نحوه پیدا کردن رتبه یک ماتریس 4 در 4. پیدا کردن رتبه یک ماتریس

رتبه یک ماتریس یک مشخصه عددی مهم است. مشخصه ترین مسئله ای که نیاز به یافتن رتبه یک ماتریس دارد، بررسی سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی است. در این مقاله مفهوم رتبه یک ماتریس را بیان می کنیم و روش هایی برای یافتن آن در نظر می گیریم. برای جذب بهتر مواد، راه حل های چند مثال را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعیین رتبه یک ماتریس و مفاهیم اضافی لازم.

قبل از بیان تعریف رتبه یک ماتریس، باید مفهوم مینور را به خوبی درک کرد و یافتن مینورهای یک ماتریس مستلزم توانایی محاسبه تعیین کننده است. بنابراین توصیه می کنیم، در صورت لزوم، تئوری مقاله، روش های یافتن تعیین کننده ماتریس، ویژگی های تعیین کننده را یادآوری کنید.

یک ماتریس A به ترتیب انتخاب کنید. فرض کنید k یک عدد طبیعی باشد که از کوچکترین اعداد m و n تجاوز نکند، یعنی: .

تعریف.

مرتبه k-ام جزئیماتریس A تعیین کننده ماتریس مربع ترتیب است که از عناصر ماتریس A تشکیل شده است که در k ردیف و ستون از پیش انتخاب شده قرار دارند و مکان عناصر ماتریس A حفظ می شود.

به عبارت دیگر، اگر در ماتریس A (p–k) ردیف‌ها و (n–k) ستون‌ها را حذف کنیم و با حفظ آرایش عناصر ماتریس A، ماتریسی را از بقیه عناصر تشکیل دهیم، آنگاه تعیین‌کننده ماتریس حاصل می‌شود. جزئی از مرتبه k ماتریس A.

بیایید با استفاده از یک مثال به تعریف ماتریس مینور نگاه کنیم.

ماتریس را در نظر بگیرید .

اجازه دهید چند عدد فرعی مرتبه اول این ماتریس را بنویسیم. به عنوان مثال، اگر ردیف سوم و ستون دوم ماتریس A را انتخاب کنیم، انتخاب ما با یک مینور مرتبه اول مطابقت دارد. . به عبارت دیگر، برای به دست آوردن این مینور، ردیف های اول و دوم و همچنین ستون های اول، سوم و چهارم را از ماتریس A خط زدیم و از عنصر باقی مانده، تعیین کننده را ساختیم. اگر سطر اول و ستون سوم ماتریس A را انتخاب کنیم، یک مینور دریافت می کنیم .

اجازه دهید روش به دست آوردن خردسالان مرتبه اول را توضیح دهیم
و .

بنابراین، مینورهای مرتبه اول یک ماتریس، خود عناصر ماتریس هستند.

اجازه دهید چند خرده درجه دوم را نشان دهیم. دو سطر و دو ستون را انتخاب کنید. برای مثال سطر اول و دوم و ستون سوم و چهارم را بگیرید. با این انتخاب، ما یک مینور درجه دوم داریم . این مینور همچنین می تواند با حذف ردیف سوم، ستون اول و دوم از ماتریس A تشکیل شود.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه دوم ماتریس A است.

اجازه دهید ساخت این خردسالان درجه دوم را به تصویر بکشیم
و .

مینورهای مرتبه سوم ماتریس A را می توان به طور مشابه یافت. از آنجایی که در ماتریس A فقط سه ردیف وجود دارد، همه آنها را انتخاب می کنیم. اگر سه ستون اول را برای این سطرها انتخاب کنیم، یک مینور از مرتبه سوم دریافت می کنیم

همچنین می توان آن را با حذف آخرین ستون ماتریس A ساخت.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه سوم است

با حذف ستون سوم ماتریس A به دست می آید.

در اینجا نقشه ای است که ساخت این خرده های درجه سوم را نشان می دهد
و .

برای یک ماتریس معین A، هیچ جزئی از مرتبه بالاتر از سوم وجود ندارد، زیرا .

چند مینور مرتبه k از ماتریس مرتبه A وجود دارد؟

تعداد مرتبه k مینورها را می توان به صورت , Where محاسبه کرد و - تعداد ترکیبات از p تا k و از n تا k به ترتیب.

چگونه می توان همه مینورهای مرتبه k ماتریس A از مرتبه p را روی n ساخت؟

ما به مجموعه ای از اعداد ردیف ماتریس و مجموعه ای از اعداد ستون نیاز داریم. ضبط همه چیز ترکیب عناصر p توسط k(هنگام ساختن یک مینور از مرتبه k با ردیف های انتخابی ماتریس A مطابقت دارند). به هر ترکیبی از اعداد ردیف، ما به طور متوالی تمام ترکیبات n عنصر را با k عدد ستون اضافه می کنیم. این مجموعه‌ای از ترکیب‌های اعداد سطر و اعداد ستون‌های ماتریس A به ترکیب همه فرعی‌های مرتبه k کمک می‌کنند.

