قضیه فیثاغورث: پیشینه، شواهد، نمونه هایی از کاربرد عملی. راه های مختلف برای اثبات قضیه فیثاغورث: مثال ها، توضیحات و بررسی قضیه فیثاغورث که می دانید

روش های مختلف برای اثبات قضیه فیثاغورث

دانش آموز 9 کلاس "الف".

مدرسه راهنمایی شماره 8 تفاهم نامه

مشاور علمی:

معلم ریاضی،

مدرسه راهنمایی شماره 8 تفاهم نامه

هنر کریسمس جدید

قلمرو کراسنودار

هنر کریسمس جدید

حاشیه نویسی.

قضیه فیثاغورث به درستی مهمترین در درس هندسه در نظر گرفته می شود و سزاوار توجه دقیق است. پایه ای برای حل بسیاری از مسائل هندسی، مبنایی برای مطالعه دوره نظری و عملی هندسه در آینده است. این قضیه با غنی ترین مطالب تاریخی مربوط به ظاهر و روش های اثبات آن احاطه شده است. مطالعه تاریخچه توسعه هندسه عشق به این موضوع را القا می کند، به رشد علاقه شناختی، فرهنگ عمومی و خلاقیت کمک می کند و همچنین مهارت های تحقیق را توسعه می دهد.

در نتیجه فعالیت جستجو، هدف کار به دست آمد که دوباره پر کردن و تعمیم دانش در اثبات قضیه فیثاغورث است. می‌توان راه‌های مختلف اثبات و تعمیق دانش در مورد موضوع را پیدا کرد و در نظر گرفت، فراتر از صفحات کتاب درسی مدرسه.

مطالب جمع آوری شده حتی بیشتر متقاعد می کند که قضیه فیثاغورث قضیه بزرگ هندسه است و از نظر نظری و عملی اهمیت زیادی دارد.

معرفی. پیشینه تاریخی 5 بدنه اصلی 8

3. نتیجه گیری 19

4. ادبیات استفاده شده 20
1. معرفی. مرجع تاریخی.

جوهر حقیقت این است که برای همیشه برای ماست،

وقتی حداقل یک بار در بینش او نور را می بینیم،

و قضیه فیثاغورث بعد از سالها

برای ما، همانطور که برای او، غیرقابل انکار، بی عیب و نقص است.

برای جشن گرفتن، فیثاغورث به خدایان نذر کرد:

برای دست زدن به خرد بی نهایت،

او به لطف گاوهای ابدی صد گاو را ذبح کرد.

بعد از آن قربانی را حمد و دعا کرد.

از آن زمان، گاو نر، وقتی بو می دهد، هل می دهد،

آنچه مردم را دوباره به حقیقت جدید سوق می دهد،

آنها با عصبانیت غرش می کنند، بنابراین ادراری برای گوش دادن وجود ندارد،

چنین فیثاغورثی برای همیشه وحشت را در آنها القا کرد.

گاو نر، ناتوان در برابر حقیقت جدید،

چه چیزی باقی می ماند؟ - فقط چشمانت را ببند، غرش کن، بلرز.

معلوم نیست فیثاغورث چگونه قضیه خود را اثبات کرد. آنچه مسلم است این است که تحت تأثیر شدید علم مصر آن را کشف کرده است. یک مورد خاص از قضیه فیثاغورث - خواص مثلث با ضلع های 3، 4 و 5 - مدت ها قبل از تولد فیثاغورث برای سازندگان اهرام شناخته شده بود، در حالی که خود او بیش از 20 سال با کشیشان مصری تحصیل کرد. افسانه ای وجود دارد که می گوید فیثاغورث پس از اثبات قضیه معروف خود، یک گاو نر را برای خدایان قربانی کرد و طبق منابع دیگر حتی 100 گاو نر. با این حال، این با اطلاعات مربوط به دیدگاه های اخلاقی و مذهبی فیثاغورث در تضاد است. در منابع ادبی می توان خواند که او «حتی کشتن حیوانات و حتی بیشتر از آن غذا دادن به آنها را حرام کرده است، زیرا حیوانات مانند ما روح دارند». فیثاغورث فقط عسل، نان، سبزیجات و گاهی ماهی می خورد. در ارتباط با همه اینها، مدخل زیر را می توان معقولتر دانست: «... و حتی وقتی کشف کرد که در مثلث قائم الزاویه هیپوتنوس با پاها مطابقت دارد، گاو نر ساخته شده از خمیر گندم را قربانی کرد».

محبوبیت قضیه فیثاغورث به حدی است که شواهد آن را حتی در داستان های تخیلی می توان یافت، مثلاً در داستان نویسنده مشهور انگلیسی هاکسلی «ارشمیدس جوان». همان اثبات، اما برای مورد خاص مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، در گفت و گوی افلاطون به نام منو آورده شده است.

خانه افسانه ای.

