قانون تمایز یک تابع پیچیده مثال. مشتق تابع

حل مسائل یا مثال های فیزیکی در ریاضیات بدون آگاهی از مشتقات و روش های محاسبه آن مطلقاً غیرممکن است. مشتق یکی از مهمترین مفاهیم تحلیل ریاضی است. تصمیم گرفتیم مقاله امروز را به این موضوع اساسی اختصاص دهیم. مشتق چیست، معنای فیزیکی و هندسی آن چیست، مشتق تابع را چگونه محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را درک کنیم؟

معنای هندسی و فیزیکی مشتق

اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f(x) ، در فواصل زمانی داده شده است (الف، ب) . نقاط x و x0 متعلق به این فاصله هستند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر استدلال - تفاوت مقادیر آن x-x0 . این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت بین مقادیر تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:

مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.

در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:

یافتن چنین حدی چه فایده ای دارد؟ اما کدام یک:

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.

معنای فیزیکی مشتق: مشتق زمانی مسیر برابر است با سرعت حرکت مستقیم.

در واقع، از دوران مدرسه، همه می دانند که سرعت یک مسیر خصوصی است. x=f(t) و زمان تی . سرعت متوسط در یک بازه زمانی معین:

برای اطلاع از سرعت حرکت در یک زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:

قانون اول: ثابت را خارج کنید

ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. علاوه بر این، باید انجام شود. هنگام حل مثال هایی در ریاضیات، به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید عبارت را ساده کنید، حتما ساده کنید .

مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:

قانون دوم: مشتق از مجموع توابع

مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.

ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.

مشتق تابع را بیابید:

قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:

مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:

راه حل:

در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده بگوییم. مشتق یک تابع مختلط برابر است با حاصلضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی توسط مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل.

در مثال بالا با عبارت زیر مواجه می شویم:

در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی، ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی در نظر می گیریم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق خود آرگومان میانی ضرب می کنیم.

قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع

فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:

ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا صحبت کنیم. این موضوع آنقدرها هم که به نظر می رسد ساده نیست، پس اخطار داشته باشید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.

در صورت داشتن هرگونه سوال در این زمینه و موضوعات دیگر، می توانید با خدمات دانشجویی تماس بگیرید. در مدت کوتاهی، ما به شما کمک می کنیم تا سخت ترین کنترل و مقابله با وظایف را حل کنید، حتی اگر قبلاً با محاسبه مشتقات سروکار نداشته اید.

در کتاب های درسی «قدیمی» به آن قانون «زنجیره» نیز گفته می شود. بنابراین اگر y \u003d f (u) و u \u003d φ (x)، به این معنا که

y \u003d f (φ (x))

پیچیده - تابع مرکب (ترکیب توابع) سپس

جایی که ، پس از محاسبه در نظر گرفته می شود u = φ (x).

توجه داشته باشید که در اینجا ما ترکیبات "متفاوت" را از همان توابع گرفتیم و نتیجه تمایز طبیعتاً به ترتیب "اختلاط" بستگی دارد.

قانون زنجیره به طور طبیعی به ترکیب سه یا چند تابع گسترش می یابد. در این حالت، به ترتیب سه یا چند "پیوند" در "زنجیره" وجود خواهد داشت که مشتق را تشکیل می دهد. در اینجا یک قیاس با ضرب است: "ما داریم" - جدول مشتقات. "آنجا" - جدول ضرب؛ "با ما" یک قانون زنجیره ای و "آنجا" یک قانون ضرب با یک "ستون" است. هنگام محاسبه چنین مشتقات "پیچیده" ، البته ، هیچ آرگومان کمکی (u¸v و غیره) معرفی نمی شود ، اما با توجه به تعداد و توالی توابع شرکت کننده در ترکیب ، پیوندهای مربوطه را در "رشته" می کنند. سفارش مشخص شده

