در برنامه درسی مدرسه برای دوره هندسه جامد، مطالعه اشکال سه بعدی معمولاً با یک بدنه هندسی ساده - یک چند وجهی منشور آغاز می شود. نقش پایه های آن توسط 2 چندضلعی مساوی که در صفحات موازی قرار دارند انجام می شود. یک مورد خاص یک منشور چهار گوش منظم است. پایه های آن 2 چهارضلعی منتظم یکسان هستند که اضلاع بر آنها عمود هستند و شکل متوازی الاضلاع دارند (یا مستطیل اگر منشور متمایل نباشد).

منشور چگونه به نظر می رسد

یک منشور چهار گوش منتظم یک شش ضلعی است که در پایه های آن 2 مربع وجود دارد و وجوه جانبی با مستطیل نشان داده شده است. نام دیگر این شکل هندسی متوازی الاضلاع مستقیم است.

شکلی که یک منشور چهار گوش را نشان می دهد در زیر نشان داده شده است.

در تصویر هم می توانید ببینید مهمترین عناصر تشکیل دهنده یک جسم هندسی. معمولاً به آنها اشاره می شود:

گاهی اوقات در مسائل هندسه می توان مفهوم مقطع را پیدا کرد. تعریف به این صورت خواهد بود: یک بخش تمام نقاط بدن حجمی است که به صفحه برش تعلق دارد. مقطع عمود است (از لبه های شکل با زاویه 90 درجه عبور می کند). برای یک منشور مستطیلی، یک مقطع مورب نیز در نظر گرفته می شود (حداکثر تعداد مقاطع قابل ساخت 2 است) که از 2 لبه و مورب های پایه عبور می کند.

اگر برش به گونه ای ترسیم شود که صفحه برش با پایه ها یا وجوه جانبی موازی نباشد، نتیجه یک منشور کوتاه است.

نسبت ها و فرمول های مختلفی برای یافتن عناصر منشوری کاهش یافته استفاده می شود. برخی از آنها از دوره پلان سنجی شناخته می شوند (به عنوان مثال، برای یافتن مساحت پایه یک منشور، کافی است فرمول مساحت یک مربع را به خاطر بیاوریم).

مساحت و حجم

برای تعیین حجم یک منشور با استفاده از فرمول، باید مساحت پایه و ارتفاع آن را بدانید:

V = Sprim h

از آنجایی که قاعده منشور چهار وجهی منظم مربعی با ضلع است آ،می توانید فرمول را به شکل دقیق تری بنویسید:

V = a² ساعت

اگر در مورد یک مکعب صحبت می کنیم - یک منشور منظم با طول، عرض و ارتفاع برابر، حجم به صورت زیر محاسبه می شود:

برای درک چگونگی یافتن سطح جانبی یک منشور، باید حرکت آن را تصور کنید.

از نقاشی می توان دریافت که سطح جانبی از 4 مستطیل مساوی تشکیل شده است. مساحت آن از حاصل ضرب محیط پایه و ارتفاع شکل محاسبه می شود:

ساید = پوز h

از آنجایی که محیط یک مربع است P = 4a،فرمول به شکل زیر است:

ساید = 4ah

برای مکعب:

سمت = 4a²

برای محاسبه مساحت کل یک منشور، 2 ناحیه پایه را به سطح جانبی اضافه کنید:

Sfull = ساید + 2Sbase

همانطور که برای یک منشور منظم چهار گوش اعمال می شود، فرمول به شکل زیر است:

Sfull = 4a h + 2a²

برای مساحت یک مکعب:

Sfull = 6a²

با دانستن حجم یا مساحت سطح، می توانید عناصر تکی یک جسم هندسی را محاسبه کنید.

یافتن عناصر منشور

اغلب مشکلاتی وجود دارد که در آنها حجم داده می شود یا مقدار سطح جانبی مشخص می شود، جایی که لازم است طول ضلع پایه یا ارتفاع تعیین شود. در چنین مواردی، فرمول ها را می توان استخراج کرد:

• طول ضلع پایه: a = سمت / 4h = √(V / h);
• ارتفاع یا طول دنده کناری: h = کناری / 4a = V / a²؛
• مساحت پایه: Sprim = V / h;
• ناحیه صورت جانبی: سمت gr = کناری / 4.

برای تعیین اینکه یک مقطع مورب چقدر مساحت دارد، باید طول قطر و ارتفاع شکل را بدانید. برای یک مربع d = a√2.از این رو:

Sdiag = ah√2

برای محاسبه قطر منشور از فرمول استفاده می شود:

dprize = √(2a² + h²)

برای درک نحوه اعمال نسبت های بالا، می توانید چند کار ساده را تمرین و حل کنید.

نمونه هایی از مشکلات با راه حل ها

در اینجا برخی از وظایفی که در امتحانات نهایی دولتی در رشته ریاضی ظاهر می شود، آورده شده است.

تمرین 1.