بیایید یک مثال بزنیم.

مثال.

همه مینورهای مرتبه دوم ماتریس را پیدا کنید.

راه حل.

از آنجایی که ترتیب ماتریس اصلی 3 در 3 است، مجموع مینورهای مرتبه دوم خواهند بود .

بیایید تمام ترکیبات 3 تا 2 ردیفی ماتریس A را بنویسیم: 1, 2; 1، 3 و 2، 3. تمام ترکیب های 3 در 2 اعداد ستون 1، 2 هستند. 1، 3 و 2، 3.

ردیف اول و دوم ماتریس A را در نظر بگیرید. با انتخاب ستون های اول و دوم برای این ردیف ها، ستون های اول و سوم، ستون های دوم و سوم، به ترتیب مینورها را به دست می آوریم.

برای ردیف های اول و سوم، با انتخاب مشابهی از ستون ها، داریم

باقی مانده است که ستون های اول و دوم، اول و سوم، دوم و سوم را به ردیف های دوم و سوم اضافه کنید:

بنابراین، تمام نه مینور مرتبه دوم ماتریس A یافت می شوند.

اکنون می توانیم به تعیین رتبه ماتریس برویم.

تعریف.

رتبه ماتریسیبالاترین مرتبه مینور ماتریس غیر صفر است.

رتبه ماتریس A به عنوان رتبه (A) نشان داده می شود. همچنین می توانید عناوین Rg(A) یا Rang(A) را مشاهده کنید.

از تعاریف رتبه یک ماتریس و مینور یک ماتریس می توان نتیجه گرفت که رتبه یک ماتریس صفر برابر با صفر است و رتبه یک ماتریس غیر صفر حداقل یک است.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف.

بنابراین، اولین روش برای یافتن رتبه یک ماتریس است روش شمارش جزئی. این روش بر اساس تعیین رتبه ماتریس است.

اجازه دهید ما باید رتبه یک ماتریس A را پیدا کنیم.

به طور مختصر توضیح دهید الگوریتمحل این مشکل با روش شمارش خردسالان.

اگر حداقل یک عنصر ماتریس غیر صفر باشد، رتبه ماتریس حداقل برابر با یک است (زیرا یک مینور مرتبه اول وجود دارد که برابر با صفر نیست).

در مرحله بعد، روی مینورهای مرتبه دوم تکرار می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم غیر صفر وجود داشته باشد، به شمارش مینورهای مرتبه سوم می رویم و رتبه ماتریس حداقل برابر با دو است.

به طور مشابه، اگر همه مینورهای مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است. اگر حداقل یک مینور مرتبه سوم غیر صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل سه است و به شمارش مینورهای مرتبه چهارم می رویم.

توجه داشته باشید که رتبه یک ماتریس نمی تواند از کوچکترین p و n تجاوز کند.

مثال.

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید .

راه حل.

از آنجایی که ماتریس غیر صفر است، رتبه آن کمتر از یک نیست.

جزئی از مرتبه دوم با صفر متفاوت است، بنابراین، رتبه ماتریس A حداقل دو است. به شمارش خردسالان مرتبه سوم می پردازیم. همه آنها چیزها

همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند. بنابراین، رتبه ماتریس دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش فرینگ مینورها.

روش های دیگری برای یافتن رتبه یک ماتریس وجود دارد که به شما امکان می دهد با کار محاسباتی کمتری به نتیجه برسید.

یکی از این روش ها است روش فرعی جزئی.

بیایید مقابله کنیم مفهوم صغیر مرزی.

گفته می شود که M ok فرعی از (k+1)مین مرتبه ماتریس A با M جزئی مرتبه k ماتریس A هم مرز است اگر ماتریس مربوط به مینور M ok حاوی ماتریس مربوط به مینور باشد. م.

به عبارت دیگر، ماتریس مربوط به مینور حاشیه‌دار M از ماتریس مربوط به مینور حاشیه‌دار M OK با حذف عناصر یک سطر و یک ستون به دست می‌آید.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید و یک مینور از مرتبه دوم بگیرید. بیایید همه خردسالان مرزی را بنویسیم:

روش مرزبندی جزئی ها با قضیه زیر توجیه می شود (ما فرمول آن را بدون اثبات ارائه می کنیم).

قضیه.

اگر همه مینورهای مرتبه k-ام ماتریس A از مرتبه p با n برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه (k + 1) ماتریس A برابر با صفر هستند.

