توابع متغیرهای تصادفی احتمال و آمار - حقایق اساسی تبدیل متغیرهای تصادفی با استفاده از تابع دلتا

66.1. رابطه (65.11) که چگالی احتمال متغیر تبدیل شده را از طریق چگالی متغیر تصادفی اصلی تعیین می کند، می تواند به حالت تبدیل متغیرهای تصادفی تعمیم یابد. اجازه دهید متغیرهای تصادفی دارای چگالی مشترک باشند و توابع و متغیرها داده شوند. یافتن چگالی احتمال مشترک متغیرهای تصادفی ضروری است:

این مشکل با فرمول بندی کلی، بخش 6.4، با شرط تفاوت دارد - تعداد متغیرهای تصادفی اولیه با تعداد متغیرهای تبدیل شده برابر است. تبدیل معکوس (66.1) به عنوان یک راه حل برای یک سیستم معادلات با توجه به متغیرها یافت می شود. علاوه بر این، هر کدام به این بستگی دارد. مجموعه چنین توابعی یک تبدیل معکوس را تشکیل می دهد. به طور کلی، تبدیل معکوس مبهم است. اجازه دهید، - - من شاخه ای از تبدیل معکوس باشد، پس رابطه زیر معتبر است:

که در آن مجموع تمام شاخه های تبدیل معکوس گرفته می شود،

تبدیل ژاکوبین از متغیرهای تصادفی به متغیرهای تصادفی.

اگر از هر مجموعه ای از متغیرهای تصادفی، متغیرهای تصادفی به دست آید، می توان با تکمیل سیستم با متغیرهای تصادفی، به عنوان مثال، با چنین متغیرهایی، از فرمول (66.2) استفاده کرد. بنابراین، اگر متغیرهای تصادفی از جامعه از نظر عملکردی با کمیت های باقی مانده مرتبط باشند، بنابراین، چگالی ابعادی حاوی توابع دلتا خواهد بود.

روابط (64.4)، (64.6) و (66.2) دو روش را برای حل مسئله محاسبه تراکم جمعیتی از متغیرهای تصادفی به دست آمده از تبدیل تابعی متغیرهای تصادفی اصلی با چگالی احتمال مشترک تعریف می کنند. مشکل اصلی در به کارگیری روش اول، محاسبه انتگرال -بعدی در یک دامنه پیچیده است. در روش دوم، مشکل اصلی یافتن تمام شاخه های تبدیل معکوس است.

66.2. بیایید یک مثال ساده از محاسبه چگالی احتمال مجموع دو متغیر تصادفی و با چگالی مطابق فرمول (66.2) در نظر بگیریم. بدیهی است که مجموع باید به عنوان اولین کمیت تبدیل شده انتخاب شود: , و به عنوان دومین (اگرچه می توانید و را بگیرید). بنابراین، تبدیل تابعی از، به، توسط سیستم معادلات داده می شود:

تبدیل معکوس حل یک سیستم معادلات با توجه به موارد زیر است:

تبدیل معکوس منحصر به فرد است، بنابراین در (66.2) مجموع از یک جمله تشکیل شده است. بیایید ژاکوبین تحول را پیدا کنیم:

اکنون (66.2) for به شکل زیر است:

تابع چگالی احتمال مشترک متغیرهای تصادفی و. بنابراین چگالی احتمال مجموع از شرط سازگاری بدست می آید:

بیایید اولین روش را برای حل همان مشکل در نظر بگیریم. از (64.4) چنین است:

مشکل به تبدیل انتگرال به دامنه تعریف شده توسط شرط مربوط می شود. این انتگرال را می توان به صورت زیر نشان داد:

بنابراین چگالی احتمال:

بنابراین چگالی احتمال:

که با فرمول (66.7) منطبق است.

