Parametarska jednadžba ravnine koja prolazi kroz točku. Ravnina i izravna u prostoru: opća i parametarska ravninska jednadžba

– opća jednadžba Zrakoplova u prostoru

Normalan ravni vektor

Normalni ravnini vektor naziva se nefreksni vektor, ortogonalan za svaki vektor koji leži u ravnini.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz spin standardnog normalnog vektora

- jednadžba ravnine koja prolazi kroz točku M0 s danim vektorom normalnog

Vodič ravnina vektora

Dva nekenarna vektor, paralelne ravnine, nazovimo vodič vektore aviona

Parametarske jednadžbe ravnine

- parametarska jednadžba ravnine vektora

- parametarska jednadžba ravnine u koordinatama

Jednadžba ravnine kroz određenu točku i dva vektora vodiča

-Fiksna točka

- Samo pokažite lol.

- dovršiti, što znači da je njihov mješoviti rad 0.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane vrijednosti

- jednadžba ravnine kroz tri točke

Jednadžba ravnine u segmentima

- jednadžba ravnine u segmentima

Dokaz

Za dokaze koristimo da naš avion prolazi kroz A, B, C i normalan vektor

Zamijenite koordinate točke i vectorna jednadžbe ravnine s normalnim vektorom

Mi ćemo sve podijeliti na i dobiti

Tako to ide.

Normalna jednadžba ravnina

- kut između normalnog vektora do ravnine s pogledom na O.

- Kut između normalnog vektora do ravnine koji dolazi iz O.

- udaljenost od početka koordinata do aviona.

Dokaz ili neka vrsta huff

Znak je nasuprot D.

Slično ostatku kosine. Kraj.

Udaljenost od točke do aviona

Točka s, avion

- orijentirana udaljenost od ravnine

Ako, tsi oh leži na različitim stranama aviona

Ako, tosi leže jedan način

Pomnožite.

Uzajamno mjesto dva izravna u prostoru

Kut između ravnina

Kada se formiraju raskrižje, dva para vertikalnih kutova s \u200b\u200bdva čovjeka, najmanji se naziva kut između zrakoplova.

Izravno u prostoru

Izravno u prostoru može se postaviti kao

Sjecište dvaju ravnina:

Parametrične jednadžbe su izravne

- parametarska jednadžba izravna u vektorskom obliku

- parametarska jednadžba izravna u koordinatama

Kanonska jednadžba

- Canonical jednadžba izravno.

Jednadžba izravnog prolaska kroz dvije zadane vrijednosti

- kanonska jednadžba izravna u vektorskom obliku;

Uzajamno mjesto dva izravna u prostoru

Uzajamno mjesto ravnog i ravnina u prostoru

Kut između ravnog i ravnina

Udaljenost od točke do izravnog u prostoru

vektor za vođenje u našem ravnoj.

- proizvoljna točka koja pripada ovom izravnom

- Pokažite na koju tražimo udaljenost.

Udaljenost između dva cross-country ravno

Udaljenost između dvije paralelne ravno

M1 - točka koja pripada prvom izravnom

M2 - točka koja pripada drugom izravnom

Krivulje i površine drugog reda

Elipsa se zove mnoge točke ravnine, količinu udaljenosti od kojih do dvije navedene točke (fokus) je vrijednost konstantne.

Jednadžba kanonske elipse

Zamijeniti

Podijelimo

Svojstva elipsa

Prelazak s osi koordinata

Simetrija u odnosu na

Počinje koordinate

Elipse je krivulja koja leži u ograničenom dijelu aviona

Elipsa se može dobiti iz kruga rastezanjem ili kompresijom.

Parametarska elipsa jednadžba:

- ravnateljica

Hiperbola

Hiperbola se naziva mnogo točaka ravnine za koje je modul razlika u udaljenosti na 2x određene točke (fokus) trajna (2A)

Učinite istu stvar kao i s elipsom

Zamijenimo

Delima

Svojstva hiperbola

;

- ravnateljica

Asimptota

Asimptotta je ravna, na koju se krivulja približava, uklanja u beskonačnost.

Parabola

Svojstva paraboota

Odnos elipse, hiperbole i parabole.

Odnos između tih krivulja ima algebarsko objašnjenje: svi su dali jednadžbama drugog stupnja. U svakom koordinatnom sustavu, jednadžba ovih krivulja ima oblik: AX 2 + BXY + Cy2 + DX + EC + F \u003d 0, gdje A, B, C, D, E, F - brojevi

Pretvoriti pravokutne kartezijske koordinatne sustave

Paralelni prijenos koordinatnog sustava

-O 'u starom koordinatnom sustavu

- organizira točke u starom koordinatnom sustavu

-Carmets ukazuje na novi koordinatni sustav

Koordinate točke u novom koordinatnom sustavu.

Rotirajte u pravokutnom kartuzijskom koordinatnom sustavu

- Novi koordinatni sustav

Matrica prijelaza s stare osnove do novog

- (ispod prvog stupca I.’ , ispod drugog - j.’ ) Osnovna prijelazna matrica I.,j.bazirati I.’ ,j.’