بنابراین، برای یافتن رتبه یک ماتریس، لازم نیست همه موارد فرعی را که به اندازه کافی مرز دارند، برشماریم. تعداد مینورهای هم مرز با مینور مرتبه k ماتریس A با فرمول بدست می آید . توجه داشته باشید که کمتر از مینورهای مرتبه k-ام ماتریس A، مینورهای مرتبه k-امین ماتریس A وجود ندارد. بنابراین، در بیشتر موارد، استفاده از روش مرزبندی خردسالان سود بیشتری نسبت به برشمردن ساده همه خردسالان دارد.

اجازه دهید به دنبال یافتن رتبه یک ماتریس با روش فرینگ مینورها باشیم. به طور مختصر توضیح دهید الگوریتماین روش.

اگر ماتریس A غیر صفر باشد، هر عنصری از ماتریس A را که با صفر متفاوت است را به عنوان مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. ما خردسالان مرزی آن را در نظر می گیریم. اگر همه آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر وجود داشته باشد (ترتیب آن برابر دو است)، به بررسی مینورهای مرزی آن می پردازیم. اگر همه آنها صفر باشند، رتبه (A) = 2 است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر باشد (ترتیب آن برابر با سه است)، آنگاه مینورهای حاشیه آن را در نظر می گیریم. و غیره. در نتیجه، رتبه (A) = k اگر همه مینورهای مرزی (k + 1)مین مرتبه ماتریس A برابر با صفر باشند، یا رتبه (A) = min (p, n) اگر وجود غیر از وجود داشته باشد. صفر مینور در مرز مینور از مرتبه (min(p, n) – 1) .

بیایید با استفاده از یک مثال، روش مرزبندی مینورها را برای یافتن رتبه یک ماتریس تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید به روش مینورهای مرزی

راه حل.

از آنجایی که عنصر a 1 1 از ماتریس A غیر صفر است، آن را به عنوان یک مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. بیایید شروع به جستجو برای مینور حاشیه ای به غیر از صفر کنیم:

یک مینور مرتبه دوم مرزی غیر صفر پیدا شد. اجازه دهید خردسالان مرزی آن را برشماریم (آنها چیزها):

همه مینورهای مرزی مینور مرتبه دوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس A برابر با دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

مثال.

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید با کمک خردسالان هم مرز

راه حل.

به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول، عنصر a 1 1 = 1 از ماتریس A را می گیریم. فرینگ کردن آن جزئی از مرتبه دوم برابر با صفر نیست این مینور با مینور مرتبه سوم مرزبندی شده است
. از آنجایی که برابر با صفر نیست و هیچ مینور مرزی برای آن وجود ندارد، رتبه ماتریس A برابر با سه است.

پاسخ:

رتبه (A) = 3.

یافتن رتبه با استفاده از تبدیل های ابتدایی ماتریس (به روش گاوس).

راه دیگری را برای یافتن رتبه یک ماتریس در نظر بگیرید.

تبدیل های ماتریسی زیر ابتدایی نامیده می شوند:

• جایگشت سطرها (یا ستون ها) ماتریس؛
• ضرب تمام عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس با عدد دلخواه k که با صفر متفاوت است.
• اضافه کردن عناصر مربوط به سطر (ستون) ماتریس به عناصر هر ردیف (ستون)، ضرب در عدد دلخواه k.

ماتریس B را معادل ماتریس A می نامند، اگر B از A به کمک تعداد متناهی تبدیل ابتدایی بدست آید. معادل ماتریس ها با نماد "~" نشان داده می شود، یعنی A ~ B نوشته می شود.

یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل‌های ماتریس ابتدایی بر اساس این جمله است: اگر ماتریس B از ماتریس A با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل‌های ابتدایی به دست آید، آنگاه Rank(A) = Rank(B) .

اعتبار این گزاره از ویژگی های تعیین کننده ماتریس ناشی می شود:

• هنگامی که سطرها (یا ستون‌های) یک ماتریس جایگشت می‌شوند، دترمینان آن علامت تغییر می‌کند. اگر برابر با صفر باشد، هنگام جابجایی ردیف ها (ستون ها)، برابر با صفر باقی می ماند.
• وقتی همه عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس را در یک عدد دلخواه k متفاوت از صفر ضرب می کنیم، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی ضرب در k است. اگر تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد، پس از ضرب همه عناصر هر سطر یا ستون در عدد k، تعیین کننده ماتریس حاصل نیز برابر با صفر خواهد بود.
• با افزودن عناصر یک ردیف (ستون) معین از ماتریس، عناصر مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس، ضرب در عدد معینی k، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

جوهر روش تحولات ابتداییاین است که ماتریسی را که باید رتبه آن را پیدا کنیم، به ذوزنقه (در یک مورد خاص، به مثلث بالایی) با استفاده از تبدیل های ابتدایی برسانیم.

