معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم (LDE) به شکل زیر است:

که در آن، و توابعی داده می شود که در بازه ای که در آن راه حل جستجو می شود، پیوسته هستند. با فرض 0 (x) ≠ 0، (2.1) را بر تقسیم می کنیم و پس از معرفی نمادهای جدید برای ضرایب، معادله را به شکل زیر می نویسیم:

اجازه دهید بدون اثبات بپذیریم که (2.2) در برخی بازه‌ها راه‌حل منحصربه‌فردی دارد که هر شرایط اولیه را برآورده می‌کند، اگر در بازه مورد بررسی توابع، و پیوسته هستند. اگر، معادله (2.2) را همگن و معادله (2.2) را ناهمگن می نامند.

اجازه دهید ویژگی های راه حل های مرتبه دوم را در نظر بگیریم.

تعریف.یک ترکیب خطی از توابع عبارت است که در آن اعداد دلخواه هستند.

قضیه.اگر و – راه حل

سپس ترکیب خطی آنها نیز راه حلی برای این معادله خواهد بود.

اثبات

اجازه دهید عبارت را در (2.3) قرار دهیم و نشان دهیم که نتیجه همان هویت است:

بیایید اصطلاحات را دوباره مرتب کنیم:

از آنجایی که توابع جواب های معادله (2.3) هستند، پس هر یک از براکت های معادله آخر برابر با صفر است، که باید ثابت شود.

نتیجه 1.از قضیه اثبات شده چنین برمی‌آید که اگر برای معادله (2.3) جواب باشد، برای این معادله نیز راه‌حل وجود دارد.

نتیجه 2.با فرض، می بینیم که مجموع دو راه حل برای Lod نیز راه حلی برای این معادله است.

اظهار نظر.خاصیت راه‌حل‌های اثبات شده در قضیه برای مسائل از هر مرتبه معتبر باقی می‌ماند.

§3. تعیین کننده ورونسکی

تعریف.سیستمی از توابع به صورت خطی در یک بازه زمانی مشخص گفته می شود که هیچ یک از این توابع را نتوان به صورت ترکیبی خطی از بقیه نشان داد.

در مورد دو تابع این بدان معنی است که ، یعنی . شرط آخر را می توان به صورت یا بازنویسی کرد . تعیین کننده در صورت این عبارت است تعیین Wronski برای توابع و نامیده می شود. بنابراین، تعیین Wronski برای دو تابع مستقل خطی نمی تواند برابر با صفر باشد.

اجازه دهید تعیین کننده Wronski برای حل و معادله مستقل خطی (2.3) است. اجازه دهید با جایگزینی مطمئن شویم که تابع معادله را برآورده می کند. (3.1)

واقعا، . از آنجایی که توابع و معادله (2.3) را برآورده می کنند، پس، i.e. – حل معادله (3.1). بیایید این راه حل را پیدا کنیم: ; . جایی که ، . , , .

در سمت راست این فرمول باید علامت مثبت را بگیرید، زیرا فقط در این حالت هویت به دست می آید. بدین ترتیب،

(3.2)

این فرمول فرمول لیوویل نام دارد. در بالا نشان داده شد که تعیین کننده Wronski برای توابع مستقل خطی نمی تواند به طور یکسان برابر با صفر باشد. در نتیجه، نقطه ای وجود دارد که در آن تعیین کننده برای راه حل های مستقل خطی معادله (2.3) با صفر متفاوت است. سپس از فرمول لیوویل نتیجه می شود که تابع برای تمام مقادیر در بازه مورد نظر غیر صفر خواهد بود، زیرا برای هر مقدار هر دو عامل سمت راست فرمول (3.2) غیر صفر هستند.

§4. ساختار راه حل کلی برای لود مرتبه دوم.

قضیه.اگر و به صورت خطی راه حل های مستقل معادله (2.3) هستند، ترکیب خطی آنها ، جایی که و ثابت دلخواه هستند، جواب کلی این معادله خواهد بود.