ماسه در جعبه ای به شکل یک منشور چهار گوش معمولی ریخته می شود. ارتفاع تراز آن 10 سانتی متر است، اگر ماسه را در ظرفی به همان شکل اما با طول پایه 2 برابر بیشتر منتقل کنید، سطح آن چقدر خواهد بود؟

باید به صورت زیر استدلال کرد. مقدار ماسه ظرف اول و دوم تغییر نکرده است، یعنی حجم آن در آنها یکسان است. می توانید طول پایه را به صورت تعریف کنید آ. در این حالت، برای جعبه اول، حجم ماده به صورت زیر خواهد بود:

V1 = ha2 = 10a2

برای جعبه دوم، طول پایه است 2a، اما ارتفاع سطح ماسه مشخص نیست:

V2 = h(2a)² = 4ha²

تا جایی که V1 = V2، عبارات را می توان معادل سازی کرد:

10a² = 4 هکتار مربع

پس از کاهش هر دو طرف معادله a2، به دست می آید:

در نتیجه، سطح شن و ماسه جدید خواهد بود h = 10 / 4 = 2.5سانتی متر.

وظیفه 2.

ABCDA1B1C1D1 یک منشور منظم است. مشخص است که BD = AB1 = 6√2. کل سطح بدن را پیدا کنید.

برای سهولت در درک عناصر شناخته شده، می توانید یک شکل بکشید.

از آنجایی که ما در مورد یک منشور منظم صحبت می کنیم، می توانیم نتیجه بگیریم که پایه مربعی با قطر 6√2 است. مورب وجه جانبی دارای یک مقدار است، بنابراین، وجه جانبی نیز شکل مربعی برابر با قاعده دارد. معلوم می شود که هر سه بعد - طول، عرض و ارتفاع - برابر هستند. می توان نتیجه گرفت که ABCDA1B1C1D1 یک مکعب است.

طول هر لبه از طریق قطر شناخته شده تعیین می شود:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

مساحت کل با فرمول مکعب بدست می آید:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

وظیفه 3.

اتاق در حال بازسازی است. مشخص است که کف آن به شکل مربع به مساحت 9 متر مربع است. ارتفاع اتاق 2.5 متر است. اگر 1 متر مربع 50 روبل هزینه داشته باشد، کمترین هزینه کاغذ دیواری اتاق چیست؟

از آنجایی که کف و سقف مربع، یعنی چهار گوش منظم و دیوارهای آن عمود بر سطوح افقی است، می‌توان نتیجه گرفت که منشور منظم است. تعیین مساحت سطح جانبی آن ضروری است.

طول اتاق است a = √9 = 3متر

مربع با کاغذ دیواری پوشانده می شود ساید = 4 3 2.5 = 30 متر مربع.

کمترین هزینه کاغذ دیواری برای این اتاق خواهد بود 50 30 = 1500روبل

بنابراین، برای حل مسائل یک منشور مستطیلی، کافی است که بتوانیم مساحت و محیط مربع و مستطیل را محاسبه کنیم و همچنین فرمول های یافتن حجم و سطح را بدانیم.

چگونه مساحت یک مکعب را پیدا کنیم

با کمک این فیلم آموزشی، همه می توانند به طور مستقل با موضوع "مفهوم چند وجهی" آشنا شوند. منشور. مساحت سطح منشور در طول درس، معلم در مورد اینکه اشکال هندسی مانند چند وجهی و منشور چیست صحبت می کند، تعاریف مناسب را ارائه می دهد و ماهیت آنها را با مثال های خاص توضیح می دهد.

با کمک این درس، همه می توانند به طور مستقل با موضوع "مفهوم چند وجهی" آشنا شوند. منشور. مساحت سطح منشور

تعریف. سطحی که از چند ضلعی تشکیل شده و جسم هندسی خاصی را محدود می کند، سطح چند وجهی یا چند وجهی نامیده می شود.

به مثال های زیر از چند وجهی توجه کنید:

1. چهار وجهی آ ب پ تسطحی است که از چهار مثلث تشکیل شده است: ABC, adb, بی دی سیو ADC(عکس. 1).

برنج. یکی

2. موازی شکل ABCDA 1 B 1 C 1 D 1سطحی است که از شش متوازی الاضلاع تشکیل شده است (شکل 2).

برنج. 2

عناصر اصلی یک چند وجهی صورت، لبه ها، رئوس هستند.

صورت ها چند ضلعی هستند که چند وجهی را تشکیل می دهند.

لبه ها کناره های صورت هستند.

رئوس انتهای لبه ها هستند.

چهار وجهی را در نظر بگیرید آ ب پ ت(عکس. 1). اجازه دهید عناصر اصلی آن را نشان دهیم.

وجوه: مثلثها ABC، ADB، BDC، ADC.

دنده: AB، AC، BC، DC, آگهی, BD.

قله ها: آ ب پ ت.

یک جعبه را در نظر بگیرید ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(شکل 2).

وجوه: متوازی الاضلاع AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

دنده: AA 1 , BB 1 , اس اس 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

قله ها: A، B، C، D، A 1، B 1، C 1، D 1.

یک مورد خاص مهم از یک چند وجهی منشور است.

ABSA 1 در 1 با 1(شکل 3).

برنج. 3

مثلث های مساوی ABCو A 1 B 1 C 1در صفحات موازی α و β قرار دارند به طوری که لبه ها AA 1، BB 1، SS 1موازی هستند.

یعنی ABSA 1 در 1 با 1- منشور مثلثی، اگر:

1) مثلث ABCو A 1 B 1 C 1برابر هستند.

2) مثلث ABCو A 1 B 1 C 1واقع در صفحات موازی α و β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) دنده ها AA 1، BB 1، SS 1موازی هستند.

ABCو A 1 B 1 C 1- پایه منشور.

AA 1، BB 1، SS 1- دنده های جانبی منشور.

