Jednadžba ravne kroz 2 točke online. Jednadžba ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke

S obzirom na dva boda M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2)... Zapisujemo jednadžbu ravne u obliku (5), gdje je k još uvijek nepoznat koeficijent:

Od točke M 2 pripada danoj pravoj liniji, tada njene koordinate zadovoljavaju jednadžbu (5):. Izrazivši iz ovoga i zamijenivši ga u jednadžbu (5), dobivamo traženu jednadžbu:

Ako ova se jednadžba može prepisati u obliku koji je pogodniji za pamćenje:

(6)

Primjer. Zapišite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke M 1 (1.2) i M 2 (-2.3)

Riješenje. ... Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobivamo opću jednadžbu ravne linije:

Kut između dvije ravne linije

Razmotrite dvije linije l 1 i l 2:

l 1: , , i

l 2: , ,

φ je kut između njih (). Slika 4 prikazuje:.

Odavde , ili

Pomoću formule (7) može se odrediti jedan od kutova između ravnih linija. Drugi kut je.

Primjer... Dvije ravne linije dane su jednadžbama y = 2x + 3 i y = -3x + 2. pronađite kut između ovih pravaca.

Riješenje... Iz jednadžbi se vidi da je k 1 = 2, a k 2 = -3. zamjenom ovih vrijednosti u formulu (7) nalazimo

... Dakle, kut između ovih linija je jednak.

Uvjeti za paralelnost i okomitost dvaju pravih pravaca

Ako ravno l 1 i l 2 onda su paralelne φ=0 i tgφ = 0... iz formule (7) proizlazi da, odakle k 2 = k 1... Dakle, uvjet za paralelnost dviju pravih je jednakost njihovih nagiba.

Ako ravno l 1 i l 2 su onda okomite φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. ... Dakle, uvjet okomitosti dviju pravih je da su njihovi nagibi recipročni po veličini i suprotni po predznaku.

Udaljenost od točke do linije

Teorema. Ako je dana točka M (x 0, y 0), tada se udaljenost do prave Ax + Vy + C = 0 određuje kao

Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) baza okomice spuštene iz točke M na zadanu ravnu crtu. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba ravne koja prolazi kroz ovu točku M 0 okomito na zadanu ravnu liniju.

Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1) nalazimo:

Teorem je dokazan.

Primjer. Odredi kut između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, prave su okomite.

Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nađite jednadžbu za visinu izvučenu iz vrha C.

Nalazimo jednadžbu stranice AB:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Tražena jednadžba visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k =. Tada je y =. Jer visina prolazi točkom C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle je b = 17. Ukupno:.

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Udaljenost od točke do ravne linije određena je duljinom okomice spuštene iz točke na ravnu crtu.

Ako je pravac paralelna s ravninom projekcije (h | | P 1), zatim kako bi se odredila udaljenost od točke A na ravno h potrebno je okomicu spustiti s točke A na horizontali h.

Razmotrite više složen primjer kada je pravac u općem položaju. Neka je potrebno odrediti udaljenost od točke M na ravno a opći položaj.

Zadatak utvrđivanja udaljenost između paralelnih linija riješen slično kao i prethodni. Na jednoj ravnoj crti uzima se točka, s nje se okomica spušta na drugu ravnu crtu. Duljina okomice jednaka je udaljenosti između paralelnih pravaca.

Krivulja drugog reda naziva se pravac određena jednadžbom drugog stupnja u odnosu na trenutne kartezijanske koordinate. Općenito, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

gdje su A, B, C, D, E, F realni brojevi i barem jedan od brojeva A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

Krug

Središte kruga- ovo je mjesto točaka u ravnini jednako udaljenoj od točke ravnine C (a, b).

Krug je dan sljedećom jednadžbom:

Gdje su x, y koordinate proizvoljne točke kružnice, R je polumjer kružnice.

Jednadžba opsega

1. Ne postoji član s x, y

2. Jednaki koeficijenti za x 2 i y 2

Elipsa

Elipsa naziva se mjestom točaka u ravnini, a zbroj udaljenosti svake od dvije zadane točke ove ravnine naziva se žarište (konstantna vrijednost).

