نشانه های اعداد تقسیم بندی- اینها قوانینی هستند که اجازه می دهد تقسیمات غیر تولید کننده نسبتا به سرعت به سرعت متوجه شوند که آیا این شماره به یک داده شده بدون باقی مانده تقسیم می شود.
بعضی از علائم تقسیم پذیری بسیار ساده، برخی سخت تر. در این صفحه شما به عنوان نشانه های تقسیم پذیری پیدا خواهید کرد اعداد ساده، مانند، به عنوان مثال، 2، 3، 5، 7، 11، و نشانه های تقسیم اجزاء مانند 6 یا 12.
امیدوارم این اطلاعات برای شما مفید باشد.
یادگیری دلپذیر!

علامت تقسیم پذیری در 2

این یکی از ساده ترین نشانه های تقسیم پذیری است. این به نظر می رسد مثل این است: اگر ضبط یک عدد طبیعی با یک خواننده به پایان می رسد، پس از آن به طور یکنواخت (تقسیم بدون باقی مانده توسط 2)، و اگر رکورد شماره به یک رقم عجیب و غریب پایان می یابد، این شماره عجیب است.
به عبارت دیگر، اگر شماره آخرین رقمی برابر باشد 2 , 4 , 6 , 8 یا 0 - شماره به 2 تقسیم می شود، اگر نه، تقسیم نشده است
به عنوان مثال، اعداد: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 آنها به 2 تقسیم می شوند، زیرا آنها حتی هستند.
اعداد: 23 5 , 137 , 2303
در 2 تقسیم نمی شوند، زیرا آنها عجیب هستند.

نشانه تقسیم پذیری در 3

این ویژگی تقسیم کاملا متفاوت است: اگر تعداد اعداد توسط 3 تقسیم شود، تعداد به 3 تقسیم می شود؛ اگر مقدار شماره شماره توسط 3 تقسیم نشده است، سپس شماره توسط 3 تقسیم نمی شود.
بنابراین، برای درک اینکه آیا تعداد به 3 تقسیم شده است، فقط لازم است اعداد را در میان خود که از آن تشکیل شده است اضافه کنید.
به نظر می رسد این است: 3987 و 141 توسط 3 تقسیم می شوند، زیرا در اولین مورد 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - بدون بقایای 3)، و در دوم 1 + 4 + 1 \u003d تقسیم می شود 6 (6: 3 \u003d 2 - همچنین بدون بقایای 3) تقسیم شده است.
اما اعداد: 235 و 566 به 3 تقسیم نمی شوند، زیرا 2 + 3 + 5 \u003d 10 و 5 + 6 + 6 \u003d 17 (و ما می دانیم که نه 10 و نه 17 به 3 بدون باقی مانده تقسیم می شوند).

نشانه تقسیم پذیری در 4

این نشانه تقسیم پذیری پیچیده تر خواهد بود. اگر آخرین 2 رقم از اعداد تشکیل شده است تعداد تقسیم بر 4 یا 00 00، و سپس تعداد به 4 تقسیم شده است، در غیر این صورت این شماره به 4 بدون باقی مانده تقسیم نشده است.
به عنوان مثال: 1. 00 و 3 64 تقسیم بر 4، زیرا در اولین مورد تعداد به پایان می رسد 00 ، و در دوم 64 که به نوبه خود به 4 بدون باقی مانده تقسیم می شود (64: 4 \u003d 16)
اعداد 3 57 و 8 86 4 را تقسیم نکنید زیرا نه 57 n 86 4 تقسیم نشده اند و بنابراین به این نشانه تقسیم نمی شوند.

علامت تقسیم پذیری در 5

و دوباره، ما یک نشانه نسبتا ساده از تقسیم پذیری داریم: اگر ضبط عدد طبیعی با شماره 0 یا 5 به پایان برسد، این شماره بدون باقی مانده توسط 5. اگر تعداد عدد به پایان می رسد با یک رقم متفاوت، سپس شماره بدون باقی مانده به 5 تقسیم نمی شود.
این به این معنی است که هر عدد به تعداد اعداد پایان می یابد 0 و 5 ، به عنوان مثال، 1235. 5 و 43. 0 ، سقوط یک قانون و تقسیم بر 5.
A، به عنوان مثال، 1549 3 و 56. 4 به شکل 5 یا 0 پایان ندهید، به این معنی که آنها نمی توانند برای 5 بدون باقی مانده به اشتراک بگذارند.

علامت تقسیم پذیری در 6

ما یک شماره کامپوزیتی 6 داریم که محصول شماره 2 و 3 است. بنابراین نشانه ای از تقسیم بندی توسط 6 نیز کامپوزیت است: به طوری که تعداد 6 تقسیم شده است، باید به طور همزمان با دو نشانه تقسیم پذیری مطابقت داشته باشد: علامت از تقسیم پذیری در 2 و نشانه ای از تقسیم پذیری توسط 3. در عین حال، توجه داشته باشید که چنین تعداد کامپوزیتی به عنوان 4 علامت فردی از تقسیم پذیری دارد، زیرا این شواهد شماره 2 به خودی خود است. اما بازگشت به نشانه تقسیم پذیری در 6.
اعداد 138 و 474 حتی مربوط به نشانه های تقسیم پذیری 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12، 12: 3 \u003d 4 و 4 + 7 + 4 \u003d 15، 15: 3 \u003d 5)، به این معنی که آنها تقسیم می شوند به ترتیب 6. اما 123 و 447، اگر چه آنها به 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6، 6: 3 \u003d 2 و 4 + 4 + 7 \u003d 15، 15: 3 \u003d 5) تقسیم می شوند، اما آنها عجیب و غریب هستند و بنابراین با علامت تقسیم بندی 2 مطابقت ندارد، و بنابراین، آنها با نشانه تقسیم بندی 6 مطابقت ندارد.

علامت تقسیم پذیری در 7

این نشانه تقسیم پذیری پیچیده تر است: این تعداد به 7 تقسیم می شود، اگر نتیجه تفریق شکل دوقلوی دهی از ده ها این عدد به 7 یا برابر 0 تقسیم شود.
به نظر می رسد کاملا گیج کننده است، اما در عمل این آسان است. خودمان را ببینیم: شماره 95 9 به 7 تقسیم شده است، زیرا 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77، 77: 7 \u003d 11 (77 77 بدون باقی مانده تقسیم شده است). و اگر تعداد با تعداد به دست آمده در طول تحولات به دست آمده (به علت اندازه آن دشوار است، آن را به 7 تقسیم شده است، آن را به 7 یا نه، پس از آن این روش می تواند تا زمانی که شما احساس ضروری است).
مثلا، 45 5 I. 4580 1 دارای علائم تقسیم پذیری به 7. در اولین مورد، همه چیز کاملا ساده است: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35، 35: 7 \u003d 5. در مورد دوم ما این کار را انجام خواهیم داد: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. ما دشوار است که درک کنیم که آیا آن را تقسیم می کند 457 8 تا 7، بنابراین ما روند را تکرار می کنیم: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. و دوباره ما از نشانه ای از تقسیم پذیری استفاده می کنیم، زیرا ما هنوز تعداد سه رقمی هستیم 44 1. بنابراین 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42، 42: 7 \u003d 6، I.E. 42 بدون تعادل تقسیم می شود، به این معنی که 45801 تقسیم شده توسط 7 است.
اما اعداد 11 1 I. 34 5 به 7 تقسیم نمی شود، زیرا 11 -2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 بدون یک باقی مانده 7 برابر نیست) و 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 بدون باقی مانده 7 برابر نیست).