اگر از یک نقطه دلخواه H 1یک صفحه (مثلاً β) عمود را رها می کند HH 1بر روی صفحه α، آنگاه این عمود بر ارتفاع منشور نامیده می شود.

تعریف. اگر لبه های جانبی بر پایه ها عمود باشند، منشور را مستقیم و در غیر این صورت مایل می نامند.

یک منشور مثلثی را در نظر بگیرید ABSA 1 در 1 با 1(شکل 4). این منشور مستقیم است. یعنی لبه های کناری آن بر پایه ها عمود هستند.

مثلا دنده AA 1عمود بر صفحه ABC. حاشیه، غیرمتمرکز AA 1ارتفاع این منشور است.

برنج. 4

توجه داشته باشید که صورت کناری AA 1 V 1 Vعمود بر پایه ها ABCو A 1 B 1 C 1، از آنجایی که از عمود عبور می کند AA 1به پایه ها

حال یک منشور مایل را در نظر بگیرید ABSA 1 در 1 با 1(شکل 5). در اینجا لبه جانبی عمود بر صفحه پایه نیست. اگر از نقطه نظر خارج شویم الف 1عمود بر A 1 Hبر روی ABC، آنگاه این عمود بر ارتفاع منشور خواهد بود. توجه داشته باشید که بخش ANطرح بخش است AA 1به هواپیما ABC.

سپس زاویه بین خط AA 1و هواپیما ABCزاویه بین خط است AA 1و او ANطرح ریزی بر روی یک صفحه، یعنی زاویه الف 1 ق.

برنج. 5

یک منشور چهار گوش را در نظر بگیرید ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(شکل 6). بیایید ببینیم چگونه معلوم می شود.

1) چهار ضلعی آ ب پ تبرابر با چهار ضلعی A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) چهار گوش آ ب پ تو A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) چهار گوش آ ب پ تو A 1 B 1 C 1 D 1طوری چیده شده که دنده های جانبی موازی باشند، یعنی: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

تعریف. مورب منشور قطعه ای است که دو رأس منشور را که به یک وجه تعلق ندارند به هم متصل می کند.

مثلا، AC 1- مورب یک منشور چهار گوش ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

تعریف. اگر لبه کناری AA 1عمود بر صفحه قاعده ، چنین منشوری خط مستقیم نامیده می شود.

برنج. 6

یک مورد خاص از یک منشور چهار گوش، متوازی الاضلاع شناخته شده است. متوازیالسطوح ABCDA 1 B 1 C 1 D 1نشان داده شده در شکل 7.

بیایید ببینیم چگونه کار می کند:

1) ارقام مساوی در پایه ها قرار دارند. در این مورد - متوازی الاضلاع مساوی آ ب پ تو A 1 B 1 C 1 D 1: آ ب پ ت = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) متوازی الاضلاع آ ب پ تو A 1 B 1 C 1 D 1در صفحات موازی α و β قرار بگیرید: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) متوازی الاضلاع آ ب پ تو A 1 B 1 C 1 D 1به گونه ای چیده شده اند که دنده های جانبی موازی یکدیگر باشند: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

برنج. 7

از یک نقطه الف 1عمود را رها کنید ANبه هواپیما ABC. بخش خط A 1 Hارتفاع است

نحوه چیدمان یک منشور شش ضلعی را در نظر بگیرید (شکل 8).

1) شش ضلعی های مساوی در پایه قرار دارند ABCDEFو A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) صفحات شش ضلعی ABCDEFو A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1موازی، یعنی پایه ها در صفحات موازی قرار دارند: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) شش ضلعی ABCDEFو A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1به گونه ای مرتب شده اند که تمام لبه های جانبی موازی با یکدیگر باشند: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

برنج. هشت

تعریف. اگر هر لبه جانبی بر صفحه قاعده عمود باشد، چنین منشوری شش ضلعی را خط مستقیم می نامند.

تعریف. منشور راست در صورتی منظم نامیده می شود که پایه های آن چند ضلعی منتظم باشند.

یک منشور مثلثی منظم را در نظر بگیرید ABSA 1 در 1 با 1.

برنج. نه

منشور مثلثی ABSA 1 در 1 با 1- درست است، این بدان معناست که مثلث های منظم در قاعده قرار دارند، یعنی همه اضلاع این مثلث ها با هم برابر هستند. همچنین این منشور مستقیم است. این بدان معنی است که لبه کناری عمود بر صفحه پایه است. و این بدان معنی است که تمام وجوه جانبی مستطیل های مساوی هستند.

پس اگر منشور مثلثی ABSA 1 در 1 با 1درست است، پس:

1) لبه کناری عمود بر صفحه پایه است، یعنی ارتفاع آن است: AA 1 ⊥ ABC.

2) قاعده یک مثلث منتظم است: ∆ ABC- درست.

تعریف. مساحت کل یک منشور مجموع مساحت تمام وجوه آن است. نشان داده شده است اس پر.

تعریف. مساحت سطح جانبی مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. نشان داده شده است سمت S.

منشور دو پایه دارد. سپس سطح کل منشور برابر است با:

S کامل \u003d سمت S + 2S اصلی.

مساحت سطح جانبی منشور مستقیم برابر است با حاصل ضرب محیط قاعده و ارتفاع منشور.

اثبات بر روی مثال یک منشور مثلثی انجام خواهد شد.

