مقدار متوسط ​​یک ویژگی جایگزین و واریانس آن :

میانگین مقدار مشخصه جایگزین

تنوع یک ویژگی جایگزین

جایگزینی در فرمول واریانس q= 1 - p، ما گرفتیم:

به این ترتیب، واریانس ویژگی جایگزینبرابر با محصول کسری از واحدها، دارا بودن این ویژگی و نسبت واحدهایی که این ویژگی را ندارند.

انحراف استاندارد یک ویژگی جایگزین:

تنوع یک ویژگی جایگزین شامل وجود یا عدم وجود ویژگی مورد مطالعه در واحدهای جمعیت است. از نظر کمی، تغییرات یک ویژگی جایگزین در دو مقدار بیان می شود: وجود ویژگی مورد مطالعه در یک واحد با واحد (1) و عدم وجود آن با صفر (0) نشان داده می شود. نسبت واحدهایی که دارای ویژگی مورد مطالعه هستند با یک حرف نشان داده می شود و کسری از واحدهایی که این ویژگی را ندارند - از طریق. با توجه به اینکه p + q = 1 (از این رو q = 1 - p)، و مقدار متوسط ​​ویژگی جایگزین است

,

میانگین مربع انحرافات

بنابراین، واریانس یک ویژگی جایگزین برابر است با حاصل ضرب کسری از واحدهای دارای این ویژگی () توسط کسری از واحدهایی که این ویژگی را ندارند ().

مجذور میانگین انحراف (واریانس) حداکثر مقدار را در مورد برابری سهام می گیرد، یعنی. وقتی یعنی ... کران پایینی این شاخص صفر است که مربوط به وضعیتی است که در آن تغییرات کل وجود ندارد. انحراف استاندارد یک ویژگی جایگزین:

مشاهده انتخابی، مزایا و معایب.

مشاهده انتخابی یکی از مدرن ترین انواع مشاهدات آماری است که در آن بخشی از واحدهای جامعه مورد بررسی، بر اساس اصول علمی توسعه یافته انتخاب می شوند که داده های قابل اعتماد کافی برای توصیف کل جامعه ارائه می دهد. در کل.

شاخص‌های متوسط ​​و نسبی به‌دست‌آمده بر اساس داده‌های نمونه باید به‌اندازه کافی شاخص‌های مربوط به کل جمعیت را به‌طور کامل بازتولید کنند.

مزایای اصلی مشاهده انتخابی این است که می توان آن را طبق یک برنامه گسترده تر انجام داد، از نظر هزینه های آن ارزان تر است و در مواردی که نمی توانیم از گزارش استفاده کنیم می توان آن را سازماندهی کرد.

معایب اصلی این است که داده های به دست آمده همیشه حاوی خطا هستند و نتایج مشاهدات را فقط می توان با درجه خاصی از قابلیت اطمینان قضاوت کرد. همچنین به پرسنل واجد شرایط نیاز دارد.

روشهای تشکیل نمونه

در آمار از روش‌های مختلفی برای تشکیل مجموعه‌های نمونه استفاده می‌شود که با توجه به اهداف تحقیق و به ویژگی‌های موضوع مطالعه بستگی دارد.

شرط اصلی انجام یک نظرسنجی نمونه، جلوگیری از بروز خطاهای سیستماتیک ناشی از نقض اصل فرصت های برابر برای هر واحد از جمعیت عمومی برای درج در نمونه است. پیشگیری از خطاهای سیستماتیک در نتیجه استفاده از روش های علمی مبتنی بر تشکیل جامعه نمونه حاصل می شود.

راه های زیر برای انتخاب واحدها از جمعیت عمومی وجود دارد:

1) انتخاب فردی - واحدهای فردی در نمونه انتخاب می شوند.

2) انتخاب گروه - گروه ها یا سری هایی از واحدهای مورد مطالعه از نظر کیفی همگن در نمونه قرار می گیرند.

3) انتخاب ترکیبی ترکیبی از انتخاب فردی و گروهی است.

روش های انتخاب با قوانین تشکیل جامعه نمونه تعیین می شود.

نمونه می تواند باشد:

کاملاً تصادفی شامل این واقعیت است که جامعه نمونه در نتیجه انتخاب تصادفی (غیر عمدی) واحدهای فردی از جمعیت عمومی تشکیل می شود. در این حالت معمولاً تعداد واحدهای انتخاب شده برای جامعه نمونه بر اساس نسبت پذیرفته شده نمونه تعیین می شود. نسبت نمونه، نسبت تعداد واحدهای نمونه n به تعداد واحدها در جمعیت عمومی N است، یعنی.

§ مکانیکی این است که انتخاب واحدها در نمونه از جمعیت عمومی، به فواصل مساوی (گروه ها) تقسیم می شود. علاوه بر این، اندازه فاصله در جمعیت عمومی برابر است با متقابل نسبت نمونه. بنابراین، با یک نمونه 2٪، هر 50 واحد (1: 0.02)، با یک نمونه 5٪، هر 20 واحد (1: 0.05) و غیره انتخاب می شود. بنابراین، مطابق با سهم پذیرفته شده انتخاب، جمعیت عمومی به طور مکانیکی به گروه هایی با اندازه مساوی تقسیم می شود. از هر گروه فقط یک واحد انتخاب می شود.

§ معمولی - که در آن جمعیت عمومی ابتدا به گروه های معمولی همگن تقسیم می شود. سپس، از هر گروه معمولی، با نمونه‌گیری تصادفی یا مکانیکی مناسب، یک انتخاب فردی از واحدها در جامعه نمونه انجام می‌شود. یکی از ویژگی های مهم نمونه معمولی این است که نتایج دقیق تری در مقایسه با سایر روش های انتخاب واحد در نمونه می دهد.

§ سریال - که در آن جمعیت عمومی به گروه های هم اندازه تقسیم می شود - سری. سری برای نمونه انتخاب شده است. در داخل مجموعه، مشاهده مستمر واحدهای موجود در سری انجام می شود.

ترکیبی - نمونه می تواند دو مرحله ای باشد. در این حالت ابتدا جمعیت عمومی به گروه هایی تقسیم می شوند. سپس گروه ها انتخاب می شوند و درون گروه دوم، واحدهای فردی انتخاب می شوند.