. در اینجا، پنج عملیات با "x" انجام می شود تا مقدار "y" به دست آید، یعنی ترکیبی از پنج تابع انجام می شود: "خارجی" (آخرین آنها) - نمایی - e . سپس به ترتیب معکوس یک قانون قدرت است. (♦) 2 ; گناه مثلثاتی (); قدرت. () 3 و در نهایت لگاریتمی ln.(). از همین رو

مثال های زیر "جفت پرندگان را با یک سنگ می کشند": تمایز توابع پیچیده را تمرین می کنیم و جدول مشتقات توابع ابتدایی را تکمیل می کنیم. بنابراین:

4. برای تابع توان - y \u003d x α - بازنویسی آن با استفاده از "هویت لگاریتمی پایه" معروف - b \u003d e ln b - به شکل x α \u003d x α ln x دریافت می کنیم

5. برای یک تابع نمایی دلخواه، با استفاده از همین تکنیک، خواهیم داشت

6. برای یک تابع لگاریتمی دلخواه، با استفاده از فرمول شناخته شده برای انتقال به یک پایه جدید، به طور متوالی به دست می آوریم.

7. برای افتراق مماس (کتانژانت) از قانون افتراق ضریب استفاده می کنیم:

برای به دست آوردن مشتقات توابع مثلثاتی معکوس، از رابطه ای استفاده می کنیم که توسط مشتقات دو تابع معکوس متقابل برآورده می شود، یعنی توابع φ (x) و f (x) که با روابط به هم متصل می شوند:

در اینجا نسبت است

از این فرمول برای توابع معکوس متقابل است

و
,

در پایان، این و برخی مشتقات دیگر را که به همین راحتی به دست می آیند، در جدول زیر خلاصه می کنیم.

توابع پیچیده همیشه با تعریف یک تابع پیچیده مطابقت ندارند. اگر تابعی به شکل y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 وجود داشته باشد، بر خلاف y \u003d sin 2 x نمی توان آن را پیچیده در نظر گرفت.

این مقاله مفهوم یک تابع پیچیده و شناسایی آن را نشان می دهد. بیایید با فرمول هایی برای یافتن مشتق با مثال هایی از راه حل ها در نتیجه گیری کار کنیم. استفاده از جدول مشتقات و قوانین تمایز به طور قابل توجهی زمان یافتن مشتق را کاهش می دهد.

تعاریف اساسی

تعریف 1

تابع مختلط تابعی است که آرگومان آن نیز تابع است.

به این صورت نشان داده می شود: f (g (x)) . داریم که تابع g (x) یک آرگومان f (g (x)) در نظر گرفته می شود.

تعریف 2

اگر یک تابع f وجود داشته باشد و یک تابع کتانژانت باشد، آنگاه g(x) = ln x تابع لگاریتم طبیعی است. دریافتیم که تابع مختلط f (g (x)) به صورت arctg (lnx) نوشته می شود. یا یک تابع f، که تابعی است که به توان 4 افزایش یافته است، که در آن g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 یک تابع منطقی کامل در نظر گرفته می شود، دریافت می کنیم که f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4.

بدیهی است که g(x) می تواند مشکل ساز باشد. از مثال y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5، می توان دریافت که مقدار g یک ریشه مکعبی با کسری دارد. این عبارت را می توان با y = f (f 1 (f 2 (x))) نشان داد. از آنجا که f یک تابع سینوسی است، و f 1 تابعی است که در زیر ریشه مربع قرار دارد، f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 یک تابع گویا کسری است.

تعریف 3

درجه تودرتو با هر عدد طبیعی تعریف می شود و به صورت y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) نوشته می شود.

تعریف 4

مفهوم ترکیب تابع به تعداد توابع تو در تو با توجه به بیان مسئله اشاره دارد. برای حل، فرمول برای یافتن مشتق یک تابع پیچیده از فرم

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

مثال ها

مثال 1

مشتق تابع مختلط به شکل y = (2 x + 1) 2 را بیابید.

راه حل

طبق قرارداد، f یک تابع مربع است و g(x) = 2 x + 1 یک تابع خطی در نظر گرفته می شود.