داده شده: ABSA 1 در 1 با 1- منشور مستقیم، یعنی. AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = ساعت

ثابت كردن: سمت S \u003d R اصلی ∙ h.

برنج. ده

اثبات.

منشور مثلثی ABSA 1 در 1 با 1- راست، بنابراین AA 1 B 1 B، AA 1 C 1 C، BB 1 C 1 C -مستطیل ها

مساحت سطح جانبی را به عنوان مجموع مساحت مستطیل ها پیدا کنید AA 1 B 1 B، AA 1 C 1 C، BB 1 C 1 C:

سمت S \u003d AB ∙ h + BC ∙ h + CA ∙ h \u003d (AB + BC + CA) ∙ h \u003d P اصلی ∙ h.

ما گرفتیم سمت S \u003d R اصلی ∙ h، Q.E.D.

ما با چند وجهی، منشور، انواع آن آشنا شدیم. ما قضیه را روی سطح جانبی یک منشور ثابت کردیم. در درس بعدی مسائل را بر روی یک منشور حل می کنیم.

1. هندسه. کلاس 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی (سطوح پایه و مشخصات) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم، تصحیح و تکمیل - M .: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : مریض
2. هندسه. کلاس 10-11: کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی عمومی / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. هندسه. پایه دهم: کتاب درسی موسسات آموزشی عمومی با مطالعه عمیق و تخصصی ریاضیات / E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - ویرایش ششم، کلیشه ای. - M. : Bustard, 008. - 233 p. :بیمار

1. Iclass().
2. Shkolo.ru ().
3. مدرسه قدیمی ().
4. wikihow().

1. حداقل تعداد وجهی که یک منشور می تواند داشته باشد چقدر است؟ چنین منشوری چند رأس و یال دارد؟
2. آیا منشوری وجود دارد که دقیقاً 100 لبه داشته باشد؟
3. دنده کناری با زاویه 60 درجه به صفحه پایه متمایل است. اگر لبه کناری 6 سانتی متر باشد ارتفاع منشور را بیابید.
4. در یک منشور مثلثی قائم الزاویه، تمام لبه ها با هم برابرند. سطح جانبی آن 27 سانتی متر مربع است. کل سطح منشور را پیدا کنید.

منشورهای مختلف با یکدیگر متفاوت هستند. در عین حال، آنها اشتراکات زیادی دارند. برای پیدا کردن مساحت پایه یک منشور، باید بفهمید که چگونه به نظر می رسد.

نظریه عمومی

منشور هر چند وجهی است که اضلاع آن به صورت متوازی الاضلاع باشد. علاوه بر این، هر چند وجهی می تواند در پایه خود باشد - از یک مثلث تا یک n-ضلعی. علاوه بر این، پایه های منشور همیشه با یکدیگر برابر هستند. چه چیزی برای چهره های جانبی اعمال نمی شود - اندازه آنها می تواند به طور قابل توجهی متفاوت باشد.

هنگام حل مسائل، تنها مساحت پایه منشور نیست که با آن مواجه می شوید. ممکن است لازم باشد سطح جانبی، یعنی تمام وجوهی که پایه نیستند را بشناسیم. سطح کامل در حال حاضر اتحاد همه چهره هایی است که منشور را تشکیل می دهند.

گاهی اوقات ارتفاع در وظایف ظاهر می شود. بر پایه ها عمود است. مورب چند وجهی قطعه ای است که هر دو راس را که به یک وجه تعلق ندارند را به صورت جفت به هم متصل می کند.

لازم به ذکر است که مساحت پایه یک منشور مستقیم یا مایل به زاویه بین آنها و وجوه جانبی بستگی ندارد. اگر در صورت بالا و پایین ارقام یکسانی داشته باشند، مساحت آنها برابر خواهد بود.

منشور مثلثی

در قاعده شکلی با سه رأس دارد، یعنی یک مثلث. معلوم است که متفاوت است. اگر پس کافی است به یاد بیاوریم که مساحت آن با نصف حاصلضرب پاها تعیین می شود.

نماد ریاضی به این صورت است: S = ½ av.

برای پیدا کردن مساحت پایه به شکل کلی، فرمول ها مفید هستند: حواصیل و آن که نیمی از ضلع به ارتفاع کشیده شده به سمت آن کشیده شده است.

فرمول اول باید به این صورت نوشته شود: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). این ورودی حاوی یک نیم محیط (p) است، یعنی مجموع سه ضلع تقسیم بر دو.

دوم: S = ½ n a * a.

اگر می خواهید مساحت قاعده یک منشور مثلثی را که منظم است بدانید، معلوم می شود که مثلث متساوی الاضلاع است. این فرمول خاص خود را دارد: S = ¼ a 2 * √3.

منشور چهار گوش

قاعده آن هر یک از چهار ضلعی های شناخته شده است. این می تواند مستطیل یا مربع، موازی یا لوزی باشد. در هر مورد، برای محاسبه مساحت پایه منشور، به فرمول خود نیاز دارید.

اگر پایه یک مستطیل باشد، مساحت آن به صورت زیر تعیین می شود: S = av، که در آن a، b اضلاع مستطیل هستند.

وقتی صحبت از یک منشور چهار گوش به میان می آید، مساحت پایه یک منشور منظم با استفاده از فرمول مربع محاسبه می شود. زیرا اوست که در پایگاه می خوابد. S \u003d a 2.

