامیده می شوند، یعنی اگر =، کجا یک عدد ثابت است که با تغییرات تغییر نمی کند.

روش گاوس (روش حذف مجهولات) دو سیستم در صورتی معادل (معادل) نامیده می شوند که جواب آنها بر هم منطبق باشد. شما می توانید با استفاده از تبدیل های ابتدایی به یک سیستم معادل بروید

مشخص است که حل کردن سیستم های به اصطلاح نامشخص معادلات جبری خطی با چه مشکلاتی همراه است: تغییرات کوچک در سمت راست چنین سیستم هایی می تواند با تغییرات بزرگ (فراتر از حد قابل قبول) در راه حل مطابقت داشته باشد.

سیستم معادلات را در نظر بگیرید

Аz=u، (3; 2,1)

جایی که آ --ماتریس با عناصر a ij ، آ=(a ij)، z -- بردار مورد نظر با مختصات z j , z=(z j) و --بردار شناخته شده با مختصات و من ، u= (u i)، i، j = 1، 2، ...، پ.سیستم (3؛ 2،1) نامیده می شود منحط،اگر تعیین کننده سیستم صفر باشد، detA = 0. در این مورد ماتریس آدارای مقادیر ویژه صفر است. برای سیستم های بد شرط از این نوع، ماتریس آدارای مقادیر ویژه نزدیک به صفر است.

اگر محاسبات با دقت محدودی انجام شوند، در برخی موارد نمی توان تعیین کرد که آیا یک سیستم معادلات معین منحط است یا نامناسب. بنابراین، سیستم های نامطلوب و منحط ممکن است در یک دقت مشخص قابل تشخیص نباشند. بدیهی است که این وضعیت در مواردی رخ می دهد که ماتریس آدارای مقادیر ویژه تقریباً نزدیک به صفر است.

در مسائل عملی، اغلب سمت راست است وو عناصر ماتریس آ،یعنی ضرایب سیستم (3؛ 2،1) تقریباً مشخص است. در این موارد به جای سیستم (3;2,1) ما با سیستم دیگری Az= سروکار داریم وبه گونه ای که ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы آدر ماتریس A، ما نمی توانیم قضاوت قطعی در مورد انحطاط یا عدم انحطاط سیستم داشته باشیم (3؛ 2.1).

در این موارد، در مورد سیستم دقیق Аz=u، که راه حل آن باید مشخص شود، فقط می دانیم که برای ماتریس آو سمت راست ونابرابری ها ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (دست)بی نهایت زیاد هستند و در سطح خطای شناخته شده برای ما قابل تشخیص نیستند. از آنجایی که به جای سیستم دقیق (3؛ 2.1) یک سیستم تقریبی داریم Az= و،آن وقت ما فقط می توانیم در مورد یافتن یک راه حل تقریبی صحبت کنیم. اما سیستم تقریبی Az=uممکن است نامحلول باشد این سوال پیش می آید:

چه چیزی باید به عنوان یک راه حل تقریبی سیستم (3؛ 2.1) در موقعیت توصیف شده درک شود؟

در میان "سیستم های دقیق ممکن" ممکن است سیستم های منحط نیز وجود داشته باشد. اگر قابل حل باشند، بی نهایت راه حل دارند. کدام یک از آنها باید در مورد یافتن تقریبی صحبت کنیم؟

بنابراین، در تعداد زیادی از موارد، ما باید یک کلاس کامل از معادلات را در نظر بگیریم که از یکدیگر قابل تشخیص نیستند (در یک سطح معین از خطا)، که در میان آنها ممکن است هم منحط و هم غیرقابل حل وجود داشته باشد. روش های ساخت راه حل های تقریبی سیستم های این کلاس باید یکسان و کلی باشد. این راه حل ها باید در برابر تغییرات کوچک در داده های اولیه مقاوم باشند (3؛ 2.1).

ساخت چنین روش هایی بر اساس ایده "انتخاب" است. انتخاب را می توان با استفاده از توابع ویژه و از پیش تعیین شده W[z] موجود در بیانیه مشکل انجام داد.

یک تابع غیرمنفی W[z] که بر روی یک زیرمجموعه متراکم در همه جا F 1 از F در F تعریف شده است نامیده می شود. عملکرد تثبیت کننده،اگر:

• الف) عنصر z T متعلق به حوزه تعریف آن است.
• ب) برای هر عدد d>0 مجموعه F 1,d عناصر z از F 1 که برای آن
• W[z]

بنابراین، اجازه دهید یک سیستم دلخواه از معادلات جبری خطی (به طور خلاصه، SLAE) را در نظر بگیریم.