«دور، دور، جایی که حتی هواپیماها هم پرواز نمی کنند، کشور هندسه است. در این کشور غیر معمول یک شهر شگفت انگیز وجود داشت - شهر Teorem. روزی دختری زیبا به نام هیپوتنوز به این شهر آمد. او سعی کرد یک اتاق بگیرد، اما هر جا درخواست داد، همه جا رد شد. بالاخره به خانه ی رکودی نزدیک شد و در زد. مردی که خود را «زاویه راست» می‌نامید، او را باز کرد و هیپوتنوس را دعوت کرد تا با او زندگی کند. هیپوتنوز در خانه ای باقی ماند که رایت آنگل و دو پسر کوچکش به نام کتت در آن زندگی می کردند. از آن زمان، زندگی در خانه زاویه راست به روشی جدید تغییر کرده است. هیپوتونوس در پنجره گل کاشت و در باغچه جلویی گل رز قرمز پخش کرد. خانه به شکل مثلث قائم الزاویه درآمد. هر دو پا از Hypotenuse بسیار خوششان می آمد و از او می خواستند که برای همیشه در خانه آنها بماند. عصرها این خانواده صمیمی سر سفره خانواده دور هم جمع می شوند. گاهی اوقات Right Angle با بچه هایش مخفی کاری می کند. اغلب او باید نگاه کند، و Hypotenuse چنان ماهرانه پنهان می شود که پیدا کردن آن می تواند بسیار دشوار باشد. یک بار در طول یک بازی، Right Angle متوجه یک ویژگی جالب شد: اگر او موفق شد پاها را پیدا کند، پس پیدا کردن Hypotenuse دشوار نیست. بنابراین Right Angle از این الگو استفاده می کند، باید بگویم که بسیار موفقیت آمیز است. قضیه فیثاغورث بر اساس ویژگی این مثلث قائم الزاویه است.

(از کتاب A. Okunev "از شما برای درس متشکرم، بچه ها").

فرمول بازیگوش قضیه:

اگر یک مثلث به ما داده شود

و علاوه بر این، با زاویه راست،

که مربع هیپوتانوس است

ما همیشه می توانیم به راحتی پیدا کنیم:

ما پاها را در یک مربع می سازیم،

ما مجموع درجات را پیدا می کنیم -

و به این روش ساده

به نتیجه خواهیم رسید.

با مطالعه جبر و شروع تجزیه و تحلیل و هندسه در پایه دهم، متقاعد شدم که علاوه بر روش اثبات قضیه فیثاغورث در کلاس هشتم، راه های دیگری نیز برای اثبات آن وجود دارد. من آنها را برای بررسی شما ارائه می کنم.
2. بخش اصلی.

قضیه. مربع در مثلث قائم الزاویه

هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

1 راه.

با استفاده از ویژگی‌های مساحت چندضلعی‌ها، رابطه قابل‌توجهی بین هیپوتنوس و پایه‌های یک مثلث قائم‌الزاویه برقرار می‌کنیم.

اثبات

الف، درو هیپوتانوز با(شکل 1، الف).

این را ثابت کنیم c²=a²+b².

اثبات

مثلث را به شکل مربع با ضلع کامل می کنیم a + bهمانطور که در شکل نشان داده شده است. 1b. مساحت S این مربع (a + b)² است. از سوی دیگر، این مربع از چهار مثلث قائم الزاویه مساوی تشکیل شده است که مساحت هر یک از آنها ½ است. av، و یک مربع با یک ضلع با،بنابراین S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

بدین ترتیب،

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

قضیه ثابت شده است.
2 راه.

پس از مطالعه مبحث "مثلث های مشابه"، متوجه شدم که می توانید شباهت مثلث ها را در اثبات قضیه فیثاغورث اعمال کنید. یعنی، من از این جمله استفاده کردم که ساق مثلث قائم الزاویه، میانگین تناسب برای هیپوتنوز و پاره ی هیپوتانوس محصور بین ساق و ارتفاع رسم شده از راس زاویه قائمه است.

یک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائم C را در نظر بگیرید، CD ارتفاع است (شکل 2). این را ثابت کنیم AC² + جنوب غربی² = AB² .

اثبات

بر اساس بیانیه در مورد ساق مثلث قائم الزاویه:

AC = , CB = .

مساوات حاصل را مربع می کنیم و اضافه می کنیم:

AC² = AB * AD، CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB)، که در آن AD + DB = AB، سپس

AC² + CB² = AB * AB،

AC² + CB² = AB².

اثبات کامل است.
3 راه.

تعریف کسینوس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه را می توان برای اثبات قضیه فیثاغورث به کار برد. شکل را در نظر بگیرید. 3.

اثبات:

فرض کنید ABC یک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائم C باشد. از راس زاویه راست C یک CD ارتفاع رسم کنید.

با تعریف کسینوس یک زاویه:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. بنابراین AB * AD = AC²

به همین ترتیب،

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

بنابراین AB * BD \u003d BC².

با اضافه کردن تساوی های حاصل به صورت ترم و مشاهده اینکه AD + DВ = AB، به دست می آید:

AC² + خورشید² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

اثبات کامل است.
4 راه.