در صورتی که پایه موازی باشد، به تساوی زیر نیاز است: S \u003d a * n a. این اتفاق می افتد که یک ضلع متوازی الاضلاع و یکی از زوایا داده می شود. سپس، برای محاسبه ارتفاع، باید از یک فرمول اضافی استفاده کنید: na \u003d b * sin A. علاوه بر این، زاویه A مجاور ضلع "b" است و ارتفاع در مقابل این زاویه na است.

اگر یک لوزی در قاعده منشور قرار داشته باشد، برای تعیین مساحت آن به همان فرمول مورد نیاز است که برای متوازی الاضلاع (زیرا یک مورد خاص از آن است). اما می توانید از این یکی نیز استفاده کنید: S = ½ d 1 d 2. در اینجا d 1 و d 2 دو قطر لوزی هستند.

منشور پنج ضلعی منظم

این مورد شامل تقسیم چند ضلعی به مثلث هایی است که مناطق آن آسان تر است. اگرچه اتفاق می افتد که ارقام می توانند با تعداد رئوس متفاوت باشند.

از آنجایی که قاعده منشور یک پنج ضلعی منظم است، می توان آن را به پنج مثلث متساوی الاضلاع تقسیم کرد. سپس مساحت قاعده منشور برابر است با مساحت یکی از این مثلث ها (فرمول را می توان در بالا مشاهده کرد) ضرب در پنج.

منشور شش ضلعی منظم

با توجه به اصل توصیف شده برای منشور پنج ضلعی، می توان شش ضلعی پایه را به 6 مثلث متساوی الاضلاع تقسیم کرد. فرمول مساحت قاعده چنین منشوری مشابه فرمول قبلی است. فقط در آن باید در شش ضرب شود.

فرمول به این صورت خواهد بود: S = 3/2 و 2 * √3.

وظایف

شماره 1. یک خط مستقیم منظم داده شده است. مورب آن 22 سانتی متر است، ارتفاع چند وجهی 14 سانتی متر است. مساحت پایه منشور و کل سطح را محاسبه کنید.

تصمیم گیریقاعده یک منشور مربع است، اما ضلع آن مشخص نیست. می توانید مقدار آن را از قطر مربع (x) که مربوط به قطر منشور (d) و ارتفاع آن (h) است، پیدا کنید. x 2 \u003d d 2 - n 2. از طرف دیگر، این قطعه "x" فرضیه در مثلثی است که پاهای آن برابر با ضلع مربع است. یعنی x 2 \u003d a 2 + a 2. بنابراین، معلوم می شود که یک 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

عدد 22 را به جای d جایگزین کنید و "n" را با مقدار آن - 14 جایگزین کنید، معلوم می شود که ضلع مربع 12 سانتی متر است. اکنون به راحتی می توان مساحت پایه را پیدا کرد: 12 * 12 \u003d 144 سانتی متر مربع .

برای پیدا کردن مساحت کل سطح، باید دو برابر مقدار سطح پایه اضافه کنید و ضلع را چهار برابر کنید. دومی به راحتی با فرمول یک مستطیل پیدا می شود: ارتفاع چند وجهی و ضلع پایه را ضرب کنید. یعنی 14 و 12 این عدد برابر با 168 سانتی متر مربع خواهد بود. سطح کل منشور 960 سانتی متر مربع است.

پاسخ.مساحت پایه منشور 144 سانتی متر مربع است. کل سطح - 960 سانتی متر مربع.

شماره 2. دانا در قاعده مثلثی با ضلع 6 سانتی متر قرار دارد که در این حالت مورب وجه جانبی 10 سانتی متر است. مساحت های قاعده و سطح جانبی را محاسبه کنید.

تصمیم گیریاز آنجایی که منشور منظم است، قاعده آن یک مثلث متساوی الاضلاع است. بنابراین، مساحت آن برابر با 6 برابر مربع ¼ و جذر جذر 3 است. یک محاسبه ساده به نتیجه می رسد: 9√3 سانتی متر مربع. این مساحت یک پایه منشور است.

تمام وجوه اضلاع یکسان و مستطیل هایی با اضلاع 6 و 10 سانتی متر هستند که برای محاسبه مساحت آنها کافی است این اعداد را ضرب کنیم. سپس آنها را در سه ضرب کنید، زیرا منشور دقیقاً تعداد زیادی وجه جانبی دارد. سپس مساحت سطح جانبی 180 سانتی متر مربع زخم می شود.

پاسخ.مناطق: پایه - 9√3 سانتی متر مربع، سطح جانبی منشور - 180 سانتی متر مربع.

تعریف.

این یک شش ضلعی است که پایه های آن دو مربع مساوی و وجه های جانبی آن مستطیل های مساوی هستند.