فرمول مشتق را برای یک تابع مختلط اعمال می کنیم و می نویسیم:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

لازم است مشتقی با شکل اولیه ساده شده تابع پیدا شود. ما گرفتیم:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

از این رو ما آن را داریم

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

نتایج مطابقت داشت.

هنگام حل مسائل از این نوع، مهم است که بدانیم تابع شکل f و g (x) در کجا قرار خواهد گرفت.

مثال 2

شما باید مشتقات توابع پیچیده به شکل y \u003d sin 2 x و y \u003d sin x 2 را پیدا کنید.

راه حل

اولین ورودی تابع می گوید که f تابع مربع و g(x) تابع سینوس است. سپس ما آن را دریافت می کنیم

y "= (سین 2 x)" = 2 گناه 2 - 1 x (سین x)" = 2 گناه x cos x

ورودی دوم نشان می دهد که f یک تابع سینوسی است و g (x) = x 2 نشان دهنده تابع توان است. نتیجه می شود که حاصلضرب یک تابع مختلط را می توان به صورت نوشتاری نوشت

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

فرمول مشتق y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) به صورت y "= f" نوشته می شود (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2" (f 3 (. . . (f n (x )))) . . . f n "(x)

مثال 3

مشتق تابع y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) را بیابید.

راه حل

این مثال پیچیدگی نوشتن و تعیین محل توابع را نشان می دهد. سپس y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) نشان می دهد ، جایی که f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) تابع سینوس است، تابع افزایش تا 3 درجه، تابعی با لگاریتم و پایه e، تابعی از مماس قوس و یک خطی.

از فرمول تعریف یک تابع مختلط، این را داریم

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

دریافت چه چیزی برای پیدا کردن

f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) به عنوان مشتق سینوس در جدول مشتقات، سپس f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x )))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) به عنوان مشتق تابع توان، سپس f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) به عنوان مشتق لگاریتمی، سپس f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 "(f 4 (x)) به عنوان یک مشتق از مماس قوس، سپس f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
هنگام یافتن مشتق f 4 (x) \u003d 2 x، با استفاده از فرمول مشتق تابع توان با توانی برابر 1، 2 را از علامت مشتق خارج کنید، سپس f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

ما نتایج میانی را ترکیب می کنیم و به آن می رسیم

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

تجزیه و تحلیل چنین عملکردهایی شبیه عروسک های تودرتو است. قوانین تمایز را نمی توان همیشه به طور صریح با استفاده از جدول مشتق اعمال کرد. اغلب شما نیاز به استفاده از فرمول برای یافتن مشتقات توابع پیچیده دارید.

تفاوت هایی بین یک نمای پیچیده و یک تابع پیچیده وجود دارد. با داشتن توانایی واضح در تشخیص این، یافتن مشتقات بسیار آسان خواهد بود.

مثال 4

ذکر چنین مثالی ضروری است. اگر تابعی به شکل y = t g 2 x + 3 t g x + 1 وجود داشته باشد، می توان آن را به عنوان یک تابع مختلط از شکل g (x) = t g x، f (g) = g 2 + 3 g + 1 در نظر گرفت. . بدیهی است که استفاده از فرمول برای مشتق پیچیده ضروری است:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1" == 2 گرم 2 - 1 (x) + 3 گرم "(x) + 0 \u003d 2 گرم (x) + 3 1 گرم 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 گرم (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f" (g (x)) g" (x) = (2 tg x + 3) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

تابعی به شکل y = t g x 2 + 3 t g x + 1 پیچیده در نظر گرفته نمی شود، زیرا دارای مجموع tg x 2، 3 tg x و 1 است. با این حال، tg x 2 یک تابع مختلط در نظر گرفته می شود، سپس تابع توانی به شکل g (x) \u003d x 2 و f می گیریم که تابعی از مماس است. برای انجام این کار، باید بر اساس مقدار آن را متمایز کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

بیایید به یافتن مشتق یک تابع مختلط (t g x 2) ادامه دهیم:

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x2) g "(x) = (x2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g" (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

دریافت می کنیم که y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

توابع مختلط را می توان در توابع مختلط گنجاند و خود توابع مختلط می توانند توابع مرکب شکل مختلط باشند.