Jednadžba kanonske elipse:

X i y pripadaju elipsi.

a - velika poluos elipse

b - mala poluos elipse

Elipsa ima 2 osi simetrije OX i OY. Osi simetrije elipse su njezine osi, točka njihova presjeka je središte elipse. Os na kojoj se nalaze žarišta naziva se žarišne osi... Točka presjeka elipse s osovinama je vrh elipse.

Omjer kompresije (istezanja): ε = s / a- ekscentricitet (karakterizira oblik elipse), što je manji, manje će se elipsa protezati duž žarišne osi.

Ako središta elipse nisu u središtu C (α, β)

Hiperbola

Hiperbola naziva se mjestom točaka u ravnini, apsolutna vrijednost razlike udaljenosti, od kojih je svaka iz dvije zadane točke ove ravnine, koje se nazivaju žarišta, konstantna vrijednost različita od nule.

Kanonička hiperbola jednadžba

Hiperbola ima 2 osi simetrije:

a je realna poluos simetrije

b - imaginarna poluos simetrije

Asimptote hiperbole:

Parabola

Parabola naziva se mjestom točaka u ravnini jednako udaljenoj od zadane točke F, koja se naziva žarište i zadana ravna linija, koja se naziva direktrisa.

Jednadžba kanonske parabole:

Y 2 = 2px, gdje je p udaljenost od fokusa do direktrise (parabola parametar)

Ako je vrh parabole C (α, β), tada je jednadžba parabole (y-β) 2 = 2p (x-α)

Ako se žarišna os uzme kao ordinatna os, tada će jednadžba parabole imati oblik: x 2 = 2qu

Neka pravac prolazi kroz točke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednadžba ravne koja prolazi točkom M 1 ima oblik y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.

Budući da pravac prolazi točkom M 2 (x 2 y 2), koordinate ove točke moraju zadovoljiti jednadžbu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 -x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednadžbu (10.6) dobivamo jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 = x 2, tada je pravac koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) paralelna s ordinatnom osi. Njegova jednadžba ima oblik x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, tada se jednadžba ravne može zapisati kao y = y 1, pravac M 1 M 2 je paralelan s osi apscise.

Jednadžba ravne u segmentima

Neka pravac siječe os Ox u točki M 1 (a; 0), a os Oy - u točki M 2 (0; b). Jednadžba će poprimiti oblik:
oni.
... Ova se jednadžba zove jednadžba ravne u segmentima, budući da brojevi a i b označavaju koji su segmenti odsječeni ravnom linijom na koordinatnim osi.

Jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku okomito na dati vektor

Nađimo jednadžbu ravne koja prolazi kroz zadanu točku Mo (x O; y o) okomito na zadani vektor različit od nule n = (A; B).

Uzmite proizvoljnu točku M (x; y) na ravnoj crti i razmotrite vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Budući da su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je nula: tj.

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Jednadžba (10.8) se zove jednadžba ravne koja prolazi kroz danu točku okomito na dati vektor .

Vektor n = (A; B), okomit na pravu liniju, naziva se normalnim normalni vektor ove linije .

Jednadžba (10.8) se može prepisati kao Ax + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ah o - Vu o - slobodni član. Jednadžba (10.9) je opća jednadžba ravne linije(vidi sl. 2).

Slika 1 Slika 2

Kanonske jednadžbe ravne linije

,

Gdje
- koordinate točke kroz koju prolazi pravac, i
je vektor smjera.

Krug krivulja drugog reda

Krug je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od dane točke, koja se naziva središte.

Kanonska jednadžba kružnice polumjera R centriran u točki
:

Konkretno, ako se središte udjela podudara s ishodištem, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup točaka na ravnini, zbroj udaljenosti od svake do dvije zadane točke i , koji se nazivaju žarišta, imaju konstantu
veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox, a ishodište koordinata u sredini između žarišta ima oblik
G de a duljina velike poluosi; b - duljina male poluosi (slika 2).

Odnos između parametara elipse
i izraženo omjerom:

(4)

Elipsa ekscentricitetanaziva se omjerom međufokalne udaljenosti2cna glavnu os2a:

ravnateljice elipse se nazivaju ravne linije paralelne s osi Oy, koje su udaljene od ove osi. Directrix jednadžbe:
.

Ako u jednadžbi elipse
, tada su žarišta elipse na osi Oy.