دنده کناریضلع مشترک دو وجه جانبی مجاور است

ارتفاع منشوریک پاره خط عمود بر پایه های منشور است

منشور مورب- پاره ای که دو رأس پایه ها را به هم متصل می کند که به یک صورت تعلق ندارند

صفحه مورب- صفحه ای که از مورب منشور و لبه های جانبی آن عبور می کند

بخش مورب- مرزهای تقاطع منشور و صفحه مورب. بخش مورب یک منشور چهار گوش منظم یک مستطیل است

مقطع عمود بر هم (قطع متعامد)- این محل تقاطع یک منشور و صفحه ای است که عمود بر لبه های کناری آن کشیده شده است

عناصر یک منشور چهار گوش منظم

شکل دو منشور چهار گوش منظم را نشان می دهد که با حروف مربوطه مشخص شده اند:

• پایه های ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 برابر و موازی یکدیگر هستند
• وجه های جانبی AA 1 D 1 D، AA 1 B 1 B، BB 1 C 1 C و CC 1 D 1 D، که هر کدام یک مستطیل هستند
• سطح جانبی - مجموع مساحت تمام وجوه جانبی منشور
• سطح کل - مجموع مساحت تمام پایه ها و وجوه جانبی (مجموع مساحت سطح جانبی و پایه ها)
• دنده های جانبی AA 1 , BB 1 , CC 1 و DD 1 .
• مورب B 1 D
• مورب پایه BD
• مقطع مورب BB 1 D 1 D
• مقطع عمود بر A 2 B 2 C 2 D 2 .

ویژگی های یک منشور چهار گوش منتظم

• پایه ها دو مربع مساوی هستند
• پایه ها موازی یکدیگر هستند
• اضلاع مستطیل هستند.
• صورت های جانبی با یکدیگر برابر هستند
• وجوه جانبی بر پایه ها عمود هستند
• دنده های جانبی موازی با یکدیگر و مساوی هستند
• مقطع عمود بر تمام دنده های جانبی و موازی با پایه ها
• زوایای بخش عمود بر - راست
• بخش مورب یک منشور چهار گوش منظم یک مستطیل است
• عمود بر (قطع متعامد) موازی با پایه ها

فرمول یک منشور چهار گوش منظم

دستورالعمل برای حل مشکلات

هنگام حل مشکلات در مورد موضوع " منشور چهار گوش منظم" دلالت دارد:

منشور صحیح- منشوری که در قاعده آن یک چندضلعی منتظم قرار دارد و لبه های جانبی آن عمود بر صفحات قاعده است. یعنی یک منشور چهار گوش منظم در قاعده خود قرار دارد مربع. (ویژگی های یک منشور چهار گوش منظم را در بالا ببینید) توجه داشته باشید. این بخشی از درس با وظایف هندسه است (بخش هندسه جامد - منشور). در اینجا وظایفی وجود دارد که باعث ایجاد مشکل در حل می شوند. اگر نیاز به حل مشکلی در هندسه دارید که در اینجا نیست - در مورد آن در انجمن بنویسید. برای نشان دادن عمل استخراج جذر در حل مسائل از نماد استفاده می شود√ .

وظیفه.

در یک منشور چهار گوش منتظم، مساحت پایه 144 سانتی متر مربع و ارتفاع آن 14 سانتی متر است. قطر منشور و سطح کل را پیدا کنید.

تصمیم گیری.
چهارضلعی منظم مربع است.
بر این اساس، ضلع پایه برابر خواهد بود

√144 = 12 سانتی متر.
از این رو قطر قاعده یک منشور مستطیلی منتظم برابر خواهد بود
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

مورب یک منشور منظم با قطر قاعده و ارتفاع منشور مثلث قائم الزاویه ای تشکیل می دهد. بر این اساس، طبق قضیه فیثاغورث، قطر یک منشور چهار گوش منتظم برابر با:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 سانتی متر

پاسخ: 22 سانتی متر

وظیفه

مساحت کل یک منشور چهار گوش منتظم را در صورتی که قطر آن 5 سانتی متر و قطر وجه جانبی آن 4 سانتی متر باشد، بیابید.

تصمیم گیری.
از آنجایی که پایه یک منشور چهار گوش منتظم مربع است، ضلع قاعده (که با a مشخص می شود) با قضیه فیثاغورث پیدا می شود:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

ارتفاع وجه جانبی (که با h نشان داده می شود) برابر خواهد بود با:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

مساحت کل برابر با مجموع سطح جانبی و دو برابر مساحت پایه خواهد بود

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 سانتی متر مربع.

پاسخ: 25 + 10√7 ≈ 51.46 سانتی متر مربع.

در درس استریومتری مدرسه، یکی از ساده‌ترین شکل‌هایی که در سه محور فضایی دارای ابعاد غیرصفر است، منشور چهار گوش است. در مقاله در نظر بگیرید که چه نوع شکلی است، از چه عناصری تشکیل شده است، و همچنین چگونه می توانید سطح و حجم آن را محاسبه کنید.

مفهوم منشور

منشور در هندسه یک شکل فضایی است که توسط دو پایه یکسان و سطح جانبی که دو طرف این پایه ها را به هم متصل می کنند تشکیل می شود. توجه داشته باشید که هر دو پایه با استفاده از عملیات ترجمه موازی توسط برخی بردارها به یکدیگر تبدیل می شوند. این وظیفه منشور به این واقعیت منجر می شود که همه اضلاع آن همیشه متوازی الاضلاع هستند.

تعداد اضلاع پایه می تواند دلخواه باشد و از سه شروع شود. هنگامی که این عدد به بی نهایت میل می کند، منشور به آرامی به یک استوانه تبدیل می شود، زیرا پایه آن به یک دایره تبدیل می شود و متوازی الاضلاع جانبی که به هم متصل می شوند، یک سطح استوانه ای را تشکیل می دهند.