در آمار، روش های زیر برای انتخاب واحد برای نمونه متمایز می شود:

§ نمونه برداری یک مرحله ای - هر واحد انتخاب شده بلافاصله با توجه به یک معیار معین (نمونه گیری تصادفی و سریال مناسب) بررسی می شود.

نمونه گیری چند مرحله ای - انتخاب از جمعیت عمومی گروه های فردی انجام می شود و واحدهای فردی از گروه ها انتخاب می شوند (نمونه گیری معمولی با روش مکانیکی انتخاب واحدها در جامعه نمونه).

علاوه بر این، بین:

§ انتخاب مجدد - طبق طرح توپ برگشتی. علاوه بر این، هر واحد یا سری که وارد نمونه شده است به جمعیت عمومی باز می گردد و بنابراین شانس ورود مجدد به نمونه را دارد.

تغییر- اینها تفاوت در مقادیر فردی این صفت در واحدهای جمعیت مورد مطالعه است. مطالعه تنوع از اهمیت عملی زیادی برخوردار است و پیوند ضروری در تحلیل اقتصادی است. نیاز به مطالعه تنوع به این دلیل است که میانگین، به عنوان نتیجه، وظیفه اصلی خود را با درجات مختلف دقت انجام می دهد: هر چه تفاوت در مقادیر فردی صفتی که باید میانگین گیری شود کمتر باشد، جامعه همگن تر است. و در نتیجه، میانگین دقیق تر و قابل اعتمادتر است و بالعکس. در نتیجه، با توجه به درجه تنوع، می توان مرزهای تنوع یک صفت، همگن بودن جمعیت برای این صفت، معمول بودن میانگین، رابطه عوامل تعیین کننده تنوع را قضاوت کرد.

تغییر تنوع یک ویژگی در مجموع با استفاده از آن انجام می شود مطلق و نسبیشاخص ها.

شاخص های مطلق تغییرات عبارتند از:

تغییر چرخش (R)

تنوع سوایپتفاوت بین حداکثر و حداقل مقدار مشخصه است

حدودی را نشان می دهد که در آن مقدار صفت در صفت مورد مطالعه تغییر می کند.

مثال... سابقه کار پنج متقاضی در کار قبلی 2،3،4،7 و 9 سال می باشد.
راه حل: محدوده تغییرات = 9 - 2 = 7 سال.

برای مشخصه تعمیم یافته تفاوت در مقادیر ویژگی، میانگین شاخص های تغییرات بر اساس در نظر گرفتن انحراف از میانگین حسابی محاسبه می شود. تفاوت به عنوان انحراف از میانگین در نظر گرفته می شود.

در عین حال، برای جلوگیری از مجموع انحرافات متغیرهای ویژگی از میانگین (میزان صفر ویژگی میانگین)، باید یا علائم انحراف را نادیده گرفت، یعنی این مدول جمع را گرفت، یا مقادیر انحراف را مربع کرد. به صفر برسد.

میانگین انحراف خطی و استاندارد

میانگین انحراف خطی- این از انحراف مطلق مقادیر فردی مشخصه از میانگین است.

میانگین انحراف خطی ساده است:

سابقه کار پنج متقاضی در کار قبلی 2،3،4،7 و 9 سال می باشد.

در مثال ما: سال.

پاسخ: 2.4 سال.

میانگین وزنی انحراف خطیبرای داده های گروه بندی شده اعمال می شود:

میانگین انحراف خطی، به دلیل قرارداد آن، در عمل نسبتاً به ندرت استفاده می شود (به ویژه برای توصیف اجرای تعهدات قراردادی برای یکنواختی تحویل؛ در تجزیه و تحلیل کیفیت محصول، با در نظر گرفتن ویژگی های تکنولوژیکی تولید).

انحراف معیار

کامل ترین ویژگی تنوع، انحراف معیار است که به آن استاندارد (یا انحراف معیار) می گویند. () برابر است با جذر مجذور میانگین انحرافات مقادیر فردی ویژگی از:

انحراف استاندارد ساده است:

انحراف استاندارد وزنی برای داده های گروه بندی شده استفاده می شود:

بین میانگین مربع و انحراف خطی استاندارد در شرایط توزیع نرمال، رابطه زیر برقرار است: ~ 1.25.

انحراف استاندارد، که معیار مطلق اصلی تغییرات است، برای تعیین مقادیر ارادات منحنی توزیع نرمال، در محاسبات مربوط به سازماندهی مشاهده نمونه و تعیین دقت ویژگی های نمونه، و همچنین هنگام ارزیابی مرزهای تنوع یک ویژگی در یک جمعیت همگن

پراکندگی

پراکندگی- میانگین مربع انحراف مقادیر فردی صفت از میانگین آنها است.

واریانس ساده است:

در مثال ما:

پراکندگی وزنی:

محاسبه واریانس با فرمول راحت تر است:

که با تبدیل های ساده از اصلی به دست می آید. در این حالت، مجذور میانگین انحرافات برابر است با میانگین مربعات مقادیر ویژگی منهای مربع میانگین.

برای داده های غیر انباشته:

برای داده های گروه بندی شده:

تنوع یک ویژگی جایگزینعبارت است از وجود یا عدم وجود ملک مورد مطالعه در واحدهای جمعیت. از نظر کمی، تغییرات یک ویژگی جایگزین در دو مقدار بیان می شود: وجود ویژگی مورد مطالعه در یک واحد با واحد (1) و عدم وجود آن با صفر (0) نشان داده می شود. نسبت واحدهایی که دارای ویژگی مورد مطالعه هستند با یک حرف نشان داده می شود و کسری از واحدهایی که این ویژگی را ندارند - از طریق. با توجه به اینکه p + q = 1 (از این رو q = 1 - p)، و مقدار متوسط ​​ویژگی جایگزین است

,

میانگین مربع انحرافات

بنابراین، واریانس یک ویژگی جایگزین برابر است با حاصل ضرب کسری از واحدهای دارای این ویژگی () توسط کسری از واحدهایی که این ویژگی را ندارند ().

مجذور میانگین انحراف (واریانس) حداکثر مقدار را در مورد برابری سهام می گیرد، یعنی. وقتی یعنی ... کران پایینی این شاخص صفر است که مربوط به وضعیتی است که در آن تغییرات کل وجود ندارد. انحراف استاندارد یک ویژگی جایگزین:

بنابراین، اگر در دسته تولید شده 3٪ از محصولات غیر استاندارد باشد، واریانس سهم محصولات غیر استاندارد و انحراف استاندارد یا 17.1٪ است.