Tako,

Svojstva ravne linije u euklidskoj geometriji.

Možete nacrtati beskonačno mnogo ravnih linija kroz bilo koju točku.

Jedna ravna crta može se povući kroz bilo koje dvije točke koje se ne podudaraju.

Dvije neusklađene ravne crte na ravnini ili se sijeku u jednoj točki ili se sijeku

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije međusobno raspoloženje dvije ravne linije:

• ravne se linije sijeku;

• ravne su linije paralelne;

• prave se sijeku.

Ravno crta- algebarska krivulja prvog reda: u kartezijanskom koordinatnom sustavu ravna linija

dana je na ravnini jednadžbom prvog stupnja (linearna jednadžba).

Opća jednadžba ravno.

Definicija... Bilo koja ravna crta na ravnini može se dati jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

s konstantnim A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednadžba prvog reda naziva se uobičajen

jednadžba ravne linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i S mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- pravac prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- ravna linija paralelna s osi Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna linija paralelna s osi OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ravna crta se poklapa s osi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ravna crta se poklapa s osi Oh

Jednadžba ravne linije može se predstaviti u raznim oblicima ovisno o bilo kojoj danosti

početni uvjeti.

Jednadžba ravne duž točke i vektora normale.

Definicija... U kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sustavu, vektor s komponentama (A, B)

okomito na ravnu liniju zadanu jednadžbom

Ax + Wu + C = 0.

Primjer... Nađi jednadžbu ravne koja prolazi kroz točku A (1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Riješenje... Kod A = 3 i B = -1 sastavljamo jednadžbu ravne: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C

zamijenimo koordinate zadane točke A u rezultirajući izraz. Dobivamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: tražena jednadžba: 3x - y - 1 = 0.

Jednadžba ravne koja prolazi kroz dvije točke.

Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M2 (x 2, y 2, z 2), zatim jednadžba ravne linije,

prolazeći kroz ove točke:

Ako je bilo koji nazivnik jednak nuli, odgovarajući brojnik treba biti izjednačen s nulom. Na

ravni, jednadžba gore zapisane ravne je pojednostavljena:

ako x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako x 1 = x 2 .

Frakcija = k pozvao nagib ravno.

Primjer... Nađite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke A (1, 2) i B (3, 4).

Riješenje... Primjenom gornje formule dobivamo:

Jednadžba ravne po točki i nagibu.

Ako je opća jednadžba ravne Ax + Wu + C = 0 dovesti do oblika:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednadžba zove

jednadžba ravne s nagibom k.

Jednadžba ravne duž točke i vektora smjera.

Po analogiji s paragrafom koji razmatra jednadžbu ravne linije kroz vektor normale, možete unijeti zadatak

pravac kroz točku i vektor smjera ravne linije.

Definicija... Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2)čije komponente zadovoljavaju uvjet

Aα 1 + Vα 2 = 0 pozvao usmjeravajući vektor ravne linije.

Ax + Wu + C = 0.

Primjer... Nađite jednadžbu ravne s vektorom smjera (1, -1) i koja prolazi točkom A (1, 2).

Riješenje... Jednadžba tražene ravne će se tražiti u obliku: Ax + By + C = 0. Prema definiciji,

koeficijenti moraju ispunjavati uvjete:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednadžba ravne linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

na x = 1, y = 2 dobivamo C / A = -3, tj. tražena jednadžba:

x + y - 3 = 0

Jednadžba ravne u segmentima.

Ako je u općoj jednadžbi ravne Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, tada, dijeljenjem s -C, dobivamo:

ili gdje

Geometrijsko značenje koeficijenti u tom koeficijentu a je koordinata točke presjeka

ravno s osi Oh, a b- koordinata točke presjeka ravne s osi OU.

Primjer... Zadana je opća jednadžba ravne linije x - y + 1 = 0. Nađite jednadžbu ove ravne u segmentima.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normalna jednadžba ravne linije.

Ako obje strane jednadžbe Ax + Wu + C = 0 podijeliti brojem koji se zove

faktor normalizacije, onda dobivamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednadžba pravca.

Predznak ± faktora normalizacije treba odabrati tako da μ * C< 0.