مانند هر چند وجهی، منشور با اضلاع (صفحه هایی که شکل را محدود می کنند)، یال ها (قطعه هایی که هر دو ضلع آنها را قطع می کنند) و رئوس (نقاط تلاقی سه ضلع) مشخص می شود، برای یک منشور دو تا از آنها جانبی هستند و سومی پایه). اعداد این سه عنصر شکل با عبارت زیر به هم مرتبط می شوند:

در اینجا P، C و B به ترتیب تعداد یال ها، اضلاع و رئوس هستند. این عبارت نمادی ریاضی از قضیه اویلر است.

در بالا تصویری وجود دارد که دو منشور را نشان می دهد. در قاعده یکی از آنها (A) یک شش ضلعی منتظم قرار دارد و اضلاع کناری بر پایه ها عمود هستند. شکل B منشور دیگری را نشان می دهد. اضلاع آن دیگر بر قاعده ها عمود نیستند و قاعده یک پنج ضلعی منظم است.

چهار گوش؟

همانطور که از توضیحات بالا مشخص است، نوع منشور در درجه اول با نوع چندضلعی که پایه را تشکیل می دهد تعیین می شود (هر دو پایه یکسان هستند، بنابراین می توانیم در مورد یکی از آنها صحبت کنیم). اگر این چند ضلعی متوازی الاضلاع باشد، منشور چهار ضلعی به دست می آید. بنابراین تمام اضلاع این متوازی الاضلاع هستند. یک منشور چهار گوش نام خاص خود را دارد - متوازی الاضلاع.

تعداد اضلاع متوازی الاضلاع شش است که هر ضلع آن دارای یک موازی مشابه با آن است. از آنجایی که پایه های متوازی الاضلاع دو ضلعی هستند، چهار پایه باقی مانده جانبی هستند.

تعداد رئوس متوازی الاضلاع هشت است که به راحتی قابل مشاهده است اگر به یاد داشته باشیم که رئوس منشور فقط در رئوس چندضلعی های پایه تشکیل می شوند (4x2=8). با استفاده از قضیه اویلر، تعداد یال ها را به دست می آوریم:

P \u003d C + B - 2 \u003d 6 + 8 - 2 \u003d 12

از 12 دنده، تنها 4 دنده به طور مستقل توسط طرفین تشکیل شده است. 8 باقیمانده در صفحات پایه های شکل قرار دارند.

انواع متوازی الاضلاع

اولین نوع طبقه بندی در ویژگی های متوازی الاضلاع است که در قاعده قرار دارد. ممکن است به این شکل باشد:

• معمولی، که در آن زوایای برابر با 90 درجه نیست.
• مستطیل؛
• مربع یک چهار ضلعی منظم است.

نوع دوم طبقه بندی زاویه ای است که در آن طرف از پایه عبور می کند. دو مورد مختلف در اینجا امکان پذیر است:

• این زاویه مستقیم نیست، سپس منشور را مایل یا مایل می نامند.
• زاویه 90 درجه است، پس چنین منشوری مستطیل یا مستقیم است.

نوع سوم طبقه بندی مربوط به ارتفاع منشور است. اگر منشور مستطیل باشد و قاعده آن مربع یا مستطیل باشد، به آن مکعب می گویند. اگر یک مربع در قاعده وجود داشته باشد، منشور مستطیلی است و ارتفاع آن برابر با طول ضلع مربع است، آنگاه شکل مکعب شناخته شده را به دست می آوریم.

سطح منشور و مساحت آن

مجموعه تمام نقاطی که روی دو پایه منشور (متوازی الاضلاع) و در طرفین آن (چهار متوازی الاضلاع) قرار دارند، سطح شکل را تشکیل می دهند. مساحت این سطح را می توان با محاسبه مساحت پایه و این مقدار برای سطح جانبی محاسبه کرد. سپس مجموع آنها مقدار مورد نظر را می دهد. از نظر ریاضی اینگونه نوشته شده است:

در اینجا S o و S b به ترتیب مساحت سطح پایه و جانبی هستند. عدد 2 قبل از S o ظاهر می شود زیرا دو پایه وجود دارد.

توجه داشته باشید که فرمول نوشته شده برای هر منشوری معتبر است و نه فقط برای مساحت یک منشور چهار گوش.

یادآوری این نکته مفید است که مساحت متوازی الاضلاع S p با فرمول محاسبه می شود:

در جایی که علامت های a و h به ترتیب طول یکی از اضلاع و ارتفاع کشیده شده به این سمت را نشان می دهند.

مساحت یک منشور مستطیل شکل با پایه مربع

پایه یک مربع است. برای قطعیت، طرف آن را با حرف a نشان می دهیم. برای محاسبه مساحت یک منشور چهار گوش منظم باید ارتفاع آن را بدانید. طبق تعریفی که برای این کمیت وجود دارد، برابر است با طول عمودی که از یک قاعده به پایه دیگر افتاده است، یعنی برابر با فاصله بین آنها. بیایید آن را با حرف h نشان دهیم. از آنجایی که تمام وجوه جانبی برای نوع منشور مورد نظر بر پایه ها عمود هستند، ارتفاع یک منشور چهار گوش منتظم برابر با طول لبه کناری آن خواهد بود.

دو عبارت در فرمول کلی برای مساحت سطح منشور وجود دارد. مساحت پایه در این مورد به راحتی قابل محاسبه است، برابر است با:

برای محاسبه مساحت سطح جانبی، به صورت زیر استدلال می کنیم: این سطح توسط 4 مستطیل یکسان تشکیل شده است. علاوه بر این، اضلاع هر یک از آنها برابر با a و h است. این بدان معنی است که مساحت S b برابر است با:

توجه داشته باشید که حاصلضرب 4*a محیط قاعده مربع است. اگر این عبارت را به یک پایه دلخواه تعمیم دهیم، برای یک منشور مستطیلی می توان سطح جانبی را به صورت زیر محاسبه کرد:

جایی که P o محیط پایه است.