Chi - توزیع احتمال مجذور

67.1. توزیع کای دو با درجات آزادی، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است، که در آن متغیرهای تصادفی مستقل هستند و همه گاوسی با انتظارات و واریانس ریاضی هستند. مطابق با فرمول (64.3)، تابع توزیع احتمال متغیر تصادفی برابر است با

چگالی احتمال مشترک کمیت ها کجاست. طبق شرط، آنها مستقل هستند، بنابراین برابر با حاصل ضرب چگالی های یک بعدی هستند:

از (67.1)، (67.2) نتیجه می شود که چگالی احتمال یک متغیر تصادفی با عبارت تعیین می شود:

تحلیل این عبارت ظاهراً ساده ترین راه برای یافتن آن است، زیرا در اینجا و (67.3) را می توان به صورت زیر نشان داد:

در اینجا انتگرال برابر است با حجم منطقه - فضای بعدی، محصور بین دو ابرکره: - شعاع و - شعاع. از آنجایی که حجم ابرکره با شعاع متناسب است، یعنی. ، آن

حجم بین دو ابرکره با شعاع و، که تا یک عامل، انتگرال را تعیین می کند (67.4). سپس (67.5) را با (67.4) جایگزین می کنیم

کجا یک ثابت است که می توان از شرایط عادی سازی تعیین کرد:

سپس (67.6) را با (67.7) جایگزین می کنیم

اجازه دهید، سپس انتگرال (67.8)

جایی که - گاما تابعی از آرگومان است. از (67.8) و (67.9) ثابت تعیین می شود که جایگزینی آن به (67.6) به نتیجه می رسد.

67.2. بیایید انتظار ریاضی و واریانس متغیر تصادفی را محاسبه کنیم. از (67.11)

به طور مشابه، مجذور میانگین کمیت برابر است با

از (67.12)، (67.13) پراکندگی

67.3. در مسائل آمار ریاضی، توزیع احتمال مرتبط با توزیع نرمال مهم است. اینها در درجه اول عبارتند از - توزیع (توزیع پیرسون)، - توزیع (توزیع دانشجویی) و - توزیع (توزیع فیشر). توزیع، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است

کجا - مستقل و بس.

توزیع دانشجویی (یا - توزیع) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است

که و متغیرهای تصادفی مستقل هستند، و.

توزیع فیشر (- توزیع) با درجات آزادی، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است

توزیع کای دو و توزیع سرعت ماکسول

توزیع ماکسول بر روی سرعت مولکول های گاز، توزیع چگالی احتمال مدول سرعت است و توسط رابطه تعیین می شود.

جایی که تعداد مولکول های گاز است، تعداد مولکول هایی که مدول سرعت آنها در بازه قرار دارد، ثابت گاز است و دمای مطلق گاز است. نسبت احتمال این است که مدول سرعت یک مولکول در بازه قرار دارد، سپس چگالی احتمال مدول سرعت.

توزیع (68.1) را می توان بر اساس دو موقعیت احتمالی ساده زیر که مدل گاز ایده آل را تعریف می کند به دست آورد. 1). پیش بینی سرعت بر روی محورهای سیستم مختصات دکارتی متغیرهای تصادفی مستقل هستند. 2). هر طرح سرعت یک متغیر تصادفی گاوسی با انتظار و واریانس صفر است. پارامتر بر اساس داده های تجربی تنظیم شده است.

اجازه دهید چگالی احتمال یک متغیر تصادفی را تعیین کنیم

بدیهی است که دارای توزیع کای دو با سه درجه آزادی است. بنابراین، چگالی احتمال آن با فرمول (67.11) در زیر تعیین می شود:

زیرا بنابراین، (68.3) چگالی احتمال مجذور سرعت نسبی است.

مرحله بعدی حرکت از توزیع سرعت مجذور به توزیع قدر آن است. تبدیل تابعی به شکل:، و معکوس برای، است. بنابراین، تبدیل معکوس منحصر به فرد است. بنابراین با توجه به (65.1) چگالی توزیع مدول شکل دارد

آخرین مرحله انتقال از متغیر تصادفی به متغیر تصادفی جدید است

تبدیل معکوس بدون ابهام است، بنابراین چگالی احتمال متغیر تصادفی، مطابق (65.1)، شکل می گیرد.

که با فرمول (68.1) منطبق است.

رابطه (68.5) که رابطه بین سرعت های نسبی و مطلق را تعیین می کند و بر خلاف دو شرط احتمالی اول، از موقعیت سوم مدل گاز ایده آل که یک شرایط کاملاً فیزیکی است، پیروی می کند. شرط سوم را می توان به عنوان یک گزاره در مورد مقدار میانگین انرژی جنبشی یک مولکول در قالب برابری فرموله کرد.