انحراف معیاربرابر است با جذر مجذور میانگین انحراف مقادیر فردی ویژگی از میانگین حسابی.

نرخ های نسبی تغییرات

نرخ های نسبی تغییرات عبارتند از:

مقایسه تنوع چند جمعیت برای یک ویژگی و حتی بیشتر از آن برای ویژگی های مختلف با استفاده از شاخص های مطلق امکان پذیر نیست. در این موارد، برای ارزیابی مقایسه ای درجه تفاوت، شاخص های نسبی تنوع ساخته می شود. آنها به عنوان نسبت شاخص های مطلق تغییرات به میانگین محاسبه می شوند:

سایر خصوصیات نسبی نیز محاسبه می شود. به عنوان مثال، برای تخمین تغییر در مورد توزیع نامتقارن، نسبت میانگین انحراف خطی به میانه ها محاسبه می شود.

از آنجایی که به دلیل خاصیت میانه، مجموع انحرافات مطلق صفت از مقدار آن همیشه کمتر از هر صفت دیگری است.

به عنوان یک معیار نسبی پراکندگی که تغییرات در بخش مرکزی جمعیت را تخمین می‌زند، انحراف چارک نسبی محاسبه می‌شود، جایی که میانگین چارک نیمی از اختلاف بین چارک سوم (یا بالایی) () و چارک اول (یا پایین تر) ().

در عمل، ضریب تغییرات اغلب محاسبه می شود. حد پایین این شاخص صفر است، حد بالایی ندارد، اما مشخص است که با افزایش تنوع یک ویژگی، مقدار آن نیز افزایش می یابد. ضریب تغییرات به نوعی معیاری برای همگن بودن جمعیت (در مورد توزیع نرمال) است.

بیایید ضریب تغییرات را بر اساس انحراف معیار برای مثال زیر محاسبه کنیم. مصرف مواد خام در هر واحد محصول (کیلوگرم) بود: برای یک فناوری در و برای دیگری - در. مقایسه مستقیم مقدار انحرافات استاندارد می تواند منجر به این تصور غلط شود که تغییر در مصرف مواد خام برای فناوری اول شدیدتر از فناوری دوم است (. اندازه گیری نسبی تنوع (به ما امکان می دهد نتیجه مخالف را بگیریم.

نمونه ای از محاسبه شاخص های تغییرات

در مرحله انتخاب نامزدهای شرکت در یک پروژه پیچیده، این شرکت یک مسابقه برای متخصصان اعلام کرد. توزیع متقاضیان بر اساس تجربه کاری نتایج زیر را نشان داد:

بیایید میانگین تجربه تولید، سال را محاسبه کنیم

بیایید واریانس را بر اساس مدت سابقه کار محاسبه کنیم

اگر از فرمول متفاوتی برای محاسبه واریانس برای محاسبه استفاده کنیم، همین نتیجه به دست می آید

بیایید انحراف معیار، سال را محاسبه کنیم:

ضریب تغییرات % را تعیین کنید:

قانون جمع واریانس

برای ارزیابی تأثیر عوامل تعیین‌کننده تنوع، از تکنیک گروه‌بندی استفاده می‌شود: مجموعه به گروه‌هایی تقسیم می‌شود و یکی از عوامل تعیین‌کننده را به عنوان ویژگی گروه‌بندی انتخاب می‌کند. سپس همراه با واریانس کل محاسبه شده برای کل جامعه، واریانس درون گروهی (یا میانگین گروه) و واریانس بین گروهی (یا واریانس میانگین های گروهی) محاسبه می شود.

واریانس کلتنوع یک ویژگی در کل مجموعه را مشخص می کند که تحت تأثیر همه عوامل و شرایط ایجاد شده است.

واریانس بین گروهیتغییرات سیستماتیک را به دلیل تأثیر عاملی که توسط آن گروه بندی می شود اندازه گیری می کند:

واریانس درون گروهیتنوع صفت را ارزیابی می کند که با توجه به تأثیر عوامل دیگری که در این مطالعه در نظر گرفته نشده و مستقل از عامل گروه بندی است، ایجاد شده است. به عنوان میانگین واریانس گروه تعریف می شود.

هر سه واریانس () با تساوی زیر به یکدیگر مرتبط هستند که به آن معروف است قانون جمع واریانس:

این نسبت برای ساختن شاخص‌هایی استفاده می‌شود که تأثیر ویژگی گروه‌بندی را بر شکل‌گیری یک تغییر کلی ارزیابی می‌کنند. اینها شامل ضریب تعیین تجربی () و نسبت همبستگی تجربی ()

() سهم واریانس بین گروهی را در کل واریانس مشخص می کند:

و نشان می دهد که تنوع صفت در کل چقدر به دلیل ضریب گروه بندی است.

رابطه همبستگی تجربی(!! \ eta = \ sqrt (\ frac (\ delta ^ 2) (\ sigma ^ 2))

تنگاتنگی رابطه بین ویژگی های مورد مطالعه و گروه بندی را ارزیابی می کند. مقادیر حدی صفر و یک است. هر چه به یکی نزدیکتر باشد، ارتباط نزدیکتر است.

مثال. بهای تمام شده 1 متر مربع از مساحت کل (واحدهای متعارف) در بازار مسکن برای 17 خانه با برنامه ریزی اصلاح شده به شرح زیر بود:

در همان زمان، مشخص است که پنج خانه اول در نزدیکی مرکز تجاری ساخته شده است، و بقیه - در فاصله قابل توجهی از آن.

برای محاسبه واریانس کل، اجازه دهید هزینه متوسط ​​1 متر مربع را محاسبه کنیم. مساحت کل: واریانس کل با فرمول تعیین می شود :

بیایید هزینه متوسط ​​1 متر مربع را محاسبه کنیم. و واریانس این شاخص برای هر گروه از خانه‌ها که از نظر موقعیت مکانی نسبت به مرکز شهر متفاوت هستند:

آ)برای خانه های ساخته شده در نزدیکی مرکز:

ب)برای خانه هایی که دور از مرکز ساخته شده اند:

تغییر در هزینه 1 متر مربع. کل مساحت ناشی از تغییر مکان خانه ها مشخص می شود واریانس بین گروهی:

تغییر در هزینه 1 متر مربع. از کل مساحت، به دلیل تغییر در شاخص های باقیمانده که در نظر نمی گیریم، اندازه گیری می شود واریانس درون گروهی

واریانس های یافت شده با کل واریانس جمع می شوند

ضریب تعیین تجربی:

نشان می دهد که واریانس هزینه 1 متر مربع. از کل مساحت در بازار مسکن 81.8٪ با تفاوت در مکان ساختمان های جدید در رابطه با مرکز تجاری و 18.2٪ - با عوامل دیگر توضیح داده می شود.