مثال 5

به عنوان مثال، یک تابع مختلط به شکل y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) را در نظر بگیرید.

این تابع را می توان به صورت y = f (g (x)) نشان داد که در آن مقدار f تابعی از لگاریتم پایه 3 است و g (x) مجموع دو تابع شکل h (x) = در نظر گرفته می شود. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x (x 2 + 1). بدیهی است که y = f (h (x) + k (x)) .

تابع h(x) را در نظر بگیرید. این نسبت l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 به m (x) = e x 2 + 3 3 است.

داریم که l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) مجموع دو تابع n (x) = x 2 + 7 و p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) ، که در آن p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) یک تابع مختلط با ضریب عددی 3 است و p 1 یک تابع مکعب، تابع کسینوس p 2، p 3 (x) = 2 x + 1 - تابع خطی.

دریافتیم که m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) مجموع دو تابع q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3 است، که در آن q (x) = q 1 (q 2 (x)) یک تابع مختلط است، q 1 یک تابع با توان است، q 2 (x) = x 2 یک تابع توان است.

این نشان می دهد که h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

هنگام انتقال به یک عبارت به شکل k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x)، واضح است که تابع به صورت مختلط s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 (s 2 (x)) با عدد صحیح گویا t (x) = x 2 + 1، که در آن s 1 تابع مربع است و s 2 (x) = ln x لگاریتمی با پایه e است .

نتیجه این است که عبارت به شکل k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) خواهد بود.

سپس ما آن را دریافت می کنیم

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

با توجه به ساختار تابع، مشخص شد که چگونه و چه فرمول هایی باید برای ساده سازی عبارت در هنگام متمایز شدن اعمال شود. برای آشنایی با چنین مسائلی و درک راه حل آنها، باید به نقطه تمایز یک تابع یعنی یافتن مشتق آن اشاره کرد.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

اثبات فرمول مشتق یک تابع مختلط داده شده است. مواردی که یک تابع پیچیده به یک یا دو متغیر وابسته است به تفصیل در نظر گرفته می شود. تعمیم در مورد تعداد دلخواه از متغیرها انجام می شود.

محتوا

همچنین ببینید: نمونه هایی از اعمال فرمول مشتق یک تابع مختلط

فرمول های پایه

در اینجا مشتق فرمول های زیر را برای مشتق یک تابع مختلط ارائه می کنیم.
اگر پس از آن
.
اگر پس از آن
.
اگر پس از آن
.

مشتق تابع مختلط یک متغیر

اجازه دهید یک تابع از متغیر x به صورت یک تابع مختلط به شکل زیر نمایش داده شود:
,
که در آن و برخی از توابع وجود دارد. تابع برای مقداری از متغیر x قابل تمایز است. تابع برای مقدار متغیر قابل تفکیک است.
سپس تابع مختلط (کامپوزیت) در نقطه x قابل تمایز است و مشتق آن با فرمول تعیین می شود:
(1) .

فرمول (1) را می توان به صورت زیر نیز نوشت:
;
.

اثبات

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم.
;
.
در اینجا تابعی از متغیرها و , تابعی از متغیرها و وجود دارد. اما آرگومان های این توابع را حذف می کنیم تا محاسبات را به هم نریزیم.

از آنجایی که توابع و به ترتیب در نقاط x و قابل تمایز هستند، در این نقاط مشتقاتی از این توابع وجود دارد که حدود زیر هستند:
;
.

تابع زیر را در نظر بگیرید:
.
برای یک مقدار ثابت از متغیر u، تابعی از . بدیهی است که
.
سپس
.

از آنجایی که تابع در نقطه یک تابع قابل تمایز است، پس در آن نقطه پیوسته است. از همین رو
.
سپس
.

حالا مشتق را پیدا می کنیم.

.

فرمول ثابت شده است.

نتیجه

اگر تابعی از متغیر x را بتوان به عنوان یک تابع مختلط از یک تابع مختلط نشان داد
,
سپس مشتق آن با فرمول تعیین می شود
.
در اینجا، و برخی از توابع قابل تمایز وجود دارد.