با مطالعه مبحث "نسبت های بین اضلاع و زوایای مثلث قائم الزاویه"، فکر می کنم قضیه فیثاغورث را می توان به طریق دیگری نیز اثبات کرد.

یک مثلث قائم الزاویه با پاها را در نظر بگیرید الف، درو هیپوتانوز با. (شکل 4).

این را ثابت کنیم c²=a²+b².

اثبات

گناه B= a/c ; cos B=مانند , سپس، با مجذور برابری های حاصل، به دست می آوریم:

گناه² B= in²/s²؛ cos² که در\u003d a² / s².

با جمع کردن آنها، دریافت می کنیم:

گناه² که در+ cos² B= v² / s² + a² / s²، جایی که sin² که در+ cos² B=1،

1 \u003d (v² + a²) / s²، بنابراین،

c² = a² + b².

اثبات کامل است.

5 راه.

این اثبات بر اساس برش مربع های ساخته شده بر روی پاها (شکل 5) و انباشتن قطعات به دست آمده بر روی مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس است.

6 راه.

برای اثبات روی کاتت آفتابساختمان BCD ABC(شکل 6). می دانیم که مساحت شکل های مشابه به عنوان مربع ابعاد خطی مشابه آنها به هم مرتبط است:

با کم کردن دومی از تساوی اول، به دست می‌آییم

c2 = a2 + b2.

اثبات کامل است.

7 راه.

داده شده(شکل 7):

ABS،= 90 درجه ، آفتاب= a، AC=b، AB = c.

ثابت كردن:c2 = a2 +b2.

اثبات

اجازه دهید پا ب آ.بیایید بخش را ادامه دهیم SWدر هر نقطه که درو یک مثلث بسازید bmdبه طوری که نقاط مو آدر یک طرف یک خط مستقیم دراز بکشید سی دیو علاوه بر این، B.D.=ب BDM= 90 درجه، DM= a، پس bmd= ABCدر دو طرف و زاویه بین آنها. نقاط A و ماتصال توسط بخش ها صبح.ما داریم MD سی دیو AC سی دی،به معنی مستقیم ACبه موازات یک خط مستقیم MDزیرا MD< АС, سپس مستقیم سی دیو صبحموازی نیستند از این رو، AMDC-ذوزنقه مستطیلی

در مثلث قائم الزاویه ABC و bmd 1 + 2 = 90 درجه و 3 + 4 = 90 درجه، اما از = =، سپس 3 + 2 = 90 درجه. سپس AVM= 180 درجه - 90 درجه = 90 درجه. معلوم شد که ذوزنقه AMDCبه سه مثلث قائم الزاویه غیر همپوشانی تقسیم می شود، سپس با بدیهیات مساحت

(الف+ب)(الف+ب)

با تقسیم تمام عبارات نابرابری بر ، به دست می آوریم

آb + c2 + ab = (a +ب) , 2 ab+ c2 = a2+ 2aب+ b2،

c2 = a2 + b2.

اثبات کامل است.

8 راه.

این روش بر اساس هیپوتنوز و پاهای یک مثلث قائم الزاویه است ABC.او مربع های مربوطه را می سازد و ثابت می کند که مربع ساخته شده روی هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های ساخته شده روی پاها (شکل 8).

اثبات

1) DBC= FBA= 90 درجه؛

DBC+ ABC= FBA+ abc،به معنای، FBC= DBA.

بدین ترتیب، FBC=ABD(در دو طرف و زاویه بین آنها).

2) , جایی که AL DE، از آنجایی که BD یک پایگاه مشترک است، DL-ارتفاع کلی.

3) از آنجایی که FB یک پایه است، AB- ارتفاع کل.

5) به همین ترتیب، می توان آن را ثابت کرد

6) با اضافه کردن ترم به ترم، دریافت می کنیم:

, BC2 = AB2 + AC2 . اثبات کامل است.

9 راه.

اثبات

1) اجازه دهید ABDE- مربع (شکل 9) که ضلع آن برابر با هیپوتانوز یک مثلث قائم الزاویه است ABC (AB= c، BC = a، AC =ب).

2) اجازه دهید DK قبل از میلاد مسیحو DK = خورشید،از آنجایی که 1 + 2 = 90 درجه (به عنوان زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه)، 3 + 2 = 90 درجه (به عنوان زاویه یک مربع)، AB= BD(اضلاع مربع).

به معنای، ABC= BDK(توسط هیپوتانوز و زاویه حاد).

3) اجازه دهید EL دی سی، AM EL.به راحتی می توان ثابت کرد که ABC = BDK = DEL = EAM (با پاها آو ب).سپس KS= سانتی متر= ML= LK= آ -ب

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (الف-ب)،با2 = 2ab + a2 - 2ab + b2،c2 = a2 + b2.

اثبات کامل است.

10 راه.

اثبات را می توان بر روی شکلی انجام داد که به شوخی "شلوار فیثاغورثی" نامیده می شود (شکل 10). ایده آن این است که مربع های ساخته شده روی پاها را به مثلث های مساوی تبدیل کند که با هم مربع هیپوتنوس را تشکیل می دهند.