آز =u, (3; 2,2)

که در آن z و u بردار هستند، z=(z 1، z 2، ...،z n)-OR n، و=(u 1,u 2 , ... ,u n)--OR m ، آ--ماتریس با عناصر a ij ، آ= (a ij)، که در آن j = 1، 2، ...، n; i= 1، 2، ...، تی،و شماره پلازم نیست با عدد برابر باشد تی.

این سیستم می تواند منحصر به فرد قابل حل، منحط (و بی نهایت راه حل) و غیر قابل حل باشد.

شبه راه حلسیستم (3؛ 2،2) بردار z نامیده می شود که اختلاف || را به حداقل می رساند از - u || در کل فضای Rn. سیستم (3؛ 2،2) ممکن است بیش از یک شبه راه حل داشته باشد. فرض کنید F A مجموعه تمام شبه حل های آن باشد و z 1 بردار ثابتی از آن باشد Rn،معمولاً با بیان مسئله تعیین می شود.

نرمال نسبت به بردار z 1 راه حل سیستم (3;2،2) را حل شبه z 0 با حداقل هنجار می نامند || z - z 1 ||، یعنی طوری که

|| z 0 - z 1 || =

اینجا. در ادامه، برای سادگی نمادگذاری، فرض می کنیم که z 1 = 0 و حل نرمال با توجه به بردار z 1 = 0 به سادگی فراخوانی می شود. محلول معمولی

برای هر سیستمی از شکل (3؛ 2،2) یک راه حل معمولی وجود دارد و منحصر به فرد است.

نکته 1. حل نرمال z° سیستم (3;2،2) را نیز می توان به عنوان شبه حلی تعریف کرد که یک شکل درجه دوم قطعی مثبت داده شده را با توجه به مختصات بردار z--z 1 به حداقل می رساند. تمام نتایج ارائه شده در زیر معتبر باقی می مانند.

نکته 2. اجازه دهید رتبه ماتریس آسیستم منحط (3؛ 2،1) برابر با r است < n و z r+1 ,z r+2 , … , z n - مبنای فضای خطی ن آ , متشکل از عناصر z که برای آن Az=0 N A = ( z; Аz= 0). حل z° سیستم (3؛ 2،1)، شرایط متعامد n-r را برآورده می کند

(z 0 - z 1، z S)= 0، S= r + 1، r + 2، .. ,n, (3; 2,3)

به طور منحصر به فرد تعیین می شود و با راه حل معمولی مطابقت دارد.

به راحتی می توان فهمید که مشکل یافتن راه حل عادی برای سیستم (3؛ 2،2) نامناسب است. در واقع، اجازه دهید آ --ماتریس متقارن اگر غیر منحط باشد، با تبدیل متعامد

z = Vz *، u = Vu*

اورا می توان به شکل مورب تقلیل داد و سیستم تبدیل شده فرم خواهد داشت

l i z i *=u i * , i= 1, 2,. ..، پ،

جایی که l i مقادیر ویژه ماتریس هستند آ.

اگر ماتریس متقارن آ --غیر منحط است و دارای رتبه r است، سپس n - r از مقادیر ویژه آن برابر با صفر است. اجازه دهید

l i №0 برای i=1, 2, ..., r;

l i = 0 برای i=r+1،r+2، …، n.

ما فرض می کنیم که سیستم (3؛ 2،2) قابل حل است. در این حالت، u i *= 0 برای i =r + 1، ...، n.

اجازه دهید "داده های اولیه" سیستم (آو و)با یک خطا مشخص شده است، یعنی به جای آو وتقریب آنها آورده شده است آو u:

|| الف - الف ||<=h, ||u - u||<=d . При этом

بگذار من -- مقادیر ویژه ماتریس آ.مشخص است که آنها به طور مداوم در هنجار به A وابسته هستند (3؛ 2.4). در نتیجه، مقادیر ویژه l r+1 , l r+2 , …,l n می تواند خودسرانه برای h به اندازه کافی کوچک کوچک باشد .

اگر برابر با صفر نباشند، پس

بنابراین، اختلالاتی در سیستم در هر خطای به اندازه کافی کوچک وجود خواهد داشت آو و،که برخی از z i * مقادیر از پیش تعیین شده را می گیرند. این بدان معنی است که مشکل یافتن یک راه حل عادی برای سیستم (3؛ 2،2) ناپایدار است.

در زیر شرحی از روش برای یافتن یک راه حل عادی برای سیستم (3؛ 2.2)، اغتشاشات پایدار تا کوچک (در هنجار (3؛ 2.4)) در سمت راست ارائه شده است. و،بر اساس روش منظم سازی