برای اثبات این فرمول، مشتق را با توجه به قاعده تمایز یک تابع مختلط به ترتیب محاسبه می کنیم.
یک تابع پیچیده را در نظر بگیرید
.
مشتق آن
.
تابع اصلی را در نظر بگیرید
.
مشتق آن
.

مشتق تابع مختلط در دو متغیر

حال اجازه دهید یک تابع پیچیده به چندین متغیر وابسته باشد. ابتدا در نظر بگیرید مورد تابع مختلط از دو متغیر.

اجازه دهید تابع بسته به متغیر x به صورت یک تابع مختلط از دو متغیر به شکل زیر نمایش داده شود:
,
جایی که
و توابع قابل تمایز برای مقداری از متغیر x وجود دارد.
تابعی از دو متغیر است که در نقطه، قابل تفکیک هستند. سپس تابع مختلط در محله ای از نقطه تعریف می شود و مشتقی دارد که با فرمول تعیین می شود:
(2) .

اثبات

از آنجایی که توابع در نقطه قابل تمایز هستند، در محله ای از این نقطه تعریف می شوند، در نقطه پیوسته هستند و مشتقات آنها در نقطه وجود دارد که حدود زیر است:
;
.
اینجا
;
.
با توجه به تداوم این توابع در یک نقطه، داریم:
;
.

از آنجایی که تابع در نقطه قابل تمایز است، در برخی از همسایگی های این نقطه تعریف می شود، در این نقطه پیوسته است و افزایش آن را می توان به شکل زیر نوشت:
(3) .
اینجا

- افزایش تابع زمانی که آرگومان های آن با مقادیر و ;
;

- مشتقات جزئی تابع با توجه به متغیرها و .
برای مقادیر ثابت و، و توابعی از متغیرها و وجود دارد. آنها تمایل به صفر دارند به عنوان و:
;
.
از آن زمان و سپس
;
.

افزایش تابع:

. :
.
جایگزین (3):

.

فرمول ثابت شده است.

مشتق تابع مختلط از چندین متغیر

اشتقاق فوق به راحتی به مواردی تعمیم می یابد که تعداد متغیرهای یک تابع مختلط بیش از دو باشد.

برای مثال، اگر f باشد تابع سه متغیر، سپس
,
جایی که
و توابع متمایزپذیر برای مقداری از متغیر x وجود دارد.
یک تابع متمایز است، در سه متغیر، در نقطه،،،.
سپس از تعریف متمایزپذیری تابع داریم:
(4)
.
از آنجایی که به دلیل تداوم،
; ; ,
سپس
;
;
.

با تقسیم (4) بر و عبور از حد، به دست می آوریم:
.

و در نهایت، در نظر بگیرید کلی ترین مورد.
اجازه دهید یک تابع از یک متغیر x به صورت یک تابع مختلط از n متغیر به شکل زیر نمایش داده شود:
,
جایی که
توابع قابل تمایز برای مقداری از متغیر x وجود دارد.
- تابع متمایز پذیر n متغیر در یک نقطه
, , ... , .
سپس
.

همچنین ببینید:

که بر روی آن ساده ترین مشتقات را تجزیه و تحلیل کردیم و همچنین با قوانین تمایز و چند تکنیک برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیستند، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً با حال و هوای جدی هماهنگ شوید - مطالب آسان نیست، اما من همچنان سعی خواهم کرد آن را ساده و واضح ارائه دهم.

در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می گویم تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی داده می شود تا مشتقات را پیدا کنید.

ما در جدول به قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:

متوجه هستیم. اول از همه، بیایید نگاهی به نماد بیاندازیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به طور مجازی، در تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون تابع دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.

من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..

! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطلب را برای شما آسانتر کنم.

برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:

مثال 1

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در زیر سینوس، ما نه فقط حرف "x"، بلکه کل عبارت را داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. ما همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که "پاره کردن" سینوس غیرممکن است:

در این مثال، قبلاً از توضیحات من، به طور شهودی مشخص است که تابع یک تابع پیچیده است و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.