علامت تقسیم پذیری در 8

نشانه تقسیم پذیری در 8 به نظر می رسد: اگر 3 رقم آخر یک عدد تقسیم شده توسط 8 یا 000 را تشکیل می دهد، تعداد مشخص شده توسط 8 تقسیم شده است.
شماره 1 000 یا 1 088 تقسیم بر 8: اولین پایان بر روی 000 ، دومین 88 : 8 \u003d 11 (تقسیم بر 8 بدون باقی مانده).
اما شماره 1 100 یا 4 757 از 8، از تعداد اعداد تقسیم نکنید 100 و 757 بدون بقیه به اشتراک نگذارید

نشانه ای از تقسیم پذیری در 9

این نشانه تقسیم پذیری شبیه به نشانه ای از تقسیم پذیری است. 3: اگر تعداد اعداد توسط 9 تقسیم شود، تعداد به 9 تقسیم می شود. اگر تعداد اعداد به 9 تقسیم نشده باشد، تعداد آن به 9 تقسیم نمی شود.
به عنوان مثال: 3987 و 144 به 9 تقسیم می شوند، زیرا در اولین مورد 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - بدون بقایای 9)، و در دوم 1 + 4 + 4 \u003d تقسیم می شود 9 (9: 9 \u003d 1 - همچنین بدون بقایای 9) تقسیم شده است.
اما اعداد: 235 و 141 به 9 تقسیم نمی شوند، زیرا 2 + 3 + 5 \u003d 10 و 1 + 4 + 1 \u003d 6 (و ما می دانیم که نه 10 و نه 6 به 9 بدون باقی مانده تقسیم می شوند).

علائم تقسیم بندی در 10، 100، 1000 و دیگر واحدهای بیت

این نشانه های تقسیم پذیری من ترکیب شده است، زیرا آنها را می توان به طور مساوی توصیف کرد: تعداد به یک واحد تخلیه تقسیم می شود، اگر تعداد صفر ها در انتهای عدد بیشتر یا برابر تعداد صفر در یک بیت خاص باشد.
به عبارت دیگر، به عنوان مثال، ما چنین اعداد داریم: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . از اینها، همه به 1 تقسیم می شوند 0 ; 46400 و 867. 000 آنها به 1 تقسیم می شوند 00 ؛ و تنها یکی از آنها - 867 000 تقسیم بر 1 000 .
هر عدد که در آن تعداد صفر ها در انتهای آن کمتر از واحد تخلیه است، به عنوان مثال 600 به این واحد تخلیه تقسیم نمی شود 30 و 7 93 به اشتراک گذاشتن 1 00 .

علامت تقسیم پذیری در 11

به منظور پیدا کردن این که آیا تعداد به 11 تقسیم شده است، لازم است تفاوت در مجموع اعداد حتی و عجیب این تعداد را بدست آوریم. اگر این تفاوت برابر با 0 باشد یا به 11 بدون باقی مانده تقسیم شود، تعداد خود را به 11 بدون باقی مانده تقسیم می کند.
برای روشن تر شدن، من پیشنهاد می کنم نمونه ها را در نظر بگیرم: 2 35 4 توسط 11 تقسیم شده است، زیرا ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 همچنین به 11 تقسیم شده است، از آنجا که ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
اما 1 1 1 یا 4 35 4 به 11 تقسیم نمی شود، زیرا در اولین مورد ما (1 + 1) - 1 \u003d 1، و در دوم ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

نشانه تقسیم پذیری در 12

شماره 12 کامپوزیت است. علامت آن از تقسیم پذیری، مکاتبات نشانه های تقسیم پذیری توسط 3 و 4 در همان زمان است.
به عنوان مثال، 300 و 636 مربوط به علائم تقسیم پذیری در 4 (2 رقم آخر صفر هستند یا به 4 تقسیم می شوند یا به 4 تقسیم می شوند) و نشانه های تقسیم پذیری توسط 3 (مجموع اعداد و تعداد اول و کامل به 3) ، و اعمال خواهد شد، آنها به 12 بدون تعادل تقسیم می شوند.
اما 200 یا 630 به 12 تقسیم نمی شوند، زیرا در اولین مورد تنها تعداد تنها با نشانه ای از تقسیم پذیری توسط 4 پاسخ می دهد، و در دوم - تنها نشانه ای از تقسیم پذیری توسط 3. اما نه هر دو از علائم در همان زمان .

نشانه تقسیم پذیری در 13

نشانه تقسیم پذیری در 13 این است که اگر تعداد ده ها عدد، با 4 واحد از این تعداد کاهش یابد، چندین بار 13 یا برابر با 0 قرار می گیرد، سپس تعداد خود را با 13 تقسیم می شود.
به عنوان مثال 70 2. پس 70 + 4 * 2 \u003d 78، 78: 13 \u003d 6 (78 بدون باقی مانده توسط 13 تقسیم شده است)، به این معنی است 70 2 بدون 13 باقی مانده تقسیم شده است. مثال دیگر شماره است 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130، 130: 13 \u003d 10. شماره 130 به 13 بدون باقی مانده تقسیم می شود، که به این معنی است که تعداد مشخصی مربوط به نشانه ای از تقسیم بندی با 13 است.
اگر اعداد را مصرف کنید 12 5 یا 21 2، سپس ما دریافت می کنیم 12 + 4 * 5 \u003d 32 و 21 + 4 * 2 \u003d 29 مطابقت داشت و نه 32 و نه 22 و نه به 13 بدون باقی مانده تقسیم می شوند، به این معنی که تعداد مشخص شده بدون باقی مانده با 13 برابر تقسیم نشده است.

تعداد اعداد

همانطور که از بالا دیده می شود، می توان فرض کرد که هر یک از اعداد طبیعی می تواند علامت فردی خود را از تقسیم پذیری یا ویژگی "کامپوزیت" انتخاب کند، اگر تعداد چندین بار چندین بار باشد اعداد مختلف. اما به عنوان تمرین نشان می دهد، عمدتا بیشتر تعداد، سخت تر آن علامت آن است. شاید زمان صرف شده برای بررسی نشانه ای از تقسیم پذیری ممکن است برابر یا بیشتر از تقسیم خود باشد. بنابراین، ما معمولا از ساده ترین نشانه های تقسیم پذیری استفاده می کنیم.

یک مثال ساده را در نظر بگیرید:
15:5=3
در این مثال عدد طبیعی 15 ما تقسیم شده ایم نکل3، بدون تعادل.

گاهی اوقات تعداد طبیعی کاملا قادر به تقسیم تمرکز است. به عنوان مثال، وظیفه را در نظر بگیرید:
16 اسباب بازی در گنجه قرار دارد. این گروه پنج فرزند داشت. هر کودک همان تعداد اسباب بازی ها را گرفت. چند اسباب بازی هر کودک دارد؟

تصمیم گیری:
ما شماره 16 را در 5 ستون تقسیم می کنیم:

ما می دانیم که 16 به اشتراک نمی گذارد. تعداد نزدیک ترین که توسط 5 تقسیم شده است 15 و 1 در باقی مانده است. شماره 15 ما می توانیم به عنوان 5 × 3 رنگ کنیم. در نتیجه (16 - Delimi، 5 - Divider، 3 - ناقص خصوصی، 1 - باقی مانده). اخذ شده فرمول تقسیم با باقی ماندهکه می تواند انجام شود چک کردن راه حل.

آ.= ب⋅ c.+ d.
آ. - delimi
ب - تقسیم،
c. - ناقص خصوصی،
d. - تعادل

پاسخ: هر کودک 3 اسباب بازی را مصرف خواهد کرد و یک اسباب بازی باقی خواهد ماند.