Općenito

1 opcija

Rotirajte koordinatni sustav

Opcija 2

Rotirajte koordinatni sustav
Paralelni prijenos podrijetla koordinata

Opća jednadžba linija drugog reda i njegovog privrženosti kanoničkom

– opći oblik Jednadžbe krivulje drugog reda

Klasifikacija krivulja drugog reda

Elipsoid

Dijelovi elipsoida

- Elipsa

Elipsoidi rotacije

Elipsoidi rotacije su ili spljošteni ili izduženi sferoidi, ovisno o tome što rotiraju.

Hiperboloid s jednim očima

Dijelovi jednog benda hiperboloida

- Hyperbole s važećom osi

- hiperbola s važećom osi oh

Ispada elipsu s bilo kojim h. Tako to ide.

Jednokratni hiperbojois rotacije

Hiperboloida rotacijskog rotacije može se dobiti rotirajućim hiperbolema oko svoje imaginarne osi.

Veliki hiperboloid

Dijelovi biphastičnog hiperboloida

- Hiperbola s djelovanjem. Axoz.

- Hyperbole s važećom osi

Konus

- Par presijeca izravno

Eliptični paraboloid

- parabola

Rotacija

Ako je eliptički paraboloid površina rotacije formirana rotacijom parabole oko njegove osi simetrije.

Hiperbolički paraboloid

Parabola

- parabola

h\u003e 0 hiperbola s valjanom osi paralelno oh

h.<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Pod cilindar, shvatit ćemo površinu koja će se dobiti prilikom kretanja izravno u prostoru koji ne mijenja svoj smjer, ako se izravni potezi u odnosu na Oz, jednadžba cilindra je poprečni presjek planeksoy.

Eliptični cilindar

Hiperbolički cilindar

Parabolični cilindar

Ravno formiranje površina drugog reda

Ravno, potpuno laganje na površini, nazivaju se ravna površinska površina.

Površina rotacije

Zajebavati te

Prikaz

Prikazpozivamo pravilo na koji svaki element postavljenog A je postavljen u skladu s jednim ili više elemenata skupa. Ako je svatko postavljen jedinim elementom postavljenog, tada se zove mapiranje shvatljivInače multivalni.

Konverzijasetovi se nazivaju međusobno valjani prikaz skupa na sebi

Injekcija

Ubrizgavanje ili međusobno nedvosmisleno mapiranje seta i postavljenog u

(različiti elementi odgovaraju različitim elementima b) na primjer y \u003d x ^ 2

Obezbjebljiv

Proviranje ili mapiranje postavljenih i mnogih u

Za svaku od njih postoji barem jedan (na primjer sinus)

Svaki element skupa B odgovara samo jednom elementu skupa A. (na primjer Y \u003d X)

Jedan od podstavaku na temu "jednadžba izravna na ravnini" je pitanje priprave parametarskih jednadžbi izravno na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu. Sljedeće opisuje načelo sastavljanja takvih jednadžbi s određenim poznatim podacima. Prikazujemo se, kao i iz parametarskih jednadžbi da biste se prešli na jednadžbe različite vrste; Mi ćemo analizirati rješenje tipičnih zadataka.

Specifični izravni može se definirati ako odredite točku koja pripada ovoj ravnoj liniji i izravnom vektoru izravno.

Pretpostavimo da nam daje pravokutni koordinatni sustav o X Y. I također navedite izravno i ukazuju na točke koje leže na njoj M 1 (x 1, Y 1) i vođenje vektora navedenog izravnog → \u003d (X, a y) . Dajemo opis navedenog izravnog korištenja jednadžbi.

Koristimo proizvoljnu točku m (x, y) i dobijete vektor M 1 m →; Izračunavam njegove koordinate koordinatama o točkama načela i kraj: m 1 m → \u003d (X - x 1, y - y 1). Opisujemo dobiveni: izravno određuje više točaka M (x, y), prolazi kroz točke M 1 (x 1, y 1) i ima vodilicu vektor → \u003d (X, a y) . Navedeni set navodi izravno samo kada vektori M 1 M → \u003d (X - X1, Y - Y 1) i → \u003d (X, a y) su kolinear.

Postoji nužan i dovoljan uvjet za kolineearnost vektora, koji u ovom slučaju za vektore M 1 M → \u003d (X - X1, Y - Y 1) i → \u003d (AX, AY) mogu se napisati u obliku jednadžbe:

M 1 M → \u003d λ · A →, gdje je λ neki važeći broj.

Definicija 1.

Jednadžba m 1 m → \u003d λ · A → naziva se jednadžba vektor parametra na ravno.

U koordinatnom obliku ima oblik:

M 1 M → \u003d λ · → → x - x 1 \u003d λ · a x y - y 1 \u003d λ λ · a y ⇔ x \u003d x 1 + a x λ λ y \u003d y 1 + a y λ λ λ λ λ λ λ

Jednadžbe dobivenog sustava X \u003d X 1 + A X · λ Y Y 1 + A Y su naziv parametara jednadžbi izravno u ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu. Bit ime je kako slijedi: koordinate svih točaka su izravna moguće utvrditi parametarskih jednadžbi na ravninu obliku x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + Ay · À kada postoje druge vrijednosti Parametra λ

Prema gore navedenim, parametarske jednadžbe su ravno na ravninu X \u003d X 1 + AX \u200b\u200bλ \u003d Y 1 + A · ·, oni definiraju ravnu liniju, koja se daje u pravokutnom koordinatnom sustavu, prolazi kroz točku m 1 (x 1, y 1) i ima vodilicu vektor → \u003d (X, a y) . Stoga, ako su dane koordinate neke točke izravnih i koordinata svog vektora vodiča, moguće je odmah napisati parametarske jednadžbe određenog izravnog.