ABCتغییر، همانطور که توسط فلش نشان داده شده است، و موقعیت را می گیرد KDN.بقیه شکل AKDCBبرابر مساحت مربع AKDC-متوازی الاضلاع است AKNB.

یک مدل متوازی الاضلاع ساخته است AKNB. متوازی الاضلاع را همانطور که در محتوای کار ترسیم شده است جابجا می کنیم. برای نشان دادن تبدیل متوازی الاضلاع به یک مثلث مساوی، در مقابل دانش آموزان یک مثلث را از روی مدل برش می دهیم و آن را به سمت پایین جابه جا می کنیم. بنابراین مساحت میدان AKDCبرابر با مساحت مستطیل است. به همین ترتیب مساحت مربع را به مساحت مستطیل تبدیل می کنیم.

بیایید یک دگرگونی برای یک مربع ساخته شده روی یک پا ایجاد کنیم آ(شکل 11، الف):

الف) مربع به متوازی الاضلاع با اندازه مساوی تبدیل می شود (شکل 11.6):

ب) متوازی الاضلاع یک چهارم دور می چرخد (شکل 12):

ج) متوازی الاضلاع به یک مستطیل هم اندازه تبدیل می شود (شکل 13): 11 راه.

اثبات:

PCL-مستقیم (شکل 14)؛

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= ب 2;

AKGB= AKLO+LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

اثبات تمام شد .

12 راه.

برنج. 15 اثبات اصلی دیگری از قضیه فیثاغورث را نشان می دهد.

اینجا: مثلث ABC با زاویه قائم C; بخش خط bfعمود بر SWو برابر با آن، بخش بودنعمود بر ABو برابر با آن، بخش آگهیعمود بر ACو برابر او نکته ها F, C,Dمتعلق به یک خط مستقیم چهار گوش ADFBو ACBEبرابر هستند زیرا ABF = ECB;مثلثها ADFو ACEبرابر هستند؛ از هر دو چهار ضلعی مساوی یک مثلث مشترک برای آنها کم می کنیم abc،ما گرفتیم

, c2 = a2 + b2.

اثبات کامل است.

13 راه.

مساحت این مثلث قائم الزاویه از یک طرف برابر است با , با یکی دیگر، ,

3. نتیجه گیری

در نتیجه فعالیت جستجو، هدف کار به دست آمد که دوباره پر کردن و تعمیم دانش در اثبات قضیه فیثاغورث است. می‌توان با فراتر رفتن از صفحات کتاب درسی، راه‌های مختلفی برای اثبات آن و تعمیق دانش در مورد موضوع پیدا کرد.

مطالبی که من گردآوری کردم حتی بیشتر متقاعد کننده است که قضیه فیثاغورث قضیه بزرگ هندسه است و از نظر نظری و عملی اهمیت زیادی دارد. در پایان می خواهم بگویم: دلیل محبوبیت قضیه فیثاغورث سه گانه زیبایی، سادگی و اهمیت است!

4. ادبیات مورد استفاده.

1. جبر سرگرم کننده. . مسکو "ناوکا"، 1978.

2. ضمیمه آموزشی و روشی هفتگی روزنامه «اول شهریور» 24/1380.

3. هندسه 7-9. و غیره.

4. هندسه 7-9. و غیره.

قضیه

در یک مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مربعات طول پاها (شکل 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

اثبات قضیه فیثاغورث

فرض کنید مثلث $A B C$ یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست $C$ باشد (شکل 2).

بیایید یک ارتفاع از راس $C$ تا فرضیه $A B$ رسم کنیم، پایه ارتفاع را $H$ نشان می دهیم.

مثلث قائم الزاویه $A C H$ شبیه مثلث $A B C$ در دو زاویه است ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$، $\angle A$ رایج است). به طور مشابه، مثلث $C B H$ مشابه $A B C$ است.

معرفی نماد

$$B C=a، A C=b، A B=c$$

از شباهت مثلث ها به این نتیجه می رسیم

$$\frac(a)(c)=\frac(HB)(a), \frac(b)(c)=\frac(AH)(b)$$

از این رو ما آن را داریم

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

با جمع برابری های به دست آمده، به دست می آوریم

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

فرمول هندسی قضیه فیثاغورث

قضیه

در یک مثلث قائم الزاویه، مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس برابر است با مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها (شکل 2):

نمونه هایی از حل مسئله

مثال

ورزش.به شما یک مثلث قائم الزاویه $A B C$ داده می شود که پاهای آن 6 سانتی متر و 8 سانتی متر است.هیپوتنوز این مثلث را پیدا کنید.

راه حل.با توجه به شرط ساق $a=6$cm، $b=8$cm سپس طبق قضیه فیثاغورث مربع فرضیه

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

از این رو ما هیپوتانوز مورد نیاز را دریافت می کنیم

$c=\sqrt(100)=10$ (سانتی متر)

پاسخ. 10 سانتی متر

مثال

ورزش.مساحت مثلث قائم الزاویه را در صورتی پیدا کنید که یکی از پایه های آن 5 سانتی متر بلندتر از دیگری است و هیپوتانوس 25 سانتی متر است.