R- duljina okomice spuštene od ishodišta do ravne,

a φ - kut koji formira ova okomica s pozitivnim smjerom osi Oh.

Primjer... Dana je opća jednadžba ravne linije 12x - 5y - 65 = 0... Potrebno je napisati različite vrste jednadžbi

ovu ravnu liniju.

Jednadžba ove linije u segmentima:

Jednadžba ove linije s nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednadžba ravne linije:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se ne može svaka ravna linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, ravne linije,

paralelno s osi ili prolazeći kroz ishodište.

Kut između ravnih linija na ravnini.

Definicija... Ako su data dva retka y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, zatim oštar kut između ovih linija

definirat će se kao

Dva pravca su paralelna ako k 1 = k 2... Dvije ravne su okomite,

ako k 1 = -1 / k 2 .

Teorema.

Direktno Ax + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, V 1 = λV... Ako također S 1 = λS, tada se prave poklapaju. Koordinate točke presjeka dviju linija

nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi ovih ravnih linija.

Jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravnu crtu.

Definicija... Linija kroz točku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

predstavljen je jednadžbom:

Udaljenost od točke do linije.

Teorema... Ako se da bod M (x 0, y 0), udaljenost do ravne linije Ax + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz... Pusti točku M 1 (x 1, y 1)- baza okomice ispuštena iz točke M za dano

ravna crta. Zatim udaljenost između točaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i u 1 može se naći kao rješenje sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba ravne koja prolazi kroz danu točku M 0 okomito na

zadanu ravnu liniju. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1) nalazimo:

Teorem je dokazan.

Ovaj članak otkriva dobivanje jednadžbe ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke u pravokutnom koordinatnom sustavu smještenom na ravnini. Izvedimo jednadžbu ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke u pravokutnom koordinatnom sustavu. Jasno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih uz obrađeno gradivo.

Prije dobivanja jednadžbe ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke, potrebno je obratiti pažnju na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije nepodudarne točke na ravnini moguće povući ravnu i samo jednu. Drugim riječima, dvije zadane točke ravnine definirane su ravnom linijom koja prolazi kroz te točke.

Ako je ravnina određena pravokutnim koordinatnim sustavom Oxy, tada će svaka ravna crta prikazana u njoj odgovarati jednadžbi ravne linije na ravnini. Postoji i veza s vektorom smjera ravne crte.Ovi podaci dovoljni su za generiranje jednadžbe ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke.

Razmotrimo primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je sastaviti jednadžbu ravne a koja prolazi kroz dvije nepodudarne točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2), koje se nalaze u kartezijanskom koordinatnom sustavu.

U kanonskoj jednadžbi ravne na ravnini, koja ima oblik x - x 1 ax = y - y 1 ay, određen je pravokutni koordinatni sustav O xy s ravnom linijom, koji se s njim siječe u točki s koordinatama M 1 (x 1, y 1) s vodećim vektorom a → = (ax, ay).

Potrebno je sastaviti kanonsku jednadžbu ravne a, koja prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2).

Pravac a ima vektor smjera M 1 M 2 → s koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), budući da siječe točke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe s koordinatama vektora smjera M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama točaka M 1 (x 1, y 1) ležeći na njima i M 2 (x 2, y 2). Dobivamo jednadžbu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Razmotrite donju sliku.

Nakon izračuna, zapisujemo parametarske jednadžbe ravne na ravnini koja prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Dobivamo jednadžbu oblika x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Pogledajmo pobliže rješenje nekoliko primjera.

Primjer 1

Zapišite jednadžbu ravne koja prolazi kroz 2 zadane točke s koordinatama M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Riješenje

Kanonska jednadžba za ravnu liniju koja se siječe u dvije točke s koordinatama x 1, y 1 i x 2, y 2 ima oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Prema uvjetu zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Potrebno je zamijeniti brojčane vrijednosti u jednadžbu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odavde dobivamo da kanonska jednadžba ima oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ako trebate riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, onda prvo možete prijeći na onu kanonsku, jer je lakše doći od nje do bilo koje druge.

Primjer 2

Sastaviti opću jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke s koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sustavu.

Riješenje

Najprije morate zapisati kanonsku jednadžbu zadane ravne linije koja prolazi kroz zadane dvije točke. Dobivamo jednadžbu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1.