رابطه تجربی همبستگی نشان دهنده تأثیر قابل توجهی بر هزینه مسکن، مکان خانه ها است.

قانون اضافه کردن واریانس برای کسریعلامت به صورت زیر نوشته شده است:

و سه نوع واریانس سهم برای داده های گروه بندی شده با فرمول های زیر تعیین می شود:

واریانس کل:

فرمول های پراکندگی بین گروهی و درون گروهی:

ویژگی های شکل توزیع

برای دریافت ایده ای از فرم توزیع، از شاخص های سطح متوسط ​​(،)، شاخص های تنوع، عدم تقارن و کشیدگی استفاده می شود.

در توزیع های متقارن، میانگین حسابی، مد و میانه بر هم منطبق هستند (. اگر این برابری نقض شود، توزیع نامتقارن است.

ساده ترین شاخص عدم تقارن تفاوت است که در مورد عدم تقارن سمت راست مثبت و در عدم تقارن سمت چپ منفی است.

توزیع نامتقارن

برای مقایسه عدم تقارن چند ردیف، یک شاخص نسبی محاسبه می شود

از تغییرات به عنوان ویژگی های تعمیم دهنده استفاده می شود لحظات توزیع مرکزی- مرتبه، مربوط به درجه افزایش انحراف مقادیر فردی ویژگی از میانگین حسابی:

برای داده های گروه بندی نشده:

برای داده های گروه بندی شده:

ممان مرتبه اول با توجه به خاصیت میانگین حسابی برابر با صفر است.

لحظه مرتبه دوم واریانس است.

لحظه های مرتبه سوم و چهارم برای ساختن شاخص هایی استفاده می شود که ویژگی های شکل توزیع های تجربی را ارزیابی می کند.

با استفاده از ممان مرتبه سوم، درجه چولگی یا عدم تقارن توزیع اندازه گیری می شود.

- ضریب عدم تقارن

در توزیع های متقارن، مانند تمام ممان های مرکزی مرتبه فرد، گشتاور مرکزی غیر صفر مرتبه سوم نشان دهنده عدم تقارن توزیع است. در این صورت، اگر عدم تقارن سمت راست باشد و شاخه سمت راست نسبت به حداکثر مقدار کشیده شود. اگر، پس عدم تقارن سمت چپ است (در نمودار این مربوط به کشیدگی شاخه چپ است).

برای مشخص کردن اوج یا صافی توزیع، نسبت گشتاور مرتبه چهارم () به انحراف استاندارد در توان چهارم () محاسبه می شود. بنابراین، برای توزیع نرمال، کشش با فرمول پیدا می شود:

برای توزیع نرمال، ناپدید می شود. برای توزیع های اوج، برای توزیع های با سطح صاف.

کشش توزیع

علاوه بر شاخص‌های در نظر گرفته شده در بالا، یک مشخصه تعمیم‌دهنده تغییرات در یک جمعیت همگن، نظم خاصی در تغییر فرکانس‌های توزیع مطابق با تغییرات در مقدار ویژگی مورد مطالعه است که به نام الگوی توزیع.

ماهیت (نوع) الگوی توزیع را می توان با ساخت یک سری متغیر بر اساس تعداد زیادی مشاهدات، و همچنین انتخاب تعداد گروه ها و مقدار انتگرال ها، که الگوی می تواند در آن بیشتر باشد، شناسایی کرد. به وضوح آشکار شد.

تجزیه و تحلیل مجموعه ای از تغییرات شامل شناسایی ماهیت توزیع (در نتیجه مکانیسم تغییرات)، ایجاد تابع توزیع، بررسی مطابقت توزیع تجربی با توزیع نظری است.

توزیع تجربی، به دست آمده بر اساس داده های مشاهده، به صورت گرافیکی توسط منحنی توزیع تجربی با استفاده از یک چند ضلعی به تصویر کشیده شده است.

در عمل انواع مختلفی از توزیع ها وجود دارد که از میان آنها می توان متقارن و نامتقارن، تک رأسی و چند راس را تشخیص داد.

تعیین نوع توزیع به معنای بیان مکانیسم شکل گیری یک الگو به شکل تحلیلی است. بسیاری از پدیده ها و ویژگی های آنها با اشکال مشخص توزیع مشخص می شوند که با منحنی های مربوطه تقریب می شوند. با همه انواع اشکال توزیع، گسترده ترین آنها به عنوان نظری عبارتند از توزیع نرمال، توزیع Pausson، توزیع دو جمله ای و غیره.

جایگاه ویژه ای در مطالعه تغییرات به قانون عادی به دلیل ویژگی های ریاضی آن تعلق دارد. برای قانون عادی، قاعده سه سیگما برآورده می شود که بر اساس آن تغییرات مقادیر فردی یک ویژگی در محدوده مقدار میانگین است. در عین حال، حدود 70 درصد از کل واحدها در محدوده و 95 درصد در محدوده هستند.

ارزیابی انطباق توزیع‌های تجربی و نظری با استفاده از معیارهای برازش انجام می‌شود که در میان آنها معیارهای پیرسون، رومانوفسکی، یاسترمسکی، کولموگروف به طور گسترده شناخته شده‌اند.

شاخص های تغییر

دستورالعمل های روشی برای حل مسائل

با موضوع "شاخص های تنوع"

برای اندازه گیری درجه تغییر (تغییرپذیری) یک صفت از تنوع استفاده می شود که شاخص های آن عبارتند از: دامنه تغییرات، میانگین انحراف خطی، انحراف معیار، میانگین مجذور انحرافات (واریانس)، ضریب تغییرات. .

تنوع سوایپ

دامنه تغییرات ( آر) محدودیت های تنوع (تغییر) مقادیر (یا انواع) فردی ویژگی را مشخص می کند ( ایکس) در جامعه آماری

که در آن بزرگترین و کوچکترین مقدار ویژگی است.