این برای چیست؟ یافتن رتبه ماتریس هایی از این دست بسیار آسان است. برابر است با تعداد ردیف هایی که حداقل یک عنصر غیر تهی را شامل می شود. و از آنجایی که رتبه ماتریس در طول تبدیل های اولیه تغییر نمی کند، مقدار حاصل رتبه ماتریس اصلی خواهد بود.

ما تصاویری از ماتریس ها را ارائه می دهیم که یکی از آنها باید پس از تبدیل به دست آید. شکل آنها به ترتیب ماتریس بستگی دارد.

این تصاویر الگوهایی هستند که ماتریس A را به آنها تبدیل می کنیم.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش.

فرض کنید ما باید رتبه یک ماتریس غیر صفر مرتبه A را پیدا کنیم (p می تواند برابر با n باشد).

بنابراین، . بیایید تمام عناصر ردیف اول ماتریس A را در ضرب کنیم. در این حالت، ماتریس معادل به دست می آوریم، آن را با A (1) نشان می دهیم:

به عناصر ردیف دوم ماتریس حاصل A (1)، عناصر مربوط به ردیف اول را در ضرب اضافه می کنیم. به عناصر ردیف سوم، عناصر مربوط به ردیف اول را ضرب در . و به همین ترتیب تا خط p-ام. ما یک ماتریس معادل می گیریم، آن را A (2) نشان می دهیم:

اگر تمام عناصر ماتریس به دست آمده در ردیف های دوم تا p-th برابر با صفر باشد، رتبه این ماتریس برابر با یک و در نتیجه رتبه ماتریس اصلی برابر با یک است. .

اگر حداقل یک عنصر غیر صفر در ردیف های دوم تا p-th وجود داشته باشد، ما به انجام تبدیل ها ادامه می دهیم. علاوه بر این، دقیقاً به همین ترتیب عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از ماتریس A که در شکل (2) مشخص شده است.

اگر، سطرها و (یا) ستون‌های ماتریس A (2) را مجدداً مرتب می‌کنیم تا عنصر «جدید» غیر صفر شود.

هر ماتریسی آسفارش m×nرا می توان به عنوان یک مجموعه مشاهده کرد متربردارهای ردیف یا nبردارهای ستونی .

رتبهماتریس ها آسفارش m×nحداکثر تعداد بردارهای ستونی یا ردیفی مستقل خطی است.

اگر رتبه ماتریس آبرابر است r، سپس نوشته شده است:

پیدا کردن رتبه یک ماتریس

اجازه دهید آماتریس سفارش دلخواه متر× n. برای پیدا کردن رتبه یک ماتریس آروش حذف گاوسی را برای آن اعمال کنید.

توجه داشته باشید که اگر در مرحله‌ای از حذف، عنصر اصلی برابر با صفر باشد، رشته داده شده را با رشته‌ای که در آن عنصر اصلی با صفر متفاوت است، تعویض می‌کنیم. اگر معلوم شد که چنین ردیفی وجود ندارد، به ستون بعدی می رویم و به همین ترتیب.

پس از حرکت رو به جلو حذف گاوسی، ماتریسی به دست می آوریم که عناصر آن در زیر قطر اصلی برابر با صفر است. علاوه بر این، ممکن است بردارهای ردیف تهی وجود داشته باشد.

تعداد بردارهای ردیف غیر صفر رتبه ماتریس خواهد بود آ.

بیایید با مثال های ساده به همه اینها نگاه کنیم.

مثال 1

با ضرب ردیف اول در 4 و جمع کردن ردیف دوم و ضرب ردیف اول در 2 و جمع کردن ردیف سوم به این نتیجه می رسیم:

ردیف دوم را در -1 ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید:

ما دو ردیف غیر صفر گرفتیم و بنابراین، رتبه ماتریس 2 است.

مثال 2

رتبه ماتریس زیر را بیابید:

ردیف اول را در -2 ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید. به همین ترتیب، عناصر ردیف سوم و چهارم ستون اول را صفر کنید:

بیایید عناصر ردیف سوم و چهارم ستون دوم را با اضافه کردن سطرهای مربوطه به سطر دوم ضرب در عدد -1 تنظیم مجدد کنیم.

این مقاله در مورد مفهومی مانند رتبه یک ماتریس و مفاهیم اضافی لازم بحث خواهد کرد. ما مثال‌ها و شواهدی برای یافتن رتبه یک ماتریس ارائه می‌کنیم و همچنین به شما می‌گوییم که ماتریس مینور چیست و چرا اینقدر مهم است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ماتریس مینور

برای درک اینکه رتبه یک ماتریس چیست، لازم است مفهومی به عنوان ماتریس مینور را درک کنیم.