Primjer 1.

Potrebno je izraditi parametarske jednadžbe izravno na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu, ako je točka m 1 (2, 3) i njegov vodič vektor → \u003d (3, 1).

Odluka

Na temelju izvornih podataka dobivamo: X 1 \u003d 2, Y 1 \u003d 3, X \u003d 3, Y \u003d 1. Parametrične jednadžbe će pogledati:

x \u003d 1 x + a x · y λ \u003d y 1 + · y λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + 1 · λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + λ

Ilustrirati:

Odgovor: x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + λ

Treba napomenuti: ako vektor a → \u003d (X, a y) služi izravnu vodičem vektor i točke M 1 (x 1, y 1) i m 2 (x 2, y 2) pripadaju ovoj ravno, moguće je da se utvrditi određivanjem pomoću parametarske jednadžbe oblika: x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + ay · λ, kao u ovoj opciji: x \u003d x 2 + ax · À y \u003d y 2 + ay À.

Na primjer, mi dajemo vektor vodiča → \u003d (2, - 1), kao i točke M 1 (1, - 2) i m2 (3, - 3) koji pripadaju ovoj ravnoj liniji. Zatim su parametrične jednadžbe izravno definirane: X \u003d 1 + 2 · λ y \u003d - 2 - λ ili x \u003d 3 + 2 · λ y \u003d - 3 - λ.

Trebate obratiti pozornost na ovu činjenicu: ako → \u003d (X, a y) - izravno vektor vodiča, a zatim svoj vodič vektor i bilo koji od vektora μ · a → \u003d (· a X, μ · a Y), gdje ε ε r, μ ≠ 0.

Tako, ravno i na ravnini u pravokutni koordinatni sustav se može odrediti parametarskih jednadžbi: x \u003d x 1 + μ · a x · λ y \u003d y 1 + μ · y · λ s bilo koju vrijednost od n, različit od nule.

Pretpostavimo da je ravno a postavljen parametarskim jednadžbama x \u003d 3 + 2 · λ y \u003d - 2 - 5 · λ. Zatim → \u003d (2, - 5) - vektor izravan izravan. Te bilo koji od vektora | i · A → \u003d (μ · 2 μ · 5) \u003d 2 p, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 će postati vodilica vektor za navedeno izravno. Za jasnoću, smatramo određeni vektor - 2 · → \u003d (- 4, 10), odgovara μ \u003d - 2. U tom slučaju, navedeni izravni može se odrediti i parametarskim jednadžbama x \u003d 3 - 4 · λ y \u003d - 2 + 10 λ λ.

Prijelaz iz parametarskih jednadžbi izravno je izravno na ravninu na druge jednadžbe navedene izravne i leđa

U rješavanju nekih problema, korištenje parametarskih jednadžbi nije najoptimalniji izbor, onda postoji potreba za prevođenje parametarske jednadžbe pravca u jednadžbi izravnih druge vrste. Razmislite o tome kako to učiniti.

Parametarske jednadžbe izravnog oblika x \u003d 1 x + a x · y \u003d λ y 1 + · y λ će odgovarati kanonskog jednadžbe izravno na ravninu x - 1 a x \u003d y - x y 1 y.

Dopustila je svakoj od parametarskih jednadžbi u odnosu na parametar λ, izjednačavamo prave dijelove dobivene jednakosti i dobivamo kanonsku jednadžbu navedenog izravnog:

x \u003d X 1 + A X · λ λ λ λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y

Ne smije se zbuniti ako X ili Y će biti nula.

Primjer 2.

Potrebno je provesti prijelaz iz parametarskih jednadžbi Ravno X \u003d 3 Y \u003d - 4 - 4 · λ do kanonske jednadžbe.

Odluka

Pišemo paragrafske jednadžbe u sljedećem obliku: X \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 λ

Izrazite parametar λ u svakoj od jednadžbi: X \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 · λ \u003d x - 3 0 λ \u003d y + 2 - 4

Izjednačavamo prave dijelove sustava jednadžbi i dobivamo potrebnu kanonsku jednadžbu u ravnini:

x - 3 0 \u003d Y + 2 - 4

Odgovor: X - 3 0 \u003d Y + 2 - 4

U slučaju kada je potrebno napisati jednadžbu izravnog oblika A X + B Y + C \u003d 0, dok su parametrične jednadžbe postavljene u ravninu, potrebno je prvo premjestiti prijelaz na kanonska jednadžba, a zatim na opću jednadžbu izravno. Pišemo cijeli niz postupaka:

x \u003d X 1 + AX \u200b\u200b· λ y \u003d y 1 + ay λ λ \u003d x - x 1 sjekira λ \u003d y - y 1 ay ⇔ x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay ⇔ · · · · (x - x 1) \u003d AX · (Y - y 1) ⇔ AX + BY + C \u003d 0

Primjer 3.

Potrebno je izravno snimiti opću jednadžbu, ako se odredi parametarske jednadžbe: x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ

Odluka

Za početak, provodimo prijelaz na kanonsku jednadžbu:

x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 3 ⇔ x + 1 \u003d y - 3

Rezultirajući omjer je identičan jednakosti - 3 · (X + 1) \u003d 2 · y. Otkrit ćemo zagrade i dobivamo opću liniju: - 3 · x + 1 \u003d 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 \u003d 0.