ثابت بولتزمن کجاست و در واقع یک واقعیت تجربی را نشان می دهد. اجازه دهید، کجا یک ثابت است، که بیشتر با شرط (68.7) تعیین می شود. برای یافتن آن، از (68.4) میانگین مربع سرعت نسبی را تعیین می کنیم:

سپس میانگین انرژی جنبشی مولکول، جرم مولکول کجاست و با در نظر گرفتن (68.7)، یا.

تبدیل متغیرهای تصادفی

برای هر متغیر تصادفی ایکستعیین سه کمیت دیگر - در مرکز Y، عادی شده است Vو داده شده است U. متغیر تصادفی متمرکز Yتفاوت بین یک متغیر تصادفی معین است ایکسو انتظارات ریاضی آن M(X)آن ها Y = X – M(X).انتظار یک متغیر تصادفی متمرکز Yبرابر 0 است و واریانس واریانس یک متغیر تصادفی داده شده است: M(Y) = 0, D(Y) = D(ایکس). تابع توزیع F Y(ایکس) متغیر تصادفی متمرکز Yمربوط به تابع توزیع اف(ایکس) متغیر تصادفی اصلی ایکسنسبت:

F Y(ایکس) = اف(ایکس + م(ایکس)).

چگالی این متغیرهای تصادفی برابری را برآورده می کند

f Y(ایکس) = f(ایکس + م(ایکس)).

متغیر تصادفی نرمال شده Vنسبت یک متغیر تصادفی معین است ایکسبه انحراف معیار آن، یعنی. . انتظار و واریانس یک متغیر تصادفی نرمال شده Vاز طریق ویژگی ها بیان می شود ایکسبنابراین:

,

جایی که v– ضریب تغییرات متغیر تصادفی اصلی ایکس. برای تابع توزیع F V(ایکس) و تراکم f V(ایکس) متغیر تصادفی نرمال شده Vما داریم:

جایی که اف(ایکس) - تابع توزیع متغیر تصادفی اصلی ایکس، آ f(ایکس) - چگالی احتمال آن

متغیر تصادفی کاهش یافته است Uیک متغیر تصادفی متمرکز و نرمال شده است:

.

برای متغیر تصادفی داده شده

متغیرهای تصادفی عادی، متمرکز و کاهش یافته به طور مداوم هم در مطالعات نظری و هم در الگوریتم‌ها، محصولات نرم‌افزاری، اسناد نظارتی، فنی و آموزشی استفاده می‌شوند. به ویژه، به دلیل برابری ساده سازی روش ها، فرمول بندی قضایا و فرمول های محاسباتی را ممکن می سازد.

از تبدیل متغیرهای تصادفی و کلی تر استفاده می شود. بنابراین، اگر Y = تبر + ب، جایی که آو ب- پس چند عدد

مثال 7.اگر پس از آن Yمتغیر تصادفی کاهش یافته است و فرمول (8) به فرمول (7) تبدیل می شود.

با هر متغیر تصادفی ایکسشما می توانید بسیاری از متغیرهای تصادفی را مرتبط کنید Y، با فرمول ارائه شده است Y = تبر + بدر مختلف آ> 0 و ب. این مجموعه نامیده می شود خانواده تغییر مقیاس، توسط متغیر تصادفی تولید می شود ایکس. توابع توزیع F Y(ایکس) یک خانواده تغییر مقیاس از توزیع‌های تولید شده توسط تابع توزیع را تشکیل می‌دهند اف(ایکس). بجای Y = تبر + باغلب از ضبط استفاده می کنند

عدد باپارامتر shift و عدد نامیده می شود د- پارامتر مقیاس فرمول (9) نشان می دهد که ایکس– نتیجه اندازه گیری مقدار معین – وارد می شود U– نتیجه اندازه گیری همان کمیت اگر ابتدای اندازه گیری به نقطه منتقل شود باو سپس از واحد اندازه گیری جدید استفاده کنید دبار بزرگتر از قبلی

برای خانواده تغییر مقیاس (9)، توزیع X استاندارد نامیده می شود. در روش های آماری احتمالی تصمیم گیری و سایر تحقیقات کاربردی، از توزیع نرمال استاندارد، توزیع استاندارد Weibull-Gnedenko، توزیع گامای استاندارد و غیره استفاده می شود (به زیر مراجعه کنید).