Dovedemo kanonsku jednadžbu u traženi oblik, tada ćemo dobiti:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Odgovor: x - 3 y + 2 = 0.

Primjeri takvih zadataka razmatrani su u školskim udžbenicima na nastavi algebre. Školski zadaci razlikovala po tome što je dobro poznata jednadžba ravne linije s nagibom, koja ima oblik y = k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broja b za koji jednadžba y = kx + b definira pravac u O xy sustavu koji prolazi kroz točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 ( x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2. Kada je x 1 = x 2 , tada nagib poprima vrijednost beskonačnosti, a pravac M 1 M 2 određena je općom nepotpunom jednadžbom oblika x - x 1 = 0 .

Jer bodovi M 1 i M 2 su na ravnoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednadžbu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sustav jednadžbi y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b za k i b.

Da biste to učinili, pronađite k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

S takvim vrijednostima k i b, jednadžba ravne koja prolazi kroz date dvije točke ima sljedeći oblik y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Sjećanje tako ogromnog broja formula odjednom neće raditi. Da biste to učinili, morate povećati broj ponavljanja u rješenjima problema.

Primjer 3

Zapišite jednadžbu ravne s nagibom koji prolazi kroz točke s koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Riješenje

Za rješavanje problema koristimo formulu s nagibom, koja ima oblik y = k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da ova jednadžba odgovara ravnoj liniji koja prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (- 7, - 5) i M 2 (2, 1).

Bodovi M 1 i M 2 nalaze se na ravnoj crti, tada bi njihove koordinate trebale obrnuti jednadžbu y = k x + b istinitu jednakost. Iz ovoga dobivamo da je - 5 = k (- 7) + b i 1 = k 2 + b. Kombinirajte jednadžbu u sustav - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješite.

Nakon zamjene nalazimo to

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sada se vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamjenjuju u jednadžbu y = k x + b. Dobivamo da je tražena jednadžba koja prolazi kroz zadane točke jednadžba oblika y = 2 3 x - 1 3.

Ovo rješenje unaprijed određuje potrošnju veliki broj vrijeme. Postoji način na koji se zadatak rješava doslovno u dva koraka.

Napišimo kanonsku jednadžbu ravne koja prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5), a koja ima oblik x - (- 7) 2 - (- 7) = y - ( - 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6.

Sada prelazimo na jednadžbu u nagibu. Dobivamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odgovor: y = 2 3 x - 1 3.

Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravokutni koordinatni sustav O xyz s dvije određene nepodudarne točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), pravac M 1 M 2, potrebno je dobiti jednadžbu ove prave.

Imamo te kanonske jednadžbe oblika x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az i parametarske jednadžbe oblika x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ mogu odrediti pravac u koordinatnom sustavu O x y z, koji prolazi kroz točke koje imaju koordinate (x 1, y 1, z 1) s vektorom smjera a → = (ax, ay, az).

Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), gdje pravac prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat parametarski x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) Λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Razmotrimo sliku koja prikazuje 2 zadane točke u prostoru i jednadžbu ravne linije.

Primjer 4

Napišite jednadžbu ravne definirane u pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z trodimenzionalnog prostora koji prolazi kroz dvije zadane točke s koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5).

Riješenje

Potrebno je pronaći kanonsku jednadžbu. Budući da govorimo o trodimenzionalnom prostoru, to znači da kada pravac prolazi kroz zadane točke, željena kanonska jednadžba će imati oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ...

Prema hipotezi, imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Otuda slijedi da potrebne jednadžbe bit će napisan na ovaj način:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

S obzirom na dva boda M(NS 1 ,Imati 1) i N(NS 2,y 2). Nađimo jednadžbu ravne koja prolazi kroz ove točke.

Budući da ovaj pravac prolazi kroz točku M, tada prema formuli (1.13) njena jednadžba ima oblik

Imati – Y 1 = K(X - x 1),

Gdje K- nepoznati nagib.

Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uvjeta da kroz točku prolazi željena ravna crta N, pa stoga njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(x 2 – x 1),

Odavde možete pronaći nagib ove ravne linije:

,

Ili nakon pretvorbe

(1.14)

Formula (1.14) određuje Jednadžba ravne koja prolazi kroz dvije točke M(x 1, Y 1) i N(x 2, Y 2).