Odgovor: 3 x + 2 y + 3 \u003d 0

Nakon gore navedene logike djelovanja, za dobivanje izravne jednadžbe s kutnim koeficijentom, jednadžbe su ravne u segmentima ili normalnoj jednadžbi, potrebno je dobiti opću liniju jednadžbu, ali provesti daljnje prijelaz iz njega.

Sada razmotrite suprotan učinak: snimanje parametarskih jednadžbi izravno s drugim navedenim oblikom jednadžbi ove ravne linije.

Najjednostavniji prijelaz: od kanonske jednadžbe do parametarske. Neka kanonska jednadžba oblika: X - X 1 A X \u003d Y - X 1 A Y. Svaki od odnosa ove jednakosti će biti jednak parametar λ:

x - X 1 A X \u003d Y - Y 1 A Y \u003d λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y

Dopušteno dobivene jednadžbe u odnosu na varijable x i y:

x \u003d X 1 + A X · λ y \u003d y 1 + a y λ λ

Primjer 4.

Potrebno je izravno snimiti parametarske jednadžbe, ako je kanonska jednadžba poznata u ravnini: X - 2 5 \u003d Y - 2 2

Odluka

Izjednačavamo dijelove poznate jednadžbe na parametar λ: X - 2 5 \u003d Y - 2 2 \u003d λ. Iz dobivene jednakosti dobivamo parametarske jednadžbe izravno: X - 2 5 \u003d Y - 2 2 \u003d λ λ \u003d x - 2 5 λ \u003d y - 2 5 ⇔ x \u003d 2 + 5 · λ y \u003d 2 + 2 · λ

Odgovor: x \u003d 2 + 5 · λ y \u003d 2 + 2 · λ

Kada je potrebno provesti prijelaz na parametarske jednadžbe iz dane zajedničke jednadžbe ravne linije, potrebna je izravna jednadžba s kutnim koeficijentom ili ravnom jednadžbom u segmentima, početna jednadžba je potrebna da dovodi do kanonskog i poslije provođenje prijelaza na parametarske jednadžbe.

Primjer 5.

Potrebno je pisati parametarske jednadžbe na ravnu liniju s poznatom ukupnom jednadžbom na to ravno: 4 x - 3 y - 3 \u003d 0.

Odluka

Navedena opća jednadžba se pretvara u jednadžbu kanonskog tipa:

4 X - 3 Y - 3 \u003d 0: 4 X \u003d 3 Y + 3 ⇔ 4 x \u003d 3 Y + 1 3 ⇔ X 3 \u003d Y + 1 3 4

Izjednačavamo i dio jednakosti na parametar λ i dobivamo potrebne parametarske jednadžbe izravno:

x3 \u003d Y + 1 3 4 \u003d λ ⇔ X 3 \u003d λ Y + 1 3 4 \u003d λ ⇔ x \u003d 3 · λ y \u003d - 1 3 + 4 · λ

Odgovor: X \u003d 3 · · · λ y \u003d - 1 3 + 4 · λ

Primjeri i zadaci s parametarskim izravnim jednadžbama u ravnini

Najčešće razmotrite vrste zadataka koji koriste parametarske jednadžbe izravno u ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu.

U zadacima prvog tipa daju se koordinate o točkama koje pripadaju ili ne izravno opisane parametarske jednadžbe.

Rješenje ovakvih zadataka se temelji na sljedećem činjenicu: brojeve (x, y), odrediti iz parametarskih jednadžbi x \u003d x 1 + sjekira λ y \u003d y 1 + ay λ s nekim važećim vrijednost X, su koordinate točka koja pripada ravnoj liniji, koja je opisana ove parametarske jednadžbe.

Primjer 6.

Potrebno je odrediti koordinate točke, koji se nalazi na izravnoj određenim parametarskih jednadžbi x \u003d 2 - 1 6 · λ y \u003d - 1 + 2 · À na X \u003d 3.

Odluka

Zamijenimo u danim parametarskim jednadžbama poznata vrijednost λ \u003d 3 i implementirati izračun željenih koordinata: x \u003d 2 - 1 6 · 3 y \u003d - 1 + 2 · 3 ⇔ x \u003d 1 1 2 y \u003d 5

Odgovor: 1 1 2 , 5

Sljedeći zadatak je također moguć: Neka se neka točka m 0 (x 0, y 0) daju u ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu i morate odrediti da li ova točka pripada izravno opisanoj parametarskoj jednadžbi x \u003d x 1 + sjekiranje · λ y \u003d y 1 + Ay · À.

Da biste riješili takav zadatak, potrebno je zamijeniti koordinate određene točke poznatim parametarskim jednadžbama izravno. Ako se utvrdi da je ta vrijednost parametra λ \u003d λ 0 je moguće, na kojima su oba parametarske jednadžbe će biti točna, onda određene točke je pripadnost navedeni izravan.

Primjer 7.

Bodova m 0 (4, - 2) i n 0 (- 2, 1). Potrebno je odrediti da li pripadaju izravnim definiranim parametarskim jednadžbama x \u003d 2 · · λ y \u003d - 1 - 1 2 λ λ.