راه حل.اجازه دهید $x$cm طول پای کوچکتر باشد، سپس $(x+5)$ cm طول پای بزرگتر است. سپس طبق قضیه فیثاغورث داریم:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

براکت ها را باز می کنیم، موارد مشابه را کاهش می دهیم و معادله درجه دوم حاصل را حل می کنیم:

$x^(2)+5 x-300=0$

با توجه به قضیه ویتا، ما آن را دریافت می کنیم

$x_(1)=15$ (سانتی متر)، $x_(2)=-20$ (سانتی متر)

مقدار $x_(2)$ شرایط مشکل را برآورده نمی کند، به این معنی که پای کوچکتر 15 سانتی متر و پای بزرگتر 20 سانتی متر است.

مساحت یک مثلث قائم الزاویه نصف حاصلضرب طول پاهای آن است، یعنی

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\راست)$$

پاسخ.$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\راست)$

مرجع تاریخی

قضیه فیثاغورس- یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی، ایجاد رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه.

کتاب چینی باستان "Zhou bi suan jing" در مورد مثلث فیثاغورثی با اضلاع 3، 4 و 5 صحبت می کند. موریتز کانتور بزرگترین مورخ آلمانی ریاضیات (1829 - 1920) معتقد است که برابری $3^(2)+4^(2) )=5^ (2) دلار قبلاً در حدود 2300 ق.م برای مصریان شناخته شده بود. به گفته این دانشمند، سازندگان سپس با استفاده از مثلث های قائم الزاویه با ضلع های 3، 4 و 5، زوایای قائمه ساختند. تا حدودی بیشتر درباره قضیه فیثاغورث در میان بابلی ها شناخته شده است. یک متن یک محاسبه تقریبی از هیپوتنوس یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را ارائه می دهد.

در حال حاضر 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالاً قضیه فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی را فقط می توان با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه توضیح داد.

قضیه فیثاغورس: مجموع مساحت مربع های حمایت شده توسط پاها ( آو ب، برابر است با مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتانوس ( ج).

فرمول هندسی:

این قضیه در ابتدا به صورت زیر فرموله شد:

فرمول جبری:

یعنی نشان دادن طول هیپوتنوز مثلث از طریق ج، و طول پاها از طریق آو ب :

آ 2 + ب 2 = ج 2

هر دو صورت‌بندی قضیه معادل هستند، اما صورت‌بندی دوم ابتدایی‌تر است، نیازی به مفهوم مساحت ندارد. یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد مساحت و تنها با اندازه گیری طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تأیید کرد.

قضیه فیثاغورث معکوس:

اثبات

البته از نظر مفهومی می توان همه آنها را به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها: اثبات با روش مساحت، اثبات بدیهی و عجیب و غریب (به عنوان مثال، با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

از طریق مثلث های مشابه

اثبات زیر برای فرمول جبری ساده ترین برهان است که مستقیماً از بدیهیات ساخته شده است. به ویژه، از مفهوم مساحت شکل استفاده نمی کند.

اجازه دهید ABCیک مثلث قائم الزاویه وجود دارد سی. بیایید یک ارتفاع را از سیو پایه آن را با نشان دهید اچ. مثلث ACHشبیه مثلث ABCدر دو گوشه به همین ترتیب، مثلث CBHمشابه ABC. معرفی نماد

ما گرفتیم

چه چیزی معادل است

اضافه کردن، دریافت می کنیم

اثبات منطقه

برهان های زیر، علیرغم سادگی ظاهری شان، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها از خواص منطقه استفاده می کنند که اثبات آن از اثبات خود قضیه فیثاغورث پیچیده تر است.

اثبات از طریق معادل سازی

چهار مثلث قائم الزاویه را مطابق شکل 1 مرتب کنید.
چهار ضلعی با اضلاع جمربع است زیرا مجموع دو زاویه تند 90 درجه و زاویه مستقیم 180 درجه است.
مساحت کل شکل از یک طرف برابر است با مساحت مربع با ضلع (a + b) و از طرف دیگر مجموع مساحت های چهار مثلث و دو مثلث داخلی است. مربع ها

Q.E.D.

شواهد از طریق معادل سازی

اثبات جایگشت زیبا

نمونه ای از یکی از این اثبات ها در نقاشی سمت راست نشان داده شده است، جایی که مربع ساخته شده بر روی هیپوتانوس با جایگشت به دو مربع ساخته شده روی پاها تبدیل می شود.

برهان اقلیدس

ترسیم برای اثبات اقلیدس

تصویری برای اثبات اقلیدس

ایده اثبات اقلیدس به این صورت است: بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که نیمی از مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها و سپس مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها. مربع بزرگ و دو مربع کوچک با هم برابرند.