U posebnom slučaju, kada točke M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnim osi, jednadžba (1.14) poprima jednostavniji oblik

Jednadžba (1.15) pozvao Po jednadžbi ravne u segmentima, ovdje A i B označimo segmente odsječene ravnom linijom na osi (slika 1.6).

Slika 1.6

Primjer 1.10. Izjednačite ravnu liniju kroz točke M(1, 2) i B(3, –1).

. Prema (1.14) jednadžba tražene linije ima oblik

2(Y – 2) = -3(x – 1).

Prebacivanje svih članova na lijeva strana, konačno dobivamo traženu jednadžbu

3x + 2Y – 7 = 0.

Primjer 1.11. Izjednačite ravnu liniju kroz točku M(2, 1) i točku presjeka pravaca x+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Koordinate točke presjeka pravih nalazimo zajedničkim rješavanjem zadanih jednadžbi

Ako ove jednadžbe zbrojimo pojam po član, dobit ćemo 2 x+ 1 = 0, odakle. Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednadžbu nalazimo vrijednost ordinate Imati:

Sada zapisujemo jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke (2, 1) i:

ili .

Dakle, ili –5 ( Y – 1) = x – 2.

Na kraju dobivamo jednadžbu željene ravne u obliku NS + 5Y – 7 = 0.

Primjer 1.12. Nađi jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke M(2,1) i N(2,3).

Koristeći formulu (1.14) dobivamo jednadžbu

Nema smisla jer je drugi nazivnik nula. Iz iskaza problema se vidi da apscise obiju točaka imaju istu vrijednost. Dakle, tražena linija je paralelna s osi OY a njegova je jednadžba: x = 2.

Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe ravne linije prema formuli (1.14) pokaže da je jedan od nazivnika jednak nuli, tada se željena jednadžba može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika s nulom.

Razmotrite druge načine definiranja ravne linije na ravnini.

1. Neka je vektor različit od nule okomit na zadani pravac L i točka M 0(x 0, Y 0) leži na ovoj pravoj liniji (slika 1.7).

Slika 1.7

Označavamo M(x, Y) proizvoljna točka na pravci L... Vektori i Ortogonalno. Koristeći uvjete ortogonalnosti za ove vektore, dobivamo bilo koje A(x – x 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Dobili smo jednadžbu ravne koja prolazi kroz točku M 0 okomito na vektor. Ovaj vektor se zove Normalni vektor na ravno L... Rezultirajuća jednadžba se može prepisati kao

Oh + Vau + S= 0, gdje je S = –(Ax 0 + Po 0), (1.16),

Gdje A i V- koordinate vektora normale.

Dobijmo opću jednadžbu ravne u parametarskom obliku.

2. Ravna crta na ravnini može se odrediti na sljedeći način: neka vektor različit od nule bude paralelan danoj pravoj liniji L i točka M 0(x 0, Y 0) leži na ovoj pravoj liniji. Uzmimo opet proizvoljnu točku M(NS, y) na pravoj liniji (slika 1.8).

Slika 1.8

Vektori i kolinearna.

Zapišimo uvjet kolinearnosti za ove vektore:, gdje T- proizvoljan broj koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:

Ove se jednadžbe nazivaju Parametarske jednadžbe Ravno... Iz ovih jednadžbi izuzimamo parametar T:

Ove se jednadžbe inače mogu zapisati u obliku

. (1.18)

Rezultirajuća jednadžba se zove Kanonska jednadžba ravne linije... Vektor se zove Vektor smjera ravne linije .

Komentar . Lako je vidjeti da je if normalni vektor na liniju L, tada njegov vektor smjera može biti vektor, budući da, t.j.

Primjer 1.13. Napišite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točku M 0 (1, 1) paralelno s ravnom linijom 3 NS + 2Imati– 8 = 0.

Riješenje . Vektor je vektor normale na zadane i željene ravne linije. Koristit ćemo se jednadžbom ravne koja prolazi kroz točku M 0 s danim vektorom normale 3 ( NS –1) + 2(Imati- 1) = 0 ili 3 NS + 2g- 5 = 0. Dobivena jednadžba željene ravne linije.