Odluka

Zamijenimo koordinate točke m 0 (4, - 2) na navedene parametarske jednadžbe:

4 \u003d 2 · λ - 2 \u003d - 1 - 1 2 · λ \u003d 2 λ \u003d 2 λ \u003d 2

Zaključujemo da točka m 0 pripada određenoj ravnoj liniji, jer odgovara vrijednosti λ \u003d 2.

2 \u003d 2 · · λ 1 \u003d - 1 - 1 2 · λ \u003d - 1 λ \u003d - 4

Očito, ne postoji takav parametar λ, koji će odgovarati točki n 0. Drugim riječima, navedeno izravno ne prolazi kroz točku br. (- 2, 1).

Odgovor:točka m 0 pripada određenoj ravnoj liniji; Točka n 0 ne pripada navedenom izravnom.

U objektima drugog tipa potrebno je izraditi parametarske jednadžbe izravno u ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu. Gore je razmotreno najlakši primjer takvog zadatka (s poznatim koordinatom točaka izravnog i vodiča). Sada ćemo analizirati primjere u kojima prvo trebate pronaći koordinate vektora vodiča, a zatim napisati parametarske jednadžbe.

Primjer 8.

Točka m 1 1 2, 2 3 se daje. Potrebno je napraviti parametarske jednadžbe izravnog prolaska kroz ovu točku i paralelni direktni X 2 \u003d Y - 3 - 1.

Odluka

Prema stanju problema je ravan, jednadžba kojoj moramo biti ispred, paralelno s izravnim X 2 \u003d Y - 3 - 1. Zatim, kao vodič vektor, izravna polazna točka je moguće koristiti Direct X 2 \u003d Y - 3 - 1 vektor vodiča, koji je napisan u obliku: A → \u003d (2, - 1). Sada su svi potrebni podaci poznati kako bi sastavili željene parametarske jednadžbe:

x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + ay λ ⇔ x \u003d 1 2 + 2 · λ y \u003d 2 3 + (- 1) · λ x \u003d 1 2 + x · λ y \u003d 2 3 - 2 3 - λ.

Odgovor: x \u003d 1 2 + x · λ y \u003d 2 3 - λ.

Primjer 9.

Pokažite M 1 (0, - 7). Potrebno je snimiti parametrične jednadžbe ravne linije, prolazeći kroz ovu točku okomitu na liniju 3 x - 2 y - 5 \u003d 0.

Odluka

Kao izravni vektori, jednadžba mora biti napravljena, moguće je uzeti normalnu vektorsku liniju 3 x - 2 y - 5 \u003d 0. Njegove koordinate (3, - 2). Pišimo potrebne parametarske jednadžbe izravno:

x \u003d X 1 + A X · λ λ · Y · λ λ \u003d 0 + 3 · λ y \u003d - 7 + (- 2) · λ x \u003d 3 · λ y \u003d - 7 - 2 · λ

Odgovor: x \u003d 3 · · λ y \u003d - 7 - 2 · λ

U zadacima trećeg tipa, prijelaz iz parametarskih jednadžbi dane izravne na druge vrste jednadžbi koji se određuje je potrebno. Razmotrili smo rješenje takvih primjera, dajemo još jedan.

Primjer 10.

Dana se daje u ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu, određenom parametarskim jednadžbama X \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ. Potrebno je pronaći koordinate bilo kojeg normalnog vektora ove ravne linije.

Odluka

Da biste odredili željene koordinate normalnog vektora, provedite prijelaz iz parametarskih jednadžbi na ukupnu jednadžbu:

x \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ ⇔ λ \u003d x - 1 - 3 4 λ \u003d y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 \u003d y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x - 1 \u003d - 3 4 · Y + 1 ⇔ X + 3 4 Y - 1 4 \u003d 0

Koeficijenti varijabli X i Y daju nam potrebne koordinate normalnog vektora. Dakle, normalni vektor ravno x \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ ima koordinate 1, 3 4.

Odgovor: 1 , 3 4 .

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter

Do sada smo razmotrili površinsku jednadžbu u prostoru s koordinatnim osi X, Y, Z eksplicitno ili u implicitnom obliku

Možete napisati jednadžbe površine u parametarskom obliku, izražavajući koordinate svojih točaka u obliku funkcija dvaju neovisnih varijabli parametara i

Pretpostavljamo da su te funkcije nedvosmislene, kontinuirane i imaju kontinuirane derivate u drugi red u određenom rasponu promjena parametara.

Ako zamjena tih izraza koordinate putem U i V. lijevom dijelu jednadžbe (37), onda moramo dobiti identiteta u odnosu na njih i V. razlikovanje tog identiteta na nezavisne varijable i V, imat ćemo

Uzimajući u obzir ove jednadžbe kao dvije homogene jednadžbe u relativnom i primjenom algebarske leme navedene u, dobivamo

gdje je k neki koeficijent proporcionalnosti.

Vjerujemo da se množitelj i najmanje jedna od razlika u desnim dijelovima potonjih formula razlikuje od nule.

Označite da je kratkotrajna napisala tri razlike kako slijedi:

Kao što je poznato, jednadžba tangentne ravnine na našu površinu na nekoj njezinoj točki (x, y, z) može se napisati u obliku

ili, zamjenjujući proporcionalne vrijednosti, možemo prepisati jednadžbu tangentne ravnine kao:

Poznato je da su koeficijenti u ovoj jednadžbi proporcionalni kosinskim vodičima normalnim na površinu.