تعریف 1

جزئیکماتریس مرتبه ام - تعیین کننده یک ماتریس مربع از مرتبه k × k که از عناصر ماتریس A تشکیل شده است که در ردیف ها و ستون های k از پیش انتخاب شده قرار دارد و در عین حال موقعیت عناصر ماتریس A را حفظ می کند.

به بیان ساده، اگر (pk) سطرها و (nk) ستون‌ها را در ماتریس A حذف کنیم و از آن عناصر باقیمانده ماتریسی بسازیم و ترتیب عناصر ماتریس A را حفظ کنیم، آنگاه تعیین‌کننده ماتریس به دست آمده است. جزئی از مرتبه k ماتریس A.

از مثال برمی‌آید که مینورهای مرتبه اول ماتریس A خود عناصر ماتریس هستند.

ما می‌توانیم چندین نمونه از خرده‌های مرتبه دوم ارائه دهیم. بیایید دو سطر و دو ستون را انتخاب کنیم. به عنوان مثال، ردیف 1 و 2، ستون 3 و 4.

با این انتخاب عناصر، جزئی مرتبه دوم - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2 خواهد بود.

مینور مرتبه دوم دیگر ماتریس A 0 0 1 1 = 0 است

اجازه دهید تصاویری از ساخت مینورهای مرتبه دوم ماتریس A ارائه دهیم:

مینور مرتبه سوم با حذف ستون سوم ماتریس A به دست می آید:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

تصویری از نحوه به دست آوردن مینور مرتبه سوم ماتریس A:

برای یک ماتریس معین، هیچ فرعی بالاتر از مرتبه 3 وجود ندارد، زیرا

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3، 4) = 3

برای یک ماتریس A از مرتبه p×n چند مینور مرتبه k-ام وجود دارد؟

تعداد خردسالان با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k (p - k) ! و C nk = n ! k (n - k) ! - تعداد ترکیبات از p تا k، از n تا k، به ترتیب.

پس از اینکه ما تصمیم گرفتیم که مینورهای ماتریس A چیست، می توانیم به تعیین رتبه ماتریس A اقدام کنیم.

رتبه ماتریسی: روش های یافتن

تعریف 2

رتبه ماتریسی - بالاترین ترتیب ماتریس، به غیر از صفر.

تعیین 1

رتبه (A) Rg(A)، Rang(A).

از تعریف رتبه یک ماتریس و مینور یک ماتریس، مشخص می شود که رتبه یک ماتریس صفر برابر با صفر است و رتبه یک ماتریس غیر صفر با صفر متفاوت است.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف

تعریف 3

روش شمارش جزئی - روشی مبتنی بر تعیین رتبه یک ماتریس.

الگوریتم اقدامات با شمارش خردسالان :

لازم است رتبه ماتریس A را پیدا کنید پ× n. اگر حداقل یک عنصر غیر صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل برابر با یک است ( زیرا یک مینور مرتبه اول است که برابر با صفر نیست).

سپس شمارش خردسالان مرتبه 2 دنبال می شود. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور غیر صفر از مرتبه 2 وجود داشته باشد، باید به سراغ شمارش مینورهای مرتبه 3 بروید و رتبه ماتریس در این حالت حداقل دو خواهد بود.

بیایید همین کار را با رتبه مرتبه 3 انجام دهیم: اگر همه مینورهای ماتریس برابر با صفر باشند، آنگاه رتبه برابر با دو خواهد بود. اگر حداقل یک مینور مرتبه سوم غیر صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل سه است. و به همین ترتیب، به قیاس.

مثال 2

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 3 11 1 - 7

از آنجایی که ماتریس غیر صفر است، رتبه آن حداقل برابر با یک است.

مرتبه دوم جزئی - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 غیر صفر است. این بدان معناست که رتبه ماتریس A حداقل دو است.

ما خردسالان مرتبه 3 را مرتب می کنیم: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5! 3 (5 - 3) = 10 عدد

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

مینورهای مرتبه سوم صفر هستند، بنابراین رتبه ماتریس دو است.

پاسخ : رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش فرینگ مینورها

تعریف 3

روش فرینگ مینور - روشی که به شما امکان می دهد با کار محاسباتی کمتر به نتیجه برسید.

حاشیه های جزئی - مینور M ok (k + 1) -مین مرتبه ماتریس A، که با M جزئی مرتبه k ماتریس A هم مرز است، اگر ماتریسی که با M ok فرعی مطابقت دارد حاوی ماتریسی باشد که با مینور مطابقت دارد. م.