اثبات

چی جوابی برای معادله (2.3) است که از قضیه خواص راه حل های مرتبه 2 Lodo به دست می آید. ما فقط باید راه حل را نشان دهیم اراده عمومی، یعنی لازم است نشان داده شود که برای هر شرایط اولیه، می توان ثابت های دلخواه را به گونه ای انتخاب کرد که این شرایط را برآورده کند. شرایط اولیه را به شکل زیر بنویسیم:

ثابت ها و از این سیستم معادلات جبری خطی به طور منحصر به فرد تعیین می شوند، زیرا تعیین کننده این سیستم مقدار تعیین کننده Wronski برای راه حل های مستقل خطی برای Lodu است در:

,

و چنین تعیین کننده ای، همانطور که در پاراگراف قبل دیدیم، غیر صفر است. قضیه ثابت شده است.

مثال.ثابت کنید که تابع ، جایی که و ثابت دلخواه هستند، یک راه حل کلی برای Lod است.

راه حل.

به راحتی می توان با جایگزینی تأیید کرد که توابع این معادله را برآورده می کنند. این توابع به صورت خطی مستقل هستند، زیرا . بنابراین، با توجه به قضیه ساختار راه حل کلی، لود مرتبه 2 یک راه حل کلی برای این معادله است.

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم معادله فرم نامیده می شود

y"" + پ(ایکس)y" + q(ایکس)y = f(ایکس) ,

جایی که yتابعی است که باید پیدا شود، و پ(ایکس) , q(ایکس) و f(ایکس) - توابع پیوسته در یک بازه معین ( الف، ب) .

اگر سمت راست معادله صفر باشد ( f(ایکس) = 0)، سپس معادله فراخوانی می شود معادله همگن خطی . بخش عملی این درس عمدتاً به چنین معادلاتی اختصاص خواهد داشت. اگر سمت راست معادله برابر با صفر نباشد ( f(ایکس) ≠ 0)، سپس معادله فراخوانی می شود.

در مسائلی که باید معادله آنها را حل کنیم y"" :

y"" = −پ(ایکس)y" − q(ایکس)y + f(ایکس) .

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم راه حل منحصر به فردی دارند مشکلات کوشی .

معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم و حل آن

یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم را در نظر بگیرید:

y"" + پ(ایکس)y" + q(ایکس)y = 0 .

اگر y1 (ایکس) و y2 (ایکس) راه حل های خاص این معادله هستند، پس گزاره های زیر درست هستند:

1) y1 (ایکس) + y 2 (ایکس) - همچنین راه حلی برای این معادله است.

2) Cy1 (ایکس) ، جایی که سی- یک ثابت دلخواه (ثابت)، نیز راه حلی برای این معادله است.

از این دو عبارت نتیجه می شود که تابع

سی1 y 1 (ایکس) + سی 2 y 2 (ایکس)

نیز راه حلی برای این معادله است.

یک سوال منصفانه مطرح می شود: آیا این راه حل است حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم ، یعنی چنین راه حلی که در آن برای مقادیر مختلف سی1 و سی2 آیا می توان تمام راه حل های ممکن را برای معادله به دست آورد؟

پاسخ به این سوال این است: شاید، اما تحت شرایط خاص. این مشروط بر اینکه محلول های خاص چه ویژگی هایی باید داشته باشند y1 (ایکس) و y2 (ایکس) .

و این شرط را شرط استقلال خطی جواب های جزئی می نامند.

قضیه. تابع سی1 y 1 (ایکس) + سی 2 y 2 (ایکس) یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی است اگر توابع y1 (ایکس) و y2 (ایکس) مستقل خطی

تعریف. کارکرد y1 (ایکس) و y2 (ایکس) اگر نسبت آنها ثابت غیر صفر باشد، مستقل خطی نامیده می شوند:

y1 (ایکس)/y 2 (ایکس) = ک ; ک = پایان ; ک ≠ 0 .