Položaj točke M varijabilne na površini karakterizira vrijednosti parametara i v i ti se parametri obično nazivaju koordinate točaka površine ili koordinata parametre.

Davanje parametara i i V konstantne vrijednosti, dobivamo dvije obitelji linija na površini, koju nazivamo koordinatne površinske linije: koordinatne linije duž koje se samo v mijenjaju i koordinatne linije duž koji se mijenjaju samo i. Ove dvije obitelji koordinatnih linija daju koordinatnu mrežu na površini.

Kao primjer, razmotrite sferu s centrom na početku koordinata i radijusu R. Parametrijske jednadžbe takve sfere mogu se napisati u obliku

Koordinate, linije su u ovom slučaju, očito paralele i meridijani naše sfere.

Pijenje iz koordinatnih osi, možemo karakterizirati površinu varijabilnim radijus-vektorom koji radi iz stalne točke točke naše površine. Privatni derivati \u200b\u200biz ovog radijusa-vektorskih parametara bit će dani, očito, vektori usmjereni na koordinaciju linija. Konstituirajući ove vektore na osima

bit će, prema i od toga se može vidjeti da su koeficijenti u jednadžbi za tangencijalne ravnine (39) suštine komponente vektora proizvoda Ovaj vektor proizvod je vektor, okomito na tangente koja je npr. Vektor usmjeren na površinu normalno. Kvadrat duljine ovog vektora je očigledan, očito, skalarni proizvod vektora na sam, to jest, jednostavno govoreći, kvadrat ovog vektora 1). U budućnosti će igrati značajnu ulogu jednog vektora normalnog na površinu koju očito možemo pisati u obliku

Promjenom redoslijeda čimbenika u pisanom vektorskom proizvodu dobivamo za vektor (40) suprotan smjer. Nastavit ćemo popraviti postupak za množenje u budućnosti, tj. Definitivno ćemo popraviti smjer normalnog na površinu.

Uzmite neku točku m i provedite bilo koju krivulju (l), ležeći na površini kroz ovu točku. Ova krivulja, općenito govoreći, nije koordinatna linija, a uz njega će se promijeniti kao i v. Smjer tangenta na ovu krivulju određuje se vektorom ako se pretpostavlja da je duž (l) u susjedstvu točke V. parametra funkcija iz derivata. Može se vidjeti da je smjer tangente na krivulju provedenu na površini u bilo kojem trenutku m ove krivulje vrlo karakteriziran vrijednosti u ovom trenutku. Prilikom određivanja tangentne ravnine i povlačenja njegove jednadžbe (39), vjerovali smo da funkcije (38) u predmetu koji se razmatra i njezino okruženje su kontinuirani privatni derivati \u200b\u200bi da se barem jedan od koeficijenata jednadžbe (39) razlikuje od nula u razmatranju točke.

Svaka jednadžba prvog stupnja u odnosu na koordinate x, y, z

AX + BY + CZ + D \u003d 0 (3.1)

određuje ravninu, i obrnuto: bilo koja ravnina može biti predstavljena jednadžbom (3.1), koja se zove ravnina jednadžbe.

Vektor n. (A, B, C), ortogonalna ravnina, nazvana normalan vektor Avion. U jednadžbi (3.1), koeficijenti a, b, c su istovremeno jednaki 0.

Posebni slučajevi jednadžbe (3.1):

1. D \u003d 0, AX + BY + CZ \u003d 0 - ravnina prolazi kroz podrijetlo koordinata.

2. C \u003d 0, AX + BY + D \u003d 0 - ravnina paralelno s Oz osi.

3. c \u003d d \u003d 0, AX + BY \u003d 0 - ravnina prolazi kroz Oz osi.

4. B \u003d C \u003d 0, AX + D \u003d 0 - ravnina paralelno s oyz ravninom.

Jednadžbe koordinatne ravnine: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.

Može se postaviti izravno u prostoru:

1) kao raskrižja dva ravnina, tj. Sustav jednadžbi:

1 X + B 1 Y + C1O + D 1 \u003d 0, A 2 X + B2 Y + C2O + D 2 \u003d 0; (3.2)

2) Dvije vlastite točke M 1 (X1, Y 1, Z 1) i M2 (X2, Y2, Z2), zatim izravni, kroz njih prolaze, daju se jednadžbama:

3) točka m 1 (x 1, y 1, Z 1), do njega pripadajući i vektor a.(m, n, p), ona je kolinearna. Tada se izravno određuje jednadžbama:

Jednadžbe (3.4) nazivaju se kanonska jednadžba izravna.

Vektor a. nazvan izravni vektor izravan.

Parametrične jednadžbe su izravnedobivamo, iznosimo svaki od odnosa (3.4) parametar t:

x \u003d X 1 + MT, Y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t. (3.5)

Sustav rješavanja (3.2) kao sustav linearnih jednadžbi relativno nepoznatog x. i yor, dođite na jednadžbe izravno u projekcije Ili do smanjene jednadžbe su izravne :

x \u003d mz + a, y \u003d nz + b. (3.6)

Od jednadžbi (3.6) možete ići na kanonska jednadžbe z Iz svake jednadžbe i izjednačavanje dobivenih vrijednosti:

Iz zajedničkih jednadžbi (3.2) mogu se prenijeti na kanonski i drugi način ako nađete bilo koju točku ove ravne linije i njegov vodič vektora n.= [n. 1 , n. 2] gdje n. 1 (a 1, b1, c 1) i n. 2 (A2, B2, C2) - Normalni vektori postavljenih ravnina. Ako jedan od deponijanika m, n. ili r U jednadžbama (3.4) ispada da je nula, tada se numerator odgovarajuće frakcije treba staviti u jednakoj nuli, tj. sustav

ekvivalentni sustavu; Takvo izravno je okomito na osovinu oh.