به بیان ساده، ماتریس مربوط به مینور حاشیه‌دار M از ماتریس مربوط به مینور حاشیه‌دار M o k با حذف عناصر یک سطر و یک ستون به دست می‌آید.

مثال 3

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

برای یافتن رتبه، مرتبه دوم مینور M = 2 - 1 4 1 را می گیریم

ما همه خردسالان مرزی را یادداشت می کنیم:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

برای اثبات روش مرزبندی جزئی‌ها، قضیه‌ای را ارائه می‌کنیم که فرمول‌بندی آن به پایه اثبات نیاز ندارد.

قضیه 1

اگر همه مینورهای مرتبه k-ام ماتریس A از مرتبه p با n برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه (k + 1) ماتریس A برابر با صفر هستند.

الگوریتم اقدام :

برای یافتن رتبه یک ماتریس، لازم نیست همه موارد جزئی را مرور کنید، فقط به مرزها نگاه کنید.

اگر مینورهای مرزی برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس صفر است. اگر حداقل یک مینور وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، ما مینورهای حاشیه را در نظر می گیریم.

اگر همه آنها صفر باشند، رتبه (A) دو است. اگر حداقل یک مینور حاشیه غیر صفر وجود داشته باشد، ما به بررسی مینورهای حاشیه آن می پردازیم. و به همین ترتیب به همین ترتیب.

مثال 4

رتبه یک ماتریس را با روش فرینگ مینورها پیدا کنید

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

چگونه تصمیم بگیریم؟

از آنجایی که عنصر a 11 ماتریس A برابر با صفر نیست، مینور مرتبه 1 را می گیریم. بیایید شروع به جستجوی مینور حاشیه ای به غیر از صفر کنیم:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

ما یک مینور حاشیه ای از مرتبه دوم پیدا کرده ایم که برابر با صفر 2 0 4 1 نیست.

بیایید مینورهای حاشیه را برشماریم - ((4 - 2) × (5 - 2) = 6 قطعه وجود دارد).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

پاسخ : رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش گاوس (با استفاده از تبدیل های ابتدایی)

به یاد بیاورید که تحولات ابتدایی چیست.

تحولات ابتدایی:

• با تنظیم مجدد ردیف ها (ستون ها) ماتریس؛
• با ضرب تمام عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد غیر صفر دلخواه k.

با افزودن به عناصر هر ردیف (ستون) عناصری که مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس است که در یک عدد دلخواه k ضرب می شوند.

تعریف 5

پیدا کردن رتبه یک ماتریس با استفاده از روش گاوس - روشی مبتنی بر نظریه هم ارزی ماتریس: اگر ماتریس B از ماتریس A با استفاده از تعداد متناهی تبدیل های ابتدایی به دست آید، آنگاه Rank(A) = Rank(B) است.

اعتبار این عبارت از تعریف ماتریس به دست می آید:

• در مورد جایگشت سطرها یا ستون های یک ماتریس، تعیین کننده آن علامت تغییر می کند. اگر برابر با صفر باشد، هنگام جابجایی سطرها یا ستون ها برابر با صفر باقی می ماند.
• در صورت ضرب همه عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد دلخواه k که برابر با صفر نیست، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی است که ضرب می شود. توسط k;

در صورت اضافه کردن عناصر یک سطر یا ستون معین از ماتریس، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر که در عدد k ضرب می شوند، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

جوهر روش تحولات ابتدایی : با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریسی را که رتبه آن پیدا می شود، به یک ذوزنقه کاهش دهید.

برای چی؟

یافتن رتبه ماتریس هایی از این دست بسیار آسان است. برابر است با تعداد ردیف هایی که حداقل یک عنصر غیر تهی دارند. و از آنجایی که رتبه در طول تبدیل های اولیه تغییر نمی کند، این رتبه ماتریس خواهد بود.

بیایید این روند را نشان دهیم:

• برای ماتریس های مستطیلی A به ترتیب p در n که تعداد سطرهای آن از تعداد ستون ها بیشتر است:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn 0 - 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0، R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 یک

• برای ماتریس های مستطیلی A به ترتیب p در n که تعداد سطرهای آن از تعداد ستون ها کمتر است:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bpn، R ank (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• برای ماتریس های مربع A به ترتیب n در n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn 0 - 1 , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0، R ank (A) = k , k< n

مثال 5

رتبه ماتریس A را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنید:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

چگونه تصمیم بگیریم؟

از آنجایی که عنصر a 11 غیر صفر است، لازم است عناصر ردیف اول ماتریس A را در 1 a 11 \u003d 1 2 ضرب کنیم:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

به عناصر ردیف 2 عناصر مربوط به ردیف 1 را اضافه می کنیم که در (-3) ضرب می شوند. به عناصر ردیف 3 عناصر ردیف 1 را اضافه می کنیم که در (-1) ضرب می شوند:

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

عنصر a 22 (2) غیر صفر است، بنابراین عناصر ردیف دوم ماتریس A را در A (2) در a 1 a 22 (2) = - 2 3 ضرب می کنیم:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• به عناصر ردیف 3 ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف 2 را اضافه می کنیم که در 3 2 ضرب می شوند.
• به عناصر ردیف 4 - عناصر ردیف 2 که در 9 2 ضرب می شوند.
• به عناصر ردیف 5 - عناصر ردیف 2 که در 3 2 ضرب می شوند.