نقاشی سمت چپ را در نظر بگیرید. بر روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بر روی آن مربع ساختیم و از راس زاویه قائم C عمود بر هیپوتانوس AB یک پرتو s رسم کردیم، مربع ABIK را که روی هیپوتنوز ساخته شده است به دو مستطیل - BHJI و HAKJ بریدیم. ، به ترتیب. معلوم می شود که مساحت این مستطیل ها دقیقاً برابر با مساحت مربع های ساخته شده روی پایه های مربوطه است.

بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که مساحت مربع DECA برابر است با مساحت مستطیل AHJK برای این کار از یک مشاهده کمکی استفاده می کنیم: مساحت مثلثی با ارتفاع و قاعده مشابه با داده شده. مستطیل برابر با نصف مساحت مستطیل داده شده است. این نتیجه تعریف مساحت مثلث به عنوان نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع است. از این مشاهدات نتیجه می شود که مساحت مثلث ACK برابر با مساحت مثلث AHK (نشان داده نشده) است که به نوبه خود برابر با نصف مساحت مستطیل AHJK است.

اکنون ثابت کنیم که مساحت مثلث ACK نیز برابر با نصف مساحت مربع DECA است. تنها کاری که برای این کار باید انجام شود اثبات برابری مثلث های ACK و BDA است (زیرا مساحت مثلث BDA با ویژگی فوق برابر با نصف مساحت مربع است). این تساوی آشکار است، مثلث ها در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند. یعنی - AB=AK,AD=AC - برابری زوایای CAK و BAD با روش حرکت به راحتی قابل اثبات است: بیایید مثلث CAK را 90 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخانیم، سپس واضح است که اضلاع متناظر دو مثلث مورد نظر منطبق هستند (با توجه به این واقعیت که زاویه در راس مربع 90 درجه است).

بحث در مورد تساوی مساحت های مربع BCFG و مستطیل BHJI کاملاً مشابه است.

بنابراین، ما ثابت کردیم که مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پاها است. ایده پشت این اثبات بیشتر با انیمیشن بالا نشان داده شده است.

اثبات لئوناردو داوینچی

عناصر اصلی اثبات تقارن و حرکت است.

همانطور که از تقارن، قطعه مشخص می شود، نقاشی را در نظر بگیرید سیمنمربع را تشریح می کند آباچجی به دو قسمت یکسان (از مثلث آبسیو جیاچمندر ساخت و ساز برابر هستند). با استفاده از چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت، برابری ارقام سایه دار را مشاهده می کنیم. سیآجیمن و جیDآب . اکنون واضح است که مساحت شکلی که توسط ما سایه زده شده است برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده روی پاها و مساحت مثلث اصلی. از سوی دیگر، برابر است با نصف مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوز، به اضافه مساحت مثلث اصلی. آخرین مرحله در اثبات به خواننده واگذار می شود.

اثبات با روش بینهایت کوچک

اثبات زیر با استفاده از معادلات دیفرانسیل اغلب به ریاضیدان معروف انگلیسی هاردی نسبت داده می شود که در نیمه اول قرن بیستم زندگی می کرد.

با توجه به نقاشی نشان داده شده در شکل و مشاهده تغییر ضلع آ، می توانیم رابطه زیر را برای افزایش بی نهایت کوچک بنویسیم باو آ(با استفاده از مثلث های مشابه):

اثبات با روش بینهایت کوچک

با استفاده از روش جداسازی متغیرها متوجه می شویم

یک عبارت کلی تر برای تغییر هیپوتانوس در مورد افزایش هر دو پا

با ادغام این معادله و با استفاده از شرایط اولیه به دست می آوریم

ج 2 = آ 2 + ب 2 + ثابت

بدین ترتیب به پاسخ مورد نظر می رسیم

ج 2 = آ 2 + ب 2 .

همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، وابستگی درجه دوم در فرمول نهایی به دلیل تناسب خطی بین اضلاع مثلث و افزایش ها ظاهر می شود، در حالی که مجموع به دلیل مشارکت مستقل از افزایش پایه های مختلف است.

اگر فرض کنیم که یکی از پاها افزایشی را تجربه نمی کند (در این مورد، ساق پا) می توان اثبات ساده تری به دست آورد. ب). سپس برای ثابت ادغام بدست می آوریم

تغییرات و تعمیم

اگر به جای مربع، اشکال مشابه دیگری بر روی پاها ساخته شود، تعمیم زیر از قضیه فیثاغورث درست است: در یک مثلث قائم الزاویه، مجموع مساحت های شکل های مشابه ساخته شده بر روی پاها برابر است با مساحت شکل ساخته شده بر روی هیپوتانوس.به خصوص:
- مجموع مساحت مثلث های منظم ساخته شده روی پاها برابر است با مساحت مثلث منتظم ساخته شده بر روی هیپوتنوس.
- مجموع مساحت نیم دایره های ساخته شده روی پاها (مثل قطر) برابر است با مساحت نیم دایره ساخته شده روی هیپوتنوس. از این مثال برای اثبات خصوصیات فیگورهایی استفاده می‌شود که با کمان‌های دو دایره محدود شده‌اند و نام هیپوکراتیک لونولا را دارند.