Sustav je ekvivalentan sustavu X \u003d X 1, Y \u003d y 1; Izravna paralelna os.

Primjer 1.15, Prijavite se jednadžbu ravnine, znajući da točka A (1, -1,3) služi kao baza okomice provedenih iz podrijetla koordinata u ovoj ravnini.

Odluka.Pod uvjetom vektora zadatka Oštar (1, -1,3) je normalna vektorska ravnina, zatim se njegova jednadžba može napisati kao
X-Y + 3Z + d \u003d 0. Zaštita koordinata točke A (1, -1,3), koja pripadaju ravnini, nalazimo D: 1 - (- 1) +3 × 3 + d \u003d 0 þ D \u003d -11. Dakle, X-Y + 3Z-11 \u003d 0.

Primjer 1.16., Učinite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz Oz osi i sa ravninom 2x + Y-Z-7 \u003d 0 kut 60 o.

Odluka.Ravnina koja prolazi kroz Oz osi postavljena je AX + BY \u003d 0 jednadžbom, gdje se i istovremeno ne primjenjuju na nulu. Neka N.
Jednako 0, A / BX + Y \u003d 0. Prema kosinoj formuli kuta između dva ravnina

Rješavanje kvadratne jednadžbe 3m 2 + 8m - 3 \u003d 0, pronađite ga korijene
M 1 \u003d 1/3, m 2 \u003d -3, odakle dobivamo dva ravnina 1 / 3x + y \u003d 0 i -3x + y \u003d 0.

Primjer 1.17.Učinite Canoničke jednadžbe izravno:
5x + Y + Z \u003d 0, 2x + 3Y - 2z + 5 \u003d 0.

Odluka.Canoničke jednadžbe izravno imaju obrazac:

gdje m, n, r - izravni vektori izravne koordinate, x 1, y 1, z 1 - koordinate bilo koje točke koja pripada ravnom liniji. Izravno kao linija raskrižja dvaju ravnina. Da biste pronašli točku koja pripada liniji, popravite jedan od koordinata (najlakši način za stavljanje, na primjer, x \u003d 0), a rezultirajući sustav se rješava kao sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Dakle, neka X \u003d 0, zatim Y + Z \u003d 0, 3Y - 2z + 5 \u003d 0, od čega y \u003d -1, z \u003d 1. Koordinate točke m (X1, Y 1, Z 1) koji pripadaju ovoj liniji, pronašli smo: m (0, -1,1). Direktni vektor izravno lako pronaći, znajući normalne vektore izvornih zrakoplova n. 1 (5,1,1) i n. 2 (2,3, -2). Zatim

Canoničke jednadžbe Direct imaju obrazac: X / (- 5) \u003d (Y + 1) / 12 \u003d
\u003d (z - 1) / 13.

Vektorske i parametarske ravnine. Neka R0 i R budu radijus vektori točaka m 0 i m, respektivno. Zatim m 0 m \u003d R-R ° i stanje (5.1) pripadnosti točke m od ravnine koji prolazi kroz točku m 0 okomito nonuel vektor n (sl. 5.2, a) može se pisati pomoću skalarski rad kao odnos

n (r - r 0) \u003d 0, (5.4)

koji se zove jednadžba ravnina.

Fiksna ravnina u prostoru odgovara setu vektora paralelno s njom, tj. prostor V 2. Odaberite u ovom prostoru osnova E 1, e 2, tj. Nekoliko ne-pokvarenih vektora paralelno s ravninom, a točka m 0 u ravnini. Ako točka m pripada ravnini, onda je to ekvivalentno činjenici da je paralelno s vektorom m 0 m (sl. 5.2, b), tj. Pripada navedenom prostoru V2. To znači da postoji razgradnja vektora m 0 m u bazi E 1, e 2, tj. Postoje brojevi t1 i t2, za koje m 0 m \u003d t 1 e l + t 2 e 2. Oporavak lijevog dijela ove jednadžbe kroz radijus-vektora R 0 i R bodova M 0 i M, mi, dobivamo vektorska parametarska jednadžba ravnine

r \u003d R0 + T 1 E 1 + T 2 E 2, t 1, t 1 ∈ R. (5.5)

Premjestiti se iz jednakosti vektora u (5.5) na jednakost koordinata, označite (x 0; y 0; z 0), (x; y; z) koordinate točke M 0, m i kroz (E lx; E1Y; e lz), (e 2x; e 2Y; e 2z) koordinate vektora E 1, e 2. Izjednačava isto ime koordinate r i r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2, dobivamo parametarske jednadžbe ravnine