با این حال، تعیین اینکه آیا این توابع به صورت خطی مستقل هستند یا نه، اغلب بسیار پر زحمت است. راهی برای ایجاد استقلال خطی با استفاده از تعیین کننده Wronski وجود دارد دبلیو(ایکس) :

اگر دترمینان Wronski برابر با صفر نباشد، جواب ها به صورت خطی مستقل هستند . اگر دترمینان ورونسکی صفر باشد، جواب ها به صورت خطی وابسته هستند.

مثال 1.جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی را پیدا کنید.

راه حل. ما دو بار ادغام می کنیم و همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، برای اینکه تفاوت بین مشتق دوم یک تابع و خود تابع برابر با صفر باشد، راه حل ها باید با یک نمایی مرتبط شوند که مشتق آن برابر با خودش است. یعنی راه حل های جزئی هستند و .

از آنجایی که تعیین کننده ورونسکی است

برابر با صفر نیست، پس این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند. بنابراین، جواب کلی این معادله را می توان به صورت زیر نوشت

.

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت: تئوری و عمل

معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت معادله فرم نامیده می شود

y"" + py" + qy = 0 ,

جایی که پو q- مقادیر ثابت

اینکه این معادله مرتبه دوم است با حضور مشتق دوم تابع مورد نظر و همگنی آن با صفر در سمت راست نشان داده می شود. مقادیری که قبلاً در بالا ذکر شد، ضرایب ثابت نامیده می شوند.

به معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی را با ضرایب ثابت حل کنید ، ابتدا باید معادله به اصطلاح مشخصه فرم را حل کنید

ک² + pq + q = 0 ,

که همانطور که مشاهده می شود یک معادله درجه دوم معمولی است.

بسته به حل معادله مشخصه، سه گزینه مختلف ممکن است حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت ، که اکنون به تحلیل آن می پردازیم. برای قطعیت کامل، فرض می‌کنیم که همه راه‌حل‌های خاص توسط دترمینان Wronski آزمایش شده‌اند و در همه موارد برابر با صفر نیست. با این حال، افراد شک می توانند خودشان این موضوع را بررسی کنند.

ریشه های معادله مشخصه واقعی و متمایز هستند

به عبارت دیگر، . در این حالت، حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت به شکل

.

مثال 2. یک معادله دیفرانسیل همگن خطی را حل کنید

.

مثال 3. یک معادله دیفرانسیل همگن خطی را حل کنید

.

راه حل. معادله مشخصه دارای شکل، ریشه و واقعی و متمایز است. جواب های جزئی معادله عبارتند از: و . جواب کلی این معادله دیفرانسیل شکل دارد

.

ریشه های معادله مشخصه واقعی و مساوی هستند

به این معنا که، . در این حالت، حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت به شکل

.

مثال 4. یک معادله دیفرانسیل همگن خطی را حل کنید

.

راه حل. معادله مشخصه ریشه های مساوی دارد جواب های جزئی معادله عبارتند از: و . جواب کلی این معادله دیفرانسیل شکل دارد

مثال 5. یک معادله دیفرانسیل همگن خطی را حل کنید

.

راه حل. معادله مشخصه دارای ریشه های مساوی است. جواب های جزئی معادله عبارتند از: و . جواب کلی این معادله دیفرانسیل شکل دارد

موسسه آموزشی "ایالت بلاروس

آکادمی کشاورزی"

گروه ریاضیات عالی

رهنمودها

بررسی مبحث معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم توسط دانشجویان دانشکده حسابداری آموزش مکاتبه ای (NISPO)

گورکی، 2013

معادلات دیفرانسیل خطی

مرتبه دوم با ثابتضرایب

1. معادلات دیفرانسیل همگن خطی

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت معادله فرم نامیده می شود

آن ها معادله ای که تابع مورد نظر و مشتقات آن را فقط تا درجه اول شامل می شود و حاصلضرب آنها را در بر نمی گیرد. در این معادله و
- برخی از اعداد و یک تابع
در یک بازه زمانی مشخص داده می شود
.