باقی مانده از تقسیم

باقی مانده باید همیشه کمتر از تقسیم باشد.

اگر زمانی که تقسیم باقی مانده صفر است، به این معنی است که به اشتراک گذاری تقسیم می شود نکل یا بدون تعادل در تقسیم.

اگر هنگام تقسیم باقی مانده، تقسیم کننده بیشتر باشد، به این معنی است که تعداد یافت شده بزرگترین نیست. تعداد بیشتری وجود دارد که تقسیم می شود و باقی مانده کمتر از یک تقسیم کننده خواهد بود.

سوالات در مورد موضوع "تصمیم با باقی مانده":
باقی مانده ممکن است تقسیم بیشتری باشد؟
پاسخ: نه

باقی مانده می تواند برابر با تقسیم کننده باشد؟
پاسخ: نه

چگونه برای پیدا کردن قابل تقسیم در ناتمام خصوصی، تقسیم کننده و باقی مانده؟
پاسخ: مقادیر خصوصی ناقص، تقسیم شده و بقایای باقی مانده به فرمول جایگزین می شوند و قابل جدا شدن هستند. فرمول:
a \u003d b⋅c + d

مثال شماره 1:
انجام یک بخش با باقی مانده و بررسی: الف) 258: 7 ب) 1873: 8

تصمیم گیری:
الف) ستون را تقسیم می کنیم:

258 - Delimi،
7 - تقسیم،
36 - ناقص خصوصی،
6 - باقی مانده باقی مانده تقسیم کمتر 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

ب) ستون را تقسیم می کنیم:

1873 - Delimi،
8 - تقسیم،
234 - ناقص خصوصی،
1 - باقی مانده باقی مانده کمتر از تقسیم 1 است<8.

جایگزین در فرمول و بررسی اینکه آیا ما تصمیم به حل مثال مثال:
8⋅234+1=1872+1=1873

مثال شماره 2:
چه بقایای در هنگام تقسیم اعداد طبیعی به دست می آیند: الف) 3 ب) 8؟

پاسخ:
الف) باقی مانده کمتر از تقسیم کننده است، بنابراین کمتر 3. در مورد ما، باقی مانده می تواند برابر با 0، 1 یا 2 باشد.
ب) باقی مانده کمتر از تقسیم کننده است، بنابراین، کمتر از 8. در مورد ما، باقی مانده می تواند برابر با 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 یا 7 باشد.

مثال شماره 3:
چه بزرگترین بقایای ممکن است هنگام تقسیم اعداد طبیعی: الف) 9 ب) 15؟

پاسخ:
الف) باقی مانده کمتر از تقسیم کننده است، بنابراین کمتر از 9. اما ما باید بزرگترین تعادل را مشخص کنیم. این نزدیکترین شماره به تقسیم کننده است. این شماره 8 است.
ب) باقی مانده کمتر از تقسیم کننده است، بنابراین کمتر از 15 است. اما ما باید بزرگترین تعادل را مشخص کنیم. این نزدیکترین شماره به تقسیم کننده است. این شماره 14 است.

مثال شماره 4:
پیدا کردن تقسیم: الف) A: 6 \u003d 3 (OST 4) ب) C: 24 \u003d 4 (East.11)

تصمیم گیری:
الف) کنار کمک فرمول:
a \u003d b⋅c + d
(A - Delimi، B - Divider، C - ناقص خصوصی، D - باقی مانده.)
A: 6 \u003d 3 (OST.4)
(A - Delimi، 6 - Divider، 3 - ناقص خصوصی، 4 - باقی مانده.) شماره را در فرمول جایگزین کنید:
a \u003d 6 × 3 + 4 \u003d 22
پاسخ: A \u003d 22

ب) با کمک فرمول حل شده است:
a \u003d b⋅c + d
(A - Delimi، B - Divider، C - ناقص خصوصی، D - باقی مانده.)
C: 24 \u003d 4 (East.11)
(C - Delimi، 24 - Divider، 4 - ناقص خصوصی، 11 - باقی مانده.) شماره را در فرمول جایگزین کنید:
c \u003d 24⋅4 + 11 \u003d 107
پاسخ: C \u003d 107

یک وظیفه:

سیم 4 متر لازم است که به قطعات 13cm بریده شود. چند قطعه آن کار خواهد کرد؟

تصمیم گیری:
ابتدا باید متر را به سانتی متر ترجمه کنید.
4 متر \u003d 400 سانتیمتر
شما می توانید یک ستون را به اشتراک بگذارید یا در ذهن ما دریافت کنید:
400: 13 \u003d 30 (OST.10)
بررسی:
13⋅30+10=390+10=400

پاسخ: 30 قطعه به نوبه خود و 10 سانتی متر. سیم باقی خواهد ماند.

در این مقاله ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده. بیایید با اصل کلی تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده شروع کنیم، قضیه را در مورد تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده، نشان می دهیم و ارتباط بین تقسیم بندی بین تقسیم، تقسیم، ناقص خصوصی و باقی مانده را نشان می دهیم. سپس اجازه دهید قوانین را که تقسیم اعداد صحیح با بقایای انجام می شود، صدایی کنیم و در هنگام حل نمونه ها استفاده از این قوانین را در نظر بگیریم. پس از آن، یاد بگیرید چگونه به بررسی نتیجه تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده.

مرور صفحه

نمای کلی تقسیم اعداد صحیح با بقایای

تقسیم اعداد صحیح با بقایای ما به عنوان تعمیم بخش با باقی مانده از اعداد طبیعی در نظر خواهیم گرفت. این به خاطر این واقعیت است که اعداد طبیعی بخشی جدایی ناپذیر از عدد صحیح هستند.

بیایید با شرایط و مقرراتی که در توصیف استفاده می شود شروع کنیم.

به طور مشابه با تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده، ما فرض می کنیم که نتیجه تقسیم با بقایای دو عدد صحیح A و B (B صفر نیست) دو عدد صحیح C و D هستند. اعداد A و B نامیده می شوند قابل تقسیم و تقسیم کننده بر این اساس، تعداد d - باقی مانده از بخش A در B و یک عدد صحیح C نامیده می شود خصوصی ناقص (یا به سادگی خصوصیاگر باقی مانده صفر باشد)

ما موافقت می کنیم فرض کنیم که باقی مانده یک عدد غیر منفی است، و ارزش آن از B تجاوز نمی کند، یعنی ما ملاقات کردیم، زمانی که ما در مورد مقایسه سه عدد صحیح و بیشتر گفتیم).

اگر تعداد C ناقص باشد، و شماره D باقی مانده از تقسیم یک عدد صحیح در هر عدد صحیح B است، پس این واقعیت ما به طور خلاصه به عنوان برابری فرم A ثبت می شود: B \u003d C (Ost. D).

توجه داشته باشید که هنگام تقسیم شماره عدد صحیح A به یک عدد صحیح B، باقی مانده ممکن است صفر باشد. در این مورد، آنها می گویند که A به B تقسیم شده است بدون باقی مانده (یا نکل) بنابراین، تقسیم اعداد صحیح بدون باقی مانده، یک مورد خاص تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده است.

همچنین لازم به ذکر است که هنگام تقسیم صفر برای برخی از عدد صحیح، ما همیشه با یک بخش بدون تعادل برخورد می کنیم، زیرا در این مورد خصوصی صفر خواهد بود (بخش از نظریه تقسیم صفر را با یک عدد صحیح ببینید) و باقی مانده صفر نیز خواهد بود.