Ravnina koja prolazi kroz tri točke. Pretpostavimo da tri točke m1, m 2 i m 3 ne leže na jednoj ravnoj liniji. Zatim tu je jedna ravnina π, koju pripadaju te točke. Smatramo da je jednadžba ovog aviona, formulirajući kriterij za pribor proizvoljne točke m ove ravnine. Zatim napišite ovaj kriterij kroz koordinate točaka. Navedeni kriterij je opis ravnine π što više od tih točaka m za koje vektore M 1 m2, M 1 m 3 i M 1 m kompentan, Kriterij pratioca tri vektora je jednakost nula mješoviti rad (Vidi 3.2). Mješoviti proizvod se izračunava pomoću odrednica trećeg redačiji su redovnici koordinate vektora u ortonormand baza, Stoga, ako (xi; yx i; zx i) - koordinate točaka MX I, I \u003d 1, 2, 3, a (x; y; z) - koordinate točke m, zatim m 1 m \u003d (X - X1; YY1; ZZ 1), M 1 m 2 \u003d (X2-X1; Y 2-Y 2-1; Z2 -z 1), M 1 m 3 \u003d (X3 -X 1; Y 3-1; Z3 -z 1) i stanje jednakosti nula mješovitog produkta ovih vektora je

Izračunava determinanta, dobivamo linearan u odnosu na x, y, z jednadžbato je opću jednadžbu za željenu ravninu, Na primjer, ako razgraditi determinanta za prvu liniju, Dobivam

Ova jednakost nakon izračunavanja odrednica i objavljivanja nosača pretvara se u opću jednadžbu ravnine.

Imajte na umu da se koeficijenti na varijablama u posljednjoj jednadžbi podudaraju s koordinatom vektorski rad M 1 m 2 × m 1 m 3. Ovaj vektorski proizvod, koji je proizvod dvaju ne-lelin vektora, paralelna ravnina π, daje nerezori vektor, okomitu π, tj. nju normalan vektor, Tako je izgled koordinata vektorskog proizvoda kao koeficijenti opće jednadžbe ravnine prilično prirodan.

Razmotrite sljedeći privatni slučaj zrakoplova koji prolazi kroz tri boda. Bodova m l 1 (a; 0; 0), m2 (0; B; 0), m3 (0; 0; c), abc ≠ 0, nemojte ležati na jedan ravni i postavite ravninu koja se isključuje na Osi da segmenata koordinira duljinu nezoze (sl. 5.3). Ovdje, ispod "duljine duljine", razumije se značaj o koordinatama bez koordinata radijus vektora točaka m i, i \u003d 1,2,3.

Od M 1 m 2 \u003d (-A; B; 0), M 1 m 3 \u003d (-A; 0; C), M 1 m \u003d (X-A; Y; Z), zatim jednadžba (5.7) uzima

Izračunava se odrednica, naći ćemo BC (X - A) + ACY + ABZ \u003d 0, mi podijeliti dobivenu jednadžbu na ABC i premjestiti slobodan član na desnu stranu,

x / A + Y / B + Z / C \u003d 1.

Ova jednadžba se zove jednadžba ravnine u segmentima.

Primjer 5.2. Pronađite opću razinu jednadžbu koja prolazi kroz točku s koordinatama (1; 1; 2) i prekida od osi segmenata iste duljine iz osi.

Jednadžba ravnine u segmentima pod uvjetom da se odsječe od osi koordinatnih segmenata jednake duljine, kažu A 0 0, ima izgled X / A + Y / B + Z / c \u003d 1. Ova jednadžba mora zadovoljiti koordinate (1; 1; 2) poznata točka na ravnini, tj. Jednakost je 4 / A \u003d 1. Stoga, A \u003d 4 i željena jednadžba je X + Y + Z - 4 \u003d 0.

Jednadžba normalne ravne. Razmotrite malo zrakoplova π u prostoru. Popraviti za nju jedinica normalan vektor n, usmjeren od počinje koordinate "U smjeru ravnine", a mi označavamo udaljenost od početka o koordinatnom sustavu do aviona π (sl. 5.4). Ako avion prođe kroz početak koordinatnog sustava, tada p \u003d 0 i kao smjer za normalan vektor n, možete odabrati bilo koju od dva moguća.

Ako točka m pripada ravnini π, onda je to jednak činjenici da ortogonalna projekcija vektora Om. u smjeru vektor n jednak p, tj. Stanje nom \u003d pr n om \u003d p, jer dužini vektor n je jednak jednom.

Označava koordinate točke m do (x; y; z) i neka n \u003d (cosα; cosp; cosy) (podsjetiti se da za jedan vektor n vodiči kosinecOSA, COSP, COSY su i njegove koordinate u isto vrijeme). Podsjećajući skalarnog proizvoda u jednakosti nom \u003d p u koordinatnom obliku, dobivamo normalna jednadžba ravnina

xCosa + ycosbeta; + zcosγ - p \u003d 0.

Slično tome, slučaj izravnog u ravnini, opću jednadžbu ravnine u prostoru može se pretvoriti u svoju normalnu jednadžbu na racionalizaciju množitelja.

Za jednadžbu ravnine AX + BY + CZ + D \u003d 0, faktor normalizacije je broj ± ± (A2 + B2 + C2), čiji je znak odabran na suprotnom znaku D. By Apsolutnom vrijednošću , normalizirajući multiplikator je duljina normalnog vektora (a; b; c) ravnine, a znak odgovara željenom smjeru jedinice normalne ravnine. Ako avion prođe kroz podrijetlo koordinatnog sustava, tj. D \u003d 0, zatim se oznaka normalizacijskog množitelja može odabrati.