میانگین انحراف خطی

میانگین انحراف خطی با استفاده از فرمول های میانگین حسابی محاسبه می شود:

ساده (بدون وزن)

,

جایی که - من-ام ارزش ویژگی ایکس ;

میانگین ارزش ویژگی ایکس ;

وزن آماری من-ام مقدار مشخصه؛

n- تعداد اعضای جمعیت؛

وزن دار

انحراف معیار

انحراف استاندارد با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

بی وزن

وزن دار

پراکندگی یک صفت کمی

پراکندگیویژگی کمی با فرمول های میانگین حسابی تعیین می شود:

بی وزن

وزن دار

واریانس را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

میانگین مربع مقادیر مشخصه کجاست.

مربع میانگین مقدار مشخصه.

ویژگی های واریانس یک صفت کمی

1. با کاهش یا افزایش وزن (فرکانس) صفت متغیر در کاز آنجایی که واریانس تغییر نمی کند

2. هنگام کاهش یا افزایش هر مقدار مشخصه با همان مقدار ثابت آواریانس تغییر نمی کند

جایی که مقدار متوسط ​​ویژگی است ( ایکس- آ).

3. هنگام کاهش یا افزایش هر مقدار مشخصه به همان تعداد کبرابر کاهش یا افزایش واریانس ک 2 بار، و انحراف استاندارد - در کیک بار

میانگین مقدار ویژگی کجاست xK.

4. پراکندگی یک ویژگی با توجه به یک مقدار دلخواه آهمیشه بزرگتر از واریانس نسبت به میانگین حسابی در هر مربع اختلاف بین میانگین و مقدار دلخواه

اثبات:

پراکندگی نسبت به میانگین

محاسبه واریانس با روش گشتاورها

روش محاسبه ساده واریانس طبق فرمول انجام می شود

و راه لحظه ها نامیده می شود.

شاخص ها متر 1 , متر 2 ممان مرتبه اول و دوم را نشان می دهد و به صورت زیر محاسبه می شود

اثبات:

پراکندگی یک صفت کمی در مجموع،

به گروه ها تقسیم شد

برای تجزیه و تحلیل روابط ویژگی های کمی در یک جامعه آماری تقسیم شده به گروه ها، واریانس های زیر محاسبه می شود: گروه، بین گروهی، درون گروهی و کل.

واریانس گروهی (جزئی) تغییر یک صفت را در یک گروه به دلیل تأثیر سایر عوامل بر روی آن مشخص می کند، به جز صفت زیربنایی گروه بندی (ویژگی گروه بندی):

جایی که - من-مین مقدار ویژگی در j-ام گروه؛

مقدار میانگین خصوصی (گروهی) یک ویژگی در j-ام گروه؛

وزن آماری من-مین مقدار مشخصه در j-ام گروه؛

تعداد مقادیر مختلف مشخصه در jگروه

واریانس بین گروهی درجه تغییرپذیری (تغییر) یک صفت را در کل جامعه آماری به دلیل عامل زیربنایی گروه بندی (خصیصه گروه بندی) اندازه گیری می کند:

مقدار میانگین مشخصه در مجموع کجاست (میانگین کل)؛

وزن jگروه -امین تعداد واحدها را نشان می دهد jهفتم

جی- تعداد گروه ها در جامعه آماری.

واریانس درون گروهی (میانگین واریانس های گروهی) درجه تغییرپذیری یک صفت را در کل جمعیت به دلیل تأثیر سایر عوامل (صفات) روی آن می سنجد، به جز صفت گروه بندی:

واریانس کل درجه تغییرپذیری یک صفت را به دلیل تأثیر همه عوامل مؤثر بر آن اندازه گیری می کند:

واریانس کل یک ویژگی در یک جامعه آماری، که به گروه‌ها تقسیم می‌شود، می‌تواند با فرمول پراکندگی پایه تعیین شود.

واریانس بین گروهی و کل برای تعیین شاخص های نزدیکی رابطه شاخص ها در مجموع، به گروه ها استفاده می شود.

واریانس یک ویژگی جایگزین کیفی

برای تعیین واریانس یک ویژگی جایگزین، فرض کنیم که تعداد کل واحدهای جمعیت برابر است با n... تعداد واحدهای دارای صفت مورد مطالعه - f، سپس تعداد واحدهایی که ویژگی مورد مطالعه را ندارند برابر است با ( n- f). سری توزیع یک ویژگی کیفی (جایگزین) به شرح زیر است

مقدار متغیر	میزان تکرار
	f n-f
جمع	n

میانگین حسابی چنین سری هایی عبارت است از:

یعنی برابر است با فراوانی (فرکانس) نسبی ظهور صفت مورد مطالعه که می توان آن را با پ، سپس

نسبت واحدهای دارای صفت مورد مطالعه برابر است پ، نسبت واحدهایی که دارای صفت مورد مطالعه نیستند برابر است q، سپس p + q = 1.

تنوع یک ویژگی جایگزین

یک مورد خاص از یک ویژگی اسنادی (غیر کمی) یک ویژگی جایگزین است. زمانی که واحدهای جمعیت یا دارای یک ویژگی مورد مطالعه هستند یا آن را ندارند. نمونه ای از این علائم عبارتند از: وجود محصولات معیوب، مدرک تحصیلی از معلمان دانشگاه، کار در تخصص اکتسابی، مازاد بر میانگین درآمد سرانه در سطح روسی آنها، وجود فرزندان در خانواده و غیره. .

اگر یک ویژگی جایگزین وجود داشته باشد، به واحد جمعیت مقدار "1" اختصاص داده می شود. در غیاب - "0".

اوزان در محاسبات عبارتند از:

نسبت واحدهای دارای این ویژگی؛

نسبت واحدهایی که این ویژگی را ندارند

سپس مقدار متوسط ​​ویژگی جایگزین برابر است با:

واریانس به شکل زیر خواهد بود:

واریانس ویژگی جایگزین از 0 تا 0.25 متغیر است. حداکثر مقدار 0.25 به 0.5 می رسد

مثال 4.11. در یک بررسی نمونه از 300 نفر از ساکنان کورسک، 60 نفر از آنها در مورد حفظ پس انداز شخصی در بانک های تجاری شهر صحبت مثبت کردند.

سطح متوسط، واریانس و انحراف معیار صفت را تعیین کنید

کاربرد عملی تغییر یک ویژگی جایگزین عمدتاً شامل ایجاد فواصل اطمینان هنگام انجام یک مشاهده نمونه است.