تعیین شده با اصطلاحات و تعیین، ما در حال حاضر با معنی تقسیم اعداد صحیح با بقایای درک می کنیم.

تقسیم کل تعداد منفی A به تعداد کل مثبت B همچنین می تواند به معنای داده شود. برای انجام این کار، تعداد کل منفی را به عنوان بدهی در نظر بگیرید. تصور کنید این وضعیت. بدهی هایی که باعث می شود اقلام باید با پرداخت یکسان پرداخت شود. ارزش مطلق خصوصی ناقص C در این مورد مقدار بدهی هر یک از این افراد را تعیین می کند و باقی مانده D نشان می دهد که چقدر موارد پس از پرداخت بدهی باقی خواهد ماند. بگذارید یک مثال بگذاریم فرض کنید 2 نفر باید 7 سیب داشته باشند. اگر فرض کنیم که هر یک از آنها باید 4 سیب باشد، پس از پرداخت بدهی، آنها 1 سیب باقی خواهند ماند. این وضعیت مربوط به برابری است (-7): 2 \u003d -4 (Ost 1).

یک بخش با باقی مانده یک عدد صحیح دلخواه A برای یک عدد کامل منفی، ما هیچ نقطه ای نخواهیم داشت، اما ما حق را ترک خواهیم کرد.

قضیه تقسیم اعداد صحیح با بقایای

هنگامی که ما در مورد تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده صحبت کردیم، متوجه شدیم که تقسیم بندی، تقسیم B، ناتمام خصوصی C و باقی مانده D مربوط به برابری A \u003d b · c + d است. برای عدد صحیح، A، B، C و D با همان ارتباط مشخص می شود. این لینک توسط موارد زیر تایید شده است تئوری تعریف با باقی مانده.

قضیه

هر عدد صحیح ممکن است تنها راهی از طریق یک عدد صحیح باشد و از صفر شماره B به عنوان a \u003d b · q + r متفاوت باشد، جایی که Q و R برخی از عدد صحیح هستند و.

شواهد و مدارک.

اول، ما امکان نمایندگی A \u003d b · q + r را اثبات می کنیم.

اگر عدد صحیح A و B به طوری که A به B تقسیم شده است، پس از تعریف، چنین عدد صحیح Q وجود دارد که a \u003d b · q. در این مورد، یک برابری a \u003d b · q + r در r \u003d 0 وجود دارد.

حالا فرض می کنیم که B عدد صحیح عدد صحیح است. یک عدد صحیح Q را به گونه ای انتخاب کنید که محصول B · Q از شماره A تجاوز نمی کند و محصول B · (Q + 1) در حال حاضر بیشتر از یک بود. یعنی، Q به چنین نابرابری B · Q

همچنان ثابت می شود که امکان نمایندگی A \u003d b · q + r را برای منفی b ثابت کنید.

از آنجا که ماژول شماره B در این مورد یک عدد مثبت است، سپس برای ارائه، که در آن Q 1 برخی از عدد صحیح است، و R شرایط رضایت بخش صحیح است. سپس، اتخاذ q \u003d -q 1، ما ایده نمایش بصری A \u003d B · Q + R را برای منفی b به دست می آوریم.

به اثبات منحصر به فرد بروید.

فرض کنید علاوه بر نمایندگی A \u003d B q + R، Q و R - عدد صحیح و، نمایندگی دیگر A \u003d B · Q 1 + R 1 وجود دارد، جایی که Q 1 و R 1 برخی از عدد صحیح هستند و Q 1 ≠ q و.

پس از تفریق از قسمت چپ و راست اولین برابری، به ترتیب، قسمت چپ و راست برابری دوم، ما 0 \u003d b · (q - q 1) + rr 1 را دریافت می کنیم که معادل آن برابر با برابری RR 1 \u003d b · (q 1 -q). سپس برابری این گونه باید درست باشد ، و به موجب خواص ماژول شماره - و برابری .

از شرایط و می توان نتیجه گرفت که. به عنوان Q و Q 1، عدد صحیح و Q ≠ Q 1 هستند، پس از آن ما نتیجه می گیریم که . از نابرابری های به دست آمده و این به دنبال آن است که برابری فرم در فرض ما غیرممکن است. بنابراین، نمایندگی دیگر از شماره A وجود ندارد، به جز a \u003d b · q + r.

ارتباط بین تقسیم بندی، تقسیم، ناقص خصوصی و باقی مانده

برابری a \u003d b · c + d اجازه می دهد تا شما را به پیدا کردن یک تقسیم ناشناخته، اگر تقسیم B شناخته شده، ناقص خصوصی C و باقی مانده D. یک مثال را در نظر بگیرید

مثال.

اگر یک عدد صحیح -21، یک ناتمام خصوصی 5 و یک باقی مانده 12 باشد، به همان اندازه قابل تقسیم است.

تصمیم گیری

ما باید Delimi A را محاسبه کنیم، زمانی که تقسیم b \u003d -21 شناخته شده است، به اندازه کافی ناقص C \u003d 5 و باقی مانده D \u003d 12. با تماس با برابری a \u003d b · c + d، ما \u003d (- 21) · 5 + 12 به دست می آوریم. رعایت، ابتدا ما ابتدا ضرب اعداد اعداد را با توجه به حاکمیت ضرب اعداد صحیح با علائم مختلف صرف می کنیم، پس از آن ما علاوه بر اعداد صحیح را با علائم مختلف انجام می دهیم: (-21) · 5 + 12 \u003d -105 + 12 \u003d -93.

پاسخ:

−93 .

روابط بین تقسیم بندی، تقسیم، ناقص، ناقص و باقی مانده نیز توسط مساوی از فرم b \u003d (a - d) بیان می شود: c، c \u003d (a - d): b و d \u003d a-b · c. این مساوی اجازه می دهد محاسبه تقسیم، ناقص خصوصی و باقی مانده به ترتیب. ما اغلب باید باقی مانده را از تقسیم یک عدد صحیح به یک عدد صحیح ب، زمانی که تقسیم، تقسیم و ناقص خصوصی، با استفاده از فرمول D \u003d a-b · c. به طوری که در آینده هیچ سؤالی وجود ندارد، ما نمونه ای از محاسبه باقی مانده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

تعادل را از تقسیم یک عدد صحیح -19 به یک عدد صحیح پیدا کنید، اگر شناخته شده باشد که خصوصی ناقص برابر با -7 است.

تصمیم گیری

برای محاسبه باقی مانده از بخش، ما از فرمول فرم D \u003d a - b · c استفاده می کنیم. از شرایطی ما تمام داده های لازم A \u003d -19، B \u003d 3، C \u003d -7 را داریم. ما دریافت D \u003d · c \u003d -19-3 · (-7) \u003d -19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (تفاوت -19 - (- 21) ما با توجه به قانون تفریق محاسبه شده است تعداد کل منفی).

پاسخ:

تقسیم با باقی مانده از تعداد کل مثبت، نمونه ها

همانطور که ما بارها اشاره کردیم، تعداد کل مثبت اعداد طبیعی است. بنابراین، تقسیم با باقی مانده از تعداد کل مثبت در تمام قوانین تقسیم با باقی مانده از اعداد طبیعی انجام می شود. بسیار مهم است که بتوانیم به راحتی بخش را با باقی مانده از اعداد طبیعی انجام دهیم، زیرا این اساس نه تنها تعداد کل مثبت، بلکه در قلب تمام قوانین تقسیم با بقایای عدد صحیح خودسرانه است.