اگر
در فاصله
، سپس معادله (1) شکل خواهد گرفت

, (2)

و نامیده می شود همگن خطی . در غیر این صورت معادله (1) نامیده می شود خطی ناهمگن .

تابع پیچیده را در نظر بگیرید

, (3)

جایی که
و
- توابع واقعی اگر تابع (3) جواب مختلط معادله (2) باشد، قسمت واقعی آن است
، و قسمت خیالی
راه حل ها
به طور جداگانه راه حل های یک معادله همگن هستند. بنابراین، هر راه حل پیچیده برای معادله (2) دو راه حل واقعی برای این معادله ایجاد می کند.

راه حل های یک معادله خطی همگن دارای ویژگی های زیر هستند:

اگر جواب معادله (2) و سپس تابع است
، جایی که با- یک ثابت دلخواه نیز راه حلی برای معادله (2) خواهد بود.

اگر و راه حل های معادله (2) و سپس تابع وجود دارد
همچنین راه حلی برای معادله (2) خواهد بود.

اگر و راه حل های معادله (2) و سپس ترکیب خطی آنها وجود دارد
همچنین راه حلی برای معادله (2)، که در آن و
- ثابت های دلخواه

کارکرد
و
نامیده می شوند وابسته به خط در فاصله
، در صورت وجود چنین اعدادی و
، در همان زمان برابر با صفر نیست، که در این بازه برابری است

اگر برابری (4) تنها زمانی رخ می دهد که
و
، سپس توابع
و
نامیده می شوند مستقل خطی در فاصله
.

مثال 1 . کارکرد
و
از آنجایی که به صورت خطی وابسته هستند
در کل خط اعداد در این مثال
.

مثال 2 . کارکرد
و
به صورت خطی در هر بازه ای مستقل هستند، زیرا برابری هستند
فقط در صورتی امکان پذیر است که
، و
.

1. ساخت یک راه حل کلی برای همگن خطی

معادلات

برای یافتن یک راه حل کلی برای معادله (2)، باید دو تا از راه حل های مستقل خطی آن را پیدا کنید و . ترکیب خطی این راه حل ها
، جایی که و
ثابت های دلخواه هستند و یک راه حل کلی برای یک معادله همگن خطی می دهند.

ما به دنبال راه حل های مستقل خطی برای معادله (2) در فرم خواهیم بود

, (5)

جایی که - یک عدد مشخص سپس
,
. بیایید این عبارات را با معادله (2) جایگزین کنیم:

یا
.

زیرا
، آن
. بنابراین تابع
جواب معادله (2) خواهد بود اگر معادله را برآورده خواهد کرد

. (6)

معادله (6) نامیده می شود معادله مشخصه برای معادله (2). این معادله یک معادله درجه دوم جبری است.

اجازه دهید و ریشه های این معادله وجود دارد. آنها می توانند واقعی و متفاوت باشند، یا پیچیده، یا واقعی و برابر. بیایید این موارد را در نظر بگیریم.

بگذار ریشه ها و معادلات مشخصه واقعی و متمایز هستند. سپس جواب های معادله (2) توابع خواهند بود
و
. این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند، زیرا برابری هستند
فقط زمانی قابل انجام است
، و
. بنابراین جواب کلی معادله (2) دارای شکل است

,

جایی که و
- ثابت های دلخواه

مثال 3
.

راه حل . معادله مشخصه برای این دیفرانسیل خواهد بود
. با حل این معادله درجه دوم، ریشه های آن را پیدا می کنیم
و
. کارکرد
و
راه حل های معادله دیفرانسیل هستند. راه حل کلی این معادله است
.

عدد مختلط بیان فرم نامیده می شود
، جایی که و اعداد واقعی هستند و
واحد خیالی نامیده می شود. اگر
، سپس شماره
صرفاً خیالی نامیده می شود. اگر
، سپس شماره
با یک عدد واقعی مشخص می شود .

عدد جزء واقعی یک عدد مختلط نامیده می شود و - قسمت خیالی اگر دو عدد مختلط فقط با علامت قسمت خیالی با یکدیگر تفاوت داشته باشند، آنها را مزدوج می نامند:
,
.