داستان

چوپی 500–200 قبل از میلاد. در سمت چپ کتیبه: مجموع مجذور طول ارتفاع و قاعده مربع طول هیپوتنوس است.

کتاب چینی باستانی چوپی از مثلث فیثاغورثی با ضلع های 3، 4 و 5 صحبت می کند: در همان کتاب، طرحی پیشنهاد شده است که با یکی از نقشه های هندسه هندو باخارا مطابقت دارد.

کانتور (بزرگترین مورخ آلمانی ریاضیات) معتقد است که برابری 3 ² + 4 ² = 5² قبلاً در حدود 2300 قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. ه.، در زمان پادشاه آمنه هت اول (طبق پاپیروس 6619 موزه برلین). به گفته کانتور، هارپدوناپت‌ها یا «طناب‌ها» با استفاده از مثلث‌های قائم‌الزاویه با ضلع‌های ۳، ۴ و ۵، زوایای قائمه می‌ساختند.

بازتولید روش ساخت آنها بسیار آسان است. یک طناب به طول 12 متر بردارید و در امتداد یک نوار رنگی به فاصله 3 متر به آن ببندید. از یک سر و 4 متر از سر دیگر. یک زاویه قائم بین اضلاع به طول 3 و 4 متر محصور خواهد شد. ممکن است به هارپدوناپت‌ها اعتراض شود که اگر کسی مثلاً از مربع چوبی استفاده شده توسط همه نجاران استفاده کند، روش ساختن آنها زائد می‌شود. در واقع، نقشه های مصری شناخته شده است که در آنها چنین ابزاری یافت می شود، به عنوان مثال، نقاشی هایی که یک کارگاه نجاری را به تصویر می کشند.

در مورد قضیه فیثاغورث در میان بابلی ها تا حدودی بیشتر شناخته شده است. در یک متن مربوط به زمان حمورابی، یعنی به 2000 ق.م. e.، یک محاسبه تقریبی از هیپوتنوز یک مثلث قائم الزاویه داده شده است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که در بین النهرین حداقل در مواردی قادر به انجام محاسبات با مثلث های قائم الزاویه بودند. Van der Waerden (ریاضیدان هلندی) بر اساس از یک سو، بر اساس سطح دانش فعلی ریاضیات مصر و بابل، و از سوی دیگر، بر اساس مطالعه انتقادی منابع یونانی، به این نتیجه رسید:

ادبیات

در روسی

Skopets Z. A.مینیاتورهای هندسی. م.، 1990
یلنسکی ش.پیروی از راه فیثاغورث. م.، 1961
ون در واردن بی.ال.علم بیداری. ریاضیات مصر باستان، بابل و یونان. م.، 1959
گلیزر جی.آی.تاریخچه ریاضیات در مدرسه م.، 1982
W. Litzman، "قضیه فیثاغورث" M.، 1960.
- سایتی در مورد قضیه فیثاغورث با تعداد زیادی اثبات، مطالب از کتاب W. Litzman گرفته شده است، تعداد زیادی نقاشی به صورت فایل های گرافیکی جداگانه ارائه شده است.
قضیه فیثاغورث و فصل سه گانه فیثاغورث از کتاب D. V. Anosov "نگاهی به ریاضیات و چیزی از آن"
در مورد قضیه فیثاغورث و روش های اثبات آن G. Glaser، آکادمی آکادمی آموزش روسیه، مسکو

به انگلیسی

قضیه فیثاغورث در WolframMathWorld
Cut-The-Knot، بخش مربوط به قضیه فیثاغورث، حدود 70 اثبات و اطلاعات اضافی گسترده (eng.)

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

قضیه فیثاغورث می گوید:

در مثلث قائم الزاویه، مجموع مربع های پاها برابر است با مجذور هیپوتانوس:

a 2 + b 2 = c 2,

آو ب- پاها که زاویه راست تشکیل می دهند.
باهیپوتنوز مثلث است.

فرمول های قضیه فیثاغورث

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

اثبات قضیه فیثاغورث

مساحت مثلث قائم الزاویه با فرمول محاسبه می شود:

S = \frac(1)(2)ab

برای محاسبه مساحت یک مثلث دلخواه، فرمول مساحت به صورت زیر است:

پ- نیمه محیطی p=\frac(1)(2)(a+b+c)،
rشعاع دایره محاطی است. برای یک مستطیل r=\frac(1)(2)(a+b-c).

سپس ضلع راست هر دو فرمول را برای مساحت یک مثلث برابر می کنیم:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \راست)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

قضیه فیثاغورث معکوس:

اگر مربع یک ضلع مثلث با مجموع مربع های دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث یک مثلث قائم الزاویه است. یعنی برای هر سه عدد از اعداد مثبت الف، بو ج، به طوری که

a 2 + b 2 = c 2,

یک مثلث قائم الزاویه با پاها وجود دارد آو بو هیپوتانوز ج.