از نقطه نظر ما، راحت تر برای انجام تقسیم توسط یک ستون، این روش به شما اجازه می دهد تا خصوصیات خصوصی (یا فقط خصوصی) و باقی مانده را نادیده بگیرید. یک مثال از تقسیم را با بقایای کل تعداد مثبت در نظر بگیرید.

مثال.

انجام یک بخش با باقی مانده از شماره 14 671 توسط 54.

تصمیم گیری

تقسیم این اعداد مثبت را در مرحله انجام دهید:

خصوصی ناقص تبدیل به برابر 271 شد، و باقی مانده 37 است.

پاسخ:

14 671: 54 \u003d 271 (Ost 37).

قانون تقسیم با بقایای تعداد مثبت، مثالهایی

ما یک قاعده را تشکیل می دهیم که به شما اجازه می دهد تا بخش را با یک عدد کامل کامل به یک عدد کل منفی انجام دهید.

ناقص خصوصی از بخش یک عدد صحیح عدد صحیح A به کل منفی تعداد B تعدادی مخالف به طور کامل خصوصی از بخش تقسیم A به ماژول شماره B، و باقی مانده از بخش A در B برابر با تعادل تقسیم برابر است .

این قانون به این معنی است که ناقص خصوصی از تقسیم عدد صحیح عدد صحیح به تعداد کل منفی یکپارچگی است.

ما قانون اعلام شده را در الگوریتم تقسیم با بقایای کل تعداد مثبت کافی انجام می دهیم:

• ما ماژول تقسیم بندی را در ماژول تقسیم بندی تقسیم می کنیم، ما خصوصی و باقی مانده ناقص را دریافت می کنیم. (اگر باقی مانده معلوم شود برابر با صفر باشد، تعداد اولیه بدون یک باقی مانده تقسیم می شود، و با توجه به قوانین تقسیم اعداد صحیح با علائم مخالف، به روز شده برابر با تعداد مخالف به پارتیشن از تقسیم ماژول ها.)
• شماره را به صورت مخالف خصوصی ناقص و باقی مانده ثبت کنید. این اعداد به ترتیب خصوصی و باقی مانده مورد نظر از تقسیم عدد صحیح عدد صحیح اولیه به یک کل منفی است.

ما نمونه ای از استفاده از یک الگوریتم برای تقسیم یک عدد کل مثبت به یک کل منفی ارائه می دهیم.

مثال.

انجام یک بخش با باقی مانده از تعداد مثبت 17 به یک عدد منفی کل -5.

تصمیم گیری

ما از الگوریتم تقسیم با بقایای یک عدد مثبت به یک کل منفی استفاده می کنیم.

به اشتراک گذاری

شماره مخالف شماره 3 -3 است. بنابراین، ناقص ناقص از بخش 17 تا -5 -3 -3 است و باقی مانده 2 است.

پاسخ:

17: (- 5) \u003d - 3 (Ost 2).

مثال.

تقسیم کردن 45 در -15.

تصمیم گیری

ماژول های Delimo و Divider به ترتیب 45 و 15 هستند. شماره 45 به 15 بدون باقی مانده تقسیم می شود، خصوصی برابر با 3 است. در نتیجه، عدد عدد صحیح مثبت 45 به یک کل منفی -15 بدون یک باقی مانده تقسیم می شود، خصوصی در همان زمان برابر با تعداد مخالف 3، یعنی -3 است. در واقع، با توجه به حاکمیت تقسیم اعداد صحیح با نشانه های مختلف ما داریم.

پاسخ:

45:(−15)=−3 .

تقسیم با تعداد کل منفی عدد صحیح مثبت، مثالها

ما به قوانین تقسیم با بقای کل تعداد منفی به یک کل مثبت اشاره خواهیم کرد.

به منظور به دست آوردن یک فرد ناقص C از تقسیم کل تعداد منفی A به تعداد کل مثبت B، شما باید تعدادی را به طور کامل از تقسیم ماژول های شماره های اولیه قرار دهید و بعد از آن، واحد را از بین ببرید که باقی مانده D با توجه به فرمول d \u003d · c محاسبه می شود.

از این قانون تقسیم با باقی مانده، آن را دنبال می کند که خصوصی ناقص از تقسیم یک کل منفی برای یک عدد کامل کامل یک عدد کل منفی است.

از قانون ابراز شده، الگوریتم تقسیم را با تعادل یک عدد کل منفی A به کل مثبت B اشاره می کند.

• ما ماژول های تقسیم و تقسیم را پیدا می کنیم.
• ما ماژول تقسیم بندی را در ماژول تقسیم بندی تقسیم می کنیم، ما خصوصی و باقی مانده ناقص را دریافت می کنیم. (اگر باقی مانده صفر باشد، عدد صحیح اولیه بدون بقایای تقسیم می شود و خصوصی به دنبال آن برابر با تعداد مخالف ماژول های خصوصی است.)
• ما شماره را در مقابل خصوصی به دست آوردیم و شماره 1 را از آن جدا کنیم. شماره محاسبه شده خصوصی مورد نظر C از بخش کامل کل منفی به عدد صحیح مثبت است.

ما راه حل نمونه ای را که در آن ما از الگوریتم ضبط شده تقسیم با باقی مانده استفاده می کنیم، تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

پیدا کردن یک ناتمام خصوصی و باقی مانده از تقسیم کل تعداد منفی -17 برای یک عدد کامل کامل 5.

تصمیم گیری

ماژول Dividera -17 17 است و ماژول تقسیم 5 5 است.

به اشتراک گذاری 17 تا 5، ما خصوصیات خصوصی 3 و باقی مانده 2 را دریافت می کنیم.

تعداد مخالف 3 -3 است. ما از -3 واحد تفریق می کنیم: -3-1 \u003d -4. بنابراین، خصوصی ناقص مورد نظر -4 است.

این باقی مانده است که باقی مانده باشد. در مثال ما a \u003d -17، b \u003d 5، c \u003d -4، سپس d \u003d a-b · c \u003d -17-5 · (-4) \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

بنابراین، ناقص خصوصی از بخش کامل منفی -17 به یک عدد صحیح عدد صحیح 5 عدد مثبت -4 است و باقی مانده 3 است.

پاسخ:

(-17): 5 \u003d -4 (Ost 3).

مثال.

تعداد کل منفی -1 404 را با تعداد مثبت 26 تقسیم کنید.

تصمیم گیری

ماژول سود سهام 1 404 است، ماژول تقسیم کننده 26 است.

ما 1 404 را در مرحله 26 تقسیم کردیم:

از آنجایی که ماژول تقسیم به یک ماژول تقسیم کننده بدون باقی مانده تقسیم شد، عدد صحیح اولیه بدون بقایای تقسیم می شود و خصوصی مورد نظر برابر با تعداد مخالف 54، یعنی -54 است.

پاسخ:

(−1 404):26=−54 .

قانون تقسیم با بقایای کل عدد منفی، نمونه ها

ما یک قانون تقسیم را با بقایای کل عدد منفی فرمول می دهیم.

به منظور به دست آوردن یک فرد ناقص C از تقسیم کل تعداد منفی A به یک کل منفی تعداد B، لازم است محاسبه ناقص خصوصی در بخش ماژول های اولیه اولیه و اضافه کردن واحد به آن، پس از آن باقی مانده D محاسبه با توجه به فرمول d \u003d · c.

این قانون به این معنی است که خصوصی ناقص از تقسیم تعداد کل منفی تعداد کل مثبت است.