مطالعه شکل توزیع ویژگی. ویژگی های اصلی الگوهای توزیع

یک شرط ضروری برای موفقیت ساخت‌وسازها، محاسبات و نتیجه‌گیری بر اساس مجموعه‌ای از تغییرات، همگنی دانه‌های خلاصه شده در آنها است که بر اساس تحلیل نظری عمیق ایجاد شده است.

ترتیب تغییر فرکانس به وضوح بیان شده مطابق با تغییر در مقدار یک ویژگی، الگوی توزیع نامیده می شود.

آگاهی از نوع الگوی توزیع (و در نتیجه شکل منحنی) قبل از هر چیز ضروری است:

1. برای روشن کردن شرایط معمول برای به دست آوردن مواد آماری اولیه. بنابراین، ظهور یک منحنی چند رأس یا اساساً نامتقارن نشان‌دهنده ترکیب متنوع جمعیت و نیاز به گروه‌بندی مجدد داده‌ها به منظور شناسایی گروه‌های همگن بیشتر است.

2. برای اطمینان از صحت محاسبات و پیش بینی های عملی. بنابراین، استفاده از فرمول G. Sturgess برای محاسبه تعداد بهینه گروه ها در یک سری بازه ای، قانون "سه سیگما"، ضریب تغییرات Vу به عنوان شاخصی از همگنی توزیع های نزدیک به آن.

الگوهای سری تغییرات، که در نوع توزیع فرکانس آنها بیان می شود، به وضوح بر روی نمودارها - هیستوگرام و چند ضلعی توزیع فرکانس ظاهر می شود. بررسی آنها نشان می دهد که در هیستوگرام ناپیوستگی زیادی در توزیع وجود دارد و در چند ضلعی یک انتقال تدریجی از یک گروه به گروه دیگر وجود دارد. چند ضلعی چند ضلعی تا حدی ناپیوستگی هیستوگرام را هموار می کند؛ این یک تکنیک عمومی تر برای تجزیه و تحلیل توزیع است.

با افزایش ردیف‌های یک سری تغییرات بازه‌ای و کاهش متناظر در مقدار بازه‌های آن، تعداد اضلاع چند ضلعی توزیع افزایش می‌یابد و خط شکسته تمایل دارد به منحنی خاصی در حد تبدیل شود. این منحنی نامیده می شود منحنی توزیع... در آن، بیشترین انتشار داده ها از تأثیر عوامل تصادفی رخ می دهد. ماهیت تنوع، الگوی توزیع فرکانس را در یک مجموعه تک کیفیتی از پدیده‌ها آشکار می‌کند و به کلی‌ترین شکل نشان می‌دهد.

منحنی های توزیع می توانند انواع مختلفی داشته باشند. در عمل تحقیقات اجتماعی-اقتصادی، منحنی توزیع نرمال به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد. این یک شکل زنگوله ای متقارن تک راس است که شاخه های راست و چپ آن به طور یکنواخت و متقارن کاهش می یابد و مجانبی به محور آبسیسا نزدیک می شود.

ویژگی بارز این منحنی، همزمانی میانگین حسابی، مد و میانه در آن است. اگر کل منطقه بین منحنی و محور آبسیسا 100٪ در نظر گرفته شود، 68.3٪ از فرکانس ها در محدوده، در 95.4٪، در 99.7٪ قرار دارند ("قانون سه سیگما").

اگرچه توزیع نرمال یا متقارن با ماهیت تعدادی از پدیده ها مطابقت دارد، اما برای پدیده های اجتماعی مشخص نیست، زیرا منعکس کننده تفاوت های ناشی از تأثیرات خارجی است که نه در یک مجموعه در حال توسعه، بلکه فقط در یک مجموعه در حال نوسان ذاتی است. واحدها توسعه و پویایی از ویژگی های پدیده های اجتماعی است. بنابراین، سری ها و منحنی های توزیع فرکانس های پدیده های اجتماعی، به عنوان یک قاعده، نامتقارن هستند، در آنها فرکانس ها به حداکثر افزایش می یابد و از آن به طور ناهموار کاهش می یابد. وجود عدم تقارن یا چولگی در ردیف های سنگدانه های همگن است که به عنوان یک نشانه غیرمستقیم عمل می کند که فرآیند مورد مطالعه در حال گذراندن مرحله فعال توسعه است.

سری های نامتقارن و منحنی های مربوطه دارای اشکال مختلفی از توزیع هستند که توسط آمار ریاضی بررسی می شود. این اشکال عبارتند از توزیع پواسون، توزیع ماکسول، توزیع پیرسون و غیره. در اینجا عدم تقارن به عنوان یک کل به عنوان یک نوع توزیع در نظر گرفته می شود. در این حالت، بین عدم تقارن سمت راست و چپ (کول) تفاوت قائل می‌شود.

اگر شاخه بلند منحنی در سمت راست راس قرار داشته باشد، عدم تقارن سمت راست نامیده می شود، اگر این شاخه در سمت چپ راس واقع شده باشد - سمت چپ. با عدم تقارن سمت راست با سمت چپ. بنابراین، تفاوت بین آنها، ضریب K. Pearson نامیده می شود و به عنوان ضریب عدم تقارن استفاده می شود:

با عدم تقارن سمت راست، این ضریب مثبت است، با سمت چپ - منفی است. اگر = 0، سری تغییرات متقارن است. هر چه قدر مطلق ضریب بیشتر باشد، درجه چولگی بیشتر است.

دقیق ترین شاخص چولگی توزیع، ضریب چولگی است که با فرمول محاسبه می شود

که در آن n تعداد واحدهای جمعیت است. همانطور که در مورد ضریب پیرسون، برای> 0، عدم تقارن سمت راست وجود دارد، برای< 0 левосторонняя. В симметричных распределениях = 0.

هر چه مقدار || بزرگتر باشد، توزیع نامتقارن تر است. مقیاس درجه بندی زیر برای عدم تقارن ایجاد شده است:

|| - عدم تقارن ناچیز؛

0,25 < || - асимметрия заметная (умеренная);

|| > 0.5 - عدم تقارن قابل توجه.

از آنجایی که ضرایب و مقادیر نسبی بدون بعد هستند، اغلب برای تحلیل مقایسه ای عدم تقارن سری های توزیع مختلف استفاده می شوند.