قضیه فیثاغورس- یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی، ایجاد رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه. توسط دانشمند ریاضیدان و فیلسوف فیثاغورث ثابت شد.

معنای قضیهبه این صورت که می توان از آن برای اثبات قضایای دیگر و حل مسائل استفاده کرد.

مواد اضافی:

با این حال ، این نام به افتخار دانشمند فقط به این دلیل دریافت می شود که او اولین و حتی تنها کسی است که توانست قضیه را اثبات کند.

مورخ آلمانی ریاضیات کانتور ادعا کرد که این قضیه قبلاً در حدود 2300 سال قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. ه. او معتقد بود که زوایای قائمه به لطف مثلث های قائم الزاویه با ضلع های 3، 4 و 5 ساخته می شد.

دانشمند مشهور کپلر گفت که هندسه گنجینه ای غیرقابل جایگزین دارد - این قضیه فیثاغورث است که به لطف آن می توان بیشتر قضایا را در هندسه استخراج کرد.

پیش از این، قضیه فیثاغورث "قضیه عروس" یا "قضیه پوره" نامیده می شد. و نکته این است که نقاشی او بسیار شبیه به یک پروانه یا یک پوره بود. اعراب وقتی متن قضیه را ترجمه کردند به این نتیجه رسیدند که حوری به معنای عروس است. به این ترتیب نام جالب قضیه ظاهر شد.

قضیه فیثاغورث، فرمول

قضیه

- در یک مثلث قائم الزاویه، مجموع مربع های پایه () برابر است با مربع هیپوتانوس (). این یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی است.

فرمول:

همانطور که قبلاً ذکر شد، اثبات های مختلف زیادی برای این قضیه با رویکردهای ریاضی همه کاره وجود دارد. با این حال، قضایای مساحت بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

بر روی مثلث مربع بسازید ( آبی, سبز, قرمز)

یعنی مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پاها برابر است با مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس. بر این اساس، مساحت این مربع ها برابر است -. این توضیح هندسی فیثاغورث است.

اثبات قضیه به روش مساحت: 1 راه

بیایید آن را ثابت کنیم.

مثلث یکسانی را با پاهای a، b و هیپوتانوس c در نظر بگیرید.

مثلث قائمه را به صورت مربع کامل می کنیم. از پای "الف" خط را تا فاصله پای "ب" (خط قرمز) ادامه می دهیم.
بعد، خط پای جدید "a" را به سمت راست می کشیم (خط سبز).
دو پایه را با هیپوتانوس "c" به هم وصل می کنیم.

به نظر می رسد همان مثلث، فقط معکوس.

به همین ترتیب از طرف دیگر می سازیم: از پای "الف" خط پای "ب" و پایین "الف" و "ب" را می کشیم و از پایین پایه "ب" خط را می کشیم. پای "a". در مرکز هر پا، یک هیپوتانوس "c" رسم شد. بنابراین هیپوتنوس ها یک مربع در مرکز تشکیل دادند.

این مربع از 4 مثلث یکسان تشکیل شده است. و مساحت هر مثلث قائم الزاویه = نصف حاصلضرب پاهای آن است. به ترتیب، . و مساحت مربع در مرکز = ، زیرا هر 4 هیپوتنوس دارای اضلاع هستند. اضلاع یک چهار ضلعی مساوی و زوایای آن قائم است. چگونه می توانیم ثابت کنیم که زاویه ها درست هستند؟ بسیار ساده. بیایید همان مربع را در نظر بگیریم:

می دانیم که دو زاویه نشان داده شده در شکل 90 درجه هستند. از آنجایی که مثلث ها مساوی هستند، زاویه پایه بعدی "b" برابر با پایه قبلی "b" است:

مجموع این دو زاویه = 90 درجه. بر این اساس زاویه قبلی نیز 90 درجه است. البته در طرف مقابل هم همینطور است. بر این اساس، ما واقعاً یک مربع با زوایای قائمه داریم.

از آنجایی که زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه در مجموع 90 درجه است، زاویه چهارضلعی نیز 90 درجه خواهد بود، زیرا در مجموع 3 زاویه = 180 درجه است.

بر این اساس، مساحت یک مربع شامل چهار ناحیه مثلث قائم الزاویه یکسان و مساحت مربع است که توسط هیپوتنوس ها تشکیل می شود.

بنابراین، ما یک مربع با ضلع به دست آوردیم. می دانیم که مساحت مربع با ضلع، مربع ضلع آن است. به این معنا که . این مربع از چهار مثلث یکسان تشکیل شده است.

و این بدان معناست که ما قضیه فیثاغورث را ثابت کرده ایم.

مهم!!!اگر هیپوتانوس را پیدا کنیم، دو پایه اضافه می کنیم و سپس پاسخ را از ریشه می گیریم. هنگام پیدا کردن یکی از پایه ها: از مربع طول پایه دوم، مربع طول هیپوتانوس را کم کنید و ریشه دوم را پیدا کنید.