مثال 4 . حل معادله درجه دوم
.

راه حل . معادله تمایز
. سپس . به همین ترتیب،
. بنابراین، این معادله درجه دوم دارای ریشه های پیچیده مزدوج است.

بگذارید ریشه های معادله مشخصه پیچیده باشد، یعنی.
,
، جایی که
. راه حل های معادله (2) را می توان به صورت نوشتاری نوشت
,
یا
,
. طبق فرمول های اویلر

,
.

سپس ، . همانطور که مشخص است، اگر یک تابع مختلط جواب یک معادله همگن خطی باشد، جواب های این معادله هر دو بخش واقعی و خیالی این تابع هستند. بنابراین، جواب های معادله (2) توابع خواهند بود
و
. از برابری

فقط در صورتی قابل اجراست
و
، پس این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند. بنابراین جواب کلی معادله (2) دارای شکل است

جایی که و
- ثابت های دلخواه

مثال 5 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله
مشخصه یک دیفرانسیل معین است. بیایید آن را حل کنیم و ریشه های پیچیده پیدا کنیم
,
. کارکرد
و
راه حل های مستقل خطی معادله دیفرانسیل هستند. جواب کلی این معادله به شکل .

بگذارید ریشه های معادله مشخصه واقعی و مساوی باشند، یعنی.
. سپس جواب های معادله (2) توابع هستند
و
. این راه‌حل‌ها به‌طور خطی مستقل هستند، زیرا فقط زمانی که عبارت می‌تواند برابر با صفر باشد
و
. بنابراین جواب کلی معادله (2) دارای شکل است
.

مثال 6 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله مشخصه
ریشه های مساوی دارد
. در این مورد، راه حل های مستقل خطی معادله دیفرانسیل، توابع هستند
و
. راه حل کلی شکل دارد
.

معادلات دیفرانسیل خطی همگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت شکل دارند

که در آن p و q اعداد واقعی هستند. بیایید به مثال هایی نگاه کنیم که چگونه معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت حل می شوند.

حل یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم به ریشه های معادله مشخصه بستگی دارد. معادله مشخصه معادله k²+pk+q=0 است.

1) اگر ریشه های معادله مشخصه اعداد حقیقی متفاوت باشند:

سپس حل کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت به شکل

2) اگر ریشه های معادله مشخصه اعداد حقیقی برابر باشند

(به عنوان مثال، با یک ممیز برابر با صفر)، سپس جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن است.

3) اگر ریشه های معادله مشخصه اعداد مختلط باشند

(به عنوان مثال، با یک ممیز برابر با یک عدد منفی)، سپس جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن به شکل نوشته می شود.

نمونه هایی از حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت

جواب های کلی معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن را پیدا کنید:

معادله مشخصه را می سازیم: k²-7k+12=0. متمایز آن D=b²-4ac=1>0 است، بنابراین ریشه ها اعداد حقیقی متمایز هستند.

از این رو، راه حل کلی این DE مرتبه دوم همگن است

بیایید معادله مشخصه را بسازیم و حل کنیم:

ریشه ها واقعی و متمایز هستند. بنابراین ما یک راه حل کلی برای این معادله دیفرانسیل همگن داریم:

در این مورد، معادله مشخصه

ریشه ها متفاوت و معتبر است. بنابراین، راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل همگن از مرتبه 2 در اینجا است

معادله مشخصه

از آنجایی که ریشه ها واقعی و مساوی هستند، برای این معادله دیفرانسیل جواب کلی را به صورت می نویسیم

معادله مشخصه اینجاست

از آنجایی که ممیز یک عدد منفی است، ریشه های معادله مشخصه اعداد مختلط هستند.

جواب کلی این معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن به شکل است

معادله مشخصه

از اینجا ما راه حل کلی این دیفرانسیل را پیدا می کنیم. معادلات:

نمونه هایی برای خودآزمایی