از تبدیل های دیگر متغیرهای تصادفی نیز استفاده می شود. به عنوان مثال، برای یک متغیر تصادفی مثبت ایکسدر نظر دارند Y= ورود ایکس، جایی که lg ایکس- لگاریتم اعشاری یک عدد ایکس. زنجیره برابری ها

F Y (x) = P(ال جی ایکس< x) = P(X < 10x) = F( 10ایکس)

توابع توزیع را به هم متصل می کند ایکسو Y.

وظیفه ایجاد قانون توزیع تابعی از متغیرهای تصادفی با توجه به قانون معین توزیع آرگومان ها، وظیفه اصلی است. طرح کلی استدلال در اینجا به شرح زیر است. اجازه دهید قانون توزیع باشد.پس واضح است که تصویر معکوس کامل نیم بازه کجاست. مجموعه ای از آن مقادیر بردار £ از ZG که برای آن. آخرین احتمال را می توان به راحتی پیدا کرد، زیرا قانون توزیع متغیرهای تصادفی £ شناخته شده است.به طور مشابه، در اصل، قانون توزیع تابع برداری آرگومان های تصادفی را می توان یافت. پیچیدگی اجرای مدار فقط به نوع خاص تابع بستگی دارد (p و قانون توزیع آرگومان‌ها. این فصل به اجرای مدار در موقعیت‌های خاص که برای کاربردها مهم هستند، اختصاص دارد. §1. توابع یک متغیر فرض کنید £ یک متغیر تصادفی باشد، قانون توزیع آن توسط تابع توزیع F((x)، rj = اگر F4(y) تابع توزیع متغیر تصادفی rj باشد، ملاحظات فوق تابعهای FUNCTIONS OF را نشان می دهد. متغیرهای تصادفی که در آن y) تصویر معکوس کامل نیم خط (-oo, y) را نشان می دهد. رابطه (I) نتیجه آشکار (*) است و برای مورد مورد بررسی در شکل 1 نشان داده شده است. تبدیل یکنواخت از یک متغیر تصادفی اجازه دهید (p(t) یک تابع یکنواخت پیوسته باشد (برای قطعیت، به طور یکنواخت غیر افزایشی) و r) = - برای تابع توزیع Fn(y) به دست می آوریم (اینجا تابع است، معکوس وجود که توسط یکنواختی و پیوستگی تضمین می شود. برای یکنواختی غیر کاهشی) محاسبات مشابه به طور خاص، اگر - خطی است، برای a > O (شکل 2) تبدیل های خطی ماهیت توزیع را تغییر نمی دهند، بلکه فقط بر پارامترهای آن تأثیر می گذارند. تبدیل خطی یک متغیر تصادفی یکنواخت در [a, b] اجازه دهید تبدیل خطی یک متغیر تصادفی معمولی Let و به طور کلی اگر اجازه دهید، برای مثال، 0. از (4) نتیجه می گیریم که قرار دادن در آخرین انتگرال این جایگزینی یک مهم می دهد. هویت که منبع بسیاری از کاربردهای جالب است را می توان از رابطه (3) با Lemma بدست آورد. اگر یک متغیر تصادفی با تابع توزیع پیوسته F^(x) باشد، آنگاه متغیر تصادفی r) = روی یکنواخت است. ما داریم - به طور یکنواخت کاهش نمی یابد و در محدوده قرار می گیرد o بنابراین، توابع متغیرهای تصادفی در بازه زمانی که به دست می آوریم یکی از راه های ممکن برای استفاده از لم اثبات شده، برای مثال، روش مدل سازی یک متغیر تصادفی با یک متغیر دلخواه است. قانون توزیع F((x). همانطور که از لم آمده است، برای این کار کافی است بتوان مقادیر یکنواخت را در ) بدست آورد.