ماهیت عدم تقارن گاهی اوقات جهت توسعه را نشان می دهد. هنگام مطالعه تنوع علائم در رابطه با آنها که علاقه به افزایش آنها وجود دارد (تامین هنجارها، بازده تولید و غیره)، عدم تقارن سمت راست نشان دهنده پیشروی توسعه است که به سمت افزایش شاخص می رود و عدم تقارن سمت چپ نشان دهنده وجود تعداد زیادی سایت عقب مانده است.

هنگام مطالعه تنوع علائم در رابطه با آنها که علاقه به کاهش آنها وجود دارد (هزینه، شدت کار، مصرف مواد خام در واحد تولید و غیره)، عدم تقارن سمت راست نشان دهنده کاستی در توسعه فرآیند مورد مطالعه است. سمت چپ - در مورد پیشرفت توسعه آن، در مورد اینکه چگونه دومی در جهت کاهش شاخص پیش می رود. در توزیع کارکنان بر اساس ارشدیت (نگاه کنید به مثال 4.9 = 5.75)، عدم تقارن سمت راست مشاهده می شود، زیرا ضریب عدم تقارن مثبت است: (5.955-5.75): 2.47 = 0.095. این عدم تقارن برای این سری پیشرونده است، نشان دهنده توسعه سری به سمت افزایش شاخص مورد مطالعه است.

شکل توزیع را می توان تقریباً مستقیماً با بررسی داده های تجربی سری تعیین کرد، به خصوص اگر آنها با یک هیستوگرام و یک چندضلعی به تصویر کشیده شوند. برای اطمینان از درستی تعریف تقریبی شکل توزیع، داده های تجربی سری از نظر نزدیکی به توزیع نظری که با ساخت منحنی توزیع مربوطه ایجاد می شود، بررسی می شود. با این حال، در بسیاری از موارد، نه تئوری و نه در نظر گرفتن مستقیم داده‌های تجربی پاسخی به سؤال در مورد شکل توزیع نمی‌دهند. سپس معمولاً مطالعه‌ای در مورد نزدیک بودن داده‌های تجربی به توزیع نرمال انجام می‌شود، زیرا توزیع‌هایی با عدم تقارن کوچک یا متوسط ​​در اکثر موارد بر اساس نوع خود نرمال هستند.

برای قضاوت عینی در مورد میزان مطابقت توزیع تجربی با نرمال در آمار، از تعدادی معیار استفاده می شود که معیارهای توافق یا انطباق نامیده می شوند.

اینها شامل معیارهای پیرسون، رومانوفسکی، یاسترمسکی، کولموگروف بر اساس استفاده از مفاهیم مختلف نظری است.

به عنوان مثال، متداول ترین آزمون کای اسکوئر پیرسون با فرمول تعیین می شود:

فرکانس های تجربی کجا هستند (فرکانس ها)

فرکانس های نظری (فرکانس ها)

برای ارزیابی نزدیکی توزیع تجربی به نظری، احتمال دستیابی به این مقدار با این معیار تعیین می شود. اگر این احتمال از 0.05 تجاوز کند، انحراف فرکانس های واقعی از فرکانس های نظری تصادفی و ناچیز در نظر گرفته می شود. با این حال، اگر انحرافات قابل توجه در نظر گرفته شوند و توزیع تجربی اساساً با توزیع نظری متفاوت باشد.

برای مشخص کردن درجه انحراف توزیع متقارن از نرمال، شاخص کشیدگی محاسبه می شود. تقریباً می توان با استفاده از ضریب لیندبرگ تعیین کرد.

که در آن سهم (در درصد) از تعداد متغیرهای موجود در بازه برابر است با نیممیانگین انحراف مربع (در هر جهت از مقدار میانگین) در مقدار کل یک نوع از این سری.

38.29 - سهم (در درصد) از تعداد گزینه های موجود در فاصله برابر است نیممیانگین انحراف مربع (در یک جهت یا دیگری از مقدار میانگین) در مقدار کل یک نوع از سری توزیع نرمال

کشیدگی می تواند مثبت، منفی یا صفر باشد.

برای منحنی های راس بالا، شاخص کشیدگی دارای علامت مثبت، برای منحنی های راس پایین، علامت منفی است. برای یک منحنی توزیع نرمال، مقدار آن صفر است.

برای توصیف دقیق تر درجه انحراف توزیع متقارن از نرمال، شاخص قله (شاخص کورتوز) (Ek) با فرمول محاسبه می شود:

این ضریب مانند ضریب لیندبرگ می تواند مثبت، منفی و برابر با صفر باشد. شاخص کشش مانند نشانگر عدم تقارن یک عدد انتزاعی است. مقدار محدود کشش منفی Ek = -2 است. بزرگی کشیدگی مثبت بی نهایت است.

تعیین شاخص های عدم تقارن و کشیدگی نه تنها معنای توصیفی دارد، بلکه اغلب مقادیر آنها نشانه های خاصی برای تحقیقات بیشتر در مورد پدیده های مورد مطالعه می دهد. بنابراین، برای مثال، ظهور یک کشش منفی قابل توجه ممکن است نشان دهنده ناهمگنی کیفی جمعیت مورد مطالعه باشد.

فن‌آوری‌های رایانه‌ای مدرن فرصت‌های زیادی را برای انجام عملیات محاسباتی دست و پاگیر برای تجزیه و تحلیل سری‌های متغیر باز می‌کنند. اگر مطالب از نظر تئوری درک شود و یک فرضیه معقول در مورد شکل توزیع ارائه شود (به هر حال، رایانه ها نیز قادر به بررسی هستند)، دستگاه های محاسباتی می توانند به سرعت شاخص ها و معیارهای تعمیم دهنده مختلف را محاسبه کنند، نمودار بسازند و غیره. . این امر بیشتر امکان پذیر است، زیرا شاخص های تنوع نسبتاً ساده و به خوبی رسمیت یافته اند.

مفهوم تنوع

میانگین یک ویژگی تعمیم دهنده کل مجموعه پدیده مورد مطالعه را ارائه می دهد.

تنوع ویژگیتفاوت در مقادیر فردی یک صفت در جمعیت مورد مطالعه نامیده می شود.

مقدار متوسط ​​یک ویژگی انتزاعی و تعمیم دهنده ویژگی جمعیت مورد مطالعه است، اما ساختار جامعه را نشان نمی دهد.