همه عناصر ردیف صفر هستند. بنابراین، با کمک تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل ذوزنقه ای کاهش داده ایم، که از آن می توان دریافت که R a n k (A (4)) = 2 . نتیجه این است که رتبه ماتریس اصلی نیز برابر با دو است.

اظهار نظر

اگر تبدیلات اولیه را انجام دهید، مقادیر تقریبی مجاز نیستند!

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

تعریف. رتبه ماتریسیحداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی در نظر گرفته شده به عنوان بردار است.

قضیه 1 در مورد رتبه یک ماتریس. رتبه ماتریسیحداکثر ترتیب یک مینور غیر صفر یک ماتریس است.

قبلاً در درس عوامل تعیین کننده به مفهوم صغیر پرداخته ایم و اکنون آن را تعمیم می دهیم. بیایید چند سطر و چند ستون در ماتریس بگیریم، و این "چیزی" باید کمتر از تعداد سطرها و ستون های ماتریس باشد و برای سطرها و ستون ها این "چیزی" باید به همان تعداد باشد. سپس در محل تقاطع چند ردیف و چند ستون، ماتریسی با مرتبه کوچکتر از ماتریس اصلی ما وجود خواهد داشت. اگر «چیزی» (تعداد سطرها و ستون‌ها) با k نشان داده شود، تعیین‌کننده این ماتریس جزئی از مرتبه k‌ام خواهد بود.

تعریف.جزئی ( r+1)-th order، که در داخل آن مینور انتخاب شده قرار دارد rمرتبه -ام، برای مینور داده شده مرز نامیده می شود.

دو روش متداول پیدا کردن رتبه یک ماتریس. این روش حاشیه سازی خردسالانو روش تبدیل های ابتدایی(به روش گاوس).

روش مرزبندی مینورها از قضیه زیر استفاده می کند.

قضیه 2 در مورد رتبه یک ماتریس.اگر می توان از عناصر ماتریس یک مینور درست کرد rمرتبه ام که برابر با صفر نیست، رتبه ماتریس برابر است با r.

با روش تبدیل های ابتدایی از ویژگی زیر استفاده می شود:

اگر یک ماتریس ذوزنقه ای معادل ماتریس اصلی با تبدیل های ابتدایی به دست آید، رتبه این ماتریستعداد خطوط آن به جز خطوطی است که کاملاً از صفر تشکیل شده اند.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش مرزبندی مینورها

مینور مرزی، مینور درجه بالاتری نسبت به مورد داده شده است، در صورتی که این جزئی مرتبه بالاتر حاوی مینور معین باشد.

به عنوان مثال، با توجه به ماتریس

بیایید یک خرده بگیریم

لبه ها چنین خرده هایی خواهند بود:

الگوریتم برای یافتن رتبه یک ماتریسبعد.

1. ما مینورهای مرتبه دوم را می یابیم که برابر با صفر نیستند. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک خواهد بود ( r =1 ).

2. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، ما مینورهای مرتبه سوم مرزی را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است ( r =2 ).

3. اگر حداقل یکی از مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر نباشد، مینورهای حاشیه آن را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه چهارم مرزی صفر باشند، رتبه ماتریس سه است ( r =2 ).

4. تا زمانی که اندازه ماتریس اجازه می دهد ادامه دهید.

مثال 1رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

.

راه حل. جزئی از مرتبه دوم .

ما آن را قاب می کنیم. چهار خردسال مرزی وجود خواهد داشت:

,

,

بنابراین، تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه این ماتریس دو است ( r =2 ).

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 1 است، زیرا همه مینورهای مرتبه دوم این ماتریس برابر با صفر هستند (در این مورد، مانند موارد فرعی حاشیه در دو مثال بعدی، از دانش آموزان عزیز دعوت می شود تا خودشان تایید کنند، شاید با استفاده از قواعد محاسبه دترمینال ها)، و در بین مینورهای مرتبه اول، یعنی در بین عناصر ماتریس، برابر با صفر نیست.

مثال 3رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. مینور مرتبه دوم این ماتریس است و همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس صفر هستند. بنابراین، رتبه این ماتریس دو است.