ما قانون ابراز شده را به صورت یک الگوریتم برای تقسیم تعداد منفی کامل بازنویسی می کنیم:

• ما ماژول های تقسیم و تقسیم را پیدا می کنیم.
• ما ماژول تقسیم بندی را در ماژول تقسیم بندی تقسیم می کنیم، ما خصوصی و باقی مانده ناقص را دریافت می کنیم. (اگر باقی مانده صفر باشد، عدد صحیح اولیه بدون یک باقی مانده تقسیم می شود و خصوصی به دنبال خصوصی تقسیم ماژول تقسیم کننده به ماژول تقسیم کننده برابر است.)
• این به واحد خصوصی ناقص به دست آمده افزوده شده است، این شماره خصوصی ناقص است از تقسیم کامل تعداد منفی کامل.
• محاسبه باقی مانده با توجه به فرمول D \u003d a-b · c.

استفاده از الگوریتم را برای تقسیم کردن کل عدد منفی در هنگام حل مثال در نظر بگیرید.

مثال.

پیدا کردن یک ناقص خصوصی و باقی مانده از تقسیم کل تعداد منفی -17 به یک کل منفی تعداد -5.

تصمیم گیری

ما از الگوریتم مربوطه تقسیم با باقی مانده استفاده می کنیم.

ماژول سود سهام 17 است، ماژول تقسیم کننده 5 است.

بخش 17 در 5 به خصوصی ناقص 3 و باقی مانده 2.

توسط ناقص خصوصی 3 اضافه کردن واحد: 3 + 1 \u003d 4. در نتیجه، خصوصی ناقص مورد نظر از بخش -17 تا -5 4 است.

این باقی مانده است که باقی مانده باشد. در این مثال، a \u003d -17، b \u003d -5، c \u003d 4، سپس d \u003d a-b · c \u003d -17 - (- 5) · 4 \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

بنابراین، ناقص خصوصی از تقسیم کل تعداد منفی -17 به یک کل منفی تعداد -5 4، و باقی مانده 3 است.

پاسخ:

(-17): (- 5) \u003d 4 (Ost 3).

نتیجه تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده بررسی کنید

پس از تعیین عدد صحیح با باقی مانده ساخته شده است، مفید است که نتایج به دست آمده را بررسی کنید. بررسی در دو مرحله انجام می شود. در مرحله اول بررسی می شود که آیا باقی مانده D یک عدد غیر منفی است و وضعیت بررسی می شود. اگر تمام شرایط مرحله اول چک ساخته شود، می توانید مرحله دوم چک کنید، در غیر این صورت می توان گفت که هنگام تقسیم با باقی مانده، یک خطا انجام شد. در مرحله دوم، اعتبار برابری a \u003d b · c + d بررسی می شود. اگر این برابری معتبر باشد، تقسیم با باقی مانده به درستی انجام شد، در غیر این صورت یک خطا در جایی ساخته شد.

راه حل های نمونه هایی را در نظر بگیرید که نتیجه تقسیم اعداد صحیح با بقایای انجام می شود.

مثال.

هنگامی که تقسیم شماره -521 در -12، ناقص خصوصی 44 و باقی مانده 7 به دست آمد، نتیجه را دنبال کنید.

تصمیم گیری -2 برای b \u003d -3، c \u003d 7، d \u003d 1. دارند b · c + d \u003d -3 · 7 + 1 \u003d -21 + 1 \u003d -20. بنابراین، برابری a \u003d b · c + d نادرست است (به عنوان مثال ما a \u003d -19).

در نتیجه، تقسیم با باقی مانده نادرست بود.

این مقاله مفهوم تقسیم اعداد صحیح را با بقایای جدا می کند. ما قضیه را در مورد تقسیم اعداد صحیح با بقایای ثابت می کنیم و رابطه بین تقسیمات و تقسیم کنندگان، ناقص خصوصی و باقی مانده را مشاهده می کنیم. قوانین را در نظر بگیرید زمانی که تمام اعداد با بقایای تقسیم می شوند، به طور دقیق در مورد نمونه ها مورد بررسی قرار می گیرند. در پایان تصمیم، چک را انجام خواهد داد.

نمای کلی تقسیم اعداد صحیح با بقایای

تقسیم اعداد صحیح با بقایای به عنوان یک بخش عمومی با بقایای طبیعی در نظر گرفته می شود. این کار انجام می شود، زیرا اعداد طبیعی بخشی جدایی ناپذیر از کل هستند.

تقسیم با باقی مانده از یک عدد دلخواه، نشان می دهد که یک عدد صحیح A توسط تعداد B، متفاوت از صفر است. اگر b \u003d 0، پس از آن یک بخش را با باقی مانده تولید نکنید.

علاوه بر تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده، تقسیم اعداد صحیح A و B ساخته شده است، با B متفاوت از صفر، در C و D است. در این مورد، A و B به نام تقسیم و تقسیم کننده نامیده می شوند، و D باقی مانده تعادل است، C یک عدد صحیح یا ناقص است.

اگر فرض کنیم که باقی مانده یک عدد غیر منفی است، مقدار آن بزرگتر از تعداد b نیست. ما به این ترتیب می نویسیم: 0 ≤ d ≤ b. این زنجیره ای از نابرابری ها در مقایسه با 3 و بیشتر از تعداد اعداد استفاده می شود.

اگر C خصوصی ناقص باشد، پس D باقی مانده از تقسیم یک عدد صحیح به هر B است، به طور خلاصه می تواند ثابت شود: A: B \u003d C (Ost. D).

باقی مانده در طی تقسیم اعداد a در B ممکن است صفر باشد، سپس آنها می گویند که A بر روی B متمرکز شده است، یعنی بدون باقی مانده. تقسیم بدون بقای به عنوان یک مورد خاص از تقسیم محسوب می شود.

اگر ما صفر را برای چند عدد تقسیم کنیم، به عنوان یک نتیجه از صفر به دست می آوریم. باقی مانده تعادل نیز صفر خواهد بود. این را می توان از تئوری تقسیم صفر توسط یک عدد صحیح ردیابی کرد.

در حال حاضر معنای تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده در نظر بگیرید.

شناخته شده است که تمام اعداد مثبت طبیعی هستند، پس از تقسیم با باقی مانده، آن را همان معنی، به عنوان در تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده است.

هنگامی که تقسیم کل تعداد منفی A، یک کل مثبت B معنی وجود دارد. به عنوان مثال را در نظر بگیرید. نشان دهنده وضعیت زمانی که ما بدهی های اشیا را در مقدار یک، که شما نیاز به پرداخت B. برای انجام این کار، شما باید سهم خود را به همه بدهید. برای تعیین میزان بدهی برای همه، لازم است توجه به اندازه خصوصی با آن داشته باشید. باقی مانده D می گوید که تعدادی از اقلام پس از سلب مسئولیت با بدهی شناخته شده است.

در مثال سیب را در نظر بگیرید. اگر 2 نفر باید 7 سیب داشته باشند. در صورتی که در نظر گرفته شود که هر کس باید به 4 سیب بازگردد، پس از محاسبه کامل، آنها 1 سیب باقی خواهند ماند. ما در قالب برابری بنویسیم: (- 7): 2 \u003d - 4 (O با t. 1).

تقسیم هر عدد و معنی ندارد، اما شاید به عنوان یک گزینه.

قضیه تقسیم اعداد صحیح با بقایای

ما نشان دادیم که A - این قابل تقسیم است، سپس B یک تقسیم کننده است، با - ناقص خصوصی، و D باقی مانده است. آنها با یکدیگر متصل هستند. این اتصال با کمک برابری a \u003d b · c + d نشان می دهد. رابطه بین آنها توسط بخش نظریه ای با بقایای مشخص شده است.