گام اول، که باید هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط انجام شود درک کنید که کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.

در مورد مثال‌های ساده، واضح است که یک چند جمله‌ای زیر سینوس تودرتو شده است. اما اگر واضح نباشد چه؟ چگونه مشخص کنیم که دقیقا کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای انجام این کار، من پیشنهاد می کنم از تکنیک زیر استفاده کنید، که می تواند به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام شود.

بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت را با یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).

اول چی حساب کنیم؟ اول از همهشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود:

دوماشما باید پیدا کنید، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود:

بعد از ما فهمیدنبا توابع درونی و بیرونی، زمان اعمال قانون تمایز تابع مرکب فرا رسیده است .

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم. از درس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل هر مشتقی همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و یک ضربه را در بالا سمت راست قرار می دهیم:

اولینمشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . تمام فرمول های جدولی قابل اجرا هستند حتی اگر "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:

توجه داشته باشید که عملکرد درونی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.

خب این کاملا واضحه

نتیجه اعمال فرمول تمیز شبیه این است:

عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:

در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، تصمیم را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.

مثال 2

مشتق یک تابع را پیدا کنید

مثال 3

مشتق یک تابع را پیدا کنید

مثل همیشه می نویسیم:

ما متوجه می شویم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای این کار سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا پیش نویس) مقدار عبارت را برای . ابتدا چه کاری باید انجام شود؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است با:، به این معنی که چند جمله ای تابع داخلی است:

و تنها پس از آن توان انجام می شود، بنابراین، تابع توان یک تابع خارجی است:

طبق فرمول ، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. ما به دنبال فرمول مورد نظر در جدول هستیم:. باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "x" بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است بعد:

باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع بیرونی را می گیریم، تابع درونی تغییر نمی کند:

اکنون باقی مانده است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنید و نتیجه را کمی "شانه کنید":

مثال 4

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ در انتهای درس).

برای تثبیت درک مشتق یک تابع پیچیده، بدون نظر مثالی می زنم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل، تابع خارجی کجا و تابع داخلی کجاست، چرا کارها به این ترتیب حل می شوند؟

مثال 5

الف) مشتق تابع را بیابید

ب) مشتق تابع را بیابید

مثال 6

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به صورت درجه نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:

با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله یک تابع درونی و توان یک تابع خارجی است. ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم :

درجه دوباره به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان داده می شود، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:

آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز بیاورید و همه چیز را به صورت یک کسری بنویسید. البته زیبا است، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).

مثال 7

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ در انتهای درس).

جالب است بدانید که گاهی اوقات به جای قاعده افتراق یک تابع مختلط، می توان از قانون افتراق یک ضریب استفاده کرد. ، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف غیر معمول به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:

مثال 8

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید ، اما یافتن مشتق از طریق قاعده تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:

ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - علامت منهای مشتق را خارج می کنیم و کسینوس را به صورت شمارنده می کنیم:

کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم :

ما مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم، کسینوس را به پایین بازنشانی می کنیم:

آماده. در مثال مورد بررسی، مهم است که در علائم سردرگم نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با قانون حل کنید ، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.

مثال 9

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ در انتهای درس).

تا اینجا مواردی را در نظر گرفتیم که در یک تابع پیچیده فقط یک تودرتو داشتیم. در کارهای عملی، شما اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تودرتو هستند.

مثال 10

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما پیوست های این تابع را درک می کنیم. ما سعی می کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی ارزیابی کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟

ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین لانه است:

سپس این کمان وحدت باید مجذور شود:

و در نهایت، ما هفت را به قدرت می‌رسانیم:

یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو تودرتو داریم، در حالی که درونی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم

طبق قاعده ابتدا باید مشتق تابع بیرونی را بگیرید. ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق تابع نمایی را می یابیم: تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم که اعتبار این فرمول را نفی نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است بعد.