با بازگشت به مسئله محاسبه مساحت یک منشور چهار گوش منظم، می‌توانیم فرمول نهایی را بنویسیم:

S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

مساحت یک متوازی الاضلاع مورب

محاسبه آن تا حدودی دشوارتر از یک مستطیل است. در این حالت، مساحت قاعده منشور چهار گوش با همان فرمول متوازی الاضلاع محاسبه می شود. تغییرات مربوط به روش تعیین مساحت سطح جانبی است.

برای انجام این کار، از همان فرمول از طریق محیط استفاده کنید که در پاراگراف بالا آمده است. فقط اکنون ضریب های کمی متفاوت خواهد داشت. فرمول کلی Sb در مورد منشور مورب به صورت زیر است:

در اینجا c طول لبه کناری شکل است. مقدار P sr محیط برش مستطیلی است. این محیط به صورت زیر ساخته شده است: باید تمام وجوه جانبی را با یک صفحه قطع کرد تا بر همه آنها عمود باشد. مستطیل به دست آمده برش مورد نظر خواهد بود.

شکل بالا نمونه ای از یک جعبه مورب را نشان می دهد. قسمت متقاطع آن با اضلاع زوایای قائمه تشکیل می دهد. محیط مقطع P sr است. توسط چهار ارتفاع متوازی الاضلاع جانبی تشکیل شده است. برای این منشور چهار گوش، سطح جانبی با استفاده از فرمول بالا محاسبه می شود.

طول مورب یک مکعب

مورب متوازی الاضلاع قطعه ای است که دو راس را که اضلاع مشترکی ندارند به هم متصل می کند. در هر منشور چهار گوش فقط چهار مورب وجود دارد. برای مکعبی که در قاعده آن مستطیل است، طول همه قطرها با یکدیگر برابر است.

شکل زیر شکل مربوطه را نشان می دهد. قسمت قرمز مورب آن است.

D = √(A 2 + B 2 + C 2)

در اینجا D طول قطر است. نمادهای باقی مانده طول اضلاع متوازی الاضلاع هستند.

بسیاری از مردم مورب یک متوازی الاضلاع را با قطرهای اضلاع آن اشتباه می گیرند. در زیر شکلی است که در آن مورب های اضلاع شکل با قسمت های رنگی نشان داده شده است.

طول هر یک از آنها نیز با قضیه فیثاغورث تعیین می شود و برابر است با جذر مجذور مجذور طول ضلع های مربوطه.

حجم منشور

علاوه بر مساحت یک منشور چهار گوش معمولی یا انواع دیگر منشورها، برای حل برخی مسائل هندسی، حجم آنها نیز باید مشخص باشد. این مقدار برای مطلقاً هر منشوری با فرمول زیر محاسبه می شود:

اگر منشور مستطیلی است، کافی است مساحت قاعده آن را محاسبه کرده و آن را در طول لبه ضلع ضرب کنیم تا حجم شکل به دست آید.

اگر منشور یک چهار ضلعی منتظم باشد، حجم آن برابر با:

به راحتی می توان فهمید که اگر طول لبه کناری h برابر با ضلع پایه a باشد، این فرمول به عبارتی برای حجم یک مکعب تبدیل می شود.

مشکل با مکعب

برای تجمیع مواد مورد مطالعه، مشکل زیر را حل می کنیم: یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل وجود دارد که اضلاع آن 3 سانتی متر، 4 سانتی متر و 5 سانتی متر است که باید مساحت سطح، طول مورب و حجم آن را محاسبه کرد.

S \u003d 2 * S o + S b \u003d 2 * 12 + 5 * 14 \u003d 24 + 70 \u003d 94 سانتی متر مربع

برای تعیین طول مورب و حجم شکل، می توانید مستقیماً از عبارات فوق استفاده کنید:

D \u003d √ (3 2 +4 2 +5 2) \u003d 7.071 سانتی متر؛

V \u003d 3 * 4 * 5 \u003d 60 cm 3.

مشکل با متوازی الاضلاع مورب

شکل زیر یک منشور مورب را نشان می دهد. اضلاع آن برابر است: a=10 سانتی متر، b=8 سانتی متر، c=12 سانتی متر، باید سطح این شکل را پیدا کرد.

ابتدا بیایید مساحت پایه را تعیین کنیم. از شکل می توان دریافت که زاویه تند 50 درجه است. سپس مساحت آن عبارت است از:

S o \u003d h * a \u003d sin (50 o) * b * a

برای تعیین مساحت سطح جانبی، محیط مستطیل سایه دار را پیدا کنید. اضلاع این مستطیل a*sin(45o) و b*sin(60o) است. آنگاه محیط این مستطیل برابر است با:

Psr = 2*(a*sin(45o)+b*sin(60o))

مساحت کل این متوازی الاضلاع عبارت است از:

S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))

داده های شرط مسئله را با طول اضلاع شکل جایگزین می کنیم، به جواب می رسیم:

از حل این مسئله می توان دریافت که از توابع مثلثاتی برای تعیین مساحت اشکال اریب استفاده می شود.