قضیه

هر عدد صحیح می تواند تنها از طریق یک عدد صحیح نشان داده شود و از صفر صفر به این طریق متفاوت باشد: a \u003d b · q + r، که در آن Q و R برخی از عدد صحیح هستند. در اینجا ما 0 ≤ r ≤ b داریم.

ما احتمال وجود وجود A \u003d b · Q + R را ثابت می کنیم

شواهد و مدارک

اگر دو عدد A و B وجود داشته باشد، و A به B بدون باقی مانده تقسیم می شود، پس از تعریف آن به شرح زیر است که شماره Q وجود دارد، که برابری واقعی a \u003d b · Q است. سپس برابری را می توان درست در نظر گرفت: a \u003d b · q + r با r \u003d 0.

سپس لازم است که Q به طوری که این نابرابری b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

ما این را داریم که مقدار بیان a - b · q بزرگتر از صفر است و هیچ مقدار بیشتری از تعداد b وجود ندارد، به این معنی است که r \u003d a - b · Q. ما به دست می آوریم که شماره A را می توان به عنوان a \u003d b · q + r نشان داد.

در حال حاضر لازم است امکان نمایندگی A \u003d b · q + r را برای مقادیر منفی B در نظر بگیریم.

ماژول شماره مثبت به دست می آید، سپس ما A \u003d b · q 1 + r را به دست می آوریم، جایی که مقدار Q 1 برخی از عدد صحیح است، R یک عدد صحیح است که مناسب شرایط 0 ≤ R است< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

اثبات منحصر به فرد بودن

فرض کنید a \u003d b · q + r، q و r عدد صحیح با شرایط وفادار 0 ≤ r هستند< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 و r 1 برخی از اعداد کجا هستند q 1 ≠ q 0 ≤ r 1< b .

هنگامی که نابرابری از قسمت های چپ و راست کم می شود، سپس 0 \u003d b · (q - q 1) + r 1، که معادل R - r 1 \u003d b · q 1 است - Q. از آنجا که ماژول استفاده می شود، ما برابری R را به دست می آوریم r - r 1 \u003d b · q 1 - Q.

وضعیت مشخص شده نشان می دهد که 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q.و q 1- کل، و q ≠ Q 1، سپس q 1 - q ≥ 1. از اینجا ما این را داریم b · q 1 - q ≥ b. نابرابری های دریافتی R - R 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

به این معنی است که تعداد دیگری که A ارائه شده است ارائه نمی شود، به جز به عنوان یک رکورد a \u003d b · q + r.

ارتباط بین تقسیم بندی، تقسیم، ناقص خصوصی و باقی مانده

با کمک برابری a \u003d b · c + d، یک تقسیم ناشناخته را می توان پیدا کرد زمانی که یک تقسیم کننده B با یک فرد ناقص C و باقی مانده D شناخته شده است.

مثال 1

تعیین تقسیم تقسیم اگر تقسیم به دست آمده - 21، ناقص خصوصی 5 و باقی مانده 12.

تصمیم

لازم است محاسبه Delimi A با Divider شناخته شده B \u003d - 21، ناقص خصوصی C \u003d 5 و باقی مانده D \u003d 12. لازم است به برابری A \u003d b · c + d مراجعه کنید، ما \u003d (- 21) · 5 + 12 را به دست آوریم. تحت عمل برای انجام اقدامات، ضرب شدن - 21 تا 5، پس از آن ما به دست آورد (- 21) · 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93.

پاسخ: - 93 .

رابطه بین تقسیم کننده و ناقص خصوصی و باقی مانده را می توان با استفاده از معادلات بیان کرد: b \u003d (a - d): c، c \u003d (a - d): b و d \u003d a - b · c. با کمک آنها، ما می توانیم تقسیم، ناقص خصوصی و باقی مانده را محاسبه کنیم. این کاهش به پیدا کردن ثابت باقی مانده از تقسیم تمام اعداد صحیح A در B با یک تقسیم قابل تشخیص، تقسیم کننده و ناقص خصوصی است. فرمول D \u003d a - b · c اعمال می شود. تصمیم را به طور دقیق در نظر بگیرید.

مثال 2

باقی مانده از تقسیم یک عدد صحیح را پیدا کنید - 19 با یک کل 3 با یک ناقص ناقص شناخته شده برابر 7.

تصمیم

برای محاسبه باقی مانده از تقسیم، فرمول فرم D \u003d a - b · c را اعمال می کنیم. با شرایط، تمام داده ها A \u003d - 19، B \u003d 3، C \u003d - 7 در دسترس هستند. از اینجا ما به دست آوردن d \u003d a - b · c \u003d - 19 - 3 · (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (تفاوت 19 - (- 21). این مثال است محاسبه شده با توجه به قانون کسر. تعداد کل منفی.

پاسخ: 2 .

تمام عدد صحیح عدد صحیح طبیعی است. این به این معنی است که تقسیم بر تمام قوانین تقسیم شده با باقی مانده از اعداد طبیعی انجام می شود. میزان اجرای تقسیم با بقایای طبیعی، مهم است، زیرا نه تنها تقسیم مثبت، بلکه قوانین تقسیم کل خودسرانه را نیز تأسیس می کند.

راحت ترین روش تقسیم یک ستون است، زیرا ساده تر و سریعتر برای ناتمام یا فقط خصوصی با باقی مانده است. تصمیم را در جزئیات بیشتر در نظر بگیرید.

مثال 3

تصمیم 14671 توسط 54.

تصمیم

این بخش باید توسط یک ستون انجام شود:

به این معناست که خصوصی ناقص برابر با 271 است و باقی مانده 37 است.

پاسخ: 14 671: 54 \u003d 271. (Ost 37)

قانون تقسیم با بقایای تعداد مثبت، مثالهایی

برای تقسیم با باقی مانده از یک عدد مثبت برای یک کل منفی، لازم است که یک قانون را تشکیل دهیم.

تعریف 1

ناقص خصوصی از تقسیم یک کل مثبت A به یک کل منفی B، یک عدد را دریافت می کند که مخالف به طور ناقص خصوصی از تقسیم اعداد a per b است. سپس باقی مانده برابر با باقی مانده در هنگام تقسیم a در b است.

از اینجا ما این را به طور ناقص خصوصی از بخش یک کل یک بار به طور کامل برای یک عدد کامل منفی به عنوان یک عدد عدد صحیح غیر عدد صحیح در نظر گرفته می شود.

ما الگوریتم را به دست می آوریم:

• ماژول تقسیم را به ماژول تقسیم بندی تقسیم کنید، سپس ما را خصوصی ناقص و
• باقی مانده؛
• ما شماره را در مقابل نتیجه می نویسیم.

در مورد مثال الگوریتم برای تقسیم یک تعداد کل مثبت به طور کلی منفی را در نظر بگیرید.

مثال 4

انجام تقسیم با باقی مانده 17 تا 5.

تصمیم

یک الگوریتم تقسیم را با تعداد کل مثبت کل منفی اعمال کنید. لازم است که ماژول 17 تا 5 را تقسیم کنیم. از اینجا ما این خصوصیات ناقص 3 است و باقی مانده 2 است.

ما به دست می آوریم که تعداد مورد نظر از بخش 17 تا - 5 \u003d - 3 با باقی مانده برابر با 2 است.

پاسخ: 17: (- 5) \u003d - 3 (Ost 2).

مثال 5

لازم است که 45 تا 15 تقسیم شود.