مقدار متوسط ​​ایده ای از نحوه گروه بندی مقادیر فردی صفت مورد مطالعه در اطراف میانگین نمی دهد، خواه در نزدیکی آن متمرکز شده باشند یا به طور قابل توجهی از آن انحراف دارند.

اگر مقادیر فردی ویژگی نزدیک به میانگین حسابی باشد، در این حالت میانگین کل جمعیت را به خوبی نشان می دهد. و بالعکس.

نوسان مقادیر فردی با مشخصه می شود شاخص های تنوع

اصطلاح "تغییر" از لاتین variatio - تغییر، نوسان، تفاوت می آید. با این حال، همه تفاوت ها معمولاً تنوع نامیده نمی شوند.

تحت تنوعدر آمار، آنها به معنای چنین تغییرات کمی در ارزش صفت مورد مطالعه در یک جمعیت همگن هستند که ناشی از تأثیر متقاطع عمل عوامل مختلف است. تفاوت صفت را در مقادیر مطلق و نسبی تشخیص دهید. مطلق - R، L، σ، σ 2.

شاخص های تنوع

1 جمع	2 جمع
n = 5 80، 100، 120، 200، 300	n = 8 145، 150، 155، 160، 160، 162، 168، 180

80 100 120 x 200 300

بنابراین، در این مورد، تعیین تنوع ویژگی، یعنی. نسبت مقادیر فردی سری نسبت به یکدیگر.

شاخص های تنوع

1. دامنه تغییرات تفاوت بین حداکثر و حداقل مقدار ویژگی است.

R = X حداکثر - X دقیقه

R 1 = 300-80 = 220 R 2 = 180-145 = 35

تمرین: برای یک جمعیت همگن، برای کنترل کیفیت محصول.

2. شاخص هایی که انحراف همه گزینه ها را از میانگین حسابی در نظر می گیرند.

الف) انحراف خطی متوسط

ب) انحراف معیار

میانگین انحراف خطیمیانگین حسابی مقادیر مطلق انحراف گزینه های فردی از میانگین است.

برای گروه بندی نشده:

;

برای گروه بندی شده:

تمرین:تحلیل می کند:

1. ترکیب کارکنان

2. ریتم تولید

3. عرضه یکنواخت مواد

نقص:این شاخص محاسبات یک نوع احتمالی را پیچیده می کند، استفاده از روش های آمار ریاضی را دشوار می کند.

میانگین انحراف مربع (استاندارد)- آی تی

برای داده های گروه بندی نشده

برای داده های گروه بندی شده

برای توزیع های با انحراف متوسط

انحراف معیار، مانند انحراف معیار، یک شاخص مطلق است که در واحدهای مشابه میانگین حسابی بیان می شود.

اگر ویژگی‌های خود برای این جمعیت‌ها یکسان نباشد، شاخص‌های ریشه میانگین مربع یا انحراف خطی استاندارد برای دو جمعیت غیرقابل مقایسه است. این شاخص ها برای ویژگی های مختلف یک جمعیت مقایسه نمی شوند. آن ها وقتی میانگین ها در هر دو جمعیت در واحدهای اندازه گیری یکسان بیان می شوند و یکسان هستند، مقایسه امکان پذیر است و تفاوت در تنوع صفت را منعکس می کند.

انحراف معیار معیاری برای پایایی میانگین است. هرچه σ کوچکتر باشد، میانگین حسابی کل جمعیت نمایش داده شده را بهتر نشان می دهد.

3. پراکندگیبرای اندازه گیری تغییرپذیری یک ویژگی استفاده می شود. این شاخص به طور عینی تری اندازه گیری تغییرات را منعکس می کند

برای گروه بندی نشده

برای گروه بندی شده

ویژگی بارز این شاخص این است که وقتی مربع می شود، نسبت انحرافات کوچک کاهش می یابد و انحرافات بزرگ در کل مقدار انحرافات افزایش می یابد.

این نیز یک شاخص مطلق است.

واریانس دارای تعدادی ویژگی است که برخی از آنها محاسبه را آسان تر می کند:

1. واریانس ثابت 0 است

2. اگر همه انواع مقادیر ویژگی (x) ↓ با یک عدد باشند، واریانس کاهش نمی یابد

3. اگر همه گزینه ها ↓ به تعداد یکسان (K بار)، واریانس ↓ توسط K 2 برابر

ایکس	f	ایکس "

x 100 بار

واریانس σ 0.909 * 10000 = 9090 است

محاسبه شاخص های تغییرات برای ویژگی های کمی در بالا در نظر گرفته شد، اما وظیفه ارزیابی تغییرات را می توان مطرح کرد. ویژگی های کیفی. به عنوان مثال هنگام مطالعه کیفیت محصولات تولیدی می توان آن را به خوب و معیوب تقسیم کرد.

در این مورد، ما در مورد ویژگی های جایگزین صحبت می کنیم.

تنوع یک ویژگی جایگزین

علائم جایگزینبه آنهایی گفته می شود که برخی از واحدهای مجموع دارند، در حالی که برخی دیگر ندارند. به عنوان مثال، وجود تجربه کاری در بین متقاضیان، مدرک تحصیلی از اساتید دانشگاه و غیره. وجود یک ویژگی در واحدهای جمعیت به طور معمول با 1 نشان داده می شود و عدم وجود - 0. x 1 = 1، x 2 = 0. سهم واحدهایی که ویژگی دارند (در کل جمعیت) با p و سهم واحدهایی که ویژگی ندارند - با q نشان داده می شود. آن ها p + q = 1، q = 1-p.

بیایید مقدار متوسط ​​ویژگی جایگزین را محاسبه کنیم

; ;

آن ها مقدار متوسط ​​یک ویژگی جایگزین برابر است با نسبت واحدهایی با این ویژگی ها، به نسبت واحدهایی که این ویژگی ها را ندارند.

انحراف معیار برابر با B p = است

کیفیت بررسی می شود: 1000 محصول نهایی، 20 محصول معیوب.

نرخ ازدواج را بیابید: (20/1000) * 100٪ = 0.02٪

پراکندگی دارای تعدادی ویژگی است، که محاسبه را ساده می کند.

1. اگر گزینه از همه مقادیر مقداری ثابت A را کم کند، انحراف استاندارد از آن تغییر نخواهد کرد.