مثال 4رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 3 است زیرا تنها مینور مرتبه سوم این ماتریس 3 است.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش تبدیل های ابتدایی (به روش گاوس)

قبلاً در مثال 1 می توان دید که مشکل تعیین رتبه یک ماتریس با روش مرزبندی مینورها مستلزم محاسبه تعداد زیادی از تعیین کننده ها است. با این حال، راهی برای کاهش مقدار محاسبات به حداقل وجود دارد. این روش مبتنی بر استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی است و روش گاوس نیز نامیده می شود.

تبدیل های اولیه یک ماتریس به معنای عملیات زیر است:

1) ضرب هر سطر یا هر ستون ماتریس در عددی غیر از صفر.

2) اضافه کردن عناصر هر سطر یا هر ستون ماتریس، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر، ضرب در همان عدد.

3) تعویض دو سطر یا ستون از یک ماتریس.

4) حذف ردیف های "تهی"، یعنی آنهایی که همه عناصر آنها برابر با صفر هستند.

5) حذف تمام خطوط متناسب، به جز یک.

قضیه.تبدیل ابتدایی رتبه ماتریس را تغییر نمی دهد. به عبارت دیگر، اگر از تبدیل های ابتدایی از ماتریس استفاده کنیم آبرو به ماتریس ب، سپس .

رتبه ماتریسیبزرگترین سفارش از مینورهای غیر صفر آن است. رتبه یک ماتریس با یا نشان داده می شود.

اگر همه مینورهای مرتبه یک ماتریس معین صفر باشند، آنگاه همه فرعی های مرتبه بالاتر این ماتریس نیز صفر هستند. این از تعریف تعیین کننده به دست می آید. این به معنای الگوریتمی برای یافتن رتبه یک ماتریس است.

اگر همه مینورهای مرتبه اول (عناصر ماتریس) برابر با صفر باشند، آنگاه . اگر حداقل یکی از مینورهای مرتبه اول با صفر متفاوت باشد و همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، آنگاه . علاوه بر این، کافی است فقط آن دسته از موارد فرعی مرتبه دوم را بررسی کنیم که با مینور غیر صفر مرتبه اول همسایه هستند. اگر مینور مرتبه دومی غیر از صفر وجود داشته باشد، یکی مینورهای مرتبه سوم را که مینور مرتبه دوم غیر صفر را احاطه کرده اند، بررسی می کند. این کار تا رسیدن به یکی از این دو مورد ادامه می‌یابد: یا تمام مینورهای مرتبه‌ای که با مینور غیرصفر مرتبه -محور هستند برابر با صفر هستند یا چنین مینورهایی وجود ندارند. سپس .

مثال 10 رتبه ماتریس را محاسبه کنید.

مینور مرتبه اول (عنصر ) با صفر متفاوت است. جزئی که آن را احاطه کرده نیز غیر صفر است.

همه این مینورها برابر با صفر هستند، بنابراین .

الگوریتم بالا برای یافتن رتبه یک ماتریس همیشه راحت نیست، زیرا شامل محاسبه تعداد زیادی از عوامل تعیین کننده است. هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، استفاده از تبدیل های ابتدایی راحت تر است، که با کمک آنها ماتریس به شکل ساده ای کاهش می یابد که مشخص است رتبه آن چیست.

تبدیلات ماتریس ابتداییتبدیل های زیر نامیده می شود:

Ø ضرب هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد غیر صفر.

Ø اضافه کردن به یک ردیف (ستون) یک ردیف دیگر (ستون)، ضرب در یک عدد دلخواه.

نصف جردنتبدیل ردیف ماتریس:

با یک عنصر حل، مجموعه تبدیل های زیر با ردیف های ماتریسی نامیده می شود:

Ø اضافه کردن u ضرب در یک عدد به سطر اول و غیره.

Ø u ضربدر عدد را به سطر آخر اضافه کنید.

تبدیل نیمه اردن ستون های ماتریسبا یک عنصر حل، مجموعه ای از تبدیل های زیر با ستون های ماتریسی نامیده می شود:

Ø به ستون اول th، ضرب در یک عدد و غیره را اضافه کنید.

Ø به آخرین ستون th را در عدد ضرب کنید.

پس از انجام این تبدیل ها، ماتریس حاصل به صورت زیر است:

تبدیل نیمه اردن سطرها یا ستون های یک ماتریس مربع، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

تبدیل های اولیه یک ماتریس رتبه آن را تغییر نمی دهد. بیایید مثالی را نشان دهیم که چگونه رتبه یک ماتریس را با استفاده از تبدیل های ابتدایی محاسبه کنیم. سطرها (ستون ها) به صورت خطی وابسته هستند.