تصمیم

لازم است اعداد را از طریق ماژول تقسیم کنیم. شماره 45 توسط 15 تقسیم شده است، ما 3 را بدون یک باقی مانده دریافت خواهیم کرد. بنابراین، شماره 45 به 15 بدون باقی مانده تقسیم می شود. در پاسخ، ما دریافت می کنیم - 3، از آنجا که تقسیم در ماژول انجام شد.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

پاسخ: 45: (− 15) = − 3 .

اصطلاحات تقسیم قوانین با باقی مانده به شرح زیر است.

تعریف 2

برای به دست آوردن یک فرد ناقص C هنگام تقسیم کل منفی A در هر مثبت B، شما باید مخالف این شماره را اعمال کنید و از آن جدا شوید، سپس باقی مانده D توسط فرمول محاسبه می شود: D \u003d a - b · ج

بر اساس قانون، می توان نتیجه گرفت که وقتی تقسیم می شود، تعداد غیر منفی را به دست می آوریم. برای دقت راه حل، الگوریتم تقسیم A در B با باقی مانده استفاده می شود:

• ماژول های تقسیم و تقسیم را پیدا کنید
• تقسیم ماژول؛
• ضبط مخالف این شماره و تفریق 1؛
• از فرمول برای باقی مانده D \u003d a - b · c استفاده کنید.

در مثال یک راه حل که در آن این الگوریتم اعمال می شود، در نظر بگیرید.

مثال 6

پیدا کردن یک ناقص خصوصی و تعادل از بخش - 17 تا 5.

تصمیم

ما اعداد مشخص شده را در ماژول تقسیم می کنیم. ما این را در بخش خصوصی برابر با 3 و باقی مانده 2 به دست می آوریم. از آنجا که آنها 3، مخالف - 3. لازم است که 1 را بردارید.

− 3 − 1 = − 4 .

مقدار مورد نظر 100 تا 4 برابر است.

برای محاسبه باقی مانده، لازم است a \u003d - 17، b \u003d 5، c \u003d - 4، سپس d \u003d a - b · c \u003d - 17 - 5 · (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

بنابراین، ناقص خصوصی از بخش، شماره 4 با باقی مانده برابر با 3 است.

پاسخ: (- 17): 5 \u003d - 4 (Ost 3).

مثال 7

تقسیم کل تعداد منفی - 1404 در هر مثبت 26.

تصمیم

لازم است ستون را تقسیم کنید و بر روی Madlyuly.

ما تقسیم ماژول های اعداد بدون باقی مانده را دریافت کردیم. این به این معنی است که این تقسیم بدون یک باقی مانده انجام می شود، اما هنرمند خصوصی \u003d - 54.

پاسخ: (− 1 404) : 26 = − 54 .

قانون تقسیم با بقایای کل عدد منفی، نمونه ها

لازم است که یک قانون تقسیم را با بقایای کل تعداد منفی شکل دهیم.

تعریف 3

برای به دست آوردن یک فرد ناقص C از تقسیم کل تعداد منفی A به یک کل منفی B، لازم است محاسبه ماژول در ماژول، پس از آن اضافه 1، ما می توانیم محاسبات را با توجه به فرمول d \u003d a - b · ج

از اینجا این به این معنی است که خصوصی ناقص از تقسیم تعداد کل منفی تعداد مثبت است.

ما این قانون را به عنوان یک الگوریتم فرموله می کنیم:

• ماژول های تقسیم و تقسیم را پیدا کنید
• ماژول تقسیم کننده را در ماژول تقسیم بندی تقسیم کنید تا خصوصیات ناقص را بدست آورید
• باقی مانده؛
• 1 به خصوصی ناقص تنظیم شده است
• محاسبه باقی مانده، بر اساس فرمول D \u003d a - b · c.

این الگوریتم به عنوان مثال نگاه خواهد کرد.

مثال 8

پیدا کردن یک ناتمام خصوصی و باقی مانده در طول بخش - 17 تا 5.

تصمیم

برای صحت تصمیم، ما یک الگوریتم برای تقسیم با باقی مانده اعمال می کنیم. برای شروع تعداد در ماژول. از اینجا ما این ناتمام خصوصی \u003d 3 را دریافت می کنیم و باقی مانده 2 است. با توجه به قانون، لازم است که ناقص خصوصی و 1 را اضافه کنید. ما آن را 3 + 1 \u003d 4 بدست آوریم. از اینجا ما دریافت می کنیم که خصوصی ناقص از بخش اعداد داده شده 4 است.

برای محاسبه باقی مانده، فرمول را اعمال می کنیم. با توجه به شرایط، ما آن را \u003d - 17، b \u003d - 5، c \u003d 4، سپس، با استفاده از فرمول، ما به دست آوردن d \u003d a - b · c \u003d - 17 - (- 5) · 4 \u003d - 17 - ( - 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. پاسخ دلخواه، یعنی باقی مانده 3 است و خصوصی ناقص 4 است.

پاسخ: (- 17): (- 5) \u003d 4 (Ost 3).

نتیجه تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده بررسی کنید

پس از ساخت اعداد با باقی مانده، باید بررسی کنید. این بررسی به معنای 2 مرحله است. در ابتدا، بررسی از باقی مانده D به غیر منفی، عملکرد شرایط 0 ≤ d وجود دارد< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

در نمونه ها را در نظر بگیرید.

مثال 9

تقسیم تولید شد - 521 در - 12. خصوصی برابر 44، باقی مانده 7. بررسی را انجام دهید

تصمیم

از آنجا که باقی مانده یک عدد مثبت است، مقدار آن کمتر از ماژول تقسیم کننده است. تقسیم کننده برابر با 12 است، به این معنی است که ماژول آن 12 است. شما می توانید به مورد چک بعدی بروید.

با شرایط، ما دارای آن هستیم a \u003d - 521، b \u003d - 12، c \u003d 44، d \u003d 7. از اینجا، ما محاسبه b · c + d، که در آن b · c + d \u003d - 12 · 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. این به این معنی است که برابری درست است. چک کردن گذشت

مثال 10

بخش را بررسی کنید (- 17): 5 \u003d - 3 (Ost. - 2). آیا برابری درست است؟

تصمیم

معنای مرحله اول این است که لازم است که تقسیم اعداد صحیح را با بقایا بررسی کنید. می توان دید که این عمل اشتباه ساخته شده است، زیرا باقی مانده برابر با 2 است. باقی مانده یک عدد منفی نیست.

ما این را داریم که شرایط دوم ساخته شده است، اما برای این مورد کافی نیست.

پاسخ: نه

مثال 11

شماره - 19 به 3 تقسیم شد. خصوصی ناقص برابر با 7، و باقی مانده 1. بررسی کنید که آیا این محاسبه درست است

تصمیم

Dan باقی مانده برابر با 1. او مثبت است با مقدار کمتر از ماژول تقسیم کننده، به این معنی است که مرحله اول انجام می شود. بگذارید به مرحله دوم برویم

مقدار بیان B · c + D را محاسبه کنید. با شرایط، ما این را داریم b \u003d - 3، c \u003d 7، d \u003d 1، به این معنی است که جایگزین مقادیر عددی، ما به دست می آوریم b · c + d \u003d - 3 · 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. این به شرح زیر است که A \u003d B · C + D برابری انجام نمی شود، از آنجا که شرایط به A \u003d - 19 داده می شود.

از این رو نتیجه گیری این تقسیم با یک خطا انجام می شود.

پاسخ: نه

اگر اشتباه در متن را متوجه شوید، لطفا آن را انتخاب کنید و Ctrl + Enter را فشار دهید